View
87
Download
16
Category
Preview:
DESCRIPTION
konveksnost
Citation preview
Senada Čokić
KONVEKSNI SKUPOVI, KONVEKSNE FUNKCIJE I UOPŠTENJA
- diplomski rad -
Novi Sad, 2007.
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO MATEMATIČKI
FAKULTETDEPARTMAN ZA INFORMATIKU I
MATEMATIKU
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
PREDGOVOR
Motivacija za ovaj rad bila je ta da se opiše značaj konveksnosti, tačnije
konveksnih skupova, konveksnih funkcija, njihova uopštenja i njihova primena u
ispitivanju ekstrema.
Na samom početku izložene su oznake, osnovne definicije, teoreme i osobine
topološke strukture skupa R koje će se koristiti. Nakon toga date su definicije i osnovne
osobine konveksnih skupova i njihova primena u ispitivanju ekstremnih tačaka. U
narednom poglavlju dat je pregled konveksnih funkcija. Na kraju ovog diplomskog rada
data su uopštenja konveksnih skupova i konveksnih funkcija.
Zahvaljujem se svim profesorima i asistentima, posebno mom mentoru prof. dr
Ljiljani Gajić, na svemu što su me naučili.
Novi Sad, 2007. Senada Čokić
2
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
SADRŽAJ
1. Uvod.....................................................................................................................4
2. Topološka struktura skupa R................................................................................5
2.1 Definicija i osnovne osobine.........................................................................5
2.2 Kompaktnost u R...........................................................................................8
2.3 Metrička struktura skupa R i skupa Rn..........................................................9
3. Konveksni skupovi.............................................................................................12
3.1 Definicije i osnovne osobine konveksnih skupova.....................................12
3.2 Ekstremne tačke..........................................................................................17
4. Konveksne funkcije............................................................................................21
4.1 Poluneprekidnost, teorema Vajerštrasa i uopštenja.....................................21
4.2 Definicije i osnovne osobine.......................................................................26
5. Uopštenja pojma konveksnosti...........................................................................33
5.1 Za konveksne skupove................................................................................33
5.2 Za konveksne funkcije................................................................................33
6. Zaključak............................................................................................................37
7. Literatura............................................................................................................38
8. Biografija............................................................................................................39
3
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
1.Uvod
Konveksnost je jedan od najznačajnijih pojmova u mikroekonomiji. U teoriji izbora potrošača bez konveksnosti skupa preferencija funkcije ponude i tražnje nisu neprekidne, pa konkurentno tržište u opštem slučaju, nema ravnotežnu tačku. Interpretacija konveksnosti skupa preferencija u teoriji potrošača (konzumenta) je opadajuća stopa prinosa pri zameni jednog proizvoda drugim.Pretpostavimo da potrošač kupuje dva proizvoda, a i b. Kriva indiferentnosti predstavlja geometrijsko mesto tačaka raspodele potrošnje proizvoda a i b koje obezbeđuju isti nivo zadovoljenja potreba. Krive indiferentnosti imaju sledeća svojstva:
1. opadaju sa leva na desno2. konveksne su u odnosu na kordinatni početak3. ne seku se4. kriva koja je „više udaljena“ od koordinatnog početka predstavlja viši nivo
zadovoljenja potreba (utiliteta)
Slika 1. Krive indiferentnosti
Osenčenu oblast čini potrošnja sa većim nivoom utiliteta u odnosu na nivo definisan „najvišom“ krivom indiferentnosti. U nastavku će biti dokazano da se svaka dva disjunktna skupa mogu razdvojiti sa hiperravni. Ovo značajno svojstvo se koristi za decentralizaciju sistema cena pri monopolskoj konkurenciji. Štaviše, većina najkorisnijih rezultata matematičkog programiranja i teorije dualnosti ne važi bez pretpostavke konveksnosti.
4
Slika 2. Maksimalna proizvodnja dva artikla
omeđuje konveksan skup.Posledice ove činjenice su
značajne u teoriji ravnoteže.
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
2. Topološka struktura skupa R
U ovom poglavlju uvodimo osnovne pojmove koji su neophodni za dalji rad.
2.1 Definicije i osnovne osobine
Definicija Okolina tačke xoR je svaku podskup skupa R koji sadrži otvoren interval koji sadrži
tačku xo.
Drugim rečima, R je okolina tačke xo ako postoji interval (a,b) tako da je xo (a,b) . Prema tome, važi sledeća teorema:
TeoremaOtvoren interval (a,b) je okolina svake svoje tačke.
Za svako > 0 skup oblika (xo- , xo+ ) je okolina tačke xo. Okoline ovog oblika nazivaju se - okoline tačke xo i označavaju sa (xo ; ). Sa druge strane, svaka okolina
tačke xo sadrži neku - okolinu tačke xo (recimo za ). Iz ovog
razmatranja sledi definicija koja je ekvivalentna prethodnoj definiciji.
DefinicijaOkolina tačke xo R je svaki podskup skupa R koji sadrži - okolinu tačke xo za neko
> 0.
Definicija *Otvoren skup je skup koji je okolina svake svoje tačke.
PrimerNa osnovu gore navedene teoreme svaki otvoren itnerval (a , b) je otvoren skup. Otvoreni skupovi su i otvoreni intervali oblika (a, + ) i (- , b).
Teorema *Označimo sa skup svih otovrenih podskupova skupa R. Tada važi:
1. skup R i prazan skup pripadaju ,,2. presek dva elementa iz je takođe u ,3. svaka unija elemenata iz je u . .
5
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
NapomenaKao posledicu ove teoreme, dobijamo da su otvoreni skupovi u R otvoreni intervali (bilo ograničeni ili neograničeni) i njihove proizvoljne unije.
DefinicijaNeka je X neprazan skup, a podskup partitivnog skupa (X) sa osobinama:
1. skup X i prazan skup pripadaju skupu ;2. presek dva elementa iz je takođe u 3. svaka unija elemenata iz je u .
Elementi skupa su otvoreni skupovi, (X , ) je topološki prostor sa topologijom definisanom skupom .
Ako se setimo Teoreme* skup R relanih brojeva sa skupom otvorenih skupova u smislu Definicije* je topološki prostor. Ovako definisana topologija naziva se uobičajena topologija na R.
DefinicijaZatvoren skup je skup čiji je komplement otvoren skup.
TeoremaNeka je skup svih zatvorenih podskupova skupa R. Tada važi
1. skup R i prazan skup pripadaju skupu 2. unija dva elementa iz je u 3. svaki presek elemenata iz je u .
DefinicijaTačka je unutrašnja tačka skupa A ako postoji > 0 tako da je
.
DefinicijaSkup svih unutrašnjih tačaka skupa naziva se unutrašnjost skupa A i
obeležava sa .
Napomena
Iz definicije direktno sledi da je .
DefinicijaTačka b R je adherentna tačka skupa ako svaka okolina tačke b sadrži bar
jednu tačku skupa A tj. za svako > 0 je
DefinicijaSkup svih adherentnih tačaka skupa A naziva se adherencija (zatvaranje) skupa A i
obeležava sa .
