MehTek 6-Gubici

HIDRAULIČKI GLATKE I HRAPAVE STIJENKE

• Kada su neravnine (hrapavost) potpuno potopljene u laminarnom podsloju onda te stijenke zovemo hidraulički glatke

• Kada one izlaze iz podsloja onda su te stijenke hrapave• Naravno da je ova hrapavost relativan pojam i ovisi o Re (jer i debljina

graničnog sloja ovisi o Re) odnosno brzini strujanja

STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj

Bezdimenzionalni profil brzina u laminarnom graničnom sloju (za Rex< 500 000) prema Blasius (1905).

Posmično naprezanje na kontaktu sa krutom pločom je izvedeno direktno iz gradijenta brzina:

0

5 0. xU

1 200 0 332 Re /, x

Ududy x

Turbulencija u graničnom sloju

Reynoldsov opis turbulentnog strujanja

v v v

'T T T

'p p p

1x x x x Bx y z

v v v v u pv v vt x y z x x

2 2 2

2 2 2

' '' ' ' 'x yx x x x x x zv vv v v v v v vx y z x y z

x x x x

x y zv v v vv v vt x y z

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1B x x x x x xT

u v v v v v vpx x x y z x y z

Prandtlov opis turbulecije

Zanemarivo

STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj

Nakon tranzicije nastupa turbulentni granični sloj koji ima bitno složeniju strukturu.

Veći dio graničnog sloja sačinjen je od turbulentne zone sa vrtlozima i fluktuacijom parametara strujanja.

U neposrednoj blizini zida fluktuacije su prigušene te prevladavaju laminarni uvjeti strujanja (viskozni podsloj).

Vrijednost linijskog gubitaka ELIN za cijev kružnog poprečnog profila s promjerom D i duljine L može se odrediti temeljem Darcy-Weisbach koeficijenta otpora (trenja) .

Odnos koeficijenta otpora i naprezanja uz samu stjenku cijeviw definiran je izrazom:

Koeficijent je u općem slučaju funkcija Re (Reynoldsov broj i /D (relativna hrapavost).

U laminarnom strujanju = f (Re)= 64/Re (za Re<2300)

STRUJANJE POD TLAKOM U OKRUGLIM CIJEVIMASTRUJANJE POD TLAKOM U OKRUGLIM CIJEVIMA

STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – otpor trenjaOtpor trenja u turbulentnom strujanju kroz cijev povezuje gubitak mehaničke energije hLIN (linijski gubici) s srednjom brzinom strujanja.

Izraz prema Darcy-Weisbach:

je Darcy-Weisbach-ov bezdimenzionalni koeficijent trenja.

Utjecaj viskoznosti tekućine i apsolutne hrapavosti pri srednjoj brzini V u proticajnom presjeku promjera D definira je s dva bezdimenzionalna parametra: Re i ks / D (relativna hrapavost).

Hidraulički glatka cijev = f(Re):

Prelazno područje = f(Re, ks /D):

Hidraulički hrapava cijev = f(ks /D):

Laminarno strujanje

1 Re2log

2 51,

1 2 512log3 71Re/,,

sk D

1 3 712log ,/sk D

64Re

D

Moody-ev dijagram

Za praktičnu upotrebu eksplicitni izraz prema Sweme i Jain (1976):

2

0 9

0 25

5 74log3 7 Re ,

,,

,skDISPRINTAT DIAGRAM

MOODY-ev DIJAGRAM - korištenje

Izračunamo Reynoldsov broj i podignemo vertikalu do krivulje relativne hrapavostite očitamo koeficijent linijskih gubitaka lambda

Re = 6 x 105

Relativna hrapavost

Koeficijent linijskih gubitaka

U turbulentnom režimu (Re>2300) nema analitičkog rješenja Navier-Stokesove jednadžbe te se za koriste eksperimentalni podaci (grafički prikaz u Moodyjevom dijagramu).

U laminarnom režimu je = f (Re), prelaznom režimu = f (Re, /D) dok je u turbulentno-hrapavom režimu = f (/D).

