I numeri razionali - DiMaI - Dipartimento di Matematica e...

I numeri razionali

Veronica Gavagna

NOTA BENE: Queste slide offrono una sintesi di alcuni temi trattati a lezione (peraltro secondo un approccio lievemente diverso). Vengono messe a disposizione degli studenti come supporto allo studio, ma non sostituiscono in nessun modo i testi indicati in bibliografia

Cominciamo bene…

«Occorre persuadere molta gente che anche lo

studio è un mestiere, e molto faticoso, con un suo

speciale tirocinio, oltre che intellettuale, anche

muscolare-nervoso: è un processo di adattamento,

è un abito acquisito con lo sforzo, la noia e anche

la sofferenza. …Occorrerà resistere alla tendenza

di render facile ciò che non può esserlo senza

essere snaturato»

(A. Gramsci)

Introduzione all’insieme ℚ dei numeri razionali per insegnanti (!)

Ritorniamo alla «relazione di equivalenza». Consideriamo, ad esempio, la relazione xRy se e solo se x ha la stessa età di y (in questa classe di studenti, indicata con I) La relazione induce una partizione dell’insieme I, perché possiamo pensarlo come unione di sottoinsiemi, in ognuno dei quali sono contenuti gli studenti che hanno la stessa età. Ogni studente di questa classe appartiene a un unico sottoinsieme. Questi sottoinsiemi si chiamano classi di equivalenza. A loro volta, tali sottoinsiemi si possono pensare come elementi di un insieme quoziente.

Un esempio

Sia I= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

xRy se x e y, divisi per 3, danno lo stesso resto (sono congrui modulo 3)

A= 0, 3, 6, 9

B= 1, 4, 7, 10

C= 2, 5, 8

Osserviamo che A ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐼 e A∩B∩C=∅

A, B, C sono le classi di equivalenza, mentre

l’insieme 𝐴, 𝐵, 𝐶 è l’insieme quoziente.

Da (ℤ,+,∙) a (ℚ,+,∙)

Gli elementi di ℤ non ammettono inverso rispetto alla moltiplicazione (ad eccezione di 1)!

Consideriamo il prodotto cartesiano ℤ × ℤ0 cioè l’insieme delle coppie ordinate il cui primo elemento è un intero qualsiasi e il secondo è un intero diverso da zero. Definiamo in questo insieme la relazione

(a,b) R (c,d) se ad=bc

Es. (5,-2) R (-15,6) perché 5∙ 6 = (-2) ∙ (-15)

(3,5) R (7,8) ???

(a,b) R (c,d) se ad=bc • E’ riflessiva?

(a,b) R (a,b) se ab=ba

• E’ simmetrica? Se (a,b)R(c,d) allora (c,d) R (a,b)

Per ipotesi ad=bc e quindi è anche vero che cb=da perché?

• E’ transitiva? Se (a,b)R(c,d) e (c,d)R(e,f) allora (a,b)R(e,f) Per ipotesi ad=bc e cf=de. Moltiplico membro a membro e applico la legge di cancellazione (supponendo c non nullo)

adcf = bcde da cui af=be c.v.d

R è una relazione di equivalenza

Come sono fatte le classi di equivalenza rispetto a questa relazione?

A= {(1,1), (2,2), (3,3), (-2,-2)…. (x,x)}

B= {(1,2), (2,4), (3,6), … (x, 2x) }

C= {(3,4), (6,8), (12,16),…, (3x, 4x)}

…

Se invece di scrivere 𝑎, 𝑏 scriviamo 𝑎

𝑏 otteniamo

un oggetto molto familiare….

Le classi di equivalenza si chiamano numeri razionali e l’insieme quoziente, cioè l’insieme dei numeri razionali (le classi di equivalenza) si chiama ℚ.

Alcune convenzioni

La classe rappresentata, ad esempio, da (-3, 5) e coincide con la classe rappresentata da (3, -5). In altre parole

−𝑎

𝑏=

𝑎

−𝑏= −

𝑎

𝑏

La classe rappresentata, ad esempio, da (-7, -3) coincide con la classe rappresentata da (7,3)

−𝑎

−𝑏=𝑎

𝑏

Operazioni in ℚ L’addizione

Bisogna definire in ℚ un’addizione: 𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑎𝑑+𝑐𝑏

𝑏𝑑 (DEF.1)

E’ una buona definizione? In altre parole, il «risultato» cambia se invece di considerare

𝑎

𝑏 e

𝑐

𝑑

consideriamo altri rappresentanti della stessa classe di equivalenza?

