Regresión con datos de series de tiempo: Variables no ... · Regresión con datos de series de...

Regresión con datos de series de tiempo: Variables no estacionarias En estas notas se desarrollan los aspectos teóricos y prácticos del capítulo 12 de los libros de texto de R. Carter Hill, William E. Griffiths y Guay C. Lim (2012) Principles of Econometrics, 4a.ed. (POE4) y de Lee C. Adkins y R. Carter Hill (2012) Using Stata for Principles of Econometrics (USPOE4).

Variables estacionarias y no estacionarias Inspección visual use "C:\POE4\usa.dta", clear

generate date = q(1984q1) + _n-1

format date %tq

tsset date

tsline gdp, name(gdp, replace) ylabel(2000(2000)16000,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Real US

gross domestic product (GDP)", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_1.gph",replace)

tsline D.gdp, name(dgdp, replace) yline(0) ylabel(-300(100)300,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small))

title("Change in GDP", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_2.gph",replace)

graph combine gdp dgdp, saving("C:\POE4\g12_C1.gph",replace)

tsline inf, name(inf, replace) ylabel(0(2)14,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Inflation rate",

size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_3.gph",replace)

tsline D.inf, name(dinf, replace) yline(0) ylabel(-2(1)2,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small))

title("Change in the inflation rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_4.gph",replace)

graph combine inf dinf, saving("C:\POE4\g12_C2.gph",replace)

tsline f, name(f, replace) ylabel(0(2)12,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Federal funds rate",

size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_5.gph",replace)

tsline D.f, name(df, replace) yline(0) ylabel(-3(1)1,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Change

in the federal funds rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_6.gph",replace)

graph combine f df, saving("C:\POE4\g12_C3.gph",replace)

tsline b, name(b, replace) ylabel(0(2)14,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Three-year bond

rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_7.gph",replace)

tsline D.b, name(db, replace) yline(0) ylabel(-1.6(0.4)1.6,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small))

title("Change in the bond rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_8.gph",replace)

graph combine inf dinf, saving("C:\POE4\g12_C4.gph",replace)

graph combine gdp dgdp inf dinf, cols(2) saving("C:\POE4\g12_A1.gph",replace)

graph combine f df b db, cols(2) saving("C:\POE4\g12_all_A2.gph",replace)

Algunas series de tiempo de la economía norteamericana

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1

date

Real US gross domestic product (GDP)

-300

-200

-100

0

100

200

300

1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1

date

Change in GDP

0

2

4

6

8

10

12

14

1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1date

Inflation rate

-2

-1

0

1

2

1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1date

Change in the inflation rate

0

2

4

6

8

10

12

1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1

date

Federal funds rate

-3

-2

-1

0

1

1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1

date

Change in the federal funds rate

0

2

4

6

8

10

12

14

1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1date

Three-year bond rate

-1.6

-1.2

-.8

-.4

0

.4

.8

1.2

1.6

1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1date

Change in the bond rate

Estadística descriptiva

summarize gdp inf f b D.gdp D.inf D.f D.b if tin(1984q2,1996q4)

summarize gdp inf f b D.gdp D.inf D.f D.b if tin(1997q1,)

Propiedades de una serie estacionaria

𝐸(𝑦𝑡) = 𝜇 Media constante (12.1a)

𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡) = 𝜎2 Varianza constante (12.1b)

𝐶𝑜𝑣(𝑦𝑡 , 𝑦𝑡+𝑠) = 𝐶𝑜𝑣(𝑦𝑡 , 𝑦𝑡−𝑠) = 𝛾𝑠 Covarianza depende de 𝑠, no de 𝑡 (12.1c)

La exploración visual no es suficiente. Es necesaria una prueba formal de estacionariedad.

Modelo AR(1)

Es un modelo útil para explicar la diferencia entre una serie estacionaria y una serie no estacionaria

𝑦𝑡 = 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡, |𝜌| < 1 (12.2a)

El supuesto |𝜌| < 1 implica que 𝑦𝑡 es estacionaria.

El proceso AR(1) muestra que cada realización de la variable aleatoria 𝑦𝑡 contiene una proporción 𝜌 del valor del periodo

pasado más un error que sigue una distribución con media cero y varianza 𝜎𝑣2.

Ejemplos, con datos artificiales:

𝑦𝑡 = 0.7𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

clear

set obs 500

gen t=_n

tsset t

gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=0.7*L.y+rnormal(0,1) in X

tsline y, ylabel(-6(1)6) yline(0)

𝑦𝑡 = 1 + 0.7𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

clear

set obs 500

gen t=_n

tsset t

gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=1+0.7*L.y+rnormal(0,1) in X

tsline y, ylabel(-2(1)10) yline(0)

𝑦𝑡 = 1 + 0.01𝑡 + 0.7𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

clear

set obs 500

gen t=_n

tsset t

gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=1+0.01*t+0.7*L.y+rnormal(0,1) in X

tsline y, ylabel(0(4)24)

𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

clear

set obs 500

gen t=_n

tsset t

gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=L.y+rnormal(0,1) in X

tsline y, ylabel(-8(4)16) yline(0)

𝑦𝑡 = 0.1 + 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

clear

set obs 500

gen t=_n

tsset t

gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=0.1+L.y+rnormal(0,1) in X

tsline y, ylabel(0(10)60)