6
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
DefinicijaTačka cR je tačka nagomilavanja skupa ako svaka okolina tačke c sadrži bar jednu
tačku skupa A različitu od C, tj. za svako > 0 je
( ) .
Možemo zaključiti da je svaka tačka nagomilavanja skupa A i adherentna tačka supa A, dok obrnuto ne važi.
TeoremaTačka cR je tačka nagomilavanja skupa A ako i samo ako svaka okolina tačke c
sadrži beskonačno mnogo tačaka skupa A.
TeoremaPodskup je zatvoren ako i samo ako sadrži sve svoje tačke nagomilavanja.
DefinicijaTačka e R je rubna tačka skupa ako svaka okolina tačke e sadrži bar jednu
tačku skupa A i bar jednu tačku komplementa skupa A. Skup svih rubnih tačaka skupa A naziva se rub skupa A i označava sa Fr(A).
DefinicijaTačka d je izolovana tačka skupa A ako postoji okolina tačke d u kojoj nema
drugih tačaka skupa A sem tačke d tj. postoji > 0 tako da je
Topološku strukturu sa R proširićemo na tako što ćemo pod okolinom tačke + smatrati svaki skup koji sadrži skup oblika
, za neko ,
a okolinom tačke - svaki nadskup skupa oblika
za neko .
Sada možemo definisati topološke pojmove i na .
Za proizvoljno > 0 skup naziva se leva - okolina tačke x, a skup
desna - okolina tačke x.
Skup R sa uobičajenom topologijom ima sledeće, za dalja ispitivanja veoma važno svojstvo:
7
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
TeoremaZa svake dve različite tačke u R postoje njihove disjunktne okoline.
NapomenaTopološki prostori u kojima svake dve različite tačke imaju disjunktne okoline nazivaju se Hausdorfovi. Dakle, R je Hausdorfov topološki prostor.
Teorema (Bolcano-Vajerštraova teorema)Svaki beskonačan i ograničen podskup A skupa R ima bar jednu tačku nagomilavanja
u R.
2.2 Kompaktnost u R
DefinicijaPodskup je kompaktan skup ako je zatvoren i ograničen.
TeoremaPodskup je kompaktan ako i samo ako svaki njegov beskonačan podskup ima
bar jednu tačku nagomilavanja koja pripada skupu K.
TeoremaKompaktan skup sadrži svoj infimum i supremum tj. ima minimalan i maksimalan
elemenat.
Definicija
Familija skupova = i je pokrivač skupa ako svaki elemenat
skupa A pripada bar jednom članu te familije, tj. ako važi da je i.
Ako su svi skupovi i otvoreni, tada se familija zove otvoren pokrivač skupa A.
DefinicijaPodskup ima Hajne-Borelovu osobinu ako svaki otvoren pokrivač skupa A ima
konačan potpokrivač.
To znači da ako familija otvorenih skupova i pokriva skup A tj.
i, postoji konačan broj skupova te familije i1, i2,...,in takvih da je ik.
TeoremaInterval a,b, a,bR ima Hajne-Borelovu osobinu.
8
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
TeoremaPodskup je kompaktan ako i samo ako ima Hajne-Borelovu osobinu.
2.3 Metrička struktura skupa R i Rn
DefinicijaMetrički prostor je uređen par (M,d) gde je M neki neprazan skup, a
preslikavanje sa osobinama da za svako x,y,zM važi:1. d(x , y) 0, d(x , y) = 0 x = y ,2. d(x , y) = d (y , x) ,3. d(x , y) d (x , z) + d(z , y) (nejednakost trougla).
Funkcija d naziva se metrika a broj d( x , y) rastojanje tačaka x i y.
DefinicijaOtvorena lopta sa centrom u tački x poluprečnika r, r > 0 je skup
L ( x; r) = yM d(x,y) < r
Svaka metrika indukuje topologiju na skupu M u kojoj su otvoreni skupovi oni koji sa svakom svojom tačkom sadrže i otvorenu loptu sa centrom u toj tački (tj. koji su unija otvorenih lopti).
Ako posmatramo skup R realnih brojeva kao metrički prostor sa metrikom d(x , y) = x - y, x,yR, otvorena lopta sa centrom u tački x poluprečnika r dobija oblik L (x ; r ) = yR x - y < r = yRx - r < y < x + ršto znači da je ta otvorena lopta u R interval, da je to -okolina tačke x za = r i da je -okolina tačke x zapravo skup svih tačaka koje su od tačke x na rastojanju manjem od r.
Slika 3 Otvorena lopta u R
Dakle, bez obzira da li topologiju na R definišemo preko -okolina ili preko metrike d dobijamo istu topologiju.
9
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Kao što znamo, rastojanje dve tačke i je realan broj koji se
izračunava po formuli
Na ovaj način definisana funkcija je metrika. Sa ovako definisanom metrikom je metrički prostor u kome su otvorene lopte krugovi (bez ruba) sa centrom u datoj tački i datog poluprečnika.
Slika 4 Otvorena lopta u
U sa običajenim rastojanjem dve tačke, naziv otvorena lopta postaje opravdan.
Najznačajniji primer metričkog prostora potreban za ovaj rad je sa euklidskom
metrikom .
Definicija
Struktura X je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva ( R , + , · ) ako je
( X, + ) komutativna grupa i ako je definisano preslikavanje R , tako da za
svako , važi
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
pri čemu je slika para označena sa .
Neophodno je još navesti definicije normiranog prostora i skalarnog proizvoda.
10
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Definicija
Mera rastojanja od referentne tačke u vektorskom prostoru X određuje se normom.
Prostor (X, ) je normiran ako preslikavanje ispunjava sledeće uslove:
1. ,
2. ,
3. .
Svaki normiran prostor je metrički, jer normom možemo definisati metriku na sledeći
način: . Kažemo da je metrika indukovana normom .
U opštem slučaju, metrički prostor nije normiran.
Napomena
Algebarska i topološka struktura u normiranom prostoru su saglasne jer su + i skalarno
neprekidne operacije.
Ako je normiran prostor (X, ) kompletan, onda se on zove Banahov prostor.
Definicija
U vektorskom prostoru X nad poljem realnih brojeva, preslikavanje
za koje važi
1.
2. ,
3. ,
naziva se skalarni proizvod. Skalarni proizvod indukuje normu na sledeći način
, .
Vektorski prostor (X, ) zove se predHilbertov prostor, ali i unitarni vektorski prostor.
Ako je on kompletan, onda se zove Hilbertov prostor.
Primer
Prostor ( ) je kompletan, normiran, metrički vektorski prostor sa skalarnim
proizvodom
11
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
3. Konveksni skupovi
3.1 Definicije i osnovne osobine konveksnih skupova
DefinicijaNeka je , gde je X vektorski prostor. Skup A je konveksan ako za sve x, y A i
sve (0,1) važi x + (1- ) y ADefinicija
Neka je dato m tačaka x1,x2,...,xm vektorskog prostora X. Tačka je
konveksna kombinacija tačaka x1,x2,...,xm ako je k 0 za sve k = 1,...,m i .
