Glava5 Jednosmerneinaizmeni•cnestruje

Glava 5

Jednosmerne i naizmenicne struje

5.1 Intenzitet i gustina struje

Elektricna struja predstavlja usmereno kretanje naelektrisanja. Pokretljiva naelek-

trisanja koja mogu obrazovati elektricnu struju su elektroni kao i pozitivni i negativni

joni.

Uzrok kretanja naelektrisanja je postojanje razlike potencijala, tj. napona U 1 izmedu

dve posmatrane tacke, odnosno, u konacnom, elektricnog polja u prostoru u kome se

ostvaruje kretanje. Ukoliko se posmatraju stacionarne struje, tj. one koje se u toku

vremena ne menjaju, onda je uzrok nastanka ovih struja stacionarno elektricno polje. Za

njegovo odrzavanje neophodno je stalno trosenje energije.

Struja se moze obrazovati u cvrstim, tecnim i gasovitim sredinama, ali i u vakuumu2.

Prema karakteru provodenja struje razlikujemo struju u metalima (tj. provodnicima)

gde su za provodenje odgovorni slobodni elektroni, i struju u poluprovodnicima gde je

mehanizam provodenja struje komplikovaniji, i u kome ucestvuju elektroni i tzv. supljine.

Da bi struja mogla da tece kroz tecnosti neophodno je postojanje jona, a oni se najcesce

ostvaruju formiranjem rastvora supstanci koje mogu da disosuju. Ovakvi rastvori nazivaju

se elektroliti. U gasovima se jonizacija atoma gasa radi stvaranja elektrona i jona potrebnih

za proticanje struje ostvaruje ili dejstvom nekog spoljasnjeg jonizatora, ili samim sudarnim

procesima u gasu. Dobijanje elektrona kao naelektrisanih cestica za formiranje struje u

vakuumu obavlja se termojonskom ili fotoemisijom iz metalne katode. Na ovom principu

rade tzv. elektronske (vakuumske) cevi.

Osnovna velicina koja karakterise elektricnu struju je jacina (intenzitet) elektricne

struje I. Ona se definise kao kolicina naelektrisanja koja u jedinici vremena protekne kroz

poprecni presek provodnika, a jedinica joj je amper (A):

I =Q

t[=]

C

s= A. (5.1)

Ako se intenzitet struje menja u toku vremena onda se on definise kao diferencijalni

kolicnik:

i =dq

dt(5.2)

1Elektricni napon U predstavlja razliku elektricnih potencijala izmedu dve tacke, tj. U = V1 − V2.2Vakuum moze biti fizicki i tehnicki. U fizickom vakuumu nema nikakvih cestica, a u tehnickom je

njihova koncentracija vrlo mala. Ovde se misli na tehnicki vakuum.

107

108 Glava 5. Jednosmerne i naizmenicne struje

U ovom poglavlju cemo usvojiti dogovor da se sve vremenski promenljive velicine

oznacavaju malim slovima.

Smer struje definisan je, jos pre otkrica nosilaca struje, kao smer kretanja pozitivnih

naelektrisanja. Ovaj smer naziva se tehnicki smer struje. Medutim, u metalima gde su

slobodni nosioci koji cine struju elektroni, dakle negativno naelektrisane cestice, smer

kretanja naelektrisanih cestica je suprotan, i naziva se fizicki smer struje.

Druga vazna fizicka velicina koja definise proticanje struje je gustina struje. Najjed-

nostavnija definicija gustine struje je da je ona jednaka jacini struje kroz jedinicni presek

provodnika, tj. jednaka je kolicini naelektrisanja koja u jedinici vremena protekne, sada

ne kroz bilo koji, vec upravo jedinicni presek provodnika:

J =I

S=

Q

tS[=]

A

m2, (5.3)

a odgovarajuca jedinica je amper po kvadratnom metru. Ova jednostavna definicija pret-

postavlja da je gustina struje konstantna u svim tackama poprecnog preseka provodnika

kao i da je pravac kretanja naelektrisanih cestica upravan na poprecni presek. Tacnija

definicija je da je gustina struje vektor ciji je fluks po povrsini poprecnog preseka provod-

nika jednak intenzitetu struje. Da bi stekli intuitivnu sliku ove definicije posmatrajmo

najpre slucaj kada je pravac kretanja naelektrisanja upravan na povrsinu poprecnog pre-

seka, ali je broj naelektrisanih cestica nehomogeno rasporeden po njemu. U tom slucaju

mozemo povrsinu poprecnog preseka S podeliti na n delova ∆Sk (k = 1, 2, ..., n) tako da

mozemo smatrati da u okviru svakog dela Si postoji homogeno proticanje struje. Tada

se ukupna jacina struje kroz provodnik (koja u najopstijem slucaju moze biti i vremenski

promenljiva) moze napisati kao

i =n∑

k=1

jk ·∆Sk, (5.4)

gde je jk konstantna gustina struje kroz delic povrsine ∆Sk. Ako sada pustimo da n→∞,

sume iz izraza 5.4 preci ce u povrsinski integral po povrsini S

i =

∫

S

j dS. (5.5)

Ako sada nacinimo korak dalje i pretpostavimo da pravac kretanja naelektrisanja nije

upravan na poprecni presek provodnika (kao sto se to moze desiti npr. u anizotropnim

kristalnim sredinama), onda za odredivanje intenziteta struje treba uzeti samo kompo-

nentu protoka naelektrisanja koja je upravna na povrsinu. To se izvodi na taj nacini sto

se definisu vektori povrsine ~∆Sk ciji je intenzitet brojno jednak vrednosti povrsine ∆Sk i

koji je upravan na nju, kao i vektori gustine struje ~jk ciji se pravci poklapaju sa pravcem

kretanja naelektrisanja. Sada se jednacina (5.4) svodi na sumu skalarnih proizvoda

i =n∑

k=1

~jk · −→∆Sk, (5.6)

a povrsinski integral (5.5) postaje sada fluks vektora gustine struje ~j:

i =

∫

S

~j · −→dS. (5.7)

Rezimirajuci do sada uvedene velicine, mozemo formirati tabelu 5.1.

5.2. Omov zakon. Elektricna provodnost i otpornost 109

Tabela 5.1. Karakteristicne transportne velicine za proticanje elektricne struje.

Transportni proces Elektricna struja Jedinica

Skalarna velicina koja se transportuje Naelektrisanje q C

Fluks Intenzitet elektricne struje i A

Vektor gustine fluksa Gustina struje ~j A/m2

5.2 Omov zakon. Elektricna provodnost

i otpornost

Ako posmatramo neki provodnik, na cijim krajevima se meri napon U , onda se moze

pokazati da je jacina struje kroz provodnik proporcionalna naponu:

I = GU. (5.8)

Faktor proporcionalnosti G naziva se elektricna provodnost provodnika, a izraz (5.8) pred-

stavlja Omov zakon. Ako se uvede elektricna otpornost provodnika R kao reciprocna

vrednost elektricne provodnosti, onda se Omov zakon moze napisati i kao:

R =1

G⇒ I =

U

R. (5.9)

Svi provodnici konacne provodnosti (R > 0), tj, oni na cijim se krajevima moze izmeriti

”pad napona” U , nazivaju se otpornici. Jedinice za elektricnu otpornost i provodnost su

om i simens, respektivno:

R [=]V

A= Ω, G [=]

A

V= S. (5.10)

Otpornost nekog metalnog provodnika moze se izraziti kao:

R = ρl

S, (5.11)

gde je ρ specificna otpornost materijala od koga je nacinjen provodnik, l njegova duzina

i S povrsina poprecnog preseka.

Ako uvedemo specificnu provodnost σ, kao σ = 1/ρ, onda se za provodnost nekog

provodnika moze pisati:

G = σS

l(5.12)

Napisimo sada Omovog zakon za metalni provodnik u obliku

I = σS

l(V1 − V2) = σ

S

lU, (5.13)

odakle se za proteklu kolicinu naelektrisanja Q u vremenu t moze napisati

Q = I · t = σS

l(V1 − V2) t. (5.14)


Deljenjem jednacine (5.13) sa povrsinom S za gustinu struje dobijamo:

J = σV1 − V2

l= σ E (5.15)

gde je E jacina stacionarnog elektricnog polja unutar provodnika. Izraz (5.15) naziva se

Omov zakon u lokalnom obliku.

Nadeno je da specificna otpornost nekog otpornika zavisi od temperature po linearnom

zakonu:

ρ = ρ0 (1 + α t), (5.16)

gde je ρ0 specificna otpornost na 0C, t temperatura izrazena u C, a α temperaturski

koeficijent koji je kod metala najcesce veci od nule, tj. sa porastom temperature raste i

specificna otpornost.

5.3 Dzulov zakon. Snaga elektricne struje

Posmatrajmo otpornik na cijim krajevima su razliciti potencijali Va i Vb, tj. moze se

izmeriti napon U = Va − Vb (slika 5.1)

Rad koji se izvrsi pri premestanju naelektrisanja dq

U+

I

. .a b

aVb

V

Slika 5.1. Optereceni otpornik.

sa jednog kraja na drugi kraj otpornika je:

dA = (Va − Vb) dq = U I dt. (5.17)

Ovaj rad se u potpunosti pretvara u toplotu QJ , koja

se naziva toplota Dzulovih gubitaka. Sada se moze defin-

isati i snaga Dzulovih gubitaka PJ :

dQJ = dA = U I dt, PJ =dA

dt= U I. (5.18)

Koristeci Omov zakon mogu se dobiti i alternativni izrazi za snagu i toplotu Dzulovih

gubitaka:

PJ = U I = RI2 =U2

R, QJ = U I t = RI2 t =

U2

Rt. (5.19)

Jedinica za rad, odnosno toplotu Dzulovih gubitaka je dzul, a za snagu vat:

A = QJ [=] J, P [=]J

s= W. (5.20)

Osim dzula, u praksi se za rad elektricne struje koristi i prakticna jedinica - kilovatcas:

1 kWh = 3.6MJ.

5.4 Elementi elektricnih kola stalne jednosmerne

struje

Skup objekata i sredina koja obrazuju zatvoren put elektricne struje zove se elektricno

kolo. Ukoliko kroz sve elemente nekog kola protice ista struja takvo kolo se naziva prosto

kolo. Za razliku od prostog, kroz slozeno kolo protice vise razlicitih struja. Svaki deo

slozenog kola, kroz koji protice jedna struja naziva se grana. Tacka u kojoj se spajaju tri

ili vise grana naziva se cvor. Moze se zakljuciti da prosto kolo nema cvorove.

5.4. Elementi elektricnih kola stalne jednosmerne struje 111

5.4.1 Generatori

Da bi se u kolu odrzavala stacionarna elektricna struja, mora postojati nekakav meha-

nizam koji je u stanju da u jednom delu kola pomera pokretljiva naelektrisanja nasuprot

sila stacionarnog elektricnog polja. Ovakav mehanizam poseduju elektricni izvori, tj. gen-

eratori.

Generatori mogu biti:

E R, g

E

Rg+

+-

-

Slika 5.2. Generator elektromotornesile E i unutrasnje otpornosti Rg, dvanacina prikazivanja.

• hemijski: akumulatori (celicni, olovni), galvanski

elementi (suvi, vlazni);

• mehanicki (npr. dinamo masine);

• termicki (npr. termoelementi);

• svetlosni (npr. fotoelementi);

Dve osnovne karakteristike generatora su elek-

tromotorna sila E i unutrasnja otpornost Rg (ili r)

(slika 5.2).

Elektromotorna sila (ems) nekog generatora se definise kao kolicnik rada dA koji izvrsi

generator kada kroz njega protekne kolicina naelektrisanja dq i tog samog naelektrisanja:

E =dA

dq. (5.21)

Ems se moze meriti kao potencijalna razlika izmedu pozitivnog i negativnog prikljucka

generatora kada je ovaj u praznom hodu (tj. kada na njega nije prikljucen nikakav

potrosac).

Unutrasnja otpornost generatora posledica je konacne specificne provodnosti dela

strujnog kola kroz generator. U generatoru zbog toga dolazi do Dzulovog efekta cija je

snaga Pg J srazmerna kvadratu struje, pa se unutrasnja otpornost generatora Rg definise

kao

Rg =Pg J

I2. (5.22)

Snaga generatora moze se odrediti kao:

dA = E dq = E I dt ⇒ Pg =dA

dt= E I. (5.23)

Posto struja kroz generator zavisi od

E R, g+

- R

I

U

+

Slika 5.3. Kolo generatora i potrosaca.

opterecenja potrosaca

I =E

R +Rg

, (5.24)

snaga generatora postaje

Pg = E I =E2

R +Rg

. (5.25)

Napon na krajevima opterecenog generatora manji je od napona neopterecenog gen-

eratora zbog postojanja unutrasnje otpornosti generatora:

U = E −Rg I. (5.26)


Snaga potrosaca moze se izraziti kao:

PR = RI2 =RE2

(R +Rg)2= Pg

R

Rg +R. (5.27)

Stepen korisnog dejstva sistema generator-potrosac η moze se izraziti na sledeci nacin:

η =PR

Pg

=R

Rg +R. (5.28)

Stepen korisnog dejstva je veci ukoliko je Rg manje, i u granicnom slucaju Rg = 0 on ima

maksimalnu vrednost η = 1. Naravno, uslov Rg = 0 se u praksi ne moze nikada ostvariti,

ali je insistiranje na sto vecem stepenu korisnog dejstva od fundamentalnog znacaja u

elektroenergetskim sistemima.

E r,

E r, E r,E r,

E r,

E r,

R R

I

I

Slika 5.4. Redna i paralelna veza identicnih generatora.

Posmatrajmo sada n redno vezanih identicnih generatora E1 = E2 = ... = En = E,

Rg1 = Rg2 = ... = Rgn = r. Struja koju daje ova redna veza generatora kroz potrosac ot-

pornosti R je

I =nE

R + nr=

ER

n+ r

. (5.29)

U slucaju paralelne veze ovih generatora, struja kroz potrosac je

I =E

R +r

n

(5.30)

5.4.2 Otpornici

Elementi elektricnih kola konstruisani tako da u njih unesu odredenu otpornost, koja

je velika u odnosu na otpornost veza i kontakata, nazivaju se otpornici3. Delovi kola cija

se otpornost moze zanemariti oznacavaju se punim linijama.

Potrazimo sada ekvivalentnu otpornost redne veze n otpornika (slika 5.5): Napon

redne veze jednak je zbiru napona na pojedinim otpornicima:

U = U1 + U2 + ...+ Un, (5.31)

3Otpornik se moze definisati i kao element koji materijalizuje fizicku velicinu koja se naziva elektricna

otpornost.

5.4. Elementi elektricnih kola stalne jednosmerne struje 113

U

I

Un

Rn

U2

U1

R2

R1

+

+ + +

Slika 5.5. Redna veza otpornika.

a napon na svakom otporniku se po Omovom zakonu moze napisati kao proizvod njegove

otpornosti i vrednosti jacine struje koja protice kroz rednu vezu:

U1 = R1 I, U2 = R2 I, ... , Un = Rn I. (5.32)

Na taj nacin napon redne veze postaje

U = (R1 +R2 + ...+Rn) I, (5.33)

pa se za ekvivalentnu otpornost redne veze otpornika konacno dobija

Re =U

I= R1 +R2 + ...+Rn =

n∑

i=1

Ri. (5.34)

U slucaju paralelne veze (slika 5.6), na slican nacin,

U

Rn

I1

R2

R1

+

I2

In

I I

Slika 5.6. Paralelna veza ot-

pornika.

dobija se da je ukupna struja koja protice kroz paralelnu

vezu otpornika jednaka zbiru svih pojedinacnih struja koje

proticu kroz pojedine otpornike:

I = I1 + I2 + ...+ In, (5.35)

pri cemu se svaka od tih struja izrazava preko Omovog za-

kona

I1 =U

R1, I2 =

U

R2, ... In =

U

Rn

(5.36)

pa se za ukupnu struju dobija

I = U

(

1

R1+

1

R2+ ...+

1

Rn

)

. (5.37)

Na taj nacin, reciprocna vrednost ekvivalentne otpornosti paralelne veze otpornika postaje

1

Re

=I

U=

1

R1+

1

R2+ ...+

1

Rn

=n∑

i=1

1

Ri

. (5.38)

Za slucaj dva paralelno vezana otpornika vazi:

1

Re

=1

R1+

1

R2⇒ Re =

R1R2R1 +R2

(5.39)


5.4.3 Ampermetri

Instrumenti koji sluze za merenje jacine elektricne struje nazivaju se ampermetri. U

slucaju vrlo malih jacina stalne jednosmerne struje koristi se specijalna vrsta ampermetara

koji su vrlo osetljivi i koji se nazivaju galvanometri. U elektricnim kolima ampermetri se

ponasaju kao otpornici. Ukoliko je otpornost ampermetra manja, utoliko on manje utice

na raspodelu struja i napona u kolu, odnosno, merenje je tacnije. Idealni ampermetar

ima unutrasnju otprornost jednaku nuli Ra = 0. Ampermetar se u kolu vezuje redno sa

elementom kroz koji protice struja koju zelimo da izmerimo, slika 5.7.

AI

RRa

Slika 5.7. Ampermetar i potrosac cija se struja meri.

Svaki ampermetar okarakterisan je osim unutrasnje otpornosti Ra i maksimalnom

strujom koju on moze da meri a da ne dode do njegovog ostecenja Imax. Prosirenje

mernog opsega ampermetra (tj. povecavanje maksimalne struje koju on moze da meri)

moze se postici vezivanjem nekog otpornika paralelno sa ampermetrom (slika 5.8). Ovaj

otpornik cesto se naziva sant, a sama realizacija santiranje.

Potrazimo sada potrebnu vred-

A

R

Ra

Rs

Imax

I’maxI’max

Is

Ua+

Slika 5.8. Prosirenje mernog opega ampermetra.

nost santa, ako zelimo da merni

opseg ampermetra povecamo n puta:

n =I ′max

Imax

, (5.40)

i koristeci Is = I ′max − Imax i Ua =

Ra Imax = Rs Is za otpornost santa

dobijamo

Rs =Ra

n− 1. (5.41)

Vidimo da je za prosirenje mernog opsega ampermetra n puta potrebno vezivanje par-

alelnog otpornika priblizno n puta manjeg (za n À 1) od unutrasnje otpornosti amper-

metra. Ako potrazimo ekvivalentnu otpornost santiranog ampermetra:

Rekv =Ra Rs

Ra +Rs

=Ra

n, (5.42)

vidimo da se santiranjem osim povecanja mernog opsega postize i bolja idealizacija am-

permetra, tj. smanjuje se njegova unutrasnja otpornost.

5.4.4 Voltmetri

Instrumenti koji sluze za merenje napona nazivaju se voltmetri. U elektricnim kolima

voltmetri se takode ponasaju kao otpornici, ali velike otpornosti. Ukoliko je otpornost

voltmetra veca, utoliko on manje utice na raspodelu struja i napona u kolu, tj. merenje

5.5. Resavanje prostih i slozenih kola. Kirhofovi zakoni 115

V

R

Rv

+Umax

Slika 5.9. Voltmetar i potro-sac ciji se napon meri.

V

R

RvRs

+

+Umax

U’max

Iv

Slika 5.10. Prosirenje mernog opsega voltmetra.

je tacnije. Idealni voltmetar ima beskonacnu unutrasnju otprornost Rv →∞. Voltmetar

se u kolu vezuje paraleleno sa elementom ciji napon zelimo da izmerimo (slika 5.9).

Kao i ampermetar, i voltmetar se osim unutrasnje otpornosti Rv karakterise jos jed-

nim parametrom, maksimalnim naponom koji moze da izmeri a da ne dode do nje-

govog ostecenja Umax. Prosirenje mernog opsega voltmetra (tj. povecavanje maksimalnog

napona koji on moze da meri) moze se postici vezivanjem nekog otpornika redno sa volt-

metrom, kao sto je prikazano na slici 5.10. Potrazimo sada potrebnu vrednost toga ot-

pornika ako zelimo da merni opseg voltmetra povecamo n puta:

n =U ′

max

Umax

, (5.43)

i koristeci Iv = U ′max/(Rs +Rv) = Umax/Rv, dobijamo:

Rs = (n− 1)Rv. (5.44)

Moze se uociti da je za prosirenje mernog opsega voltmetra n puta potrebno vezivanje

rednog otpornika priblizno n puta veceg (za nÀ 1) od unutrasnje otpornosti voltmetra.

Ekvivalentna otpornost voltmetra sa prosirenim opsegom ce biti:

Rekv = Rv +Rs = nRv, (5.45)

pa se uz sirenje mernog opsega istovremeno postize povecanje njegove ukupne otpornosti,

cime se ostvaruje i veca tacnost merenja.

5.5 Resavanje prostih i slozenih kola. Kirhofovi za-

koni

Za odredivanje struje u prostom kolu koristi se Omov zakon za prosto kolo, koji izrazava

cinjenicu da je struja u kolu jednaka kolicniku algebarske sume svih elektromotornih sila

prisutnih generatora i sume svih otpora u kolu. Na primer, za kolo sa slike 5.11, mozemo

pisati:

I =

m∑

i=1

Ei

n∑

j=1

Rj

=E1 + E2 − E3

r1 +R3 + r2 +R2 + r3 +R2(5.46)


Smer struje odreduje se na sledeci nacin: najpre se pretpostavi i usvoji proizvoljni, tzv.

referentni smer struje, u odnosu na koji se pise algebarski zbir elektromotornih sila, tako

da se vrednost elektromotorne sile uzima sa znakom plus ako referentna struja ulazi u

negativan pol, a izlazi iz pozitivnog pola generatora; u suprotnom, ems se u algebarski

zbir stavlja sa negativnim znakom; na kraju, primeni se obrazac (5.46) i sracuna struja;

ukoliko je ona pozitivna stvarni smer struje poklapa se sa referentnim; ukoliko je pak

struja negativna to znaci da je stvarni smer struje suprotan od referentnog.

Napon izmedu bilo koje dva tacke u

R3

R1

R2

E r,1 1

33E r,

22E r,

I

Slika 5.11. Primer prostog kola.

kolu moze se odrediti tako da se algebarski

saberu svi padovi napona i elektromo-

torne sile koje postoje izmedu te dve tacke.

Padovi napona na otpornicima uzimaju

se sa pozitivnim znakom ukoliko struja

kroz posmatrani otpornik tece u smeru

od pocetne prema krajnoj tacki. Sto se

tice elektromotornih sila, njihov znak u al-

gebarskoj sumi odreden je onim krajem

koji je okrenut prema polaznoj (pocetnoj)

tacki, tj. ukoliko pri kretanju od pocetne prema krajnjoj tacki naidemo najpre na poziti-

van pol izvora njegova ems uzima se sa znakom plus, a ako najpre naidemo na negativan

kraj onda se i ems uzima sa negativnim znakom. Na primer, napon Uab na slici 5.12, bice:

Uab = −E1 + r1 I + E2 + r2 I +RI = −E1 + E2 + I (r1 + r2 +R). (5.47)

R

E r,1 1 22

E r,

. .a b

I

Slika 5.12. Napon izmedu dve tacke u kolu.

