PANEVROPSKI UNIVERZITET APEIRON

FAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE

Predmet:

MENADŽMENT POSLOVNIH INFORMACIONIHSISTEMA

„Fuzzy skupovi”

(seminarski rad)

Mentor: Prof. dr Gordana Radić Student: Dejan Janković

017-08/RPI

Banja Luka, januar 2014.

Sadrzaj

1. UVOD ............................................................................................................................................................... 2

2. FUZZY SKUPOVI ........................................................................................................................................... 3

3. OBLICI FUZZY FUNKCIJA PRIPADNOSTI ............................................................................................... 6

3.1 TROUGAONA FUNKCIJA PRIPADNOSTI ...............................................................................................................63.2 TRAPEZOIDNA FUNKCIJA PRIPADNOSTI .............................................................................................................63.3 PRAVOLINIJSKA FUNKCIJA PRIPADNOSTI ..........................................................................................................63.4 ZVONASTA FUNKCIJA PRIPADNOSTI ...................................................................................................................6

4. OSNOVNE OSOBINE FUZZY SKUPA .......................................................................................................... 7

4.1 NORMALNOST FUZZY SKUPA ..............................................................................................................................74.2 KONVEKSNOST (ISPUPČENOST) FUZZY SKUPA ...................................................................................................74.3 BROJ ELEMENATA (KARDINALNOST) FUZZY SKUPA ..........................................................................................7

5. OPERACIJE KOJE SE VRŠE NA FUZZY SKUPOVIMA .......................................................................... 8

5.1 ZBIR DVA FUZZY SKUPA (UNIJA): .....................................................................................................................85.2 ZAJEDNIČKI SKUP DVA FUZZY SKUPA (PRESJEK FUZZY SKUPOVA) ..................................................................85.3 SKUP SUPROTAN FUZZY SKUPU (KOMPLEMENT FUZZY SKUPA) ......................................................................9

6. POREĐENJE FUZZY SKUPOVA ................................................................................................................ 10

7. PRINCIP RAZLAGANJA I PRINCIP PROŠIRENJA ................................................................................. 11

7.1 PRINCIP RAZLAGANJA ......................................................................................................................................117.2 FUZZY BROJ ......................................................................................................................................................117.3 PRINCIP PROŠIRENJA ........................................................................................................................................12

8. ZAKLJUČAK................................................................................................................................................. 13

9. LITERATURA ............................................................................................................................................... 14

1 Dejan Janković

1. Uvod

Engleska riječ fuzzy, označava nešto nedefinisano, neprecizno ili neodređeno. Na tom značenju počiva ime fuzzy logike i fuzzy skupova.

U osnovi se razlikuju dvije vrste nejasnosti: neodređenost i nesigurnost. Matematičkigledano, njima pripadaju dva koncepta: teorija fuzzy skupova i teorija slabe mjere.

Fuzzy (fazi) skup je osnovni element za predstavljanje i obradu nepreciznosti u fuzzy tehnologijama. Fuzzy skup predstavlja skup elemenata sa sličnim svojstvima.

Fuzzy funkcije pripadnosti mogu imati različite oblike. Najčešće se koriste trougaona i trapezasta funkcija pripadnosti. Fuzzy skupovi imaju svoje osobine. Osnovne osobine fuzzy skupa su normalnost, konveksnost i broj elemenata fuzzy skupa.

Akcije ili operacije se mogu vršiti nad fazi skupovima… Operacije koje se vrše su skupili zbir, presjek I komplement fazi skupa.

2 Dejan Janković

2. Fuzzy skupovi

Fuzzy (fazi) skup je osnovni element za predstavljanje i obradu nepreciznosti u fuzzy tehnologijama. Fuzzy skup predstavlja skup elemenata sa sličnim svojstvima.

Klasičan, diskretan skup je skup elemenata sa istim svojstvima. Svaki elemenat diskretnog skupa pripada tom skupu 100%. Na skali, od 0 do 1, kažemo da svaki element diskretnog skupa pripada tom skupu sa stepenom 1.