Osim linijskih gubitaka pojavljuju se i lokalni gubici ELOK mehaničke energije, inducirani promjenom geometrije toka odnosno krutih granica (suženja, proširenja, račve, zatvarači).

Kao i u slučaju linijskih gubitaka, lokalni gubici se proračunavaju vezano na kinetičku energiju (član v2/2g).

Vrijednosti koeficijenata lokalnih gubitaka dobivaju se eksperimentalno.

STRUJANJE POD TLAKOM U CIJEVIMASTRUJANJE POD TLAKOM U CIJEVIMA

LINIJSKI GUBICI PRI STACIONARNOM JEDNOLIKOM STRUJANJU

• Jednoliko stacionarno strujanje moguće je uz uvjet da se živi (proticajni) presjek ne mijenja

• Kao karakteristika geometrije nepromjenjivog živog presjeka dovoljno je (osim podataka o obliku) poznavati jednu linearnu veličinu (D ili R npr.)

• Gubitak tlačne visine bit će proporcionalan duljini cijevi• Analizom se može dobiti da je općenito hlin:

Δ – apsolutna hrapavostR – hidraulički radijusL – duljina promatranog

tokaRe- Reynolds-ov brojFr- Froude-ov broj

2

, Fr,Re4 4 2

lin

L vh fR R g

• Veličina (bezdimenzionalna)

zove se koeficijent otpora trenja po duljini toka ili Darcy-jev koeficijent• Pri strujanju pod tlakom utjecaj težine isključujemo iz promatranja i tada se za

cijev kružnog presjeka dobiva:

pa možemo pisati:

(Na ovu jednadžbu ćemo se pozvati kasnije – R je hidraulički radius)

,Fr,Re4

f

R

,Re fD

2

4 2

linL vh mR g

LINIJSKI GUBICI PRI STACIONARNOM JEDNOLIKOM STRUJANJU

• Veličina (bezdimenzionalna)

zove se koeficijent otpora trenja po duljini toka ili Darcy-jev koeficijent• Pri strujanju pod tlakom utjecaj težine isključujemo iz promatranja i tada se za

cijev kružnog presjeka dobiva:

pa možemo pisati:

(Na ovu jednadžbu ćemo se pozvati kasnije)

,Fr,Re4

f

R

,Re fD

2

4 2

linL vh mR g

LINIJSKI GUBICI PRI STACIONARNOM JEDNOLIKOM STRUJANJU

a za tok u cijevi kružnog presjeka:

pa možemo reći da je:

2

2

linL vhD g

linLD

LINIJSKI GUBICI PRI STACIONARNOM JEDNOLIKOM STRUJANJU

Koeficijent linijskih gubitaka lambda smo definirali ranije jednadžbama i nacrtali u Moodyevom diagramu

Jednadžba za srednju brzinu i protok pri jednolikom strujanju• Iz ranije jednadžbe:

dobivamo

uvodimo pojam hidraulički pad koji je pri jednolikom strujanju jednak piezometarskom padu

pa dobivamo Chezy-jevu jednadžbu:gdje se C zove Chezy-jev koeficijentChezyeva jednadžba se u ovom obliku najčešće koristi za otvorene vodotoke

8

linhgRvL

linh IL

8g C

v C RI

LINIJSKI GUBICI PRI STACIONARNOM JEDNOLIKOM STRUJANJU

2

4 2

linL vh mR g

• Chezy-jeva formula za brzinu postavljena je 1769. g na temelju iskustva i mjerenja na francuskim rijekama

• Smatralo se da je Chezy-jev broj C konstanta za pojedini vodotok, no iz analize graničnog sloja se vidi da je C složena funkcija

• Budući da Chezy-jev broj nije konstanta, mnogi istraživači dali su aproksimacije jednostavnijim funkcijama

• Vrlo dobru aproksimaciju Chezy-jevog broja daje MANNING-STRICKLER-ova jednadžba:

n – Manning-ov koeficijent hrapavostik=1/n – Strickler-ov koeficijent brzine

1 6

2 3 1 2

1

1

C Rn

v R In

LINIJSKI GUBICI PRI STACIONARNOM JEDNOLIKOM STRUJANJU

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

• Kao što smo ranije rekli lokalni gubici energije su oni koji nastaju lokalno na koljenima, ventilima, zatvaračima, suženju ili proširenju, račvanju ili sl.

