View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 1
1
Klasični linearni regresioni model (KLRM)
- jednostavni -
Zorica Mladenović
2
Ključne teme
•Postavka i pretpostavke KLRM
•Svojstva ocena parametara u KLRM
•Elementi statističkog zaključivanja u KLRM
•Predviđanje u KLRM
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 2
3
Postavka i pretpostavke KLRM
4
Formulacija i pretpostavke klasičnog
linearnog regresionog modela
Posmatramo populacionu regresionu pravu:
Yi = b0 + bXi + ei , i=1,2,...,n
Zavisnost je linearna po postavci modela.
Zavisna veličina Yi predstavljena je zbirom:
Sistematske komponente, b0 + bXi i
Slučajne komponente, ei
Nivo Yi dekomponuje se na deterministički i
stohastički deo.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 3
5
Formulacija i pretpostavke klasičnog
linearnog regresionog modela (II)
Kako Yi zavisi od slučajne greške potrebno je
definisati pretpostavke kojima se opisuju svojstva
slučajne greške ei.
Uvodi se ukupno 5 pretpostavki.
Početni model zajedno sa pretpostavkama čini
klasični linearni regresioni model
Često se dodaje pridev jednostavni, jer je polazni
model jednostavni regresioni model.
6
Pretpostavke jednostavnog KLRM (I)
Redni broj
pretpostavke1. 2. 3.
Formulacija
Očekivana
vrednost slučajne
greške je nula
Slučajne greške su
homoskedastične,
odnosno poseduju
istu varijansu
Slučajne greške su
međusobno
nekorelisane
Zapis
za svako i za svako i za svako i , j koji su
različiti.
( ) 22 ee ==i
E)(v i( ) 0=iE e ( ) ( ) .E,cov jiji 0== eeee
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 4
7
Pretpostavke jednostavnog KLRM (II)
Redni broj
pretpostavke4. 5.
Formulacija Slučajna greška ima
normalnu raspodelu
Objašnjavajuća promenljiva nije
slučajna promenljiva, već
poseduje determinističku prirodu
Zapis ( )i svakoza
,N:i20 e ( )
i svakoza
,Xcov ii 0=e
8
Detaljnije o svakoj od
pretpostavki KLRM
Smisao i implikacije pretpostavke.
Šta ako je pretpostavka narušena?
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 5
9
Pretpostavka 1:
Očekivana vrednost slučajne greške je nula
Implikacija:
U proseku slučajna greška ne utiče na nivo zavisne
promenljive
Ako je pretpostavka narušena:
Menja se početni smisao slobodnog člana:
( ) ( ) iii XYEE bbe +== 00
( )
( ) ii
clan.sl
i
iii
iii
uXkY
XY
uk.constkE
+++=
++=
+===
bb
ebb
ee
0
0
10
Pretpostavka 2:
Varijansa slučajne greške je stabilna
Slučajne greške su homoskedastične
Implikacije:
1. Svaka slučajna greška ima istu varijansu
nezavisno od vrednosti objašnjavajuće promenljive:
2. Varijansa zavisne promenljive odgovara varijansi
slučajne greške
( ) ( ) ( )( ) ( ) .EYEYEYvv iiiii2222 ee ==−==
.const)(v...)(v)(v n ===== 221 eee
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 6
11
Pretpostavka 2:
Varijansa slučajne greške je stabilna
Slučajne greške su homoskedastične
Ako je pretpostavka narušena:
Varijanse slučajnih greški razlikuju se po pojedinim
opservacijama:
Slučajne greške su heteroskedastične
Heteroskedastičnost se često javlja u podacima preseka.
222
21
2
222
211
n
nn
...
)(v
)(v
)(v
e
e
e
=
=
=
12
Pretpostavka 2:
Levi grafik: homoskedastičnost
Desni grafik: heteroskedastičnost
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 7
13
Pretpostavka 3:
Slučajne greške su međusobno nekorelisane
Odsustvo autokorelacije
Implikacije:
Slučajne greške su nekorelisane
Cov (ei , e j) = 0 za ij
Nema pravilnosti u korelacionoj strukturi slučajnih
greški
Pretpostavka se vezuje za podatke vremenskih serija.
