Embed Size (px)
DESCRIPTION
Sudaryatno Sudirham. Matematika II. ISI Turunan Fungsi-Fungsi : Fungsi Polinom Perkalian Fungsi , Pangkat dari Fungsi , Fungsi Rasional , Fungsi Implisit Fungsi Trigonometri , Trigonometri Inversi , Logaritmik , Eksponensial Integral: Integral Tak-Tentu Integral Tentu - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Matematika II
Sudaryatno Sudirham
1
2
ISITurunan Fungsi-Fungsi:• Fungsi Polinom• Perkalian Fungsi, Pangkat dari Fungsi, Fungsi
Rasional, Fungsi Implisit• Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi,
Logaritmik, EksponensialIntegral:• Integral Tak-Tentu • Integral TentuPersamaan Diferensial• Persamaan Diferensial Orde-1• Persamaan Diferensial Orde-2
Turunan Fungsi-Fungsi
3
Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah
)(
)(
12
12
xx
yy
x
ym
Bagaimanakah dengan garis lengkung?
ΔxΔy
0
1
2
-1
0 1 2 3 4 x
y
4
Pengertian-Pengertian
P1
Δy
Δx
x
yP2
y = f(x)
Jarak kedua titik potong semakin kecil jika Δx di perkecil menjadi x*
Pada kondisi Δx mendekati nol, kita peroleh
)()()(
limlim00
xfx
xfxxf
x
y
xx
Ini merupakan fungsi turunan dari
)(xf di titik P
Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P
P1Δy*
Δx*
x
y y = f(x)
2P
Garis Lengkung
Garis lurus dengan kemiringan y/x memotong garis lengkung di dua titik
5
(x1,y1)
(x2,y2)
x
y
f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),
f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)
),(xfy Pada suatu garis lengkung kita dapat memperoleh turunannya di berbagai titik pada garis lengkung tersebut
6
maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”
x
y
x
0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada
Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
x
yy
dx
d
dx
dy
x
0
lim)(
Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasi di semua x dalam dalam domain tersebut
kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.
kita baca “turunan fungsi y terhadap x”
7
kxfy )(0
00)()(
lim0
0
xx
xfxxfy
x
Contoh:
xxfy 2)(11
222)(2
lim)(0
1
x
x
x
xxxxf
x
Contoh:
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5x
yxy 21
2)(1 xf
Fungsi ramp
Fungsi tetapan
8
Mononom
222 2)( xxfy
xxxx
xxxxx
x
xxxxf
x
xx
4)222(lim
2)2(2lim
2)(2lim)(
0
222
0
22
02
Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom pangkat 1 (kurva garis lurus)
Contoh:
333 2)( xxfy
2222
0
33323
0
33
03
623232lim
2)33(2lim
2)(2lim)(
xxxxx
x
xxxxxxx
x
xxxxf
x
x
x
Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom pangkat 2 (kurva parabola)
Contoh:
9
nmxxfy )(
)1()( nxnmy
Secara umum, turunan fungsi mononom
adalah
kxfy )(
Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus
dan turunannya berupa nilai konstan,
nmxy
)(xfy Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,
nmxy
Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi
)(xfy turunan dari )(xfy
)(xfy turunan dari )(xfy *) Untuk n berupa
bilangan tak bulat akan dibahas kemudian
*)
10
dx
dyxfy )( disebut turunan pertama,
2
2)(
dx
ydxfy turunan kedua,
3
3)(
dx
ydxfy turunan ke-tiga, dst.
344 2)( xxfy
12
;12)2(6
;6)3(2
4
)12(4
2)13(4
y
xxy
xxy
Contoh:
11
nmxxfy )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan
akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.
-100
0
100
200
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4xy
34xy
212xy xy 24
24y
212xy 34xy
Contoh:34xy 212xy xy 24 24y
4xy dan turunan-turunannya Fungsi
12
Contoh: 24)(11 xxfy
4
242)(4lim)(1
x
xxxxf
xx
f1(x) = 4x + 2
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x
y
4)('1 xf Turunan fungsi ini sama dengan
turunan f(x)=4x karena turunan dari tetapan 2 adalah 0.
Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f (x)
13
Polinom
)2(4)(22 xxfy 84)(2 xxf
4)(2 xf
)2(4)(2 xxf
4)(2 xf
-15
-10
-5
0
5
10
-1 0 1 2 3 4x
y
Contoh:
14
Contoh: 524)( 233 xxxfy
28224
5245)(2)(4lim
22
03
xxx
xxxxxxy
x
5245)( 2344 xxxxfy
281522435
5245 5)(2)(4)(5lim
22
2323
04
xxxx
x
xxxxxxxxxy
x
Contoh:
Secara Umum:
Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu
memang memiliki turunan.
15
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
dx
dy
)(
)(
))(()(
vwvwwvvw
wwvvyy
x
wv
x
vw
x
wv
x
vwvwvwwvwv
x
yyy
x
y
)()(
vwy Jika
maka
16
Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
Contoh:
44422323
3018126362)32(
xxxxxxxdx
xxdy
56xy 430xy Turunan adalah
Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi
dx
duvw
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
duv
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
uvdw
dx
dwuv
dx
wuvd
dx
uvwd
)()()(
)( )(
)())(()(
Jika uvwy
56xy
44442
222
3012126)4)((3x
)6)(2()1)(32()(
xxxxxx
xxxxxdx
uvwd
dx
dy
Contoh:Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi
17
vvvvy 2361Contoh:
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dy
5
4555
22345
32
23231
6
2
)()()(
dx
dvv
dx
dv
dv
dv
dx
dv 566
6
dx
dvnv
dx
dv nn
1
Contoh ini menunjukkan bahwa
Secara Umum:
18
Fungsi Yang Merupakan Pangkat dari suatu Fungsi
Contoh:2332 )1()1( xxy
)12()1)(1(6
)1()1(6)1()1(6
2)1(3)1()3)(1(2)1(
)1()1(
)1()1(
3223
22233322
22232332
3223
2332
xxxxx
xxxxxx
xxxxxx
dx
xdx
dx
xdx
dx
dy
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi
19
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
w
vy 1vwy
dx
dwv
dx
dvw
w
dx
dv
wdx
dv
w
v
dx
dvw
dx
dvvw
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
w
v
dx
d
dx
dy
2
212
111
1
1
)(
2w
dx
dwv
dx
dvw
w
v
dx
d
atau
Jadi:
20
Fungsi Rasional
3
2 3
x
xy
4
2
6
244
6
223
9)93(2
)3)(3()2(
x
x
x
xxx
x
xxxx
dx
dy
Contoh:
22 1
xxy
3
2 22
4
2102
xx
xxx
dx
dy
Contoh:
1dengan ;1
1 22
2
x
x
xy
2222
33
22
22
)1(
4
)1(
2222
)1(
2)1(2)1(
x
x
x
xxxx
x
xxxx
dx
dy
(agar penyebut tidak nol)Contoh:
21
(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)
q
pn dengan p dan q adalah bilangan bulat dan
q ≠ 0Bilangan tidak bulat
dx
dvpv
dx
dyqy pq 11
Jika y ≠ 0, kita dapatkandx
dv
qy
pv
dx
vd
dx
dyq
pqp
1
1/ )(
)/(1/1 qppqqpq vvy
dx
dvv
q
p
dx
dvv
q
p
dx
dv
qv
pv
dx
vd
dx
dy
qp
qpppqpp
pqp
1)/(
)/()1()/(
1/
)(
sehingga
qpn vvy / pq vy
Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0
untuk p/q < 1.22
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Kaidah rantai
)(tfx dapat diturunkan terhadap t,
)(xFy dapat diturunkan terhadap x dan Jika
)()( tgtfFy dapat diturunkan terhadap t menjadi maka
dt
dx
dx
dy
dt
dy
Apabila kita mempunyai persamaan
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk
)(dan )( tfytfx
)(xFy
23
Fungsi Parametrik danKaidah Rantai
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak.
Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang
sudah kita pelajari di atas.
Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap
bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x.