• Uobičajeno je lokalne gubitke izražavati u odnosu na brzinsku visinu• Pri postojanju lokalnog otpora obično su brzine prije i poslije otpora različite

pa se lokalni gubitak energije može izraziti pomoću brzinske visine prije otpora v1

2 /2g ili iza otpora v22/2g pa možemo napisati općeniti oblik

jednadžbe za proračun lokalnih gubitaka:

2 2' ''1 2

2 2lok lok lokv vhg g

Linijski i lokalni gubici

LOKALNI GUBICI

Dodatni energetski gubitak lokalnog karaktera definira se izrazom proporcionalnosti sa kinetičkom energijom izraženom u obliku brzinske visine:

Koeficijent lokalnog gubitka je bezdimenzionalan

Referentna brzina V u praksi se uglavnom odnosi na srednju brzinu u nizvodnoj dionici cjevovoda.

Vrijednosti koeficijenta dobivaju se eksperimentalno a analitičko rješenje moguće samo za slučaj naglog proširenja.

2

2VVh

g

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

• Svaki lokalni otpor ima svoju vrijednost koeficijenta gubitka ξ koji se obično određuje eksperimentalnim putem (a ponekad i teoretski)

• Razmotrimo nekoliko primjera tipičnih lokalnih gubitaka u ovisnosti o uzrocima:a) naglo proširenje tokab) naglo suženje tokac) normalni ulaz u cijevd) ulaz iz cijevi u mirnu tekućinue) oštro koljenof) koljeno sa zavojemg) zasun

NAGLO PROŠIRENJE

Fazonskim komadima se omogućuje proširenje, suženje ili skretanje trase cjevovoda (uzrokuje se nejednolikost strujanja).

Pri naglom proširenju cijevi deformira se profil brzina zbog inercije čestica tekućine.

Dolazi do odvajanja graničnog sloja i formiranja zona intenzivnog vrtloženja sa povećanim gubitkom mehaničke energije.

Na određenoj udaljenosti nizvodno od pozicije naglog proširenja ponovno se uspostavlja jednoliko strujanje sa odgovarajućim profilom brzina.

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

a) Naglo proširenje toka (teoretski riješeno)

2 21 1 1 2 2 2

. . 1 22 2n prp v p vh z zg g g g

• Da bi izračunali hn.pr. upotrijebiti ćemo zakon o održanju količine gibanja:

→ vanjske sile tlaka (p1-p2)A2

→ sila teže GcosΘ=ρgA2(z1-z2)• Promjena količine gibanja:

pa imamo (ako upotrijebimo jednadžbu kontinuiteta v1A1=v2A2

' 2 ' 22 2 2 1 1 1v A v A

' '2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2

' '2 2 2 1 1 1 2 1 2

odnosno:

A v v v A p p gA z z

v v v p p g z z

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

alfa crtano je Bussineskov koeficijnet - zanemarit

• Ako ovo uvrstimo u početnu jednadžbu za hn.pr.dobivamo točno rješenje:

• Iskustvo pokazuje da su kod turbulentnog strujanja vrijednosti koeficijenata α’≈1 pa ćemo aproksimirati α1

’= α2’=α1=α2=1

pa ostaje:

• smatrajući razliku v1-v2 izgubljenom brzinom možemo reći:

Gubitak energije koji nastaje pri naglom proširenju jednak je izgubljenoj brzinskoj visini (Bordin teorem)

' ' 2 22 2 2 1 1 1 1 2 2

. . 2 2n pr

v v v v vhg g g

21 2

. . 2

n pr

v vh

g

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

• Ovo možemo izraziti u obliku:2 2

2 1. .