Elementi niza slučajnih grešaka su uređeni u odnosu
na vreme:
Cov (e t , e t-j) = 0 za j=1,2,...
Medjusobna povezanost se opisuje terminom autokorelacija.
Po ovoj pretpostavci autokorelacija je nula.
14
Pretpostavka 3:
Slučajne greške su međusobno nekorelisane
Odsustvo autokorelacije
Ako je pretpostavka narušena:
Postoji autokorelacija
Slučajne greške su korelisane
Cov (e i , e j) 0 za ij
i slede prepoznatljiv obrazac u kretanju
U podacima vremenskih serija:
Slučajne greške koje su uređene tokom vremena
su korelisane
Uobičajena oznaka:
Cov (e t , et-j) 0 za j=1,2,...
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 8
15
Pretpostavka 3
(Odsustvo autokorelacije, pozitivna i
negativna autokorelacija)
16
Pretpostavka 4:
Slučajna greška poseduje normalnu raspodelu
Implikacije:
1. Slučajna greška obuhvata uticaj velikog broja
međusobno nezavisnih i nepredvidljivih uticaja.
2. Centralna granična teorema: zbir velikog
broja takvih činilaca aproksimira se normalnom
raspodelom
3. Parametri normalne raspodele:
Srednja vrednost je nula (1. pretpostavka)
Varijansa je 2 (2. pretpostavka)
Zapis:( )20 e ,N:i
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 9
17
Pretpostavka 4:
Slučajna greška poseduje normalnu raspodelu
Implikacije:
Zavisna promenljiva takodje poseduje normalnu
raspodelu
Parametri normalne raspodele Yi
Srednja vrednost je b0 + bXi
Varijansa je 2
( )( )
).,X(N:Y
),(N:
.)(E)XX(E)Y(v
YEYE)Y(v)(v
.X)X(E)Y(E)(E
ii
i
iiiii
iiii
iiiii
20
2
22200
22
00
0
0
bb
e
ebbebb
e
bbebbe
+
==−−++=
−==
+=++==
18
Pretpostavke 1., 2. i 4.
Grafički prikaz
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 10
19
Pretpostavka 4:
Slučajna greška poseduje normalnu raspodelu
Ako je pretpostavka narušena:
Slučajna greška nema normalnu raspodelu.
To je najčešće posledica pogrešne postavke
modela. O tome kasnije.
20
Pretpostavka 5:
Objašnjavajuća promenljiva je deterministička
Implikacije:
Objašnjavajuća promenljiva ima karakter egzogeneveličine.
Ta veličina nije definisana unutar ekonomskogsegmenta kojem pripada zavisna promenljiva.
Objašnjavajuća promenljiva nije korelisana saslučajnom greškom.
Ako je pretpostavka narušena:
Objašnjavajuća promenljiva je slučajna promenljivai korelisana je sa slučajnom greškom
Definisana je unutar sistema: endogena veličina,kao i zavisna, jer je pod uticajem iste slučajnegreške.
Menja se smisao ocene nagiba.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 11
21
Implikacija navedenih pretpostavki na ocene
parametara po metodu ONK
Ocena b je linearna funkcija slučajne promenljive Yi
Posledice:
Ocena b je slučajna promenljiva
Ocena b ima normalnu raspodelu.
( )( )
( )
( )
( )
( )
( ) =
=
=
−
−=
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−−
=
+
=
n
i
x
x
n
i
Xi
X
Xi
Xw
,Ywn
i
Xi
X
n
i
YXi
X
n
i
Xi
X
n
i
YYXi
X
b
),,X(N:Y ),,(N:
i
ii
i
n
i
i
ii
iii
1
2
1
2
1
12
1
1
0
2
1
20
2 bbe
22
Svojstva ocena dobijenih
primenom metoda ONK u KLRM
Karakteristike ocena parametara
Kako se meri varijansa ocena parametara?