𝑦𝑡 = 0.1 + 0.01𝑡 + 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

clear

set obs 500

gen t=_n

tsset t

gen y=0 in 1

for num 2/500:replace y=0.1+0.01*t+L.y+rnormal(0,1) in X

tsline y, ylabel(0(200)1400)

-6-5

-4-3

-2-1

01

23

45

6y

0 100 200 300 400 500t

-2-1

01

23

45

67

89

10

y

0 100 200 300 400 500t

04

812

16

20

24

y

0 100 200 300 400 500t

-8-4

04

812

16

y

0 100 200 300 400 500t

010

20

30

40

50

60

y

0 100 200 300 400 500t

0

20

040

060

080

010

00

12

00

14

00

y

0 100 200 300 400 500t

En general AR(p) incluye los rezagos desde 𝑦𝑡 hasta 𝑦𝑡−𝑝.

en t=1

𝑦1 = 𝜌𝑦0 + 𝑣1

en t=2

𝑦2 = 𝜌𝑦1 + 𝑣2 = 𝜌(𝜌𝑦0 + 𝑣1) + 𝑣2 = 𝜌2𝑦0 + 𝜌𝑣1 + 𝑣2

en t=3

𝑦3 = 𝜌𝑦2 + 𝑣3 = 𝜌(𝜌2𝑦0 + 𝜌𝑣1 + 𝑣2) + 𝑣3 = 𝜌3𝑦0 + 𝜌2𝑣1 + 𝜌𝑣2 + 𝑣3

⋮

en t

𝑦𝑡 = 𝜌𝑡𝑦0 + 𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡

En cada término que contiene 𝜌 y 𝑣, el exponente de 𝜌 es 𝑡 − 𝑗 y el subíndice de 𝑣 es 𝑗. Así, por ejemplo, para el

último término de la expresión anterior el exponentes de 𝜌 es 𝑡 − 𝑗 = 0 y el subíndice de 𝑣 es 𝑗 = 𝑡. Reordenando

términos

𝑦𝑡 = 𝑣𝑡 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝜌2𝑣𝑡−2 + ⋯ + 𝜌𝑡−2𝑣2+𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡𝑦0

La media de 𝑦𝑡 es

𝐸(𝑦𝑡) = 𝐸(𝜌𝑡𝑦0 + 𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡)

𝐸(𝑦𝑡) = 𝐸(𝜌𝑡𝑦0) + 𝐸(𝜌𝑡−1𝑣1) + 𝐸(𝜌𝑡−2𝑣2) + ⋯ + 𝐸(𝜌2𝑣𝑡−2) + 𝐸(𝜌𝑣𝑡−1) + 𝐸(𝑣𝑡)

𝐸(𝑦𝑡) = 𝜌𝑡𝑦0 + 𝜌𝑡−1𝐸(𝑣1) + 𝜌𝑡−2𝐸(𝑣2) + ⋯ + 𝜌2𝐸(𝑣𝑡−2) + 𝜌𝐸(𝑣𝑡−1) + 𝐸(𝑣𝑡)

𝐸(𝑦𝑡) = 𝜌𝑡𝑦0

para 𝑡 grande y dado que |𝜌| < 1

lim𝑡→∞

𝐸(𝑦𝑡) = lim𝑡→∞

𝜌𝑡𝑦0 = 𝑦0 lim𝑡→∞

𝜌𝑡 = 0

Por lo tanto la media de 𝑦𝑡 es 𝐸[𝑦𝑡] = 0.

La varianza de 𝑦𝑡 es

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = 𝐸[𝑦𝑡 − 𝐸[𝑦𝑡]]2

= 𝐸[𝑦𝑡]2

es decir

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = 𝐸[𝜌𝑡𝑦0 + 𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡 − 𝐸(𝜌𝑡𝑦0 + 𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡)]2

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = 𝐸[𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡]2

Desarrollando el polinomio al cuadrado y considerando que el valor esperado de los términos cruzados en 𝑣 es cero a

partir del supuesto de no correlación entre las innovaciones, es decir 𝐶𝑂𝑉(𝑣𝑡 , 𝑣𝑡−𝑠) = 𝐸[(𝑣𝑗 − 𝐸[𝑣𝑗])(𝑣𝑘 − 𝐸[𝑣𝑘])] =

𝐸[𝑣𝑗𝑣𝑘] = 0 para todo 𝑗 ≠ 𝑘, se tiene

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = 𝐸[𝜌𝑡−1𝑣1]2 + 𝐸[𝜌𝑡−2𝑣2]2 + ⋯ + 𝐸[𝜌2𝑣𝑡−2]2 + 𝐸[𝜌𝑣𝑡−1]2 + 𝐸[𝑣𝑡]2

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = (𝜌2)𝑡−1𝐸[𝑣12] + (𝜌2)𝑡−2𝐸[𝑣2

2] + ⋯ + (𝜌2)2𝐸[𝑣𝑡−22 ] + (𝜌2)𝐸[𝑣𝑡−1

2 ] + 𝐸[𝑣𝑡2]

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = (𝜌2)𝑡−1𝑉𝐴𝑅[𝑣1] + (𝜌2)𝑡−2𝑉𝐴𝑅[𝑣2] + ⋯ + (𝜌2)2𝑉𝐴𝑅[𝑣𝑡−2] + (𝜌2)𝑉𝐴𝑅[𝑣𝑡−1] + 𝑉𝐴𝑅[𝑣𝑡]