PrimeriNavodimo par primera konveksnih skupova:
1. Prazan skup, čitav , kao i skup koji se sastoji od jedne tačke su konveksni.Ako skup sadrži više od jedne tačke i bar jednu izolovanu tačku, on ne može biti konveksan.U kružnica nije, a lopta jeste konveksan skup.
2. Za fiksiran ne-nula vektor c IRn i broj , hiperravan Hc, se definiše sa
Hiperravni u su tačke, u prave linije, a u ravni. Takođe važi da je hiperravan konveksan skup. Ovu činjenicu ćemo i pokazati:
Neka su x,yHc, . Tada iz
sledi
Skupovi
i
zovu se otvoreni poluprostori, koje ćemo takođe zvati i gornji, odnosno donji poluprostor respektivno.
12
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Njihova zatvaranja
su zatvoreni poluprostori.
Otvoreni poluprostori i zatvoreni poluprostori su konveksni.
3. Za zadatu matricu A formata m n i vektor b , linearna mnogostrukost
definisana sa je konveksan skup
4. Klasa neprekidnih funkcionela f nad a,bR za koje je f(x) 1, xa,b je konveksan skup u vektorskom prostoru C a,b svih neprekidnih funkcionela nad a,b.
Naredne teoreme dovode u vezu svojstva konveksnih skupova sa njihovom topološkom strukturom.
TeoremaZatvaranje konveksnog skupa je konveksan skup.
DokazNeka a,b , gde je A konveksan skup. Tačke a i b ne mogu biti izolovane, pa su one tačke nagomilavanja skupa A. To znači da postoje nizovi elemenata skupa A, akbk koji konvergiraju tačkama a i b respektivno. Za dato (0,1) i svako kN važi ak + (1 - )bk Aza niz elemenata ck: = ak + (1 - )bk , kN
Prema tome, a + (1 - )b je tačka nagomilavanja skupa A, pa konveksna kombinacija a + (1 - )b što je i trebalo dokazati.
13
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
U vektorskom prostoru X, otvoreni, poluotvoreni i zatvoreni intervali (duži) se definišu na običajen način.
Na primer, za zadate tačke (krajeve intervala) x i y, važi
odnosno
slično se definišu (x,y), x,y i (x,y.
Sledeća teorema pokazuje da se proizvoljnom elementu zatvaranja konveksnog skupa neprazne unutrašnjosti možemo „približiti“ pomoću unutrašnjih tačaka posmatranog skupa.
Teorema *Neka je A konveksan skup neprazne unutrašnjosti.Tada za proizvoljne x0 i y
važi x0 , y) .
DokazPošto je x0 unutrašnja tačka skupa A sledi da postoji > 0 tako da je L(x0) A. Neka je, za proizvoljno (0,1) z: = (1 - )x0 + yPokazaćemo da proizvoljna tačka z0 L(1-)(z) pripada skupu A. U svakoj okolini tačke y
postoje elementi skupa A, pa ako definišemo: , sledi da postoji
odnosno .
Posmatramo sada rastojanje tačke z0 od tačke (1 - )x0 + y0:
Odavde, deljenjem sa 1 - dobijamo
odnosno .
Dakle, sada imamo dve tačke, i y0 konveksnog skupa A. Njihova
konveksna kombinacija je z0:
pa je tvrđenje dokazano.
14
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
TeoremaUnutrašnjost konveksnog skupa je konveksan skup.
Dokaz.Primenom prethodne teoreme sledi direktno, jer je .
Teorema
Neka je A konveksan skup neprazne unutrašnjosti. Tada je i
Dokaz
Unutrašnjost nekog skupa je uvek njegov podskup, pa je . Dokažimo obrnutu
inkluziju. Neka je i x0 proizvoljna tačka iz . Iz Teoreme* sledi da
x0 , y) , pa je y tačka nagomilavanja skupa , odnosno y .
Takođe, svaki skup je podskup svog zatvaranja, pa je . Za obrnutu inkluziju
dajemo „intuitivni“ dokaz, koji se oslanja na primenu teoreme*. Pretpostavimo da je y
) i neka je x0 proizvoljna tačka iz . Označimo sa p(x0 , y) pravu koja prolazi kroz
tačke x0 i y:
Iz y sledi da > 0 tako da je L(y) A, pa je i . Neka je z tačka
preseka kružnice i prave p(x0, y) koja ne pripada duži x0 , y. Jasno, tada važi
y(x0 , z). Iz Teoreme * sledi x0 , z) , pa y , što je i trebalo dokazati.
Napomena
U opštoj topologiji otvoren skup sa osobinom naziva se regularno otvoreni,
a zatvoreni sa osobinom = A regularno zatvoreni. Dakle, otvoreni konveksni
skupovi su regilarno otvoreni, a zatvoreni konveksni skupovi su regularno zatvoreni.
U primenama se često javljaju skupovi koji nisu konveksni. Da bismo bili u mogućnosti da iskoristimo znanja o konveksnim skupovima, posmatraćemo konveksni skup koji je, u izvesnom smislu „najbliži“ datom skupu i ispitati njihov međusobni odnos.
15
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
DefinicijaNeka je , gde je X vektorski prostor. Presek svih konveksnih skupova koji
sadrže skup A naziva se konveksni omotač (obvojnica) skupa A i označava sa coA.
Naravno, konveksni omotač nekog skupa je konveksan skup, a ako je posmatrani skup konveksan, on je jednak svom konveksnom omotaču.
PrimerKonveksni omotač skupa x1,x2, gde su x1,x2 , je duž koja ih spaja, a konveksni
omotač tri nekolinearne tačke u je trougao čija su temena date tačke, uključujući njegovu unutrašnjost. Konveksni omotač konačnog broja tačaka u ravni je odgovarajući mnogougao.
Za proizvoljne skupove A,B direktno se pokazuje da važi1. A coA ,2. A B coA coB ,3. co (coB) = coA .
DefinicijaNeka je dato m+1 tačaka u , x0, x1,...,xm takvih da su vektori (xk-x0), k=1,...,m
linearno nezavisni. Konveksni omotač datih tačaka zove se m dimenzioni simpleks i označava se sa Sm.
Teorema (Karateodorijeva teorema)Neka je . Tada se svaka tačka xcoA može prikazati kao konveksna
kombinacija najviše (n+1) elemenata skupa A.
TeoremaKonveksni omotač otvorenog skupa je otvoren skup. Konveksni omotač zatvorenog
skupa ne mora biti zatvoren skup.
DokazNeka je A neprazan otvoren skup u . Naravno, A coA, pa je A = (coA) . Dakle, konveksan skup je sadržan u unutrašnjosti svog konveksnog omotača. Sa druge strane, (coA) je konveksan. Pošto je coA presek svih konveksnih skupova koji sadrže skup A sledi coA (coA) . Obratna inkluzija je uvek tačna, pa je coA = (coA) , što je i trebalo dokazati. Pokažimo primerom da konveksni omotač zatvorenog skupa ne mora biti zatvoren skup. Skup
je zatvoren u (lako se pokazuje da je njegov komplement otvoren skup). Njegov
16
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
konveksni omotač
c0U= >0 ,
nije zatvoren skup jer ne sadrži tačke nagomilavanja oblika (x,0), x > 0.
