metode numerik 2

Outline

Metode Numerik

Drs. Dafik, M.Sc, Ph.D.

Universitas Jember

Fakultas Keguruan dan Ilmu PendidikanUniversitas Jember

PS Pend. Matematika

Dafik Metode Numerik

Outline

Outline

1 Norm

2 Sistem Persamaan Linear

3 Sistem PDB

Dafik Metode Numerik

Outline

Outline

1 Norm

2 Sistem Persamaan Linear

3 Sistem PDB

Dafik Metode Numerik

Outline

Outline

1 Norm

2 Sistem Persamaan Linear

3 Sistem PDB

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Contoh Soal

Norm x

x = [2 3 4 − 1 0 2]

Tentukan ||x || ||x ||2?

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Contoh Norm

Contoh Soal

1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |

∑nk=1 akxk−1|.

Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.

||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Contoh Norm

Contoh Soal

1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |

∑nk=1 akxk−1|.

Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.

||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Contoh Norm

Contoh Soal

1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |

∑nk=1 akxk−1|.

Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.

||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Contoh Norm

Contoh Soal

1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |

∑nk=1 akxk−1|.

Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.

||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Contoh Norm

Contoh Soal

1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |

∑nk=1 akxk−1|.

Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.

||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Contoh Norm

Contoh Soal

1 dalam IR2, ||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|}.2 dalam IRN , ||a|| = max0≤x≤1 |

∑nk=1 akxk−1|.

Jawab1 ||x || ≥ 0 sebab 2, 3, |.| adalah positip.2 Misal α ≥ 0 −→ ||αx || = α||x ||?.

||x || = max{3|x1|+ 2|x2|, 2|x1|+ 3|x2|||αx || = max{3|αx1|+ 2|αx2|, 2|αx1|+ 3|αx2|}||αx || = max{α(3|x1|+ 2|x2|), α(2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α max{(3|x1|+ 2|x2|), (2|x1|+ 3|x2|)}||αx || = α||x ||

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Penyelesaian Sistem Linear

Metode Langsung

Ax = b

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Solusi Iteratif

Metode Jacobi

Ax = b

(D − L − U)x = b; D=diag Mat, L=-Seg Baw, U=-Seg At

Dx − (L + U)x = b

Dx = (L + U)x + b

x = D−1(L + U)x + D−1b

xn+1 = D−1(L + U)xn + D−1b.

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Metode Numerik untuk Sistem PDB

Persamaan Diferensial Biasa

dydx

= f (x , y) atau y ′ = f (x , y).

Contoh: dydx = 3xy

Solusi:

dydx

= 3xy

dy = 3xy dx∫dy =

∫3xy dx∫

1y

dy =

∫3x dx

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Metode Numerik untuk Sistem PDB

Persamaan Diferensial Biasa∫1y

dy =

∫3x dx

ln y =32

x2 + c

y = e32 x2+c

y = e32 x2 · ec

y = Ke32 x2

Solusi Analitik

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Metode Numerik untuk Sistem PDB

Metode Euler

y(xn+1) = y(xn) +h1!

y ′(xn)

yn+1 = yn + hf (xn, yn) (1)

Contoh

Gunakan metoda Euler untuk menyelesaikan persamaandifrensial berikut{ dy

dt = f (t , y) = y − t 0 ≤ t ≤ 1y(0) = 0.5

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Metode Numerik untuk Sistem PDB

Metode Euler

y(xn+1) = y(xn) +h1!

y ′(xn)

yn+1 = yn + hf (xn, yn) (1)

Contoh

Gunakan metoda Euler untuk menyelesaikan persamaandifrensial berikut{ dy

dt = f (t , y) = y − t 0 ≤ t ≤ 1y(0) = 0.5

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Metode Numerik untuk Sistem PDB

Metode Euler

Solusi analitik dari persamaan ini adalah y(t) = t + 1 − 0.5et .Selanjutnya dengan menetapkan h = 0.1 dapat dihitung solusinumeris sebagai berikut.

n = 0 → t0 = 0 dany0 = 0.5;

y1 = y0 + hf (x0, y0) = 0.5 + 0.1f (0, 0.5) = 0.5500

n = 1 → t1 = 0 + 1 ∗ 0.1 dany1 = 0.55;

y2 = y1 + hf (x1, y1) = 0.55 + 0.1f (0.1, 0.55) = 0.59,

dan seterusnya. Lakukan dengan cara yang sama sehinggadiperoleh tabel berikut ini:

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Metode Numerik untuk Sistem PDB

n tn yn y(tn) en

1 0.0 0.5000 0.5000 0.00002 0.1 0.5500 0.5474 0.00263 0.2 0.5950 0.5893 0.00574 0.3 0.6345 0.6251 0.00945 0.4 0.6679 0.6541 0.01386 0.5 0.6947 0.6756 0.01917 0.6 0.7142 0.6889 0.02538 0.7 0.7256 0.6931 0.03259 0.8 0.7282 0.6872 0.0410

10 0.9 0.7210 0.6702 0.050811 1.0 0.7031 0.6409 0.0622

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Metode Numerik untuk Sistem PDB

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

__ : Solusi numeris y_n

oo : Solusi analitik y(x)

Figure 1. The illustration of definition

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Sistem PDB Order Satu

Contoh Sistem PDB

Dalam fenomena riel, banyak masalah muncul dalam sebuahsistem. Bagaimana cara menyelesaikan dengan metodenumerik?

u′′′ + u′′v ′ = xv

v ′ + v +u

1 + x= cos x

dimana u(0) = −1, u′(0) = 1, u′′(0) = 1, v(0) = 1

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Transformasi Sistem PDB

Solusi

Misal y1 = u, y2 = u′, y3 = u′′ dan y4 = v , maka

y ′1 = u′ = y2,

y ′2 = u′′ = y3,

y ′3 = u′′′ = xy4 − y3(cos x − y4 −y1

1 + x),

y ′4 = v ′ = cos x − y4 −y1

1 + x.

Nilai awal seakarang adalahy1(0) = −1, y2(0) = 1, y3(0) = 1, y4(0) = 1.

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Transformasi Sistem PDB

Solusi

Dalam vektor dapat ditulis sebagai berikut:

y =

y ′1y ′2y ′3y ′4

=

y2

y3

xy4 − y3(cos x − y4 − y11+x )

cos x − y4 − y11+x

Nilai awalnya berubah menjadi

y0(0) ==

y ′1y ′2y ′3y ′4

=

−1

111

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Transformasi Sistem PDB

Metode Euler

yn+1 = yn + hf(xn, yn) (2)

Hitunglah Nilai yn+1 ini

Dafik Metode Numerik

NormSistem Persamaan Linear

Sistem PDB

Transformasi Sistem PDB

Metode Euler

yn+1 = yn + hf(xn, yn) (2)

Hitunglah Nilai yn+1 ini

Dafik Metode Numerik