24
Fungsi Implisit
Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh
822 yxyxContoh:
yxdx
dyyx
dx
dyy
dx
dxy
dx
dyxx
2)2(
022
yx
yx
dx
dy
2
2
0)2( yx kita peroleh turunan Jika
25
434 434 yxyx
0124)3(44
0)3()4(
44
3323
43
33
dx
dyyy
dx
dyyxx
dx
yd
dx
xdy
dx
dyxx
Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh
Contoh:
)(3
)(32
33
yxy
yx
dx
dy
0)( 32 yxy kita dapat memperoleh turunanUntuk
26
x
xxxxxx
xxx
dx
xd
dx
dy
sinsincoscossin
sin)sin(sin
xy sin maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x. Oleh karena itu
xdx
xdcos
sin
27
Turunan Fungsi Trigonometri
x
xxxxxx
xxx
dx
xd
dx
dy
cossinsincoscos
cos)cos(cos
xy cos maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1 dan sinx = x. Oleh karena itu
xdx
xdsin
cos
28
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 222
2sec
cos
1
cos
)sin(sincos
cos
sintan
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 222
2csc
sin
1
sin
)(coscossin
sin
coscot
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdtansec
cos
sin
cos
)sin(0
cos
1sec22
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdcotcsc
sin
cos
sin
)(cos0
sin
1csc22
29
Contoh:
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
dt
dvCi C
C
ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt
d
dt
dvCi C
C
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
vC iC
vC
iC
t [detik]
30
Contoh:
Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = 0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
dt
diLv L
L
tttdt
d
dt
diLv L
L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2
vL
iL
vL iL
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]
31
xy 1sin yx sin ydydx cos
ydx
dy
cos
1
21
1
xdx
dy
x
1
21 x
y
ydx
dy
sin
1 21
1
xdx
dy
x
1 21 xy
xy 1cos yx cos ydydx sin
32
Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
xy 1tan yx tan dyy
dx2cos
1
ydx
dy 2cos21
1
xdx
dy
x
1
21 xy
xy 1cot yx cot dyy
dx2sin
1
ydx
dy 2sin 21
1
xdx
dy
x
121 x
y
33
xy 1secy
yxcos
1sec dy
y
xdx
2cos
)sin(0
1
1
1
1
sin
cos
2
22
2
xx
x
x
xy
y
dx
dy
1
x12 xy
xy 1cscy
yxsin
1csc dy
y
xdx
2sin
)(cos0
1
1
1
1
cos
sin
2
22
2
xx
x
x
xy
y
dx
dy 1
x
12 x
y
34
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdcos
)(sin)(sin
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdsin
)(cos)(cos
Jika v = f(x), maka
dx
dvv
dx
dv
x
xx
v
v
dx
d
dx
vd 22
22sec
cos
sincos
cos
sin)(tan
dx
dvv
v
v
dx
d
dx
vd 2cscsin
cos)(cot
dx
dvvv
dx
dv
v
v
vdx
d
dx
vdtansec
cos
sin0
cos
1)(sec2
dx
dvvv
vdx
d
dx
vdcotcsc
sin
1)(csc
35
Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(sin
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(cos
dx
dw
wdx
wd2
1
1
1)(tan
dx
dw
wdx
wd2
1
1
1)(cot
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(sec
2
1
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(csc
2
1
Jika w = f(x), maka
36
Turunan Fungsi Logaritmik
)0( 1
ln)(1
xdtt
xxfx
xxf ln)( didefinisikan melalui suatu integral
Fungsi logaritmik
luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t,
dalam selang antara t = 1 dan t = x
x t
1/x
1/t
x +Δx 1/(x+Δx)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
y
x
dtt
x1
1
ln
xx
xdt
txx
xxx
dx
xd 11)ln()ln(ln
Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx 1/x). Namun
jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx 1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx
1/x).
xdx
xd 1ln
ln(x+x)lnx
Tentang integral akan dipelajari lebih
lanjut
37
Turunan Fungsi Eksponensial xey xexy lnln
penurunan secara implisit di kedua sisi
11ln
dx
dy
ydx
yd
xeydx
dy atau
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri
xey xey xey
dst.
.
dx
dve
dx
dv
dv
de
dx
de vvv
)(xvv Jika
xey1tan
2
tan1tan
1
tan1
1
x
e
dx
xde
dx
dy xx
38
dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:
Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi
)(lim0
xfx
y
dx
dy
x
Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x:
)(xFy
dxxFdy )('2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan
1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;
39
Diferensial dx dan dy
Penjelasan secara grafis
Pdx
dy
y
xIni adalah
peubah bebas
Ini adalah fungsi (peubah tak
bebas)dxxFdy )(' Pdx
dy
y
x
Jika dx berubah, maka dy berubah sedemikian rupa sehingga dy/dx sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva
tandx
dy dxdy )(tan adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis
singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah
sebesar dx
adalah laju perubahan y
terhadap perubahan x.