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = (𝜌2)𝑡−1𝜎𝑣2 + (𝜌2)𝑡−2𝜎𝑣

2 + ⋯ + (𝜌2)2𝜎𝑣2 + (𝜌2)𝜎𝑣

2 + 𝜎𝑣2

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = 𝜎𝑣2[1 + 𝜌2 + (𝜌2)2 + ⋯ + (𝜌2)𝑡−2 + (𝜌2)𝑡−1]

para 𝑡 grande y dado que |𝜌| < 1

1 + 𝜌2 + (𝜌2)2 + ⋯ + (𝜌2)𝑡−2 + (𝜌2)𝑡−1 =1

1 − 𝜌2

Por lo tanto, la varianza de 𝑦𝑡 es

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = 𝜎𝑣2 1

1 − 𝜌2=

𝜎𝑣2

1 − 𝜌2

La covarianza entre dos errores 𝑒𝑡 y 𝑒𝑡−𝑠 que están distantes 𝑠 periodos es

𝛾𝑠 = 𝐶𝑂𝑉(𝑒𝑡, 𝑒𝑡−𝑠) = 𝐸[(𝑒𝑡 − 𝐸[𝑒𝑡])(𝑒𝑡−𝑠 − 𝐸[𝑒𝑡−𝑠])] = 𝐸[𝑒𝑡𝑒𝑡−𝑠]

Sustituyendo (9B.4) y el rezago de 𝑒 a 𝑠 periodos de (9B.4) se tiene

𝛾𝑠 = 𝐸[(𝑣𝑡+𝜌𝑣𝑡−1 + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌3𝑣𝑡−3 + ⋯ + 𝜌𝑠−1𝑣𝑡−(𝑠−1) + 𝜌𝑠𝑣𝑡−𝑠 + 𝜌𝑠+1𝑣𝑡−(𝑠+1) + 𝜌𝑠+2𝑣𝑡−(𝑠+2) + 𝜌𝑠+3𝑣𝑡−(𝑠+3)

+ ⋯ )(𝑣𝑡−𝑠+𝜌𝑣𝑡−(𝑠+1) + 𝜌2𝑣𝑡−(𝑠+2) + 𝜌3𝑣𝑡−(𝑠+3) + ⋯ )]

Los términos cruzados de 𝑣 originarán términos de covarianza entre 𝑣𝑡 y 𝑣𝑠 que serán cero, de acuerdo con el

supuesto 𝐶𝑂𝑉(𝑣𝑡, 𝑣𝑠) = 0 para 𝑡 ≠ 𝑠 hecho en (9.31). Así, el resultado anterior se simplifica a

= 𝐸[𝜌𝑠𝑣𝑡−𝑠2 + 𝜌𝑠+2𝑣𝑡−(𝑠+1)

2 + 𝜌𝑠+4𝑣𝑡−(𝑠+2)2 + ⋯ ]

= 𝐸[𝜌𝑠𝑣𝑡−𝑠2 ] + 𝐸[𝜌𝑠+2𝑣𝑡−(𝑠+1)

2 ] + 𝐸[𝜌𝑠+4𝑣𝑡−(𝑠+2)2 ] + ⋯

= 𝜌𝑠𝐸[𝑣𝑡−𝑠2 ] + 𝜌𝑠+2𝐸[𝑣𝑡−(𝑠+1)

2 ] + 𝜌𝑠+4𝐸[𝑣𝑡−(𝑠+2)2 ] + ⋯

= 𝜌𝑠𝜎𝑣2 + 𝜌𝑠+2𝜎𝑣

2 + 𝜌𝑠+4𝜎𝑣2 + ⋯ = 𝜌𝑠𝜎𝑣

2(1 + 𝜌2 + 𝜌4 + ⋯ )

𝐶𝑂𝑉(𝑒𝑡 , 𝑒𝑡−𝑠) = 𝜌𝑠𝜎𝑣2

1

1 − 𝜌2=

𝜌𝑠𝜎𝑣2

1 − 𝜌2

Así, el modelo AR(1) expresado en (12.2a) es un ejemplo clásico de un proceso estacionario con media cero.

Los datos del mundo real difícilmente tendrán media cero. Ahora se introduce el caso de una media 𝜇 distinta de cero,

reemplazando 𝑦𝑡 en (12.2a) por 𝑦𝑡 − 𝜇 como sigue

(𝑦𝑡 − 𝜇) = 𝜌(𝑦𝑡−1 − 𝜇) + 𝑣𝑡

despejando 𝑦𝑡

𝑦𝑡 = 𝜇(1 − 𝜌) + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

que puede expresarse como

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 , |𝜌| < 1 (12.2b)

siendo

𝛼 =𝜇

1 − 𝜌

Por recursividad se tiene

𝑦1 = 𝛼 + 𝜌𝑦0 + 𝑣1

𝑦2 = 𝛼 + 𝜌𝑦1 + 𝑣2 = 𝛼 + 𝜌(𝛼 + 𝜌𝑦0 + 𝑣1) + 𝑣2 = 𝛼(1 + 𝜌) + 𝜌2𝑦0 + 𝜌𝑣1 + 𝑣2

𝑦3 = 𝛼 + 𝜌𝑦2 + 𝑣3 = 𝛼 + 𝜌(𝛼 + 𝛼𝜌 + 𝜌2𝑦0 + 𝜌𝑣1 + 𝑣2) + 𝑣3 = 𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2) + 𝜌3𝑦0 + 𝜌2𝑣1 + 𝜌𝑣2 + 𝑣3

generalizando en 𝑡

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 = 𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ + 𝜌𝑡−1) + 𝜌𝑡𝑦0 + 𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡

Media

𝐸[𝑦𝑡] = 𝐸[𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ + 𝜌𝑡−1) + 𝜌𝑡𝑦0 + 𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡]

𝐸[𝑦𝑡] = 𝐸 [𝛼1

1 − 𝜌] + 𝐸[𝜌𝑡𝑦0] + 𝐸[𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡]

𝐸[𝑦𝑡] =𝛼

1 − 𝜌= 𝜇

Varianza

𝑉𝐴𝑅[𝑦𝑡] = 𝑉𝐴𝑅[𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ + 𝜌𝑡−1) + 𝜌𝑡𝑦0 + 𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡]

𝑉𝐴𝑅[𝑦𝑡] = 𝑉𝐴𝑅[𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡]

𝑉𝐴𝑅[𝑦𝑡] = 𝐸[𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡 − 𝐸[𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡]]2

𝑉𝐴𝑅[𝑦𝑡] = 𝐸[𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡]2

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = 𝐸[𝜌𝑡−1𝑣1]2 + 𝐸[𝜌𝑡−2𝑣2]2 + ⋯ + 𝐸[𝜌2𝑣𝑡−2]2 + 𝐸[𝜌𝑣𝑡−1]2 + 𝐸[𝑣𝑡]2

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = (𝜌2)𝑡−1𝐸[𝑣12] + (𝜌2)𝑡−2𝐸[𝑣2

2] + ⋯ + (𝜌2)2𝐸[𝑣𝑡−22 ] + (𝜌2)𝐸[𝑣𝑡−1

2 ] + 𝐸[𝑣𝑡2]

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = (𝜌2)𝑡−1𝑉𝐴𝑅[𝑣1] + (𝜌2)𝑡−2𝑉𝐴𝑅[𝑣2] + ⋯ + (𝜌2)2𝑉𝐴𝑅[𝑣𝑡−2] + (𝜌2)𝑉𝐴𝑅[𝑣𝑡−1] + 𝑉𝐴𝑅[𝑣𝑡]

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = (𝜌2)𝑡−1𝜎𝑣2 + (𝜌2)𝑡−2𝜎𝑣

2 + ⋯ + (𝜌2)2𝜎𝑣2 + (𝜌2)𝜎𝑣

2 + 𝜎𝑣2

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = 𝜎𝑣2[1 + 𝜌2 + (𝜌2)2 + ⋯ + (𝜌2)𝑡−2 + (𝜌2)𝑡−1]

para 𝑡 grande y dado que |𝜌| < 1

1 + 𝜌2 + (𝜌2)2 + ⋯ + (𝜌2)𝑡−2 + (𝜌2)𝑡−1 =1

1 − 𝜌2

Por lo tanto, la varianza de 𝑦𝑡 es

𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑡) = 𝜎𝑣2 1

1 − 𝜌2=

𝜎𝑣2

1 − 𝜌2

De acuerdo con lo anterior, se describe la variable desviada de la media 𝑦𝑡 − 𝜇, como estacionaria alrededor de cero, o

bien la variable 𝑦𝑡 como estacionaria alrededor de su valor medio 𝜇 =𝛼

1−𝜌.

Ejemplo: el proceso

𝑦𝑡 = 1 + 0.7𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

en el que

𝐸(𝑦𝑡) = 𝜇 =𝛼

1 − 𝜌=

1

1 − 0.7=

1

0.3=

10

3= 3.33

Otra extensión de (12.2a) es considerar un modelo AR(1) que fluctúe en torno a una tendencia lineal 𝜇 + 𝛿𝑡 . En este

caso, la serie sin tendencia en forma autorregresiva es

𝑦𝑡 − 𝜇 − 𝛿𝑡 = 𝜌(𝑦𝑡−1 − 𝜇 − 𝛿(𝑡 − 1)) + 𝑣𝑡 , |𝜌| < 1

desarrollando los términos, agrupando y despejando a 𝑦𝑡 se obtiene

𝑦𝑡 = 𝜇 + 𝛿𝑡 + 𝜌𝑦𝑡−1 − 𝜌𝜇 − 𝜌𝛿(𝑡 − 1) + 𝑣𝑡

𝑦𝑡 = 𝜇(1 − 𝜌) + 𝜌𝛿 + 𝛿𝑡 + 𝜌𝑦𝑡−1 − 𝜌𝛿𝑡 + 𝑣𝑡

𝑦𝑡 = 𝜇(1 − 𝜌) + 𝜌𝛿 + 𝛿(1 − 𝜌)𝑡 + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

que puede expresarse como

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝜆𝑡 + 𝑣𝑡 (12.2c)

donde

𝛼 = 𝜇(1 − 𝜌) + 𝜌𝛿

𝜆 = 𝛿(1 − 𝜌)

Por recursividad se tiene

𝑦1 = 𝛼 + 𝜌𝑦0 + 𝜆 + 𝑣1

𝑦2 = 𝛼 + 𝜌𝑦1 + 2𝜆 + 𝑣2 = 𝛼 + 𝜌(𝛼 + 𝜌𝑦0 + 𝜆 + 𝑣1) + 2𝜆 + 𝑣2 = 𝛼(1 + 𝜌) + 𝜌2𝑦0 + 𝜆(2 + 𝜌) + 𝜌𝑣1 + 𝑣2