Chiariamo con un esempio 3

4+2

5=

15 + 8

20=

23

20

Considero ora

9

12 e

8

20 rispettivamente equivalenti a

3

4 e

2

5. Se sommo

9

12 e

8

20 devo ottenere una frazione

equivalente a 23

20. Infatti

9

12 +

8

20=

180+96

240 =

276

240 frazione equivalente a

23

20

Per provare che questa è una buona definizione, si dovrebbe dimostrare che è indipendente dai rappresentanti delle classi di equivalenza.

Quindi una dimostrazione attendibile dovrebbe essere condotta in termini di grandezze generali e non – come sopra – con un esempio!

Invece, per capire che una definizione non è buona può bastare un esempio ben costruito, ovvero un cosiddetto controesempio.

Supponiamo che io voglia definire l’addizione così (DEF.2) 𝑎

𝑏+𝑐

𝑑=𝑎 + 𝑐

𝑏 + 𝑑

Quindi 1

2+1

3=1 + 1

2 + 3=2

5

Invece 2

4+3

9=2 + 3

4 + 9=

5

13

Ma 2

5 e

5

13 non appartengono alla stessa classe di equivalenza!

Quindi la DEF.2 non è una buona definizione.

Postilla sul controesempio Il controesempio è molto usato in matematica (quando si riesce a costruire!!!) Ricordate i quantificatori «per ogni», «esiste almeno»? Consideriamo la proposizione «Per ogni coppia di numeri razionali, la DEF.2 è una buona definizione» Come si nega? «Non è vero che per ogni coppia di numeri razionali, la DEF.2 è una buona definizione» ovvero «Esiste almeno una coppia di numeri razionali per cui DEF.2 non è una buona definizione»

Per la coppia 1

2 e

1

3 e le coppie equivalenti, la DEF.2 non è una

buona definizione e quindi questo controesempio nega che in generale DEF.2 sia una buona definizione.

Ancora sul controesempio

Come si può dire qualcosa di definitivo sulla congettura di Goldbach? Ricordiamo che, la congettura afferma: ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi (che possono essere anche uguali)

1. Si possono fare moltissimi esempi numerici che soddisfano la congettura

2. Si può trovare un numero pari >2 che non può essere scritto come somma di due primi

3. Si dimostra con «le lettere» (grandezze) che ogni numero pari può essere scritto come somma di due primi.

1. Non dimostra niente di definitivo

Torniamo all’addizione in Q…

Al momento noi abbiamo visto che DEF.1 potrebbe essere una buona definizione (ma non lo abbiamo dimostrato) mentre siamo certi che DEF.2 non è una buona definizione.

Esercizio: Dimostrare che DEF.1 è una buona definizione.

Proprietà dell’addizione in Q

Si verifica che l’addizione in Q gode delle proprietà

1. Commutativa

2. Associativa

In più esistono sempre

1. Elemento neutro

2. Inverso

La moltiplicazione in Q

La definizione in Q si definisce così 𝒂

𝒃 ∙𝒄

𝒅=𝒂𝒄

𝒃𝒅

Si verifica che questa è una buona definizione e inoltre che gode della proprietà 1. Commutativa 2. Associativa Esiste inoltre 3. Elemento neutro 4. Inverso Vale inoltre la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.

Che fine ha fatto Z?

Possiamo trovare dei numeri razionali (intesi come classi di equivalenza) che si possono «identificare» con i numeri interi?

Consideriamo le coppie di tipo (x,1) dove x è un numero intero. Ogni coppia appartiene a una classe di equivalenza distinta.

Possiamo identificare i numeri razionali rappresentati dalle coppie (x,1) con i numeri interi.

L’ordinamento di Q

Definiamo la seguente relazione in Q 𝒂

𝒃≤

𝒄

𝒅 se è 𝒂𝒅 ≤ 𝒃𝒄

Si può vedere che è relazione riflessiva, antisimmetrica e transitivita.

Inoltre, presi comunque 𝑎

𝑏 e

𝑐

𝑑 si ha sempre

𝑎

𝑏≤

𝑐

𝑑 oppure

𝑐

𝑑≤

𝑎

𝑏

Dunque ≤ è una relazione di ordine totale in Q

La densità di Q

La proprietà di densità afferma che, dati due razionali diversi ne esiste sempre almeno uno intermedio

Questa proprietà non vale sempre in N e nemmeno in Z.

Per esempio, tra 1 e 3 (in N) esiste il numero 2, ma tra 1 e 2 non troviamo alcun numero naturale.

Dati1

4e 1

2, come possiamo trovare un numero razionale

intermedio?

