APUNTES DE ECONOMETRIA (MODELO DE REGRESIÓN CON DOS VARIABLES)

8/17/2019 APUNTES DE ECONOMETRIA (MODELO DE REGRESIÓN CON DOS VARIABLES)

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I. EL MODELO DE REGRESIÓN CON DOS VARIABLES

1.- Introducción

En este programa se interpreta que el objetivo de la econometría es la medición de

teorías económicas. Desde este punto de vista la econometría constituye un

complemento de la economía cualitativa establecida deductivamente y trataría de dotar

a ésta de contenido empírico.

Muchas leyes económicas son simples, siendo en general la sencillez un

requisito deseable en cualquier ley cientíica. !or ejemplo "tema #, epígrae #.$%, la leyde la demanda relaciona la cantidad demandada con su precio, es decir es una ley que

implica &nicamente dos variables, cantidad y, y precio x, de manera que respondería a la

orma y = f " x%, siendo misión de la econometría especiicar la orma de dicha unción y

encontrar los valores de los par'metros implicados. (i nos decidimos por una unción

lineal, tendríamos,

y ) a + bx

siendo a y b los par'metros a estimar.

*na relación como Y t = α + β X t es una descripción inadecuada de la realidad. Es

decir no cabe esperar una relación lineal perecta entre las variables X e Y , por lo que en

el modelo anterior introducimos una variable aleatoria vt ,

Y t = α + β X t + vt "#%

Ello implica una modiicación sustancial de la naturaleza del modelo debido a

que con la consideración de vt se ha introducido e+plícitamente la probabilidad en el

mismo. !or tanto mientras que Y t = α + β X t era determinista, el modelo "#% es de

naturaleza probabilística.

a justiicación para incluir la perturbación aleatoria en "#% suele hacerse en

virtud de diversas circunstancias. En primer lugar suele citarse las variables omitidas, es

decir aunque suponemos que la variable m's importante en la determinación de Y es X


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hay muchas otras variables que ejercen inluencia sobre Y aunque ésta pueda ser menor.

!or ejemplo, en el caso de la teoría de la demanda, aunque se considera que el precio es

la principal variable e+plicativa, también la renta, los gustos de los consumidores o los

precios de los bienes sustitutivos deberían tomarse en consideración. En el modelo "#%

se considera que la inluencia de todas estas variables es recogida por v. -tra uente de

error proviene de que las variables económicas no suelen estar medidas con e+actitud.

!or otra parte la orma uncional "lineal% considerada, puede no ser la m's adecuada,

etc.

a inclusión de vt en el modelo convierte a Y t en una variable aleatoria al ser la

suma de X t que se considera ija, y vt que es estoc'stica. !or tanto la relación anterior es

ahora una relación estocástica. unque no podemos predecir los valores individuales de

las vt si podemos hacer proposiciones sobre las características b'sicas de su distribución

de probabilidad/

a) Es!ran"a nu#a, el eecto conjunto sobre Y de v es nulo. Matem'ticamente,

E0v1 ) 2

$) Varian"a constant!, se postula asimismo que no son de esperar varianzas

mayores "o menores% a medida que X crezca, de manera que,

cte%var" 3

==v

v σ

cuando se cumple esta hipótesis decimos que los residuos son homocedásticos y en

caso contrario que son heterocedásticos o que hay heterocedasticidad .

c) No autocorr!#ación, signiica que los valores de v se distribuyen

independientemente, es decir no hay ninguna relación entre ellos. En términos

matem'ticos diremos que la covarianza entre valores sucesivos "separados por u

intervalos, siendo u distinto de cero%, es nula,

4ov "vt , vt-u% ) E0vt -E"vt %10 vt-u-E"vt-u%1) E"vt vt-u% ) 2, para u ≠ 0


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d) Nor%a#idad, aunque las propiedades de los estimadores no resultarían aectadas

por el incumplimiento de esta hipótesis, es necesaria para poder eectuar

inerencias y pruebas estadísticas sobre los par'metros y el modelo de regresión.

dem's de estas cuatro hipótesis, en la ormulación del modelo probabilístico

admitimos también que las X eran ijas o no estoc'sticas, lo que implica lógicamente

que éstas son independientes del término de error, es decir/

cov " X t ,vt ) ) E0 X t vt 1 ) X t E"vt % ) 2

5inalmente, suponemos que la relación entre X e Y es lineal. (obre estas seis

hipótesis se construye el modelo probabilístico de regresión. !ara cada valor concreto

de X podemos observar dierentes valores de Y . os dierentes valores de Y para cada

valor ijo de X , seguir'n una distribución normal cuya media ser' precisamente el valor

teórico dado por la ecuación de regresión, que es el valor m's probable. a situación se

ilustra en la igura #,

&i'ura 1 Modelo probabilístico de regresión con dos variables


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(.- C#cu#o d! #os !sti%ador!s

os par'metros del modelo "#% son desconocidos. (u c'lculo se realiza en base al

criterio de minimizar la suma cuadr'tica de las discrepancias d , siendo éstas las

dierencias entre los valores observados de la variable dependiente o endógena Y , y los

valores teóricos obtenidos con la ecuación de regresión una vez que conocemos los

estimadores de α y β . Este criterio deine el método de los mínimos cuadrados

ordinarios "M4-%.

En resumen se trata de minimizar ∑=

N

t

t d #

3

siendo las discrepancias,

t t t t t bX aY Y Y d −−=−= 6 "3%

donde a y b son los estimadores de α yβ . !or tanto, aplicando las condiciones demínimo a la unción,

3 3

#

" % N

t t t

t

Y a bX d =

= − − =

∑ ∑"7%

donde a y b son las variables, se tiene,

( )

( )

3 2

3 2

t t

t t t

Y a bX

a

Y a bX X

b

∂= − − − =

∂

∂= − − − =

∂

∑

∑"8%

9ras algunas operaciones elementales, llegamos a,

3

":.#%

":.3%

t t

t t t t

Y na b X

Y X a X b X

= +

= +

∑ ∑

∑ ∑ ∑


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que constituye el sistema de ecuaciones norma!es a partir del cual podríamos estimar

los valores de los par'metros α y β .

