1

3-2 Transmisioni gubici toplote provođenjem, konvekcijom, zračenjem

3-2.1 Prenos toplote provođenjem – kondukcija (provođenje) ustaljeno neustaljeno Prenos toplote kroz čvrste materijale zove se provođenje toplote. Dešava se usled razlike temperatura u materijalu na različitim mestima, a intenzitet zavisi od vrste materijala. U osnovi analize provođenja toplote stoji jednačina temperaturnog polja. Ona se dobija preko bilansa energije, što će se pokazati za prost primer na slici 1.

x

Qx Qx+dx

dx

A

y

z

xdxd

θsi

θse

Slika 1. U vezi bilansa energije za problem jednodimenzionalnog provođenja

Pretpostavlja se da je • temperaturno polje je jednodimenzionalno i neustaljeno (funkcija je vremena t i samo koordinate x) Bilans energije za elementarno debeli čvrst sloj je (zapaziti, nema mehaničkih snaga u bilansu ukupne energije, već samo razmene toplote)

x x dx

dEQ Q

dt+= − . (1)

Promena energije E elementarnog sloja tokom vremena odgovara samo promeni unutrašnje energije (jer nema kretanja niti promene položaja):

dE dU d d dmc V c dxA c

dt dt d d d

θ θ θ= = = ρ = ρτ τ τ

. (2)

Korišćenjem Tejlorovog razvoja biće, na elementarnoj debljini dx:

...xx dx x

dQQ Q dx

dx+ = + + . (3)

Smenom (2) i (3) u (1) dobija se

xdQdcAdx dx

dt dx

θρ = − , odnosno xdQdcA

dt dx

θρ = − . (4)

Ovde je x xQ Aq= , a prema Furijeovom "zakonu" je

x

dq

x dx

∂θ θ= −λ = −λ∂

(u trodimenzionalnom slučaju je q = −λ θ�grad ), (5)

te je

2

x x

dQ Aq A

dx

θ= = − λ . (6)

Smenom (6) u (4) dobija se

2

2( )xdQd d d d

cA A Adt dx dx dx dx

θ θ θρ = − = λ = λ . (7)

Nakon grupisanja i delenja sa λρA (ne menjaju se duž koordinate x) dobija se

2

2

d d

dt c dx

θ λ θ=ρ

, 0 x d≤ ≤ . (8)

Ovo je diferencijalna jednačina neustaljenog jednodimenzionalnog temperaturnog polja u čvrstom materijalu. Uz odgovarajuce granične uslove i početni uslov, rešenje jednačina je neustaljeno polje temperature ( , )t xθ = θ . Tek nakon nalaženja temp. polja, korišćenjem (6) može da se odredi toplotni protok u pravcu x, ( , )x xQ Q t x= ,

u svakom trenutku t i u svakoj ravni normalnoj na koordinatu x. Na sličan način, iz bilansa energije za opšti slučaj todimenzionalnih temperaturnih polja dobija se opšta jednačina

2 2 2

2 2 2t c x y z

∂θ λ ∂ θ ∂ θ ∂ θ= + + ∂ ρ ∂ ∂ ∂ , ili 2a

t

∂θ = ∇ θ∂

, (9)

gde je λ - toplotna provodljivost materijala, W/mK (termofizičko svojstvo materijala – ovde se svuda smatra

konstantom materijala),

ac

λ≡ρ

- toplotna difuzivnost, m2/s.

3-2.1.1 Jednodimenzionalno ustaljeno provođenje toplote Za jednoslojnu homogenu pregradu, u ustaljenom režimu prenosa toplote biće

d

dt

θ 2

2

d

c dx

λ θ= ρ , tj.

2

20

d

dx

θ= u oblasti 0 x d≤ ≤ . (10)

Dvostrukom uzastopnom integracijom uz granične uslove prve vrste (date su temperature na granicama x=0 i x=d) dobija se

( )( ) (0) ( ) (0)x

x dd

θ = θ + θ − θ , 0 x d≤ ≤ , (11)

a primenom (5) biće specifični toplotni protok jednak

( ) ( ) ( )1 1 1( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) (0) ( )

/

dq x x d d d

dx d d R= −λ θ = −λ θ − θ = θ − θ = θ − θ

λ. (12)

Ovde je /R d= λ - toplotni otpor provođenja toplote, m2 K/W.

Zapaziti da je ovde polje θ linearno, a specifični tplotni protok se menja duž zida. Samo za takav slučaj (ustaljeni) definiše se R. Prostim algebarskim kombinacijama mogu da se dobiju i ekvivalentni toplotni otpori za složenije nehomogene višeslojene pregrade (Slika 2). Ove opet mogu da se kombinuju u još složenije, za koje takođe mogu da se definišu ekvivalentni toplotni otpori.

3

Qx

x

d1

θs1

d2

Qx

dn

θse

θs2

θs(n-1)

Qx

A

θsi

x

d

θse

A1

θsi

A2

An

Qx,1

Qx,2

Qx,n

... ...