Fuzzy skup je skup elemenata sa sličnim svojstvima. Fuzzy skup visokih muškaraca, fuzzy skup koji označava visoke prihode, fuzzy skup koji opisuje pun rezervoar, fuzzy skup stolica ili fuzzy skup automobila. Dok u diskretnom skupu svaki element pripada tom skupu sa stepenom pripadnosti 1, u fuzzy skupu svaki element pripada tom skupu u izvijesnom stepenu.

Slika 1. Primjer klasičnog u odnosu na fuzzy skup

Primjer fuzzy skupa je fuzzy skup visokih muškaraca koji sadrži muškarce visoke 205 cm a i muškarce visoke 185 cm. Muškarci visoki 205 cm su viši od muškaraca visokih 185 cm pa je njihov stepen pripadnosti fuzzy skupu visokih muškaraca veći. Kada se od 180 cm visina povećava ka 220 cm, stepen pripadnosti fuzzy skupu visokih muškaraca se povećava od 0 do 1.

3 Dejan Janković

Slika 2. Fuzzy funkcija pripadnosti koja opisuje fuzzy skup i pojam pun rezervoar

Slika 3. Fuzzy funkcija pripadnosti PRAZAN REZERVOAR se definiše kao suprotna funkcijapripadnosti PUN REZERVOAR

Na slici 2. vidi se fuzzy funkcija pripadnosti koja opisuje pun rezervoar. Na primjer, rezervoar sa 15 litara benzina kome je ukupan kapacitet 30 litara je napunjen 50%, ili do pola pun.

Na slici 3. pojam prazan rezervoar je definisan kao suprotan pojmu pun rezervoar. Što je stepen pripadnosti funkcije prazan rezervoar veći, to je stepen funkcije pun rezervoar manji, i obrnuto.

Fuzzy funkcija pripadnosti opisuje stepen pripadnosti elemenata nekom fuzzy skupu.

4 Dejan Janković

Matematički funkciju pripadnosti predstavljamo na sledeći način:

Neka je dat neprazan skup X. Fuzzy skup A u X se opisuje funkcijom pripadnosti:

A x : X 0,1

gde A x predstavlja stepen pripadnosti elementa x u fuzzy skupu A za

svako

x X . X se

naziva i nadskup ili univerzalan skup.

Fuzzy skup A se u potpunosti može predstaviti skupom parova:

A x, A x, x X

.

Fuzzy skup je proširenje i uopštenje diskretnih skupova. Na jednostavan način od fuzzy skupova možemo dobiti diskretan skup ali dolazi do gubitka informacija i nemogućnosti da koristimo dobijeni skup za meko i postepeno razmišljanje. Kada definišemo skup visokih djevojaka da bude diskretan skup i kažemo da su sve djevojke više od 178 cm visoke a sve niže od 178 cm nisu visoke. Kod fuzzy skupa, mala razlika u visini se vidi u maloj razlici u stepenima pripadnosti dok kod diskretnog skupa to nije moguće i promjena stepena pripadnosti je nagla i neprirodna.

5 Dejan Janković

3. Oblici fuzzy funkcija pripadnosti

Fuzzy funkcije pripadnosti mogu imati različite oblike. Najčešće se koriste trougaona itrapezasta funkcija pripadnosti.

3.1 Trougaona funkcija pripadnosti Veliki broj praktično realizovanih sistema koristi trougaonu funkciju pripadnosti. Ako

trougaona funkcija nije simetrična potrebna su tri parametra da bi se funkcija opisala (tri tjemena trougla), a ako je simetrična dovoljno je da su poznata samo dva tjemena trougla. Diskretna trougaona reprezentacija je mnogo korisnija pri prikazivanju fuzzy skupova iako je nešto komplikovanija.

3.2 Trapezoidna funkcija pripadnosti

Trapezoidni oblik fazi skupa u nesimetričnom slučaju zahtijeva četiri parametra (tjemena trapeza), a u simetričnom slučaju tri broja za potpunu reprezentaciju (središnju tačku, dužinu gornje i donje osnove).