Per esempio, trovando la media aritmetica 1

2+

1

4

2=

3

4

2=

3

8 dove

1

4<

3

8 <

1

2

Quante sono le frazioni?

Possiamo contarle?

La proprietà di densità, che vale in Q ma NON in Z né in N, potrebbe far pensare che non sia possibile «contare» i numeri razionali, cioè che non sia possibile costruire un’applicazione biunivoca tra N e Q… invece non è così. Per semplicità, proviamo a contare i numeri razionali positivi (o assoluti, se includiamo anche lo zero).

Non useremo l’ordinamento indotto dalla relazione ≤, ma troveremo ugualmente il modo di costruire una successione che includa tutte le frazioni

Costruiamo questa tabella:

Sulla prima riga ci sono i numeri naturali (frazioni di denominatore 1), sulla seconda riga frazioni con denominatore 2, etc. Dove starà la frazione 15/43? Starà all’incrocio della 43-sima riga e della 15-sima colonna. La spezzata continua disegnata sopra passa per tutte le frazioni della tabella, cioè le conta!

Per contare i numeri razionali positivi non si può disporli in ordine di grandezza -- come abbiamo fatto per i numeri interi -- perché tra due razionali ne posso sempre inserire almeno un altro (e quindi infiniti…). L’idea di Georg Cantor (1845-1918) fu quella di trascurare la relazione d’ordine ≤ e di costruire una successione di numeri razionali analoga alla successione dei numeri naturali. In questa successione, se si eliminano le frazioni equivalenti, ogni numero razionale compare esattamente una volta. Posso allora costruire una corrispondenza biunivoca tra questa successione

{1, 2, ½, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, ¼, 1/5, 5, … } e N, il che significa che l’insieme dei numeri razionali ℚ è numerabile.

Il Paradosso del Grand Hotel David Hilbert (1862-1943)

Ricordate l’albergatore che aveva un’infinità numerabile di stanze (ℕ) e aveva dovuto far posto a infiniti nuovi clienti? Era il problema della numerabilità di ℤ: «…E, se arriva un’infinità numerabile di nuovi clienti il portiere sposta i vecchi clienti nelle stanze pari (quindi li sposta dalla stanza n alla stanza 2n) sistemando i nuovi nelle stanze dispari»

Ancora più difficile: ci sono infiniti alberghi con infinite stanze, tutti al completo. Tutti gli alberghi chiudono, tranne uno. Tutti gli ospiti vogliono alloggiare nell'unico albergo rimasto aperto. Sarebbe possibile procedere come prima, ma solo scomodando infinite volte gli ospiti.

Un modo alternativo, invece, è di assegnare ad ogni persona una coppia di numeri (n,m) in cui n indica l'albergo di provenienza, e m la relativa stanza. Gli ospiti sono quindi etichettati in questo modo:

A questo punto basta assegnare le nuove stanze agli ospiti secondo un criterio ordinato, ad esempio per diagonali:

Il Paradosso del Grand Hotel

e la letteratura (qualche titolo)

• Stanislaw Lem, L’hotel straordinario o il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo, in Racconti matematici, Einaudi

• Alex Bellos, Il meraviglioso mondo dei numeri, capitolo XI, Al capolinea, Einaudi

• John D. Barrow, Benvenuti all'Albergo Infinito

Capitolo III di L'infinito, Mondadori

• Luca Ronconi, Infinities (spettacolo teatrale)

Retta bucata…

Abbiamo visto che l’insieme dei numeri razionali è denso, cioè dati due razionali esiste sempre un numero razionale compreso tra di essi (e quindi ne esistono infiniti, no?). Questo potrebbe far pensare che, nella nostra retta dei numeri, ad ogni punto corrisponda un numero razionale…. non è così! (In gergo si dice ℚ non è completo) Nella retta rimangono ancora moltissimi punti non «assegnati», cioè moltissimi buchi, che saranno riempiti solo dai numeri irrazionali e solo allora ci sarà una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta (reale) e l’insieme dei numeri reali. Attenzione però: L’insieme dei numeri reali non è numerabile, cioè l’albergatore del Grand Hotel non riuscirebbe a sistemarli!!

La rappresentazione dei razionali Il modello del segmento su foglio quadrettato

Si può così verificare che 1

2+

1

2 = 1

1

3+

1

3 +1

3 = 1…

Il confronto tra frazioni

Mano a mano che aumenta

il denominatore le parti

rimpiccioliscono.