40
Pdx
dy
x
yP
dx
dy
x
y
Pdx
dy
x
y
Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.
Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel
berikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi x.
konstan ;0 cdx
dc
dx
dvc
dx
dcv
dx
dw
dx
dv
dx
wvd
)(
cdvdcv
konstan ;0 cdc
dwdvwvd )(
dx
dvw
dx
dwv
dx
dvw wdvvdwvwd )(
2w
dx
dwv
dx
dvw
dx
w
vd
2w
vdwwdv
w
vd
dx
dvnv
dx
dv nn
1 dvnvdv nn 1
1 nn
cnxdx
dcx dxcnxcxd nn 1)(
Diferensial Turunan Fungsi
41
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.
2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)
Contoh: 653 23 xxxy
563 2 xxy
dxxxdy )563( 2 sehingga
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas
dxxx
dxxdxdxxdxdxdxddy
)563(
563 )6()5()3()(2
223
42
Integral
43
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga
dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
)(xfdx
dy
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial.
036
652
222
2
2
yxdx
dyxy
dx
yd
xxdx
dy
Contoh persamaan diferensial
Pengertian-Pengertian
44
1. Integral Tak Tentu
)(xFy Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat
diturunkan dan dapat memenuhi
)()(
xfdx
xdF
)(xfdx
dyTinjau persamaan diferensial
0
)()()(
dx
xdF
dx
dK
dx
xdF
dx
KxFdKarena maka
KxFy )(fungsi juga merupakan solusi
45
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
KxFdxxf )()(
dxxfxdF )()(
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini
disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
)()(
xfdx
xdF
46
dapat dituliskan
45xdx
dy
dxxdy 45
dxxxd 45 5)(
Kxxddxxy 554 )(5
Cari solusi persamaan diferensial
ubah ke dalam bentuk diferensial
Kita tahu bahwa
Contoh:
oleh karena itu
47
Carilah solusi persamaan
yxdx
dy 2
Contoh:
dxyxdy 2 kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan
mengandung peubah berbeda dxxdyy 22/1
dyyyd 2/12/12 dxxxd 23
3
1
32/1
3
12 xdyd
Jika kedua ruas diintegrasi
23
12/1
3
12 KxKy
KxKKxy 312
32/1
3
1
3
12
48
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan
tersebut.
Kydy
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
dyaady
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
1 jika ,1
1
nKn
ydyy
nn
3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).
49
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari
berapa nilai yang dimiliki oleh K.
kurva 210xy adalah kurva bernilai tunggal
50
100
-5 -3 -1 1 3
5x
y = 10x2
y
50
100
-5 -3 -1 1 3
5
K1
K2
K3
yi = 10x2 +Ki
y
x
Kxdxx
23
103
10kurva
adalah kurva bernilai banyak
50
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi
awal. Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
30 sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.
Contoh:
tatv 3
kecepatan percepatan waktu
dt
dsvKecepatan adalah laju perubahan jarak,
dt
dva Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
.
vdtds
KtKt
atdts 22
5,12
3
274 ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah
K03 3KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3
35,1 2 ts
51
Luas Sebagai Suatu Integral )(xfy Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu
kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh:y = f(x) =2
y
x0
2
p x x+x q
Apx Apx
)(2 xfx
Apx
atau
2)(lim0
xf
dx
dA
x
A pxpx
xKxdxdAA pxpx 22
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
Kp 20 pK 2 atau
xApx 2
pxApx 22 )(222 pqpqApq
52
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp
p x x+x q
y
x
y = f(x)
0
f(x)f(x+x )
Apx Apx
Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
Apx = f(x)x atau Apx = f(x+x)x
xxxfxxfxxfApx )()()( 0x0 adalah suatu nilai x
yang terletak antara x dan x+x
Jika x 0: )(lim0
xfdx
dA
x
A pxpx
x
KxFdxxfdAA pxpx )()(
qppq xFpFqFA )()()(
53
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk
Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
54
2. Integral Tentu
kkkkkk xxxfxxfxxf )()()( 0
k
n
kk
n
kkk
n
kkk xxxfxxfxxf
110
1
)()()(
Jika xk 0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang
sama
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk
Luas tiap segmen dihitung sebagai
f(xk+x)xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
Nilai limit itu merupakan integral tentu
55
q
ppq dxxfA )(
)()()()( pFqFxFdxxfA qp
q
ppq
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas bidang menjadi
56
Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di
atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Definisi
xxy 123 Luas antara dan sumbu-x dari x = 3 sampai x = +3.