TeoremaZatvoren konveksni omotač skupa A je najmanji zatvoren i konveksan skup koji sadrži
skup A, u oznaci .Važi konveksni omotač skupa A je zatvoren konveksni omotač
skupa A tj. coA je .
DokazJasno, . Sa druge strane, po definiciji je coA , pa važi , što
znači da je = .
3.2 Ekstremne tačke
U ovom poglavlju posmatraćemo posebne tačke konveksnih skupova, ekstremne tačke, i pokazati da se njihova konveksna obvojnica poklapa sa datim konveksnim skupom.
DefinicijaTačka x0 konveksnog skupa je ekstremna tačka tog skupa ako ne postoje tačke
x,y K, x y, ni t (0,1) takve da je x0 = (1 - t)x + ty.
Ekstremna tačka, dakle, ne pripada nijednom intervalu čije su krajnje tačke u K. Jasno, unutrašnja tačka skupa nikad nije ekstremna tačka tog skupa. Mi ćemo pokazati da svaki neprazan, konveksan i kompaktan podskup skupa ima ekstremnu tačku.
Definicija
17
Slika 5. Trougao ima tri
ekstremne tačke. Sve tačke
na rubu zatvorene lopte su
njene ekstremne tačke.
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Neka je K neprazan konveksan podskup u . Podskup A K je ekstremni
(pod)skup skupa K ako i samo ako iz a,b K i sledi a,b A.
LemaNeka je K neprazan konveksan podskup u . Presek proizvoljne familije ekstremnih
podskupova skupa K je ili prazan skup ili ekstremni podskup skupa K.
Dokaz
Pretpostavimo da je , gde je familija ekstremnih podskupova skupa
K. Tada za svako važi: a,b K i iz sledi da a,bA. Kako je
iz sledi da a,bA, za svako
, pa je a,b , te je ekstremni skup skupa K.
LemaNeka je K neprazan konveksni podskup u i neka je A jednočlan ekstremni podskup
skupa K. Tada je (jedini) element skupa A ekstremna tačka skupa K.
DokazNeka je A=a. Ako a nije ekstremna tačka skupa K onda postoje k1,k2K i t(0,1) tako da važi a = (1-t) k1 + k2. Tada (k1, k2) A, pa k1, k2 A, što je kontradikcija. Dakle, ako je ekstremni skup jednočlan onda je ta tačka ekstremna tačka. Lema
Neka je K neprazan konveksan podskup u i neka je A konveksan ekstremni podskup skupa K. Ako je skup B ekstremni podskup skupa A onda je B i ekstremni podskup skupa K.
DokazNeka k1 ,k2 K i (k1, k2) B . Pošto B A, sledi (k1, k2) A , pa, kako je A ekstremni skup skupa K važi k1, k2 A. Sada, iz činjenice da je B ekstremni skup skupa A sledi da k1, k2 B, odnosno, B je ekstremni skup skupa K.
18
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
U dokazu sledeće leme, koristiće se sledeće činjenice teorije skupova:
o Relacija „biti podskup“ je relacija poretka, pa u familiji skupova imamo parcijalno uređenje ( , c).
o Minimalni elemenat parcijalnog uređenja ( , c) je A ako ne postoji skup B takav da je B A, B A
o Podfamilija je lanac ako i samo ako za svako A1 , A2 važi A1 A2 ili A2 A1.
o Kolekcija skupova ima svojstvo konačnog preseka ako je presek svake njene konačne potkolekcije neprazan skup.
o Lema Corna glasi: Ako je ( , c) parcijalno uređenje u kojem svaki lanac ima donje ograničenje onda u postoji minimalni element.
LemaNeka je K neprazan, konveksan i kompaktan skup u i neka je familija zatvorenih,
konveksnih i nepraznih ekstremnih podskupova skupa K. Tada familija ima minimalni element.
Dokaz jer K . Posmatrajmo proizvoljan lanac u . On je „rastući“ ili „opadajući“. Ako je A1 A2 ... onda je A1 njegovo donje ograničenje i minimalni element, to jest A1 =
. Posmatrajmo sada „opadajući“ lanac A1 A2 .... Za ma koji konačan skup
indeksa 1 , 2 , ... , m važi A1 A2 .... Am, pa je Am donje ograničenje ove podfamilije. Iz svojstva kompaktnosti sledi da je presek čitave familije A1 A2 ... neprazan i da je on element familije . Dakle, svaki lanac u ima donje ograničenje, pa na osnovu leme Corna sledi da i čitava familija ima minimalni element. Zaključak
Za dati neprazan, konveksan i kompaktan skup postoji minimalni ekstremni podskup skupa K koji je neprazan, zatvoren i konveksan.
TeoremaNeka je K neprazan, konveksan i kompaktan u . Skup K ima ekstremnu tačku.
Teorema (Krein - Milman)Neka je K neprazan, konveksan i kompaktan skup u i neka je B skup njegovih
ekstremnih tačaka. Tada važi K = . Teorema
Neka je A neprazni podskup skupa i neka je f linearna funkcionela nad A.
19
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
a) ako je x0 tačka strogog minimuma funkcije f nad A onda je x0 ekstremna tačka skupa A.
b) ako je A konveksan i kompaktan, a f neprekidna, onda se među tačkama minimuma funkcionele f nalaze ekstremne tačke skupa A.
Dokaza) Neka je f(x0) < f(x), x A. Ako x0 nije ekstremna tačka skupa A onda postoje
a1, a2 A i t (0,1) tako da je x0 = t a1 + (1 - t) a2. Tada je f (x0) = t f(a1) + (1 - t) f(a2) > t f(x0) + (1 - t) f(x0) = f(xo), što je kontradikcija. Dakle, x0 je ekstremna tačka skupa A.
b) Označimo sa B skup tačaka minimuma funkcionele f nad A. Iz linearnosti funkcionele f i konveksnosti skupa A sledi da je B konveksan skup. Iz neprekidnosti funkcionele f i zatvorenosti skupa A sledi da je B zatvoren skup. Jasno, B je kompaktan pa on, na osnovu prethodne teoreme ima ekstremnu tačku, označimo je sa x0. Preostaje da pokažemo da je x0 ekstremna tačka skupa A.Ako x0 nije ekstremna tačka skupa A onda postoje tačke x1,x2 A, x1 x2 i postoji broj t (0,1) tako da važi x0 = t x1 + (1 - t) x2. Tada, izf(x0) f(x1) i f(x0) f(x2) sledi f(x0) = tf(x1) + (1 - t) f(x2) t f(x0) + (1 - t) f(x2), odnosno (1 - t) f(x0) (1 - t) f(x2) pa je f(x0) = f(x2).
