Snezana Rimac Drlje - Potencijal

1

Osnove elektrotehnike IOsnove elektrotehnike I

Prof.dr.sc. Snježana Rimac-Drlje, dipl.inž.

rimac@etfos.hr

2

Što smo naučili prošli put?

• Gaussov zakon – Tok vektora E kroz zatvorenu plohu S jednak je

omjeru algebarske sume naboja obuhvaćenog tom plohom i dielektrične konstante ε

SploheunutarQzaQ

SdE ii

i

S 0ε

∑∫∫ =

rr

3

• Polje naelektrizirane vodljive kugle polumjera a

- za r < a vrijedi E=0

– za r ≥ a

024 επrQE

⋅=

• Jakost polja naelektriziranog pravca

02 επλ

⋅⋅⋅=

rE

λ [C/m] - linijska gustoća naboja

4

• Jakost polja naelektrizirane ravnine (homogeno)

02εσ

=E

σ [C/m2] – plošna gustoća naboja

• Jakost polja između dvije ravnine naelektrizirane s nabojem suprotna predznaka

0εσ

=E

5

Još o influenciji

- kada se uspostavi elektrostatska ravnoteža NEMA električnog polja u vodiču-NEMA ni tangencijalne komponente električnog polja na površini vodiča – silnice su uvijek okomite na površinu vodiča

6

Faradayev kavez – zaštita od vanjskog elektrostatskog polja

7

• Zaštita vanjskog prostora od elektrostatskog polja

8

ELEKTRIČNI POTENCIJAL, φ

• Električni potencijal je skalarna veličina koja opisuje električno polje.

• Potencijal se uvodi preko potencijalne energije nekog naboja u električnom polju E

9

• promatramo naboj Q u električnom polju E

A

B

Er

QQ

ldr

elF

10

• Pod djelovanjem električne sile naboj se giba od točke A prema točki B, pri čemu polje vrši rad

• Kako bismo promatrali promjenu isključivo potencijalne energije naboja Q, uvodimo mehaničku protusilu koja osigurava da nema promjene kinetičke energije naboja

22

22AQBQ

B

A

B

Aelel

vmvmdlEQdlFA −=== ∫∫

11

meheluk FFF +=

A

Bldr

mehFr

elF

Q E

12

• Ukupan rad dviju sila u slučaju kada nema promjene kinetičke energije jednak je 0.

• Zaključujemo da je rad sile električnog polja potrošen na savladavanje mehaničke sile.

• Rad električnog polja kod premještanja naboja iz točke A u točku B izvršen je na račun potencijalne energije naboja Q.

• Za premještanje naboja Q od točke B u točku A potrebno je utrošiti rad vanjske sile, čime se povećava potencijalna energija naboja Q.

0=+= ∫∫∫ dlFdlFdlFB

Ameh

B

Ael

B

Auk

dlFdlFB

Ameh

B

Ael ∫∫ =−

13

• Razlika potencijalnih energija u točki A i B

• Uobičajeno je i u suglasju sa tehničkom praksom da se promatra razlika potencijalnih energija, odnosno potencijalna energija promatrane točke u odnosu na referentnu.

• Neka je točka A referentna točka za koju vijedi da je potencijalna energija naboja u toj točki jednaka 0.

dlEQdlFW

dlFdlFWW

B

A

B

Aelp

B

Ameh

B

AelpApB

∫∫

∫∫

−=−=∆

=−=−

JWpA 0=

14

• Potencijalna energija točke B u odnosu na referentnu točku A

• Izraz pod integralom ne ovisi o naboju Q, te dijeljenjem energije WpB s Q dobijamo skalarnu veličinu koja se izvodi iz i u potpunosti opisuje električno polje – to je električni potencijal

dlEQW

dlEQW

B

ApB

B

ApB

∫

∫

−=

−=

E

15

dlE

dlEQ

W

B

AB

B

A

pB

∫

∫

−=

−=

ϕ

• φB je potencijal točke B u odnosu na referentnu točku A ( u kojoj je φB=0 V)