Kirhofovi zakoni odnose se na slozena kola. I Kirhofov zakon govori o strujama

jednog cvora i kaze da je zbir svih struja koje uticu u cvor jednak zbiru onih struja koje

iz njega isticu, ili, iskazano drugim recima, algebarski zbir struja u jednom cvoru jednak

je nuli, pri cemu se struje koje ulaze u cvor uzimaju sa pozitivnim, a one koje izlaze sa

negativnim znakom.

II Kirhofov zakon pise se za jednu konturu. Kontura predstavlja zatvoreni put koji

prolazi kroz deo kola koga cini odredeni broj grana koje se nadovezuju jedna na drugu.

II Kirhofov zakon glasi: algebarski zbir elektromotornih sila jednak algebarskom zbiru

padova napona na otpornicima, tj. algebarskom zbiru proizvoda jacina struja i otpornosti.

Posto svaka kontura predstavlja generalizaciju prostog kola sa mogucnoscu da razliciti

elementi imaju razlicite struje (jer su iz razlicitih grana), formiranje algebarske sume ems

odgovara onom pri pisanju Omovog zakona za prosto kolo. Sto se tice algebarske sume

padova napona na otpornicima, kriterijum za odredivanje znaka u algebarskoj sumi je

poklapanje smera struje kroz otpornik sa smerom obilazenja po konturi: + ako se ova

dva smera poklapaju, i − ako su razlicita. Pisanje Kirhofovih zakona bice ilustrovano u

nailazecem primeru.

5.5. Resavanje prostih i slozenih kola. Kirhofovi zakoni 117

E r,33

E r,11

66E r,

22E r,44

E r,

55E r,

R3

R1

R4

R2

R5

I1

I5

I6

I3

A . . .CD

B.

I

III

II

Slika 5.13. Primer slozenog (razgranatog) kola.

Kirhofovi zakoni mogu posluziti za resavanje slozenih kola. Kod slozenih kola broj

nepoznatih struja je jednak broju grana slozenog kola. Posmatrajmo kolo koje ima n

cvorova i m grana. Tada imamo m nepoznatih struja, ukoliko se pretpostavlja da su

poznate sve ems i svi otpori u kolu. Da bi odredili m nepoznatih struja, potrebno nam

je m nezavisnih jednacina. Posto je oblik I Kirhofovog zakona matematicki jednostavniji,

pozeljno je napisati sto vise nezavisnih jednacina po I Kirhofovom zakonu. Posto ima n

cvorova, ima i n jednacina po I Kirhofovom zakonu, od kojih je n− 1 nezavisno. Prema

tome, preostaje da se preostalih m − n + 1 jednacina napise za m − n + 1 proizvoljnih

kontura u kolu, pri cemu je uslov da svaka od izabranih kontura sadrzi bar jednu granu

koju druge izabrane konture ne sadrze.

Proucimo sada ovaj algoritam na slucaju kola prikazanog na slici 5.13. Dato kolo ima

n = 4 cvora (A, B, C, D) i m = 6 grana (AB, BC, CA, BD, AD, CD). U kolu cemo najpre

proizvoljno postaviti referentne smerove struja. Zatim cemo napisati n− 1 = 3 jednacine

po I Kirhofovom zakonu za tri proizvoljna cvora, npr. za A, B, i C:

A : I3 = I1 + I5, (5.48)

B : I1 + I4 = I2, (5.49)

C : I2 = I3 + I6. (5.50)

Ove jednacine treba dopuniti sa jos m−3 = 3 jednacine napisane po II Kirhofovom zakonu

za tri proizvoljne konture. Izaberimo konture kao ABDA (I kontura), BCDB (II kontura)

i ADCA (III kontura) pri cemu samo I kontura sadrzi granu AB, samo II kontura granu

BC, a samo III kontura granu CA. Jednacine po II Kirhofovom zakonu za ove konture

glase:

I : E1 − E4 − E5 = (r1 +R1) I1 − (R4 + r4) I4 − (R5 + r5) I5, (5.51)

II : E2 + E6 + E4 = (R2 + r2) I2 + (r6 +R6) I6 + (r4 +R4) I4 (5.52)

III : E5 − E6 + E3 = (r5 +R5) I5 − (R6 + r6) I6 + (R3 + r3) I3. (5.53)

Sistem jednacina (5.48)-(5.53) predstavlja sistem od 6 linearnih jednacina sa 6 nepoznatih

struja koji se sada moze resiti nekim od matematickih metoda (pomocu determinanti,

Gausovim algoritmom ili metodom zamene).


5.6 Vitstonov most

Vitstonov most predstavlja razgranato elektricno kolo sastavljeno od otpornika, izvora

struje i mernog instrumenta. Pomocu njega se veoma tacno i na jednostavan nacin moze

izmeriti nepoznati otpor nekog otpornika.

Sema Vitstonovog mosta prikazana je na slici

A

B

C

D

I3

31

1

2

2I 4

4

Ig

Slika 5.14. Vitstonov most.

5.14 Otpornici R1, R2, R3 i R4 vezani su u zat-

voreno kolo tako da cine jedan cetvorougao, pri

cemu se svaki od otpornika nalazi u jednoj stra-

nici cetvorougla. Izmedu tacaka A i D, na di-

jagonali cetvorougla koja se naziva dijagonala

napajanja, vezan je izvor struje elektromotorne

sile E. U drugoj dijagonali BC, koja se naziva

merna dijagonala, vezan je galvanometar G cime

se cetvorougao premoscuje, te otuda i potice

ime most. Promenom vrednosti otpora moze se

podesiti da tacke B i C budu na istom potenci-

jalu, pa kroz galvanometar ne protice struja. Za

ovakvu situaciju kazemo da predstavlja most u

ravnotezi.

Potrazimo sada uslov ravnoteze mosta. Vit-

stonov most predstavlja razgranato kolo sa m = 4 cvora i n = 6 grana. Napisimo dakle

n − m + 1 = 3 jednacine po prvom i m − n + 1 = 3 jednacine po drugom Kirhofovom

zakonu:

A : I = I1 + I2 (5.54)

B : I1 = Ig + I3 (5.55)

C : I2 + Ig = I4 (5.56)

ABCA : R1I1 +RgIg −R2I2 = 0 (5.57)

BCDB : RgIg +R4I4 − I3R3 = 0 (5.58)

ABDA : R1I1 +R3I3 = E. (5.59)

Posto je nas cilj da odredimo struju kroz galvanometar Ig, ovaj sistem ranga r = 6 moze

se svesti na sistem ranga r = 3 time sto ce se iz druge jednacine izraziti I3 a i iz trece I4pa se one zamene u poslednje tri:

R1I1 +RgIg −R2I2 = 0 (5.60)

RgIg +R4(I2 + Ig)−R3(I1 − Ig) = 0 (5.61)

R1I1 +R3(I1 − Ig) = E. (5.62)

Resavanjem ovog sistema za Ig se dobija

Ig = ER2R3 −R1R4

Rg(R1 +R3)(R2 +R4) + (R1 +R2)R3R4 +R1R2(R3 +R4), (5.63)

pa se za uslov ravnoze mosta (Ig = 0) dobija

R1R4 = R2R3. (5.64)

5.7. Naizmenicne struje 119

Iz jednacine (5.64) moguce je odrediti jedan nepoznati otpor ako su poznata preostala tri.

Npr.

R1 =R2R3R4

. (5.65)

Vitstonov most se cesto koristi kao merni instrument za merenje otpornosti ali i neelek-

tricnih velicina4.

5.7 Naizmenicne struje

Elektricna struja cija se jacina i smer periodicno menjaju sa vremenom naziva se

naizmenicna struja. Naizmenicne struje i naizmenicne napone oznacavamo malim slovom:

i = I0 sin(ωt+ ϕ), (5.66)

u = U0 sin(ωt+ ϕ), (5.67)

gde su I0 i U0 amplitudne (maksimalne) vrednosti struje, odnosno napona. Primecujemo

da ove jednacine definisu harmonijsko oscilovanje i da su matematicki analogne jednacini

harmonijskog oscilatora (1.5). Vremenski oblik naizmenicnih velicina prikazan je na slici

5.15

t

i u,T

i t( )

Slika 5.15. Vremenski oblik naizmenicnih velicina.

Naizmenicne veli cine imaju nekoliko karakteristicnih vrednosti:

• trenutna vrednost i(t)

• maksimalna (amplitudna) vrednost I0

• srednja vrednost definisana preko integrala

Isr =1

T

∫ T

0

i(t) dt = 0, (5.68)

koja je za slucaj pravilne sinusoide uvek jednaka nuli;

4Npr. elementi mosta mogu biti merne trake koje imaju osobinu da mehanicko naprezanje pretvaraju

u elektricnu otpornost.


• efektivna vrednost - predstavlja onu vrednost jacine jednosmerne struje koja na

zadatoj termogenoj otpornosti razvija istu snagu Dzulovih gubitaka kao sto je i

srednja snaga date naizmenicne struje i(t). Posto je snaga Dzulovih gubitaka naiz-

menicne struje promenljiva, treba je usrednjiti u toku jednog perioda, tj. postici

iste Dzulove gubitke:

P =dQ

dt= R i2 ⇒ dQ = R i2 dt ⇒ Q = R

∫ T

0

i2 dt = RI2eff T, (5.69)

pa se za efektivnu vrednost dobija definicioni izraz u obliku:

Ieff =

1

T

∫ T

0

i(t)2 dt

1/2

. (5.70)

Ako se sada uzme u obzir sinusni oblik naizmenicne struje dobija se veza izmedu efektivne

i maksimalne vrednosti naizmenicne struje:

I2eff =1

T

∫ T

0

I20 sin2 ωt dt =I20T

∫ T

0

1− cos 2ωt

2dt =

=I20T

(

T

2− sin 2ωt

4ω

∣

∣

∣

∣

T

0

)

=I202⇒ Ieff =

I0√2. (5.71)

5.7.1 Elementi kola naizmenicne struje

Za razliku od kola jednosmerne struje u kojima kalemovi i kondenzatori nisu od in-

teresa, kalemom predstavlja kratak spoj (nultu otpornosti), a grana sa kondenzatorom

otvorenu vezu (beskonacnu otpornost), u kolima naizmenicne struje oni postaju bitni

elementi. Naime, u kolima naizmenicne struje postoje tri vrste otpornosti:

t

u i,

i t( )

u t( )

Slika 5.16. Vremenska zavisnost napona i struje na otporniku kao elementu kola naizmenicnestruje.

• termogeni (omski) otpor R, definisan je Omovim zakonom

u = R i (5.72)

i predstavlja koeficijent proporcionalnosti izmedu napona i struje (povezuje kako

trenutne, tako i maksimalne i efektivne vrednosti). Ovakva prosta linearna veza

napona i struje, pokazuje da su oni u fazi, tj. da istovremeno postizu i maksimalne

i minimalne vrednosti, slika 5.16.

5.7. Naizmenicne struje 121

• induktivni otpor XL pokazuje otpornost kalema5. Naime, svaki kalem okarakterisan

je svojom induktivnoscu L. Takode, veza izmedu napona i stuje na kalemu je

diferencijalna

u = Ldi

dt(5.73)

pa polazeci od oblika struje, za napon dobijamo

i = I0 sinωt ⇒ u = I0 ω L cosωt. (5.74)

Induktivna otpornost definise se kao kolicnik amplitudnih (ili efektivnih, ali vise ne

i trenutnih) vrednosti:

XL =U0I0

= ω L. (5.75)

Sada struja kasni za naponom cetvrtinu perioda T/4 tj. za π/2, (slika 5.17):

t

u i,

i t( )

u t( )

Slika 5.17. Vremenska zavisnost napona i struje na kalemu kao elementu kola naizmenicnestruje.

• kapacitivni otpor XC pokazuje otpornost kondenzatora. Svaki kondenzator okarak-

trerisan je kapacitivnoscu C6. Veza izmedu napona i struje je sada integralna:

u =q

C=

1

C

∫

i dt ⇒ du

dt=

1

Ci. (5.76)

Polazeci od sinusnog oblika struje, dobija se:

i = I0 sinωt ⇒ u =I0C

∫

sinωt dt = − I0ω C

cosωt (5.77)

Kapacitivna otpornost definise se kao kolicnik maksimalnih vrednosti napona i

struje:

XC =U0I0

=1

ω C, (5.78)

a napon sada kasni za strujom za T/4 tj. za π/2 (slika 5.18)

5Kalem je element koji materijalizuje fizicku velicinu koja se naziva induktivnost.6Kondenzator je element koji materijalizuje fizicku velicinu koja se naziva kapacitivnost.


t

u i,

i t( )

u t( )

Slika 5.18. Vremenska zavisnost napona i struje na kondenzatoru kao elementu kola naizmenicnestruje.

5.7.2 Redno RLC kolo. Impedansa

Jedno karakteristicno kolo naizmenicne struje je tzv. redno RLC kolo koje predstavlja

rednu vezu otpornika, kalema i kondenzatora, slika 5.19. Da bi odredili koliki je ukupni

otpor koji ova redna veza elemenata pokazuje proticanju naizmenicne struje, moramo

voditi racuna o razlicitim faznim stavovima napona i struje na razlicitim elementima.

Zbog toga, ukupni napon moramo odrediti vektorskim sabiranjem:

~u = ~uR + ~uL + ~uC (5.79)

R L C

uiuR

uC

uL

uL uC-u

Slika 5.19. Redno RLC kolo, sema i fazorski dijagram.

Koristeci sliku 5.19, kao i veze napona i struja na elemntima, imamo

UR = RI, UL = ω L I, UC =I

ω C⇒ U =

√

U2R + (UL − UC)2 (5.80)

Ako sada definisemo impedansu Z kao velicinu koja povezuje maksimalne (ili efektivne)

vrednosti napona i struje u nekoj grani kola naizmenicne struje, onda za redno RLC kola

imamo:

U = Z I ⇒ Z(ω) =

√

R2 +

(

ω L− 1

ω C

)2

. (5.81)

Impedansa je fizicka velicina koja ima dimenziju otpornosti, i predstavlja rezultujucu

otpornost u kolima naizmenicne struje. To je, u stvari, kompleksna velicina

Z = Z · exp jϕ (5.82)

ciji modul Z predstavlja kolicnik maksimalnih (ili efektivnih) vrednosti napona i struje,

a argument ϕ odreduje fazni stav (faznu razliku) izmenju napona i struje. Argument ϕ

5.8. Snaga naizmenicne struje 123

moze imati tri karakteristicne vrednosti koje odgovaraju trima elementima:

ϕ =

+π

2induktivna otpornost - kalem

0 termogena otpornost - otpornik

−π

2kapacitivna otpornost - kondenzator

(5.83)

ali moze imati i vrednosti izmedu ovih. U tom slucaju govorimo o induktivnom (ϕ ∈(0, π/2) ili kapacitivnom (ϕ ∈ (−π/2, 0)) karakteru impedanse.

Redno RLC kolo pokazuje efekat rezonancije. Naime, ako se vrednost usestanosti

postavi tako da kapacitivna i induktivna otpornost postanu jednake, tj. ωr L− 1/ωr C =

0, tada impedansa ima minimalnu i realnu vrednost Z(ωr) = R dok se sama vrednost

ucestanosti ωr pri kojoj se to desava naziva rezonantna ucestanost:

ωr =1√LC

, Tr = 2π√LC, (5.84)

a iz nje se moze odrediti i period oscilovanja rezonantnog kola Tr.

5.8 Snaga naizmenicne struje

Kod naizmenicnih struja moguce je definisati nekoliko razlicitih snaga. Najpre,

trenutnu vrednost snage koja se definise kao proizvod trenutnih vrednosti napona i struje.

Ako su ove trenutne vrednosti zadate iztrazima

u(t) = U0 sin(ωt+ ϕ), (5.85)

i(t) = I0 sinωt, (5.86)

onda se za trenutnu vrednost snage dobija

p(t) = u(t) · i(t) = U0 I0 sin(ωt+ ϕ) sinωt. (5.87)

Ako se iskoristi trigonometrijski obrazac za transformaciju proizvoda dva sinusa, dobicemo

p(t) =U0 I02

[cosϕ− cos(2ω t+ ϕ)]. (5.88)

Potrazimo sada srednju snagu. Prvi sabirak u izrazu (5.88) je konstantan, a drugi ima

srednju vrednost jednaku nuli, pa za srednju snagu dobijamo

Psr =1

T

∫ T

0

p(t) dt =U0 I02

cosϕ = Ueff Ieff cosϕ. (5.89)

Kosinus fazne razlike cosϕ, naziva se faktor snage i predstavlja izuzetno vaznu velicinu

u kolima sa nazimenicnim strujama. Vec smo videli da je kod otpornika ϕ = 0 pa je cosϕ =

1, tj. srednja snaga je Psr = Ueff Ieff sto podseca na izraz za snagu kod jednosmernih

struja. Sa druge strane kod kalema je ϕ = π/2 a kod kondenzatora ϕ = −π/2, pa je na

oba elementa cosϕ = 0, sto dovodi do cinjenice da je strednja snaga na ova dva elementa

jednaka nuli Psr = 0. Fizicko objasnjenje ovog rezultata je da se na ovim elementima

vrsi transformacija energije iz jednog oblika u drugi, ali da nema nepovratnog procesa


pretvaranja energije u toplotu, kao sto se to desava na otporniku. Da bi ovo pokazali i

matematicki, transformisemo izraz (5.88) na oblik

p(t) = UeffIeff [2 sin2 ωt cosϕ+ sin 2ωt sinϕ] = pA(t) + pR(t). (5.90)

Iz ovog izraza moze da se vidi da se trenutna snaga prijemnika moze da predstavi u obliku

zbira dve snage, od kojih je prva pA(t) uvek pozitivna (jer je cosϕ > 0) a druga pR(t) je u

nekim trenucima pozitivna, a u nekim negativna. pA(t) predstavlja snagu koju prijemnik

permanentno prima iz mreze i naziva se trenutna vrednost aktivne snage. Srednja vrednost

pA(t) ista je kao i srednja vrednost ukupne snage p(t) i iznosi Ueff Ieff cosϕ, pa se srednja

vrednost snage Psr naziva i aktivna snaga prijemnika i obelezava sa P :

P = Ueff Ieff cosϕ. (5.91)

Sa druge strane, snaga pR(t) kao sto je vec receno menja znak, sto fizicki znaci da se u

nekim vremenskim intervalima energija predaje potrosacu, a u nekim drugim intervalima

prijemnik energiju, koju je akumulirao u prethodnom intervalu vraca nazad u mrezu.

Srednja vrednost snage pR(t) jednaka je nuli, a njena amplituda se oznacava sa Q i naziva

se reaktivna snaga:

Q = Ueff Ieff sinϕ. (5.92)

Osim aktivne i reaktivne snage, moguce je definisati i prividnu snagu S kao proizvod

efektivnih vrednosti napona i struje

S = Ueff Ieff . (5.93)

Sada su veze aktivne, reaktivne i prividne snage date jednostavnim relacijama:

P = S cosϕ, Q = S sinϕ, S =√

P 2 +Q2, tanϕ =Q

P. (5.94)

Lako je uociti da se kod otpornika aktivna i prividna snaga poklapaju P = S =

Ueff Ieff , dok je reaktivna snaga jednaka nuli Q = 0, pa se zbog toga kaze da je otpornik

aktivni prijemnik. Sa druge strane, kod kalema i kondenzatora akltivna snaga jednaka je

nuli, a reaktivne snage su

QL = +Ueff Ieff , QC = −Ueff Ieff , (5.95)

pa se ovi elementi nazivaju reaktivnim prijemnicima.

5.9 Elektricni transformatori. Prenos elektricne en-

ergije

Razliciti delovi elektronskih uredaja koriste razlicite napone. Medutim, u domacin-

stvima je na raspolaganju samo jedna vrednost napona (220 V u nasoj zemlji, 230 V u

zemljama Evropske unije, 110 V u SAD) i cesto je potrebno taj napon povecati (npr.

za rad katodne cevi televizora) ili smanjiti (za razlicite uredaje). Takode, u elektrodis-

tributivnim sistemima se prenos elektricne energije obavlja vodovima na kojima je velika

5.9. Elektricni transformatori. Prenos elektricne energije 125

vrednost napona i mala vrednost intenziteta struje, da bi se smanjili gubici. Efikasno

pretvaranje jedne vrednosti napona u drugu vrsi se uredajem koji se naziva elektricni

transformator, a cesto i samo transformator. Posto transformator radi na principu elek-

tromagnetne indukcije, on ne moze da se koristi za transformisanje vremenski konstantnih

napona, vec samo za naizmenicne, tj. promenljive.

Transformator se sastoji od feromagnetnog jezgra, na koji su postavljena dva namo-

taja, kao sto je to pokazano na slici 5.20. Na krajeve jednog od namotaja prikljucuje

se naizmenicni napon i taj namotaj se naziva primarni namotaj, ili krace samo primar,

a na drugi namotaj se prikljucuje potrosac, i taj namotaj se naziva sekundarni namo-

taj, ili krace samo sekundar. Ako se svi gubici u transformatoru mogu da zanemare,

tada izmedu napona primara Up i sekundara Us, kao i odgovarajucih jacina struje Ip i Is,

postoji jednostavna veza:Up

Us

=np

ns

=IsIp

, (5.96)

gde su np i ns broj namotaja u primaru i sekundaru.

Problem prenosa elektricne energije na

np ns.

.

.

.U , Ipp U , Iss

Slika 5.20. Elektricni transformator.

daljinu je u vezi sa gubicima elektricne

energije na zagrevanje provodnika Dzulo-

vom toplotom (Q = RI2 t). Ovi gubici se

mogu smanjiti smanjenjem otpora provod-

nika R. To se postize upotrebom provod-

nika velikog preseka i materijala koji imaju

mali specificni otpor (npr. bakar). Sma-

njenje otpora povecanjem preseka provod-

nika nije efikasno niti ekonomicno jer se ne

moze postici veliki stepen smanjenja. Za sada racionalnije resenje je smanjenje jacine

struje I koja u gubicima ucestvuje sa kvadratom (I2). Tako, ako se jacina struje smanji

10 puta, gubici se smanje 100 puta, smanjenjem struje hiljadu puta, gubici se smanjuju

milion puta, itd.

Problem smanjenja jacine naizmenicne struje jednostavno se resava transformatorima,

(u cemu je njena ogorman prednost nad jednosmernom strujom), pri cemu se u istoj meri

poveca napon. Naime, za istu snagu (P = U I), koliko se puta poveca napon U , toliko

puta se smanji jacina I. Zbog toga su naponi elektricnih vodova za prenos elektricne

energije na velike daljine vrlo visoki. Kod nas oni iznose 110 kV, 220 kV i 400 kV a u

nekim zemljama i 1 000 kV = 1 MV. Ovakvi vodovi - dalekovodi poznaju se po visokim

stubovima i velikim izolatorima.