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 12
23
Svojstva ocena koje su dobijene
primenom metoda ONK
Ako su zadovoljene pretpostavke KLRM tada se
primenom metoda ONK dobijaju
- najbolje
- linearne
- nepristrasne
ocene
(NLNO) koje su i
- konzistentne.
Bitni dokazi se izvode na tabli.
24
Kako merimo preciznost ocena?
Svaki drugi uzorak daje nove oceneparametara. Ako se sa promenom uzorka ocenemalo razlikuju, onda one imaju malu varijansu iobratno.
Preciznost ocene se meri na osnovu ocenevarijanse ocena.
Kvadratni koren iz ocene varijanse jestandardna greška ocene.
Da bi se izračunale standardne greške ocenapotrebno je prethodno oceniti varijabilitetslučajne greške modela.
U pitanju je ocena parametra 2.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 13
25
Ocena varijanse slučajne greške modela 2
Varijansa slučajne greške ei je:
v(ei) = E[(ei)-E(ei)]2 = 2
odnosno:
v(ei) = E(ei2)
Ako bi slučajne greške bile poznate tada biocenu varijanse dobili na sledeći način:
Međutim, ne znamo vrednosti ei. Ali, poznate sunam vrednosti reziduala ei:
Ova ocena je pristrasna ocena parametra 2.
=
=n
i
in
s1
22 1e
=
=n
i
ien
s1
22 1
26
Ocena varijanse slučajne greške modela (II)
Nepristrasna ocena 2 je:
gde je rezidualna suma kvadrata i n je obim uzorka.
Kvadratni koren, s, je standardna greška regresije, odnosno standardna devijacija reziduala.
Sada možemo da analiziramo ocene varijansiocena parametara b0 i b.
Oznake za ocene varijansi: s2b0 i s2b
=−
=n
i
ien
s1
22
2
1
=
n
i
ie1
2
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 14
27
Ocene varijansi ocena parametara b0 i b
( )
( )
0 0
22 2
0 0 02
1
22
2
1
2 22 2
02 2
1 1
22
2 2
1 1
1( ) ( ) ...
( ) ( ) ...
1 1ˆ( )
ˆ( )
n
i
i
n
i
i
b bn n
i i
i i
b bn n
i ii i
Xv b E b E b
nx
v b E b E b
x
X Xv b s s s s
n nx x
s sv b s s
x x
=
=
= =
= =
= − = = +
= − = =
= = + = +
= = =
28
Standardne greške ocena parametara zavise od sledećih faktora:
1. Varijabilitet modela (s2 ili s). Što je veći varijabilitet modela,to je veći stepen raspršenosti slučajne greške modela, a time iveći varijabilitet zavisne promenljive Y. Rezultat: neprecizneocene parametara.
2. Suma kvadrata odstupanja X od aritmetičke sredine. Upitanju je mera varijabiliteta objašnjavajuće promenljive. Većavrednost ove sume utiče na povećanje preciznosti ocena,odnosno na pad njihovog varijabiliteta.
3. Obim uzorka n. Javlja se eksplicitno u imeniocu formule zastandardnu grešku slobodnog člana i implicitno u imeniocuformule za obe ocene kroz zbir kvadrata odstupanja X odaritmetičke sredine. Veći obim uzorka pruža više informacija.Time se smanjuje varijabilitet ocena parametara.
4. Standardna greška ocene slobodnog člana zavisi i odaritimetičke sredine podataka za X. Podaci su udaljeniji ody-ose što je vrednost ove aritmetičke sredine veća. Rezultat:nepreciznija ocena slobodnog člana.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 15
29
Šta se dešava ako je suma relativno mala ili
relativno velika?
( )2 − XX i
Y
0 XX
Y
Y
0 XX
Y
30
Primer: izračunavanje odgovarajućih standardnih
grešaka ocena u jednostavnom modelu
Prethodno je ocenjena zavisnost potrošnje od dohotka iz 15
godina:
iii
ii
X..Y
....XbYb
..
