Tehnicka mehanika 1.1 - zadaci

2 SLAGANJE SILA

Sile se nazivaju sučeljnim ako se njihovi pravci sijeku u jednoj tački Sile mogu biti iste napadne linije i tada se one zovu kolinearne sile A ako su raznih pravaca tada se zovu kose sile

GRAFIČKO ODREĐIVANJE REZULTANTE

a) Dvije kolinearne sile istog intenziteta a suprotnih smjerova

Uslov ravnoteže tijela je

b) Dvije kolinearne sile različitog intenziteta i suprotnih smjerova

Ovo tijelo će se kretati jednakoubrzanim kretanjem u smjeru veće sile Dejstvo sila

možemo zamjeniti dejstvom sile Silu nazivamo rezultantom sila A

sile nazivamo komponentama rezultante

Veličina (intenzitet) rezultante u ovom slučaju jednaka je razlici veličina komponenti

Grafičkom metodom rezlutantu sila možemo dobiti na sljedeći način

Prvo odaberemo razmjeru za silu Zatim nacrtamo sile u toj razmjeri

Nacrtamo prvo silu Iz kraja te sile tačka B nadovezujemo silu Početak sile

tačka A spajamo sa krajem sile tačka D Na taj način smo dobili reziltantu sila

Veličinu (intenzitet) sile računamo tako da duž ADpomnožimo sa razmjerom

Smjer rezultante uvijek je okrenut u smjer veće komponente U ovom slučaju to je sila

Ovdje važi komutativni zakon tj da red slaganja (nadovezivanja) sila n utiče na rezultat

PRIMJER 1 Na materijalnu tačku A dijeluju kolinearne sile suprotnih

smjerova Odrediti rezultantu ovih sila a) Analitičkom metodom (računska) i b) Grafičkom metodom

a) Analitički (računski)

b) Grafički

Prvo odaberemo razmjeru u ovom slučaju je najpogodnija

Zatim nacrtamo silu u toj razmjeri i to će na crtežu iznositi 5cm Na kraj prve sile

nadovežemo drugu silu takođe u istoj razmjeri pa će ta dužina iznositi 2cm

Spajanjem tačaka A i D dobićemo rezultantu čiju veličinu (intenzitet)

određujemo tako da pomnožimo duž AD sa razmjerom

Smjer rezultante je okrenut u smjeru veće komponente a to je u ovom slučaju

c) Dvije kolinearne sile istih smjerovaPostupak dobivanja rezultante sila je vrlo sličan predhodnim s tim što se u ovom slučaju vrši sabiranje komponenti pa je

PRIMJER 2 U tačkama B i C užeta učvršćenog u tački A obješeni su tereti

Kolika sila djeluje u tački A

a) Računski b) Grafički

Slaganje sistema sučeljnih sila

a) Slaganje pomoću paralelograma

Dvije sučeljne kose sile ne mogu se uravnotežiti one imaju rezultantu Za iznalaženje rezultante ovih sila koristi se 3 aksioma koja glasiRezultanta dviju kosih sila koje napadaju kruto tijeli u jednoj tački prikazana je dijagonalomparalelograma konstruisanog nad tim silama Intenzitet rezultante je

ndash grafičko određivanje rezultante

Primjenom Pitagorine teoreme za pravougli trougao dobije se obrazac za izračunavanje intenziteta rezultante

b) Slaganje pomoću trougla sila Umjesto da crtamo čitav paralelogram

Rezultantu sila možemo dobiti i na brži način pomoću trougla

ndash Geometrijski zbir pa su obavezne strelice iznad oznaka sila

PUNI RAVNI NOSAČI

Vrste punih ravnih nosača

1 Obični nosač (prosta greda)

2 Uklješteni nosač (konzola)

3 Nosač (greda) sa prepustima

4 Gerberov nosač

Vrste oslonaca

a) Pokretni oslonac

U pokretnom osloncu otpor (reakcija) je određena samo jednom veličinom R Reakcija R je uvijek upravna na ravan oslonca

b) Nepokretni oslonac

Kod nepokretnog oslonca otpor (reakcija) može imati razne pravce Zbog toga za određivanje otpora potrebna su dva podatka Kada nađemo onda

računamo otpor R

I njegov položaj

c) Uklještenje ndash uklješten oslonac

Za određivanje otpora u uklještenju potrebna su tri podatka

ndash moment uklještenja ili reakcija momenta

Vrste opterećenjaOpterećenje koje djeluje na nosače možemo razvrstati na dva načina1 Prema veličini dodirne površine između tereta i nosača

a) Koncentrisano opterećenje (koje je skoncentrisano u jednoj tački)

b) Kontinualno opterećenje - ravnomjerno podjeljeno opterećenje (ono se predstavlja

pravougaonikom)