Slika 2. Višeslojne pregrade: levo) Redno postavljeni slojevi, desno) paralelno postavljeni slojevi

Višeslojna pregrada sa redno postavljenim slojevima duž pravca x

Ako je u pitanju pregrada sa n redno postavljenim slojevima (priljubljenih neposredno, Slika 2, levo), tada se u ustaljenom režimu provodi jednak specifični toplotni protok, i za sve slojeve može da se napiše sledeći sistem jednačina:

( ),1 11

1x x siq q

R= = θ − θ , 1 1x siq R = θ − θ ,

( ),2 1 22

1x xq q

R= = θ − θ , 2 1 2xq R = θ − θ ,

…

( ), 11

x x n n sen

q qR

−= = θ − θ , 1x n n seq R −= θ − θ . (13)

Sabiranjem svih prethodnih jednačina dobija se

( ) ( )1

1 1...x si se si se

n

qR R R

= θ − θ = θ − θ+ +

. (14)

Ovde je sa R označeno

11 1

1 1... ...

/ /nn n

R R Rd d

≡ + + = + +λ λ

, (15)

i to je ukupni toplotni otpor pregrade sa svim redno postavljenim slojevima. Pregrade sa paralelno postavljenim slojevima u pravcu x Ako je u pitanju pregrada sa paralelnim slojevima (Slika 2, desno) tada za svaki sloj može da se napiše:

( ),1

11

11x si seQ

RA

= θ − θ ,

….

( ),1

1x n si se

nn

Q

RA

= θ − θ . (16)

Sabiranjem se dobija sva toplota koja kroz ukupnu površinu svih slojeva

( ),1 ,

11

1 1... ( ... )

1 1x x x n si se

nn

Q Q Q

R RA A

= + + = + + θ − θ . (17)

Prosečni specifični toplotni protok po jedinici ukupne površine biće

( )1

1...

x xx si se

n

Q Qq

A A A R= = = θ − θ

+ +, (18)

gde je

4

1 11

1

... ......n n

nn

A A A AR R R

A A

+ + + += + + . (19)

i to je specifični otpor pregrade, ali sa paralelno postavljenim slojevima. U svim prethodnim izrazima, λ se odnosi na "homogeni" materijal, od kojeg je sačinjena "homogena" pregrada. Vrednosti za koeficijent toplotne provodljivosti date su tablicom 3.4.1.2 u Pravilniku:

Вредност коефицијента топлотне проводљивости, λm [ W/(m⋅K)], m-тог слоја елемента, дебљине d [m], усваја се према табели 3.4.1.2, или се доказује испитивањем у складу са важећим стандардима и прописима.

Табела 3.4.1.2 – Хигротермичке особине грађевинских материјала и производа (skraćeni izvod)

Материјал / производ

Густина, ρ

kg/m3

Специфична

топлота, c

J/(kg⋅K)

Топлотна проводљиво

ст, λ

W/(m⋅K)

Релативни коефицијент дифузије

водене паре, µ

I ЗИДОВИ

1 800 920 0,76 12 1. Пуна опека (шупљикавост 0 до 15 %)

1 600 920 0,64 9

1 400 920 0,58 7

1 200 920 0,47 5

1 400 920 0,61 6 2. Шупљи блокови и и шупља опека (густина заједно са отворима) 1 200 920 0,52 4

3. Порозна опека 800 920 0,33 2,5

1 900 880 1,05 35 4. Клинкер опека, пуна клинкер опека, шупља 1 700 880 0,79 30

5. Блокови од електрофилтерског пепела 1 500 920 0,58 5

1 300 920 0,47 4

6. Силикатна пуна опека 2 000 920 1,10 20

.... 3-2.1.2 Višedimenzionalno ustaljeno provođenje toplote Razmotrimo dvodimenzionalno ustaljeno temperatursko polje za slučaj jako dugačke (beskonačne) grede sa poprečnim presekom kao na slici 2.

l

x

y

θ(x,b) = θ2b

t(x,y)

l

x

y

θ= 0.10 θ2

θ(0,y) = θ1

θ(l,y) = θ1

θ(x,0) = θ1

b

θ(0,y) = θ1

θ(x,b) = θ2

θ(l,y) = θ1

θ(x,0) = θ1

θ(x,y) =const.

q(x,y) =const.

Slika 3. Dvodimenzionalni uslovi za pravougaoni presek beskonačne grede

Diferencijalna jednačina temperaturnog polja za dvodimenzionalni ustaljeni problem prolaza toplote glasi

5 2 2

2 20 , 0 , 0x l y b

x y

∂ θ ∂ θ= + ≤ ≤ ≤ ≤∂ ∂

. (20)

Granicni uslovi neka su svuda prve vrste:

1( , ) , 0, 0x y x y bθ = θ = ≤ ≤ , (201)

1( , ) , , 0x y x l y bθ = θ = ≤ ≤ , (202)

1( , ) , 0 , 0x y x yθ = θ ≤ ≤ θ = , (203)

2( , ) , 0 ,x y x l y bθ = θ ≤ ≤ = . (204)

Resavanjem (metodom razdvajanja promenljivih) se dobija polje1

( )1 2 11

( , ) sin sinhnn

x yx y C n n

l l

∞

=

θ = θ + θ − θ π π ∑ ,

12 ( 1) 1/ sinh

n

n

bC n

n l

+ − + ≡ π π . (21)

Očigledno je da treba sabirati beskonačni red. To se može uraditi, pribljižno tačno, i rezultati se mogu prikazati u vidu izotermi kao na Slici 2 (desno). Razmenjena toplota provodjenjem kroz dvodimenzioni sloj, dobija se prvo izračunavanjem gradijenata na nekom mestu

( )2 11

( , ) 1cos sinhn

n

x y x yC n n n

x l l l

∞

=

∂θ = θ − θ π π π ∂ ∑ , (22)