1

2 22 2

. .1

2 21 1

. .2

2 22 1

. .1

1 ili2

12

ili pomoću jednadžbe kontinuiteta:

12

12

n pr

n pr

n pr

n pr

v vhv g

v vhv g

A vhA g

A vhA g

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

• Dakle gubitak energije ovisan je samo o odnosu presjeka i brzini• Podaci za ove i druge otpore se mogu naći u priručnicima (slijede primjeri)

2 2

' ''1 2. . . .

2 1

2 2' ''1 2

. . . . . .

ili ako uvedemo 1 i 1

2 2

n pr n pr

n pr n pr n pr

A AA A

v vhg g

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

27

2g

b) Naglo suženje tokaKada se kod suženja površina presjeka od A1 smanji na A2 koeficijent poprima različite vrijednosti ovisno o odnosu površina:

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

Koeficijent se odnosina nizvodnu brzinu

29

2g

c) Normalni ulaz u cijev

kod oštrog brida

Zaobljenjem se može smanjiti

na 0,20-0,25, a s veoma blagim zaobljenjem na 0,05-

0,1.Ako je cijev pod kutom β prema

horizontali i bez zaobljenja:

'' 0,5 ul ul

20,5 0,303sin 0,226sinul

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

31

d) Ulaz iz cijevi u mirnu tekućinu

pa je lokalni gubitak energije:

2' 1

2

'2 1 .

1

pošto je 1iz

AA

A A

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

Istjecanje u atmosferu

Istjecanje u vodospremu

e) Oštro koljeno

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

f) Koljeno sa zavojem

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

g) Zasun

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

LOKALNI GUBICI ENERGIJE

2 2

2 2

1 1

2

2 4 4

4 4

4 4

4 4

4 4

2 2

2

12

2

1

i ni n

n mi i i

tr lok lin i ii i i

ntr

n n i ni i

i i i

n

n i ni i

i i i

D Dv v

v L vh h h

g D g

vH hg

v D L DH

g D D D

gHv

D L DD D D

2

11

23

1

2

1 2

1 3

2

2

H

tr

hp gh

ntr

vpH h hg g

vH hg

H H H

Referentna ravnina

38

1 1

2 2

p ghp gh

0

2 21 1 2 2

2 2 11

1 2 1

1 2 1

1

2 2

2

2

2

2

p v p vg g g g

p pv

v p p

gv h h

v g h

PITOT CIJEV ZA MJERENJE BRZINE U VODOTOKU

Torricelli-jeva jednadžba 39

PRANDTL-PITOT CIJEV ZA SUSTAVE POD TLAKOM

1 1

2 2

p ghp gh

0

2 21 1 2 2

1 2 1

1 2 1

1

2 2

2

2

2

p v p vg g g g

v p p

v g h h

v g h

40

41

Venturijevo suženje

MJERNA DIJAFRAGMA

1CC

d

AC

A

22

1 1 22 2

C Cp vp vg g g g

1 D C C d dv A v A v A

12 22 2

2 2

1 1

d dd d C

d dC C

D D

A AQ A v p p g HA AC CA A

ENERGETSKA LINIJA

PIEZOMETARSKA LINIJA

42

VENTURIJEV VODOMJER

22 2 2

2

1

2

1

vAQ A v C g HAA

E.L.

P.L.

.2

2

konstgv

gp

z iii

43

VENTURIJEV VODOMJER

22 2 2

2

1

2

1

vAQ A v C g HAA

44

ISTJECANJE KROZ OTVOR MALIH DIMENZIJA D<<H

koeficijent gubitakauslijed kontrakcije2 2

00

0

teoretski , ; 2 4

zbog gubitaka uslijed viskoznosti:

2

2

C CC

C v

C C C v

v A DH C Ag A

v C gH

Q v A C C A gH

Brzina u sredini otvora se može usvojiti kao srednja brzina

45

ISTJECANJE KROZ OTVOR VELIKIH DIMENZIJA D≈H

2

1

koeficijent korekcijeenergije u presjeku

3 2 3 22 1

1

2

2 za B=const.