- neravnomjerno podjeljeno opterećenje (predstavlja se trouglom ili trapezom)

2 Prema načinu dejstva opterećenjaSile najčešće djeluju upravno na osu nosača a mogu biti i kose i ekscentrične a mogu djelovati i u vidu spregova

Sile upravne na osu nosača Kose sile

Ekscentrično horizontalna sila Ekscentrično vertikalna sila

Sile u vidu sprega

ZADATAK 1

Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima

a) Analitički

b) Grafički

Prvo nacrtamo gredu u razmjeri

Zatim crtamo plan sila Prvo nacrtamo silu i odaberemo pol P

Zatim spojimo tačku A i B sa polom P Tako dobijemo krak 1 i 2 koji paralelno prenosimo kroz tačku A krak 1 a gdje on presjeca liniju dejstvo sile F kroz tu tačkupovučemo krak 2 Gdje krak 2 sjeće liniju djestva sile kroz tu tačku vozimo krak SKrak S paralelno povlačimo kroz pol P i time smo dobili tačku c koja određuje koji se spaja sa tačkom A

ZADATAK 2Data je greda prema skici opterećena Odrediti reakciju u

osloncima ako je a = 1m

a) Analitički

b) Grafički

ZADATAK 3Data je greda prema skici Odrediti reakciju u osloncima

a) Analitički

b) Grafički

ZADATAK 4Za prikazanu gredu potrebno je odrediti reakciju u osloncima

a) Analitički

b) Grafički

ZADATAK 5Odrediti reakcije u osloncima za prikazani nosač

a) Analitički

b) Grafički

a) Analitički

b) Grafički

ZADATAK 7Odrediti reakciju u osloncima za prikazani nosač

F=3 KN L=1m

a) Analitički

b) Grafički

ZADATAK 8Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu konzolu

ZADATAK 9 Odrediti reakciju u osloncima za prikazanu gredu

a) Analitički

b) Grafički

Odrediti reakcije u osloncima za prikazane nosače

PRIMJER 4

Teg težine G=100 KN obješen je u tački A pomoću užeta AB i AC čiji pravci sa horizontalom zaklapaju uglove 30deg i 60deg Izračunati kolike su unutrašnje sile u tim užetima

F1 = MN middot UF = 2 cm middot = 60 KN

F2 = NK middot UF = 35 cm middot = 87 KN

OSNOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Sinus jednog ugla jeste odnos suprotne katete i hipotenuze

Kosinus jednog ugla je odnos nalegle katete tog ugla i hipotenuze

Tangens jednog ugla je odnos suprotne i nalegele katete tog ugla

0deg 30deg 45deg 60deg 90deg 120deg 135deg 150deg 180deg

sin 0 05 0707 0866 1 0866 0707 05 0

cos 1 0866 0707 05 0 -05 -0707 -0866 -1

tan 0 0577 1 1732 infin -1732 -1 -0577 0

PROJEKCIJA VEKTORA SILE

- Projekcije sile na X i Y ose

X = F middot cosαY = F middot sinα

X i Y ndash su skalarne veličine

PRIMJER 5 Izračunati projekcije X i Y sile F = 10 N čije napadna linija sa osom Ox zaklapa ugao α = 30deg

X = F middot cos 30deg = 10 middot 0866X = 866 N

Y = F middot sin 30deg = 10 middot 05Y = 5 N

PRIMJER 6 Izračunati veličinu i pravac rezultante sila F1 = 40N F2 = 20 N F3 = 10 N i F4 = 30 N čije napadne linije zaklapaju sa osom Ox uglove α1 = 0deg α2 = 30deg α3 = 90deg i α4 = 135deg