( )2 11

( , ) 1sin coshn

n

x y x yC n n n

y l l l

∞

=

∂θ = θ − θ π π π ∂ ∑ . (23)

Na mestu y=b, iz (23) se kolokacijom dobija:

( ) ( )2 1 2 11 1

( , ) 1sin cosh sinn n

n n

x b x b xC n n n D n

y l l l l

∞ ∞

= =

∂θ = θ − θ π π π = θ − θ π ∂ ∑ ∑ , (23)

što u kombinaciji sa Furijeovim zakonom daje izraz za izračunavanje specifičnog toplotnog protoka na mestu z=b:

( )2 11

( , )( , ) siny n

n

x b xq x b D n

y l

∞

=

∂θ = −λ = −λ θ − θ π ∂ ∑ . (23)

Ukupni toplotni protok po jedinici dužine grede (u pravcu z ose- normalne na crtež, površine A=1 l), na mestu y=b biće

( ) ( )2 1 2 11 10 0

1 cos( )( , ) sin

x l x l

y n nn nx x

x nQ q x b dx D n D l

l n

= =∞ ∞

= == =

− π = = −λ θ − θ π = −λ θ − θ π ∑ ∑∫ ∫ɺ . (24)

Odnosno, skraćeno,

( )2 1Q S= λ θ − θɺ , (25)

gde je

1

cos( ) 1n

n

nS l D

n

∞

=

π −=π∑ . (26)

Nalaženje ovog S nije, očigledno, rezultat elementarnih procesa, kao ni izračunavanje S. Ali, ako bi se to uradilo (negde, i jednom) tada bi izračunavanje Q, između dva različita dela površine, sa različitim ustaljenim temperaturama, bilo praktično vrlo jednostavno – prema (25). Faktori oblika (Conduction Shape Factors) u dvo- i tro-dimenzionalnom provođenju toplote

Generalno, nalaženje analitičkog rešenja za dvo- i višedimenzionalne slučajeve je vremenski zahtevno a, u većini slučajeva nije ni moguće. Stoga se pristupa na drugačiji način. Na primer, u mnogo situacija, dvo- i više

1 ( )2sinhx x

e e x−− =

6 dimenzioni problemi mogu brzo da se reše korišćenjem postojećih rešenja. Ova rešenja se iskazuju preko tzv. faktora oblika za provođenje toplote (Conduction shape factor). Faktor oblika, S, definiše se prema relaciji

( ) ( )1 2 1 21

1 /Q S

S= λ θ − θ = θ − θ

λɺ , (27)

gde je razlika temperatura između dve granice tela, a λ toplotna provodivost materijala. Faktor oblika S se dobija analitički (vidi jdn. 25 i 26) za niz dvo- i trodimenzionih problema, i rezultati mogu da se sistematizuju u gotovim tablicama. U sledećoj tablici dati su za ovde tri karakteristična slučaja, a mnogo obimniji pregled nalazi se u specijalizovanog literaturi. konfiguracija skica uslovi S provođenje kroz ivicu spojenih zidova jednake debljine

/ 5W L > 0.54 L

provođenje kroz ugao tri zida jednake debljine

L ≪ širine i visine 0.15 L

/ 1.4a b >

( )2

0.93ln 0.948 /L

a b

π

kanal kvadratnog preseka

/ 1.4a b <

( )2

0.785ln /L

a b

π

Faktor oblika S ima dimenziju dužine. On zavisi samo od geometrije sistema.Čim je faktor oblika S poznat za neki slučaj, ukupna toplota koja se ustaljeno prenosu računa se iz (27) korišćenjem dve konstantne temperature dveju površina i toplotna provodivost medijuma između površina. Faktor oblika može da se koristi samo ako je prenos toplote između površina provođenjem. Ne može da se koristi kada je između površina tečnost ili gas, koji su u prirodnoj ili prinudnoj konvekciji.

3-2.2 Prenos toplote konvekcijom – prelaz toplote Prenos energije u fluidima obično se dešava kretanjem delića fluida. U mnogo inženjerskih problema, fluid dolazi u kontakt sa čvrstim površinama koje su na temperaturama različitim od temperature fluid dalje od površine kontakta. Temperaturna razlika i stohastično kretanje fluidnih delića rezultuje kroz prenos energije poznat kao konvektivni prenos toplote.

7

x

θs=θse

θs=θsi

θoo=θi

θoo=θe

Slika 4. Dvodimenzionalni uslovi za pravougaoni presek beskonačne grede

Konvektivni prenos može da nastane usled tečenja fluida usled spoljnih prinuda, kao što je pumpe ili ventilatori u procesima poznatim kao prinudna konvekcija. U odsustvu ovih elemenata, proces konvekcije može da nastane usled gradijenta gustine gradijenta u fluidu, što je pak posledica gradijenta temperature. U takvom slučaju prenos toplote konvekcijom se zove prirodna konvekcija. Postoje i slučajevim kada prenos toplote nastaje usled oba spomenuta uzroka i onda se prosto zove mešovita (kombinovana) konvekcija. Konvektivni prenos toplote je za analizu mnogo složeniji u odnosu na kondukciju: postoji kretanje fluida, kao i nehomogeno temperaturno polje u fluidu, što uslovljava da se jednačine kretanja fluida i jednačine energije razmatraju i rešavaju simultano. Ipak, na kraju analiz se pokazuje da se razmena toplote između površine zida i fluida, ili flida i zida, može zapisati kao (tzv. Njutnov zakon hlađenja):