(i multiplicamos la primera ecuación por t X ∑ y la segunda por n, tenemos,

( ) 3

3

t t t

t t t t

X Y na X b X

n Y X na X nb X

= +

= +

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

y si de la segunda restamos la primera,

( ) 33

t t t t t t n X Y Y X nb X b X − = −∑ ∑ ∑ ∑

y despejando b,

( ) 33

t t t t

t t

n X Y X Y b

n X X

−=

−∑ ∑ ∑∑ ∑

";%

dividiendo numerador y denominador por n3 se tiene inalmente,

3 3

3

t t

xy

t x

X Y XY snb

X s X

n

−= =

−

∑

∑ "$%

que permite calcular la pendiente en unción de las varianzas y covarianzas. 4onocido el

valor de b podemos utilizar la ecuación ":.#% para calcular a.

*.- Bondad d!# a+ust!


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atribuirse a la variable e+ógena X , y qué parte a la perturbación. *na buena ecuación de

regresión, o lo que es lo mismo, una ecuación que ayude a e+plicar una elevada

proporción de la variación de Y t , ser' aquella en la que la mayor parte de dicha variación

pueda ser atribuida a X .

!ara conocer la importancia cuantitativa de X a la hora de e+plicar las

variaciones de Y , descompondremos la variación de Y en dos partes, una atribuible a X a

la que llamaremos variación e+plicada, y otra a la perturbación aleatoria, o variación

residual o ine+plicada. =ntuitivamente es claro que cuanto menor sea la segunda mayor

ser' la capacidad e+plicativa de nuestro modelo.

a variación de Y puede representarse por la suma,

( ) 3

t "#$ Y Y = −∑

a e+presión anterior puede escribirse como,

( ) ( ) ( ) 33 6 6

t t t t "#$ Y Y Y Y Y Y = − = − + − ∑ ∑ )

) 3 36 6 6 6" % " % 3 " %" %t t t t t Y Y Y Y Y Y Y Y − + − + − −∑ ∑ ∑ pero, puesto que el &ltimo término del segundo miembro es nulo#, tenemos/

3 3 36 6" % " % " %

" % " % " %

t t t t Y Y Y Y Y Y

"#$ "#% "#&

− = − + −

= +∑ ∑ ∑

"$b%

de manera que la suma total de cuadrados "(49% se e+presa como la suma de cuadrados

e+plicada "(4E% m's la suma de cuadrados residual o no e+plicada "(4>%. El primero

de estos sumandos es el que mide la contribución de la variación de X a la variación

total. Dividiendo por (49 a ambos lados se tiene/

# "#% "#&

"#$ "#$ = +

El cociente "#%'"#$ es el denominado coeficiente de determinación. (e

representa por &3 y se utiliza en econometría para medir la bondad del ajuste,

# 6 6 6 6" %" % " % ?2 2t t t t t t t t t t t Y Y Y Y Y Y d Y d Y d d X d Y α β − − = − = − = + + =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑


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3 #"#% "#&

&"#$ "#$

= = −

De la e+presión anterior se deduce que dicho coeiciente varía entre 2 y #. *n valor nulo

implica que la suma de los cuadrados residual es igual que la suma de los cuadrados

total, de manera que la variable X no contribuye en ninguna medida a la e+plicación de

Y . !or otra parte, cuando la suma residual es nula "no hay desviaciones entre los valores

observados y los estimados%, "#% = "#$ y el ajuste es perecto.

unque puede demostrarse 'cilmente que el coeiciente de determinación

coincide con el cuadrado del coeiciente de correlación de la estadística cl'sica, su

preerencia en econometría deriva de la descomposición de la variación de Y e+presada

por la ecuación anterior. Multiplicado por #22 indicaría el porcentaje de variación de Y

que cabe atribuir a la regresión " X %. =vidiendo "$b% entre n, se tiene,

3 3 36 6" % " % " %t t t t Y Y Y Y Y Y

n n n

− − −= +∑ ∑ ∑

o bien,3 3 3

y ry ey s s s= +

de donde,

3

3

3# ry

y

s &

s= −

(e demuestra inmediatamente que el coeiciente de determinación se relaciona

con el coeiciente estimado de X , de acuerdo a,

3

3 3

36 t

t

x &

yβ = ∑

∑

una órmula que puede ser &til en el c'lculo. n'logamente, dado que el coeiciente de

correlación, r , es,


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3

t t

t

x yr

y= ∑

∑

puede seguirse esta vía para obtener &3

(

,.- roi!dad!s d!# %od!#o sus !sti%ador!s

(e demuestran inmediatamente las siguientes cinco propiedades/

!ropiedad #

a variable endógena Y , es una variable aleatoria. 4omo dijimos, es

consecuencia de que en el modelo probabilístico la variable endógena Y es la suma de

una parte ija a+bX , y otra estoc'stica, v. a aleatoriedad de v convierte a Y en una

variable de la misma naturaleza.

!ropiedad 3

a esperanza matem'tica de Y condicionada a X , es,

( )@ " %t t t t t % Y X % X v X α β α β = + + = +

!ropiedad 7

a varianza de Y t es igual a la varianza de vt ,

( ) [ ]3 3 3 3var" % " %t t t t t t t vY % Y % Y % X v X % vα β α β σ = − = + + − + = =

!ropiedad 8

[ ]# #... #

" % " % ... " % 2n nv v

% v % % v % vn n

+ + = = + + =

!ropiedad :


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a esperanza matem'tica de ( )t t t t y Y Y X X xβ β = − = − = . En eecto, si sumamos losdos miembros del modelo "#%, tenemos,

t t t Y n X vα β = + +∑ ∑ ∑ ,y dividiendo por n,

Y X vα β = + +restando esta e+presión del modelo,

" % " % " %t t t Y Y X X v vα α β − = − + − + −

y tomando esperanzas,

" % " % " % " %t t t t t % Y Y % y % X X % v v xβ β − = = − + − =

a razón de utilizar el método M4- es que con él se obtienen estimadores con

buenas propiedades. Aeamos a continuación cu'les son las propiedades de que debe

gozar un buen estimador. En primer lugar ha de ser insesgado. !uesto que Y es una

variable aleatoria, con una muestra determinada de valores obtendremos unos

estimadores para nuestros par'metros también determinados, a# y b#. (i dispusiésemos

de otra muestra dierente, entonces los estimadores serían también dierentes, digamos

a3 y b3. 4on m's muestras seguiríamos obteniendo nuevos estimadores, de manera que

queda claro que estos estimadores son también variables aleatorias.

lgunas de las características importantes a la hora de evaluar un estimador, son

las siguientes/

a% a media o valor medio del estimador, " % ib

% bn

= ∑ , que indica el promedio que

obtendríamos para el estimador b "de β %, después de aplicar repetidas veces el

proceso de muestreo. En estas condiciones se deine seso, (, del estimador,

como,

( ) E"b%Bβ

de manera que el estimador ser' insesgado si ( ) 2, o bien,

E"b% ) β


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b% a varianza, var "b% ) E0b-E"b%13 que mide la dispersión de b en torno a su valor

medio. 4uanto menor sea la varianza del estimador b, mayor ser' su precisión,

es decir mayor ser' la probabilidad de que, disponiendo de una sola muestra, el

estimador calculado bi esté situado cerca del verdadero par'metro poblacional,

β .