Slično se pokazuje da je i f(x0) = f(x1). Odavde x1, x2 B, pa njihova konveksna kombinacija x0 ne može biti ekstremna tačka skupa B. Ovo je u kontradikciji sa polaznom pretpostavkom o x0 .
NapomenaNa prethodnoj teoremi se zasnivaju metode linearnog programiranja koje se, kao što je
poznato, koriste u teoriji upravljanja i pri rešavanju raznih ekonomskih problema. Na primer, optimalna raspodela resursa je jedan od problema koji su zajednički za teoriju upravljanja i za ekonomiju.
20
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
4. Konveksne funkcije
Pre nego što pređemo na definisanje konveksnih funkcija i njihovih osobina potrebno je osvrnuti se na pojam poluneprekidnosti, teoremu Vajerštrasa i njenim uopštenjima.
4.1 Poluneprekidnost, teorema Vajerštrasa i uopštenja
Osnovna teorema Vajerštrasa kaže da neprekidna funkcija nad zatvorenim intervalom dostiže svoj infimum i supremum. Cilj ovog poglavlja je da se pokaže na koji način se uslov neprekidnosti može zameniti slabijim uslovom poluneprekidnosti.
Definicija Tačka u* U je tačka apsolutnog (globalnog) minimuma funkcionele J nad skupom
U d ako je J(u*) J (u) za sve u U. Veličina J(u*) naziva se minimalna vrednost funkcionele J nad U. Skup svih tačaka minimuma ćemo označavati sa U*. Tačka u* U je tačka lokalnog minimuma funkcionele J nad skupom U ako postoji r > 0 tako da je J(u*) J(u) za sve u U Lr(u*).
Podsetimo se, funkcionela J je ograničena sa donje strane na skupu U d ako postoji M tako da je J(u) M za sve uU. Funkcionela J nije ograničena sa donje strane na U ako i samo ako postoji niz ukkN, ukU, kN, tako da važi
Neka je . Ako funkcionela J nije ograničena sa donje strane na U onda je
J* = -. Dakle, J* > - ako i samo ako važi
1) J* J(u), za sve u U,
2) > 0, uk U tako da važi J(u) < J* + .
Primetimo, ako je U* onda je .
DefinicijaNiz ukkN, uk U, k N je minimizirajući niz funkcionele J nad U ako važi
.
21
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Na osnovu definicije infimuma sledi da minimizirajući niz funkcionele J nad skupom U uvek postoji.
DefinicijaPretpostavimo da je niz realnih brojeva ukkN ograničen sa donje strane. Broj a je
limes inferior tog niza, u oznaci , ako važi
1. postoji barem jedan podniz tog niza, ukmmN koji konvergira ka a ,2. ne postoji tačka nagomilavanja tog niza koja je manja od a.
Drugim rečima, ako i samo ako za svako > 0
1. postoji N N tako da je uk > a- za sve k > N ,2. za sve m N, postoji km N tako da je ukm a + .
Naravno, i ovde se nejednakosti posmatraju po koordinatama. Ako posmatrani niz nije ograničen sa donje strane, onda je po definiciji, njegov limes inferior jednak sa -, a ako
je onda je i
DefinicijaData je funkcionela J nad nepraznim skupom U . Funkcionela J je
poluneprekidna odozdo (sa donje strane) u tački uU ako za svaki niz ukkN koji
konvergira ka u i važi . Funkcionela J je poluneprekidna odozdo na skupu
U ako je poluneprekidna odozdo u svakoj tački tog skupa.
Analogno se definiše poluneprekidnost odozgo (sa gornje strane).
Definicija
Data je funkcionela J nad skupom U. Skup nazivamo
Lebegovim skupom funkcije J.
LemaNeka je U zatvoren podskup u . Potreban i dovoljan uslov da J : U bude
poluneprekidna odozdo na U je da su svi Lebegovi skupovi M, , funkcije J nad U zatvoreni.
Šta više, ako je J poluneprekidna odozdo na U onda je skup u* tačaka minimuma funkcije J nad U zatvoren skup.
22
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
TeoremaNeka je U neprazan i kompaktan podskup od i nekaje J : X poluneprekidna
sa donje strane na U. Tada važi
1. J*= ,
2. Skup u* = je neprazan, kompaktan i svaki minimizirajući niz
konvergira ka U* .
DokazPokazaćemo istovremeno prvi deo tvrđenja i U* . Znamo da minimizirajući niz uvek
postoji. Neka je unnN U proizvoljan minimizirajući niz, to jest neka je .
Pošto je U kompaktan, sledi da postoji konvergentan podniz posmatranog niza.
Neka je granica tog podniza označena sa u.Iz poluneprekidnosti funkcije J sledi
Jasno J* J(u0) uvek važi. Ovim je dokazan prvi deo tvrđenja i u* .Pokažimo da je U* kompaktan skup, odnosno da svaki niz njegovih elemenata sadrži
konvergentan podniz čija granica pripada U*. Neka je proizvoljan niz. Kao
niz elemenata kompaktnog skupa U on sadrži konvergentan podniz koji
konvergira u U. Neka je granica tog podniza u0. Jasno, J(unk)=J*, a iz poluneprekidnosti
funkcije J sledi . Odavde je J(u0) = J*, odnsono u0 , što je i
trebalo pokazati.
Preostaje još da pokažemo da svaki minimizirajući niz konvergira ka skupu
tj.
Jasno, d (un , ) 0, pa je i .
Neka je a:= . Jasno, postoji podniz kojim se dostiže a,
odnosno, . Iz kompaktnosti skupa U iz tog podniza možemo izdvojiti
konvergentan podniz . Neka je . Iz poluneprekidnosti funkcije J
sledi
(jer posmatramo podniz podniza minimizirajućeg niza), pa U. Iz neprekidnosti
funkcije rastojanja tačke od skupa sledi
jer . Sa druge strane jer posmatramo podniz
d(unke, ) konvergentnog niza d(unk,U*).
Odavde sledi da je
23
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
0= a = .
Ovim je teorema dokazana.
Naredne teoreme su uopštenja upravo dokazane osnovne teoreme Vajerštrasa.
TeoremaNeka je U neprazan i zatvoren skup u , neka je J : U poluneprekidna sa donje
strane na U i neka je, za neko u0 Lebegov skup ograničen. Tada važi:
1. ,
2. skup je neprazan, kompaktan i svaki minimizirajući niz iz M konvergira ka U* .
DokazJasno, za u UM važi J(u ) > J(u0), pa J ne dostiže minimalnu vrednost nad skupom UM, što znači da možemo posmatrati restrikciju JIM funkcije J na skup M. Na osnovu leme M je zatvoren. Pošto je i ograničen, možemo primeniti prethodnu teoremu na JIM.
Napomena
Za minimizirajuće nizove iz U, koji nisu elementi skupa M prethodno tvrđenje, u opštem slučaju, ne važi.
TeoremaNeka je U neprazan i zatvoren skup u , neka je J:U poluneprekidna sa donje
strane na U i neka za svaki niz unnNU za koji je važi
Tada važi:
1.
