PROCESADORES DIGITALES DE SEÑALES

Transformada Z - II

Sistemas Electrónicos, EPSG

Tema IVTransformada Z:

Contenido de la Sesión

Propiedades de la ROC Estabilidad, causalidad y ROC La Transformada Z inversa:

Método de inspección Descomposición en fracciones simples Desarrollo en serie de potencias

Propiedades de la TZ

Propiedades de la ROC

Las propiedades de la ROC dependen de la naturaleza de la señal: Propiedad 1: La ROC puede ser un anillo

o un disco, 0rR<|z|<rL, centrados en el origen

Propiedad 2: La TF de x[n] converge si y sólo si la región de convergencia de la TZ de x[n] contiene la circunferencia unidad

Propiedad 3: La ROC no tiene ningún polo

Propiedades (continuación...)

Propiedad 4: Si x[n] es una secuencia de duración finita, cero excepto en el intervalo -<N1nN2< , la ROC es el plano z completo, pudiendo exceptuarse los valores z=0 y z=

Propiedad 5: Si x[n] es una secuencia limitada por la izquierda, cero para n<N1<, la ROC se extiende hacia fuera desde el polo finito más exterior de X(z) hasta el valor, que puede incluir, z=

Propiedades (continuación...)

Propiedad 6: Si x[n] es una secuencia limitada por la derecha, o sea, cero para n>N2>- , la ROC se extiende hacia dentro desde el polo finito más interior de X(z) hasta el valor, que puede incluir, z=0

Propiedad 7: Si x[n] es una secuencia bilateral, la ROC será un anillo en el plano z limitado en el interior y en el exterior por un polo y que, según la propiedad 3, no contendrá ningún polo

Propiedades (continuación...)

Propiedad 8: La ROC deber ser una región conexa

Se confirma que la expresión algebraica o el diagrama de polos y ceros no especifican de forma completa la TZ de una secuencia, por lo que es necesario especificar la ROC

Fig. 3.10

Estabilidad, Causalidad y ROCSistema lineal discreto

Diagrama de polos y ceros

)(zHnh TZ

Fig. 3.11

Estabilidad (continuación...)

Se pueden asociar tres posibles ROCs Condición adicional de estabilidad:

Obliga a que h[n] sea absolutamente sumable y por tanto que tenga TF

ROC debe incluir la circunferencia unidad, dado por 1/2<|z|<2

Por tanto h[n] será bilateral y por tanto el sistema es no causal

Fig. 3.11

Estabilidad (continuación...)

Condición de causalidad del sistema: h[n] deberá estar limitada por la

izquierda Propiedad 5, la ROC debe ser |z|>2 El sistema será no estable

Dado el diagrama de polos y ceros, no existe una ROC para la que el sistema sea a la vez estable y causal

Fig. 3.11

La TZ Inversa

Una de las aplicaciones de la TZ es el análisis de sistemas lineales en tiempo discreto, que puede requerir el cálculo de la TZ inversa (TZ-1)

Dada una expresión algebraica y una ROC asociada, existen varios métodos formales e informales para obtenerla: Secuencias y sistemas LTI, suficientes y

preferibles los métodos menos formales

Método de Inspección

Reconocer por simple “inspección” ciertos pares de transformadas, sobre todo aquellas que son “frecuentes”

Las tablas de pares de transformadas Z tienen mucha utilidad para este método

azaz

nua TZn

11

1

Inspección (continuación...)

En ocasiones puede expresarse una determinada TZ como una suma de términos, obteniendo la TZ-1 de cada uno de ellos mediante la tabla de forma independiente

Fracciones Simples

La TZ-1 se puede obtener fácilmente por inspección si la expresión de la TZ se reconoce en una tabla: Algunas veces X(z) no se encuentra

explícitamente utilizando una tabla, pero puede ser expresada de forma alternativa como suma de términos más simples, cada uno de los cuales si aparece en ella

Fracciones (continuación...)

En el caso de las funciones racionales, es posible realizar la descomposición en fracciones simples

Se identifica de una forma simple las secuencias que se asocian a cada uno de los términos

Expresar X(z) como un cociente de polinomios en z-1

Fracciones (continuación...)

N

kk

M

kk

zd

zc

a

bzX

1

1

1

1

0

0

1

1)(

X(z) como cociente de polinomios en z-1

ck ceros distintos de cero de X(z)

dk polos distintos de cero de X(z)

Fracciones (continuación...)

M < N y polos de primer orden

N

k k

k

zd

AzX

111

)(

Coeficientes Ak

kdz

kk zXzdA

)(1 1

Ejemplo Fracción Simple

Ejemplo 3.8 pp. 114 Oppenheim TZ de segundo orden, Fig. 3.12

Fracciones (continuación...)

M N y polos de primer orden

Coeficientes Ak

kdz

kk zXzdA

)(1 1

N

k k

kNM

r

rr zd

AzBzX

11

0 1)(

B se obtiene mediante división polinómica...

Ejemplo Fracción Simple

Ejemplo 3.9 pp. 116 Oppenheim Inversión mediante descomposición

en fracciones simples, Fig. 3.13

Serie de Potencias

Dada una secuencia de longitud finita, X(z) no tiene una representación simple en forma de polinomios en z-1

Podemos expresar X(z) como una serie de potencias a partir de la definición de la TZ:

n

nznxzX )(

Serie (continuación...)

Se puede determinar cualquier valor de la secuencia obteniendo el coeficiente de la potencia apropiada de z-1:

n

nznxzX )(

212 21012 zxzxxzxzx

Ejemplo Serie de Potencias

Ejemplo 3.10 pp. 118 Oppenheim Secuencia de longitud finita

Propiedades de la TZ

Utiles en el estudio de las señales y los sistemas en tiempo discreto

Son la base para la transformación de ecuaciones en diferencia lineales de coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas en términos de la variable de la TZ

Propiedades (continuación...)

La propiedad de linealidad dice que:

21 xx RRROC

Términos simples y método de las fracciones simples...

)()( 2121 zbXzaXnbxnax TZ

Propiedades (continuación...)

La propiedad de desplazamiento en el tiempo indica que:

z-n0 puede alterar el número de polos en z=0 o z=

xnTZ RROCzXznnx )(0

0

Ejemplo Desplazamiento

Ejemplo 3.14 pp. 121 Oppenheim Secuencia exponencial desplazada

Propiedades (continuación...)

La propiedad de multiplicación por una exponencial se expresa como:

xTZn RzROCzzXnxz 000 )/(

La posición de polos y ceros queda afectada por el factor |z0|

La ROC queda afectada por un factor de escala |z0|

Propiedades (continuación...)

Si z0=ejw0 la propiedad de multiplicación por una exponencial se interpreta como una traslación de frecuencia

Modulación en el dominio del tiempo con la secuencia exponencial ejw0n:

)( 00 wwjTFnjw eXnxe

Propiedades (continuación...)

La convolución de secuencias expresa:

21 xx RRROC

)()( 2121 zXzXnxnx TZ

Propiedades (continuación...)

La propiedad de convolución tiene un papel fundamental en el análisis de los sistemas LTI en tiempo discreto: La TZ de la salida del sistema LTI es el

producto de la TZ de la entrada y la TZ de la respuesta al impulso

)()( zXzHnxnh TZ

H(z) es la función de transferencia del sistema LTI

Ejemplo Convolución

Ejemplo 3.19 pp. 126 Oppenheim Realización de la convolución mediante TZ

Propiedades (continuación...)

Tabla 3.2 pp. 127 Oppenheim

Consultar en Oppenheim resto de propiedades de la TZ