Contoh:
xxy 123
-20
-10
0
10
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x 75,33)5425,20(0
64
)12(
0
3
240
3
3
x
xdxxxAa
75,33)0(5425,20
64
)12(
3
0
243
0
3
x
xdxxxAb
5,67)755,33(75,33 bapq AAA
57
Luas Bidang
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi
))()( pFqFdxxfAq
p
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-
x
pq
y
xA4
A1
A2
A3
y = f(x)
))()( pFqFdxxfAq
ppq
4321 AAAAApq
58
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
)(11 xfy )(22 xfy berada di atas
p q
y
x 0
y1
y2
x x+x
Apx
xxfxfAA pxsegmen )()( 21
Rentang qxp dibagi dalam n segmen
xqx
px
n
segmen xxfxfA )()( 211
jumlah semua segmen:
q
p
n
segmenpq dxxfxfAA )()(lim 211
Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit
59
30)12(186)2(4( 32
3
2
xdxApq
41 y 22 yJika dan berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = 2 sampai x2 = q =
+3.
Contoh:
21 xy 42 yJika dan
berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.
2 ,24 212
21 qxpxxyy
3
32
3
16
3
16
3
88
3
88
34)4(
2
2-
32
2
2
xxdxxApq
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y2
y1y2
di atas y1
y
x
60
221 xy xy 2Jika dan
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva
22
811 ;1
2
811
02atau 2
2
2
2
1
2221
qxpx
xxxxyy
5,4 22
1
3
142
3
8
223
)2(
2
1
232
1
2
x
xxdxxxApq
-4
-2
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y1 di atas y2
y1
y2
y
x
61
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka
yang memberikan dt
dwp pdtw
[kWh]hour Watt kilo 8,0
[Wh]r Watt.hou800100 10080
8
0
8
0
tdtpdtw
Penerapan Integral
Contoh:
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah
62
dt
dqi idtq
coulomb 625,02
25,1
2
05,005,0
5
0
5
0
25
0 ttdtidtq
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ?
sehingga
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
Contoh:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
63
Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.
Balok
x
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+x) adalah luas irisan di sebelah
kanan maka volume irisan V adalah
xxxAVxxA )()(
Volume balok V adalah q
p
xxAV )(
luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+x).
Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu:
q
p
xxAV )(
Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :
q
p
q
pox
dxxAxxAV )()(lim
64
Volume Sebagai Suatu Integral
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
y
x
x
O Q
P
A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.
hhh
dxxmdxxrdxxAV0
22
0
2
0)()(
m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q.
3
3
PQ/OQ)(
32
3232
kerucuth
rhhm
V
Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong
65
Rotasi Bidang Sembarang
y
x
x
0 a b
f(x) 22 )()()( xfxrxA
b
adxxfV 2)(
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
y
x
x
0 a b
f2(x)f1(x)
f3(x)
66
Persamaan Diferensial
67
Pengertian
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
xex
y
dx
yd
dx
yd
12
5
2
22
3
3
Contoh:
adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.
68
1. Persamaan Diferensial Orde-1
Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam
persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
0 xx keke
xkey 0 ydt
dy adalah solusi dari persamaan
xkey xke
dt
dy karena turunan adalah
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh
Contoh:
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.