Dado un conjunto de estimadores insesgados, ser' preerible aquel que

tenga varianza mínima.

c% Error cuadr'tico medio, a veces es necesario elegir entre insesgadez y varianza

mínima. !or ejemplo, puede ser preerible un estimador sesgado pero con poca

varianza, a uno insesgado pero con varianza elevada, especialmente cuando se

dispone de una sola muestra. !or ello a veces la elección se hace atendiendo al

criterio del menor error cuadr'tico medio. El error cuadr'tico medio "E4M%, se

deine como,

E4M"b% ) E"b-β %3 ) E0b-E"b%CE"b%Bβ 13 )

) E0bBE"b%13 C E0E"b%Bβ 13 ) var"b% C (3

puesto que el término 3E0"b-E"b%%"E"b%Bβ %1, se anula.

4uando el sesgo es nulo, E4M y varianza coinciden, pero si ésta es elevada,

puede que e+ista un estimador sesgado con poca varianza que tenga un E4M que un

estimador insesgado.

d% Eiciencia, decimos que un estimador insesgado es eiciente, si para un tamao

muestral dado, su varianza es menor que la de cualquier otro estimador

insesgado.

e% 4onsistencia pertenece a las denominadas propiedades asintóticas. *n

estimador se dice consistente si a medida que crece el tamao de la muestra, la

dierencia entre dicho estimador y el verdadero par'metro poblacional es cada

vez m's pequea. M's adelante veremos con m's detalle esta propiedad.


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% >obustez veces se habla también de estimadores robustos. En la obtención de

estimadores es recuente establecer hipótesis sobre la población objeto de

estudio, que no siempre se cumplen. a propiedad de robustez de un estimador

se reiere al hecho de que desviaciones en la hipótesis iniciales no aectan a

dicho estimador o lo hacen débilmente. ">uiz Maya y Martín !liego, p.$3%

Aeamos ahora cuales son los resultados de los estimadores M4- en relación a

estas propiedades.

!ropiedad ;. os estimadores M4- son insesgados. Ae'moslo con b. !artiendo del

modelo en desviaciones con respecto a las medias, yt = β xt + vt , tenemos,

3 3 3 3

" %t t t t t t t

t t t t

x y x Y Y x Y x Y b

x x x x

−= = = −∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

pero como 2t t x Y Y x= =∑ ∑ , queda,

3

t t

t

x Y b

x= ∑

∑y haciendo 3

t t

t

x*

x=

∑ , se tiene,

t t b *Y =∑ "F%

es decir que el estimador b es una combinación lineal de los valores de Y t . !odemos

ilustrarlo con un ejemplo. (ean las variables X e Y,

X Y XY X 3 d t x y xy x y d

3 8 F 8 8.: B2.: B3 B8 F 8 #; 2.3:7 $ 3# G ;.3: 2.$: B# B# # # # 2.:;3:# 7 7 # 3.$: 2.3: B7 B: #: G 3: 2.2;3:: G 8: 3: G.$: B2.$: # # ## # # 2.:;3:G #$ #:7 F# #;.$: 2.3: : G 8: 3: F# 2.2;3:

32 82 372 #32 82 2 2 2 $2 82 #38 #.:

/a$#a 1 Ejemplo hipotético "en la &ltima ila la suma de cada columna% "Hohnston%


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En este caso la regresión de Y sobre X , es, aplicando "$%,

333

3728?F #8:

#.$:#32 F8:

t t

t

X Y XY

nb X

X n

− −

= = = =−−

∑

∑

y seg&n "F%,

3 # 7 # : $2?8 ?$ ?7 ?G ?#$ #.$:

82 82 82 82 82 82t t b *Y = = − − − + + = =∑

a e+presión 3t

t

t

x* x

=∑ cumple,

a% 3 3 32

2t t t t t t

x x*

x x x

= = = =

∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ "G%

b%( ) 3 3 3

3 3 3 3

t t t t t t t

t t

t t t t

X X X x X X X X X nX * X

x x x x

− − −= = = =∑∑ ∑ ∑ ∑∑

∑ ∑ ∑ ∑como el denominador,

( ) ( )33 3 3 3 3 3 3 33 3 3t t t t t t t x X X X X XX X nX X X X nX nX = − = + − = + − = + − =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

)3 3

t X nX −∑ , resulta que inalmente,3 3

3 3#t

t t

t

X nX * X

X nX

−= =

−∑∑ ∑ "#2%

c%( ) ( )

333

3 3 33 3

#t t t

t t t

x x*

x x x

= = =

∑∑ ∑ ∑∑ ∑"##%

!odemos ahora comprobar que los estimadores M4- son insesgados.

4omenzando por b, se tiene,

" %t t t t t t t t t t b *Y * X v * * X * vα β α β = = + + = + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑


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que en virtud de "G%, "#2% y "##%, queda,

t t b * vβ = +∑ "#3%

e+presión de la que se deduce que,

t t b * vβ − =∑ "#7%

que ser' utilizada en la demostración de otras propiedades. 9omando esperanzas en "#3%

tenemos que,

E"b% ) β C E"∑*t vt % ) β C ∑*t E"vt % ) β

n'logamente puesto que,

a Y bX = −

y siendo3 Y X vα β = + + ,

" %a X v bX b X vα β α β = + + − = − − + "#8%

y tomado esperanzas,

" % " % " % " % % a % X% b % vα β = − − +

que dada la insesgadez de b y la propiedad 8, lleva a

% "a% ) α "#:%

Es decir que a es también un estimador insesgado.