( )s sQ hA ∞= θ − θɺ , ili ( )s sQ hA ∞= θ − θɺ , (28)

gde je h – prosečni koeficijent prenosa toplote konvekciom ka površi zida sa površinom A. Temperatura θs je uvek temperatura površine zida (ovde se smatra nezavisnom od mesta na površini), a θoo – temperatura fluida daleko od zida (temperatura u neporemećenom toku). Jednostavan oblik izraza (28) ne znači i jednostavnu njegovu praktičnu uportrebu. Razlog je što teorijski, a i praktično, koeficijent prelaza h ne može da se odredi sasvim tačno, budući da zavisi od mnogo faktora: geometrije površine, brzine fluida, kao i od termofizičkih svojstava fluida. Osim toga, koeficijent prelaza zavisi i od veličine površine, kao i njene temperature. Kao posledica, lokalni koeficijent prelaza može da bude različit u odnosu na prosečni koeficijent prelaza za neku površinu. Međutim, u mnogo praktičnih primena, inženjeri mogu da rade uglavnom sa prosečnim koeficijentom prelaza. Prenos toplote prirodnom konvekcijom

Prirodna konvekcija nastaje usled razlike gustina u fluidu. Ove razlike postoje usled temperaturnog gradijenta u fluidu. Kada se telo greje (hladi) ubaci u hladni (topli) fluid, temperaturna razlika između tela i fluida uzrokuje razmenu toplote između njih, što rezultuje pojavom gradijenta gustine u fluidu. Usled ovog gradijenta, ređi delovi fluuida idu gore a gušći (hladniji) idu dole. Koeficijent prelaza toplote (i kao posledica, intenzitet prenosa toplote u prirodnoj konvekciji) je genealno manji nego kod prinudne konvekcije jer su manje "sile" mešanja fluida kod prirodne konvekcije. Problemi prirodna konvekcija mogu da se podele na dve kategorije: spoljašnja prirodna konvekcija i unutrašnja prirodna konvekcija. Koeficijent prelaza kod prirodna kovekcija na spoljnim površinama tela (od interesa za razmenu toplote između vazduha u zagrevanom prostoru i unutrašnje površine termičkog omotača zagrevanog prostora) bila je iscrpno proučavana, i rezultati se obično korelišu jednačinom sledećeg oblika:

( )Nu RahL

f= =λ

. (29)

gde je Nuselt-ov broj, Nu, mera intenziteta prenosa toplote konvekcijom između čvrste površine i fluida. Poznavanjem Nu, koeficijent prelaza, h, može da se izračuna. Zapaziti da je u jednačini (29), λ - toplotna provodljivost fluida (vazduha, u našem slučaju) a Ra - je Rejli-jev broj, koji iskazuje odnos uzgonskih sila i sila inercije. Rejli-jev broj je definisan kao

( ) 3

Rag L

a

∞β θ − θ=

ν, (30)

8

gde je β - koeficijent toplotnog širenja fluida na stalnom pritisku, jednak je 1/T (T je apsolutna temperatura u Kelvinima) za idealne gasove (vazduh), L - je karakteristična dužina, ν je kinematska viskoznost fluida, i a temperaturna difuzivnost. Opširni pregled različitih korelacija može da se nađe u specijalizovan literaturi, a ovde se daju neke od interesa za problematiku građevinske fizike. Tablica 2.1.2 Korelacije za prirodnu kovekciju spolja (Kreider, str.) Konfiguracija Korelacija Ograničenja

( )( )

2

1/6

8 / 279 / 16

0.387RaNu 0.85

1 0.492 / Pr

= + +

-1 1210 Ra 10< < 0 Pr<

Vertikalna, ili nagnuta ploča, sa konstantnim temperaturama

( )1 / 4Nu 0.56 Ra cos= θ 5 1110 Ra cos 10< θ < 0 89≤ θ ≤ o

1 / 4Nu 0.54RaL L= 5 710 Ra 10L< <

0.5 Pr<

Horizontalna ploča sa toplom površinom gore, ili hladnom površinom dole L=površina/Obim=A/P

1 / 3Nu 0.15RaL L= 7 1010 Ra 10L< <

0.5 Pr<

Horizontalna ploča, sa toplom površinom dole, ili hladnom površinom gore L=površina/Obim=A/P

1 / 4Nu 0.27RaL L= 5 1010 Ra 10L< <

0.5 Pr<

.... Prenos toplote prinudnom konvekcijom

Prenos toplote kod prinudne konvekcije dešava se kada je pomoćnim sredstvima, pumpama, ventilatorima, ili usled prirodnog fenomena kao vetar, obezbeđeno kretanje preko površine. Ovaj se proces dešava u mnogo inženjerskih problema, pa i kod problema grejanja i hlađenja objekata. Kao i kod prirodne konvekcije, najveći problem je određivanje koeficijenta prelaza toplote. Procesi prenosa toplote prinudnom konvekcijom mogu da se podele na dve kategorije: spoljašnja prinudna i unutrašnja prirodna konvekcija. Problemi prinudne spoljne kovekcije važni su u različitim slučajevima kao što su procene toplotnih gubitaka sa spoljnih zidova objekata u vetrovitom ambijenatu. Radi rešavanja ovakvih problema istraživači su provodili mnoge eksperimente radi razvoja korelacija za procenu prenosa toplote. Eksperimentalni rezultati dobijeni za spoljašnju konvekciju su obično iskazuju ili korelišu jednačinama u obliku

