Multiplikasjon og divisjon - LaUDiM · • Gjentatt subtraksjon - tallinje eller tall 96, 84, 72,...

Kunnskap for en bedre verden

Hvordan utvikle språk om multiplikasjon og divisjon på småskoletrinnet?Oda Tingstad BurheimCharlottenlund skole

Frode RønningInstitutt for matematiske fagNTNU

Kunnskap for en bedre verden 2

• Mål for prosjektet:– Få større kunnskap om læringsmiljøets betydning for utvikling av

matematisk tenking og forståelse– Utvikle elevenes evne til å framstille matematikk, muntlig og skriftlig,

diskutere matematikk, begrunne hvorfor noe er riktig eller ikke• Samarbeid mellom NTNU og to barneskoler• Designet bygger på Teorien for didaktiske situasjoner

(Brousseau, 1997)

www.laudim.no

Kunnskap for en bedre verden 3

Fasene i en didaktisk situasjon

Devolusjon(overlevering)

Analyseavmålkunnskapenogoppgavedesign

Aksjon

Validering

Formulering

Institusjonalisering=lærer”inaktiv”

Kunnskap for en bedre verden 4

Introduksjon av divisjon på 3. trinn

• Målingsdivisjon eller delingsdivisjon?

Kunnskap for en bedre verden 5

Elevenes strategier

• Tegne og telle

• Gjentatt addisjon - tallinje eller tall12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96

• Gjentatt subtraksjon - tallinje eller tall96, 84, 72, 60, 48, 36, 24, 12

Kunnskap for en bedre verden 6

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden 8

Arbeid med målingsdivisjon

• Innføring av symbolet : og språket “delt i”, basert på elevenes forklaring av strategier

• 96 : 12 “96 delt i tolvere”

• Naturlig språk (skriftlig og muntlig), tegning og symbolspråk

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden 11

Introduksjon av delingsdivisjon

• Tekstoppgaver

• Elevene hadde færre strategier, “dele ut en og en”

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden 15

Modeller for multiplikasjon

• Like grupper– Gjentatt addisjon

• Multiplikativ sammenligning– … ganger så mange som …

• Rate – mål per enhet · antall enheter

• Kartesisk produkt– Antall kombinasjoner

• Rektangulært areal

(Greer,1992)

Kunnskap for en bedre verden

●●●●

●●●●

●●●●

■ Multiplikasjon:3barnhar4lekebilerhver.Hvormangelekebilerhardetilsammen?

■ 3gruppermed4ihver■ 3 ·4 =12■ 3 – multiplikator■ 4 – multiplikand■ 12- produkt

■ Delingsdivisjon:3barnskaldele12lekebiler.Hvormangefårhver?■ 12:3 = 4■ 12- dividend■ 3 - divisor■ 4- kvotient

■ Målingsdivisjon:12lekebilerdelesslikathverfår4biler.Hvormangekanfå?■ 12:4 = 3■ 12- dividend■ 4- divisor■ 3 - kvotient

Kunnskap for en bedre verden 17

Intuitive modeller

• For multiplikasjon: Gjentatt addisjon• For divisjon: Delingsdivisjon• Disse modellene er rotfestet i menneskers mentale

handlinger, men de er ufullstendige og vil etter hvert komme i konflikt med de formelle begrepene multiplikasjon og divisjon (Fischbein, Deri, Nello, & Marino, 1985)

• Men kanskje det ikke er så enkelt?• Kan målingsdivisjon være like intuitivt?• Hvorfor vektlegge målingsdivisjon?

Kunnskap for en bedre verden

Lekse

Kunnskap for en bedre verden 19

Begrensninger i gjentatt addisjon og delingsdivisjon• 3 · 4 = 12 – tenkt som gjentatt addisjon• multiplikator · multiplikand = produkt

• 12 : 3 = 4 – tenkt som delingsdivisjon• dividend : divisor = kvotient

Måværeheltall

Behøverikkeåværeheltall

Måværeheltall

Behøverikkeåværeheltall

Kunnskap for en bedre verden 20

Hvorfor målingsdivisjon?

• 12 : 3 = 4 – tenkt som delingsdivisjon• dividend : divisor = kvotient

• 12 : 4 = 3 – tenkt som målingsdivisjon• dividend : divisor = kvotient

Behøverikkeåværeheltall

Behøverikkeåværeheltall

Behøverikkeåværeheltall

Måværeheltall

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden

48:6=8

Detsomskaldeles

Såmangedeler

Kunnskap for en bedre verden 23

Konsekvent språkbruk

• 3 ·4 =12 forståssom”trefirere”• 12:4 = 3 forståssom”12deltifirere”• 12:3 = 4 forståssom”12deltpåtre”

●●●●

●●●●

●●●●

Kunnskap for en bedre verden

Firefemmere

20deltpåfire

Kunnskap for en bedre verden

Hererdettrefirere

Delingsdivisjon

Kunnskap for en bedre verden

Hererdetfirefemmere

Målingsdivisjon

Kunnskap for en bedre verden

Når divisor ikke er et heltall

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden

Kunnskap for en bedre verden 31

Referanser

Brousseau, G. (1997). The theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques, 1970-1990 (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland & V. Warfield, Red. & Overs.). Dordrecht, Nederland: Kluwer.

Fischbein, E., Deri, M., Nello, M. S., & Marino, M. S. (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 16(1), 3-17.

Greer, B. (1992). Multiplication and division as models of situations. I D. A. Grouws (red.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 276-295). New York, NY: Simon and Schuster Macmillan.