Kod manjih rastojanja i malih snaga upotrebljavaju se i nizi naponi, a u gradovima

(iz drugih razloga) jos nizi, i nikada visi od 10 kV. Promena napona vrsi se u transfor-

matorskim stanicama, koje su najcesce povezane u jedinstveni energetski sitem sa elek-

tricnim centralama. Ako jedna transformatorska stanica (ili centrala) u ovom sistemu

otkaze, njenu ulogu odmah preuzima druga.

Nacin prenosenja elektricne energije od elektricne centrale do udaljenog potrosaca

prikazan je na slici 5.21. Od elektricne centrale do obliznje transforamtorske stanice

elektricna energija se prenosi dalekovodima, ciji je napon najcesce 10 kV ili 35 kV. Udal-

jene transformatorske stanice povezuju se dalekovodima napona 110, 220 ili 400 kV. U


sredistu velikih potrosaca (gradova, preduzeca i sl.) nalaze se transformatorske stanice

koje smanjuju napon na 380 ili 220 V. Ovakvim vodovima dovodi se elektricna energija

do stambenih zgrada i manjih radionica.

10 kV

110 kV

10 kV

110 kV

110 kV

400 kV

110 kV

35 kV

110 kV

35 kV

35 kV

0.4 kV

centrala centrala

35 kV

0.4 kV

35 kV

0.4 kV

400 kV110 kV

110

kV

110 kV

10 kV10 kV

110kV

35

kV

35

kV

35 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

110 kV

35/0.4

110 kV

35/0.4

400 kV

35/0.4

110 kV

110 k

V

0.4 kV

0.4 kV

0.4 kV

0.4kV

0.4 kV

Slika 5.21. Primer elektroenergetskog sistema

U nasoj zemlji, mreza dalekovoda gusto pokriva skoro celu njenu teritoriju i omogucuje

prenos elektricne energije od velikih energetskih sistema, hidrocentrala -Derdap I i II, Ba-

jina Basta, Vrla I, II, III i IV, itd., i termocentrala Nikola Tesla (u Obrenovcu), Kolubara,

Kostolac, itd. Detaljna mapa hidro- i termoelektrana u nasoj zemlji prikazana je u do-

datku 4. elektronske verzije udzbenika.

Zbog svega ovoga, danas jednosmerna struja ima vrlo ogranicenu primenu (tramvajski

i zeleznicki saobracaj, u metalurgiji, i sl.).

5.9.1 Generatori elektricne struje. Trofazne struje

Generatori elektricne struje su elektricne masine koje mehanicku energiju pretvaraju

u elektricnu. Oni se mogu podeliti na generatore naizmenicne struje (alternatore) i gen-

eratore jednosmerne struje. Znacaj prvih je neuporedivo veci, pa ce se sstoga oni obraditi

u kratkim crtama.

Savremeni izvori naizmenicne struje su, skoro iskljucivo, indukcioni generatori, ciji se

princip rada zasniva na elektromagnetnoj indukciji. Kod njih se obrtanjem provodnika

u magnetnom polju dobija naizmenicna ems. Danas su skoro svi generatori naizmenicne

struje trofazni. To znaci da oni u svom pokretnom delu koji se naziva rotor imaju tri

posebna navoja, pomerena medusobno za ugao od 120 u kojima se indukuju tri ems

fazno pomerene upravo za 120, ili vremenski, za trecinu perioda (slika 5.22):

uR = U0 sinωt, (5.97)

uS = U0 sin(ωt− 2π

3), (5.98)

uT = U0 sin(ωt+2π

3). (5.99)

Kalemovi se obicno oznacavaju slovima R, S i T i svaki od njih definise jednu fazu.

U zavisnosti od vezivanja ovih kalemova, prenos elektricne energije od generatora do

5.9. Elektricni transformatori. Prenos elektricne energije 127

u

t

uR

uSu

T

Slika 5.22. Trofazni sistem.

potrosaca obavlja se sa 4 ili sa 3 provodnika. Ako su poceci svih kalemova vezani u jednu

tacku (tzv. nulta tacka) onda govorimo o vezi u zvezdu. Tada sa svakog drugog kraja

kalema krece po jedan, fazni (ili linijski) provodnik, a sa nulte tacke, nulti provodnik (slika

5.23), pa se prenos obavlja sa 4 provodnika. Ako su pak kalemovi vezani tako da je jedan

kraj jednog provodnika vezan za pocetak sledeceg, i tako do kraja, onda se takva veza

naziva veza u trougao (slika 5.24), a prenos se obavlja sa tri provodnika.

R

T S

0

URS

UR

UST

USU

T

URT

R

S

T

0

Slika 5.23. Veza u zvezdu.

URS

UST

URT

R

T

S

R

S

T

Slika 5.24. Veza u trougao.

Kod veze u zvezdu, naponi izmedu pojedinih faznih provodnika i nultog provodnika

nazivaju se fazni naponi. Svi fazni naponi ravnomerno opterecene mreze jednaki su i za

gradsku mrezu iznose 220V efektivne vrednosti:

UR = US = UT = 220 V. (5.100)

Sa druge strane, naponi izmedu pojedinih faznih provodnika nazivaju se medufazni ili

linijski naponi. Medufazni naponi su URS, UST i URT i oni su√3 puta veci od faznih

napona. Njihova efektivna vrednost iznosi√3 · 220V ≈ 380V:

URS = UST = URT = 380 V (5.101)

Za vezu u zvezdu takode je karakteristicno da je jacina struje kroz nulti provodnik jednaka

nuli, ali samo pri ravnomernom opterecenju sve tri faze. Tada su jacine struja kroz

linijske provodnike jednake, ali medusobno fazno pomerene za 120. Savrseno ravnomerno

opterecenje faza tesko se ostvaruje u praksi, pa kroz nulti provodnik uvek protice slabija

ili jaca struja. Medutim, ona je uvek slabija od struja u linijskim provodnicima, usled

cega nulti provodnik moze da bude tanji, po cemu se on moze i prepoznati.

Vezivanje potrosaca elektricne energije na trofaznu elektricnu mrezu (slika 5.25) zavisi

od toga da li je ona cetvorozicna ili trozicna. Kod cetvorozicne mreze (koja se uvek


R1

R1 R

1R2

R2 R2R3 R3 R3

R

S

T

0220

220220

380380

380

R

S

T

U = 380 VU = 380 VU = 220 V

Slika 5.25. Vezivanje potrosaca elektricne energije na trofaznu elektricnu mrezu.

koristi za snabdevanje stanova i ustanova), potrosaci se mogu vezivati kako izmedu nultog i

jednog od faznih provodnika (izmedu kojih vlada napon od 220V), tako i izmedu pojedinih

faznih provodnika (medu kojima vlada medufazni napon efektivne vrednosti 380V). Kod

trozicne mreze, potrosaci se mogu vezivati jedino izmedu pojedinih faznih provodnika.

Prenosenje elektricne energije od trofaznih generatora do potrosaca vrsi se posred-

stvom trofaznih transformatora. Ovi transformatori se razlikuju od jednofaznih jedino po

konstrukciji, dok princip rada ostaje isti.

5.10 Nacini dobijanja elektricne energije

Elektricna energija predstavlja tzv. sekundarni (ili transformisani) oblik energije za

razliku od primarnih oblika energije koji se pojavljuju u prirodi. Vec smo govorili da se

generatorima elektricne struje mehanicka energija pretvara u elektricnu. Medutim, osim

mehanicke, za dobijanje elektricne energije moze se koristiti i Sunceva energija. Dakle,

mozemo kazati da za dobijanje elektricne energije postoje dva nacina:

• direktnim pretvaranjem energije Sunca (elektromagnetnih talasa) u elektricnu en-

ergiju, sto se postize solarnim celijama;

• pretvaranjem mehanicke energije u elektricnu, sto se izvodi u elektranama.

Direktno pretvaranje Sunceve u elektricnu energiju je sustinski razlicito od pretvaranja

mehanicke energije u elektricnu. Iako su suncevi kilovati besplatni, energija po jedinici

povrsine je mala, tako da bi bilo potrebno investirati ogromna sredstva da se ona uhvati i

sacuva, osobito onda kada Sunce ne sija. Posto se radi o malim snagama, ovako dobijena

elektricna energija za sada se uglavnom koristi samo za osvetljenje i rad elektronskih

uredaja male snage. Solarne celije i solarni paneli (skupovi solarnih celija) proizvode se u

poluprovodnickoj tehnologiji, i stalno se razvijaju, tako da u buducnosti mozemo ocekivati

povecanje efikasnosti solarnih sistema za direktno pretvaranje.

Pogon elektrana koje se jos nazivaju i centrale moze biti razlicit u zavisnosti od izvora

mehanicke energije koja se koristi za proizvodnju elektricne energije:

• koriscenjem mehanicke energije tekucih voda - tzv. hidroelektrane;

• koriscenjem mehanicke energije stajacih voda tj. plime i oseke - elektrane na plimu

i oseku

5.10. Nacini dobijanja elektricne energije 129

• koriscenjem energije vetra - vetrenjace ili vetrogeneratori;

• korisenjem mehanicke energije vodene pare pomocu parnih turbina.

Kod elektrana sa parnim turbinama postoji visestruki proces pretvaranja energije.

Najpre se neka energija pretvara u toplotnu, zatim se ona pretvara u mehanicku (pri

cemu se od vode dobija vodena para na povisenom pritisku), a zatim se uz pomoc turbina

mehanicka energija vodene pare pretvara u elektricnu. Ovde razlikujemo dva osnovna

tipa elektrana:

• nuklearne elektrane, kod kojih se toplotna energija oslobada procesom kontrolisane

fisije, tj. lancane reakcije u nuklearnom gorivu

• termoelektrane kod kojih se toplotna energija stvara sagorevanjem nekog energenta.

Energenti koji se koriste za sagorevanje u termoelektranama mogu biti razliciti:

• gas

• neki naftni derivat (dizel ili mazut) (termoelektrane na tecna goriva)

• ugalj

• biomase

• razliciti organski i neorganski otpad

Sve izvore energije koji se koriste za dobijanje elektricne energije mozemo podeliti na

• obnovljive izvore energije,

• neobnovljive izvore energije.

U obnovljive izvore energije spadaju energije Sunca, plime i oseke, tekucih voda i

vetra, a u neobnovljive energija unutar atomskog jezgra, kao i fosilna goriva (ugalj, nafta,

gas). Globalna tendencija je da se proizvodnja elektricne energije sve vise prebacuje na

obnovljive izvore energije iz razumljivih ekoloskih i ekonomskih razloga.


Glava 6

Transportni procesi

6.1 Prenosenje toplote

Postoje tri razlicita nacina prenosenja toplote:

• provodenje (kondukcija),

• strujanje (konvekcija),

• zracenje (radijacija).

Prenosenje toplote provodenjem desava se izmedu tela ili cestica tela koja su u di-

rektnom kontaktu i imaju razlicite temperature. Shodno shvatanju savremene fizike,

provodenje toplote predstavlja molekularni proces. U metalima, dominantnu ulogu u

provodenju toplote igraju slobodni elektroni, pa se zbog toga uglavnom desava da se

dobri provodnici struje pojavljuju i kao dobri provodnici toplote.

Poznato je da kada se neko telo zagreva, kineticka energija njegovih molekula raste.

Cestice u delu tela koje se zagreva slucajno se sudaraju sa susednim cesticama, predajuci

im deo svoje kineticke energije. Ovakav proces postepeno se siri kroz citavo telo. Ako,

na primer, jedan kraj metalne sipke drzimo u plamenu vatre, posle izvesnog vremena

oseticemo toplotu i na drugom kraju sipke.

Drugi nacin prenosenja toplote, konvekcija ili strujanje, desava se samo u fluidima,

tj. gasovima i tecnostima, kada se njihova citava neuniformno zagrejana masa pomera

i mesa. Stepen strujanja toplote je utoliko veci ukoliko je veca brzina kretanja fluida.

Prenos toplote strujanjem uvek je pracen i prenosom toplote provodenjem jer su u fluidu

cestice razlicite temperature u stalnom direktnom kontaktu.

Mozemo razlikovati prirodnu (ili slobodnu) i prinudnu konvekciju. Slobodna konvek-

cija nastaje kao posledica razlike gustine pojedinih delova fluida pri njegovom zagrevanju.

Prinudna konvekcija nastaje kada se kretanje fluida izaziva vestacki (upotrebom propel-

era, kompresora, pumpi, miksera,...).

Treci nacin prenosenja toplote je termalna radijacija (emisija). Ovaj proces se odvija

izmedu dva razdvojena tela izmedu kojih se moze, ali i ne mora nalaziti neka sredina, tj.

proces radijacije se odvija i kroz vakuum. Proces radijacije obuhvata tri faze, pretvaranje

dela unutrasnje energije jednog tela u energiju elektromagnetnih talasa, prostiranje elek-

tromagnetnih talasa i absorpciju zracenja od strane drugog tela.

131

132 Glava 6. Transportni procesi

Prenosenje toplote predstavlja transportni proces u kome se transportuje velicina sa

dimenzijom energije - kolicina toplote Q. To prakticno znaci da se kao i za druge trans-

portne procese koje smo do sada upoznali mogu definisati jos dve karakteristicne velicine,

toplotni fluks (engl. heat flow, ili heat flow rate)

dQ

dτ= Q [=]W, (6.1)

koji predstavlja kolicinu energije koja se u jedinici vremena prenese kroz neku, unapred

definisanu povrsinu, i gustina toplotnog fluksa (engl. density of heat flow1)

q =d2Q

dS dτ=

dQ

dτ[=]

W

m2(6.2)

koja predstavlja kolicinu energije koja se u jedinici vremena prenese kroz jedinicnu

povrsinu. Zbog toga sto se slovo t koristi za oznacavanje temperature na Celzijusovoj

skali, u problemima prenosenja toplote koristicemo τ kao oznaku za vreme.

U narednom izlaganju bice detaljno razmotrena sva tri oblika prenosenja toplote.

6.2 Provodenje toplote

6.2.1 Osnovne postavke provodenja toplote

Temperatursko polje predstavlja sveukupnost vrednosti temperature u datom vre-

menskom trenutku τ , u svakoj tacki posmatranog prostora (x, y, z), u kome se desava

proces prenosenja (provodenja) toplote:

t = f(x, y, z, τ),∂t

∂τ6= 0 (6.3)

Ako je parcijalni izvod temperature po vremenu razlicit od nule onda se takvo polje naziva

nestacionarno polje temperature, a sam proces nestacionarno provodenje toplote. Ako je

pak temperatura posmatranog tela funkcija samo prostornih koordinata, tj. parcijalni

izvod temperature po vremenu jednak je nuli,

t = f(x, y, z),∂t

∂τ= 0, (6.4)

onda je rec o stacionarnom temperaturskom polju, tj. stacionarnom provodenju toplote.

Gradijent temperature. Ako spojimo sve tacke nekog tela koje imaju jednake

temperature, dobicemo izotermnu povrsinu, koja se nikad ne sece sama sa sobom. Pos-

matrajmo dve bliske izotermne povrsine cije su temperature t i t+∆t. Ako posmatramo

kretanje iz tacke A koja lezi na prvoj izotermnoj povrsini (slika 6.1), primeticemo da

stepen promene temperature zavisi od pravca u kojem se vrsi kretanje: ako se kretanje

obavlja duz izotermne povrsine nema promene temperature, ako se krene duz nekog pravca

b promena postoji, a promena po jedinici duzine je najveca ako se kretanje odvija duz nor-

male n na izotermnu povrsinu. Gradijent temperature je vektor normalan na izotermnu

povrsinu, sa smerom prema susednoj izotermnoj povrsi vece temperature, a intenzitet mu

je jednak parcijalnom izvodu temperature duz tog pravca:

grad t = lim∆n→0

∆t

∆n~n0 =

∂t

∂n~n0 [=]

K

m=

C

m. (6.5)

1U literaturi na engleskom jeziku postoji mala zbrka oko naziva ovih velicina. Tako se npr, u delu

literature Q naziva heat transfer rate, a q heat fluks.

6.2. Provodenje toplote 133

Furijeov zakon predstavlja osnovni zakon provodenja toplote, koji je potvrden i

eksperimentalno. On se moze izraziti za sve tri karakteristicne transportne velicine:

~q = −λ grad t, (6.6)

Q =

∫

S

~q · −→dS = −∫

s

λ grad t · −→dS, (6.7)

Q =

∫

τ

Q dτ = −∫

τ

∫

S

λ grad t · −→dS dτ, (6.8)

gde je λ koeficijent termicke (toplotne) provodnosti (provodljivosti). Znak minus u

jednacinama (6.6)-(6.8) izrazava cinjenicu da se toplota prenosi sa mesta vise na mesto

nize temperature (tj. posto je gradijent u pravcu opadanja temperature negativan, minus

omogucava da transportne velicine budu pozitivne).

Jednacine (6.6)-(6.8) predstavljaju ekvivalentnenp

DpDn

At

t t+ D

.

. .

Slika 6.1. Izotermne povrsine i gra-dijent temperature

formulacije najopstijeg oblika Furijeovog zakona.

Ovaj najopstiji oblik se najcesce moze prilicno pojed-

nostaviti. Tako na primer, ako pretpostavimo jednos-

tavan slucaj, koji je najcesci u praksi, da je povrsina

kroz koju se vrsi provodenje toplote u stvari izotermna

povrsina, onda su i grad t i ~q i−→dS kolinearni, pa

prestaje potreba za pisanjem vektora. Ako nacinimo

i korak dalje pa pretpostavimo da je provodenje toplote stacionarno i jednodimenziono

(videti sekcije 6.2.2-6.2.4), doci ce do daljeg pojednostavljivanja Furijeovog zakona.

Koeficijent termicke provodnosti (engl. thermal conductivity) moze se definisati

na osnovu Furijeovog zakona kao skalarna velicina2 brojno jednaka kolicini toplote koja

prode kroz jedinicnu povrsinu u jedinici vremena pri jedinicnom gradijentu temperature:

λ =dQ

dτ dS grad t[=]

W

mK=

W

m C. (6.9)

Iako se koeficijent toplotne provodnosti λ pojavljuje kao konstanta u Furijeovom zakonu,

eksperiment pokazuje da se λ kod vecine materijala menja sa temperaturom3, i da se moze

uzeti da je ta promena linearna:

λ = λ0[1 + b(t− t0)], (6.10)

gde je λ0 koeficijent termalne provodnosti na temperaturi t0, t temperatura u C, a b

konstantni koeficijent koji se odreduje iz eksperimenta. Vrednosti koeficijenata termicke

provodnosti i znak faktora b, prikazani su u tabeli 6.1.

6.2.2 Provodenje toplote kroz jednoslojni zid

Posmatrajmo jednoslojni zid kod koga se toplota provodi samo duz jednog pravca

upravnog na povrsinu zida. Neka je debljina zida δ, a temperature na njegovim krajevima

t′w i t′′w (slika 6.2).

2U slucaju da vektor gustine fluksa nije po pravcu identican gradijentu temperature (jednacina (6.6)),

kao sto je to moguce u anizotropnim sredinama, λ postaje tenzorska velicina.3Ova promena se zanemaruje ako je opseg promene temperature mali.


Tabela 6.1. Vrednosti koeficijenta termicke provodnosti i znak faktora b.

metali λ ∈ (3, 458) b < 0

izolatori toplote i gradevinski materijali porozne strukture λ ∈ (0.02, 3) b > 0

tecnosti λ ∈ (0.08, 0.65) b < 0

gasovi λ ∈ (0.005, 0.6) b > 0

Parcijalni izvodi temperature po y i z koordinati bice nula, pa diferencijalna jednacina

provodenja toplote dobija jednodimenzioni oblik:

∂t

∂τ= a

∂2t

∂x2. (6.11)

Ako pretpostavimo stacionarni rezim provodenja toplote, parcijalni izvod po vremenu

postaje nula, pa parcijalna jednacina provodenja postaje obicna diferencijalna jednacina

drugog reda koja se jednostavno integrali:

∂t

∂τ= 0, ⇒ ∂2t

∂x2= 0 ⇒ dt

dx= const = A ⇒ t = Ax+B. (6.12)

Kao vazan rezultat dobili smo da je profil tempera-

.

.

t

l

t’w

t”w

d

x

Slika 6.2. Profil temperaturekroz jednoslojni zid

ture kroz zid u slucaju stacionarnog provodenja toplote

linearan. Za odredivanje konstanti integracije A i B ko-

ristimo se poznatim temperaturama na krajevima zida

(sto znaci da razmatramo provodenje toplote u sta-

cionarnom rezimu uz granicne uslove prve vrste):

x = 0 ⇒ t = t′w = B

x = δ ⇒ t = t′′w = Aδ + t′w ⇒ A =t′′w − t′w

δ=

dt

dx.

Nakon sto smo odredili A i B, za gustinu toplotnog

fluksa se moze napisati:

q = −λgrad t = −λdt

dx= −λ

t′′w − t′wδ

=λ

δ(t′w − t′′w). (6.13)

Zbog stacionarnosti i homogenosti, integrali po povrsini i vremenu se svode na

mnozenje, pa se dobijaju izrazi za toplotni fluks i provedenu kolicinu toplote:

Q =

∫

S

q dS = q · S =λ

δS (t′w − t′′w), (6.14)

Q =

∫

τ

Q dτ = Q · τ =λ

δS (t′w − t′′w) τ. (6.15)

Svaka od jednacina (6.13)-(6.15) predstavlja Furijeov zakon za odredenu transportnu

velicinu, za slucaj stacionarnog provodenja toplote u ravanskoj geometriji. Ove jednacine

predstavljaju uprosceni oblik opstih jednacina (6.6)-(6.8). Sa druge strane, analizirajuci

strukturu transportnih procesa, ove jednacine koje predstavljaju Furijeov zakon za

provodenje toplote se mogu shvatiti i kao jednacine analogne Omovom zakonu u slucaju


Tabela 6.2. Analogija izmedu elektricnih i toplotnih velicina.

