Regresin con datos de series de tiempo: Variables no ... con datos de series de tiempo: Variables no estacionarias En estas notas se desarrollan los aspectos tericos y prcticos del

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  • Regresin con datos de series de tiempo: Variables no estacionarias En estas notas se desarrollan los aspectos tericos y prcticos del captulo 12 de los libros de texto de R. Carter Hill, William E. Griffiths y Guay C. Lim (2012) Principles of Econometrics, 4a.ed. (POE4) y de Lee C. Adkins y R. Carter Hill (2012) Using Stata for Principles of Econometrics (USPOE4).

    Variables estacionarias y no estacionarias Inspeccin visual use "C:\POE4\usa.dta", clear

    generate date = q(1984q1) + _n-1

    format date %tq

    tsset date

    tsline gdp, name(gdp, replace) ylabel(2000(2000)16000,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Real US

    gross domestic product (GDP)", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_1.gph",replace)

    tsline D.gdp, name(dgdp, replace) yline(0) ylabel(-300(100)300,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small))

    title("Change in GDP", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_2.gph",replace)

    graph combine gdp dgdp, saving("C:\POE4\g12_C1.gph",replace)

    tsline inf, name(inf, replace) ylabel(0(2)14,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Inflation rate",

    size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_3.gph",replace)

    tsline D.inf, name(dinf, replace) yline(0) ylabel(-2(1)2,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small))

    title("Change in the inflation rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_4.gph",replace)

    graph combine inf dinf, saving("C:\POE4\g12_C2.gph",replace)

    tsline f, name(f, replace) ylabel(0(2)12,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Federal funds rate",

    size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_5.gph",replace)

    tsline D.f, name(df, replace) yline(0) ylabel(-3(1)1,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Change

    in the federal funds rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_6.gph",replace)

    graph combine f df, saving("C:\POE4\g12_C3.gph",replace)

    tsline b, name(b, replace) ylabel(0(2)14,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small)) title("Three-year bond

    rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_7.gph",replace)

    tsline D.b, name(db, replace) yline(0) ylabel(-1.6(0.4)1.6,angle(horizontal)) xlabel(,labsize(small))

    title("Change in the bond rate", size(medium)) ytitle("") saving("C:\POE4\g12_8.gph",replace)

    graph combine inf dinf, saving("C:\POE4\g12_C4.gph",replace)

    graph combine gdp dgdp inf dinf, cols(2) saving("C:\POE4\g12_A1.gph",replace)

    graph combine f df b db, cols(2) saving("C:\POE4\g12_all_A2.gph",replace)

  • Algunas series de tiempo de la economa norteamericana

    2000

    4000

    6000

    8000

    10000

    12000

    14000

    16000

    1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1

    date

    Real US gross domestic product (GDP)

    -300

    -200

    -100

    0

    100

    200

    300

    1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1

    date

    Change in GDP

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1date

    Inflation rate

    -2

    -1

    0

    1

    2

    1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1date

    Change in the inflation rate

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1

    date

    Federal funds rate

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1

    date

    Change in the federal funds rate

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1date

    Three-year bond rate

    -1.6

    -1.2

    -.8

    -.4

    0

    .4

    .8

    1.2

    1.6

    1985q1 1990q1 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1date

    Change in the bond rate

  • Estadstica descriptiva

    summarize gdp inf f b D.gdp D.inf D.f D.b if tin(1984q2,1996q4)

    summarize gdp inf f b D.gdp D.inf D.f D.b if tin(1997q1,)

    Propiedades de una serie estacionaria

    ( ) Media constante (12.1a)

    ( ) Varianza constante (12.1b)

    ( ) ( ) Covarianza depende de , no de (12.1c)

    La exploracin visual no es suficiente. Es necesaria una prueba formal de estacionariedad.

    Modelo AR(1)

    Es un modelo til para explicar la diferencia entre una serie estacionaria y una serie no estacionaria

    | | (12.2a)

    El supuesto | | implica que es estacionaria.

    El proceso AR(1) muestra que cada realizacin de la variable aleatoria contiene una proporcin del valor del periodo

    pasado ms un error que sigue una distribucin con media cero y varianza .