Quindi 1

7 >

1

9 e anche

5

7 >

5

9

Tra frazioni aventi lo stesso numeratore, sarà sempre maggiore quella avente denominatore minore

Tra frazioni aventi lo stesso denominatore sarà sempre maggiore quella avente il numeratore maggiore.

Quando si devono confrontare frazioni del tipo 2

3 e

3

4 si riducono in genere allo stesso

denominatore (per applicare il secondo criterio) 8

12<

9

12

Un criterio alternativo….

Di una buona torta preferisci

avere i 4/5 o i 5/6? A.Cerasoli Io conto, FeltrinelliKids

«Questa domanda è difficile. Infatti, i quinti sono più grandi dei sesti, ma di quinti ne prendi solo 4, e invece di sesti ne prendi 5, uno in più. Allora come fai a regolarti? […] mi sono ricordato quello che dice mia nonna quando mi servo dal piatto di portata. Dice: «Pensa anche agli altri, pensa a quello che resta». E infatti se tu prendi 4/5 resta 1/5, se prendi 5/6 resta 1/6, che è più piccolo di 1/5»

Addizione e sottrazione con le

frazioni

Fino a questo punto, gli studenti hanno imparato a sommare e sottrarre frazioni con lo stesso denominatore. Se le frazioni non hanno lo stesso denominatore, ci si può ricondurre a questo caso

2

5+3

4+5

8=16

40+30

40+25

40=16 + 30 + 25

40=71

40

Moltiplicazione tra frazioni

NB!!!: La moltiplicazione tra frazioni non ha il significato che si attribuisce alla moltiplicazione tra naturali (somma ripetuta). E’ importante sottolineare questo aspetto!!

Ci sono almeno due modi per definire la moltiplicazione tra frazioni

1. Formale: Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori

Costruttivo: Ad esempio,

3

4 ×

1

2

Si rappresenta la frazione ¾ sul segmento di riferimento, si prende la metà di quella parte e si verifica che corrisponde ai 3/8 del segmento

Un’altra modellizzazione è quella geometrica, basata sul fatto che un prodotto tra due fattori può essere interpretato come la superficie di

di un rettangolo i cui lati misurano esattamente quanto indicato dai fattori. Se si considera il quadrato unitario

3

4×5

6

Si osserva che viene diviso in 24

parti e che l’area del rettangolo

corrisponde a 15 parti e dunque 3

4×5

6=15

24

Divisione tra frazioni

In ℕ la divisione viene presentata come l’operazione inversa della moltiplicazione. Ad es., se

15 × 4 = 60

Significa che 60: 4 = 15 e anche 60: 15 = 4

La moltiplicazione 3

4×5

6=15

24

ha come inverse 15

24∶3

4=

5

6 e

15

24:5

6=

3

4

15

24∶3

4=5

6

Lo stesso risultato si ottiene anche facendo questa operazione:

15

24 ×

4

3=5

6

E si «deduce» (in realtà da questo esempio non si potrebbe proprio dedurre niente di generale, ma facciamo finta che si possa…) che Per dividere una frazione per un’altra basta moltiplicare la prima per l’inversa della seconda

Frazioni e percentuali

Le scritture 10%, 4% stanno ad indicare

rispettivamente 10

100 e

4

100

Quindi «sconto del 20%» significa che ogni 100 euro ne vengono scontati 20.

Vediamo qualche problema…

Attenzione ai saldi A.Cerasoli, Io conto, FeltrinelliKids

«Questo fatto è successo alla nostra maestra (lei ci racconta sempre quando le fanno qualche ingiustizia, così poi noi stiamo attenti e non ci lasciamo imbrogliare). E’ andata in un negozio per comprare una cosa (adesso non mi ricordo bene quale) che costava 200 euro. Siccome c’erano i saldi, le avevano detto che le scontavano il 30%, perciò lei stava tranquilla e già pensava che le toglievano 60 euro. Invece, quando è andata a pagare, la cassiera le ha detto che lo sconto era del 20% più il 10%. E lei si è arrabbiata. A quel punto noi non capivamo perché si era arrabbiata;

Marta gliel’ha pure detto: «Maestra, ma 30 è proprio la somma di 20 e 10, perché ti sei arrabbiata?»

«Visto com’è facile cascarci?» ha risposto lei.

«E allora spiegacelo»

La spiegazione è questa: se fai il 20% di 200 ottieni 40. Perciò resta da pagare 160. Ora, se fai ancora lo sconto del 10% su questi 160 euro che restano, significa che ti scontano altri 16 euro e perciò in tutto ti tolgono 56 euro, non 60! Capito? Questo succede perché lo sconto del 20% è sull’intera somma, invece il secondo sconto, quello del 10%, è solo su quello che resta dopo il primo sconto! Ma lo dovrebbero dire prima… ha fatto bene la nostra maestra ad arrabbiarsi. E ha fatto bene a raccontarcelo.»