Elektricna velicina Jedinica Toplotna velicina Jedinica

Naelektrisanje Q C Toplota Q J

Jacina struje I A Toplotni fluks Q W

Gustina struje J A/m2 Gustina toplotnog fluksa q W/m2

Elektricni potencijal V V Temperatura t K, C

Elektricni napon U V Razlika temperatura ∆t K=C

Elektricna provodnost G S=A/V Toplotna provodnost Gth W/K=W/C

Elektricna otpornost R Ω Toplotna otpornost Rth K/W=C/W

Specificna elektricna Koeficijent toplotne W/(m·K) =

provodnost σ V/(A·m) provodnosti λ W/(m·C)Specificna elektricna Reciprocna vrednost koeficijenta (m·K)/W =

otpornost ρ (A·m)/V toplotne provodnosti 1/λ (m·C)/W

proticanja elektricnih struja. Nije tesko uociti da jednacina (6.13) odgovara jednacini

(5.15), jednacina (6.14) jednacini (5.13), a jednacina (6.15) jednacini (5.14). Na osnovu

ove analogije mogu se u uvesti jos dve velicine, termicka otpornost (engl. thermal resis-

tance) Rth i termicka provodnost (engl. thermal conductance) Gth:

Rth =1

S

δ

λ[=]

K

W=

C

W, Gth = S

λ

δ[=]

W

K=

WC

. (6.16)

Na taj nacin kompletirana je analogija izmedu velicina u Omovom i Furijeovom zakonu

prikazana u tabeli 6.2. Medutim, u praksi je uobicajeno da se umesto termicke provodnosti

i termicke otpornosti koriste odgovarajuce velicine normalizovane po jedinici povrsine, uz

zadrzavanje istog imena. U ovom udzbeniku, te velicine ce se razlikovati od originalnih i

bice obelezene malim slovima4:

rth = Rth · S =δ

λ[=]

C ·m2W

, gth =Gth

S=

λ

δ[=]

WC ·m2 . (6.17)

Osim termina termicka otpornost rth se cesto naziva i termicka izolovanost (engl. thermal

insulance). Kada su rth i gth definisani na osnovu Furijeovog zakona za provodenje toplote

za odredeni sloj nekog materijala, onda se takve provodnosti i otpornosti jos nazivaju i

internim ili unutrasnjim. Videcemo kasnije da se osim unutrasnjih provodnosti i otpornosti

mogu definisati i spoljasnje kada se u termicki proracun ukljucuju i drugi vidovi prenosenja

toplote, strujenje i zracenje.

U prethodnom izvodenju Furijeovog zakona za jednoslojni zid pretpostavili smo da je

koeficijent termicke provodnosti λ konstantan. Ukoliko bi zeleli da u rezultate ukljucimo

i korekciju usled njegove zavisnosti od temperature, onda bi ovu zavisnost

λ(t) = λ0 (1 + b t), (6.18)

trebalo uvrstiti u izraz za gustinu toplotnog fluksa,

q = −λ(t)dt

dx= −λ0 (1 + b t)

dt

dx(6.19)

4Potpuno ravnopravno mogu se koristiti i jedinice gde umesto C stoji K.


Razdvajajuci promenljive i integraleci dobija se:

q x = −λ0

(

t+b t2

2

)

+ C. (6.20)

Koristeci granicne uslove:

x = 0 ⇒ t = t′w 0 = −λ0

(

t′w +b t′2w2

)

+ C, (6.21)

x = δ ⇒ t = t′′w q δ = −λ0

(

t′′w +b t′′2w2

)

+ C, (6.22)

dobijamo:

..

b < 0

b > 0

t’w

t”w

t

d x

Slika 6.3. Profil tempe-rature kroz jednoslojni zidpri promenljivom koeficijen-tu toplotne provodnosti.

q =λ0δ

[

1 + bt′w + t′′w

2

]

(t′w − t′′w). (6.23)

Ako definisemo integralnu srednju vrednost koeficijenta

termicke provodnosti λ kao:

λ = λ0

[

1 + bt′w + t′′w

2

]

, (6.24)

onda se gustina toplotnog fluksa moze napisati u istom ob-

liku kao i (6.13):

q =λ

δ(t′w − t′′w). (6.25)

Profil temperature t(x) moze se odrediti iz jednacine (6.20) uz koriscenje vrednosti za

C, odredene na osnovu granicnog uslova (6.21):

t(x) =

√

(

1

b+ t′w

)2

− 2 q x

λ0 b− 1

b(6.26)

Konveksnost, odnosno konkavnost profila t(x) zavisi od parametra b (slika 6.3).

6.2.3 Provodenje toplote kroz viseslojni zid

Posmatrajmo zid sastavljen od tri sloja, debljina δ1, δ2, δ3, i koeficijenta termicke

provodnosti λ1, λ2 i λ3, respektivno. Temperature na krajevima zida su t′w i t′′w, a na

spojevima izmedu slojeva t12 i t23 (slika 6.4).

Posto se slojevi nalaze jedan do drugoga i izmedu njih nema nikakvih izvora ni ponora

toplote, gustina toplotnog fluksa kroz svaki od slojeva je ista i iznosi:

q =λ1δ1

(t′w − t12), q =λ2δ2

(t12 − t23), q =λ3δ3

(t′23 − t′′w). (6.27)

Ovaj slucaj je analogan rednoj vezi tri otpora kod kojih su jacina (i gustina) struje koja

protice kroz njih jednake. Sa druge strane, ukupni napon redne veze otpornika jednak


je zbiru napona na pojedinim otporima. To znaci da ako resimo svaku od jednacina po

razlici temperatura pa ih saberemo imamo:

t′w − t12 = qδ1λ1

, t12 − t23 = qδ2λ2

, t′23 − t′′w = qδ3λ3

, (6.28)

t′w − t′′w = q

(

δ1λ1

+δ2λ2

+δ3λ3

)

, (6.29)

odakle se resavajuci po q dobija:

q =t′w − t′′w

δ1λ1

+δ2λ2

+δ3λ3

. (6.30)

Temperature na razdvojnim povrsinama slojeva sada se mogu dobiti iz odgovarajucih

jednacina (6.28):

t12 = t′w − qδ1λ1

, t23 = t′′w + qδ3λ3

= t12 − qδ2λ2

. (6.31)

Generalizacijom izraza (6.30) za slucaj zidat

x

l1 l

2l

3

d1

d2 d

3

t’w

t”w

..

.

.

Slika 6.4. Profil temperature kroz vises-lojni zid

sastavljenog od n slojeva, dobija se:

q =t′w − t′′w

n∑

i=1

δiλi

. (6.32)

Kod viseslojnog zida se odnos δi/λi naziva

interna (unutrasnja) termicka otpornost sloja

a suma∑n

i=1 δi/λi ukupna unutrasnja termicka

otpornost za viseslojni zid.

Ako se uvede ekvivalentni koeficijent

termicke provodnosti λeq:

λeq =

n∑

i=1

δi

n∑

i

δiλi

=δ

n∑

i

δiλi

, (6.33)

gde je δ ukupna deljina viseslojnog zida, onda se izraz (6.32) moze dovesti na oblik izraza

(6.13):

q = λeqt′w − t′′w

δ. (6.34)

6.2.4 Prenosenje toplote kroz zid okruzen fluidima

U ovom slucaju temperature na krajevima zida t′w i t′′w su nam nepoznate, ali znamo

temperature fluida sa razlicitih krajeva zida t1 i t2 (sto znaci da razmatramo provodenje

toplote u stacionarnom rezimu uz granicne uslove trece vrste). Osim ovih temperatura,

poznat je zakon prenosenja toplote sa fluida na zid i obrnuto, iskazan preko Njutnove

jednacine

q = α (tf − tw), (6.35)


gde je q intenzitet toplotnog toka, tf temperatura fluida sa koga toplota prelazi na zid

temperature tw, a α predstavlja lokalni koeficijent prenosenja toplote sa fluida na zid koji

obuhvata sve vidove prenosenja toplote (provodenje, strujanje, zracenje) i izrazava se u

W/(m2 C) (u smislu analogije sa strujama, α ocigledno predstavlja termicku provodnost

po jedinici povrsine gth i naziva se spoljasnja termicka provodnost). Prema tome, osim

temperatura fluida sa razlicitih krajeva zida i oblika zakona (6.35), granicni uslovi trece

vrste podrazumevaju poznavanje lokalnih koeficijenta prenosa toplote sa fluida na zid α1i zida na fluid α2 (slika 6.5).

Intenzitet toplotnog toka sa fluida na zid,

d

la

2

a1

t1

t2

t’w

t”w

x

t

..

Slika 6.5. Profil temperature kroz jed-noslojni zid okruzen fluidima

kroz zid, i sa zida na fluid su jednaki i mogu

se respektivno napisati kao:

q = α1 (t1−t′w), q =λ

δ(t′w−t′′w), q = α2 (t

′′w−t2).

(6.36)

Ako iz ovih izraza sracunamo razlike temper-

atura a zatim ih saberemo, imacemo:

t1 − t′w =q

α1, t′w − t′′w = q

δ

λ, t′′w − t2 =

q

α2,(6.37)

t1 − t2 = q

(

1

α1+

δ

λ+

1

α2

)

,(6.38)

odakle se za gustinu toplotnog fluksa dobija:

q =t1 − t2

1

α1+

δ

λ+

1

α2

= k (t1 − t2), (6.39)

gde je k5 ukupni (totalni) koeficijent prenosenja toplote (engl. overall heat transfer coef-

ficient6):

k =1

1

α1+

δ

λ+

1

α2

, (6.40)

koji se izrazava u W/(m2 C) i brojno je jednak kolicini toplote koja u jedinici vremena

protekne kroz jedinicnu povrsinu pregradnog zida sa strane toplijeg na stranu hladnijeg

fluida ako je razlika njihovih temperatura 1C. U smislu analogija sa strujama k pred-

stavlja ukupnu termicku provodnost po jedinici povrsine gth a njegova reciprocna vrednost

rth =1

k=

1

α1+

δ

λ+

1

α2, (6.41)

naziva se ukupna termicka otpornost prenosenju toplote kroz jednoslojni zid. Clanovi 1/α1i 1/α2 predstavljaju spoljne termicke otpornosti a odnos δ/λ, kao sto smo vec definisali,

unutrasnju termicku otpornost pri prolasku toplote kroz zid.

Nepoznate temperature zida mogu se odrediti iz izraza (6.37):

t′w = t1 −q

α1, t′′w = t2 +

q

α2, (6.42)

5Stari naziv za ovu velicinu je bio i k-koeficijent, novi naziv je U-koeficijent6Srece se i naziv thermal transmittance.

6.3. Prenosenje toplote strujanjem 139

sto se nakon koriscenja izraza (6.39) svodi na:

t′w = t1 −k

α1(t1 − t2), t′′w = t2 +

k

α2(t1 − t2). (6.43)

Za odredivanje ukupnog koeficijenta prenosenja toplote k neophodno je najpre odrediti

α1 i α2, koji su obicno komplikovane velicine koje kombinuju prenosenje toplote strujanjem

i radijacijom:

α = αconv + αrad. (6.44)

U slucaju viseslojnog zida, lako je izvrsiti generalizaciju:

q =t1 − t2

1

α1+

n∑

i=1

δiλi

+1

α2

= k (t1 − t2), (6.45)

k = gth =1

1

α1+

n∑

i=1

δiλi

+1

α2

, (6.46)

rth =1

k=

1

α1+

n∑

i=1

δ

λ+

1

α2. (6.47)

6.3 Prenosenje toplote strujanjem

Kako je vec receno, koncept prenosenja topote strujanjem (konvekcijom) povezan je sa

kretanjem tecnosti ili gasa. Posmatrajmo sada neki fluid koji se krece i uocimo elementarni

paralelopiped cija je jedna stranica dx a povrsina poprecnog preseka S (slika 6.6). Neka se

temperature fluida na krajevima paralelopipeda razlikuju za ∆t i neka u toku vremena dτ

kroz paralelopiped protekne fluid mase m. Zbog proticanja fluida specificnog toplotnog

kapaciteta c sa kraja na kraj uocenog paralelepipeda, prenese se kolicina toplote

Q = mc∆t. (6.48)

Na osnovu izraza (6.48), uzimajuci u obzir da je m = T T T+ D

SS

x

x

x dx+

v

Slika 6.6. Prenosenje toplote stru-janjem.

ρ S dx, mogu se definisati odgovarajuci konvektivni

toplotni fluks

Qkonv =dQ

dτ= ρ S v c∆t, (6.49)

kao i gustina toplotnog fluksa koja predstavlja vektor

kolinearna sa brzinom protoka fluida ~v:

~qconv =Qkonv

S= ρ~v c∆t. (6.50)

Prenos toplote strujanjem je redovno pracen provodenjem toplote, jer kada se neki fluid

nade u pokretu, pojedine cestice koje se nalaze na razlicitim temperaturama neizbezno

dolaze u medusobni dodir. Kao posledica toga javlja se i konduktivna komponenta

prenosenja toplote, tako da se za ukupnu gustinu toplotnog fluksa u fluidu dobija:

~q = ~qkond + ~qkonv = −λ grad t + ρ~v c∆t. (6.51)


6.4 Prenosenje toplote zracenjem. Zakoni zracenja

Toplotna energija zracenja nekog tela potice od energije molekula i atoma. Priroda

zracenja svih tela je ista - to su elektromagnetni talasi koji se prostiru kroz prostor. Izvor

termalne radijacije je unutrasnja energija zagrejanog tela. Kolicina izracene energije zavisi

uglavnom od fizickih karakteristika i temperature emitujuceg tela. U zavisnosti od talasne

duzine zracenja ono ima razlicite osobine. Zracenje koje je od najveceg interesa za proces

prenosenja toplote je ono sa talasnim duzinama λ ∈ [0.8 − 40µm], koje predstavlja tzv.

termalno zracenje.

Zracenje je proces karakteristican za sva tela. Svako telo neprekidno emituje i apsor-

buje energiju zracenja ako je njegova temperatura razlicita od 0 K. Zbog toga uvek postoji

prenosenje toplote zracenjem izmedu dva tela, cak i kada su ona na istoj temperaturi.

Kada su tela u termickoj ravnotezi kolicina emitovane i apsorbovane energije zracenja

su jednake. Spektar zracenja vecine cvrstih tela i tecnih fluida je kontinualan, tj. tela

emituju zracenje svih talasnih duzina. Skektar zracenja gasova je diskretan, tj. oni

emituju elektromagnetne zrake tacno definisane talasne duzine.

Svako telo je sposobno ne samo da emituje zracenje, vec i da ih reflektuje, apsorbuje

ili propusta kroz sebe. Ako je ukupna kolicina energije zracenja koja padne na telo W ,

onda vazi:

W = WR +WA +WT , (6.52)

gde su WR reflektovana, WA apsorbovana i WT propustena (transmitovana) energija

zracenja. Ako gornju jednacinu podelimo sa W , dobicemo

1 = r + a+ t, (6.53)

gde su r = WR/W koeficijent refleksije, a = WA/W koeficijent apsorpcije, i t = WT/W

koeficijent transmisije energije zracenja tela. Za vecinu tela vazi da je t ≈ 0.

Telo koje apsorbuje sve zrake koji padnu na njega (a = 1, r = 0, t = 0) naziva se

apsolutno crno telo, ako reflektuje sve zrake (a = 0, r = 1, t = 0) onda je to apsolutno

belo telo, a ako propusta sve zrake (a = 0, r = 0, t = 1) onda se naziva apsolutno providno

telo. Apsolutno crno, belo i providno telo u stvarnosti ne postoje, vec samo predstavljaju

granicne modele za opisivanje realnih tela. Takode, ovi nazivi nemaju direktne veze sa

stvarnom bojom tela.

Integralna apsorpciona svojstva tela odredena su preko koeficijenta apsorpcije a.

Medutim, cesto je potrebno znati kakva je apsorpcija pojedinog dela spektra zracenja.

Zato se definise jedna nova velicina, spektralna apsorpciona moc, kao odnos apsorbovane

i upadne spektralne koncentracije (gustine) fluksa zracenja (videti definiciju 3.13):

Aλ =Φa

e,λ(λ)

Φue,λ(λ)

. (6.54)

Plankov zakon zracenja crnog tela definise zavisnost spektralne koncentracije eksi-

tanse zracenja Me λ od temperature tela T i talasne duzine zracenja λ:

Me λ(T, λ) =c1λ5

1

expc2λT− 1

, (6.55)

6.4. Prenosenje toplote zracenjem. Zakoni zracenja 141

gde su c1 i c2 konstante koje imaju vrednosti c1 = 3.74 ·10−16Wm2 i c2 = 1.44 ·10−2m ·K.

Vinov zakon pomeranja. Ako nacrtamo oblik funkcije Me λ(λ) za nekoliko razlicitih

temperatura uocava se da se talasna duzina na kojoj se nalazi maksimum zracenja λm

snizava sa povisavanjem temperature. Metodama matematicke analize moze se pokazati

da su λm i T povezani relacijom

b = λm · T, (6.56)

koja se naziva Vinov zakon pomeranja,

a gde je b Vinova konstanta koja ima vrednost b = 2.9 · 10−3m ·K.

Na osnovu Vinovog zakona

T1

llmax1lmax3

lmax2

Il

T T>2 1

3T T>

2

Slika 6.7. Vinov zakon pomeranja.

(6.56), moze se sracunati da bi

temperatura crnog tela morala da

bude reda T = 4 − 7000K da bi se

maksimum zracenja nalazio u oblasti

vidljivog spektra. To prakticno znaci

se maksimum zracenja nezagrejanih

tela i tela zagrejanih do par hiljada

kelvina nalazi u oblasti infra-crvenog

dela spektra elektromagnetnih

talasa.

Stefan-Bolcmanov zakon daje zavisnost integralne eksitanse zracenja7 crnog tela

od temperature i moze se dobiti iz Plankovog zakona integracijom Me λ po svim talasnim

duzinama:

Me(T ) =

∞∫

0

Me λ(λ, T ) dλ = σ T 4, (6.57)

gde je σ tzv. Stefan-Bolcmanova konstanta koja ima vrednost σ = 5.7 · 10−8W/(m2 ·K4).Iskazano recima, moze se reci da Stefan-Bolcmanov zakon izrazava cinjenicu da je emisiona

moc crnog tela proporcionalna cetvrtom stepenu apsolutne temperature.

Realna tela koja se koriste u inzinjerskoj praksi nisu crna tela, i na datoj temperaturi

emituju manju energiju nego crna tela. Da bi se zakoni zracenja crnog tela koristili i za

realna tela, uvodi se koncept sivog tela i zracenja sivog tela. Zracenje sivog tela, prema

analogiji sa zracenjem crnog tela, ima kontinualni spektar

M (st)e (T ) =

∞∫

0

M(st)e λ (λ, T ) dλ, (6.58)

ali mu spektralna koncentracija eksitanse zracenja M(st)e λ , na svakoj temperaturi, i za bilo

koju talasnu duzinu moze biti razlicita od spektralne koncentracije eksitanse zracenja

crnog tela tj.

M(st)e,λ (λ, T )

Me,λ(λ, T )= ε(λ), (6.59)

7koja se u zakonima zracenja cesto naziva i emisiona moc u oznaci E, a po svojoj sustini predstavlja

gustinu toplotnog fluksa za izvor toplote (zracenja).


gde je ε(λ) velicina koja se naziva spektralna emisivnost. Ako sada definisemo integralnu

emisivnost (ili samo emisivnost) ε kao

ε =

∫∞

0ε(λ)Me λ(λ, T ) dλ∫∞

0Me λ(λ, T ) dλ

(6.60)

onda se Stefan-Bolcmanov zakon za sivo telo moze pisati u jednostavnom obliku:

M (st)e = ε σ T 4. (6.61)

Emisivnost zavisi od fizickih osobina tela, a narocito od stanja njegove povrsine i uzima

verdnosti od nula do jedan. U tabeli 6.3 su date vrednosti emisivnosti za neke materijale.

Kirhofov zakon povezuje spektralnu koncentraciju eksitanse zracenja i spektralnu

apsorpcionu moc. On tvrdi da odnos ove dve velicine ne zavisi od prirode tela, i da je za

sva tela neka univerzalna funkcija talasne duzine i temperature:

Me,λ

Aλ

= f(λ, T ). (6.62)

Posto je za crno telo Aλ = 1, zakljucujemo da je f(λ, T ) jednaka spektralnoj koncentraciji

eksitanse zracenja apsolutno crnog tela. Integraleci po svim talasnim duzinama dobija se

ista veza i za eksitsnsu zracenja:Me

a= f(T ), (6.63)

odakle neposrednim uvidom u (6.61) dobijamo da koeficijent apsorpcije a i emisivnost ε

imaju istu vrednost. Iz Kirhofovog zakona sledi da ako je apsorpciona moc nekog tela

mala, emisiona moc je takode mala, kao na primer kod poliranih metala (videti tabelu

6.3). Crno telo, koje poseduje veliku apsorpciju takode ima i maksimalnu emisionu moc.

Slucaj dva tela. Razmotrimo sada najjednos-1 2

Fr1

Fr2

F2

F1

Fout1

Fout2

Slika 6.8. Slucaj zracenja dva tela.

tavniji slucaj dva paralelna cvrsta tela koja zrace kao

siva tela, a cije su dimenzije velike u poredenju sa nji-

hovim rastojanjem (slika 6.8). Neka su njihovi koefi-

cijenti apsorpcije a1 i a2, emisivnosti ε1 i ε2, a temper-

ature T1 i T2 i neka tela razmenjuju toplotu iskljucivo

zracenjem (nema ni kondukcije ni konvekcije).

Ukupni fluks koji napusta prvo telo (tzv. izlazni

fluks) Φout 18 predstavlja ukupni upadni fluks za dugo

telo, i obrnuto:

Φout 1 = Φin 2,

Φout 2 = Φin 1.

Sa druge strane, ukupni izlazni fluks predstavlja zbir emitovanog i reflektovanog fluksa

(slika 6.8):

Φout 1 = Φ1 + Φr 1 = Φ1 + rΦout 2 = Φ1 + (1− a1)Φout 2, (6.64)

Φout 2 = Φ2 + Φr 2 = Φ2 + rΦout 1 = Φ1 + (1− a2)Φout 1. (6.65)

8U ovom izvodenju necemo pisati e u indeksu za fluks i eksitansu zracenja.

6.4. Prenosenje toplote zracenjem. Zakoni zracenja 143

Tabela 6.3. Vrednosti koeficijenta emisivnosti za razlicite materijale.

