Matematika II

Sudaryatno Sudirham

ISITurunan Fungsi-Fungsi:• Fungsi Polinom• Perkalian Fungsi, Pangkat dari Fungsi, Fungsi

Rasional, Fungsi Implisit• Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi,

Logaritmik, EksponensialIntegral:• Integral Tak-Tentu • Integral TentuPersamaan Diferensial• Persamaan Diferensial Orde-1• Persamaan Diferensial Orde-2

Turunan Fungsi-Fungsi

Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah

Bagaimanakah dengan garis lengkung?

ΔxΔy

0 1 2 3 4 x

Pengertian-Pengertian

y = f(x)

Jarak kedua titik potong semakin kecil jika Δx di perkecil menjadi x*

Pada kondisi Δx mendekati nol, kita peroleh

)()()(

limlim00

Ini merupakan fungsi turunan dari

)(xf di titik P

Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

P1Δy*

y y = f(x)

Garis Lengkung

Garis lurus dengan kemiringan y/x memotong garis lengkung di dua titik

(x1,y1)

(x2,y2)

f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),

f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)

),(xfy Pada suatu garis lengkung kita dapat memperoleh turunannya di berbagai titik pada garis lengkung tersebut

maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”

0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada

Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasi di semua x dalam dalam domain tersebut

kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.

kita baca “turunan fungsi y terhadap x”

kxfy )(0

00)()(

xfxxfy

Contoh:

xxfy 2)(11

222)(2

lim)(0

Contoh:

0 1 2 3 4 5x

yxy 21

2)(1 xf

Fungsi ramp

Fungsi tetapan

Mononom

222 2)( xxfy

4)222(lim

2)2(2lim

2)(2lim)(

Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus)

Contoh:

333 2)( xxfy

623232lim

2)33(2lim

2)(2lim)(

xxxxxxx

Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola)

Contoh:

nmxxfy )(

)1()( nxnmy

Secara umum, turunan fungsi mononom

adalah

kxfy )(

Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus

dan turunannya berupa nilai konstan,

)(xfy Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,

Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi

)(xfy turunan dari )(xfy

)(xfy turunan dari )(xfy *) Untuk n berupa

bilangan tak bulat akan dibahas kemudian

dyxfy )( disebut turunan pertama,

ydxfy turunan kedua,

ydxfy turunan ke-tiga, dst.

344 2)( xxfy

;12)2(6

;6)3(2

2)13(4

Contoh:

nmxxfy )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan

akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

212xy xy 24

212xy 34xy

Contoh:34xy 212xy xy 24 24y

4xy dan turunan-turunannya Fungsi

Contoh: 24)(11 xxfy

242)(4lim)(1

f1(x) = 4x + 2

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x

4)('1 xf Turunan fungsi ini sama dengan

turunan f(x)=4x karena turunan dari tetapan 2 adalah 0.

Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f (x)

Polinom

)2(4)(22 xxfy 84)(2 xxf

4)(2 xf

)2(4)(2 xxf

4)(2 xf

-1 0 1 2 3 4x

Contoh:

Contoh: 524)( 233 xxxfy

5245)(2)(4lim

xxxxxxy

5245)( 2344 xxxxfy

281522435

5245 5)(2)(4)(5lim

xxxxxxxxxy

Contoh:

Secara Umum:

Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu

memang memiliki turunan.

))(()(

vwvwwvvw

wwvvyy

vwvwvwwvwv

vwy Jika

Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

Contoh:

44422323

3018126362)32(

xxxxxxxdx

56xy 430xy Turunan adalah

Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi

)()()(

)())(()(

Jika uvwy

3012126)4)((3x

)6)(2()1)(32()(

xxxxxx

xxxxxdx

Contoh:Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

vvvvy 2361Contoh:

)()()(

dv 566

Contoh ini menunjukkan bahwa

Secara Umum:

Fungsi Yang Merupakan Pangkat dari suatu Fungsi

Contoh:2332 )1()1( xxy

)12()1)(1(6

)1()1(6)1()1(6

2)1(3)1()3)(1(2)1(

)1()1(

22233322

22232332

xxxxxx

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi

vy 1vwy

Fungsi Rasional

9)93(2

)3)(3()2(

Contoh:

1dengan ;1

2)1(2)1(

(agar penyebut tidak nol)Contoh:

(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)

pn dengan p dan q adalah bilangan bulat dan

q ≠ 0Bilangan tidak bulat

dyqy pq 11

Jika y ≠ 0, kita dapatkandx

)/(1/1 qppqqpq vvy

qpppqpp

)/()1()/(

sehingga

qpn vvy / pq vy

Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0

untuk p/q < 1.22

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

Kaidah rantai

)(tfx dapat diturunkan terhadap t,

)(xFy dapat diturunkan terhadap x dan Jika

)()( tgtfFy dapat diturunkan terhadap t menjadi maka

Apabila kita mempunyai persamaan

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk

)(dan )( tfytfx

Fungsi Parametrik danKaidah Rantai

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak.

Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang

sudah kita pelajari di atas.

Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap

bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x.

Fungsi Implisit

Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

822 yxyxContoh:

0)2( yx kita peroleh turunan Jika

434 434 yxyx

0124)3(44

0)3()4(

Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh

Contoh:

0)( 32 yxy kita dapat memperoleh turunanUntuk

xxxxxx

sinsincoscossin

sin)sin(sin

xy sin maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x. Oleh karena itu

Turunan Fungsi Trigonometri

xxxxxx

cossinsincoscos

cos)cos(cos

xy cos maka Jika

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x. Oleh karena itu

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.

xd 222

)sin(sincos

sintan

xd 222

)(coscossin

coscot

xdtansec

)sin(0

1sec22

xdcotcsc

)(cos0

1csc22

Contoh:

Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah

Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah

dvCi C

ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt

dvCi C

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

t [detik]

Contoh:

Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = 0,2cos400t ampere.

Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah

diLv L

L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]

xy 1sin yx sin ydydx cos

1 21 xy

xy 1cos yx cos ydydx sin

Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

xy 1tan yx tan dyy

dx2cos

dy 2cos21

xy 1cot yx cot dyy

dx2sin

dy 2sin 21

xy 1secy

1sec dy

)sin(0

x12 xy

xy 1cscy

1csc dy

)(cos0

)(sin)(sin

)(cos)(cos

Jika v = f(x), maka

sincos

sin)(tan

vd 2cscsin

cos)(cot

vdtansec

1)(sec2

vdcotcsc

1)(csc

Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi

1)(sin

1)(cos

1)(tan

1)(cot

1)(sec

1)(csc

Jika w = f(x), maka

Turunan Fungsi Logaritmik

xxf ln)( didefinisikan melalui suatu integral

Fungsi logaritmik

luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t,

dalam selang antara t = 1 dan t = x

x +Δx 1/(x+Δx)

0 1 2 3 4

xd 11)ln()ln(ln

Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx 1/x). Namun

jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx 1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx

xd 1ln

ln(x+x)lnx

Tentang integral akan dipelajari lebih

lanjut

Turunan Fungsi Eksponensial xey xexy lnln

penurunan secara implisit di kedua sisi

dy atau

Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri

xey xey xey

de vvv

)(xvv Jika

xey1tan

tan1tan

dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:

Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi

)(lim0

Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x:

dxxFdy )('2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan

1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;

Diferensial dx dan dy

Penjelasan secara grafis

xIni adalah

peubah bebas

Ini adalah fungsi (peubah tak

bebas)dxxFdy )(' Pdx

Jika dx berubah, maka dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva

dy dxdy )(tan adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis

singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah

sebesar dx

adalah laju perubahan y

terhadap perubahan x.

Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.

Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel

berikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

konstan ;0 cdx

cdvdcv

konstan ;0 cdc

dwdvwvd )(

dvw wdvvdwvwd )(

vdwwdv

1 dvnvdv nn 1

dcx dxcnxcxd nn 1)(

Diferensial Turunan Fungsi

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.

2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)

Contoh: 653 23 xxxy

563 2 xxy

dxxxdy )563( 2 sehingga

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas

dxxdxdxxdxdxdxddy

563 )6()5()3()(2

Integral

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga

dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

)(xfdx

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial.

Contoh persamaan diferensial

Pengertian-Pengertian

1. Integral Tak Tentu

)(xFy Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat

diturunkan dan dapat memenuhi

)(xfdx

dyTinjau persamaan diferensial

)()()(

KxFdKarena maka

KxFy )(fungsi juga merupakan solusi

Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

KxFdxxf )()(

dxxfxdF )()(

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini

disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

dapat dituliskan

dxxdy 45

dxxxd 45 5)(

Kxxddxxy 554 )(5

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahu bahwa

Contoh:

oleh karena itu

Carilah solusi persamaan

Contoh:

dxyxdy 2 kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan

mengandung peubah berbeda dxxdyy 22/1

dyyyd 2/12/12 dxxxd 23

12 xdyd

Jika kedua ruas diintegrasi

12 KxKy

KxKKxy 312

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan

tersebut.