Un esempio (ahimé) attuale

Supponete di aver investito 100 euro nelle azioni dell’Azienda XYZ. Ieri le vostre azioni hanno perso il 5% del loro valore. Oggi il telegiornale annuncia che le azioni XYZ hanno guadagnato il 5%. Avete ancora 100 euro oppure no? No, perché avete guadagnato il 5% di 95 euro, che è inferiore a 5 euro

Quanto avrebbero dovuto recuperare in percentuale, per restituirvi il capitale iniziale? L’ 1% di 95 euro è pari a 0,95 euro, quindi 5:0,95=5,26 circa; dunque le azioni avrebbero dovuto guadagnare il 5,26 %

Attenzione alle offerte A.Cerasoli Io conto, FeltrinelliKids

La nostra maestra ha un fiuto speciale per scoprire gli imbrogli. Dovrebbero darle la medaglia come a quel cane bianco e marrone che ha scovato tantissima droga all’aeroporto. Ieri è successo così. L’hanno chiamata sul cellulare e le hanno detto: «Per ogni euro di ricarica, noi aggiungiamo 5 euro, così risparmia la metà». E lei ha risposto: «Siete degli imbroglioni, ecco cosa siete, perché nonè veroche risparmio la metà, risparmio solo un terzo! Questa cosa è un po’ difficile da capire: io il cellulare non ce l’ho, ma mi sembrava proprio che poteva risparmiare la metà. E pure i miei compagni la pensavano così. Allora lei ce l’ha spiegato con le monete vere: 5 euro sono solo un terzo, non la metà di tutti i 15 euro di ricarica! E’ forte la nostra maestra.»

Il problema dei cammelli (in varie versioni) B. d’Amore, P.Oliva, Numeri, FrancoAngeli 1994, pp.179-180

U.Cattabrini, Matematica, Le Monnier 2001, p.77 http://utenti.quipo.it/base5/numeri/eredita.htm (varie versioni)

Un padre morendo lascia ai suoi tre figli 35 cammelli disponendo che questi vengano suddivisi in modo che al primo figlio ne tocchino la metà, al secondo la terza parte e al terzo la nona parte.

La pratica non aiuta i tre fratelli i quali, messi di fronte alla difficoltà di non poter ottenere valori interi per nessuna delle ripartizioni in cui andava divisa la mandria, finiscono per litigare tra loro. Ricorrono infine al giudizio di un saggio viandante che passava con il suo cammello.

Questi, per risolvere il problema, aggiunse alla mandria il proprio cammello, portandola così a 36 animali. Da questi ne tolse 18 per il primo dei tre figli, attribuendogli in questo modo più dei 17 cammelli e mezzo che gli sarebbero spettati

dividendo a metà i 35 lasciati dal padre. Ne assegnò poi 12, pari a un terzo di 36, al secondo figlio, che ugualmente traeva un vantaggio rispetto agli 11 e rotti che avrebbe dovuto ricevere. Diede infine 4 cammelli (1/9 di 36) al terzo fratello, invece dei «quasi» 4 che avrebbe ricevuto se i cammelli fossero stati 35. In questo modo il saggio fece contenti i tre eredi, distribuì 18+12+4=34 cammelli, si tenne naturalmente i 2 cammelli rimasti (uno perché era suo e l’altro per non rovinare una distribuzione così ben fatta) e riprese il suo cammino» Questa e altre storie matematiche si trovano anche in T.Malba, L' uomo che sapeva contare. Una raccolta di avventure matematiche, Salani 1996.

Come si spiega?

Se sommiamo 1

2+

1

3+

1

9=

17

18

otteniamo meno di un’unità. La ripartizione dei cammelli in ½ , 1/3 e 1/9, quindi «lascia fuori» 1/18.

Se il numero da ripartire diventa 36, allora 1/18 di 36 corrisponde esattamente ai 2 cammelli che il saggio (e furbo) viandante tiene per sé.

R.Battisti, Proposte di lavoro e riflessione sui numeri razionali http://www.iprase.tn.it/iprase/content?noderef=workspace://SpacesStore/d4f5ce84-b5bc-4f85-a397-05eec6fb2eb7&type=documentazione&contentType=attivita&lan=IT

Rappresentazione dei numeri razionali:

i numeri decimali finiti

Un numero decimale finito è un numero razionale che può essere rappresentato nella forma

𝑛 +𝑎110

+𝑎2102

+⋯+𝑎𝑚10𝑚

Dove n e m sono numeri naturali non nulli, e i termini 𝑎𝑘 rappresentano una delle cifre da 0 a 9.