Materijal t (C) ε

aluminijum, poliran 50-500 0.04-0.06

bronza 50 0.1

gvozdeni lim, galvaniziran, svetli 30 0.23

kalaj, stari, beli 20 0.28

zlato, polirano 200-600 0.02-0.03

bakar, potamneli 20-350 0.22

bakar, polirani 50-100 0.02

nikl, polirani 200-400 0.07-0.09

kalaj, svetli 20-50 0.04-0.06

srebro, polirano 200-600 0.02-0.03

celicni lim, valjani 50 0.56

celik, oksidisan 200-600 0.8

celik, jako oksidisan 500 0.98

liveno gvozde 50 0.81

azbestne ploce 20 0.96

drvo, izglacano 20 0.8-0.9

fasadna cigla 500-1000 0.8-0.9

samotna cigla 1000 0.75

cigla, hrapava 20 0.88-0.93

lak, crni, potamneli 40-100 0.96-0.98

lak, beli 40-100 0.8-0.95

uljane boje, razlicite 100 0.92-0.96

cad 20-400 0.95

staklo 20-100 0.91-0.94

emajl, beli 20 0.9

Resavanjem ovog sistema jednacina dobijaju se izlazni fluksevi:

Φout 1 =Φ1 + Φ2 − a1Φ2a1 + a2 − a1a2

, Φout 2 =Φ2 + Φ1 − a2Φ1a1 + a2 − a1a2

, (6.66)

a zatim i tzv. neto fluks:

∆Φ12 = Φout 1 − Φout 2 =a2Φ1 − a1Φ2a1 + a2 − a1a2

. (6.67)

Ako pretpostavimo da je povrsina oba tela S jednaka, pa flukseve zracenja izrazimo

preko odgovarajucih eksitansi za koje vazi Stefan-Bolcmanov zakon

Φ1 = S ·M1 = S ε1 σ T 41 , Φ2 = S ·M2 = S ε2 σ T 42 , (6.68)

te konacno uzmemo u obzir i Kirhofov zakon po kome je a = ε, za neto fluks dobijamo

∆Φ12 =a1a2

a1 + a2 − a1a2S σ(T 41 − T 42 ). (6.69)


Relacija (6.69) pokazuje da je neto fluks zracenja izmedu dva tela zavisi od apsorpcionih

svojstava njihovih povrsina i da je direktno proporcionalan razlici cetvrtih stepena nji-

hovih apsolutnih temperatura, za razliku od procesa kondukcije i konvekcije gde je toplotni

fluks proporcionalan razlici prvih stepena temperatura. To objasnjava veliku vaznost koju

ima toplotna razmena zracenjem u slucaju kada temperaturna razlika dvaju tela raste.

6.5 Atmosfera

Rec atmosfera koja oznacava spoljni gasoviti omotac Zemlje, dolazi od grckih reci

ατµoζ = para i σϕερα = lopta, i prestavlja mehanicku smesu stalnih gasova, hemijskih

jedinjenja i raznih gasovitih, tecnih i cvrstih dodataka.

Gornja granica atmosfere nije jasno izrazena, ona postepeno prelazi u meduplanetarni

prostor. Ukupna masa atmosfere iznosi Ma = 5.2 · 1018 kg, sto predstavlja priblizno

milioniti deo mase Zemlje MZ = 6 · 1024 kg. Priblizno 50% mase atmosfere nalazi se u

prizemnom sloju do visine 5 km, 75% na visini do 10 km 90% do 16 km, 95% do 20 km a

99% ukupne mase atmosfere do visine od 35 km. U odnosu na poluprecnik Zemlje koji

iznosi RZ = 6378 km, debljina atmosfere je zanemarljivo mala.

Sastavni delovi atmosfere su:

• gasovi - koji su postojani u odredenim medusobnim razmerama;

• aerosoli - cvrste i tecne cestice nastale prirodnim ili industrijskim procesima (ces-

tice prasine, morske soli, dima, kondenzovana vodena para), ciji udeo u sastavu

atmosfere moze biti vrlo promenljiv;

• vodena para - gas ciji je udeo u sastavu atmosfere takode promenljiv.

Vazduh bez aerosola i vodene pare naziva se suvi vazduh i karakterise se nepromenljivim

sastavom. Posto je koncentracija aerosola relativno mala, atmosferski vazduh najcesce se

posmatra kao smesa suvog vazduha i vodene pare.

Osnovne komponente suvog vazduha ostaju postojane do visina od oko 35 km. Jedinica

zapremine suvog vazduha sadrzi: 78.1% azota (N2), 20.9% kiseonika (O2), 0.9% argona

(Ar), 0.03% ugljen dioksida (CO2), 0.002% neona (Ne), 0.0005% helijuma (He), 0.0001%

metana (CH4), a manje nego metana ima: kriptona (Kr), vodonika (H2), azot dioksida

(NO2), ozona (O3) i ksenona (Xe).

Prema fizickim procesima koji se desavaju u njoj, atmosfera se moze podeliti na tri

sloja:9 troposferu, stratosferu i jonosferu.

Troposfera predstavlja prvi sloj atmosfere. Visina troposfere nije ista za razlicite

tacke na povrsini Zemlje. Na ekvatoru njena visina je 14−16 km, na geografskim sirinama

od oko 45 10− 11 km, a na polovima 8− 9 km.

Vazna karakteristika troposfere je zagrevanje atmosferskog vazduha i njegovo kretanje

uvis. Temperatura troposfere opada sa visinom oko 0.5 − 0.6C na svakih 100m sve do

9Ova podela je prilicno pojednostavljena. U stvarnosti, postoji vise slojeva i medu slojeva: tropos-

fera, tropopauza, stratosfera, stratopauza, mezosfera, mezopauza, jonosfera (termosfera), termopauza i

egzosfera.

6.5. Atmosfera 145

temperature od −50 do −70C. Jos jedna vazna osobina troposfere vezana je za prisustvo

ugljen dioksida u njoj.

Ugljen dioksid je sa bioloske tacke gledista vazan gas jer predstavlja bazu za izgrad-

nju organskih supstanci u procesu fotosinteze, zapocinjuci lanac ishrane zivih bica. Sa

meteoroloske tacke gledista ugljen dioksid ima veliki uticaj na toplotni bilans atmosfere.

On nastaje oksidacijom organskih jedinjenja, pri sagorevanju, disanju, itd. Pri vulkan-

skim erupcijama oslobada se iz Zemljine kore. Zbog toga se koncentracija ugljen dioksida

menja u prostoru i u toku vremena. U toku dana ima ga manje nego nocu, zimi ga ima

vise nego leti, nad kopnom ga takode ima vise nego nad morima i okeanima. Narocito je

izrazeno njegovo prisustvo nad naseljenim mestima i u industrijskim oblastima.

Ugljen dioksid je gas koji stvara efekat ”staklene baste”. On ima osobinu da apsorbuje

deo dugotalasnog infracrvenog zracenja sa Zemlje, pa potom deo emituje u vasionu, a deo

reflektuje na Zemlju. Povecanjem kolicine ugljen dioksida u atmosferi, povecava se deo

dugotalasnog infracrvenog zracenja koje se vraca na Zemlju. Tako dolazi do povecanja

temperature, a kako je proces prisutan na celoj planeti, nastaje globalno otopljenje.

Stratosfera predstavlja sloj atmosfere koji se prostire od kraja troposfere pa do nekih

50 km iznad povrsine Zemlje. Sa povecavanjem visine, temperatura stratosfere je najpre

konstantna, a zatim raste, tako da na visini od oko 30 − 40 km dostize vrednost od oko

50C. Ovaj efekat se moze pripisati ozonu.

Ozon je takode izuzetno vazan gas u atmosferi. Njegova koncentracija je vrlo mala, u

jedinicnoj zapremini suvog vazduha ima svega 4 ·10−5% ozona. Kada bi se celokupni ozon

iz atmosfere sveo na normalne uslove p = 1013mb i t = 0C cinio bi omotac oko Zemlje

debljine svega 3mm. Ovako mala kolicina ozona apsorbuje deo ultravioletnog Suncevog

zracenja koje cini oko 1.5% ukupne Sunceve energije usmerene prema Zemlji. Ovom

apsorpcijom ultravioletnog zracenja stiti se zivi svet na Zemlji. Pre postojanja kiseonika i

ozona u atmosferi, zivot se mogao razvijati samo u okeanima, pod zastitnim slojem vode.

Gornji sloj ozonskog omotaca apsorbujuci ultravioletno zracenje znatno zagreva vazduh

u stratosferi.

Jonosfera je najvisi sloj atmosfere cija donja granica pocinje negde na oko 50−60 km

iznad povrsine Zemlje, a gornja granica se proteze sve do preko 300 000 km u visinu. Ovaj

sloj atmosfere je jonizovan, te otud potice njegovo ime, a us sastavu dominiraju helijum

i vodonik. Predeli najjace jonizacije nalaze se do oko 500 km iznad Zemlje, pa se cesto

termin jonosfera upotrebljava upravo za ovu oblast.

Po svom hemijskom sastavu jonosfera je u donjem delu pretezno sastavljena od

molekula azota i kiseonika, u visim predelima pored molekularnog azota ima kiseonika

u atomskom stanju, a u jos visim i azota u atomskom stanju. Temperatura jonosfere

najpre opada sa porastom visine, a zatim raste do oko 100C. Posto se nalazi iznad ozon-

skog zastitnog sloja, jonosferu karakterise postojanje UVC zracenja velikih energija koje

jonizuje prisutne atome i molekule. Ulazeci u Zemljinu atmosferu, koja je sa svoje gornje

strane vrlo razredena i sve gusca sto se ide ka povrsini Zemlje, ultraljubicasti zraci gornje

predele atmosfere znatno jace jonizuju. Ulazeci sve dublje, ovi zraci gube svoju energiju

usled sve cesceg sudaranja i u nizim predelima ne vrse vise tako intenzivnu jonizaciju kao

u gornjim predelima. Tako se dobija da su gornji slojevi jonosfere znatno vise jonizo-

vani nego donji. Posto ultraljubicasti zraci sa Sunca obuhvataju relativno veliki opseg


frekvencija i posto se atmosfera sastoji iz atoma i molekula razlicitih elemenata na koje

ultraljubicasti zraci razlicitih frekvencija razlicito deluju, to se u atmosferi ne stvara samo

jedan jonizovani sloj vec vise slojeva od kojih se sastoji jonosfera. Tako razlikujemo cetiri

osnovna sloja jonosfere: sloj D, sloj E, sloj F1 i sloj F2, a osim ovih ponekad se javljaju

i neki meduslojevi. Sloj D nalazi se na visini od oko 70 km, sloj E na oko 100, sloj F1 na

oko 200, a sloj F2 na oko 400 km iznad Zemlje.

Slojevi jonosfere karakterisu se promenom gustine slobodnih elektrona. Ove varijacije

desavaju se u toku dana, godine, ali i u visegodisnjim ciklusima koji se poklapaju sa

pojavom povecanja i smanjenja broja Suncevih pega i ciji je period 11 godina. Naelek-

trisane cestice u jonosferu konstantno pristizu sa Sunca. To je takozvani Suncev vetar ciji

intenzitet neprestano varira. Pojacani Suncev vetar pracen je vrlo snaznim promenama

Zemljinog magnetnog polja koje se nazivaju magnetne bure, kada klasicni kompasi postaju

prakticno neupotrebljivi i dolazi do smetnji u radio saobracaju. Zahvaljujuci Zemljinom

magnetnom polju suncev vetar tesko prolazi u jonosferu, osim na polovima. Zbog toga

se u jonosferi javlja jos jedan fenomen vezan za Zemljino magnetno polje, tzv. polarna

svetlost, koja je vidljiva sa velikih geografskih sirina (od oko 80 i na severnoj i na juznoj

hemisferi). Ova svetlost se naziva aurora borealis na severu i aurora australis na jugu,

i posledica je fluktuacija Zemljinog magnetnog polja u jonosferi izazvanog prodiranjem

snaznog Suncevog vetra.

Pored ultravioletnih zraka, na jonizaciju jonosfere utice i tzv. primarno kosmicko

zracenje (o kome ce vise reci biti kasnije), kao i kosmicka prasina. Medutim, ova delovanja

su prakticno bez nekog znacaja na stanje jonosfere.

6.6 Vlaznost vazduha. Kondenzovanje vodene

pare u atmosferi

Kada govorimo o vlaznosti vazduha onda razlikujemo apsolutnu, maksimalnu i rela-

tivnu vlaznost.

Apsolutna vlaznost predstavlja masu vodene pare prisutne u 1m3 vazduha.

Maksimalna vlaznost predstavlja maksimalnu masu vodene pare koju vazduh moze

da sadrzi u 1m3 na datoj temperaturi. Ako masa vodene pare prede vrednost maksimalne

vlaznosti, dolazi do kondenzacije, tj. vazduh postaje zasicen vodenom parom.

Relativna vlaznost predstavlja kolicnik apsolutne i maksimalne vlaznosti.

Maksimalna vlaznost zavisi od temperature vazduha. Ukoliko je vazduh topliji, veca je

maksimalna vlaznost. Sa snizavanjem temperature vazduha opada maksimalna vlaznost

dok je apsolutna vlaznost nepromenljiva, sto za posledicu ima porast relativne vlaznosti.

Ukoliko se temperatura dovoljno snizi, relativna vlaznost dostize 100%. Ta temperatura

na kojoj dolazi do kondenzacije naziva se tacka rose.

Instrumenti za merenje vlaznosti su higrometar i psihrometar. Postoje dve vrste hi-

grometara: higrometri sa uglacanom povrsinom i higrometri s dlakom. Kod prvih, dolazi

do hladenja suda sa uglacanom povrsinom i merenja temperature na kojoj povrsina

postaje zamagljena - tacke rose, pa se na osnovu temperature vazduha i tacke rose iz

psihrometrijskih tablica odreduje relativna vlaznost. Slican je princip rada psihrometra,

6.6. Vlaznost vazduha. Kondenzovanje vodene pare u atmosferi 147

koji se sastoji od dva termometra, obicnog - ”suvog” i ”mokrog” ciji je rezervoar obavijen

mokrim platnom. Razlika pokazivanja ova dva termometra je proporcionalna isparavanju

sa platna, koje je utoliko vece ukoliko je vazduh suvlji, pa se na osnovu tablica moze

odrediti relativna vlaznost vazduha. Princip rada higrometra sa ljudskom dlakom zasniva

se na cinjenici da cista vlas kose menja duzinu pri promeni relativne vlaznosti.

Vodena para je od posebnog znacaja kako za zivot na Zemlji tako i za klimu. U

tropskim predelima vodena para dostize i 4% sastava vazduha, dok se u zimskoj sezoni

na Arktiku i Antartiku nalazi samo u tragovima.

Vodena para ulazi u atmosferu isparavanjem vode sa okeana, mora, jezera, reka, tla, i

slicno. Kondenzacijom i kristalizacijom vodene pare nastaju hidrometeori.

Hidrometeori su pojave koje mogu da se osmotre u atmosferi ili na Zemljinoj povrsini

u vidu lebdenja, padanja ili talozenja tecnih ili cvrstih cestica vodenog sastava: oblaci,

magla, kisa, rosa, slana, inje, sneg, grad.

Oblaci nastaju usled adijabatskog hladenja vlaznog vazduha pri izdizanju uvis. Sa

snizavanjem temperature vazduh postaje zasicen vodenom parom i para koja predstavlja

nevidljivi gas prelazi u vrlo sitne kapljice, precnika 1 − 120µm. Zbog toga ove kapljice

padaju vrlo sporo pa ih i najsporiji vetar moze horizontalno pomerati, pa cak i uzdizati.

Prema svom obliku i visini oblaci imaju razlicita imena10. Cirusi su paperjasti oblaci,

visoki 8 − 9 km, sastavljeni iz ledenih iglica i potpuno bele boje. Kumulusi (gomilasti

oblaci) predstavljaju gomile belicasto sivih oblaka sa horizontalnom donjom povrsinom

na visini od oko 1− 3 km i brezuljkastom gornjom povrsinom na visini koja moze preci i

12 km. Stratusi su niski (do 1000m) tamno sivi oblaci koji u obliku horizontalnih pantljika

zastiru nebo. Nimbusi su crni oblaci razlicitog oblika, koji su vrlo bliski zemlji (do 200m)

i daju kisu.

Magla se od oblaka razlikuje samo po mestu postanka, oblaci se javljaju u visinama

a magla u prizemlju. Ona nastaje kada preko hladnog zemljinog tla duva topao i vlazan

vazduh ili kada preko jezera, reka i mocvara duva hladan vetar. Moze nastati i laganim

rashladivanjem mirnog vazduha do tacke rose (jesenje magle).

Kisa postaje kao i oblaci rashladivanjem vlaznog vazduha, samo je ovde hladenje

intenzivnije. Pri tome se sitne kapljice spajaju u krupne kapi, precnika 0.5− 7mm, koje

padaju na zemlju kao kisa.

Sneg predstavlja kristale leda koji postaju kada je temperatura vazduha niza od 0C.

Grad predstavlja ledene komade, koji poticu iz gornjih slojeva oblaka. Oni mogu

dostici velicinu jajeta, javljaju se za vreme letnjih oluja.

Rosa i slana nastaju kondenzovanjem vodene pare iz vlaznog vazduha usled dodira

sa hladnim predmetima (travom, liscem), cija je temperatura niza od tacke rose, tj. pri

stvaranju slane niza i od 0C.

Inje postaje kada prehladene (ispod 0C) vodene kapljice magle, terane vetrom, dodu

u dodir sa cvrstim telima, pri cemu se naglo slede i nahvataju na njima.

10Podela data u tekstu predstavlja pojednostavljenu podelu oblaka. Za osmatranje oblaka i pojva koje

ih prate u celom svetu koristi se jedinstveni Medu narodni atlas oblaka. U njemu je definisano deset

rodova (sa pratecim vrstama i podvrstama) oblaka. To su cirus, cirokumulus, cirostratus (visoki oblaci),

altokumulus, altostratus (srednji oblaci), nimbostratus, stratokumulus, stratus (slojasti oblaci), kumulus

i kumulonimbus (oblaci vertikalnog razvoja)


6.7 Difuzija

Spontani proces prelazenja molekula materije, u jednokomponentnoj, dvokomponent-

noj ili visekomponentnoj sredini, pod uticajem slucajnog termalnog kretanja molekula u

uslovima nejednakih koncentracija, iz oblasti vise u oblast nize koncentracije, naziva se

difuzija. Ukoliko je sredina jednokomponentna, difuzija se naziva autodifuzija (samodi-

fuzija).

Difuzija je proces koji se odvija u sva tri agregatna stanja u svim kombinacijama, (tj.

gasa kroz cvrsto, gasa kroz tecno, gasa kroz gasovito agregatno stanje, itd.) po istim

zakonima. Difuzija gasa kroz gas odvija se najbrze.

Difuzija predstavlja transportni proces u kome se transportuju cestice, koje sa sobom

prenose svoju masu, a eventualno i svoje naelektrisanje (ako su u pitanju naelek-

trisane cestice). Problem transporta naelektrisanja proucavan je u poglavlju 5, dok se

u ovom poglavlju proucava transport mase, koji je od velikog interesa u gradevinsko-

arhitektonskih problemima. Na osnovu analogije sa do sada analiziranim transportnim

procesima i sada se mogu definisati karakteristicne velicine kojima se taj transport opisuje.

U slucaju difuzije to su protok mase G i gustina protoka mase g. Protok mase (ili difuzioni

fluks) se definise kao kolicina mase koja u jedinici vremena prode kroz neku povrsinu u

pravcu normale na povrsinu:

G =dm

dt[=]

kg

s. (6.70)

Gustina protoka mase (ili gustina difuzionog fluksa) je protok mase po jedinici povrsine:

g =dG

dS=

dm

dt dS[=]

kg

m2 s. (6.71)

Gustina protoka mase je vektorska velicina, pa se difuzioni fluks moze da izrazi kao fluks

vektora gustine protoka mase kroz posmatranu povrsinu:

dG = ~g · d~S, G =

∫

S

~g · d~S. (6.72)

Zakoni difuzije su, matematicki gledano, analogni zakonima provodenja toplote, pa se

izmedu odgovarajucih velicina moze uspostaviti korespodencija. Na taj nacin, analogija

uspostavljena izmedu Omovog zakona kod elektricnih struja i Furijeovog zakona kod

provodenja toplote moze se sada prosiriti i na proces difuzije pri cemu ulogu osnovnog

zakona difuzije igra I Fikov zakon. Jedina razlika u odnosu na provodenje toplote je to sto

temperaturskom polju kod provodenja toplote11 kod difuzije mogu odgovarati tri razlicita

polja,12 polje gustine, molarne koncentracije ili pritiska. (videti tabelu 6.4).

I Fikov zakon u procesima difuzije predstavlja analogon Furijeovom zakonu

provodenja toplote i Omovom zakonu kod elektricnih struja, i definise proporcionalnost

gustine protoka mase i gradijenta gustine:

~g = −D grad ρ, (6.73)

11odnosno polju elektricnog potencijala kod proticanja elektricnih struja;12sva tri polja odnose se na materijal koji difunduje i proisticu iz polaznog polja koncentracije, tj. broja

cestica u jedinici zapremine.

6.7. Difuzija 149

Tabela 6.4. Analogija izmedu velicina karakteristicnih za difuziju (D), provodenje toplote (T),

i elektricnu struju (E)

D masa m

T kolicina toplote Q

E naelektrisanje Q

D protok mase (difuzioni fluks) G

T toplotni fluks Q

E jacina struje I

D gustina protoka mase (gustina difuzionog fluksa) g

T gustina toplotnog fluksa q

E gustina struje J

D polje gustine ρ(x, y, z, t)

D polje molarne koncentracije C(x, y, z, t)

D polje pritiska p(x, y, z, t)

T polje temperature t(x, y, z, τ)

E elektricni potencijal V (x, y, z, t)

gde jeD koeficijent difuzije koji se izrazava u m2/s. U slucaju jednodimenzionog problema,

ova jednacina se pojednostavljuje i svodi na oblik:

g = −Ddρ

dx. (6.74)

I Fikov zakon se moze napisati u jos dva alternativna oblika ukoliko se umesto gustine

uvede molarna koncentracija C, ili parcijalni pritisak p (sto se koristi ako je difundujuca

supstanca u gasovitom stanju). Uvodeci molarnu koncentraciju C kao broj molova sup-

stance u jedinici zapremine C = nm/V , dobijamo:

ρ =m

V=

nm M

V= M C, (6.75)

sto (6.73) svodi na

~g = −M D gradC = −DC gradC, (6.76)

ili u jednodimenzionom slucaju

g = −M DdC

dx= −DC

dC

dx, (6.77)

gde je DC koeficijent difuzije u izrazima sa molarnom koncentracijom koji se izrazava u

(kg ·m2)/(mol · s).Ako iz jednacine stanja idealnog gasa izrazimo ρ u funkciji p:

p V =m

MRT ⇒ ρ =

m

V=

pM

RT, (6.78)

I Fikov zakon se moze napisati u obliku:

~g = − DM

RTgrad p = −Dp grad p, (6.79)


tj. u jednodimenzionom slucaju kao

g = − DM

RT

dp

dx= −Dp

dp

dx, (6.80)

gde je Dp koeficijent difuzije u izrazima sa pritiskom koji se izrazava u sekundama.

Znak minus u jednacinama (6.73), (6.74), (6.76), (6.77), (6.79) i (6.80) oznacava da se

difuzija odvija sa mesta vece na mesto manje gustine (koncentracije, pritiska). Koeficijent

difuzije D (a samim tim i DC i Dp) je karakteristika:

• materijala kroz koji se odvija difuzija,

• materijala ciji molekuli difunduju.