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.

dyaady

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

1 jika ,1

3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari

berapa nilai yang dimiliki oleh K.

kurva 210xy adalah kurva bernilai tunggal

-5 -3 -1 1 3

y = 10x2

-5 -3 -1 1 3

yi = 10x2 +Ki

10kurva

adalah kurva bernilai banyak

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi

awal. Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

30 sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.

Contoh:

tatv 3

kecepatan percepatan waktu

dsvKecepatan adalah laju perubahan jarak,

dva Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

atdts 22

274 ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah

K03 3KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3

35,1 2 ts

Luas Sebagai Suatu Integral )(xfy Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu

kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

Contoh:y = f(x) =2

p x x+x q

Apx Apx

)(2 xfx

2)(lim0

A pxpx

xKxdxdAA pxpx 22

Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p

Kp 20 pK 2 atau

xApx 2

pxApx 22 )(222 pqpqApq

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp

p x x+x q

y = f(x)

f(x)f(x+x )

Apx Apx

Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan

Apx = f(x)x atau Apx = f(x+x)x

xxxfxxfxxfApx )()()( 0x0 adalah suatu nilai x

yang terletak antara x dan x+x

Jika x 0: )(lim0

A pxpx

KxFdxxfdAA pxpx )()(

qppq xFpFqFA )()()(

Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.

p x2 xk xk+1 xn q

y = f(x)

Bidang dibagi dalam segmen-segmen

Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen

p x2 xk xk+1 xn q

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y = f(x)

Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk

Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk

Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen

2. Integral Tentu

kkkkkk xxxfxxfxxf )()()( 0

kkk xxxfxxfxxf

)()()(

Jika xk 0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang

p x2 xk xk+1 xn q

y = f(x)

0 p x2 xk xk+1 xn q

y = f(x)

Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk

Luas tiap segmen dihitung sebagai

f(xk+x)xk

Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka

Nilai limit itu merupakan integral tentu

ppq dxxfA )(

)()()()( pFqFxFdxxfA qp

p x2 xk xk+1 xn q

y = f(x)

Luas bidang menjadi

Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di

atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.

Definisi

xxy 123 Luas antara dan sumbu-x dari x = 3 sampai x = +3.

Contoh:

xxy 123

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 75,33)5425,20(0

xdxxxAa

75,33)0(5425,20

xdxxxAb

5,67)755,33(75,33 bapq AAA

Luas Bidang

Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi

))()( pFqFdxxfAq

tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-

y = f(x)

))()( pFqFdxxfAq

4321 AAAAApq

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

)(11 xfy )(22 xfy berada di atas

xxfxfAA pxsegmen )()( 21

Rentang qxp dibagi dalam n segmen

segmen xxfxfA )()( 211

jumlah semua segmen:

segmenpq dxxfxfAA )()(lim 211

Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit

30)12(186)2(4( 32

xdxApq

41 y 22 yJika dan berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = 2 sampai x2 = q =

Contoh:

21 xy 42 yJika dan

berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.

2 ,24 212

21 qxpxxyy

xxdxxApq

-2 -1 0 1 2

di atas y1

221 xy xy 2Jika dan

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.

Contoh:

Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva

811 ;1

02atau 2

xxxxyy

5,4 22

xxdxxxApq

-2 -1 0 1 2

y1 di atas y2

Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?

Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka

yang memberikan dt

dwp pdtw

[kWh]hour Watt kilo 8,0

[Wh]r Watt.hou800100 10080

tdtpdtw

Penerapan Integral

Contoh:

Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah

dqi idtq

coulomb 625,02

05,005,0

0 ttdtidtq

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?

sehingga

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

Contoh:

Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+x) adalah luas irisan di sebelah

kanan maka volume irisan V adalah

xxxAVxxA )()(

Volume balok V adalah q

xxAV )(

luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+x).

Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu:

xxAV )(

Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :

dxxAxxAV )()(lim

Volume Sebagai Suatu Integral

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x

A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.

dxxmdxxrdxxAV0

m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q.

PQ/OQ)(

kerucuth

Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong

Rotasi Bidang Sembarang

f(x) 22 )()()( xfxrxA

adxxfV 2)(

Rotasi Gabungan Fungsi Linier

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

f2(x)f1(x)

Persamaan Diferensial

Pengertian

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.