𝑦3 = 𝛼 + 𝜌𝑦2 + 3𝜆 + 𝑣3 = 𝛼 + 𝜌[𝛼(1 + 𝜌) + 𝜌2𝑦0 + 𝜆(2 + 𝜌) + 𝜌𝑣1 + 𝑣2] + 3𝜆 + 𝑣3 = 𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2) + 𝜌3𝑦0 + 𝜆(3 + 2𝜌 + 𝜌2) + 𝜌2𝑣1 + 𝜌𝑣2 + 𝑣3

generalizando en 𝑡

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑡𝜆 + 𝑣𝑡

= 𝛼 + 𝜌[𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ ) + 𝜌𝑡−1𝑦0 + 𝜆{(𝑡 − 1) + (𝑡 − 2)𝜌 + ⋯ + 2𝜌𝑡−3 + 𝜌𝑡−2} + 𝜌𝑡−2𝑣1 + 𝜌𝑡−3𝑣2 + 𝜌𝑡−4𝑣3 + ⋯ + 𝜌𝑣𝑡−2 + 𝑣𝑡−1] + 𝑡𝜆 + 𝑣𝑡

= 𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ ) + 𝜌𝑡𝑦0 + 𝜆{𝑡 + (𝑡 − 1)𝜌 + (𝑡 − 2)𝜌2 + ⋯ + 3𝜌𝑡−3 + 2𝜌𝑡−2 + 𝜌𝑡−1} + 𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + 𝜌𝑡−3𝑣3 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡

Media

𝐸[𝑦𝑡] = 𝐸[𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ ) + 𝜌𝑡𝑦0 + 𝜆{𝑡 + (𝑡 − 1)𝜌 + (𝑡 − 2)𝜌2 + ⋯ + 3𝜌𝑡−3 + 2𝜌𝑡−2 + 𝜌𝑡−1} + 𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + 𝜌𝑡−3𝑣3 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡]

𝐸[𝑦𝑡] = 𝛼𝐸[1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ ] + 𝐸[𝜌𝑡𝑦0] + 𝜆𝐸[𝑡 + (𝑡 − 1)𝜌 + (𝑡 − 2)𝜌2 + ⋯ + 3𝜌𝑡−3 + 2𝜌𝑡−2 + 𝜌𝑡−1] + 𝐸[𝜌𝑡−1𝑣1 + 𝜌𝑡−2𝑣2 + 𝜌𝑡−3𝑣3 + ⋯ + 𝜌2𝑣𝑡−2 + 𝜌𝑣𝑡−1 + 𝑣𝑡]

𝐸[𝑦𝑡] = 𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ ) + 𝜆{𝑡 + (𝑡 − 1)𝜌 + (𝑡 − 2)𝜌2 + ⋯ + 3𝜌𝑡−3 + 2𝜌𝑡−2 + 𝜌𝑡−1} + 𝜌𝑡−1𝐸[𝑣1] + 𝜌𝑡−2𝐸[𝑣2] + 𝜌𝑡−3𝐸[𝑣3] + ⋯ + 𝜌2𝐸[𝑣𝑡−2] + 𝜌𝐸[𝑣𝑡−1] + 𝐸[𝑣𝑡]

𝐸[𝑦𝑡] = 𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ ) + 𝜆{𝑡(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ ) − (𝜌 + 2𝜌2 + 3𝜌3 + ⋯ + 3𝜌𝑡−3 + 2𝜌𝑡−2 + 𝜌𝑡−1)}

𝐸[𝑦𝑡] = 𝛼(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ ) + 𝜆𝑡(1 + 𝜌 + 𝜌2 + ⋯ ) − 𝜆𝜌(1 + 2𝜌 + 3𝜌2 + 4𝜌3 + ⋯ + 3𝜌𝑡−4 + 2𝜌𝑡−3 + 𝜌𝑡−2)

𝐸[𝑦𝑡] = 𝛼1

1 − 𝜌+ 𝜆𝑡

1

1 − 𝜌− 𝜆𝜌

1

(1 − 𝜌)2=

𝛼

1 − 𝜌−

𝜌𝜆

(1 − 𝜌)2+

𝜆

1 − 𝜌𝑡

haciendo

𝛿 =𝜆

1 − 𝜌

𝜇 =𝛼

1 − 𝜌−

𝜌

(1 − 𝜌)

𝜆

(1 − 𝜌)=

𝛼

1 − 𝜌−

𝜌𝛿

1 − 𝜌=

𝛼 − 𝜌𝛿

1 − 𝜌

se obtiene

𝐸[𝑦𝑡] =𝛼 − 𝜌𝛿

1 − 𝜌+

𝜆

1 − 𝜌𝑡 = 𝜇 + 𝛿𝑡

Varianza

Se deja como ejercicio desarrollar 𝑉𝐴𝑅[𝑦𝑡] para obtener un punto adicional en la evaluación final.