!ropiedad $ a varianza del estimador de β ,3

3

v

t

b x

σ =

∑

. En eecto,

[ ] [ ] 33 3

var" % " % t t b % b % b % b % * vβ = − = − = ∑ "por #7%

l desarrollar el sumatorio entre corchetes, encontraremos dos tipos de miembros/ por

una parte aquellos que tengan los mismos subíndices " 3 3 3 3

# # ,..., - -* v * v %, y por otra los

productos cruzados del tipo # # 3 3,..., i i - -* v * v * v * v . Istos se repetir'n dos veces, pues por

3 , " %t t t t t t Y X v Y X v n X vα β α β α β = + + = + + = + +∑ ∑ ∑ ∑ , y dividiendo por n sesigue la igualdad del te+to.


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cada i i - -* v * v aparecer' también - - i i* v * v que, obviamente es idéntico. De manera que

podemos poner/

3

3 3var" % 3t t i i i - i -i -

b % * v % * v * * v v≠

= = + ∑ ∑ ∑ )

)3 3 3 33 " % 3 " %i i i - i - i i i - i - % * v % * * v v * % v * * % v v + = + ∑ ∑ ∑ ∑

!ero en virtud de la hipótesis de no autocorrelación de las perturbaciones, % "viv % ) 2, y

por tanto, teniendo en cuenta "##%,

3

3 3 3 33var" % " %

vi i i v

t

b * % v * x

σ σ = = =∑ ∑ ∑ "#;%

!ropiedad F a varianza de a, es3

3

3

#var" % v

t

X a

n xσ

= +

∑. 9eniendo en cuenta "#8%, podemos

poner,

3 3var" % " % 0 " % 1a % a % b X vα β = − = − − + =

) 3 3 30" % 3" % % b X v b X vβ β − + − − 1

!ero tenemos que,

a%3

3 3 3 3 3 3

30" % 1 " % var" % v

t

% b X X % b X b X x

σ β β − = − = =

∑

b%

3

3 3##3

... #" % " ... %n n

v v % v % % v v

n n

+ += = + +

. 4omo los términos " % 2,i - % v v i = ∀ ≠ , se

tiene,

33 3 3 3

#3 3

# #" % " ... % vn v % v % v v nn n n

σ σ = + + = =

c% 3" % 2, % b X vβ − = ya que tanto " % % b β − como " % % v son nulos, y cte. X =

!or lo tanto,


15/34

3 3 33 3 3

3 3

#var" % 0 " % 1 v v

v

t t

X a % b X v X

x n n x

σ σ β σ

= − − + = + = +

∑ ∑"#$%

!ropiedad G a covarianza entre a y b, es,3

3cov" , % v

t

X a b xσ = − ∑ .

[ ]cov" , % " %" % " " % %" %a b % a b % b X v bα β β β = − − = − − + − =

)3" % " % % v b X bβ β − − −

!ero [ ]" % 2 % v b β − = , al ser nulas las esperanzas tanto de v como de "b-β %, así que,

33

3cov" , % " % var" % v

t

a b % X b X b X x

σ β = − − = − = − ∑ "#F%

En el desarrollo de todas estas propiedades, hemos hecho uso permanentemente

de las hipótesis a%, b% y c%. (u incumplimiento tendr' consecuencias sobre las mismas

como tendremos ocasión de ver m's adelante.

!ropiedad #2/ 9eorema de .auss /arov. Es el teorema m's importante de los M4-.

El teorema airma que los estimadores mínimo cuadr'ticos son los de varianza menor

entre la clase de los estimadores lineales e insesgados "eiciencia%.

!ara probarlo se deine un nuevo estimador lineal e insesgado, 1, y se llega a la

conclusión de que var" 1% J var"b% siendo b el estimador M4-. (ea pues,

t t 1 c Y =∑ "#G%

donde ct son las ponderaciones que hacen a 1 una combinación lineal de Y t . (e tiene

que,

" %t t t t t t t t t t 1 c Y c X v c c X c vα β α β = = + + = + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑

por tanto,

" % " % " % " %t t t t t t t t % 1 % c % c X % c v c c X α β α β = + + = +∑ ∑ ∑ ∑ ∑


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(i 1 es un estimador insesgado, ha de cumplirse que 2 y #.t t t c c X = =∑ ∑ hora podemos probar el teorema siguiendo dos vías alternativas/

a% !rueba #. 4omo,

3 3 3var" % 0 1 0 1 0 " % 1t t t t t 1 % 1 % c Y % c X vβ β α β β = − = − = + + −∑ ∑ )

)30 1t t t t t % c c X c vα β β + + −∑ ∑ ∑

que, en virtud de las condiciones de insesgadez, queda,

3 3var" % 0 1 0 1t t t t 1 % c v % c vβ β = + − =∑ ∑ )

) ( ) 3 3 3

# # ... 0 3 1n n t t i - i -i -

% c v c v % c v c c v v≠

+ + = +∑ ∑

pero el &ltimo término tendr' esperanza nula por la hipótesis de no autocorrelación, y

por tanto,

3 3 3 3 3 3var" % " % " %t t t t v t 1 % c v c % v cσ = = =∑ ∑ ∑ "32%

!ara comparar la varianza de este nuevo estimador 1 con la del estimador M4-, podemos escribir,

ct = *t + "ct 2 *t %

3 3 3" % 3 " %t t t t t t t c * c * * c *= + − + −∑ ∑ ∑ ∑

pero,

3t t

t t

t

c xc * x= ∑∑ ∑

y," % #

t t t t t t t c x c X X c X X c= − = − =∑ ∑ ∑ ∑

por las condiciones de insesgadez de ct . !or tanto,

3 3

#t t t t

t t

c x

c * x x= =∑∑ ∑ ∑


17/34

y,

3

3 3

# #3 " % 3 3 3 3 2t t t t t t

t t

* c * * c * x x

− = − = − =∑ ∑ ∑

∑ ∑de manera que,

3 3 3" %t t t t c * c *= + −∑ ∑ ∑

o bien,

3 3 3 3 3 3" %v t v t v t t c * c *σ σ σ = + −∑ ∑ ∑

lo que conduce a,

33var" % var" % " %v t t 1 b c *σ = + −∑ "3#%

siendo el segundo término del segundo miembro necesariamente positivo o nulo, se

sigue que, o bien la varianza de 1 es mayor que la de b, o en todo caso son iguales, pero

esta &ltima posibilidad implica que,

3" % 2

" % 2

, y

t t

t t

t t t t t t

c *

c *

c * c Y *Y 1 b

− =

− =

= = ⇒ =

∑

∑

∑ ∑ ∑ ∑

n'logamente se probaría que a es un estimador lineal, insesgado y de mínima varianza