2 23

za 0 istjecanje prelazi u prelijevanje

z

z

dQ g z B C dz

Q B C g z dz

Q B C g z z

z

Brzina u sredini otvora nije jednaka srednjoj brzini

46

NATEGA (primjer sa apsolutnim tlakom)

> 0

47

48

Početak energetske i piezometarske linije

Na ulazu je košara!

49

Kraj energetske i piezometarske linije

50

STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – linijski i lokalni gubici

P.L

51

a) Dodavanje energije u tok vode – crpka

,sila putsnaga pumpe =vrijeme

P id

gV HN gQHt

, ;

P stvgQHN ,

,

koeficijent djelovanja pumpe P id

P stv

NN 0,8 0,9

DODAVANJE I ODUZIMANJE ENERGIJE ČESTICAMA TEKUĆINE

HE.L.

E.L.

52

Crpka u tlačnom sustavu

P.L

Crpkama i turbinama se u tok unosi ili iz toka ekstrahira mehanička energija.

Na poziciji ugrađenih crpki ili turbina se na energetskoj liniji lokalno pojavljuje skok (pumpa) odnosno pad (turbina).

Osnovni parametri u proračunu crpke su visina dizanja crpke HP i protok kroz njuQP koji se želi održati u sustavu.

P.L

P.L

53

54

55

56

KoljenoZasun

Crpka

GUBITAK NA USISNOJ GOŠARI

GUBITAK NA VERTIKALNOM DIJELU CIJEVIGUBITAK NA KOLJENUKINETIČKA ENERGIJA

57

Fontane

3m

2m

Vodoskok

Sapnica

Crpke

Pumpama i turbinama se u tok unosi ili iz toka ekstrahira mehanička energija.

Na poziciji ugrađenih pumpi ili turbina pojavljuje se lokalni skok (pumpa) odnosno pad (turbina) u energetskoj liniji.Osnovni parametri u proračunu pumpe su visina dizanja pumpe HP i protok kroz pumpu QP koji se želi održati u sustavu.

Primjena Bernoullijeve jednadžbe za strujanje realne tekućine u sustavu pod tlakom daje rješenje za vrijednost dizanja pumpe HP:

2 2

( )2

d l d lA d l d l

p p v vH z z H Hg g

razlika geodetskih razina slobodnih vodnih lica u lijevoj i desnoj komori

razlika tlačne energije u lijevoj i desnoj komori

razlika kinetičkeenergije u lijevoj i desnoj komori

suma gubitaka mehaničke energije od presjeka„l“ do „1“

suma gubitaka mehaničke energije od presjeka „2“ do „d“

Potrebna snaga pumpe definirana je izrazom:

- stupanj efikasnosti prijenosa snage pumpe na proticajnu tekućinu ( uvijek manji od 1).

ηP Pρ g Q HP

Crpke

Visina dizanja pumpe HP sadrži dvije komponente: statička HP-stat koja ne ovisi o protoku QP i dinamička komponenta HP-din koja ovisi o protoku QP.

Crpke

Fontane

TURBINE

b) Pretvaranje energije toka vode u električnu energiju - turbina

, T stv TN gQH, ;T idN gQH

H

E.L.

E.L.

62

Turbine se najčešće pojavljuju i u objektima namijenjenim za korištenje vodnih snaga. Ovisno o raspoloživoj razlici potencijala gornje i donje vode usporni objekti (brane) dijele se na niskotlačne, srednje i visokotlačne.

Karakteristične vrijednosti razlika razina donje i gornje vode H nalaze se u rasponu:- Niskotlačno postrojenje H < 15m - Srednjetlačno postrojenje H = 15-50m - Visokotlačno postrojenje H > 50m

Turbine

Tipovi turbina u ovisnosti o raspoloživoj razlici potencijala gornje i donje vode.

Snaga koja se ostvaruje radom turbine izražava se na način:

- stupanj efikasnosti prenosa snage pumpe na proticajnu tekućinu ( uvijek manji od 1).

t T T TP g Q H

Tip turbine pad HT[m]

Pelton 2000-100

Francis 150-80

Kaplan i cijevne turbine 80-2

TURBINE

64

Turbine

Peltonova turbina

Francisova turbina

Kaplanova turbina65