Un ejemplo de este tipo de series es el proceso

𝑦𝑡 = 1 + 0.01𝑡 + 0.7𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

en el que

𝜆 = 𝛿(1 − 𝜌) = 0.01(1 − 0.7) = 0.003

𝜇 =𝛼 − 𝜌𝛿

1 − 𝜌=

1 − 0.7 ∗ 0.01

1 − 0.7= 3.31

Modelos de caminata aleatoria

Considerando el caso especial de 𝜌 = 1 en el modelo AR(1) de la expresión (12.2a)

𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 (12.3a)

La solución por recursividad

en t=1

𝑦1 = 𝑦0 + 𝑣1

en t=2

𝑦2 = 𝑦1 + 𝑣2 = (𝑦0 + 𝑣1) + 𝑣2 = 𝑦0 + ∑ 𝑣𝑠2𝑠=1

⋮

generalizando en t

𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 = 𝑦0 + ∑ 𝑣𝑠𝑡𝑠=1

Media

𝐸[𝑦𝑡] = 𝑦0 + 𝐸[𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑡] = 𝑦0 + 𝐸[𝑣1] + 𝐸[𝑣2] + ⋯ + 𝐸[𝑣𝑡] = 𝑦0

Varianza

𝑉𝐴𝑅[𝑦𝑡] = 𝑉𝐴𝑅[𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑡] = 𝐸[𝑣12] + 𝐸[𝑣2

2] + ⋯ + 𝐸[𝑣𝑡2] = 𝑡𝜎𝑣

2

La media es constante y la varianza no es constante, por lo que la serie de caminata aleatoria es no estacionaria.

Un ejemplo de este tipo de caminata aleatoria es el proceso

𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

en el que 𝜌 = 1 y no hay tendencia determinística.

En la descomposición de 𝑦𝑡 = 𝑦0 + ∑ 𝑣𝑠𝑡𝑠=1 , el término ∑ 𝑣𝑠

𝑡𝑠=1 es denominado tendencia estocástica.

Caminata aleatoria con drift o deriva

Considerando el caso especial de 𝜌 = 1 en el modelo AR(1) de la expresión (12.2a) con un intercepto 𝛼

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 (12.3b)

La solución por recursividad

en t=1

𝑦1 = 𝛼 + 𝑦0 + 𝑣1

en t=2

𝑦2 = 𝛼 + 𝑦1 + 𝑣2 = 𝛼 + (𝛼 + 𝑦0 + 𝑣1) + 𝑣2 = 2𝛼 + 𝑦0 + ∑ 𝑣𝑠2𝑠=1

⋮

generalizando en t

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 = 𝑡𝛼 + 𝑦0 + ∑ 𝑣𝑠𝑡𝑠=1

Media

𝐸[𝑦𝑡] = 𝐸[𝛼𝑡 + 𝑦0 + ∑ 𝑣𝑠𝑡𝑠=1 ] = 𝛼𝑡 + 𝑦0 + 𝐸[∑ 𝑣𝑠

𝑡𝑠=1 ] = 𝛼𝑡 + 𝑦0 + ∑ 𝐸[𝑣𝑠]𝑡

𝑠=1 = 𝛼𝑡 + 𝑦𝑜

Varianza

𝑉𝐴𝑅[𝑦𝑡] = 𝑉𝐴𝑅[𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 + ⋯ + 𝑣𝑡] = 𝐸[𝑣12] + 𝐸[𝑣2

2] + ⋯ + 𝐸[𝑣𝑡2] = 𝑡𝜎𝑣

2

La media y la varianza no son constantes, dependen de 𝑡, por lo que la serie de caminata aleatoria con drift es no

estacionaria.

Un ejemplo de este tipo de caminata aleatoria es el proceso 𝑦𝑡 = 0.1 + 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 .

Caminata aleatoria con drift y tendencia

Considerando el caso especial de 𝜌 = 1 en el modelo AR(1) de la expresión (12.2a) con un intercepto 𝛼 y tendencia 𝑡

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛿𝑡 + 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 (12.3c)

La solución por recursividad

en t=1

𝑦1 = 𝛼 + 𝛿 + 𝑦0 + 𝑣1

en t=2

𝑦2 = 𝛼 + 𝛿2 + 𝑦1 + 𝑣2 = 𝛼 + 2𝛿 + (𝛼 + 𝛿 + 𝑦0 + 𝑣1) + 𝑣2 = 2𝛼 + 3𝛿 + 𝑦0 + ∑ 𝑣𝑠

2

𝑠=1

⋮

generalizando en t

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛿𝑡 + 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 = 𝑡𝛼 + (𝑡(𝑡+1)

2) 𝛿 + 𝑦0 + ∑ 𝑣𝑠

𝑡𝑠=1

En el resultado anterior se toma en cuenta el resultado aplicable a la progresión geométrica

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑡 =𝑡(𝑡 + 1)

2

Se deja como ejercicio desarrollar 𝐸[𝑦𝑡] y 𝑉𝐴𝑅[𝑦𝑡] para obtener dos puntos adicionales en la evaluación final.

Es claro que para este proceso que la media y la varianza no son constantes, dependen de 𝑡, por lo que el proceso de

caminata aleatoria con drift 𝛼 y tendencia 𝑡 es no estacionaria.

Regresiones espurias

Detectar si una serie de tiempo 𝑦𝑡 es estacionaria o no, antes de realizar el análisis econométrico es importante para no

incurrir en el riesgo de obtener resultados aparentemente significativos a partir de datos no relacionados al emplear

series no estacionarias. Estas regresiones son espurias.