( ) ( )Nu Re Prf g= , (31)

9 gde f i g reprezentuju funkcionalne zavisnosti Nuseltovog broja od Rejnoldsovog, Re, i Prandtlovog broja Pr. Rejnoldsov broj je bezdimenzijski i reprezentuje odnos inercijalnih i viskoznih sila,

RevL=ν

, (v – brzina tečenja, m/s), (32)

a Prantlov je jednak

Pra

ν= , (33)

što je odnos "difuzivnosti" impulsa i temperature. U tablici su date dve od mngih jednačina, koje bi mogle da se koriste za procenu koeficijenta prelaza toplote konvekcijom sa spoljne površine zidova, prozora i sl. na okolni vazduh, u uslovima jakog uticaja vetra na razmenu toplote. Tablica 2.1.2 Korelacije za prirodnu kovekciju spolja (Kreider, str.) Konfiguracija Korelacija Ograničenja

1 / 2 1 / 3Nu 0.664Re Pr= 5Re 5 10< × 0.6 Pr≤

Ravna ploča, globalno tečenje je paralelno sa površinom ploče ( )4/5 1 / 3Nu 0.037Re 871 Pr= − 5 55 10 Re 100 10× < < ×

0.6 Pr 60≤ < Toplotni otpori prenosa toplote konvekcijom

Prema izrazu (28)

( ) ( ) ( )1 11 /s s s s

s

Q hA A Ah R

∞ ∞ ∞= θ − θ = θ − θ = θ − θɺ , (34)

definisan je toplotni otpor konvektivne razmene toplote, 1 /sR h= , m2K/W. Njegova konkretna vrednost može

da se izračuna preko h, a h – prema nekoj od prethodno datih korelacionih jednačina, za svaki poseban slučaj. Međutim, prema važećem Pravilniku, vrednosti toplotnih otpora usled konvektivne razmene toplote sa unutrašnje površine, siR , i površine prema ambijentu, seR , treba da se uzimaju (nema računanja) saglasno sa

tablicom 3.4.1.1. u Pavilniku.

Табела 3.4.1.1 : Отпор прелазу топлоте и Fxi вредности

Отпор прелазу топлоте, у m²⋅K/W

Топлотни проток ка спољњој средини, преко

грађевинског елемента одређеног типа Rsi Rse Rsi + Rse

Фактор корекције температуре, Fxi

Грађевински елементи који се граниче са спољним ваздухом

Спољни зид: невентилисан вентилисан

0,13 0,13

0,04 0,13

0,17 0,26

1,0 1,0

Равни кровови: невентилисано вентилисано

0,10 0,10

0,04 0,10

0,14 0,20

1,0 1,0

Међуспратна конструкција изнад отвореног пролаза: невентилисано вентилисано

0,17 0,17

0,04 0,17

0,21 0,34

1,0 1,0

Коси кровови: невентилисани вентилисани

0,10 0,10

0,04 0,10

0,14 0,20

1,0 1,0

Грађевински елементи који се граниче са негрејаним просторима

Зид ка негрејаном простору 0,13 0,13 0,26 0,5 Међуспратна конструкција ка негрејаном кровном

простору 0,10 0,10 0,20 0,8

Међуспратна конструкција изнад негрејаног простора

0,17 0,17 0,34 0,5

10

Зид ка негрејаној зимској башти (стакленику), са спољним застакљењем зимске баште:

Једноструко стакло, U > 2,5 W/(m²⋅K) Изолационо стакло, U ≤ 2,5 W/(m²⋅K) Побољшано стакло, U ≤ 1,6 W/(m²⋅K)

0,13

0,13

0,26

0,7 0,6 0,5

Грађевински елементи у контакту са тлом

зид у тлу, или делимично укопан 0,13 0,0 0,13 0,6 под на тлу 0,17 0,0 0,17 0,5 Међуспратна конструкција у тлу 0,10 0,0 0,10 0,6

Грађевински елементи између два грејана простора различите температуре

Зид између зграда, зид који раздваја просторе различитих корисника, или зид ка грејаном степеништу

0,13 0,08 0,21 0,8

Међуспратна конструкција која раздваја простор између различитих корисника

0,10 0,08 0,18 0,8

Zapaziti, za građevinske elemente koji su u kontaktu sa tlom – nema konvektivne razmene (nema vetra na dodiru elementa i tla).

3-2.3 Prenos toplote zračenjem

3-2.4 Kombinovani prenos toplote na granicama fluid-čvrsto

3-2.5 Transmisioni gubici toplote – Koeficijent prolaza toplote i

Koeficijent transmisionog gubitka Transmisioni gubitak za spoljni zid (na primer) može da se izračunata prema izrazu

( )1i e

si se

Q Aq AR R R

= = θ − θ+ +

ɺ . (35)

Može da se napravi odnos

( )i e

QU

A=

θ − θ

ɺ

, (36)

gde je U – koeficijent prolaza toplote, W/m2K, i samo za konkretni slučaj (ovde spoljni zid), može da se izračuna kao:

1

si se

UR R R

=+ +

, W/m2K . (37)