"óptimo% de α .

b% !rueba 3. !artimos de "#G%,

t t 1 c Y =∑

y an'logamente hacemos,


18/34

t t 3 d Y =∑

lleg'ndose a,

3 3 3 3var" % , y var" %v t v t

1 c 3 d σ σ = =∑ ∑

!robaremos ahora que cuando var" 1% es mínima, entonces 1 coincide con b, el

estimador mínimo cuadr'tico. K an'logamente con 3.

a var" 1% ser' mínima cuando lo sea la e+presión3

t c∑ dado que 3vσ esconstante. !or tanto nuestro problema se reduce a minimizar dicha e+presión sujeta a las

condiciones de insesgadez,

2 y #.t t t c c X = =∑ ∑

a unción au+iliar de agrange a minimizar, es/

( )3 3 # 3t t t t 4 c c X cλ µ = − − −∑ ∑ ∑

de donde7,

3 3 3 2,t t t t t

4 c X c X c

λ µ λ µ ∂ = − − = ⇒ = +∂ ∑ "33%

(umando,

2, por 2t t t c X n cλ µ = + = =∑ ∑ ∑ "insesgadez%

n'logamente multiplicando "33% por X t y sumando,

3

3 #, por # "insesgadez%t t t t

t t t t t t

c X X X c X X X c X

λ µ λ µ

= += + = =∑ ∑ ∑ ∑

9enemos pues el sistema,

3

2

#

t

t t

X n

X X

λ µ

λ µ

+ =

+ =∑∑ ∑

7 9éngase en cuenta que 3 3 3# 3 # # #

" ... % 3 " ... #% 3 " ... %n n n n

4 c c c c X c X c cλ µ = + + + − + + − − + + y

derivando respecto a cada ci, , # ##

3 3 3 2L ... 3 3 3 2n nn

4 4

c X c X c cλ µ λ µ ∂ ∂

= − − = = − − =∂ ∂ , de donde se

deduce la del te+to.


19/34

o bien,

3

2

#t t

X

X X

λ µ

λ µ

+ =

+ =

∑ ∑de la primera ecuación se deduce que X µ λ = − , y sustituyendo en la segunda,

3 3

# #

" %t t X X xλ = =

−∑ ∑

(ustituyendo estos resultados en "33%, tenemos,

3 3 3 3

t t t

t t t t t

X X X x X c

x x x x

−

= − = =∑ ∑ ∑ ∑

!ero la &ltima e+presión, 3t

t

x

x∑ coincide con *t , es decir con las ponderaciones delestimador mínimo cuadr'tico, quedando así probado el teorema.

En eecto, el estimador M4- quedó deinido como,

t t b *Y =

∑hemos deinido un nuevo estimador lineal e insesgado t t 1 c Y =∑ y cuando hemosminimizado su varianza, hemos llegado a la conclusión de que,

t t t t 1 c Y *Y b= = =∑ ∑

a introducción del término de perturbación aleatoria en el modelo, transormó a

Y t en una variable aleatoria "propiedad #%. !uesto que postulamos que las vt seguían una

distribución normal "proposición 8%, ésta ser' también la distribución de Y t . (iendo los

estimadores a y b combinaciones lineales de las Y t , su distribución de probabilidad ser'

asimismo normal. emos calculado sus respectivas medias y varianzas "propiedades ;,$

y F% de orma que,


20/34

33

3

3

3

#, "37%

, "38%

v

t

v

t

X a N

n x

b N

x

α σ

σ β

→ +

→

∑

∑

4on estos resultados estaríamos en condiciones de poder contrastar hipótesis

sobre ambos estimadores. ntes repasaremos brevemente los principios b'sicos de la

contrastación de hipótesis.

0.- Contrastación d! iót!sis

os resultados establecidos en "37% y "38% nos permitirían en principio seguir un

procedimiento an'logo al descrito en el epígrae anterior para contrastar hipótesis acerca

de los valores de los par'metros. !or ejemplo, si estimamos una unción de consumo

Neynesiana y obtenemos 5 t ) 3.: C 2.F t , puesto que b es una normal, podríamos

eectuar un contraste estadístico acerca del verdadero valor del par'metro poblacional.

El estadístico de contraste sería,

3

vb

t

b b

x

β β

σ σ

− −=

∑"3:%

que sigue una distribución normal tipiicada al estar b corregido por su media "β % y su

desviación típica.

El problema es que no conocemos la varianza de las perturbaciones aleatorias.

*na solución lógica es sustituirla por la varianza muestral, pero éste no es un estimador

insesgado "aunque sí m'+imo verosímil%. -btendremos ahora un estimador insesgado de

la varianza de las perturbaciones aleatorias.

!ropiedad ##. *n estimador insesgado de la varianza de las perturbaciones aleatoriasviene dado por la e+presión,


21/34

3

3

3t d s

n=

−∑ "3;%

!uesto que Y t = α + β X t + vt , y Y X vα β = + +

, restando se obtiene,

" % " %,

" %

t t t

t t t

Y Y X X v v

y x v v

β

β

− = − + −

= + −

siendo 6t t y bx= , queda,

6 " % " % " %t t t t t t t t d y y x v v bx b x v vβ β = − = + − − = − − + −

Elevando al cuadrado y sumando,

3 3 3 3" % " % 3" % " %t t t t t d b x v v b x v vβ β = − + − − − −∑ ∑ ∑ ∑

como 2,t x v =∑ se tiene,3 3 3 3" % " % 3" %t t t t t d b x v v b x vβ β = − + − − −∑ ∑ ∑ ∑

y tomado esperanzas,

E0 3 3 3 31 E0" % " % 3" %t t t t t d b x v v b x vβ β = − + − − −∑ ∑ ∑ ∑ 1 "3$%

!ero,

a%3

3 3 3 3 3 3 3

30" % 1 " % var" % vt t t t v

t

% b x x % b x b x x

σ β β σ − = − = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑

b% dem's

3 3

" % " #%t v % v v n σ − = − ∑ . En eecto,3 3 3" % " 3 %

t t t % v v % v v v v− = + − ∑ ∑ . !ero 3 3v nv=∑ y 33 3 3t t

vv v vn nv

n= =∑∑ . !or

tanto,3 3 3" %

t t % v v % v nv− = − ∑ ∑ . 4omo

3 3

3 3#

3

..." % n v

v

v v nn% v n% n

n n

σ σ

+ += = =

. K

inalmente,3 3 3 3 3 3 3 3" % " % " % " #%

t t t v v v % v v % v nv % v n% v n nσ σ σ − = − = − = − = − ∑ ∑ ∑ ∑


22/34

c% !or &ltimo,( )