2. skup je neprazan, kompaktan i svaki minimizirajući niz
konvergira ka U*.
DokazAko je U ograničen skup, tvrđenje sve svodi na osnovnu teoremu Vajerštrasa. Tada,
naravno, ne postoji niz unnN takav da je . Pretpostavimo da U nije
24
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
ograničen. Tada sigurno postoji barem jedan niz njegovih elemenata za koji važi
. Po pretpostavci, važi . Neka je uo U izabrana tako da je
J(u0) > J*. Ovo je moguće jer . Tada postoji no N tako da je J(uno) > J*.
Stavimo uo: = uno.Posmatrajmo Lebegov skup M=uUJ(u) J(uo)Pokažimo da je M ograničen. U suprotnom, postojao bi niz znnN M, za koji važi
. Tada je i pa znM za dovoljno veliko nN, što je
kontradikcija. Sada tvrđenje sledi direktno iz prethodne teoreme.
Napomena
Način izbora tačke u0, J(u0)>J* implicira da za svaki ograničen minimizirajući niz unnN
postoji n0N tako da je unM za sve nn0. Sa druge strane, iz uslova teoreme je jasno da nijedan neograničen niz ne može biti minimizirajući.
PosledicaAko je U neprazan i zatvoren u onda za svako x postoji uU tako da važi d
d(x,U)=d(x,u).
Dokaz
Neka je x proizvoljan vektor. Posmatrajmo neprekidnu funkciju g(z)= , z . Za
dovoljno veliko važi g(z)= - . Ovo sledi iz nejednakosti ,
ako, na primer, uzmemo . Odavde je za svaki niz znnN za koji
važi . Dakle, posmatrana funkcija ispunjava uslove prethodne teoreme nad
proizvoljnim nepraznim zatvorenim skupom U, pa je U* i g* > -. Prema tome,
postoji uU tako da je d(x,U)= .
4.2 Definicije i osnovne osobine konveksnih funkcija
Definicija
25
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Funkcija J definisana nad konveksnim skupom U je konveksna na U ako za sve u,v U i sve (0,1) važi J( u + (1 - ) v) J(u) + (1 - ) J(v) .
Ako za sve u,v U, i sve (0,1) važi
J( u+ (1 - ) v) < J(u) + (1 - ) J(v)
onda kažemo da je J strogo konveksna funkcija.
Geometrijska interpretacija gornjih definicija je očigledna. Tačke na sečici krive koja spaja J(u) i J(v) nalaze se „iznad“ tačaka na grafiku krive J sa odgovarajućim argumentom.
Definicija
Nadgrafik funkcije je skup oblika .
TeoremaFunkcija f je konveksna ako i samo ako je njen nadgrafik konveksan skup.
Bez dokaza navešćemo sledeće činjenice o konveksnim funkcijama nad podskupovima skupa realnih brojeva. U njima se prepliću svojstva konveksnosti funkcionele J, monotonosti njenog prvog izvoda i nenegativnosti njenog drugog izvoda.
1. Konveksna funkcija J nad intervalom a,b je neprekidna na (a,b) i u svakoj tački u (a,b) ima konačan levi izvod J'(u), konačan desni izvod J'+(u) i važi J'-(u) J'+(u).
2. Neka je J diferencijalna na a,b. Potreban i dovoljan uslov za konveksnost f-je J na a,b je da J' ne opada na a,b.
3. Da bi dva puta diferencijabilna funkcija J na a,b bila na tom intervalu konveksna, potrebno je i dovoljno da je J(u) 0, za sve u a,b.
4. Neka je J konveksna funkcija na a,b i neka je , kao i
. Tada je skup tačaka minimuma funkcije J nad a,b neprazan i
sve tačke lokalnog minimuma su tačke globalnog minimuma.
26
Slika 6. Grafici konveksne i
strogo konveksne funkcije
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
TvrđenjeKonveksna funkcija ne može imati strogi maksimum u tački .
DokazPretpostavimo da je tačka strogog maksimuma funkcije J:DR. Tada postaje
u1,u2 takve da je (jer postoji lopta u D sa centrom u , pa za u1 i u2
možemo birati rubne tačke na toj lopti). Iz konveksnosti funkcije J sledi
što je kontradikcija.
Skup tačaka minimuma konveksne funkcije je konveksan, a ako je J strogo konveksna onda je taj skup jednočlan ili prazan.
U nastavku se ispituje konveksnost u Rn, uz pretpostavke o diferencijabilnosti posmatrane funkcije. Koristićemo uobičajene oznake
C1(U)=JJ je neprekidna diferencijabilna funkcija na U C2(U)=JJ je dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija na U
Teorema Neka je U neprazan i konveksan skup u i neka je neprekidno
diferencijabilna funkcionela na . Potreban i dovoljan uslov za
konveksnost funkcije J na U je dat sa
.
Dokaz
Neka je J konveksna i neprekidno diferencijabilna na U. Iz konveksnosti sledi
Iz formule konačnog priraštaja (Lagranžova teorema srednje vrednosti) sledi
, , za neko
Odavde je , pa iz neprekidnosti prvog izvoda,
kada , dobijamo traženu nejednakost.
27
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Neka je i neka važi , za sve .
Neka su date tačke i . Neka je, dalje . Važi:
.
Ako prvu nejednakost pomnožimo sa , a drugu sa i saberemo ih, dobijamo
odnosno , što je i trebalo pokazati.
Sledeća teorema, kriterijum optimalnosti za konveksne funkcije, daje potreban i dovoljan uslov minimuma glatkih konveksnih funkcija (nad konveksnim skupovima, naravno) .
Teorema
Neka je U neprazan i konveksan skup u , neka je , a U* skup tačaka
minimuma funkcije J nad U.
1. Za sve i sve u U važi
2. Ako onda je
3. Za U ne mora da važi
4. Ako je J konveksna funkcija onda iz , za sve u U i neko
U, sledi .Dokaz
1. Neka . Iz definicije gradijenta sledi
Dakle, . Odavde, kada , dobijamo traženo
rešenje.
2. Ako je unutrašnja tačka skupa U, onda postoji > 0, tako da u : = +h U
za sve h za koje je . Iz prethodno dokazanog tvrđenja sledi
, odnosno , a takođe i ,
odakle sledi
3. Kontraprimer je funkcija J(u) = u2, nad skupom U = , Jasno, >0, za
sve u U a posebno, . Ovde je U* =1.
4. Na osnovu prethodne teoreme znamo da je , za sve
28
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
. Posebno, ako stavimo v = u* iz sledi
, za sve u U, što je i trebalo dokazati.
Teorema
Neka je konveksan i neprazan skup u i neka je . Funkcija J je konveksna
na U ako i samo ako važi: , za sve .
Dokaz
Iz konveksnosti funkcije J sledi , kao i
. Sabiranjem ovih nejednakosti dobijamo
odnosno , za sve .
Neka je i neka važi , za sve .