Prethodno Qɺ bi bilo ukupni transmisioni prolaz (ovde gubitak) kada bi temperaturna polja bila strogo jednodimenzionalna. To međutim nije slučaj: mogu da se očekuju toplotni tokovi i porečno na bočne strane, prema spojevima zida i međuspratnih konstukcija, kao i kroz neke spojeve ili otvore na zidu, pa bi stvarni gubitak morao da se koriguje – uzimanjem ovih uticaja (tzv. toplotnih mostova) u razmatranje. Jednostavno,

trebalo bi dodato neku vrednost, TBQɺ , tako da je sada ukupni, stvarni, toplotni gubitak za spoljni zid bio:

T TBQ Q Q= +ɺ ɺ . (38)

Ovde je

TQ - ukupni transmisioni gubitak preko spoljneg zida, W,

Qɺ - toplotni gubitak kroz zid pod pretpostavkom da je polje jednodimenzionalno, W,

TBQɺ - gubitak preko tzv. toplotnih mostova (korekcija, budući da polje nije svuda jednodimenzionalno), W.

Sasvim formalno, korekcija TBQɺ može da se izrazi analogno izrazu (36)

11

( )TB

TBi e

QU

A= ∆

θ − θ

ɺ

, (39)

čime je definisan

TBU∆ - "koeficijetnt prolaza" za toplotne mostove na spoljnjem zidu, W/m2K.

Zapaziti da je TBU∆ definicijom uvedena veličina. Njena vrednost ne može da se odredi bez detaljne analize

prenosa sa dvo (i tro) – dimenzionalnim poljima temperature. Međutim, empirijskim praćenjem tipskih konstukcija spoljnih zidova može da se nađe opseg očekivanih vrednosti, pa time i neka njena prosečna vrednost. Prema tome, ukupni toplotni gubitak transmisijom kroz zid o kojem je reč, mogao bi sa velikom tačnošću da se izračuna prema formuli

( ) ( ) ( )( )T TB i e TB i e TB i eQ Q Q UA U A UA U A= + = θ − θ + ∆ θ − θ = + ∆ θ − θɺ ɺ . (40)

Delenjem prethodnog sa ( )i eθ − θ dobija se

( )T

Ti e

QH=

θ − θ, (41)

gde je TH – koeficijent transmisionog prolaza toplote, W/K, i samo za konkretni slučaj (ovde spoljni zid), može

da se izračuna – očigledno kao:

T TBH UA H= + , W/K (42)

gde je skraćenica

TB TBH U A= ∆ . (43)

Ako se sada posebno izračuna TH , ukupni transmisioni gubitak se lako dobija iz () kao

( )T T i eQ H= θ − θ , (44)

ili kao

( )T T i eQ H A′= θ − θ , (45)

gde je sada /T TH H A′ = - specifični koeficijent transmisionog prolaza toplote, W/m2K,

/T T TBH H A U U′ ≡ = + ∆ . (43)

Opšta definicija koeficijenta prolaza toplote, U W/m2K, i koeficijenta transmisionog prolaza HT, W/K, za svaki građevinski element Nisu međutim sve građevisnke konstukcije (koje čine deo termičkog omotača grejanog prostora) takve da se se transmisioni gubitak javlja usled razlike ( )i eθ − θ - kako je to bilo očigledno iz uvodnog primera. Na primer,

za pod na tlu, ili neka ukopana graševinska kostrukcija (koja je deo termičkog omatača grejanog prostora), čak nije u neposrednom kontaktu sa okolnim vazduhom pa ni nema kovektivne razmene. Iz razloga unifikovanog tretmana transmisionih gubitaka, i u ovakvim slučejevima se definišu koeficijent prolaza, koeficijentu prolaza usled toplotnih mostova, i sve ostalo kao u uvodnom primeru. Naime, za svaki građevinski element (neki α - element), svaki deo termičkog omotača grejanog prostora, definisane su veličine koeficijenta prolaza toplote, Uα , i koeficijenta transmisionog gubitk toplote, ,TBU α∆ , i

to na sledeći način:

( )i e

QU

A

αα

α α

=θ − θ

ɺ

, (44)

( ),

,TB

TBi e

QU

A

αα

α α

= ∆θ − θ

ɺ

. (45)

12

Koeficijent Uα ne može uvek da se izračuna jednostavno kao u uvodnom primeru, već na različite načine.

Zavisno od vrste građevinskog elementa, način izračunavanja je propisan – zavisno od klase kojoj pripada: ... Вредности Uα [ W/(m2⋅K)] прорачунавају се у складу са стандардом SRPS EN ISO 13789 и посебним

стандардима: � за нетранспарентне грађевинске елементе, изузев подова и зидова у тлу и зид-завеса, у складу са

стандардом SRPS EN ISO 6946; � за подове и зидове у тлу у складу са стандардом SRPS EN ISO 13370; � за грађевинске елементе типа прозора, балконских врата и ролетни у складу са стандардом SRPS EN

ISO 10077-1 и SRPS EN ISO 10077-2; � за зид-завесе у складу са стандардом SRPS EN 13947; � за стакла у складу са стандардима SRPS EN 673 и SRPS EN 410; � за елементе за зидање зиданих зидова и зидане зидове, у складу са стандардом SRPS EN 1745. Osim toga, proračunata vrednost koeficijenta prolaza toplote, Uα W/m2K, mora da bude manja (ili jednaka)

najvećoj vrednosti, maxU W/m2K, koja je propisana, zavisno od klase elementa, i čije su vrednosti date

tablicom 3.4.1.3 Pravilnika.

max,U Uα α≤ .