69
Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
0)()( dxxgdyyf
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
Kdxxgdyyf ))()(
Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
70
Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan
yxedx
dy
0 dxedye xy
y
x
e
e
dx
dyPersamaan ini dapat kita tuliskan
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah
Kee xy Kee xy sehingga atau
Contoh:
Kdxedye xy Integrasi kedua ruas memberikan:
71
Contoh:xydx
dy 1
0x
dxydy
Kx
dxydy
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
Kxy
ln2
2
Kxy 2ln atau
x
dxydy atau
Integrasi kedua ruas:
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk
x
yF
dx
dy
Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru
x
yv
vxy
dx
dvxv
dx
dy)(vF
dx
dvxv
0)(
vFv
dv
x
dx
Pemisahan peubah:
yang akan memberikan
dan
vvFdx
dvx )(
x
dx
vvF
dv
)(
atau:
72
Contoh: 02)( 22 xydydxyx
02)1(2
22 xydydx
x
yxUsahakan menjadi homogen
dyx
ydx
x
y2)1(
2
2
)/()/(2
)/(1 2xyF
xy
xy
dx
dy
Peubah baru v = y/x
vxy
dx
dvxv
dx
dy v
v
dx
dvxv
2
1 2
v
v
v
vv
dx
dvx
2
31
2
1 22
x
dx
v
vdv
231
2 031
22
v
vdv
x
dx Peubah terpisah atau
)(2
1 2vF
v
v
dx
dy
73
Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.
031
22
v
vdv
x
dx
dx
xd
x
)(ln1
)6(31
1
)31(
)31(
)31ln()31ln(2
2
2
22v
vdv
vd
vd
vd
dv
vd
Kita coba hitung
KKvx ln3
1)31ln(
3
1ln 2
0)31ln(
3
1 2
dv
dv
vd
x
dx
KKvx ln)31ln(ln3 2
Kvx )31( 23
Kxyx 23 )/(31 Kyxx 22 3
Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi
Integrasi ke-dua ruas:
74
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian
listrik. Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai
)(tfbydt
dya
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan
sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
QPydx
dyOleh karena itu persamaan diferensial orde satu
yang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:
75
Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan)
dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.
Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen
adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogen
0 bydt
dya
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun
arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa
atau fungsi penggerak.
76
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi
persamaan homogen, maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab
0
)(
11
22
11
2121
bfdt
dfabf
dt
dfabf
dt
dfa
ffbdt
ffdaby
dt
dya
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi
homogen.
77
Solusi Homogen
Persamaan homogen
0 bydt
dya
Jika ya adalah solusinya maka
0 dta
b
y
dy
a
a
Integrasi kedua ruas memberikan
Kta
bya ln
sehingga
Kta
bya ln
taba
Kta
b
a eKey )/(
Inilah solusi homogen
78
)(tfbydt
dya p
p
Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
tKtKytAtftAtf
KeyAetf
KyAtf
ytf
scp
tp
t
p
p
sincos cos)(atau , sin)( Jika
aleksponensi al,eksponensi)( Jika
konstan konstan,)( Jika
00)( Jika
Jika solusi khusus adalah yp , maka
Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Jika dugaan solusi total adalahtab
aptotal eKyy )/(
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
79
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
01000 vdt
dv
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Contoh:
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.
01000 dtv
dv
Ktv 1000ln
ta
Kt eKev 10001000
Penerapan kondisi awal: aK12
Solusi total: V 12 1000tev
80
Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
1210 3 vdt
dv
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
Solusi homogen: 010 3 a
a vdt
dv0103 dt
v
dv
a
a
taa eKv 1000
Solusi khusus: 12pv karena f(t) = 12
Solusi total (dugaan):t
atotal eKv 100012
Penerapan kondisi awal: aK120 12aK
Solusi total: V 1212 1000ttotal ev
81
Contoh:
tvdt
dv10cos1005
Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
menghasilkan persamaan Carilah solusi total.
Solusi homogen: 05 aa v
dt
dv05 dt
v
dv
a
a
Ktva 5ln taa eKv 5
Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos
ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10
ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 100510 cs AA
010sin510sin10 tAtA sc 0510 sc AA
8sA 4cA
Solusi total (dugaan): taeKttv 510sin810cos4
Penerapan kondisi awal: aK40 4aK
Solusi total : tettv 5410sin810cos4 82
Untuk sementara ini mengenai persamaan diferensial orde-2 silahkan dilihat Buku
Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2
83
Persamaan Diferensial Orde-2
Matematika II
Sudaryatno Sudirham
84
