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PROCESADORES DIGITALES DE SEÑALES
Transformada Z - II
Sistemas Electrónicos, EPSG
Tema IVTransformada Z:
Contenido de la Sesión
Propiedades de la ROC Estabilidad, causalidad y ROC La Transformada Z inversa:
Método de inspección Descomposición en fracciones simples Desarrollo en serie de potencias
Propiedades de la TZ
Propiedades de la ROC
Las propiedades de la ROC dependen de la naturaleza de la señal: Propiedad 1: La ROC puede ser un anillo
o un disco, 0rR<|z|<rL, centrados en el origen
Propiedad 2: La TF de x[n] converge si y sólo si la región de convergencia de la TZ de x[n] contiene la circunferencia unidad
Propiedad 3: La ROC no tiene ningún polo
Propiedades (continuación...)
Propiedad 4: Si x[n] es una secuencia de duración finita, cero excepto en el intervalo -<N1nN2< , la ROC es el plano z completo, pudiendo exceptuarse los valores z=0 y z=
Propiedad 5: Si x[n] es una secuencia limitada por la izquierda, cero para n<N1<, la ROC se extiende hacia fuera desde el polo finito más exterior de X(z) hasta el valor, que puede incluir, z=
Propiedades (continuación...)
Propiedad 6: Si x[n] es una secuencia limitada por la derecha, o sea, cero para n>N2>- , la ROC se extiende hacia dentro desde el polo finito más interior de X(z) hasta el valor, que puede incluir, z=0
Propiedad 7: Si x[n] es una secuencia bilateral, la ROC será un anillo en el plano z limitado en el interior y en el exterior por un polo y que, según la propiedad 3, no contendrá ningún polo
Propiedades (continuación...)
Propiedad 8: La ROC deber ser una región conexa
Se confirma que la expresión algebraica o el diagrama de polos y ceros no especifican de forma completa la TZ de una secuencia, por lo que es necesario especificar la ROC
Fig. 3.10
Estabilidad, Causalidad y ROCSistema lineal discreto
Diagrama de polos y ceros
)(zHnh TZ
Fig. 3.11
Estabilidad (continuación...)
Se pueden asociar tres posibles ROCs Condición adicional de estabilidad:
Obliga a que h[n] sea absolutamente sumable y por tanto que tenga TF
ROC debe incluir la circunferencia unidad, dado por 1/2<|z|<2
Por tanto h[n] será bilateral y por tanto el sistema es no causal
Fig. 3.11
Estabilidad (continuación...)
Condición de causalidad del sistema: h[n] deberá estar limitada por la
izquierda Propiedad 5, la ROC debe ser |z|>2 El sistema será no estable
Dado el diagrama de polos y ceros, no existe una ROC para la que el sistema sea a la vez estable y causal
Fig. 3.11
La TZ Inversa
Una de las aplicaciones de la TZ es el análisis de sistemas lineales en tiempo discreto, que puede requerir el cálculo de la TZ inversa (TZ-1)
Dada una expresión algebraica y una ROC asociada, existen varios métodos formales e informales para obtenerla: Secuencias y sistemas LTI, suficientes y
preferibles los métodos menos formales
Método de Inspección
Reconocer por simple “inspección” ciertos pares de transformadas, sobre todo aquellas que son “frecuentes”
Las tablas de pares de transformadas Z tienen mucha utilidad para este método
azaz
nua TZn
11
1
Inspección (continuación...)
En ocasiones puede expresarse una determinada TZ como una suma de términos, obteniendo la TZ-1 de cada uno de ellos mediante la tabla de forma independiente
Fracciones Simples
La TZ-1 se puede obtener fácilmente por inspección si la expresión de la TZ se reconoce en una tabla: Algunas veces X(z) no se encuentra
explícitamente utilizando una tabla, pero puede ser expresada de forma alternativa como suma de términos más simples, cada uno de los cuales si aparece en ella
Fracciones (continuación...)
En el caso de las funciones racionales, es posible realizar la descomposición en fracciones simples
Se identifica de una forma simple las secuencias que se asocian a cada uno de los términos
Expresar X(z) como un cociente de polinomios en z-1
Fracciones (continuación...)
N
kk
M
kk
zd
zc
a
bzX
1
1
1
1
0
0
1
1)(
X(z) como cociente de polinomios en z-1
ck ceros distintos de cero de X(z)
dk polos distintos de cero de X(z)
Fracciones (continuación...)
M < N y polos de primer orden
N
k k
k
zd
AzX
111
)(
Coeficientes Ak
kdz
kk zXzdA
)(1 1
Ejemplo Fracción Simple
Ejemplo 3.8 pp. 114 Oppenheim TZ de segundo orden, Fig. 3.12
Fracciones (continuación...)
M N y polos de primer orden
Coeficientes Ak
kdz
kk zXzdA
)(1 1
N
k k
kNM
r
rr zd
AzBzX
11
0 1)(
B se obtiene mediante división polinómica...
Ejemplo Fracción Simple
Ejemplo 3.9 pp. 116 Oppenheim Inversión mediante descomposición
en fracciones simples, Fig. 3.13
Serie de Potencias
Dada una secuencia de longitud finita, X(z) no tiene una representación simple en forma de polinomios en z-1
Podemos expresar X(z) como una serie de potencias a partir de la definición de la TZ:
n
nznxzX )(
Serie (continuación...)
Se puede determinar cualquier valor de la secuencia obteniendo el coeficiente de la potencia apropiada de z-1:
n
nznxzX )(
212 21012 zxzxxzxzx
Ejemplo Serie de Potencias
Ejemplo 3.10 pp. 118 Oppenheim Secuencia de longitud finita
Propiedades de la TZ
Utiles en el estudio de las señales y los sistemas en tiempo discreto
Son la base para la transformación de ecuaciones en diferencia lineales de coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas en términos de la variable de la TZ
Propiedades (continuación...)
La propiedad de linealidad dice que:
21 xx RRROC
Términos simples y método de las fracciones simples...
)()( 2121 zbXzaXnbxnax TZ
Propiedades (continuación...)
La propiedad de desplazamiento en el tiempo indica que:
z-n0 puede alterar el número de polos en z=0 o z=
xnTZ RROCzXznnx )(0
0
Ejemplo Desplazamiento
Ejemplo 3.14 pp. 121 Oppenheim Secuencia exponencial desplazada
Propiedades (continuación...)
La propiedad de multiplicación por una exponencial se expresa como:
xTZn RzROCzzXnxz 000 )/(
La posición de polos y ceros queda afectada por el factor |z0|
La ROC queda afectada por un factor de escala |z0|
Propiedades (continuación...)
Si z0=ejw0 la propiedad de multiplicación por una exponencial se interpreta como una traslación de frecuencia
Modulación en el dominio del tiempo con la secuencia exponencial ejw0n:
)( 00 wwjTFnjw eXnxe
Propiedades (continuación...)
La convolución de secuencias expresa:
21 xx RRROC
)()( 2121 zXzXnxnx TZ
Propiedades (continuación...)
La propiedad de convolución tiene un papel fundamental en el análisis de los sistemas LTI en tiempo discreto: La TZ de la salida del sistema LTI es el
producto de la TZ de la entrada y la TZ de la respuesta al impulso
)()( zXzHnxnh TZ
H(z) es la función de transferencia del sistema LTI
Ejemplo Convolución
Ejemplo 3.19 pp. 126 Oppenheim Realización de la convolución mediante TZ
Propiedades (continuación...)
Tabla 3.2 pp. 127 Oppenheim
Consultar en Oppenheim resto de propiedades de la TZ
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