Koristićemo sledeću formulu konačnog priraštaja
Za proizvoljne i važi
=
+ =
= =
=
po uslovu zadatka, gde je
, a
.
Dakle, J je konveksna funkcionela.
29
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Teorema
Neka je U konveksan skup u neprazne unutrašnjosti i neka je .Funkcija
J je konveksna na U ako i smo ako važi , za sve i sve u U.
Dokaz
Za proizvoljno i postoji > 0 tako da je . Iz prethodne
teoreme sledi pa iz formule konačnog priraštaja imamo
za neko . Odavde je
, pa kada dobijamo traženo rešenje.
Neka je sada . Tada postoji niz unutrašnjih tačaka skupa U koji
konvergira ka U pa iz neprekidnosti drugog izvoda sledi
.
Neka su u i v proizvoljne tačke skupa U. Tada postoji tako da važi
Ako stavimo , iz uslova zadatka sledi pa je J
konveksna funkcija na osnovu prethodne teoreme.
Komentar
Funkcionela je konveksna nad skupom , ali uslov
nije ispunjen za sve . Prethodna teorema se ne može primeniti
jer je prazan skup.
Podsetimo se dovoljnog uslova da strogi minimum dva puta neprekidno diferencijabilne funkcionele J, definisane nad .Potreban uslov je da funkcionela J ima
ekstrem u tački je . Ako je u tački >0 , za sve ,
, onda je tačka strogog minimuma funkcionele J. Potreban I dovoljan uslov za
gornju nejednakost je da postoji >0 tako da važi , ,
30
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
.
Na osnovu gore navedenog lako možemo pokazati sledeći dovoljan uslov za lokalni minimum funkcionele.
Teorema
Neka je U konveksan skup u neprazne unutrašnjosti i neka je u nekoj
okolini tačke , u kojoj je . Ako je , za sve x iz
posmatrane okoline tačke i sve onda je tačka lokalnog minimuma funkcije
J.
DokazUslov zadatka implicira konveksnost funkcionele J na posmatranoj okolini tačke .
Odatle je , za sve x iz posmatrane okoline. Dakle, iz
dobijamo , odnosno je tačka lokalnog minimuma.
Posmatrajmo funkciju .
Ona je konveksna, neprekidna (i diferencijabilna) nad zatvorenim i konveksnim skupom U, ali ipak ne dostiže svoj infimum ni u jednoj tački skupa U.
Ovakve funkcije su motivisale uvođenje potklase konveksnih funkcija kod kojih navedena situacija nije moguća. To su jako konveksne funkcije.
DefinicijaFunkcija J je jako konveksna na konveksnom skupu U ako postoji konstanta >0
tako da važi:
, za sve , i
Teorema
1. Za jaku konveksnost funkcije na skupu U potrebno je i dovoljno da
postoji konstanta > 0 tako da važi
2. Za jaku konveksnost funkcije na skupu U potrebno je i dovoljno da
postoji konstanta > 0 tako da važi
31
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
3. Ako za jako konveksnu funkciju J na U važi
za neko L 0 i sve onda je .
Očigledno, svaka jako konveksna funkcija je i konveksna dok obrnuto ne važi.
32
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
5. Uopštenja pojma konveksnosti
5.1 Za konveksne skupove
Pojam konveksnosti za skupove, zbog svoje važnosti, predmet je uopštavanja.
Navedimo jednu od mogućih generalizacija.
Definicija
Podskup , , je gotovo konveksan ako za svaku loptu koja ne seče
skup A postoji lopta proizvoljnog poluprečnika koja ne seče A a sadrži loptu L.
Svaki konveksan skup je i gotovo konveksan dok obrnuto ne važi što ilustruje sledeći
primer.
Primer
Neka je , , konveksan skup i neka je a proizvoljna tačka skupa K. Skup
K nije konveksan ali je gotovo konveksan.
5.2 Za konveksne funkcije
Osnovni prostor za nas će biti metrički prostor (bez algebarske i vektorske strukture),
ali obogaćen nekim dodatnim osobinama, nekom strukturom koja ima za cilj da preuzme
tu ulogu .
Postoje razni pokušaji uvođenja takvih struktura. Jedan od njih je sledeći.
Za metrički prostor ( X , d ) kažemo da ima konveksnu strukturu L 2X ako su
zadovoljeni sledeći uslovi :1. ,
2. ,
3. Presek proizvoljno mnogo elemenata skupa L je elemenat skupa L ,gde je sa označena otvorena lopta sa centrom u tački x poluprečnija > 0.
Međutim, pokazalo se da ovako definisana konveksna struktura ne omogućava
dobijanje finijih rezultata i da ju je potrebno obogatiti.
33
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
U tom smislu vrlo uspešnim pokazao se pojam konveksnog metričkog prostora koji je
uveo japanski matematičar Vataru Takahaši (Wataru Takahashi).
Definicija
Neka je I zatvoren jedinični interval. Funkcija sa osobinom
da za sve i sve t I važi
naziva se konveksna struktura na X. Metrički prostor zajedno sa konveksnom
strukturom W naziva se Takahašijev konveksan metrički prostor.
Svaki konveksan podskup normiranog prostora je Takahašijev konveksan metrički
prostor sa konveksnom strukturom oblika .
Naravno, interesantno je pitanje postojanja konveksnih metričkih prostora koji nisu
tog tipa, tj. koji se ne mogu potopiti u normirani prostor. Odgovor je pozitivan kao što je
pokazuje i sledeći primer.
Primer
Neka je X skup svih zatvorenih intervala oblika I. Za dva takva
intervala Ii = i Ij = definišemo rastojanje
.
je metrički prostor sa konveksnom strukturom definisanom na sledeći način
.
Ovakve i slične strukture posmatraju se u intervalnoj matematici koja ima važnu ulogu
u numeričkoj matematici.
Vratimo se opštoj teoriji Takahašijevih konveksnih metričkih prostora. Lako se
proverava da konveksna struktura W ima sledeće osobine :
Za sve i I važi:
1. ,
2. ,
3. .
34
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Definicija
Za podskup K konveksnog metričkog prostora X reći ćemo da je konveksan ako za
sve i sve I važi da je .
Svaka, bilo otvorena bilo zatvorena lopta u Takahašijevom konveksnom prostoru je
konveksan skup u smislu ove definicije. Isto tako važi i da je presek proizvoljno mnogo
konveksnih skupova konveksan skup. Pošto su i svi jednočlani skupovi konveksni svaki
Takahašijev konveksan metrički prostor je i prostor sa konveksnom metričkom
strukturom L, gde je L skup konveksnih podskupova od X.
Ispitujući dalje osobine funkcije W može se pokazati da za sve i I važi da
je
što povlači da je svaki Takahašijev konveksan metrički prostor i metrički prostor sa
konveksnom strukturom koju je definisao Menger, koji se nazivaju metričkim
konveksnim prostorima.