.
i
x
i
yx
b6862007158
0715866468620452
6862061023
4702
15
1
15
1
0
2 +=
=−=−=
==
=
==
( )
9306519
6173711
6173761023686206519
2
2
2
22222
..
.
y
e
R
....xbye
i
i
i
i
i i
ii
i
i
=−=−=
=−=−=
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 16
31
Primer: izračunavanje odgovarajućih standardnih grešaka
ocena u jednostavnom modelu (II)
Ocena varijanse slučajne greške modela:
Ocena varijanse ocene nagiba:
Ocena varijanse ocene slobodnog člana:
894213
61737
2
2
2 ..
n
es
i==
−=
22
2
1
2.8940.00283 0.00283 0.053
1023.6b bn
i
i
ss s
x=
= = = = =
0 0
2 22 2
2
1
1 1 64.62.894 11.9915 11.9915 3.463
15 1023.6b bn
i
i
Xs s s
nx
=
= + = + = = =
32
Finalni zapis modela
Uobičajeno se svi dobijeni rezultati zapisuju na
sledeći način:
Ispod ocena parametara navode se redom
odgovarajuće standardne greške ocena.
Desno od ocenjenog modela daje se vrednost
koeficijenta determinacije.
Model je “spreman” za statističku analizu testiranja
hipoteza.
) .( ).(
.R X..Y 2ii
05304633
9306862007158 =+=
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 17
33
Elementi statističkog
zaključivanja u KLRM
34
Statističko zaključivanje u KLRM
Testiranje hipoteza o vrednostima
parametara KLRM
Formiranje intervalnih ocena parametara
KLRM
Prognoziranje budućih vrednosti zavisne
promenljive
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 18
35
Testiranje hipoteze: osnovni elementi
Interesuje nas da li parametar nagiba uzima tačno
određenu vrednost.
Postavljamo dve hipoteze: nultu (oznaka H0) i alternativnu
hipotezu (oznaka H1).
Nulta hipoteza je iskaz čiju valjanost ispitujemo, odnosno
testiramo. Alternativna hipoteza obuhvata sva alternativna
tvrđenja.
Na primer, interesuje nas da li se zavisna promenljiva
menja u istom obimu kao i objašnjavajuća, odnosno da li
je b jednako 1. Koristimo sledeću notaciju:
H0 : b = 1
H1 : b 1
36
Kako ostvariti diskriminaciju između
hipoteza? Raspodela verovatnoće ocena
dobijenih metodom ONK
Ocene koje su dobijene primenom metoda ONK
su i same normalno raspodeljene:
))b(v,(N:b
))b(v,(N:b
),X(N:Y
),(N:
ii
i
000
20
20
b
b
bb
e
+
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 19
37
Raspodela verovatnoće ocena
dobijenih metodom ONK (II)
Standardizovanjem slučajnih promenljivih b0 i bdobijamo:
Međutim, varijanse ocena v(b0) i v(b) su su nepoznate veličine. Ako ih zamenimo odgovarajućim ocenama, tada dobijamo slučajne promenljive sa t-raspodelom
(izvodi se na tabli)
( )( )10
0
00 ,N:bv
b b−
( )( )10,N:
bv
b b−
0
0 02: n
b
bt
s
b−
−2: n
b
bt
s
b−
−
38
Testiranje hipoteza: algoritam
Posmatramo model oblika:
Testiramo validnost hipoteze:
H0 : b = b * protiv H1 : b b *
Koraci u postupku testiranja:
1. Ocenjujemo: b0 , b, s(b0) i s(b) na poznati način.
2. Računamo test-statistiku koristeći sledeću formulu:
gde je b * vrednost b u uslovima važenja nulte hipoteze.
n1,2,...,i ,XY iii =++= ebb0
2−
−= nt:
)b(s
*bt
b
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 20
39
Testiranje hipoteza: algoritam (II)
3. Sastavni deo testiranja hipoteze je izbor nivoaznačajnosti, koji se često označava sa .
To je verovatnoća odbacivanja nulte hipoteze usituaciji kada je ona tačna. Uobičajeno se koristinivo značajnosti 5%.