In genere si usa scrivere 𝑛, 𝑎1𝑎2… 𝑎𝑚

Esempi

Consideriamo il numero 2,175

2,175 = 2 +1

10+

7

102+

5

103=

= 2 +1

10+

7

100+

5

1000=

2175

1000

Consideriamo il numero 0,107

0,107 = 0 +1

10+

0

100+

7

1000=

1

10+

7

1000=

107

1000

Attenzione!

Ogni numero decimale finito rappresenta

un numero razionale, ma non vale il

viceversa, ovvero non tutti i numeri

razionali possono essere rappresentati

come decimali finiti

Consideriamo il numero razionale 1

3. Per trovare

la sua espansione decimale, eseguiamo la divisione 1:3=0,333….

Allora

1

3= 0,333…

oppure 1

3= 0 +

3

10+

3

102+

3

103+⋯

In ogni caso il processo non si arresta mai e quindi non possiamo rappresentare 1/3

come un numero decimale finito

Si tratta, in questo caso, di un numero decimale periodico

I numeri decimali periodici I numeri decimali periodici sono numeri razionali che si rappresentano nella forma

𝑛, 𝑏𝑐𝑑𝑎1𝑎2…𝑎𝑛𝑎1𝑎2…𝑎𝑛… anche

𝒏, 𝒃𝒄𝒅 𝒂𝟏𝒂𝟐…𝒂𝒏 come, ad esempio 8, 47213213213213.. o 𝟖, 𝟒𝟕𝟐𝟏𝟑 Il numero naturale n è la parte intera del numero, bcd sono le cifre dell’antiperiodo, mentre 𝒂𝟏𝒂𝟐…𝒂𝒏 sono le cifre del periodo. Nell’esempio 8 è la parte intera, 47 è l’antiperiodo e 213 è il periodo.

Attenzione!

Ogni numero razionale può essere rappresentato come un numero decimale finito oppure come un numero decimale periodico

Questa volta il viceversa è vero: ogni numero decimale finito o periodico rappresenta un numero razionale Domanda «da matematico»: possiamo considerare un decimale finito come un caso particolare di un decimale periodico? In questo caso potremmo dire che un razionale si rappresenta sempre come un decimale periodico?

Test per le espansioni decimali

Possiamo sapere a priori se una frazione ridotta ai minimi termini rappresenta un decimale finito oppure periodico?

a) Se il denominatore contiene solo potenze di 2 o potenze di 5, si ha un decimale finito: 𝟏

𝟐= 𝟎, 𝟓;

𝟔

𝟓𝟎=

𝟎, 𝟏𝟐, 𝟑

𝟓= 𝟎, 𝟔;

𝟏𝟕

𝟏𝟔= 𝟏, 𝟎𝟔𝟐𝟓

b) Se il denominatore non contiene potenze di 2 né di 5, allora si ha un periodico semplice: 𝟏

𝟑= 𝟎, 𝟑 ;

𝟒𝟗

𝟑𝟑= 𝟏, 𝟒𝟖;

𝟏𝟑

𝟕= 𝟏, 𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐

c) Se il denominatore contiene potenze di 2 o di 5 e altri numeri primi, allora si ha un periodico misto: 𝟒𝟏

𝟏𝟏𝟎= 𝟎, 𝟑𝟕𝟐;

𝟓

𝟏𝟖= 𝟎, 𝟐𝟕

Proviamo a vedere perché…

Non faremo dimostrazioni generali, ma cerchiamo di capire, seguendo un esempio guida, su cosa sia basata la «regola» precedente. Vediamo perché 1/3 non si può scrivere come decimale finito. Se questo fosse possibile, esisterebbe una frazione decimale tale che:

1

3=

𝑎

10𝑘

Ma non può essere 10𝑘 = 3𝑎 perché 3 non è un divisore di 10. Dunque non esiste una frazione decimale uguale a 1/3.

Come si risale da un decimale finito

alla frazione generatrice?

Consideriamo ad esempio

2,34 = 2 +3

10+

4

100=

234

100

0,653 = 0 +6

10+

5

100+

3

1000=

653

1000

Si potrebbe quindi dedurre la «regola» La frazione generatrice di un decimale finito è la frazione che ha per numeratore il numero costituito dalle cifre presenti nel numero decimale e per denominatore la potenza di dieci con esponente uguale al numero delle cifre decimali

Come si risale da un decimale

periodico alla frazione generatrice?