• Kada znamo potencijal neke točke možemo izračunati energiju naboja u toj točki

CpC QW ϕ⋅= '

16

NAPON – RAZLIKA POTENCIJALA

• Razliku potencijala između točke B i C nazivamo električni napon

• Napon ne ovisi o izboru referentne točke[ ]VU CBBC ϕϕ −=

dlEU

dlEdlEdlEU

dlEdlEU

B

CBC

C

A

B

C

C

ABC

C

A

B

ACBBC

∫

∫∫∫

∫∫

−=

+

+−=

−−−=−= )(ϕϕ

17

POTENCIJAL U POLJU TOČKASTOG NABOJA

∫ ⋅−=tockapromatrana

tockareferentnatockepromatrane ldE

rrϕ A - referentna točka

φA= 0 V

QQ+

A

B’rB’

E dl

Edl

rB = rB’

dl = -drrB B

∫ ∫∫ ∫∫ ⋅−⋅−=⋅−+⋅−=⋅−='

'

00'

'

90cos180cos)(B

A

B

B

B

A

B

B

B

AB dlEdlEldEldEldE

rrrrrrϕ

Kr

Qrr

Qdrr

QBAB

B

AB −=

−−−−=−= ∫ πεπεπε

ϕ4

)1(144 '

'

2

18

POTENCIJAL U POLJU TOČKASTOG NABOJA

Kr

Q

BB −=

πεϕ

4

• K – konstanta ovisna o izboru referentne točke

• Ako odredimo referentnu točku u beskonačnosti

BB r

Qπε

ϕ4

=04

==⇒∞=A

A rQKr

πε

19

POTENCIJAL U POLJU VIŠE TOČKASTIH NABOJA

• Električno polje više točkastih naboja je vektorska superpozicija polja pojedinih naboja

L

Lrrrrr

Lrrrr

+++=

−−−=++−=−= ∫ ∫∫∫321

2121 )(

BBBB

B

A

B

A

B

A

B

AukB ldEldEldEEldE

ϕϕϕϕ

ϕ

20

VEZA φ I E

• Ako poznajemo E u prostoru oko naboja možemo odrediti potencijal bilo koje točke u tom polju:

• Isto tako je iz poznatog potencijala u prostoru oko naboja moguće odrediti vektor jakosti električnog polja E.

∫ ⋅−=B

trefAB ldE

.) .(

rrϕ

21

VEZA φ I E

• Vrijedi: ∫∫ −=⋅⋅−=B

trefA

B

trefAB ddlE

.) .(.) .(

cos ϕαϕ

A

B

Edlα

dlEd αϕ cos−=

dldE ϕ

α −=cos

dldEl

ϕ−=

El je komponenta vektora E u smjeru dl.

22

VEZA φ I E

• Da bismo proračunali vektor E moramo poznavati komponente vektora u koordinatnom sustavu

• U pravokutnom koordinatnom sustavu iz poznatog φ(x,y,z) računamo komponente Ex, Ey i Ez

• Vektor E je jednak

zzyxE

yzyxE

xzyxE zyx ∂

∂−=

∂∂

−=∂

∂−=

),,(,),,(,),,( ϕϕϕ

kEjEiEE zyx ++=

23

VEZA φ I E

• Veza između vektora jakosti polja i skalarne veličine potencijala izražena je preko operatora nabla

• Vektor E je ujedno i promjena potencijala po jedinici duljine u smjeru u kojem je ta promjena najveća što se izražava gradijentom

kz

jy

ix ∂

⋅∂+

∂⋅∂

+∂

⋅∂=∇⋅

ϕ∇−=E

ϕgradE −=Predznak “–” označava smjer E u smjeru pada potencijala

24

POTENCIJAL NAELEKTRIZIRANE KUGLE

a

A (ref. točka)