3.3 Pravolinijska funkcija pripadnosti

Broj neophodnih elemenata za opis fuzzy skupa zavisi od broja pravolinijskih segmenata s i iznosi 2(s+1), pošto je za predstavljanje s segmenata potrebna s+1 tačka. Kako su segmenti u dvije dimenzije (elemenat nadskupa i stepen pripadnosti), ovaj broj se množi sa dva kako bi se dobio broj podataka neophodnih za opis ovog skupa.

3.4 Zvonasta funkcija pripadnosti

Zvonasta kriva se koristi u neuronskim mrežama. U nesimetričnom slučaju potrebno je tri parametra (pložaj, nagib, parametar rasipanja), a u simetričnom slučaju dva.

4. Osnovne osobine fuzzy skupa

Osnovne osobine fuzzy skupa su normalnost, konveksnost i broj elemenata fuzzy skupa.

4.1 Normalnost fuzzy skupa

Fuzzy skup koji nije normalan naziva se sub-normalan ili pod-normalan fuzzy skup. Normalan fuzzy skup ima maksimalnu vrijednost funkcije pripadnosti jednaku jedinici. Sub-normalan fuzzy skup ima maksimalnu vrijednost funkcije pripadnosti manju od jedinice. Sub-normalan fuzzy skup se može jednostavno transformisati u normalan fuzzy skup ako se sve vrednosti stepena pripadnosti podijele najvećim stepenom pripadnosti za dati skup. Ova operacija se često izvodi u praktičnim primjenama i naziva se operacija normalizacije.

4.2 Konveksnost (ispupčenost) fuzzy skupa

Fuzzy skup je konveksan ako i samo ako važi:

x1 X , x2 X ,

0,1

A x1 1 x2 ) min A x1 , A

x2

4.3 Broj elemenata (kardinalnost) fuzzy skupa

Ako je X diskretan i konačan skup, onda se kardinalnost fuzzy skupa izražava zbirom

stepena pripadnosti pojedinih elemenata fuzzy skupa: A A ( x) .xX

5. Operacije koje se vrše na fuzzy skupovima

5.1 Zbir dva fuzzy skupa (unija):

Zbir (unija) fuzzy skupova A i B je fuzzy skup AB predstavljen pomoću funkcijepripadnosti:

AB X A X B X max A ( X ),

B X ,gde označava operator maksimuma.

Slika 9. Funkcija pripadnosti skupova A i B, i njhova unija

5.2 Zajednički skup dva fuzzy skupa (presek fuzzy skupova)

Zajednički skup (presek) dva fuzzy skupa A i B je fuzzy skup AB predstavljenpomoću funkcije pripadnosti:

AB X A X B X min A ( X ),

B X , gde označava operator minimuma.

Slika 10. Funkcija pripadnosti skupova A i B, i njhov presjek

A

5.3 Skup suprotan fuzzy skupu (komplement fuzzy skupa)

Ovde ćemo ovaj operator nazvati operatorom negacije. Komplement fuzzy skupa A je

fuzzy skup A predstavljen pomoću funkcije pripadnosti:

X 1 A X

.

Slika 11. Funkcija pripadnosti skupa A , i njegov komplement

Operacije presjeka, unije i komplementa koje smo ovde predstavili su operacije koje se najčešće koriste. Postoje i mnogi drugi operatori unije, presjeka i komplementa u fuzzy teoriji, ali ih ovde nećemo pominjati zbog jednostavnosti. Isto ovo važi i za operator negacije, koji se često posebno definiše.

6. Poredjenje fuzzy skupova

Poređenje fuzzy skupova vrši se jednostavnim poređenjem njihovih funkcija pripadnosti

Jednakost fuzzy skupova.

Fuzzy skupovi A i B su jednaki ako su im jednake funkcije pripadnosti:

A B A X B X

. Inkluzija (uključenje) fuzzy skupova.

Fazi skup A se sadrži u fazi skupu B ako je funkcija pripadnosti A X manja od funkcije

pripadnosti B X u celom domenu X:

7. Princip razlaganja i princip proširenja

7.1 Princip razlaganja

Princip razlaganja je još jedna važna veza između klasične teorije skupova i teorijefuzzy skupova. Ovaj princip je često upotrebljavan u fuzzy teoriji.

