PROCESADORES DIGITALES DE SEÑALES

Transformada Z - III

Sistemas Electrónicos, EPSG

Tema IVTransformada Z:

Contenido de la Sesión

Análisis en el dominio transformado: Ecuaciones en diferencia Función de transferencia

Sistemas LTI: Condición de estabilidad Condición de causalidad

Sistemas inversos

Ecuaciones en Diferencia

Sistemas LTI para los cuales la relación entre la entrada y la salida se expresa por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes:

Se analizan mejor en el dominio de la TZ...

M

kk

N

kk knxbknya

00

Ecuaciones ( continuación...)

Aplicando la TZ y haciendo uso de las propiedades desplazamiento temporal y linealidad:

M

kk

N

kk knxbTZknyaTZ

00

M

kk

N

kk knxTZbknyTZa

00

Ecuaciones ( continuación...)

M

k

kk

N

k

kk zXzbzYza

00

)()(

)()(00

zXzbzYzaM

k

kk

N

k

kk

N

k

kk

M

k

kk

za

zb

zX

zYzH

0

0

)(

)()(

Expresión algebraica de la función de transferencia

Ecuaciones ( continuación...)

La expresión algebraica de H(z) como cociente de polinomios en z y z-1 resulta más conveniente expresarla en forma factorizada:

N

kk

M

kk

zd

zc

a

b

zX

zYzH

1

1

1

1

0

0

1

1

)(

)()(

Ecuaciones ( continuación...)

Cada uno de los factores (1-ckz-1) del numerador contribuye con un cero en z=ck y con un polo en z=0

Cada uno de los factores (1-dkz-1) del denominador contribuye con un cero en z=0 y con un polo en z=dk

Resultará inmediato pasar de la H(z) a la ecuación en diferencias y viceversa

Ejemplo Ecuaciones

Ejemplo 5.2 pp. 247 Oppenheim Sistema de segundo orden

Estabilidad y Causalidad

Si un sistema es LTI se cumplirá que Y(z)=H(z)X(z), resultando inmediato el poder pasar de la H(z) a la ecuación en diferencias y viceversa

Es necesario establecer condiciones adicionales de estabilidad y causalidad

Estabilidad (continuación...)

Suponemos que el sistema es causal: h[n] deberá ser una secuencia limitada

por la izquierda ROC de H(z) deberá ser el exterior del

polo más externo

Ejemplo 3.1 pp. 99 Oppenheim

Propiedad 5 de la ROC pp. 106 Oppenheim

Estabilidad (continuación...)

Suponemos que el sistema es estable: h[n] deberá ser absolutamente sumable Para |z|=1, la ROC de H(z) deberá incluir

la circunferencia unidad

n

n

n

znhnh

Ejemplo Estabilidad

Ejemplo 5.3 pp. 248 Oppenheim Determinación de la ROC

Fig. 5.4

Estabilidad (continuación...)

Sobre la estabilidad y causalidad: No son condiciones necesariamente

compatibles Para que un sistema LTI sea a la vez

estable y causal, la ROC de H(z) deberá ser el exterior del polo más externo e incluir la circunferencia unidad, lo que requiere que todos los polos estén en el interior de la circunferencia unidad

Sistemas Inversos

Dado un sistema LTI con una H(z), se define el sistema LTI inverso como un sistema con Hi(z) tal que si se coloca en cascada con H(z), la función efectiva de transferencia que resulta es la unidad:

)(

1)(1)()()(

zHzHzHzHzG ii

nnhnhng i

Sistemas (continuación...)

Nnxnxny

Generador de ecos

N=1000; % Retardo alfa=0.5; % Factor de atenuación

% Sistema con ecos b=[1 zeros(1,999) alfa];

% Filtrado ve=filter(b,1,voz); sound(ve,fs)% Reproducción con ecos

Generador de ecos en MATLAB...

Sistemas (continuación...)

jwNefXfXfY

jwNefXfY 1

jwNefX

fYfH 1

Generador de ecos

H(f) función de transferencia...

Sistemas (continuación...)

Sistema inverso al generador de ecos

Hi(f) función de transferencia inversa...

jwNefX

fYfH 1

jwNi efHfH

1

11

Sistemas (continuación...)

Sistema inverso al generador de ecos en MATLAB...

Sistema inverso al generador de ecos

nxNnyny

% Sistema a=[1 zeros(1,999) alfa];

% Señal sin ecos y=filter(1,a,ve); sound(y,fs) % Reproducción sin ecos

Sistemas (continuación...)

No todos los sistema tienen inverso: El filtro pasabajo ideal no tiene, dado

que no hay forma de recuperar componentes de frecuencia por encima de la frecuencia de corte del mismo

Muchos sistemas tienen inverso, siendo útiles aquellos con H(z) racional...

Sistemas (continuación...)

N

kk

M

kk

zd

zc

a

bzH

1

1

1

1

0

0

1

1)(

Adición de posibles ceros y/o polos en z=0 y z=

Ceros en z=ck y polos en z=dk

Sistemas (continuación...)

M

kk

N

kk

i

zc

zd

b

a

zHzH

1

1

1

1

0

0

1

1

)(

1)(

Los polos de Hi(z) son los ceros de H(z) y viceversa

Sistemas (continuación...)

Para que g[n]=h[n]*hi[n]=[n] tenga sentido, las ROCs de H(z) y Hi(z) deben solaparse

Si H(z) es causal, su ROC será:

kkdmaxz

Cualquier ROC de Hi(z) que se solape será válida

Ejemplo Sistemas Inversos

Ejemplo 5.4 pp. 250 Oppenheim Sistema inverso de un sistema de

primer orden

Ejemplo 5.5 pp. 251 Sistema inverso de un sistema con un

cero en la región de convergencia

Sistemas (continuación...)

Si H(z) es un sistema causal con ceros en ck, k=1,..., M, el sistema inverso será causal si y sólo si asociamos a Hi(z) la región de convergencia:

kkcmaxz

Sistemas (continuación...)

Si a la vez se desea que el sistema inverso sea estable, entonces la región de convergencia de Hi(z) deberá contener a la circunferencia unidad:

1kkcmax

Sistemas (continuación...)

Un sistema LTI que es causal y estable tendrá un sistema inverso también causal y estable si y sólo si los ceros y los polos de H(z) están en el interior de la circunferencia unidad: Estos sistemas LTI se denominan

sistemas de fase mínima