Nivo značajnosti određuje veličinu oblastiprihvatanja, odnosno neprihvatanja validnosti nultehipoteze. Oblast odbacivanja nulte hipoteze jekritična oblast testa.
40
Testiranje hipoteza: algoritam (III)
4. Definišemo pravilo odlučivanja: kriterijum po kojemodbacujemo nultu hipotezu.
2 2 2
2 2
* *: * : ( / 2) ( / 2) 1
*0.05, (0.025) (0.025) 0.95.
o n n n
b b
n n
b
b bH t P t t
s s
bP t t
s
b bb b
b
− − −
− −
− −= − = −
−= − =
f(x)
95%
Oblast prihvatanja Ho2.5%
Kriticna oblast2.5%
Kriticna oblast
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 21
41
Testiranje hipoteza: algoritam (IV)
( )
( )
2
0
2
0
2
0
* (0.025)
prihvatamo kao tacnu hipotezu
* (0.025)
odbacujemo kao netacnu hipotezu uz nivo znacajnosti 5%
Alternativna notacija
* (0.025)
odbacujemo kao netacnu u
n
b
n
b
n
b
bt
s
H
bt
s
H
bt
s
H
b
b
b
−
−
−
−
−
−
z nivo znacajnosti 5%
42
Testiranje hipoteza: algoritam (V)
5. Sprovodimo testiranje:
Ako izračunata test-statistika leži u oblasti
prihvatanja nulte hipoteze, tada se nulta
hipoteza ne odbacuje.
Obratno, ako izračunata test-statistika pripada
kritičnoj oblasti testa, tada nultu hipotezu
odbacujemo za dati nivo značajnosti.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 22
43
Primer testiranja hipoteza
Podsećamo na ocenu modela:
Testiramo valjanost nulte hipoteze H0 : b = 1 protiv alternativne H1 : b 1.
Potrebna nam je kritična vrednost t raspodele za 15-2=13 stepeni slobode i nivo značajnosti 5%. Budući da je test dvostran i da je ukupna veličina kritične oblasti 5%, koristimo sledeću notaciju: t13(0.025) ili t13(2.5%)
Tablice: t13(0.025)=2.16
) .( ).(
.R X..Y 2ii
05304633
9306862007158 =+=
44
Određivanje kritične oblasti testa
-2.16 +2.16
2.5% kriticna oblast2.5% kriticna oblast
f(x)
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 23
45
Testiranje hipoteze
Hipoteze:
H0 : b = 1
H1 : b 1
Izračunata test-statistika:
Kako je
odbacujemo hipotezu H0 na datom nivou značajnosti.
Ne možemo smatrati da je marginalna sklonost napotrošnji jednaka vrednosti jedan.
* 0.686 15.92
0.053b
bt
s
b− −= = = −
162925 .. −
46
Testiranje drugih hipoteza
Može nas interesovati sledeće: H0 : b = 0 ili H0 : b = 2.
H0 : b = 0
H1 : b 0
H0 : b = 2
H1 : b 2
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 24
47
Specijalni tip hipoteze: t-odnos
Opšti oblik testa koji smo koristili je:
Pretpostavimo da nas interesuje
H0 : b = 0 protiv H1 : b 0.
Ako je tačna nulta hipoteza, tada objašnjavajuća promenljiva ne utiče na kretanje zavisne promenljive.
Time proveravamo opravdanost postavke modela.
*
b
bt
s
b−=
48
Specijalni tip hipoteze: t-odnos (II)
Test-statistika se naziva t-odnos, zato što za b = 0 test-statistika postaje odnos ocene i odgovarajuće standardne greške ocene:
Zaključak: dohodak (X) ostvaruje statistički značajan uticaj na potrošnju (Y).