Fuzzy skup se može predstaviti pomoću unije diskretnih skupova – njegovih α-presjeka. α-presjek fuzzy skupa A predstavlja skup svih elemenata nadskupa X sa osobinom da u originalnom fuzzy skupu imaju vrijednost stepena pripadnosti veći od α.

Slika 12. Princip razlaganja

Originalan kontinualan fuzzy skup A se može razložiti na beskonačno mnogo α- presjeka. U slučaju diskretne reprezentacije, A se može razložiti na konačan broj α-presjeka. Na

slici su prikazani skupovi A

vrednošću .

7.2 Fuzzy broj

koji se dobijaju kada se alfa presjek A pomnoži sa datom

Fuzzy broj A je fuzzy skup predstavljen funkcijom pripadnosti μA(x) sa sledećim osobinama:

μA(x) je definisana nad skupom realnih brojeva; μA(x) je konveksna; μA(x) je normalna; μA(x) je dio po dio neprekidna funkcija.

A

Slika 13. Fazi broj

Na slici 7.3 prikazana je ilustracija nekoliko fuzzy skupova od kojih neki nisu (C i D), a neki jesu fuzzy brojevi (A i B).

7.3 Princip proširenja

Princip proširenja omogućava proširenje mnogih operacija sa realnim brojevima na fuzzy skupove. Neka je data funkcija f koja preslikava diskretan skup X u diskretan skup Y. Tada definišemo funkciju f sa skupa svih fuzzy podskupova A od X u skup svih fuzzypodskupova od Y na sledeći način:

f Ay

supx x X , y

f x

8. Zaključak

Da zaključim, fuzzy skup je osnovni elemenat za predstavljanje i obradu nepreciznosti u fuzzy tehnologijama.

On predstavlja skup elemenata sa sličnim svojstvima, za razliku od klasičnog, diskretnog skupa, kod koga svaki element pripada tom skupu, u fuzzy skupu svaki element pripada tom skupu u izvijesnom stepenu to jest od 1 do 0.

Kroz ovaj rad su obrađene fuzzy funkcije pripadnosti, osobine fuzzy skupova i operacije koje možemo izvršiti na fuzzy skupovima.

Fuzzy funkcija pripadnosti opisuje stepen pripadnosti elemenata nekom fuzzy skupu. Obrađena su 4 oblika funkcija, i to: trougaona, trapezoidna, pravolinijska i zvonasta funkcija pripadnosti.

Osnovne osobine fuzzy skupa su: normalnost, konveksnost (ispupčenost) i broj elemenata (kardinalnost) fuzzy skupa, a operacije koje možemo izvršiti na fuzzy skupovima su: zbir fuzzy skupova, zajednički skup i skup suprotan fuzzy skupu (komplement).

Sad za sad, fuzzy skupove treba gledati I prihvatiti kao pomoćna matematička sredstva.

9. Literatura

Web:

h t t p : / / c o n t r o l . e t f b l .n e t/ M V I / F u zz y . pd f h t t p : / / w w w .s l i d e sh a re. n e t /m a r ep un k / f uzz y - l o g ika h t t p : / / ccd .un s.ac . r s / a u s / i u s / d o c / F u zz y / 1 %2 0 Osn o v n i % 2 0 p o j m ov i % 2 0 f uzz y % 20 l o g ike. pd f h t t p : / / sci nd e ks. nb . r s / art i c l e.as p x ? a r ti d = 1 4 5 0 - 8 2 3 0 06 0 2 1 1 5 M h t t p : / / w w w . f o n f o r u m . o r g/d o wnl o a d / t r ec a / T e o rij a _ od l u ci v a n ja / T e o rij a _O d l u c i v a n j a -

skri p ta_ f o r_d u mm i es.p d f (5.1) h t t p : / / w eb . m a th .p m f. u n i zg . h r / ~ v u k o v ic / D i p l o m s k i -r a d ov i / P e t ri c - M ar e ti c -F u zz y -l o g ika. pd f h t t p : / / w w w .a us ti n li n ks.c o m/ F u zzy / tu t o ri a l .h t m l

Knjige:

Z. Avdagić: Vještačka inteligencija & fuzzy-neuro-genetika, Grafoart, 2003