Distinguiamo i periodici in periodici semplici (senza antiperiodo) e misti (con antiperiodo)

Cominciamo con un esempio. Sia 2, 13 il decimale e 𝑎

𝑏 la

frazione che dobbiamo trovare. 𝑎

𝑏= 2,1313131313…

Moltiplichiamo per 100 entrambi i membri (cioè per 10𝑛 dove n è il numero delle cifre del periodo)

100 ×𝑎

𝑏= 100 × 2,1313131313…

100 ×𝑎

𝑏= 213,13131313…

Sottraiamo a/b da entrambi i membri

(100 ×𝑎

𝑏) −

𝑎

𝑏= 213,13131313…−

𝑎

𝑏

(100 ×𝑎

𝑏) −

𝑎

𝑏= 213,13131313…− 2,1313131313

100 − 1 ×𝑎

𝑏= 211

99 ×𝑎

𝑏= 211

𝑎

𝑏=211

99

Generalizzando il procedimento, possiamo dedurre la regola

La frazione generatrice di un decimale periodico semplice è una frazione che ha

1. come numeratore il numero che si ottiene dalla differenza tra il numero formato da tutte le cifre (parte intera, ‘antiperiodo’ e periodo) e il numero costituito solo dalla parte intera;

2. come denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo

Nel caso precedente

2, 13 =213 − 2

99=

211

99

Consideriamo il decimale periodico misto 𝟑, 𝟐𝟓 e cerchiamo la sua frazione generatrice a/b.

𝑎

𝑏= 3,25555555…

Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (cioè per 10𝑛 dove n è il numero di cifre dell’antiperiodo)

10 ×𝑎

𝑏= 10 × 3,25555555… = 32,55555…

10 ×𝑎

𝑏= 32,5555… .

Ma 32,5555… è un numero periodico semplice e

Quindi possiamo applicare la regola precedente

32, 5 =

325 − 32

9

Allora

10 ×𝑎

𝑏=

325−32

9

𝑎

𝑏=325 − 32

90

Possiamo ottenere allora una regola generale per determinare la frazione generatrice di un decimale periodico misto

Frazione generatrice di un

numero periodico misto

La frazione generatrice di un decimale periodico misto è una frazione che ha

1. come numeratore il numero che si ottiene dalla differenza tra il numero formato da tutte le cifre (parte intera, antiperiodo e periodo) e il numero costituito dalla parte intera e dall’antiperiodo;

2. come denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo

Possiamo assumere la seconda definizione come definizione generale e unica (senza distinguere in decimali semplici e misti)?

Applichiamo la regola al decimale semplice 2, 13

Numeratore: 213-2 (antiperiodo è 0)

Denominatore: 99 (non c’è l’antiperiodo quindi non ha cifre)

In definitiva si ottiene ancora 2, 13 =213−2

99=

211

99

La seconda regola comprende anche la prima!!!

Casi eccezionali ovvero «quando il periodo è formato da soli 9»

Consideriamo questi due esempi

12, 9 =129 − 12

9=117

9= 13

4,39 =439 − 43

90=396

90= 4,4

Cosa ci dicono?

1. 12, 9 e 13 (risp. 4,39 e 4,4) sono due rappresentazioni dello stesso numero razionale

2. Una frazione non potrà mai rappresentarsi come un decimale periodico di periodo 9

Decimali illimitati aperiodici

Abbiamo visto finora due tipi di numeri decimali

1. Decimali finiti o limitati

2. Decimali illimitati periodici

Entrambi rappresentano numeri razionali.

Esistono numeri decimali illimitati le cui cifre non si ripetono con regolarità (aperiodici)?

Il famigerato «3 e 14» ovvero «pi greco» è un numero di questo tipo…

I numeri di questo tipo si chiamano irrazionali

Piccola digressione su pi greco (𝝅)

Come ricordare (alcune) cifre di 𝜋? 3, 1415926535897932384626433832795028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825…..

Uno stratagemma (numero lettere=parte intera + decimali)

• Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza. Che n'ebbe d'utile Archimede da ustori vetri sua somma scoperta? Pigreco

• Noi e loro, a volte, bisognamo di notare cifre fra molte, affinché calcolare possiam lunghezze. Con il mio versetto quel numero si arreca. Dici che son prodezze? Fai un risetto, letterina greca!