1. Persamaan Diferensial Orde-1

Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam

persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

0 xx keke

xkey 0 ydt

dy adalah solusi dari persamaan

xkey xke

dy karena turunan adalah

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh

Contoh:

Persamaan terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.

Pemisahan Peubah

Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk

0)()( dxxgdyyf

Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

Kdxxgdyyf ))()(

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan

0 dxedye xy

dyPersamaan ini dapat kita tuliskan

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah

Kee xy Kee xy sehingga atau

Contoh:

Kdxedye xy Integrasi kedua ruas memberikan:

Contoh:xydx

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

Kxy 2ln atau

dxydy atau

Integrasi kedua ruas:

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk

Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru

dy)(vF

Pemisahan peubah:

yang akan memberikan

dvx )(

Contoh: 02)( 22 xydydxyx

02)1(2

22 xydydx

yxUsahakan menjadi homogen

)/()/(2

)/(1 2xyF

Peubah baru v = y/x

dx Peubah terpisah atau

Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.

)31ln()31ln(2

Kita coba hitung

KKvx ln3

1)31ln(

0)31ln(

KKvx ln)31ln(ln3 2

Kvx )31( 23

Kxyx 23 )/(31 Kyxx 22 3

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi

Integrasi ke-dua ruas:

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan

Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian

listrik. Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai

)(tfbydt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan

sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.

dyOleh karena itu persamaan diferensial orde satu

yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan)

dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.

Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen

adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen

0 bydt

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun

arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.

Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa

atau fungsi penggerak.

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi

persamaan homogen, maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab

ffdaby

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi

homogen.

Solusi Homogen

Persamaan homogen

0 bydt

Jika ya adalah solusinya maka

Integrasi kedua ruas memberikan

bya ln

sehingga

bya ln

a eKey )/(

Inilah solusi homogen

)(tfbydt

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.

tKtKytAtftAtf

KeyAetf

sincos cos)(atau , sin)( Jika

aleksponensi al,eksponensi)( Jika

konstan konstan,)( Jika

00)( Jika

Jika solusi khusus adalah yp , maka

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

Jika dugaan solusi total adalahtab

aptotal eKyy )/(

Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

01000 vdt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.

Contoh:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.

01000 dtv

Ktv 1000ln

Kt eKev 10001000

Penerapan kondisi awal: aK12

Solusi total: V 12 1000tev

Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

1210 3 vdt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.

Solusi homogen: 010 3 a

dv0103 dt

taa eKv 1000

Solusi khusus: 12pv karena f(t) = 12

Solusi total (dugaan):t

atotal eKv 100012

Penerapan kondisi awal: aK120 12aK

Solusi total: V 1212 1000ttotal ev

Contoh:

dv10cos1005

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien

menghasilkan persamaan Carilah solusi total.

Solusi homogen: 05 aa v

dv05 dt

Ktva 5ln taa eKv 5

Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos

ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10

ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 100510 cs AA

010sin510sin10 tAtA sc 0510 sc AA

8sA 4cA

Solusi total (dugaan): taeKttv 510sin810cos4

Penerapan kondisi awal: aK40 4aK

Solusi total : tettv 5410sin810cos4 82

Untuk sementara ini mengenai persamaan diferensial orde-2 silahkan dilihat Buku

Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2

Persamaan Diferensial Orde-2

Matematika II

Sudaryatno Sudirham

Matematika II

Documents

Matematika II - Sbírka příkladů.doc

Matematika II/1

Matematika II - cvut.cz

Matematika II - karlin.mff.cuni.czvlasakv/1819l/Matematika_II_beamer.pdf · Matematika II Funkce více promennýchˇ Maticový pocetˇ Císelnéˇ ˇrady Riemannuv˚ integrál Matematika

Aktuarska matematika II Zadaci

AKTUARSKA MATEMATIKA II

Matematika II odd biljana

Teste Matematika II

Tehnoloski - Matematika II - Predavanja

Kuliah Matematika Bisnis II

MATEMATIKA II (MATHEMATICS II)

09 Predavanja - Matematika II

Bab III Matematika II

2 matematika ii semestr_volodarska_do_bogdanovich

MATEMATIKA II MATEMÁTICAS II

Diktat Olimpiade Matematika II

Matematika Ekonomi II

BAB II MODEL MATEMATIKA

10 Predavanja - Matematika II

Matematika Sveska II