X1 = F1 middot cosα1 = F1 middot cos 0deg = 40 middot 1 = 40 NX2 = F2 middot cosα2= F2 middot cos 30deg = 20 middot 0866 = 174 NX3 = F3 middot cosα3 = F3 middot cos 90deg = 10 middot 0 = 0X4 = F4 middot cosα4 = F4 middot cos 135deg = 30 middot (-0707) = -213 NXR = X1 + X2 + X3 + X4 = 40 + 174 + 0 ndash 213 = 361 NY1 = F1 middot sinα1 = F1 middot sin 0deg = 40 middot 0 = 0Y2 = F2 middot sinα2 = F2 middot sin 30deg = 20 middot 05 = 10 NY3 = F3 middot sinα 3 = F3 middot sin 90deg = 10 middot 1 = 10 NY4 = F4 middot sinα 4 = F4 middot sin 135deg = 30 middot 0707 = 213 NYR = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 =0 + 10 + 10 + 213 = 413 N

PRIMJER 7 Izračunati unutrašnje sile F1 i F2 u užetima AB i AC oji sa horizontalom zaklapaju uglove α1 = 30deg i α2 = 60deg ako je u tački A obješen teret G=100 KN

- uslovi ravnoteže

F2 = F1 middot

G = 2F1 rArr F1 =

F2 = 50 middot

Napomena Ovaj je zadatak urađen na primjeru 4 grafičkom metodom i uporedite rezultate

F1 = 50 KN

F2 = 87 KN

ZADATAK 8O vertikalni glatki zid oslanjena je kugla o obješena o konac Ugao koji zatvara

konac sa zidom je α=30⁰ a težina kugle G=200N Odrediti silu u koncu i

pritisak kugle na zid

a) Grafički

N= BCUF=115 cm 115N

S= ACUF=23 cm 230N

N=115N S=230N

b)Analitički

N=S cos60⁰

S cos30⁰=G

S= 231N

N= 23105= 1155N

ZADATAK 9Lopta poluprečnika R=30 cm težina G=80N leži između dvije glatke kose ravni koje sa horizontalom zaklapaju uglove α1=30⁰ α2=60⁰ Kolike potiske FA i FB trpi lopta u tačkama A i B od strane kosih ravni

b)Analitički

39988N

ZADATAK 10Lopta poluprečnika R=10cm težine G=100N oslonja se na gladak zid i glatku poluloptu poluprečnika R1=30cm Kolike potiske FA i FB trpi lopta od zida i polulopte u tačkama A i B

b)Analitički

ZADATAK 11Kolika mora biti sila F paralelna sa kosom ravni da bi održala u ravnoteži tijela težine G=20 KN na kosoj glatkoj ravni čiji je nagibni ugao α=30⁰

Izrada

a) Grafički

b) Analitički

ZADATAK 12Pomoču konca se na glatkoj strmoj ravni održava kugla težine 200N Ako strma ravan zaklapa sa horizontalom ugao α=30⁰ kolika je sila u koncu i koliki je normalni otpor kose podloge

a) Grafički

b) Analitički

ZADATAK 13Dvije kugle težine 10KN oslanjaju se jedna na drugu na kosoj glatkoj ravni Ako se kugla 2 oslanja i na glatki vertikalni zid naći silu kojom taj zid djeluje na kuglu 2 u tački A

a)Grafički

Analitički

FB middot cos30deg - FN1 middot cos 60deg = 0

FB = FN1 middot

FB middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0

FN1 middot middot sin30deg + FN1 middot sin60deg - G1 =0

FN1 middot middot sin30deg + sin60deg) = G1

FB = FN1 middot = 8658 middot = 5 KN

FA - FB middot cos30deg - FN2 middot cos 60deg = 0FA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60deg

FN2 middot sin 60deg - FB middot sin30deg - G2 = 0FN2 middot sin 60deg = G2 + FB middot sin30

FN2 = =

FN2 = 14434 KNFA = FB middot cos30deg + FN2 middot cos 60degFA = 5 middot 0866 + 14434 middot 05FA = 433 + 7217FA = 11574 KN

SISTEM PROIZVOLJNIH SILA U RAVNIMoment sile ta tačkuMoment sile koja djeluje na neko tijelo s obzirom na tačku jest

proizvod vrijednosti sile i njezinog kraka a spuštenog okomito iz tačke O na liniju dejstva sile

Tačku O zovemo centrom momenta dok udaljenost a tačke O od linije sile zovemo krakom sile

Za moment kažemo da je negativan (ima predznak -) Kada nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u smjeru kazaljke na satu Ako moment nastoji zakrenuti tijelo oko tačke O u suprotnom smjeru od smjera kazaljke na satu onda za njega kažemo da je pozitivan ( ima predznak + )Moment sile je takođe vektorska veličina koja je određena intenzitetom pravcem smjerom i momentnom tačkom Jedinica momenta sile je 1Nm = 1N 1m∙Momentno pravilo