U najgeneralnijem slucaju D zavisi od gustine materijala koji difunduje i temperature

sredine, pa I Fikov zakon postaje nelinearna relacija:

~g = −D(ρ, T )grad ρ. (6.81)

Ovakav pristup problemima difuzije, prevazilazi granice nasega kursa.

II Fikov zakon predstavlja opstu diferencijalnu jednacinu koja opisuje proces difuzije,

i odgovara diferencijalnoj jednacini provodenja toplote u analogiji difuzije i provodenja

toplote. U slucaju konstantnog koeficijenta difuzije, i jednodimenzione analize II Fikov

zakon se moze napisati u tri razlicita vida kao:

dρ

dt= D

d2ρ

dx2,

dC

dt= D

d2C

dx2,

dp

dt= D

d2p

dx2. (6.82)

Primecujemo da se u sva tri oblika II Fikovog zakona pojavljuje samo jedan koeficijent

difuzije D.

6.8 Difuzija i kondenzacija vodene pare

6.8.1 Difuzija vodene pare

Kod vodene pare cesto je pogodna upotreba relativnog koeficijenta vodene pare koji

se definise kao kolicnik koeficijenta difuzije vodene pare kroz vazduh i koeficijenta difuzije

vodene pare kroz neki drugi materijal:

µ =Du vazduhu

Du materijalu

. (6.83)

Supstance kod kojih je µ ≈ 1 nazivaju se paropropustljive, a one sa µÀ 1 parozaptivne.

Posmatrajmo difuziju vodene pare kroz zid, i odlucimo se za jednacine sa parcijalnim

pritiskom vodene pare u vazduhu koji se nalazi u porama zida. Na osnovu analogije sa

provodenjem toplote, za slucaj jednoslojnog zida (slika 6.9) mozemo odmah napisati:

g = const = −Dpp′′w − p′w

δ=

Dp

δ(p′w − p′′w) =

p′w − p′′wrpd

, (6.84)

6.8. Difuzija i kondenzacija vodene pare 151

p

p’w

p”w

d

x

Dp.

.

Slika 6.9. Profil parcijalnog pritiskavodene pare u jednoslojnom zidu.

p

p’w p

12

p23

p”w

x

Dp1 Dp2Dp3

d1

d2 d

3

. .. .

Slika 6.10. Profil parcijalnog pritiska vodene pare uviseslojnom zidu.

gde je δ debljina zida, p′w i p′′w parcijalni pritisci vodene pare na krajevima zida, a rpddifuziona otpornost jedinicne povrsine u jednacinama sa pritiskom:

rpd =δ

Dp

=δ R T

DM. (6.85)

Profil parcijalnog pritiska vodene pare u zidu je linearan:

p(x) = p′w −g

Dp

x. (6.86)

U slucaju viseslojnog zida (slika 6.10), odgovarajuce jednacine su:

g = const =p′w − p′′wn∑

i=1

δiDp i

=p′w − p′′wrpd uk

, (6.87)

gde je rpd uk ukupna difuziona otpornost viseslojnog zida:

rpd uk =n∑

i=1

δiDp i

. (6.88)

6.8.2 Kondenzacija vodene pare

Kondenzacija vodene pare nastaje kada parcijalni pritisak vodene pare dostigne par-

cijalni pritisak zasicenja, a to se moze desiti na tri nacina:

• kada se pri konstantnoj temperaturi povecava koncentracija vodene pare cime se

povecava i njen parcijalni pritisak;

• kada se pri konstantnoj koncentraciji vodene pare snizava temperatura cime se smanjuje

parcijalni pritisak zasicenja;

• kombinacijom prethodna dva nacina.

Stete koje prouzrokuje kondenzacija krecu se od narusavanja estetskog izgleda, preko

ugrozavanja zdravlja, do ozbiljnih ostecenja materijala i konstrukcija. Posledice konden-

zacije su magljenja i curenja na povrsinama, pojava budi na povrsinama i u materijalima,

korozija, promena fizickih i toplotnih karakteristika materijala i konstrukcija.

Pojava kondenzacije na gradevinskim objektima javlja se u dva oblika:


ps1

ps1

p1

p1

b) c)a)

T; p T; p

T

p

ps

x xx

T1

T2

p2

p2 p

s2

ps2

p

.

.

.

.

.

.

..

...

. .

...

Slika 6.11. Raspodela temperature, pritiska zasicene vodene pare i pritiska vodene pare u tri

razlicita slucaja.

• povrsinska kondenzacija koja nastaje kada je topao i vlazan vazduh u dodiru sa

hladnim povrsinama;

• kondenzacija u zidu koja nastaje prilikom difundovanja vodene pare kroz zid.

Kao jedna od najboljih metoda za otklanjanje povrsinske kondenzacije je uvodenje

ventilacije, koja onemogucava konstantno prisustvo toplog i vlaznog vazduha u blizini

rashladenih povrsina. O ovim problemima vise se uci u strucnim predmetima.

Kondenzacija u zidu

Da bi ilustrovali ovaj fenomen posmatrajmo porozan ravan zid. Neka je u prvom

slucaju uspostavljena hidro-termicka ravnoteza, tj. u zidu postoji konstantno polje tem-

perature, samim tim konstantan je i parcijalni pritisak zasicenja vodene pare pz, a kon-

stantna je i vrednost parcijalnog pritiska vodene pare p, pri cemu vazi da je p < pz pa nema

kondenzacije (slika 6.11.a). Ako se sada jedna strana (spoljna) zida ohladi, uspostavice

se nova ravnotezna raspodela temperature sa linearnim profilom duz zida. Ovom temper-

aturskom profilu odgovara eksponencijalna promena parcijalnog pritiska vodene pare pz.

Slicno kao i temperatursko polje, polje parcijalnog pritiska vodene pare dobice linearni

profil, pri cemu su moguca dva slucaja:

• profil parcijalnog pritiska vodene pare nalazi se ispod profila parcijalnog pritiska

zasicenja vodene pare (tj. p(x) < ps(x) za svako x) kada ne dolazi do kondenzacije

(slika 6.11.b);

• profili parcijalnog pritiska vodene pare i parcijalnog pritiska zasicenja vodene pare

se seku pri cemu dolazi do kondenzacije vodene pare u oblasti u kojoj vazi p(x) ≥ ps

(slika 6.11.c).

Posmatrajmo sada zid u kome postoje profili parcijalnog pritiska vodene pare i parci-

jalnog pritiska zasicenja vodene pare kao na slici 6.12. Kondenzacija vodene pare desavace

se u oblasti x ∈ (x1, x2). Kondenzovana masa vodene pare po jedinici povrsine zida u

6.8. Difuzija i kondenzacija vodene pare 153

jedinici vremena bice jednaka razlici gustina protoka mase u oblasti x ∈ (0, x1) i u oblasti

x ∈ (x2, δ):

gkond = g1 − g2 = Dp

(

p′w − p1x1

− p2 − p′′wδ − x2

)

, (6.89)

gde su p1 i p2 pritisci na mestima preseka profila x1 i x2:

ps1

ps2

pw2

pw1

p1

p2

dx1

d1 d

2

x2

p

..

..

Slika 6.12. Jednoslojni zid krozkoji difunduje vodena para. Sra-firana oblast odgovara oblastikondenzacije.

p1 = p(x1) = ps(x1),

p2 = p(x2) = ps(x2).

Radi smanjivanja gubitaka toplote, cesto se u zidove

gradevinskih objekata ugraduje termoizolacioni sloj, koji

ima za zadatak povecanje toplotne otpornosti zida, koje

rezultira povisavanjem temperature unutrasnje strane

zida. Medutim, uvodenje sloja termoizolacije u kon-

strukciju moze dovesti do pojave unutrasnje konden-

zacije u materijalu. Zbog toga se problemima provode-

nja toplote i difuzije vodene pare uvek mora pristupati

objedinjeno - primenjujuci termodifuzionu analizu.

Da bi ilustrovali ovu povezanost, posmatrajmo na-

jpre jednostavan primer dvoslojnog zida kod koga se ko-

eficijenti toplotne provodnosti slojeva razlikuju (λ1 6=λ2), a koeficijenti difuzije prakticno ne razlikuju (Dp 1 ≈ Dp 2). Postoje dve mogucnosti

za postavljanje termoizolacionog sloja koji se karakterise niskom vrednoscu koeficijenta

termicke provodnosti λ1 < λ2, gde je λ2 koeficijent toplotne provodnosti preostalog dela

zida:

• termoizolacioni sloj se postavlja sa unutrasnje strane zida, na mestu vise tempera-

ture T1;

• termoizolacioni sloj se postavlja sa spoljasnje strane zida, na mestu nize temperature

T2;

Odgovarajuci profili temperatura u zidu prikazani su na slici 6.13. Strmina profila tem-

perature obrnuto je proporcionalna sa λ kako to sledi iz jednacine koja je izvedena za

temperaturu na razdvojnoj povrsini slojeva dvoslojnog zida:

T12 = T ′w −

q

λx. (6.90)

Primecujemo da ce zbog toga u prvom slucaju profil temperature imati vecu strminu

u prvom delu zida, sto rezultuje i odgovarajucim profilom parcijalnog pritiska zasicenja

vodene pare (slika 6.13.a). U drugom slucaju situacija je obrnuta (slika 6.13.b). Ako sada

pretpostavimo da je na spoljasnjoj strani zida vazduh priblizno u zasicenju (p(δ) ≈ ps(δ)),

onda vidimo da ce se u slucaju postavljanja termoizolacionog sloja na unutrasnju stranu

zida pojaviti kondenzacija vodene pare u zidu.

Zakljucak da se termoizolacioni sloj treba da nalazi sa spoljasnje strane da bi se izbegla

kondenzacija u zidu je nepovoljan sa stanovista termoizolacije. Gradevinski materijali koji


T

T1

l1 l2

T2 x

l1l2

x

T

p

p p=s2 2

x

p p=s2 2

b)a)

x

p1

ps1

p

. .

.

.

. .

.

..

.

... .

Slika 6.13. Dvoslojni zid sa razlicitim redosledom termoizolacionog sloja; (a) ima kondenzacije;

(b) nema kondenzacije.

imaju dobra termoizolaciona svojstva (pecena pluta, smolasta pluta, poliuretan, polis-

tiroli, presovane ploce od vlakana drveta i slame, ploce od drvene vune, itd.) ne samo sto

nemaju dobra mehanicka svojstva da bi se nasli na spoljasnjoj strani zida, nego imaju

izrazenu osobinu upijanja vlage, cime se povecava koeficijent toplotne provodnosti i tako

smanjuje termoizolacija.

Da bi se sprecila pojava kondenzacije u zidu, osim pravilnog termodifuzionog projekto-

vanja zidova na raspolaganju stoji i koriscenje parnih brana. Parne brane su parozaptivni

slojevi (sa velikom vrednoscu relativnog koeficijenta difuzije µ), koji delimicno ili potpuno

sprecavaju prolaz vodene pare koja difunduje kroz zid. To su pvc i aluminijumske folije,

kao i njihove kombinacije, a rede bitumenske trake.

Za konstrukcije u kojima ne postoji parna brana cesto se kaze ”konstrukcija dise”.

Istrazivanja vrsena u Svedskoj pokazuju da je kvalitet vazduha u stanovima gradenim na

klasican nacin sa masivnim zidovima od opeke znatno bolji, sa manjom koncentracijom

bakterija, od onih koji su gradeni sa sendvic zidovima koji u sebi sadrze parnu branu.

Glava 7

Nuklearna fizika

7.1 Sastav i osobine jezgra

Rec atom potice od grcke reci ατoµoς sto znaci nedeljiv. Do kraja IXX veka smatralo

se da je atom najjednostavnija, nedeljiva cestica, Medutim, dalji razvoj nauke opovrgao je

ovo misljenje i pokazao da je atom vrlo slozen fizicki sistem. Izucavanjem elektroprovod-

nosti gasova i metala ustanovljeno je da u sastav atoma ulaze negativno naelektrisane

cestice, koje su nazvani elektroni, i cija je masa me vrlo mala u odnosu na masu atoma.

Posto je atom u celini elektroneutralan, u njemu se pored negativno naelektrisanih, moraju

nalaziti i pozitivno naelektrisane cestice. Prema planetarnom modelu atoma1 atom se sas-

toji od pozitivno naelektrisanog jezgra oko koga kruze elektroni kao planete oko Sunca

cineci tzv. omotac2. Atomsko jezgro je centar atoma oko koga se krecu elektroni a njegov

poluprecnik je reda 10−15m, sto je oko oko 105 puta manje od poluprecnika samog atoma.

Sa druge strane, masa jezgra cini 99.9% mase celog atoma, sto cini da je gustina u jezgru

reda fantasticnih 1017 kg/m3.

Cestice koje cine jezgro (nukleus), nazivaju se nukleoni. Nukleoni su protoni i neutroni:

• Proton (p) je jezgro atoma vodonika. Poseduje pozitivno naelektrisanje od jedne

elementarne kolicine naelektrisanja (+e) i masu u mirovanju:

mp = 1.0073 ajm3 = 1836me (7.1)

• Neutron (n) je elektricni neutralna cestica. Njegova masa u mirovanju je:

mn = 1.0087 ajm = 1836.6me (7.2)

Svako jezgro poseduje tri karakteristicna broja:

• Z - redni broj elementa (atomski broj) - odreduje mesto elementa u Periodnom

sistemu i broj protona u jezgru (tj. njegovo naelektrisanje),

1koga je postavio Radeford, 1911. godine;2Po trenutno aktuelnom kvantno-mehnickom modelu atoma oko jezgra se nalazi elektronski oblak, tj.

prostor u cijoj svakoj tacki se sa odredenom verovatnocom moze lokalizovati elektron.3U atomskoj fizici se kao jedinica za masu koristi tzv. atomska jedinica mase, u oznaci ajm, pri cemu

je 1ajm = u = 1.66 · 10−27 kg

155

156 Glava 7. Nuklearna fizika

• N - broj neutrona u jezgru, i

• A - maseni broj - broj nukleona u jezgru, pri cemu vazi:

A = Z +N. (7.3)

U oznaku jezgra osim oznake elementa ulaze i redni (kao indeks) i maseni broj (kao

stepen), tj. element X oznacava se kao AZX ili ZX

A.

U zavisnosti od karakteristicnih brojeva jezgra razlikujemo:

• jezgra koja imaju isti broj protona a razlicit broj neutrona nazivaju se izotopi - npr.

8O17 i 8O

18 ili 1H1, 1H

2 i 1H3;

• jezgra koja imaju isti broj neutrona a razlicit broj protona nazivaju se izotoni - npr.

6C13 i 7N

14;

• jezgra sa istim masenim brojem nazivaju se izobari - npr. 18Ar40 i 20Ca

40.

Danas je poznato preko 1 500 razlicitih jezgara. Samo 1/4 ovih jezgara je stabilna, dok

su ostala radioaktivna. Mnoga jezgra dobijena su vestacki, pomocu nuklearnih reakcija.

U prirodi se nalaze elementi sa rednim brojem Z od 1 do 92, iskljucujuci tehnicijum Tc

(Z = 43) i prometijum Pm (Z = 61), koji su dobijeni vestacki. Plutonijum Pu (Z = 94) je

najpre dobijen vestacki, pa je zatim pronaden i u prirodi, ali u veoma malim kolicinama.

Vestacki su dobijeni i ostali transuranski elementi od rednog broja 93 do 105.

Izmedu nukleona u jezgru postoji veoma jaka interakcija koja ima privlacni karakter i

odrzava nukleone na rastojanju reda 10−15m, bez obzira na vrlo intenzivno elektrostaticko

odbijanje izmedu protona. Ove interakcije nazivaju se nuklearne sile i njihove osnovne

osobine su sledece:

• Nuklearne sile su vrlo kratkog dometa. Pri rastojanjima izmedu nukleona vecim od

2 · 10−15m njihovo dejstvo se vec ne oseca. Na rastojanjima manjim od 10−15m

privlacni karakter nuklearnih sila zamenjuje se odbojnim.

• Nuklearne sile ne zavise od naelektrisanja. One se javljaju izmedu dva protona,

izmedu dva neutrona, kao i izmedu neutrona i protona.

• Nuklearne sile imaju svojstvo zasicenja. Svaki nukleon stupa u interakciju samo sa

odredenim brojem najblizih nukleona.

7.2 Defekt mase i energija veze

Masa jezgra mj u mirovanju uvek je manja od zbira masa cestica koje ga sacinjavaju.

Razlika izmedu zbira masa cestica koje sacinjavaju jezgro i mase jezgra naziva se defekt

mase:

∆m = Z mp + (A− Z)mn −mj. (7.4)

Defekt mase je posledica cinjenice da je za zdruzivanje nukleona u jezgro i odrzavanje

jezgra kao celine potrebna energija kojom se nukleoni medusobno povezuju. Ova energija

7.3. Prirodna radioaktivnost 157

naziva se energija veze i jednaka je radu koji je potrebno uloziti da bi se jezgro rastavilo

na sastavne nukleone i da bi se oni doveli na takva rastojanja da izmedu njih ne postoji

jaka interakcija:

Ev = ∆mc2. (7.5)

Na primer, energija veze jezgra helijuma 2He4 iznosi Ev = 28, 4MeV.

Kada se energija veze Ev podeli masenim brojem A, dobija se energija veze po jednom

nukleonu E ′v:

E ′v =

Ev

A. (7.6)

Energija veze po jednom nukleonu najveca je za jezgra sa masenim brojem od 50

do 80 i iznosi oko 8, 7MeV. Sa porastom masenog broja, energija veze po nukleonu se

smanjuje i za najtezi prirodni element (92U238) iznosi 7.5MeV. Kod lakih jezgara, energija

veze po nukleonu naglo opada sa smanjivanjem broja nukleona, uz izvesne anomalije kod

pojedinih jezgara (slika 7.1).

U92

238

Li3

6

B5

10

He2

4

He2

3

H1

2

0 40 80 120 160 200

0

1

2

4

6

8

3

5

7

A

8.7

E’v [

[MeV

nukl.

Slika 7.1. Energija veze po nukleonu u funkciji atomskog broja Z.

Proces raspadanja teskih jezgara pri cemu nastaju dva laksa jezgra naziva se fisija.

Proces spajanja laksih jezgara uz nastajanje tezeg jezgra naziva su fuzija. I jedan i drugi

proces praceni su oslobadanjem velikih vrednosti energije.

7.3 Prirodna radioaktivnost

Uran, torijum i neki drugi elementi imaju osobinu da neprekidno i bez ikakvog

spoljasnjeg uzroka emituju nevidljivo zracenje koje ima jonizujuce dejstvo i ostavlja trag

na fotografskoj ploci ili filmu. Ova pojava spontane emisije zracenja nazvana je radioak-

tivnost. Elementi koji poseduju ovo svojstvo nazvani su radioaktivni elementi. Radioak-

tivnost kod urana prvi je zapazio Bekerel 1896. godine.


Posle otkrica radioaktivnosti urana, Marija i Pjer Kiri ispitivali su znatan broj poznatih

elemenata i ogroman broj njihovih jedinjenja da bi utvrdili njihova radioaktivna svojstva.

Njihovi eksperimenti su pokazali:

• Radioaktivnoscu se ne odlikuje samo uran vec i njegova hemijska jedinjenja. Osim

toga radioaktivna svojstva poseduju i torijum i njegova hemijska jedinjenja.

• Radioaktivnost bilo kog hemijskog jedinjenja jednaka je radioaktivnosti cistog urana

ili torijuma sadrzanog u tom jedinjenju.

Iz ovih rezultata se zakljucilo da je radiaoktivnost unutrasnje svojstvo atoma radioaktivnih

elemenata.

Marija i Pjer Kiri pronasli su i treci radioaktivni element koga su nazvali radijum (Ra).

Pokazalo se da je maseni broj ovog elementa 226, a atomski broj 88. Radijum u rudama

obavezno prati uran, ali se nalazi u veoma malim kolicinama (na 3 tone urana dolazi oko

1 gram radijuma).

Dalja ispitivanja pokazala su da znatan broj elemenata u prirodi poseduje radioaktivne

izotope. Tako su otkriveni radioaktivni izotopi talijuma (Z = 81), olova (Z = 82),

bizmuta (Z = 83), kao i to da su svi elementi iznad rednog broja 83 radioaktivni, osim

elemenata sa rednim brojem 85 i 87. Osim ovih radioaktivnih elemenata, koji se nalaze pri

kraju Periodnog sistema, pronadeni su i radioaktivni izotopi i drugih, laksih, elemenata:

ugljenika, samarijuma, kalijuma, rubidijuma, itd.

Osim spontane ili prirodne radioaktivnosti postoji i vestacka (ili indukovana) radioak-

tivnost, koja nastaje u nukleranim reakcijama kao posledica bombardovanja jezgara ces-

ticama visokih energija.

7.3.1 Zakon radioaktivnog raspada

Broj jezgara dN , koja se raspadnu u vremenskom intervalu dt, proporcionalan je

broju jos neraspadnutih jezgara N posmatranog radioaktivnog izvora, kao i vremenskom

intervalu dt:

dN = −λN dt, (7.7)

gde je λ konstanta proporcionalnosti koja se naziva konstanta radioaktivnog raspada. Znak

minus u jednacini potice od cinjenice sto se sa povecanjem vremena raspada t (dt > 0)

smanjuje broj neraspadnutih jezgara N (dN < 0). Integracijom jednacine (7.7) dobija se:

dN

N= −λ dt ⇒

∫ N(t)

N0

dN

N= −λ

∫ t

0

dt

lnN(t)− lnN0 = −λ t ⇒ lnN(t)

N0= −λ t,

gde je sa N0 oznacen pocetni broj jezgara (u t = 0), a sa N(t) broj neraspadnutih jezgara

u trenutku vremena t. Konacno, dobija se zakon radioaktivnog raspada u obliku:

N(t) = N0 exp−λ t. (7.8)

Broj neraspadnutih jezgara N(t) kao i broj raspadnutih jezgara N0−N(t) prikazan je na

slici 7.2.

7.3. Prirodna radioaktivnost 159

Zakon radioaktivnog raspada se moze napisati i u alternativnom obliku. Naime, ako

definisemo vreme poluraspada T kao vreme potrebno da se broj neraspadnutih jezgara

posmatrane radioaktivne supstance smanji na polovinu, onda imamo da je za t = T

N = N0/2, tj.N02

= N0 exp−λT ⇒ λ =ln 2

T. (7.9)

S obzirom da je expln 2 = 2, zakon radioaktivnog

0.00 1 2 3 4 5 t T/

N t( )

N N t- ( )0

N0

N0

2

Slika 7.2. Promena broja neraspad-nutih i raspadnutih jezgara kod ra-dioaktivnog raspada.

raspada mozemo napisati i u sledecem obliku:

N = N0 2−t/T . (7.10)

Konstanta radioaktivnog raspada λ (ili, ravno-

pravno, vreme poluraspada T ) predstavlja jednu od

osnovnih karakteristika radioaktivnog izotopa. To je

konstantna velicina za jednu radioaktivnu supstancu

i ne moze se obicnim fizickim i hemijskim spoljasnjim

uticajima menjati. To je posledica cinjenice da ra-

dioaktivni raspad predstavlja karakteristiku atomskog

jezgra, za cije je promene potrebna ogromna energija.