Ipak i pored vih ovih dobrih i korisnih osobina funkcija W ima veliki nedostatak – u
opštem slučaju nije neprekidna. Naime, poznato je da je funkcija W neprekidna u svim
tačkama oblika ali da tek uz neke dodatne pretpostavke (među kojima je i
kompaktnost prostora X) ona postaje neprekidna i u svim preostalim tačkama. Primetimo
samo da ukoliko W nije neprekidno ne možemo tvrditi ni da je zatvaranje konveksnog
skupa konveksan skup.
U cilju prevazilaženja ove i još nekih teškoća L. Talman uvodi pojmove striktno
konveksnog i strogo konveksnog metričkog prostora. Ovi poslednji, strogo konveksni
prostori, zadovoljavaju uslove C. Horvata i spadaju u klasu takozvanih pseudokonveksnih
prostora.
Definisati konveksnu obvojnicu nekog skupa u prostoru sa konveksnom strukturom ne
pretstavlja problem – jednostavno to je najmanji konveksan skup koji ga sadrži, tj. presek
svih konveksnih skupova koji ga sadrže. Međutim, to ne rešava problem karakterizacije
elemenata konveksne obvojnice koja je važna za dobijanje rezultata u tim prostorima.
Kao što znamo u vektorskim topološkim prostorima važi da je
35
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Prirodno se postavlja pitanje neke karakterizacije elemenata konveksne obvojnice u
opštijem slučajevima. Pokazaćemo da je ovaj problem pozitivno rešen rešen za klasu
Takahašijevih konveksnih metričkih prostora.
Definicija
Za proizvoljan podskup A Takahašijevog metričkog prostora ( X , d ) neka je
.
Na taj način definisana je funkcija sa sledećim osobinama:
1. ,
2. ,
3. povlači da je ,
4. ,
5. ako je A konveksan skup tada je .
Neka je , za . Ako je skup konveksan
za sve . Označimo , . Niz skupova je rastući te
postoji i šta više važi da je
.
Skup je konveksan te je kao najmanji konveksan skup koji sadrži skup A i njegova
konveksna obvojnica.
Dobijena karakterizacija elemenata konveksnog omotača omogićava dobijanje novih rezultata iz teorije optimizacije i teorije nepokretne tačke u nekim klasama metričkih prostora.
36
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
6. Zaključak
Klasa konveksnih funkcija je nadskup klase linearnih funkcija koja sačuvava neke
osobine linearnih funkcija. Zbog te osobine klase konveksnih funkcija su posebno
interesantne u teoriji optimizacije, u teoriji nepokretne tačke sa primenom u ekonomiji.
37
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
7. Literatura
1. Ljiljana Gajić, Predavanja iz uvoda u analizu, Univerzitet u Novom Sadu, N. Sad
2004.
2. Nenad Teofanov, Ljiljana Gajić, Predavanja iz optimizacije, Univerzitet u Novom
Sadu, N. Sad 2006.
3. Ф. П. Васильев. “Численные методы решения экстремальных задач” ,
Наука, Москва, 1980.
38
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
8. Biografija
Novi Sad, 2007. Senada Čokić
39
Senada Čokić rođena je
24.03.1984. godine u Tuzli, od majke
Verunke i oca Šefkije. Osnovnu školu
"Ivan Milutinović" u Subotici završila je
sa odličnim uspehom, kao i gimnaziju
"Svetozar Marković", takođe u Subotici.
Studije je upisala 2003. godine na
prirodno-matematičkom fakultetu u
Novom Sadu, smer matematika finansija.
Sve ispite predviđene planom i
programom dala je do septembra 2007.
godine.
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
UNIVERZITET U NOVOM SADUPRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET
KLJUČNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA
Redni broj:
RBRIdentifikacioni broj:
IBRTip dokumentacije: Monografska dokumentacija
TDTip zapisa: Tekstualni Stampani materijal
TZ
Vrsta rada: Diplomski rad
VR
Autor: Senada Čokić
AUMentor: Prof. dr Ljiljana Gajić
MNNaslov rada: Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
NRJezik publikacije: Srpski (latinica)
JPJezik izvoda: s / e
JIZemlja publikovanja: Srbija
ZPUže geografsko područje: Vojvodina
UGPGodina: 2007.
GOIzdavač: Autorski reprint
40
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
IZMesto i adresa: Novi Sad, Departman za matematiku i informatiku, PMF, Trg
Dositeja Obradovića 4
MAFizički opis rada: (6, 37, 0, 0,6,0,0)
FONaučna oblast: Matematika
NONaučna disciplina: matematička analiza
NDKljučne reči: konveksni skup, konveksne funkcije
PO
UDK:Čuva se: U biblioteci Departmana za matematiku i informatiku
ČUVažna napomena:
VNIzvod:
IZU radu su navedene osobine konveksnih skupova, konveksnih funkcija, njihova
uopštenja i njihova uloga u ispitivanju ekstrema.
Datum prihvatanja teme od strane NN veća: 11.09.2007.
DPDatum odbrane: 04.10.2007.
DOČlanovi komisije:
KOPredsednik: Dr. Zagorka Lozanov-Crvenković, redovni profesor
Prirodno-matematičkog fakulteta u Novom Sadu Član: Dr. Ljiljana Gajić, redovni profesor Prirodno-matematičkog
fakulteta u Novom Sadu, mentor Član: Dr. Nenad Teofanov, redovni profesor Prirodno-matematičkog
fakulteta u Novom Sadu
41
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
UNIVERSITY OF NOVI SAD
FACULTY OF SCIENCE KEYWORDS DOCUMENTATION
Accession number:
ANOIdentification umber:
INODocument type: Monograph type
DTType of record: Printed text
TRContents Code: Graduation thesis
CCAuthor: Senada Čokić
AUMentor: Prof. dr Ljiljana Gajić
MNTitle: Convex sets,convex functions and generalization
XILanguage of text: Serbian
LTLanguage of abstract: English
LACountry of publication: Serbia
CPLocality of publication: Vojvodina
LPPublication year: 2007.
PYPublisher: Author's reprint
PU
42
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
Publ. place: Novi Sad, Faculty of Natural Sciences and Mathematics, Trg
Dositeja Obradovića 4.
PPPhysical description: (6, 37, 0, 0,6,0,0)
PDScientific field: Mathematics
SFScientific discipline: Mathematics analysis
Key words: Convex sets, convex functions
UC:Holding data: In library of Department of Mathematics and Informatics
HD Note:
Abstract:
AB Convex sets, convex functions and generalization and theirs applied has
been described within this graduation thesis.
Accepted by the Scientific Board on: September 11, 2007.
Defended: October , 4 2007.
Thesis defend board:
DBPresident: Dr. Zagorka Lozanov-Crvenković, Full Professor, Faculty of
Natural Sciences and Mathematics, University of Novi Sad
Member: Dr. Ljiljana Gajić, Full Professor, Faculty of Natural Sciences
and Mathematics, University of Novi Sad, menthor
Member: Dr. Nenad Teofanov, Full Professor, Faculty of Natural
Sciences and Mathematics, University of Novi Sad
43
Konveksni skupovi, konveksne funkcije i uopštenja
44
Recommended