3

3 33 " % 3 3

t t t t

t t t t

t t

x v x v % b x v % x v %

x xβ

− − = − = −

∑∑∑ ∑∑ ∑ )

) ( ) 3

3

3t t

t

% x v

x

− ∑∑

. !ero ( ) ( )3 3 3 3 33t t i i i - i - i i

i -

% x v % x v x x v v % x v≠

= + =

∑ ∑ ∑ ∑)

) ( )3 3 3 3t t v t x % v xσ =∑ ∑ , de manera que,3 3

3 3

3 3

33" % 3v t

t t v

t t

x % x v

x x

σ σ

−−= = −∑∑∑ ∑

>esumiendo, los resultados anteriores permiten poner "3;% de la orma,

3 3 3 3 3 3" #% 3 0# " #% 31 " 3%t v v v v v % d n n nσ σ σ σ σ = + − − = + − − = − ∑

de aquí se sigue que,

( )3 33

3 3

t t

v

% d d %

n nσ

= = − −

∑ ∑"3F%

de manera que la e+presión3

3

t d

n −∑ es un estimador insesgado de la varianza de las

perturbaciones aleatorias en el modelo de regresión simple lineal.

hora podríamos sustituir este valor en la e+presión "3:% y proceder así a la

contrastación de hipótesis. Es decir, utilizaríamos el estadístico de prueba/

3

v

t

b s

x

β −

∑"3G%

(urge sin embargo un nuevo problema. 4uando se sustituye la varianza de las

perturbaciones aleatorias por su estimador insesgado, la e+presión "3G% ya no sigue unadistribución normal sino otra dierente.

>ecordando que el cociente entre una variable aleatoria


23/34

3

3

33

3

v t

v vt

vt

t

b

xb b s sd n

x x

β

σ β β

σ

−

− −= =

−

∑∑

∑∑

En el numerador tenemos ahora una distribución


24/34

!ara construir intervalos de conianza, seguimos un proceso an'logo. Elegido el

nivel de signiicación α , se tiene/

3 3!r #

b

bt t sα α

β α

−− ≤ ≤ = −

o bien,

3 3

!r #b bb s t b s t α α β α

− ≤ ≤ + = −

donde t α ' 3 es el valor en tablas para el nivel de signiicación elegido. En resumen, con un

nivel de conianza de #Bα , el verdadero par'metro poblacional estar' comprendido en el

intervalo,

( )@ 3 @ 3 @ 3, ob b bb s t b s t b s t α α α − + ±

a ausencia de relación entre las e+plicativas "en este caso sólo la X % y la

e+plicada puede contrastarse también por medio de otro estadístico que no emplea la

distribución t . (i 2 es cierta, es decir si no e+iste relación entre X e Y , la variación en Y

no se ver' aectada por los cambios en X y la suma de los cuadrados de la regresión ser'

distinta de cero sólo porque estamos observando una muestra en vez de la población

total. Ello es evidente si tenemos en cuenta que la suma de los cuadrados e+plicada por

la regresión, (4E es,

( ) ( )3 36

t t "#% Y Y a bX Y = − = + −∑ ∑como , ,Y a bX a Y bX = + = − y,

( ) ( )

( )

3 3

3 3 3 3" % "73%

t t

t t t

"#% a bX Y Y bX bX Y

b X X bx b x

= + − = − + − =

− − = − =

∑ ∑

∑ ∑ ∑

si β ) 2, b sólo ser' dierente de cero por las variaciones muestrales, pero en el segundo

miembro de la descomposición "$b%,

"#$ = "#% + "#&


25/34

la pr'ctica totalidad de la variación corresponder' a la suma de los cuadrados residual,

o lo que es lo mismo, el cociente "#%'"#& sólo es dierente de cero como consecuencia

del muestreo. (i corregimos por los respectivos grados de libertad,

@#

@" 3%

"#%

"#& n −"77%

obtenemos el cociente de dos distribuciones χ3 ponderadas por sus grados de libertad

respectivos, es decir una distribución 6 #, nB3, con la que podemos llevar a cabo el

contraste 2/ β ) 2/ calculado el cociente anterior, si el valor obtenido es superior al

tabulado, se rechaza 2. De hecho se demuestra inmediatamente que t 3 ) 6 .

En las aplicaciones puede resultar m's cómodo para el c'lculo, e+presar el

cociente anterior en términos del coeiciente de determinación/

3

3

@#

"# % @" 3%

&

& n− −

5inalmente puesto que

3

3

" 3% v

v

n s

σ

− se distribuye seg&n una

3

3n χ − podemos utilizar

el cociente anterior para contratar hipótesis o construir intervalos de conianza, para el

valor de la varianza de las perturbaciones aleatorias.

E+!%#o 1

Aeamos todo ello con un ejemplo concreto. a tabla siguiente recoge los datos de

desempleo e inlación correspondientes a la economía espaola en el periodo de

reerencia. (e trata de contrastar la hipótesis de !hillips seg&n la cual e+istiría una

relación inversa entre inlación y desempleo

Trimestre Y t

Tasa paro X t

Inflación

1982:1 15.67000 3.874580

1982:2 15.49000 3.773178

1982:3 16.12000 2.098483

1982:4 16.79000 3.5816041983:1 17.47000 2.829077

1983:2 17.04000 2.388231


26/34

1983:3 17.36000 2.519127

1983:4 18.07000 3.967965

1984:1 19.70000 2.766106

1984:2 19.83000 1.720613

1984:3 20.17000 2.445152

1984:4 21.30000 1.814615

1985:1 21.71000 3.2273601985:2 21.68000 1.182143

1985:3 21.50000 1.829362

1985:4 21.67000 1.705918

/a$#a 1. Datos b'sicos de paro e inlación

a matriz de varianzas y covarianzas, es/

Y X

Y 5.106165 1.197381

X 1.197381 0.714318

!e"ias 18.84813 2.607720

/a$#a (. Aarianzas, covarianzas y medias

Estimamos en primer lugar la ecuación,

t t t Y X vα β = + +

obteniéndose,

# #

3

#; 8#.$38 72#.:$

8#.$38 #32.373 $;$.3:3

n X Y a

X X XY b

− − = = ∑ ∑∑ ∑ ∑ )

3

#32.373 8#.$38 72#.:$ 37.33:#

8#.$38 #; $;$.:3: #.;F8#32.373O#; 8#.$38

− = − −−

El signo del par'metro es negativo como postula la hipótesis teórica.