7.3.2 Aktivnost

Jedna od velicina koja karakterise radioaktivnu supstanciju je aktivnost. Aktivnost

predstavlja broj raspadnutih jezgara (dezintegracija) u jedinici vremena, tj. brzinu ras-

padanja jezgara:

A = − dN

dt= λN. (7.11)

Aktivnost radioaktivog izvora menja se u toku vremena po istom eksponencijalnom

zakonu po kome opada broj neraspadnutih jezgara:

A = λN = λN0 exp−λ t = A0 exp−λ t. (7.12)

Jedinica za aktivnost naziva se bekerel:

A [=] Bq =1

s. (7.13)

Aktivnost od jednog bekerela ima radioaktivni izvor kod koga se ostvaruje jedan raspad

u sekundi. Ranije je u upotrebi bila jedinica za aktivnost pod nazivom kiri (c) koja je

predstavljala aktivnost jednog grama radijuma, i koja odgovara aktivnosti od 3.7 · 1010dezintegracija u sekundi.

Posto je aktivnost radioaktivnog izvora proporcionalna broju atoma radioaktivnog

elementa (tj. njegovoj masi), onda se aktivnosti razlicitih radioaktivnih elemenata ne

mogu jednostavno uporedivati. Zato se uvodi pojam specificne aktivnosti, koja predstavlja

aktivnost jedinicne mase radioaktivnog izvora:

As =Am

[=]Bq

kg. (7.14)


7.3.3 Radioaktivni nizovi

U odnosu na duzinu vremena poluraspada, radioaktivni izotopi dele se na:

• dugozivece. cije je vreme poluraspada duze od nekoliko godina,

• kratkozivece, cije je vreme poluraspada krace od nekoliko dana.

Merenja vremena poluraspada pokazala su da je vreme poluraspada radijuma 1 600

godina. S obzirom na to da se starost Zemlje procenjuje na nekoliko miliona godina,

ocigledno je da bi sve kolicine radijuma za Zemlji vec odavno iscezle. Dakle, zakljucuje

se da se u prirodi pored raspadanja pojavljuje i radanje atoma radijuma. Cinjenica da se

radijum nalazi u uranovim rudama (i to samo u njima), navodi na pomisao da radioaktivni

raspad urana dovodi do obrazovanja atoma radijuma.

Izotop urana sa masenim brojem 238 raspada se sa vremenom poluraspada od 4,5 mil-

ijardi godina, stvarajuci torijum 90Th234. Prema tome, od trenutka nastanka Zemlje uran

se raspao veoma malo. Torijum 234 je takode radioaktivan i raspada se stvarajuci pro-

taktinijum 91Pa234. Ovaj se pak takode raspada stvarajuci sledeci izotop u radioaktivnom

nizu. Naime, lanac koji se obrazuje radioaktivnim raspadom izotopa urana 92U238 naziva

se radioaktivni niz urana i on se zavrsava stabilnim jezgrom olova 82Pb208. U prirodi pos-

toje jos tri radioaktivna niza: torijumski, aktinijumski i neptunijumski, kao i jos nekoliko

radioaktivnih izotopa drugih elemenata, koji ne pripadaju ni jednom nizu.

7.3.4 Radijum i radon

Radijum je najpoznatiji prirodni radioaktivni element zbog svoje istorijske uloge i

svestrane primene u medicinskoj terapiji i naucnim istrazivanjima izmedu dva svetska

rata. Danas poznajemo 26 razlicitih radioizotopa radijuma, od kojih je najpoznatiji 226Ra,

cije je vreme poluraspada od oko 1600 godina vec pomenuto, i koji kao clan uranovog

radioaktivnog niza moze da se sakupi u nezanemarljivim kolicinama u rudama urana.

Radijum je prisutan u svim stenama, tlu, povrsinskim vodama i bunarima. Buduci da

je hemijski slican kalcijumu, hemijskom elementu obilno prisutnom u tlu, biljke ga takode

efikasno apsorbuju i kroz lanac ishrane dolazi do coveka, gde se nagomilava u kostima.

Potomak radijuma 226Ra je radon 222Rn, radioaktivni gas cije je vreme poluraspada

3.8 dana. To je hemijski inertna supstanca (inertni gas) koja lako bezi sa mesta postanka.

Nema mesta na Zemlji bez radona buduci da njegov roditelj (radijum) pripada grupi

hemijskih elemenata koji su lako rastvorljivi, vrlo pokretni i svuda prisutni.

Koncentracija radona moze u izvesnim slucajevima da bude vrlo visoka kao npr. u rud-

nicima urana gde je ventilacija nedovoljno efikasna. Iskopavanje uranskih ruda oslobada

ogromne kolicine radona koji bi inace ostao pod zemljom. Istrazivaja vrsena cetrdesetih

godina proslog veka u bavarskim i ceskim rudnicima urana pokazala su da su 75% rudara

oboleli od raka pluca zbog udisanja radona.

Oslobadanje radona iz unutrasnjosti Zemlje se povecava prilikom zemljotresa i vulka-

nskih erupcija. Procenjeno je da je 1980. godine samo erupcija vulkana Sveta Jelena u

Severnoj Americi izbacila u atmosferu kolicinu radona sa aktivnoscu od 1017 Bq. U oblas-

tima koje ugrozavaju zemljotresi koncentracija radona se brizljivo prati jer je nadeno da

i blaga povecanja mogu da budu prethodnica znacajnih seizmickih zbivanja.

7.4. Jonizujuca zracenja 161

U zgradama se radon probija kroz podove iz tla, ili iz samog gradevinskog materijala.

Koncentracija radona u zatvorenim prostorima mogu u proseku da budu desetak puta

vece nego napolju, a ponegde, kao npr, u Skandinavskim zemljama, cak i vise stotina

puta. O ovome se sve vise vodi racuna pri izboru gradevinskog materijala za stambene i

poslovne zgrade, kao i o adekvatnom provetravanju.

U blizini Nisa, u podnozju Koritnika - ogranka Suve planine, nalazi se Niska Banja,

lokalitet sa lekovitim izvorima koji spadaju u red najradioaktivnijih u nasoj zemlji upravo

zahvaljujuci povisenoj koncentraciji gasa radona.

I dok male koncentracije radona u vodi imaju terapeutsko dejstvo, vece mogu biti vrlo

opasne. Dva efikasna puta vode radon u covekovo telo: udisanje ga unosi u pluca, a vodom

se rastvoreni gas raznosi po celom organizmu. Sam radon se lako izbacuje iz organizma

disanjem posto je hemisjki inertan, a stvarnu opasnost predstavljaju radionuklidi kratkog

zivota koji nastaju njegovim radioaktivnim raspadom. Posebno su opasna dva izotopa

polonijuma koji svojim raspadom emituju alfa cestice visoke energije. Stavise, ovi se

radioizotopi efikasno vezuju za cestice prasine u vaduhu, i jednom uneti u organizam

ostaju kao lokalizovani izvori zracenja, biloski izuzetno opasni.

7.4 Jonizujuca zracenja

Vec smo naveli da radioaktivna zracenja jonizuju materiju i deluju na fotografsku

plocu. Da bi se ustanovila priroda radioaktivnih zracenja, potrebno je ovo zracenje pod-

vrgnuti delovanju elektricnog ili magnetnog polja.

radioaktivniizvor

b g a

fotografskaploèa

+

radioaktivniizvor

fotografskaploèa

+ +

B

b ag

Slika 7.3. Dejstvo elektricnog i magnetnog polja na radioaktivno zracenje.

Na osnovu ovog eksperimenta ustanovljeno je da se radioaktivno zracenje sastoji od

tri komponente, α, β i γ-zracenja:

• α-zraci slabo skrecu u elektricnom i magnetnom polju;

• β-zraci skrecu vise, ali na suprotnu stranu od α zraka;

• γ-zraci uopste ne skrecu u ovim poljima.

α, β i γ-zraci znatno se razlikuju jedni od drugih. Na osnovu prethodnog eksperi-

menta moze se zakljuciti da su α-zraci naelektrisani pozitivno, β-zraci negativno, a da su


γ-zraci neutralni. Ovi zraci se takode razlikuju po prodornoj moci. α-zrake zaustavlja

vec i obican list hartije debljine 0.1mm, dok β-zraci postepeno slabe sa povecanjem de-

bljine apsorpcionog sloja, i zaustavlja ih, na primer, aluminijumska ploca debljine 5mm.

Najvecu prodornu moc imaju γ-zraci, i njih aluminijumska ploca debljine 1 cm, prakticno,

uopste ne slabi. Pokazalo se da elementi sa vecim atomskim brojem bolje apsorbuju γ-

zracenje od laksih elemenata. Tako, na primer, olovo (Z = 82) debljine 1 cm slabi snop

γ-zraka oko dva puta. Zbog toga se za zastitu od radioaktivnog zracenja i koriste teski

elementi, pre svega olovo.

7.4.1 Alfa zracenje

Alfa zraci predstavljaju jezgra atoma helijuma, i sastoje se od dva protona i dva

neutrona, pa se α-cestica oznacava sa 2α4 ili 2He

4.

Emisija α-cestica vrsi se prilikom α-raspada, koji se odvija po semi:

ZXA → Z−2Y

A−4 + 2α4, (7.15)

gde je sa X oznaceno jezgro pre emisije α-cestice (tzv. jezgro roditelj, ili predak) a sa Y

novoobrazovano jezgro (jezgro potomak). α-raspad je obicno pracen emisijom γ-kvanta

od strane jezgra potomka. Iz seme se vidi da se emisijom α-cestice atomski broj jezgra

smanji za 2, a maseni za 4. To znaci da se u Periodnom sistemu elemenata, α-raspadom

jezgro pomeri dva mesta ulevo.

Brzina kojom α-cestice napustaju jezgra iznosi priblizno 107m/s, sto priblizno odgo-

vara kinetickoj energiji reda 1MeV (106 eV = 1.6 · 10−13 J). U pocetku se mislilo da jedno

jezgro emituje α-cestice, jedne, tacno definisane energije. Medutim, kasnije se pokazalo

da pojedina jezgra mogu emitovati nekoliko grupa ovih cestica sa razlicitim vrednostima

energije. Nadeno je da radioaktivni elemnti koji se brzo raspadaju emituju α-cestice ve-

like energije i velikog dometa, dok elementi cije je vreme zivota duze emituju α-cestice sa

relativno malom energijom i kratkim dometom.

Krecuci se kroz materijal α-cestice trose svoju energiju na jonizaciju atoma ili molekula

tog materijala, i na kraju se zaustavljaju. Za obrazovanje jednog jonskog para u vazduhu

α-cestica utrosi energiju od oko 35 eV, iz cega proizilazi da ona na svom putu stvori oko

105 jonskih parova. Sa povecanjem gustine materijala duzina puta α-cestice se smanjuje.

U vazduhu, na atmosferskom pritisku, duzina njihovog puta je nekoliko centimetara, a u

cvrstim telima oko 10−3 cm.

7.4.2 Beta zracenje

Eksperimenti su pokazali da je masa β-cestica jednaka masi elektrona, i da se naelek-

trisanje β-cestica, takode, po velicini i znaku poklapa sa naelektrisanjem elektrona. Prome

tome, β-cestice nisu nista drugo nego brzi elektroni, koji se emituju iz jezgra radioaktivnog

elementa i oznacavaju se sa β− ili −1e0.

Prva istrazivanja spektra β-cestica ukazala su na to da je on kontinualan. Neka kasnija

ispitivanja pokazala su da su β-cestice, slicno α-cesticama, monoenergetske prirode. Ova

kontradiktornost razresena je time da najveci broj β-cestica ima kontinualni spektar, a

jedan mali deo cini grupe monoenergetskih β-cestica, tj. ima linijski spektar.


Posmatrajuci kontinualni spektar β-cestica, uocava se da je brzina β-cestica, vrlo velika

i dostize u nekim slucajevima i 99% brzine svetlosti. Njihova energija iznosi tada i do

nekoliko MeV. Tipican oblik spektra prikazan je na slici 7.4. Za vecinu elemenata ova

kriva ima maksimum za E = Emax/3.

Dva pitanja mucila su istrazivace: odakle elek-

0 0.5 1.0 1.5 E (MeV)

Emax

n

DE

Slika 7.4. Spektar β-zracenja.

troni u jezgru, kada je ono sastavljeno od protona

i neutrona, i kako objasniti kontinualni spektar β-

zracenja? Odgovor na ova pitanja dobijen je teori-

jom prema kojoj do β-raspada dolazi kada se jedan

neutron pretvara u proton i emituje cestica nazvana

antineutrino:

0n1 → 1p

1 + −1e0 + 0ν

0. (7.16)

Kontinualni spektar β-cestica objasnjava se

raspodelom energije izmedu β-cestice i antineutrina. Naime, raspodela energije izmedu

β-cestice i antineutrina ima statisticki karakter. Nekada, u jednom aktu raspada veci

deo energije nosi β-cestica. Ovo odgovara maksimumu energije na slici 7.16. U nekom

drugom slucaju, skoro svu energiju odnosi antineutrino, sto odgovara pocetnom delu

krive na slici 7.16. Ipak, najcesce se energija deli tako da deo energije odnosi β-cestica, a

deo (obicno malo veci) antineutrino, sto pak odgovara srednjem delu krive na slici 7.16.

Sema β-raspada prikazuje se jednacinom:

ZXA → Z+1Y

A + −1e0 + 0ν

0, (7.17)

gde je ZXA jezgro roditelj a Z+1Y

A jezgro potomak. Uocava se da se β-raspadom element

u periodnom sistemu pomera za jedno mesto udesno, tj. atomski broj se povecava za

jedan, dok se maseni broj ne menja.

Pri β-raspadu jezgro potomak moze da se nade u jednom od pobudenih stanja.

Prelaskom iz pobudenog u osnovno stanje emitue se γ-kvant. Prema tome, emisija β-ces-

tice je pracena emisijom γ-kvanta, pa se ukupna energija transmutacije jezgra rasporeduje

na elektron, antineutrino i γ-kvant.

Kasnija proucavanja vestacke radioaktivnosti pokazala su da postoji jos jedna vrsta

β-cestica. One imaju istu masu kao elektroni, ali su pozitivno naelektrisane elementarnom

kolicinom naelektrisanja. Ove cestice nazvane su pozitroni i oznacavaju se sa β+ ili +1e0.

One nastaju pri transformaciji protona u neutron:

1p1 → 0n

1 + 1e0 + 0ν

0, (7.18)

pri cemu se emituje i cestica neutrino ν. Ova transformacija uzrokuje takozvani β+-raspad

koji smanjuje redni broj jezgra za 1 (za razliku od β−-raspada koji ga povecava za jedan):

ZXA → Z−1Y

A + 1e0 + 0ν

0. (7.19)

Dok elektroni mogu da budu slobodni neograniceno dugo, vreme zivota pozitrona je

reda nanosekunde (10−9 s). Pozitron zahvata elektron pri cemu nastaju dva γ-kvanta

energije od po 0.51MeV:

+1e0 + −1e

0 = hν + hν. (7.20)


Ovaj proces naziva se anihilacija. Neutrino ν koji nastaje pri β+, i antineutrino ν koji

nastaje pri β−-raspadu, predstavljaju cestice bez naelektrisanja, cija je masa manja od

mase elektrona za oko cetiri reda velicine.

β-cestice na svom putu vrse jonizaciju po jedinici duzine puta oko 100 puta manje

nego α-cestice. Efikasnost jonizacije β-cesticama zavisi od njihove energije. Ukoliko je

njihova energija veca, utoliko je specificna jonizacija (broj stvorenih jonskih parova po

jedinici duzine puta) manja. Maksimalnu jonizaciju vrsi β-cestica energije 1 keV, kada

se obrazuje oko 103 jonskih parova po 1 cm u vazduhu na atmosferskom pritisku. Sto su

energije β-cestica vece, to je jonizacija slabija.

Posto β-cestice pri prolazu kroz neku sredinu vrse jonizaciju atoma ili molekula te sre-

dine, njihova energija se smanjuje i posle izvesnog predenog puta one bivaju apsorbovane.

Njihov domet veoma malo zavisi od prirode sredine kroz koju prolaze.

Apsorpcija β-cestica vrsi se po veoma slozenom zakonu, jer se one pri prolazu kroz

neki materijal, zbog svoje male mase, rasejavaju u znatno vecoj meri od α-cestica, pa

je moguce skretanje sa prvobitnog pravca i pod uglovima vecim od 90. Eksperimenti

pokazuju da putanje β-cestica nisu prave linije.

7.4.3 Gama zracenje

Eksperimentalno je pokazano da se γ-zracenje ne javlja kao samostalni oblik zracenja,

vec prati emisiju α ili β-cestica, a takode se pojavljuje i pri drugim nuklearnim reakcijama.

γ-zracenje je elektromagnetne prirode i njegov spektar je diskretan, tj. linijski. Takav

spektar predstavlja jedan od najvaznijih dokaza postojanja diskretnih energetskih stanja

atomskog jezgra.

Utvrdeno je da γ-zracenje emituje jezgro potomak, a ne jezgro predak. Jezgro potomak

u momentu svog nastanka posle α ili β-raspada ostaje u pobudenom stanju izvesno vreme

reda 10−14 do 10−13 s, a nakon toga prelazi u osnovno stanje emitujuci γ-kvant.

Pobudena jezgra nekih radioaktivnih elemenata na putu povratka u osnovno stanje

mogu proci kroz niz pobudenih stanja. Prema tome, γ-zracenje jednog istog radioaktivnog

elementa moze sadrzati nekoliko γ-kvanata razlicitih energija.

γ-kvanti, kao i ostali fotoni, ne poseduju masu mirovanja, krecu se brzinom svetlosti, te

je njihovo usporavanje u sredini kroz koju prolaze nemoguce. Prema tome, pri prolazu γ-

zraka kroz neki materijal dolazi do njihove apsorpcije ili rasejavanja sto utice na smanjenje

intenziteta snopa. Zakon apsorpcije glasi:

I = I0 exp−µ d, (7.21)

gde je I0 intenzitet γ-zraka pre prolaska kroz materijal, a I intenzitet posle prolaska kroz

materijal debljine d i linearnog koeficijenta apsorpcije µ.

Interakcija γ-zracenja sa materijalom odvija se preko tri osnovna mehanizma:

• Fotoelektricni efekat ili fotoelektricna apsorpcija γ-zraka je proces pri kome atom

apsorbuje γ-kvant, a potom oslobada jedan elektron. U ovom slucaju γ-kvant predaje

svoju celokupnu energiju elektronu. Posto se elektron oslobada sa jednog od unutrasnjih

energetskih nivoa atoma to upraznjeno mesto se popunjava elektronom sa visih energet-

skih nivoa, sto uslovljava pojavu karakteristicnog rendgenskog zracenja. Fotoelektricni


efekat je dominantan mehanizam apsorpcije u oblasti malih energija γ-kvanta (< 100 keV).

Verovatnoca za pojavu fotoelektricnog efekta je veca kod materijala sa vecim atomskim

brojem Z.

• Komptonov efekat koji nastaje kada je energija γ-kvanta veca od 500 keV. U tom

slucaju foton se rasejava na kvazi-slobodnom elektronu, predajuci mu deo svoje energije.

• Stvaranje elektron-pozitronskog para koje nastaje ako je energija γ-kvanta veca od

1.02MeV. Naime, pri prolazu fotona velike energije pored teskog jezgra on prelazi u par

elektron-pozitron pri cemu se trosi energija od 1.02MeV:

hν → −1e0 + +1e

0. (7.22)

Ova pojava suprotna je anihilaciji i naziva se jos i kreacija. Visak energije fotona trans-

formise se u kineticke energije elektrona i pozitrona. Zbog vrlo kratkog vremena zivota

pozitrona, on prakticno, cim nastane, zahvata najblizi elektron, izvodeci anihilaciju, pri

cemu se obrazuju dva γ-kvanta energije od po 0.51Mev.

7.4.4 Rendgensko zracenje

Govoreci o spektru elektromagnetnog zracenja videli smo da Rendgenski4 ili X-zraci

predstavljaju elektromagnetno zracenje u opsegu talasnih duzina od 10 pm do 10 nm. Oni

nastaju pri bombardovanju cvrstih metala brzim elektronima u specijalno konstruisanim

rendgenskim cevima. Rengenska cev je elektronska cev (videti sliku 7.5) kod koje se

slobodni elektroni dobijaju zagrevanjem katode K, zatim ubrzavaju do velikih brzina uz

pomoc napona na cevi U , i konacno udaraju u anodu (antikatodu) A koja se hladi vodom.

UUp

KA

X

Slika 7.5. Rendgenska cev.

Eksperimentalno je pokazano da postoje dva tipa spektra rendgenskog zracenja. Ako je

napon kojim se ubrzavaju elektroni takav da je njihova maksimalna energija koju dostizu

pre sudara sa antikatodom manja od neke karakteristicne vrednosti koja zavisi od mater-

ijala od koga je nacinjena anoda, onda rendgensko zracenje ima kontinualni spektar, kao

na slici 7.6. Ovakav tip zracenja naziva se zakocno (belo) rendgensko zracenje i njegov

spektar je slican spektru bele svetlosti. Sa slike 7.6 se moze uociti da povecanje napona

kojim se ubrzavaju elektroni dovodi do povecanja broja X-zraka sa vecim energijama (tj.

manjim talasnim duzinama), kao i da postoji karakteristicna minimalna talasna duzina

koja se sa povisenjem primenjenog napona smanjuje. Naime, ako pretpostavimo da se

4Otkrio ih je Rendgen, 1895. g.


prilikom sudara elektrona koji je ubrzan potencijalnom razlikom U sa metalom anode,

celokupna vrednost njegove potencijalne energije Ek e = eU preda fotonu koji se stvara,

za minimalnu talasnu duzinu dobijamo:

Eke = eU = h νmax =h c

λmin

⇒ λmin =h c

eU. (7.23)

Ukoliko je, pak, energija elektrona koji udara u anodu veca od neke karakteristicne

vrednosti koja zavisi od materijala anode, u spektru rengenskom zracenja pojavljuju se

pikovi velikih intenziteta koji znatno premasuju intenzitet zakocnog zracenja. Ovakvo

zracenje linijskog spektra naziva se karakteristicno rendgensko zracenje. Ono potice od

elektronskih prelaza atoma materijala anode. Posto je u praksi najcesca situacija da

na anodu stizu elektroni razlicitih energija, rezultujuci spektar predstavlja kombinaciju

kontinualnog i linijskog spektra i naziva se mesoviti spektar. Primer mesovitog spektra

prikazan je na slici 7.7.