Para ilustrar este problema consideremos dos series independientes de caminata aleatoria

𝑟𝑤1: 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝑣1𝑡

𝑟𝑤2: 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 + 𝑣2𝑡

donde 𝑣1𝑡 y 𝑣2𝑡 son errores independientes 𝑁(0,1). Las series se generan independientemente, de manera que una no

tiene relación con la otra.

A continuación, un caso ilustrativo

use "C:\poe4\spurious.dta", clear

gen time = _n

tsset time

regress rw1 rw2

estat bgodfrey

tsline rw1 rw2, name(g1, replace)

scatter rw1 rw2, name(g2, replace)

𝑟𝑤1�̂� = 17.818 + 0.842𝑟𝑤2𝑡, 𝑅2 = 0.70 (𝑡 = 40.837)

020

40

60

RW

pro

ce

ss

0 200 400 600 800time

RW process RW process

020

40

60

RW

pro

ce

ss

0 20 40 60RW process

Cuando se estima un modelo de regresión con series de tiempo no estacionarias, los resultados pueden indicar

espuriamente una relación significativa, cuando ésta no existe. Típicamente, los residuales de estas regresiones se

muestran altamente correlacionados. En estos casos, los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios no cumplen con

las propiedades usuales y los estadísticos 𝑡 no son confiables. En virtud de este problema latente, ¿cómo probar

estacionariedad en una serie de tiempo? y ¿cómo manejar el análisis de regresión con datos no estacionarios?

Pruebas Dickey-Fuller de raíces unitarias para estacionariedad

La manera formal de probar estacionariedad es examinando el valor de 𝜌 en el modelo AR(1).

Casos

1. Proceso AR(1) sin constante y sin tendencia

A partir de

𝑦𝑡 = 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 (12.4)

donde 𝑣𝑡 es independiente con media cero y varianza constante 𝜎𝑣2.

Restando 𝑦𝑡−1 en ambos lados de la igualdad

𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1 = 𝜌𝑦𝑡−1 − 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

se obtiene la ecuación de prueba

∆𝑦𝑡 = (𝜌 − 1)𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

o equivalentemente

∆𝑦𝑡 = 𝛾𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 (12.5a)

donde 𝛾 = 𝜌 − 1 y ∆𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1.

El contraste de hipótesis es 𝐻𝑜 ∶ 𝜌 = 1 para no estacionariedad contra 𝐻𝑎 ∶ |𝜌| < 1 para estacionariedad. Entonces, la

hipótesis puede plantearse en términos de 𝜌 o de 𝛾 :

𝐻0 ∶ 𝜌 = 1 ⟺ 𝐻0 ∶ 𝛾 = 0

𝐻1 ∶ 𝜌 < 1 ⟺ 𝐻1 ∶ 𝛾 < 0

Si no se rechaza 𝐻0 la serie corresponde a un proceso no estacionario, 𝛾 = 0, es decir 𝜌 − 1 = 0, que equivale a 𝜌 = 1.

Si se rechaza 𝐻0 la serie corresponde a un proceso estacionario.

2. Proceso AR(1) con constante y sin tendencia

A partir de

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

donde 𝑣𝑡 es independiente con media cero y varianza constante 𝜎𝑣2.

Restando 𝑦𝑡−1 en ambos lados de la igualdad

𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 − 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

se obtiene la ecuación de prueba

∆𝑦𝑡 = 𝛼 + (𝜌 − 1)𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

o equivalentemente

∆𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛾𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 (12.5b)

donde 𝛾 = 𝜌 − 1 y ∆𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1.

El contraste de hipótesis es 𝐻𝑜 ∶ 𝜌 = 1 para no estacionariedad contra 𝐻𝑎 ∶ |𝜌| < 1 para estacionariedad. Entonces, la

hipótesis puede plantearse en términos de 𝜌 o de 𝛾 :

𝐻0 ∶ 𝜌 = 1 ⟺ 𝐻0 ∶ 𝛾 = 0

𝐻1 ∶ 𝜌 < 1 ⟺ 𝐻1 ∶ 𝛾 < 0

Si no se rechaza 𝐻0 la serie corresponde a un proceso no estacionario, 𝛾 = 0, es decir 𝜌 − 1 = 0, que equivale a 𝜌 = 1.

Si se rechaza 𝐻0 la serie corresponde a un proceso estacionario.

3. Proceso AR(1) con constante y con tendencia

A partir de

𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 + λt + 𝑣𝑡

donde 𝑣𝑡 es independiente con media cero y varianza constante 𝜎𝑣2.

Restando 𝑦𝑡−1 en ambos lados de la igualdad

𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 − 𝑦𝑡−1 + λt + 𝑣𝑡

se obtiene la ecuación de prueba

∆𝑦𝑡 = 𝛼 + (𝜌 − 1)𝑦𝑡−1 + λt + 𝑣𝑡

o equivalentemente

∆𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛾𝑦𝑡−1 + λt + 𝑣𝑡 (12.5c)

donde 𝛾 = 𝜌 − 1 y ∆𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1.

El contraste de hipótesis es 𝐻𝑜 ∶ 𝜌 = 1 para no estacionariedad contra 𝐻𝑎 ∶ |𝜌| < 1 para estacionariedad. Entonces, la

hipótesis puede plantearse en términos de 𝜌 o de 𝛾 :

𝐻0 ∶ 𝜌 = 1 ⟺ 𝐻0 ∶ 𝛾 = 0

𝐻𝑎 ∶ 𝜌 < 1 ⟺ 𝐻𝑎 ∶ 𝛾 < 0

Si no se rechaza 𝐻0 la serie corresponde a un proceso no estacionario, 𝛾 = 0, es decir 𝜌 − 1 = 0, que equivale a 𝜌 = 1.