El ajuste vendría dado por el coeiciente de determinación, ser'

3 3 3 3 33

3 3" #.;F8% 2.$#87#F 2.7G;$

:.#2;#;:t x

t y

b x b s"#% &"#$ y s

−= = = = =∑∑

l mismo resultado se llega calculando el coeiciente de correlación,

#.#G$7F#2.;3$

? 2.$#87?:.#2;3 xy

x y

sr

s s

−= = = −

y elevando al cuadrado este valor.

9ambién podría calcularse a partir de,


27/34

3

3

3# ry

y

s &

s= −

donde sr

es la varianza residual que podemos obtener a partir de,3

3 t

ry

d s

n= ∑

El ajuste no es e+cesivamente bueno aunque esto es habitual cuando se trabajacon tasas de variación.

Aeamos ahora el contraste de hipótesis.

a% 4ontraste de la hipótesis 2/ β ) 2 El estadístico de contraste es,

3n

b

bt

s

β −

−=

de manera que necesitamos conocer sb. (abemos que,

3 3 33

3 3 3

v v vb

t t x

s s s

x x ns

σ = = =

∑ ∑

y el estimador insesgado de la varianza de las perturbaciones aleatorias, es/

3

3

3t

v

d s

n=

−∑

a suma cuadr'tica de los residuos puede obtenerse de distintas ormas. De ladeinición se deduce que,

( ) ( ) ( )33 3 3 3 3 3 3 3#;":.#2; " #.;F8% ?2.$#87 8G.3G

t t t t t y xd y bx y b x n s b s= − = − = − = − − =∑ ∑ ∑ ∑

y por tanto,

3

3 8G.3G 7.:33 #; 3t

v

d s

n= = =

− −∑

lo que proporciona,

3 33

3 3

7.:32.72F, 2.72F 2.:::

#;?2.$#87v v

b b

t x

s s s y s

x ns= = = = = =

∑


28/34

de manera que ya tenemos todos los datos del estadístico de contraste. (i la hipótesis

nula es cierta, entonces " % @ bb sβ − , se distribuye como una t de (tudent con #8 grados

de libertad. !ara un nivel de signiicación del :P "puede elegirse el que se quiera%,

sabemos por las tablas de dicha distribución, que el G: P de la masa de probabilidadest' comprendido en el intervalo "B3.#8:, 3.#8:%. !or tanto si el valor que obtengamos

est' uera del mismo, tenemos una evidencia empírica en contra de la hipótesis nula. Es

decir, rechazaremos dicha hipótesis si el valor que obtengamos es mayor en valor

absoluto que 3.#8:. os c'lculos para nuestro ejemplo concreto arrojan,

#.;F8 27.27

2.:::b

b

s

β − − −= = −

que es en eecto mayor "en valor absoluto% que el valor crítico tabulado. (e rechaza por

tanto 2.

(i se considera que el contraste debe ser de una cola "es decir, si pensamos que

la evidencia en contra sólo ha de buscarse en la cola negativa de la distribución%, el

valor en tablas es menor en valor absoluto/ B #.$;#, de manera también se rechaza la

hipótesis en este caso.

b% 4ontraste de la hipótesis 2/ β ) B # os c'lculos son idénticos, pero no el

resultado,

#.;F8 " #%#.373

2.:::b

b

s

β − − − −= = −

es decir, en este caso no podría rechazarse la hipótesis nula al no ser el valor obtenido

superior en valor absoluto al tabulado.

c% 4onstrucción de un intervalo de conianza del G:P. En este caso sabemos que,

2.23: 2.23:

#.;F8!r 3.#8: 3.#8: 2.G:

2.:::b

bt t

s

β β − − − − ≤ ≤ = − ≤ ≤ =

es decir,

( )!r #.;F8 2.:::?3.#8: #.;F8 2.:::?3.#8: 2.G:β − − ≤ ≤ − + =


29/34

de manera que con un nivel de conianza del G:P,

" 3.F$8, 2.8G7:%β ∈ − − ó B #.;F8 ±2.:::?3.#8:

d% 4ontraste de la signiicatividad global de la regresión. En el caso de la regresión

simple, no hay dierencia entre este contraste y el que se reiere al par'metro β, es

decir si β es signiicativo, lo ser' también la regresión ya que ésta sólo tiene una

variable e+plicativa. a situación es dierente en el caso de la regresión m&ltiple

como veremos en u momento. De todas ormas ilustramos aquí este contraste.

*saríamos el estadístico dado por "77%, que puesto en unción del coeiciente de

determinación, queda/

3

#,#8 3

@# 2.7G;$G.32;

"# % @#8 2.287#

& 6

&= = =

−

siendo superior al valor tabulado al :P "8.;2%, se rechazaría la hipótesis nula. (e

comprueba que 6 = t 3.

e% =ntervalo de conianza para la varianza de las perturbaciones aleatorias. !uesto

que,

33

#83

" 3% v

v

n s χ

σ

−→

para un nivel de conianza del G:P se tiene,

3

3

#8!r 2.G:v

v

s 3 1

σ

≤ ≤ =

3

3

#8!r :.;3G 3;.##G 2.G:v

v

s

σ

≤ ≤ =


30/34

3

3

#8?7.:3!r :.;3G 3;.##G 2.G:

# #

!r 2.G:3;.##G 8G.3F :.;3G

v

v

σ

σ

≤ ≤ =

≤ ≤ =

( )3!r #.FF;$ F.$:8$ 2.G:vσ ≤ ≤ =

que es el intervalo de conianza del G:P.

continuación se muestran los resultados obtenidos con EBvieQs "en negrilla los

que hemos calculado en los epígraes anteriores%/

#epen"ent $aria%le: &'()

!et*o": +east ,-ares

#ate: 04/20/03 Time: 13:28

,ample: 1982:1 1985:4

Incl"e" o%serations: 16

$aria%le oefficient ,t". rror t,tatistic &ro%.