U = 50 kV3

U = 40 kV2

U = 30 kV1

2

4

6

8

10

Ir

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 l (nm)

lmin3

lmin2lmin1

Slika 7.6. Kontinualni spektar x-zracenja.

rela

tivni

inte

nzi

tet

karakteristi norendgenskozra enje

è

è

KaKb

lmin lKa

lKb

l

Slika 7.7. Mesoviti spektar sa karakter-isticnim spektrom rendgenskog zracenja.

Najcesce primene X-zraka su u medicini i industriji. Grana medicine koja se bavi

X-zracima naziva se radiologija. Medicinska primena X-zraka je dvojaka, kao radiografija

i radioterapija. U radiografiji X-zraci se koriste kao dijagnosticko sredstvo za snimanje

kostiju, tj. skeletnog sistema, ali i za uocavanje patogenih promena na mekim tkivima.

U radioterapiji, gde se koriste X-zraci vece energije, njihova uloga je dejstvo na tkiva

zahvacena malignim promenama jer medicinska doktrina uci da su maligne celije manje

otporne na dejstvo X-zraka od zdravih. U industriji koriscenje X-zraka je slicno ultra-

zvucnoj defektoskopiji, npr. za nedestruktivno ispitivanje izlivenih materijala i zavarenih

spojeva.

7.4.5 Neutronsko zracenje

Neutrona nema slobodnih u prirodi, izmedu ostalog i zato sto je van jezgra atoma

nestabilan: sa vremenom poluraspada od oko 12 minuta prelazi u proton emitujuci jedan

elektron i antineutrino prema jednacini (7.16). Medutim, slobodni neutron na Zemlji

traje u srednjem mnogo krace, reda dela sekunde, jer zbog svoje elektricne neutralnosti

lako prodire u atomska jezgra okolnih supstanci izazivajuci razne nuklearne reakcije u

7.5. Dozimetrija jonizujuceg zracenja 167

kojima nestaje. Zato se slobodni neutroni mogu dobiti samo u vestacki izazvanim nuk-

learnim reakcijama, pa neutronsko zracenje postoji samo u blizini nuklearnih reaktora. U

zavisnosti od brzine neutroni se mogu podeliti na termicke i brze.

7.4.6 Kosmicko zracenje

Velikih broj cestica i fotona velike energije dospeva iz kosmickog prostranstva na

Zemlju, u svakom trenutku i iz svih pravaca. To su kosmicki zraci, i oni predstavljaju

jonizujuce zracenje kao i ono koje emituju radioaktivne supstance. Ipak, izmedu ovih

zracenja postoji bitna razlika u intenzitetu i energijama. Dok je intenzitet kosmickog

zracenja relativno maili u normalnim uslovima (npr. reda nekoliko cestica na jedan

kvadratni centimetar u jednoj sekundi), 1 gram radijuma npr. emituje milijarde ces-

tica u sekundi. Sa druge strane energije radioaktivnog zracenja (najvise nekoliko MeV)

su beznacajne u poredenju sa energijama kosmickih zraka koja je veoma velika, i krece se

u opsegu od desetina hiljada megaelektronvolti pa cak i do 1.5 · 1020 eV5!Kosmicki zraci koji pogadaju gornje slojeve atmosfere nazivaju se primarni kosmicki

zraci. Oni su sacinjeni od protona (77.5%), α-cestica (20%) i tezih joni elemenata cak i

do Z = 45 (2.5%). Pri interakciji primarnih kosmickih zraka sa jezgrima atoma atmosfere

dolazi do dezintegracije ovih jezgara i citavog niza mnogobrojnih nuklearnih reakcija, koje

stvaraju sekundarne kosmicke zrake, koji putuju dalje Zemljinom atmosferom, stizu do

njene povrsine, i prodiru u njen cvrsti i tecni omotac. To su uglavnom protoni, neutroni,

α-cestice, γ-zraci, elektroni, pozitroni i cestice cija je masa izmedu mase elektrona i mase

protona nazvane mezoni.

Utvrdeno je da uzajamnim dejstvom primarnih kosmickih zraka sa sastojcima at-

mosfere nastaju dve komponente sekundarnog zracenja, od kojih se jedna lakse moze

apsorbovati, pa se naziva meka komponenta, a druga teze, nazvana tvrda komponenta

kosmickog zracenja. Pod mekom komponentom kosmickog zracenja podrazumeva se onaj

deo kosmicke radijacije koji se moze apsorbovati pri prolazu kroz prvih 10 cm olova, a pod

tvrdom komponentom onaj deo, koji prolazi kroz ovih 10 cm olova i tesko se moze apsor-

bovati. Meka komponenta kosmickog zracenja uglavnom se sastoji iz elektrona, pozitrona

i fotona, a manjim delom sadrzi protone, neutrone, spore mezone i druge elementarne

cestice.

Na osnovu ispitivanja utvrdeno je da je intenzitet kosmickih zraka 150-200 puta veci

na granici atmosfere nego na Zemljinoj povrsini, a u dubokim rudnicima 1000 puta manji

nego na morskom nivou.

7.5 Dozimetrija jonizujuceg zracenja

Jonizujuce zracenje u odredenoj meri vrsi jonizaciju atoma sredine kroz koju pro-

laze. Usled interakcije sa atomima materijala jonizujuce zracenje gubi deo svoje energije

predajuci je materijalu stvarajuci radijacione efekte.

Grana nuklearne fizike koja se bavi kvantitativnim odredivanjem kolicine energije koju

5Ova energija odgovara energiji da se jedan kilogram mase podigne na pribliznu visinu od 2.5 m.


primi materijal od strane jonizujuceg zracenja naziva se dozimetrija. Velicina koja karak-

terise kolicinu deponovane energije naziva se doza.

Definisu se sledece velicine:

• Doza zracenja (apsorbovana doza) Da, za svako jonizujuce zracenje, predstavlja

kolicnik izmedu energije predate elementu ozracene supstance i mase tog elementa:

Da =dE

dm[=]

J

kg= Gy, (7.24)

tj. brojno je jednaka apsorbovanoj energiji po jedinici mase. Jedinica za apsorbo-

vanu dozu je dzul po kilogramu, koja se jos naziva grej (Gy). Stara jedinica bila je

rad (1 rad= 10−2Gy).

• Brzina (snaga) apsorbovane doze Da:

Da =dDa

dt[=]

W

kg=

Gy

s(7.25)

tj. brojno je jednaka apsorbovanoj dozi u jedinici vremena.

• Doza ekspozicije (ekspoziciona doza), De, γ ili X-zracenja, predstavlja kolicnik

izmedu ukupnog naelektrisanja jona istog znaka nastalih pri prolazu zracenja kroz

element zapremine vazduha i mase tog elementa:

De =Q

m[=]

C

kg. (7.26)

Jedinica za ekspozicionu dozu je C/kg. Stara jedinica bila je rentgen

(1R= 2.58 · 10−4C/kg).

• Brzina (snaga) doze ekspozicije (ekspozicione doze) De je definisana kao:

De =dDe

dt[=]

C

kg s. (7.27)

Ako se radi o tackastom izvoru zracenja i ako se zanemari apsorpcija zracenja u

vazduhu izmedu izvora i merne tacke, vazi:

De =ΓAr2

, (7.28)

gde je A aktivnost izvora izrazena u bekerelima, r rastojanje od izvora do merne

tacke u metrima, a Γ takozvana specificna konstanta γ-zracenja izrazena u jedini-

cama Cm2/kg.

• Ekvivalentna doza H. Dejstvo jonizujuceg zracenja na bioloske sisteme ne zavisi

samo od apsorbovane doze vec i od niza drugih faktora kao sto su, na primer, vrsta

zracenja, i njegova energija. Da bi se to uzelo u obzir, odnosno da bi se procenio

rizik od ozracivanja, uvodi se ekvivalentna doza:

H = QN Da [=] Sv, (7.29)

7.6. Uticaj zracenja na organizam 169

gde je N faktor koji uzima u obzir raspodelu doze u vremenu i prostoru, i za spoljni

izvor zracenja, i manje vise kontinualnu izlozenost se moze uzeti jednakim jedinici.

Velicina Q se naziva faktor kvaliteta ili relativna bioloska efikasnost, koja uzima u

obzir razlike u posledicama ozracivanja bioloskih sistema usled razlike u kvalitetu

(vrsti i energiji) jonizujuceg zracenja. Vrednosti za Q za pojedine vrste zracenja

date su tabeli 7.1.

Tabela 7.1. Faktor kvaliteta za razlicite vrste zracenja.

Vrsta zracenja Q

X i γ-zracenje 1

elektroni 1

spori neutroni 1-5

brzi neutroni, protoni 10

α-cestice i fisioni fragmenti 20

Jedinica za ekvivalentnu dozu je sivert, u oznaci Sv. Vrednost ekvivalentne doze u

sivertima dobija se kada se vrednost za apsorpcionu dozu u izrazu (7.29) uzme u

grejima. Ranije se koristila i jedinica rem (rem) koja se dobijala ako se Da izrazi u

radima.

• Brzina ekvivalentne doze H definise se kao kolicnik ekvivalentne doze i vremena u

kome je primljena

H =dH

dt, (7.30)

a odgovarajuca jedinica je sivert po sekundi.

7.6 Uticaj zracenja na organizam

Ljudski organizam je stalno podvrgnut jonizujucem zracenju koje potice od razlicitih

izvora:

• kosmickog zracenja (na primer, na nultoj nadmorskoj visini ono iznosi oko 350 µSv/god,

a na visini od 3000m oko 2 500 µSv/god)

• prirodnih izotopa (npr, radijuma, radona, itd.)

• unutrasnjeg zracenja od radioaktivnih elemenata koji su se ugradili u neko od tkiva

organizma, npr. 19K40;

• radioaktivnih izotopa koji su stvoreni kao posledica nuklearnih eksplozija i akcidenata;

• izvora tehnicke primene zracenja (medicina, defektoskopija, radioaktivni gromobrani,

katodne cevi, itd.)

Jonizacija dovodi do kidanja hemijskih veza, sto u zivim organizmima moze da dovede

do unistavanja pojedinih celija. U telu postoje mehanizmi za nadoknadivanje mrtvih


celija. Medutim, ako je doza zracenja prevelika, ovo nadoknadivanje nije moguce. U tom

slucaju dolazi do trajnog ostecenja organizma.

Efekti zracenja mogu biti somatski i genetski. Somatski efekti zracenja, odnose se na

pojedinca koji je ozracen i mogu se podeliti na akutne, tj. one koji se uocavaju odmah ili

posle prva dva meseca nakon ozracivanja, i pozne, tj. one koji se uocavaju nekoliko meseci

ili godina nakon ozracivanja, ako je organizam uspeo da se oporavi od akutnih efekata.

Genetski efekti zracenja odnose se na potomke ozracenog pojedinca. Naime, jonizujuce

zracenje izaziva mutaciju gena koji su nosioci naslednih osobina kod zivih organizama, a

ove mutacije mogu da budu veoma opasne za potomstvo.

Kada se celo telo izlozi dovoljno velikoj dozi zracenja dolazi do niza specificnih promena

u tkivima organizma koje se nazivaju sindromi. Za svaki sindrom karakteristicno je vreme

pojavljivanja koje direktno zavisi od apsorbovane doze zracenja:

• ≥ 1 kGy dolazi do trenutnog dejstva zracenja na celije organizma, nastupa tzv.

molekularna smrt u toku samog zracenja ili neposredno posle toga;

• 0.1− 1 kGy dolazi do ostecenja centralnog nervnog sistema koja se manifestuju pre-

nadrazljivoscu, gubitkom koncentracije, tegobama pri disanju, povremenom obam-

rloscu i gubitkom svesti i konacno nastupa smrt;

• 9 − 100Gy pojava gastrointestinalnog sindroma, tj. ostecenja organa za varenje,

koja se manifestuje povracanjem, gubitkom apetita, dijarejom i depresijom, a smrt

se javlja 3-5 dana nakon ozracivanja.

• 3−10Gy pojava hematopatskog sindroma, tj. promene u krvnim celijama i organima

za stvaranje krvi, javljaju se 10-15 dana nakon ozracivanja i manifestuju se drhtavi-

com, malaksaloscu, krvarenjima, nastankom rana i smanjenjem broja leukocita u

krvi;

• 0.5−3Gy javlja se radijaciona bolest cija pojava, trajanje i intenzitet zavise od doze

zracenja ali i stanja organizma.

Pomenuti sindromi nisu medusobno vremenski izolovani, tj. ukupna nagla radijaciona

povreda je rezultat zdruzenog efekta zracenja na vise razlicitih tkiva i organa i poznata

je pod imenom akutni radijacioni sindrom.

Kod organizama koji su se oporavili od ranih (akutnih) i poznih (hronicnih) posled-

ica ozracivanja mogu da se posle izvesnog vremena pojave organske promene na raznim

tkivima i organima. I pored oporavka, dolazi do skracivanja zivotnog veka ili zbog

naknadne pojave nekog kancerogenog oboljenja, ili zbog indukcije tzv. radioloskog

starenja, tj. nespecificnog propadanja koje je karakteristicno za organizam uopste, ali

se kod ozracenih odigrava mnogo brze.

Jonizujuce zracenje takode dovodi do genetskih promena, tj. dolazi do mutacije gena,

koji su nosioci naslednih osobina kod zivih organizama. Ove mutacije mogu biti vrlo

opasne za potomstvo.

Stepen ostecenja organizma ne zavisi samo od doze vec i od brzine doze. Indukcija

radijacionih ostecenja za istu dozu zracenja je veca ukoliko je doza primljena za krace

7.7. Detekcija jonizujuceg zracenja 171

vreme, tj. ukoliko je brzina doze bila veca. Ova pojava objasnjava se eksponencijalnim

karakterom spontanog oporavka organizma u toku vremena.

Reakcija organizma na zracenje zavisi od njegove starosti. Deca su najosetljivija na

zracenje, dok se kod odraslih ova osetljivost povecava sa starenjem. Najotpornije su

odrasle individue u mladem dobu6.

Eksperimenti pokazuju da male doze zracenja mogu povoljno da uticu na lecenje nekih

bolesti infektivnog tipa. Takode se pojedine vrste zracenja koriste za lecenje kancerogenih

oboljenja posto su celije tkiva zahvacenog ovom bolescu znatno osetljivije na zracenje od

celija zdravog tkiva.

Apsolutno sigurna granica koja bi bila bezopasna po organizam ne postoji, jer i na-

manja doza moze (ali ne mora) da prouzrokuje ostecenja. U tabeli 7.2 su prikazane

maksimalne dozvoljene godisnje doze za radnike izlozene zracenju koje preporucuje

Medunarodna komisija za zastitu od zracenja ICRP .

Tabela 7.2. Maksimalne dozvoljene godisnje doze za radnike izlozene zracenju koje preporucujeMedunarodna komisija za zastitu od zracenja ICRP .

Organ (tkivo) Doza (mSv)

kostana srz, polni organi 50

koza, kosti, stitna zlezda 300

ruke, sake, stopala 750

ostali organi 150

Dozvoljene prosecne doze sa stanovnistvo su 1/30, a za pojedince 1/10 vrednosti iz

tabele.

7.7 Detekcija jonizujuceg zracenja

Detekcija jonizujuceg zracenja zasniva se na efektima njegove interakcije sa datim

materijalom pri cemu se u materijalu pojavljuju razliciti efekti. U zavisnosti od nacina

detekcije jonizujuceg zracenja detektori se dele na: jonizacione, scintilacione, hemijske,

toplotne, i nuklearne. U zavisnosti od agregatnog stanja materijala kroz koje zracenje

prolazi detektori se mogu podeliti na cvrste, tecne i gasovite.

Fotoemulzija

Posto je radioaktivno zracenje otkriveno pomocu fotografske ploce, to se, istorijski pos-

matrano, fotografska ploca moze smatrati prvim (hemijskim) detektorom radioaktivnog

zracenja. Metoda fotografske ploce je usavrsena, tako da se doslo do primene nuklearnih

emulzija koje sluze za detekciju nuklearnog i kosmickog zracenja, ako i za proucavanje

nuklearnih reakcija. Danas se, naravno, umesto fotografske ploce koriste filmovi sa odgo-

varajucom fotoemulzijom.

6Misli se na osobe kod kojih je zavrsen razvoj, dakle osobe u dvadesetim i tridesetim godinama.


Vilsonova (maglena) komora

Ovaj detektor zracenja ima veliki istorijski znacaj u

A

B

C

S

ka vakuumpumpi

svet

lost

Slika 7.8. Vilsonova komora

nukleatrnoj fizici. Princip rada je sledeci: u delu komore

A (prikazane na slici 7.8), nalazi se vazduh zasicen vode-

nom parom; sa donje strane nalazi se klip B koji se moze

pomerati promenom vazdusnog pritiska ispod njega. Kada

se otvori ventil C, ispod klipa se naglo snizi pritisak, usled

cega se klip povlaci nanize, sto dovodi do sirenja gasa u

delu A. Ova nagla adijabatska ekspanzija gasa dovodi

do snizavanja njegove temperature, tako da vodena para

postaje prezasicena. Ukoliko se zbog prolaska radioak-

tivnog zracenja pojavi neki jonski par u vazduhu, cestice

jona postaju centri kondenzacije vodene pare, pa se u ko-

mori mogu pratiti tragovi kretanja jonizujucih zracenja.

Scintilacioni detektori

Radioaktivno zracenje pri prolazu kroz neke materijale (najcesce kristale) izaziva

kratkotrajne emisije vidljive svetlosti - svetlucanja, tj. scintilacije. Scintilacioni detektor

sastoji se od kristala koji svetluca i elektronske cevi koja sluzi za pretvaranje svetlosnih

impulsa u elektricne - fotomultiplikatora (slika 7.9). Elektricni impulsi se zatim mogu

brojati pomocu elektronskih brojaca.

+ 220 V + 600 V + 1000 V vakuum

impulsi

R

ka elektronskombrojaèu

+ 1400 V

+ 400 V + 800 V + 1200 V

gzr

ak

Slika 7.9. Scintilacioni detektor.

Gasni detektori

Ovi detektori predstavljaju gasnu cev sa dve elektrode izmedu kojih je primenjen

odgovarajuci napon. Posto radioaktivno zracenje jonizuje gas, nastali joni se pod dejstvom

elektricnog polja krecu izmedu elektroda i uspostavljaju struju. U zavisnosti od vrednosti

primenjenog napona, tacnije od oblasti i − u karakterisike u kojoj se nalazi ovaj napon,

postoji nekoliko tipova gasnih detektora (slika 7.10):

• Jonizacione komore rade u oblasti saturacije struje kada svi stvoreni joni dolaze do

elektroda.

• Proporcionalni brojaci rade u oblastima napona 500− 800V koji su dovoljno visoki

da pod dejstvom elektricnog polja primarni joni budu toliko ubrzani da u sudaru

7.7. Detekcija jonizujuceg zracenja 173

ja

èim

a st

ruje

napon

I II III

0 U1

U2

U3

U4

jonizacionekomore

proporcionalnibrojaèi

GM broja iè

Slika 7.10. Podela gasnih brojaca prema oblasti rada.

sa atomima izazivaju njihovu jonizaciju. Broj nastalih sekundarnih jona propor-

cionalan je broju primarnih jona pa otuda potice naziv ovih detektora. Odnos

ukupnog broja jona i primarnih jona naziva se gasno pojacanje, i kod proporcional-

nih brojaca iznosi 104 − 105, dok je kod jonizacionih komora jednak jedan.

• Gajger-Milerovi brojaci rade sa radnim naponom7 od 800−1 500 V u oblasti kada bez

obzira na mesto primarne jonizacije, u kompletnoj cevi nastaje lavinska jonizacija,

sto stvara gasno pojacanje reda 108. Kada pod dejstvom nuklearnih cestica u GM

brojacu nastane lavinska jonizacija, tada u kolu brojaca pocne da tece struja. Iako

mala po svojoj vrednosti, ona na otporniku R velikog otpora stvara pad napona koji

izaziva smanjivanje napona na elektrodama, pa se lavina gasi. Radi lakseg gasenja

lavine, u GM cevima je gasovima pridodata para alkohola. Nakon gasenja lavine,

struja u brojacu prestaje da tece, i brojac je spreman da detektuje sledecu cesticu.

U toku kratkotrajnog proticanja struje kroz otpornik R, na njemu se javlja naponski

impuls koji se moze registrovati i brojati u elektronskom brojacu.

GMbrojaè

800 - 1500 V+-

R


Slika 7.11. Gajger-Milerov brojac.

7Koji zavisi od vrste upotrebljenog gasa.


Poluprovodnicki brojaci

Predstavljaju jonizacione detektore kod kojih jonizujuce zracenje izaziva povecanje

struje zasicenja p − n spoja8 tj. generaciju elektricnog impulsa9 koji se zatim vodi na

brojac (slika 7.12).

p n

R2 - 6 V- +


Slika 7.12. Poluprovodnicki brojac.

Detektori neutrona

Posto neutroni nisu naelektrisani, ne mogu se detektovati na isti nacin kao α ili β-

cestice. Za detekciju neutrona koristi se osobina da pri razlicitim reakcijama sa atomima

izazivaju emisiju naelektrisanih cestica koje se zatim mogu detektovati uobicajenim meto-

dama.

Licna dozimetrijska sredstva

Da bi se vrsila kontrola radnika koji se profesionalno izlazu dejstvu jonizujuceg

zracenja, primenjuje se licna dozimetrija. Obicno se kontrola primljenih doza vrsi

mesecno, a moze i cesce. Za svakog radnika se vodi licni dozimetrijski karton u koji

se unose vrednosti primljenih doza. Da bi se do ovih podataka doslo, osoblje mora da

nosi licne dozimetre. Za mesecnu kontrolu se najcesce koriste film dozimetri ili termolu-

miniscentni dozimetri, dok se za dnevnu kontrolu koriste penkala dozimetri. Usvojeno je

da se licni dozimetri nose s leve strane na grudima.

8Poznato je da petovalentne primese u kristalima silicijuma i germanijuma uslovljavaju nastajanje slo-

bodnih elektrona i da su oni poluprovodnici n-tipa. Suprotno, trovalentne primese uslovljavaju stvaranje

supljina a dobijeni poluprovodnici su p-tipa. Spajanjem poluprovodnika p i n tipa dobija se takozvani

p − n spoj, ili poluprovodnicka dioda.9Ako sada kroz p − n spoj prode jonizujuca cestica, pod njenim dejstvom ce nastati stvaranje parova

elektron-supljina, i to u oba sloja, a pod dejstvom spoljasnjeg elektricnog polja nastace kretanja nastalih

supljina iz n sloja u p sloj i elektrona u obrnutom smeru, tako da ce kroz diodu proteci struja. Na taj

nacin stvorice se elektricni impuls pri svakom prolasku jonizujuce cestice kroz diodu.

Documents

Glava5 Jednosmerneinaizmeni•cnestruje