  • Ejemplos, con datos artificiales:

    clear

    set obs 500

    gen t=_n

    tsset t

    gen y=0 in 1

    for num 2/500:replace y=0.7*L.y+rnormal(0,1) in X

    tsline y, ylabel(-6(1)6) yline(0)

    clear

    set obs 500

    gen t=_n

    tsset t

    gen y=0 in 1

    for num 2/500:replace y=1+0.7*L.y+rnormal(0,1) in X

    tsline y, ylabel(-2(1)10) yline(0)

    clear

    set obs 500

    gen t=_n

    tsset t

    gen y=0 in 1

    for num 2/500:replace y=1+0.01*t+0.7*L.y+rnormal(0,1) in X

    tsline y, ylabel(0(4)24)

    clear

    set obs 500

    gen t=_n

    tsset t

    gen y=0 in 1

    for num 2/500:replace y=L.y+rnormal(0,1) in X

    tsline y, ylabel(-8(4)16) yline(0)

    clear

    set obs 500

    gen t=_n

    tsset t

    gen y=0 in 1

    for num 2/500:replace y=0.1+L.y+rnormal(0,1) in X

    tsline y, ylabel(0(10)60)

    clear

    set obs 500

    gen t=_n

    tsset t

    gen y=0 in 1

    for num 2/500:replace y=0.1+0.01*t+L.y+rnormal(0,1) in X

    tsline y, ylabel(0(200)1400)

    -6-5

    -4-3

    -2-1

    01

    23

    45

    6y

    0 100 200 300 400 500t

    -2-1

    01

    23

    45

    67

    89

    10

    y

    0 100 200 300 400 500t

    04

    812

    16

    20

    24

    y

    0 100 200 300 400 500t

    -8-4

    04

    812

    16

    y

    0 100 200 300 400 500t

    010

    20

    30

    40

    50

    60

    y

    0 100 200 300 400 500t

    0

    20

    040

    060

    080

    010

    00

    12

    00

    14

    00

    y

    0 100 200 300 400 500t

  • En general AR(p) incluye los rezagos desde hasta .

    en t=1

    en t=2

    ( )

    en t=3

    ( )

    en t

    En cada trmino que contiene y , el exponente de es y el subndice de es As, por ejemplo, para el

    ltimo trmino de la expresin anterior el exponentes de es y el subndice de es Reordenando

    trminos

    La media de es

    ( ) (

    )

    ( ) ( ) (

    ) ( ) (

    ) ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    para grande y dado que | |

    ( )

    Por lo tanto la media de es [ ] .

    La varianza de es

    ( ) [ [ ]] [ ]

    es decir

    ( ) [

    (

    )]

    ( ) [

    ]

    Desarrollando el polinomio al cuadrado y considerando que el valor esperado de los trminos cruzados en es cero a

    partir del supuesto de no correlacin entre las innovaciones, es decir ( ) [( [ ])( [ ])]

    [ ] para todo , se tiene

  • ( ) [ ]

    [ ] [ ]

    [ ] [ ]

    ( ) ( ) [

    ] ( ) [ ] ( ) [

    ] ( ) [ ] [

    ]

    ( ) ( ) [ ] (

    ) [ ] ( ) [ ] (

    ) [ ] [ ]

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

    para grande y dado que | |

    ( ) ( ) ( )

    Por lo tanto, la varianza de es

    ( )

    La covarianza entre dos errores y que estn distantes periodos es

    ( ) [( [ ])( [ ])] [ ]

    Sustituyendo (9B.4) y el rezago de a periodos de (9B.4) se tiene

    [(

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    )( ( ) ( )

    ( ) )]

    Los trminos cruzados de originarn trminos de covarianza entre y que sern cero, de acuerdo con el

    supuesto ( ) para hecho en (9.31). As, el resultado anterior se simplifica a

    [ ( )

    ( ) ]

    [ ] [ ( )

    ] [ ( ) ]

    [ ] [ ( )

    ] [ ( ) ]

    ( )

    ( )

    As, el modelo AR(1) expresado en (12.2a) es un ejemplo clsico de un proceso estacionario con media cero.

    Los datos del mundo real difcilmente tendrn media cero. Ahora se introduce el caso de una media distinta de cero,

    reemplazando en (12.2a) por como sigue

    ( ) ( )

    despejando

    ( )

  • que puede expresarse como

    | | (12.2b)

    siendo

    Por recursividad se tiene

    ( ) ( )

    ( ) (

    )