23.21934 1.526001 15.21581 0.0000

T& -1.676258 0.556678 -3.011179 0.0093

(s-are" 0.393078 !ean "epen"ent ar 18.84812

'"ste" (s-are" 0.349726 ,.#. "epen"ent ar 2.333790

,.. of reression 1.881958 'aie info criterion 4.218971

,m s-are" resi" 49.58474 ,c*ar criterion 4.315545

+o lieli*oo" 31.75177 statistic 9.067200

#r%inatson stat 1.056185 &ro%statistic; 0.009342

2.- r!dicción

Estimada la ecuación "#%, puede interesarnos eectuar pronósticos sobre los valores

uturos de la variable dependiente Y t . !or ejemplo queremos conocer cu'l ser' el valor Y 2 asociado a un X 2 determinado "predicción condicionada%. a predicción lleva

implícito el supuesto de que la relación estimada se mantendr' en el uturo.

(e pueden hacer dos tipos b'sicos de predicción, por 7untos o por interva!os, de

la misma orma que puede darse una estimación puntual o por intervalos del par'metro

poblacional β ( !ero en la pr'ctica la predicción es de poca utilidad si no va acompaada

de una medida de su precisión, por lo que lo habitual es eectuar una predicción por intervalo. Es pues necesario conocer el error del pronóstico.


31/34

a predicción puntual ser',

2 26Y a bX = +

en tanto que el verdadero valor de Y 2 es,

2 2 2Y X vα β = + +

de manera que el error del pronóstico, ser',

2 2 2 2 2 2 2 26 " % " %e Y Y X v a bX v a b X α β α β = − = + + − − = − − − − "78%

Es inmediato que,

2 2 2

" % " % " % " % 2 % e % v % a X % bα β = − − − − =

ya que a y b son estimadores insesgados de α y β , y que la esperanza de v2 es nula por

hipótesis. !or tanto,

2 26" % % Y Y =

y el predictor 26Y es por tanto un estimador insesgado del verdadero valor Y 2.

En cuanto a la varianza del error, vendr' dada por,

[ ]33

2 2 2 2var" % " % " % " %e % e % v a b X α β = = − − − − =

)3 3 3 3

2 2 2 2 2 2" % " % 3 " %" % 3 " % 3 " % % v a X b X a b v a v X bα β α β α β + − + − + − − − − − −

!ero puesto que % 0v2"a-α %1 y % 0v2"b-β %1 son nulas, se tiene/

3 3 3 32 2 2 2var" % " % " % 3 " %" %e % v a X b X a bα β α β = + − + − + − − 3

) 3 3 3 32 2 2" % " % " % 3 0" %" %1 % v % a X % b X % a bα β α β + − + − + − − =

) 32 2 2var" % var" % var" % 3 cov" , %v a X b X a b+ + +

(ustituyendo estas e+presiones por los valores obtenidos en las propiedades "$%,"F% y "G%, se llega a/

33

3 3 3 32 22 3 3 33#var" % v v v v

t t t

X X X X en x x x

σ σ σ σ = + + + − ∑ ∑ ∑

)


32/34

)3 33

3 32 2 2

3 3 3 3

3 " %# ## #v v

t t t t

X X X X X X

n x x x n xσ σ

−+ + + − = + +

∑ ∑ ∑ ∑"7:%

De la e+presión anterior se deduce que la varianza del error ser' mínima cuando

2 X X = y crecer' en la medida en que se aleje de dicho valor.

De "78% se deduce que e2 ser' una normal con media nula y varianza dada por

"7:%, de manera que,

2 2

3

2

3

" %

"2,#%" %##v

t

e % e

N X X

n xσ

−

→ −+ +

∑

(ustituyendo vσ por su estimador insesgado sv, se tiene,

2 2

3 3

2 2

3 3

2 2

3 33 3

2

3

" % " %# ## #" %

" %##

3 33

v

t t

t t t

t

v

e e

X X X X

n x n xe % e

d d d X X n nn n x

σ

σ

− −+ + + +−

= = −

+ + − −−

∑ ∑∑ ∑∑

∑

a &ltima e+presión es el cociente de una


33/34

(i el interés radica en pronosticar no Y 2 sino % "Y 2%, la &nica dierencia estriba en

que el error de predicción ser' menor, al haber desaparecido una uente de variación,

2 2 2 2 2 26R " % " % " %e % Y Y X a bX a b X α β α β = − = + − − = − − − − "7$%

a dierencia con "78% es que ahora no aparece el término v2. Ello tiene su

correspondiente relejo en la varianza,

3 333 3 3 32 2 2

2 3 3 3 3

3 " %# #var" R %

v v v v

t t t t

X X X X X X e

n n x x x xσ σ σ σ

−= + + − = +

∑ ∑ ∑ ∑"7F%

El predictor sigue siendo un estimador insesgado ya que 2" R % 2 % e = , pero su

varianza es ahora menor.

n'logamente,

2 2 2

33 33 3

2 2

3 3

6R " %

" % " %# #

3 3

n

t t

t t

e % Y Y t

d d X X X X

n n n nd d

−

−= =

− −+ +

− −∑ ∑

∑ ∑"7G%

(iguiendo con el ejemplo de la curva de !hillips, si queremos una predicción por

intervalos de la tasa de paro para #GF;/#, suponiendo que la inlación uese del

3P, tendremos que la predicción ser' simplemente,

#GF;.#6 37.33 #.;FO3 #G.F;Y = − =

es decir que, si la inlación es del 3P, el paro ser' del #G.F; P.

!ara construir el intervalo de conianza utilizamos las e+presión "7% de la que ya

hemos calculado pr'cticamente todos los valores. 4omo el intervalo es del G:P hemos

de buscar en las tablas de la t (tudent con #8 g.l., los valores entre los que est'

comprendida el G:P de la masa de probabilidad. Dichos valores resultan ser B3.#8: y

3.#8:. !or tanto,


34/34

2 2

3 3

2

3

6!r 3.#8: 3.#8: 2.G:

" %##

3

t

t

Y Y

d X X

n n x

÷ ÷−

− < < = ÷ ÷−

+ + ÷ ÷−

∑

∑

y sustituyendo,

2

3

#G.F;!r 3.#8: 3.#8: 2.G:

# "3 3.;#%7.:3 #

#; ##.83G

Y

÷

− ÷− < < = ÷

− ÷+ + ÷

de manera que el intervalo queda inalmente,

#G.F; 3.#8:?#.G;77±

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APUNTES DE ECONOMETRIA (MODELO DE REGRESIÓN CON DOS VARIABLES)