... Највеће допуштене вредности коефицијената пролаза топлоте, Umax [W/(m2⋅K)], елемената термичког омотача зграде, односно елемената између две суседне термичке зоне, садржане су у табели 3.4.1.3. Ове вредности се примењују и на унутрашње грађевинске конструкције које се граниче са просторијама у којима је температура ваздуха при пројектној температури спољњег ваздуха (период грејања) мања од 12 ºC. Табела 3.4.1.3 – Највеће дозвољене вредности коефицијента пролаза топлоте, Umax [W/(m2⋅K)], за елементе термичког омотача зграде U izrazima (44) i (45) je sa ( )i e αθ − θ označena "prirodna" temperaturna razlika, koja realno uzrokuje

transmisione gubitke toplote kroz α – građevinski element. Za različite elemente ona je različita. Iz razloga

(sasvim tehničke prirode) ona se ovde iskazuje korekcijom temperaturne razlike ( ) ( ),i e i H eθ − θ = θ − θ kao:

( ) ( ),i e xi i eF ααθ − θ = θ − θ , (46)

( ) ( ),i e xi i eB ααθ − θ = θ − θ .2 (47)

Takođe, zavisno od klase kojoj pripada građevinski element (deo termičkog omotača grejanog prostora) α, korekcije ,xiF α su propisane pravilnikom, i daju se u tablici 3.4.1.1. (data je u ranijem tekstu).

Табела 3.4.1.1 : Отпор прелазу топлоте и Fxi вредности .... Sa ovakvim korekcijama temperaturne razlike, prethodna jednačine se prepisuje kao

( ) ,xii e

QF U

A

αα α

α=

θ − θ

ɺ

, (48)

( ),

, ,TB

xi TBi e

QB U

A

αα α

α= ∆

θ − θ

ɺ

. (49)

Sada ukupni transmisioni ubitak kroz građevinski element α jeste jednak (po analogiji sa uvodnim primerom):

( )( ), ,

, ,

T TB

xi xi i e

Q Q Q

F U A B U Aα α α

α α α α α α

= += + ∆ θ − θ

ɺ ɺ ɺ

, (50)

Delenjem prethodnog sa ( )i eθ − θ dobija se

2 Korekcija , 1xiB α = za svaki građevinski element α, i ovde se uvodi samo iz metodoloških razloga

13

( ) ,T

Ti e

QHα

α=θ − θ

, (51)

gde je ,TH α – koeficijent transmisionog prolaza toplote, W/K, i za svaki a može da se izrauna (očigledno) kao:

, , ,T xi TBH F U A Hα α α α α= + , W/K (52)

gde je skraćenica

, , ,TB xi TBH B U Aα α α α= ∆ . (53)

Ako se sada posebno izračuna ,TH α , ukupni transmisioni gubitak se lako dobija (ne samo iz (50)), i iz (51):

( ), .T T i eQ Hα α= θ − θ , (54)

ili kao

( ), .T T i eQ H Aα α α′= θ − θ , (55)

gde je sada , , /T TH H Aα α α′ = - specifični koeficijent transmisionog prolaza toplote, W/m2K,

, , , , ,/T T xi xi TBH H A F U B Uα α α α α α α′ ≡ = + ∆ . (56)

3-2.6 Transmisioni gubici Grejanog prostora – Gubici preko

toplotnoh omotača grejanog prostora Ukupni transmisioni gubici kroz sve građevinske elemente koji sačinjavaju termički omotača grejanog prostora dobijaju se prostim sabiranjem pojedinačnih transmisionih gubitaka :

,T TQ Q αα

= ∑ɺ ɺ . (57)

Ako se za svaki element gubici izraze prema jednačini (50) dobija se

( )( )( )( ) ( )( )

, , , ,

, , ,

T T xi xi TB i e

x i e xi TB i e

Q Q F U A F U A

F U A B U A

α α α α α α αα α

α α α α α αα α

= = + ∆ θ − θ

= θ − θ + ∆ θ − θ

∑ ∑∑ ∑

ɺ ɺ

. (58)

Ako se pak koristi (51), isto to će biti, preko Koeficijenata

( ) ( ) ( ), , , ,T T T i e x i e TB i eQ Q H F U A Hα α α α α αα α α α

= = θ − θ = θ − θ + θ − θ

∑ ∑ ∑ ∑ɺ ɺ . (59)

Opet se, prema nalogiji za pojedinačne elemente, definišu za više elemenata (u termičkom omotaču zagrevanog prostora):

( )T

Ti e

QH=

θ − θ

ɺ

. (60)

gde se TH – sada računa kao

, ,T T x TBH H F U A Hα α α αα α

= = +∑ ∑ , (61)

gde je

, , ,TB TB xi TBH H B U Aα α α αα α

= = ∆∑ ∑ . (62)

U konačnom, biće ukupni transmisioni (usled provođenja kroz pregrade) toplotni gubici za objekat jednaki

( )...T T i eQ H= = θ − θɺ , ili (63)

( )...T T i eQ H A′= = θ − θɺ . (64)

Pr tom je

14

/T TH H A′ = , i A Aαα

= ∑ . (65)

Samo vrednost /T TH H A′ = izračunata na ovom mestu (za toplotni omotač zagrevanog prostora) jeste

ograničena prema pravilniku. Naime, Највећи допуштени специфични трансмисиони топлотни губитак кроз термички омотач зграде, H’T [W/(m2⋅K)], усваја се према табели 3.4.2.3.1:

Табела 3.4.2.3.1 – Највеће допуштене вредности специфичних трансмисионих губитака топлоте, H′T,max [W/(m2⋅K)], у зависности од фактора облика зграде (или дела зграде)

Faktor oblika A/Ve (m

-1)

Нестамбене зграде са уделом транспарентних површина ≤ 30%, и стамбене зграде H′T (W/m2K)

Нестамбене зграде са уделом транспарентних површина > 30% H′T (W/m2K)

≤ 0.2 1.05 1.55 0.3 0.80 1.15 0.4 0.68 0.95 0.5 0.60 0.83 0.6 0.55 0.75 0.7 0.51 0.69 0.8 0.49 0.65 0.9 0.47 0.62 1.0 0.45 0.59

>1.05 0.44 0.58 Komentari: A) Da bi za ceo toplotni omotač zagrevanog prostora važilo traženo ograničenje

,max/T T TH H A H′ ′= ≤ , (66)

nije neophodno da takvo ograničenje važi i za svaki α element iz termičog omotača, tj. ne mora da važi i

, , ,max/T T a TH H A Hα α′ ′= ≤ . To je jasno jer je, prema (65) i (61), TH ′ zapravo "prosečna" vrednost svih

pojedinačnih ,TH α′ , naime:

, ,1 1T

T T T

HH H H A

A A Aα α α

α α′ ′= = =∑ ∑ . (67)

Prema tome, neki ,TH α′ mogu da budu veći, a neki ,TH α′ pak manji od prosečne vrednosti TH ′ . Čak je moguće

da neki ,TH α′ budu veći i od ,maxTH ′ , tako da je moguća nejednačina

{ } { }, ,max ,min maxT T T TH H H Hα α′ ′ ′ ′≤ ≤ ≤ . (68)

Razume se, ako za svaki od građeviskih elemenata iz termičkog omotača postoji ograničenje , ,maxT TH Hα′ ′≤

(što je već strog uslov), uvek će da važi ,maxT TH H′ ′≤ :

, , ,max ,max ,max1 1 1 1T

T T T T T T

HH H H A H A H A H

A A A A Aα α α α α

α α α α

′ ′ ′ ′ ′= = = ≤ = =∑ ∑ ∑ ∑ . (69)

B) Prema Pravilniku, za sav termički omotač grejanog prostora koeficijent transmisionih gubitaka usled toplotnih mostova se računa kao:

( ) ,TBTB TB

i e

QH U A A Aα

α= = ∆ =

θ − θ ∑ɺ

. (70)

Praksa i detaljni proračuni u različitim situacija sugerišu da transmisioni gubici preko toplotnih mostova u termičkom omotač grejnog prostora iznose oko 10% ukupnih transmisionih gubitaka, te se prema pravilniku usvaja (za sav toplotni omotač grejanog prostora).

0.10TBU∆ = , W/m2K.

15 Prema ovde iznetoj proceduri (vidi ...), važi

( ), , ,TB TB xi TBH H B U Aα α α αα α

= = ∆∑ ∑ . (71)

Izjednačavanjem (71) i (70) se dobija

, ,

0.1xi TB

TB

F U A

UA

α α αα

∆∆ = =

∑, (72)

što kazuje da je TBU∆ "prosečna po površini" vrednost svih različitih ( ), ,xi TBB Uα α∆ čnanova. Pošto jednačina

(72) mora da važi za proizvoljni broj građevinskih elemenata u termičkom omotaču [prema Pravilniku: ...u prenosu kroz temički omotač zgrade (ili dela zgrade)], mora biti

, , 0.1xi TBB Uα α∆ = . (73)

Konačno, Pravilnikom se ne predviđa korekcija temperaturne razlike za toplotne mostove kod pojedinih elemenata, tj. , 1xiB α = , za svaki građevinski element (kao deo omotača grejanog prostora) – te treba da se

uzima , 0.1TB TBU Uα∆ = ∆ = W/m2K.

3-3 Ukupni gubici toplote Grejanog prostora –

Transmisioni i Ventilacioni

Podseća se, ukupni toplotni gubici, HQɺ , u režimu zagrevanja prostora jesu zbir transmisionih gubitaka, TQɺ , i

vnetilacionih gubitaka, VQɺ , toplote:

H T VQ Q Q= +ɺ ɺ ɺ , (74)

pri čemu se:

( )T T i eQ H= θ − θɺ , i

( )V V i eQ H= θ − θɺ .

Ako se ukupni gubici zagrevanog prostora podele sa njegovom zapreminom, dobija se

( )T V T VHv i e

Q Q H HQq

V V V

+ += = = θ − θ

ɺ ɺɺ

, W/m3 , ,e H eθ = θ . (74)

Ovd je, prema Pravilniku, vq - specifični zapreminski gubitak toplote, W/m3.

...

(укупни) запремински губици топлоте, qV [W/m3], представљају збир трансмисионих и вентилационих губитака по јединици запремине грејаног простора зграде и једнаки су специфичном топлотном току по јединици запремине, који при пројектним условима треба да одају уређаји за грејање у просторијама.

Укупни запремински губици топлоте унутар термичког омотача, qV [W/m3], трансмисиони и вентилациони,

израчунавају се по обрасцу:

e

VTv V

HHq

+= [W/m3] . (????)