1
0
0.68612.94, 12.94 2.16
0.053
: 0 prihvata se kao tacno.
b
b b
b
b bt
s s
t
H b
−= =
= =
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 25
49
Specijalni tip hipoteze: t-odnos (III)
Opravdanost prisustva slobodnog člana proverava se prema ishodu testiranja sledećih hipoteza:
H0 : b0 = 0 protiv H1 : b0 0
Zaključak: u ocenjenom modelu potrebno je uključiti slobodan član.
0
0
0
0
1 0
8.0722.33, 2 33 2.16
3.463
: 0 prihvata se kao tacno.
b
b
b
bt
s
t .
H b
=
= =
Primer primene testiranja hipoteza
• Prethodni rezultat:
• Na osnovu mesečnih podataka u periodu: januar 1998- decembar 2008. godina (132 podatka) ocenjen je model vrednovanja kapitala za stopu prinosa akcija kompanije Microsoft:
• Da li je rizik posedovanja ovih akcija jednak opštem tržišnom riziku?
• Da li je ocena slobodnog člana očekivana?
( ) 20.01 1.26 , R 0.33j f m fR R R R e− = + − + =
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 26
Primer primene testiranja hipoteza (II)
• Dodatni rezultat sadrži standardne greške ocena:
• Da li je rizik posedovanja ovih akcija jednak opštem tržišnom riziku? Odgovor: da, prema rezultatima testiranja.
( )( ) ( )
20.01 1.26 , R 0.33
0.009 0.16
j f m fR R R R e− = + − + =
0 1
130 130 0
1, 1
1 1.26 11.625
0.16
(0,1) (0.025) 1.96 1 se ne odbacuje.
1.625 1.96
b
H : β H : β
bt
s
t N t H : β
=
− − = = =
=
Primer primene testiranja hipoteza (III)
• Dodatni rezultat:
• Da li je slobodan član statistički značajan? Odgovor: ne, prema rezultatima testiranja.
( )( ) ( )
20.01 1.26 , R 0.33
0.009 0.16
j f m fR R R R e− = + − + =
0
0 0 1 0
0
0 0
130 130
0, 0
0.011.11
0.009 0 se ne odbacuje.
(0,1) (0.025) 1.96
b
H : β H : β
bt
s H : β
t N t
=
= = =
=
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 27
Formiranje intervalnih ocena parametara
Ocene parametara mogu biti tačkaste i intervalne.
Do sada smo razmatrali samo tačkastu ocenu.
Intervalna ocena parametra predstavlja granice
intervala unutar koga očekujemo stvarnu
vrednost parametra uz određenu verovatnoću.
Koristimo poznati rezultat:
2 2
2 2
( / 2) ( / 2) 1
0.05, (0.025) (0.025) 0.95.
n n
b
n n
b
bP t t
s
bP t t
s
b
b
− −
− −
−− = −
−= − =
Formiranje intervalnih ocena parametara (II)
Dvojnu nejednakost rešavamo u funkciji od
nepoznatog parametra:
Intervalna ocena parametra nagiba sa
verovatnoćom 95%:
Intervalna ocena parametra slobodnog člana sa
verovatnoćom 95%:
( )2 (0.025)n bb t sb −
( )2 20.05, (0.025) (0.025) 0.95.n b n bP b t s b t s b− −= − + =
( )00 0 2 (0.025)n bb t sb −
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 2019. 28
Primer obrazovanja intervalnih
ocena nepoznatih parametara
Rezultat prethodnog ocenjivanja:
35.5233.119
Intervalna
ocena za
Tačkasta
ocena
Stand.
greš.
ocene
t-krit. Izračunavanje
intervalne ocene
Intervalna ocena
uz verovatnoću
95%
Beta 0.6862 0.053 2.16
Beta0 8.0715 3.463 2.16 ( )463316207158 ...
( )053016268620 ... ( )80005720 ., .
( )552155910 ., .
) .( ).(
X..Y ii
05304633
6862007158 +=
Recommended