Da (http://utenti.quipo.it/base5/numeri/pigreco.htm)

Un giochino divertente sulle cifre decimali di 𝜋 si trova:

http://www.museoscienza.org/eureka/approfondimenti.asp#

I numeri irrazionali

Il termine «razionale» deriva dal latino ratio che significa, tra le altre cose, anche rapporto. Abbiamo in effetti visto che i numeri razionali si possono esprimere come una frazione, cioè come un rapporto tra numeri interi.

Sembra plausibile dunque supporre che i numeri irrazionali sono numeri che non si possono rappresentare con una frazione… e in effetti è così. Vediamo un classico esempio: 2

2 è un numero irrazionale

Vogliamo vedere che non è possibile trovare alcuna frazione

𝑚

𝑛 (m, n interi, n non nullo, m e n primi tra

loro) tale che

2 =𝑚

𝑛

Ragioniamo per assurdo e supponiamo invece che una tale frazione esista. Allora sarà anche vero che

2 =𝑚2

𝑛2

Cioè 2𝑛2 = 𝑚2

Osserviamo che, se un numero termina per

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

il suo quadrato finisce per

0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

e il doppio del suo quadrato finisce per

0 2 8 8 2 0 2 8 8 2

Il numero 𝑚2potrà terminare per 0, 1, 4, 5, 6 oppure 9, mentre 2𝑛2potrà terminare per 0, 2, 8, ma essendo 𝑚2 = 2𝑛2 l’unica possibilità è che terminino per 0. Se 𝑚2 termina per 0, anche 𝑚 deve terminare per 0. Se 2𝑛2 termina per 0, allora 𝑛2 deve terminare per 0 oppure per 5, e quindi 𝑛 deve a sua volta terminare per 0 oppure per 5.

Abbiamo allora due casi

1. 𝑚 termina per 0 e 𝑛 termina per 0. Questo significa che 𝑚 e 𝑛 sono divisibili per 10, cioè non sono primi tra loro, come avevamo supposto. In questo caso arriviamo a una contraddizione!

2. 𝑚 termina per 0 e 𝑛 termina per 5. Questo significa che 𝑚 e 𝑛 sono divisibili per 5 cioè non sono primi tra loro, come avevamo supposto. Anche in questo arriviamo a una contraddizione!

In entrambi i casi siamo dunque arrivati a una contraddizione, nata dall’aver supposto che

esistesse una frazione 𝑚

𝑛 in grado di

rappresentare 2. Possiamo allora concludere che

Non esiste alcuna frazione che

rappresenta 𝟐, ovvero 𝟐 è un numero irrazionale

Postille sulla dimostrazione La dimostrazione precedente è molto semplice, ma è

fortemente legata alla scrittura decimale posizionale dei numeri, quindi non è una dimostrazione veramente generale.

Per di più, mentre è relativamente semplice, con argomenti simili, dimostrare l’irrazionalità di 3 (provare…) diventa più complesso con altri numeri come, ad esempio 5.

La precedente dimostrazione è tratta da Pitagora e il suo teorema (a cura di E.Giusti), Polistampa 2001.

Alla pagina http://web.math.unifi.it/users/dolcetti/radicedi2.pdf

Trovate una dimostrazione diversa dell’irrazionalità di 2 (a cura del Prof. Dolcetti). Studiate quella che preferite.

Materiali per attività didattiche

R.Battisti, Proposte di lavoro e riflessione sui numeri razionali http://www.iprase.tn.it/iprase/content?noderef=workspace://SpacesStore/d4f5ce84-b5bc-4f85-a397-05eec6fb2eb7&type=documentazione&contentType=attivita&lan=IT

Matematica 2001. Il numero http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/seconda/numero/elementari.pdf

Matematica 2001. Il numero http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/seconda/numero/elementari.pdf

Schede relative ad attività didattiche coi numeri decimali

1. I numeri decimali (III elementare, con esempio di discussione matematica)

2. Divisione: dal significato alle procedure (IV)

3. Vince il più piccolo (III)

4. Cioccolato (V)

5. Calcolatrice (V) Sull’uso eccessivo (e non ragionato) della calcolatrice, consiglio di leggere un bel racconto di I.Asimov, Nove volte sette, disponibile anche in rete http://www.itismarzotto.it/cd/materiali/biennio/asimov_9volte7.pdf

Riferimenti bibliografici

Queste slide si basano essenzialmente su

• F.Speranza, D.Medici Caffarra, P.Quattrocchi, Insegnare la matematica nella scuola elementare, Zanichelli 1986 (Cap.3)

• L.Bazzini, A.Scimone, F.Spagnolo, Il mondo dei numeri. Teoria e didattica, Palumbo 2006 (Cap.3)