Moment neke sile ta ma koju tačku u ravni jednak je algebarskom zbiru

momenta njenih komponenti i za istu tačku u ravni (Varinjanova teorema)

VERIŽNI POLIGONPomoću Verižnog poligona određuje se položaj rezultante dvije ili više sila raznih pravaca i raznih napadnih tačaka koje djeluje u istoj ravniPomuću plana sila određuje se vrijednost ( intenzitet) pravac i smjer rezultante

OBJASNITI KONSTRUISANJE VERIŽNOG POLIGONA

Prvi grafički radNeka na ploču djeluje tri sile F1= F2= i F3= Potrebno je odrediti vrijednost pravac smjer i položaj rezultante tih silaGradički uraditi na dvolisnicu bez linija

ZADATAK 2Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA

1 Reakcije u osloncima

FA = 2 KN FB = 1 KN

2 Transverzalne sile

I POLJETxI = FA = 2 KNII POLJETxII = FA ndash F = 2 KN ndash 3 KN = -1 KN3 Momenti savijanja

I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 2 KN middot 1 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 2 KN middot 1 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) = 2 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 2 m = 6 KNm ndash 6 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja

Mfmax = 2 KNmZADATAK 3 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosač1 Reakcije u osloncima

FA = 1 KN FB = 2 KN

I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 3 KN = -2 KN

3 Momenti savijanja

I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 2m MxI = FA middot 2 m = 1 KN middot 2 m = 2KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 2 m) = 1 KN middot 2 m = 2KNmZa x = 3m MxII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 3 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 3 KNm = 0

4 Maksimalni moment savijanja

Mfmax = 2 KNm

ZADATAK 4 Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKA

FA = 1 KN FB = 1 KN

I POLJETxI = FA = 1 KNII POLJETxII = FA ndash F = 1 KN ndash 1 KN = 0III POLJETxIII = FA ndash F ndash F2 = 1 KN ndash 1 KN ndash 1 KN = - 1 KN3 Momenti savijanja

I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 1 KN middot 1 m = 1 KNmII POLJE MxII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = FA middot 1 m ndash F middot (1 m ndash 1 m) = 1 KN middot 1 m = 1 KNmZa x = 2m MxII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) = 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 2 m = 2 KNm ndash 1 KNm = 1 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) ndash F2 middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F middot (2 m ndash 1 m) ndash F2 middot (2 m ndash 2 m) = 1 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F middot (3 m ndash 1 m) ndash F2 middot (3 m ndash 2 m) = 1 KN middot 3 m ndash 1 KN middot 2 m ndash 1 KN middot 1 m = 3 KNm ndash 2 KNm ndash 1 KNm = 04 Maksimalni moment savijanja

Mfmax = 1 KNmZADATAK 5Konstruisati statičke dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KN

Mfmax = 2 KNmZADATAK 6Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKAFA = FB = 2 KNMfmax = 2 KNmZADATAK 7Konstruisati statički ispitane dijagrame za prikazani nosačSLIKA

FA = 0 FB = 4 KN2 Transverzalne sile

I POLJETxI = FA = 0II POLJETxII = FA ndash F1 = 0 ndash 2 KN = - 2 KNIII POLJETxIII = F ndash F1 + FB = 0 ndash 2 KN + 4 KN = 2 KN3 Momenti savijanja

I POLJE MxI = FA middot xZa x = 0 MxI = FA middot 0 = 0Za x = 1m MxI = FA middot 1 m = 0 middot 1 m = 0II POLJE MxII = FA middot x ndash F1 middot (x ndash 1 m)Za x = 1m MxII = 0 ndash F1 middot (1 m ndash 1 m) = 0Za x = 2m MxII = 0 ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) = - 2 KN middot 1 m = - 2 KNmIII POLJE MxIII = FA middot x ndash F middot (x ndash 1 m) + FB middot (x ndash 2 m)Za x = 2m MxIII = FA middot 2 m ndash F1 middot (2 m ndash 1 m) + FB middot (2 m ndash 2 m) = - 2 KNmZa x = 3m MxIII = FA middot 3 m ndash F1 middot (3 m ndash 1 m) + FB middot (3 m ndash 2 m) = 0 middot 3 m ndash 2 KN middot 2 m + 4 KN middot 1 m = 0 4 Maksimalni moment savijanja

Mfmax = - 2 KNm