TEMA 4 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Tema #4:

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Matemática General UniversitariaUnidad 1: CONJUNTOS

J. Pomales septiembre 2010

¿Qué puedes decir de este diagrama?

Conjunto de los Números Naturales

• Números que utilizamos para contar

N = {1,2,3,4,5,6,7,8, … }• Los puntos suspensivos indican

que los números continúan de esa forma, sin terminar nunca.

Conjunto de los Números Cardinales

• Se compone de los números naturales incluyendo al cero

C = {0,1,2,3,4,5,6,7, … }

Conjunto de los Números Enteros

• Se compone de los números cardinales incluyendo a los números negativos

Z = {…,-2,-1,0,1,2,3, … }

Conjunto de los Números Racionales

• Se compone de los números enteros incluyendo a todo los números que se expresan de la forma donde b ≠ 0

• Ejemplos:ba

Conjunto de los Números Racionales

• Incluye fracciones que al convertirlos en decimales son finitos, periódicos…

Conjunto de los Números Irracionales

• Se expresan de la forma donde b ≠ 0, pero su decimal es infinito no periódico

• Ejemplos:

ba

...414213562.12 ...14157.3

Conjunto de los Números Reales

• Es el conjunto que agrupa a todos los conjuntos anteriores: naturales, cardinales, enteros, racionales, irracionales

• Puede ser considerado un conjunto universal

• Veamos su representación

Resumen del conjunto de los Números Reales

Propiedades de los Números Reales

• Son postulados que no requieren demostración

• Forman un conjunto de reglas fundamentales para fácil manejo algebraico

• Si p, q, r son tres números reales cualesquiera y pertenecen al conjunto de los números reales veamos las propiedades:

Clausura

De la suma

p + qLa suma de dos

números reales es otro número real

De la multiplicación

p qEl producto de dos

números reales es otro número real

Elemento Identidad o Neutro

De la suma

p + 0 = p0 + p = p

El número 0 es el único elemento que

conserva la identidad en la operación de

suma

De la multiplicación

p 1 = p1 p = p

El número 1 es el único elemento que

conserva la identidad en la operación de multiplicación

Elemento Inverso

De la suma

p + –p = 0Para todo número p existe un número –p

llamado inverso aditivo (opuesto) que genera su elemento

identidad

De la multiplicación

p = 1Para todo número p

(excepto 0) existe un número

llamado inverso multiplicativo

(recíproco) que genera su elemento

identidad

p1

p1

Asociativa

De la suma

(p + q) + r = p + (q + r)

De la multiplicación

(p q) r = p (q r)

En ambos casos la forma en que se agrupan no alteran el resultado final ni

en la suma ni en la multiplicación.

Esto no aplica en la resta ni en la división.

Conmutativa

De la suma

p + q = q + p

De la multiplicación

p q = q p

En la suma y en la multiplicación el orden no altera el resultado.

Esto no aplica en la resta ni en la división.

Distributiva

De la suma

p(q + r) = pq + pr

(q + r)p = qp + rp

Aquí la multiplicación distribuye a la suma y puede extenderse a varios

números dentro del paréntesis

EjerciciosIndica a cuál o cuáles de los siguientes conjuntos pertenecen los

números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo:

Número/Conjunto numérico

Natural Cardinal Entero Racional Irracional Real

11

-7

0

¾

0.272727…

7.25

2.7985413…

1½

Identifica la propiedad en cada enunciado:

7 + 5 = 5 + 7

3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5)

(6 3) 1 = 6 (3 1)

5(3 + 2) = 5(3) + 5(2)

7 1 = 7

11 + 0 = 11

9 + -9 = 0

2 ½ = 1

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Ejercicios

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Completa lo que falta para demostrar la propiedad previa:

Referencia

http://books.google.com/books?id=n-Ebosd6UZEC&pg=PA15&dq=propiedades+n%C3%BAmeros+reales&hl=en&ei=eI2iTNXXOoKClAeu6fy4BA&sa=X&oi=book_result&ct=book-thumbnail&resnum=3&ved=0CDIQ6wEwAg#v=onepage&q=propiedades%20n%C3%BAmeros%20reales&f=false

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