+ +

+

++

++

+

++

+

+ +++

+ +

Q

B

CE=0

arr

QE ≥= ,4 2πε

P

25

POTENCIJAL NAELEKTRIZIRANE KUGLE

• Za sve točke izvan kugle vrijedi

• Za sve točke unutar kugle vrijedi

• Potencijal cijele kugle je jednak potencijalu njene površine

Kr

Qrr

Qdrr

Q

BAB

B

AB −=

−=−= ∫ πεπεπε

ϕ4

1144 2

Ka

Qrr

Qdrdrr

QAP

P

A

C

PC −=

−=

⋅+−= ∫ ∫ πεπεπε

ϕ4

114

04 2

26

Potencijal naelektrizirane kugle

27

EKVIPOTENCIJALNE PLOHE

• Ekvipotencijalnu plohu čine točke istog potencijala

• Vektor E je uvijek okomit na ekvipotencijalnu plohu – silnice i ekvipotencijalne plohe su međusobno okomite

ϕgradE −=• Izraz govori da je smjer vektora E suprotan smjeru rasta potencijala

dldE l

ϕ−=

lEl ∆

∆−=

ϕ• Ako izraz za bliske plohe

aproksimiramo sa vidimo da će za plohe za koje je uz isti ∆φ manji ∆l, komponenta El biti veća

28

Ekvipotencijalne plohe i silnice u polju točkastog naboja

29

Ekvipotencijalne plohe i polje dva točkasta naboja

30

Ekvipotencijalne plohe i polje dva točkasta naboja

31

Potencijal u polju između dvije ravnine

dxExE <<= 0 za )(

Potencijal bilo koje točke između dvije ravnine je:

x

xref

x

xref

xEdxEx ⋅−=⋅−= ∫)(ϕ

refxExEx ⋅+⋅−=)(ϕ

za xref = 0:xEx ⋅−=)(ϕ

za xref = d/2:2/)( dExEx ⋅+⋅−=ϕ

za xref = d:

x-x

ϕ(x)

0 dd/2

+ σ

x-x 0

− σ

d

dExEx ⋅+⋅−=)(ϕ

32

λ+

POTENCIJAL U POLJU NAELEKTRIZIRANOG PRAVCA

Brr dr

E

Ar

A

B

+Q

rE

πελ

2=

33

POTENCIJAL U POLJU NAELEKTRIZIRANOG PRAVCA

∫ ⋅−=B

trefAB ldE

.) .(

rrϕ

B

AA

BA

r

r

B

AA

rr

rrrrdr A

B

ln2

)ln(ln2

ln22 |

⋅=

−⋅=⋅=−= ∫

πελ

ϕ

πελ

πελ

πελ

ϕ

34

Ekvipotencijalne plohe i polje dva naelektrizirana vodiča

Kuzmanović 69. str.

35

Raspodjela naboja na tijelu proizvoljna oblika

d

0

0

ϕ10

ϕ20

)(4

1

)(4

1

2

10

2

20

020

1

20

1

10

010

adQ

aQ

adQ

aQ

−+=

−+=

πεϕ

πεϕ

36

Raspodjela naboja na tijelu proizvoljna oblika

ϕ1ϕ2

ϕ1= ϕ2

)(4

1

)(4

1

2

2

02

1

1

01

aQaQ

πεϕ

πεϕ

≅

≅

2

2

2

2

01

1

01

1

2

2

01

1

0

)(4

1)(4

1

)(4

1)(4

1

aa

aQ

aQ

aa

aQ

aQ

⋅=⋅

=

πεπε

πεπε

37

Raspodjela naboja na tijelu proizvoljna oblika

1

2

2

1

20

21

0

1

220

222

10

11

44

aa

aa

aaQ

aaQ

=

⋅=⋅

⋅=

⋅

σσ

εσ

εσ

πεπε

• Gustoća naboja je veća na kugli manjeg polumjera zakrivljenosti

• Jakost polja je veća na uz površinu kugle manjeg polumjera – na tijelu polje je najače uz šiljke

38

Proboj dielektrika na šiljku

(Di)električna čvrstoća – maksimalna jakost polja iznad koje dolazi do proboja dielektrika

39

40

Domaća zadaća

• Pročitati:– Kuzmanović 9. poglavlje (117. – 142. str.)