Si se rechaza 𝐻0 la serie corresponde a un proceso estacionario.

Los valores críticos de la prueba Dickey-Fuller

El estadístico calculado para la prueba Dickey-Fuller es denominado estadístico 𝜏 y su valor debe ser comparado con el

correspondiente valor crítico 𝜏𝑐 a un nivel de significancia dado. La regla de decisión: si 𝜏 ≤ 𝜏𝑐 se rechaza la hipótesis

nula de no estacionariedad. Si 𝜏 > 𝜏𝑐 no se rechaza la hipótesis nula.

Si el término de error está autocorrelacionado, se tiene la ecuación con intercepto extendida en un número suficiente

de términos de rezago que capturan la dinámica completa del proceso. Dicha ecuación es

∆𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛾𝑦𝑡−1 + ∑ 𝑎𝑠∆𝑦𝑡−𝑠 + 𝑣𝑡𝑚𝑠=1 (12.6)

donde ∆𝑦𝑡−1 = 𝑦𝑡−1 − 𝑦𝑡−2, ∆𝑦𝑡−2 = 𝑦𝑡−2 − 𝑦𝑡−3, … Se agregarán tantos términos de rezago de la primera diferencia

como sean necesarios que aseguren que los residuales no estén correlacionados. También se puede considerar incluir

rezagos de la variable dependiente. El número de rezagos necesario puede determinarse examinando la función de

autocorrelación (ACF) de los residuales 𝑣𝑡 o la significancia de los coeficientes estimados de los rezagos de primera

diferencia 𝑎𝑠. Con base en (12.6) las pruebas de raíces unitarias y sus variantes (sin intercepto o con tendencia) son

conocidas como pruebas Dickey-Fuller aumentadas.

En la práctica se utilizan las pruebas Dickey-Fuller aumentadas (en lugar de la versión no aumentada) para asegurar que

los errores son no correlacionados. En todo caso son empleados los valores críticos de la siguiente tabla presentada en

el texto de R. Carter Hill, William E. Griffiths y Guay C. Lim (2012)

Procedimientos para la prueba Dickey-Fuller

Los valores críticos de las pruebas Dickey-Fuller se derivan de las siguientes simulaciones

Proceso verdadero Ecuación de prueba

𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 𝑣𝑡~𝑁(0, 𝜎2) 𝑦𝑡 = 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 𝑣𝑡~𝑁(0, 𝜎2) 𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡

𝑦𝑡 = 𝛿 + 𝑦𝑡−1 + 𝑣𝑡 𝑣𝑡~𝑁(0, 𝜎2) 𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜌𝑦𝑡−1 + 𝜆𝑡 + 𝑣𝑡

Primero, elaborar la gráfica de la serie de tiempo de la variable y seleccionar la prueba Dickey-Fuller adecuada con base

en una inspección visual de la gráfica.

i) Si la serie fluctúa en torno a una media muestral de cero, emplear la prueba para el modelo sin constante y

sin tendencia.

ii) Si la serie fluctúa en torno a una media muestral diferente de cero, emplear la prueba para el modelo con

constante y sin tendencia.

iii) Si la serie fluctúa en torno a una tendencia lineal, emplear la prueba para el modelo con constante y con

tendencia.

Segundo, proceder con una de las prueba de raíz unitaria tomando en cuenta que es importante la elección correcta de

los valores críticos de acuerdo con la ecuación de prueba estimada, la cual, depende de la ausencia o presencia de los

términos constante y de tendencia.

Las pruebas Dickey-Fuller: ejemplo

Considere dos series de tiempo de tasas de interés: la tasa de rendimiento de fondos federales 𝐹𝑡 y la tasa de

rendimiento de un bono a tres años 𝐵𝑡. En las gráficas respectivas de primeras diferencias se observa una media distinta

de cero, por lo que se realizará la prueba con la ecuación con constante y sin tendencia. El modelo (12.6) con los rezagos

requeridos de acuerdo a su significancia es

para 𝐹𝑡

∆𝐹𝑡 = 𝛼 + 𝛾𝐹𝑡−1 + ∑ 𝑎𝑠∆𝐹𝑡−𝑠 + 𝑣𝑡

𝑚

𝑠=1

para 𝐵𝑡

∆𝐵𝑡 = 𝛼 + 𝛾𝐵𝑡−1 + ∑ 𝑎𝑠∆𝐵𝑡−𝑠 + 𝑣𝑡

𝑚

𝑠=1

En Stata

use "C:\poe4\usa.dta", clear

gen date = q(1984q1) + _n - 1

format %tq date

tsset date

* Augmented Dickey Fuller Regressions with built in functions

dfuller f, regress lags(1)

dfuller b, regress lags(1)

∆𝐹�̂� = 0.173 − 0.045𝐹𝑡−1 + 0.561∆𝐹𝑡−1

(𝑡𝑎𝑢) (−2.505)

∆𝐵�̂� = 0.237 − 0.056𝐵𝑡−1 + 0.290∆𝐵𝑡−1

(𝑡𝑎𝑢) (−2.703)