Citation preview
PROGRAM GELTRME UZMANI Doç. Dr. Hasan Hüseyin AHAN
Doç. Dr. Erdoan TEZC
GÖRSEL TASARIM UZMANLARI
Mehmet ZEBER Tufan Burhan LER
MLLÎ ETM BAKANLII YAYINLARI
............................................................................:
7036 YARDIMCI VE KAYNAK KTAPLAR
DZS.......................................................................:
1189
Her hakk sakldr ve Millî Eitim Bakanlna aittir. Kitabn metin, soru
ve ekilleri ksmen de olsa hiçbir surette alnp yaymlanamaz.
Millî Eitim Bakanl, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlnn 25.06.2018 gün
ve 12254648 sayl yazs ile eitim arac olarak kabul edilmi, Destek
Hizmetleri Genel Müdürlüünün 28.05.2019
gün ve 10443977 sayl yazs ile birinci defa 19.271 adet
baslmtr.
ISBN 978-975-11-5000-4
Korkma, sönmez bu afaklarda yüzen al sancak; Sönmeden yurdumun
üstünde tüten en son ocak. O benim milletimin yldzdr, parlayacak; O
benimdir, o benim milletimindir ancak.
Çatma, kurban olaym, çehreni ey nazl hilâl! Kahraman rkma bir gül!
Ne bu iddet, bu celâl? Sana olmaz dökülen kanlarmz sonra helâl.
Hakkdr Hakk’a tapan milletimin istiklâl.
Ben ezelden beridir hür yaadm, hür yaarm. Hangi çlgn bana zincir
vuracakm? aarm! Kükremi sel gibiyim, bendimi çiner, aarm. Yrtarm
dalar, enginlere smam, taarm.
Garbn âfâkn sarmsa çelik zrhl duvar, Benim iman dolu gösüm gibi
serhaddim var. Ulusun, korkma! Nasl böyle bir iman boar, Medeniyyet
dediin tek dii kalm canavar?
Arkada, yurduma alçaklar uratma sakn; Siper et gövdeni, dursun bu
hayâszca akn. Doacaktr sana va’dettii günler Hakk’n; Kim bilir,
belki yarn, belki yarndan da yakn
Bastn yerleri toprak diyerek geçme, tan: Düün altndaki binlerce
kefensiz yatan. Sen ehit olusun, incitme, yazktr, atan: Verme,
dünyalar alsan da bu cennet vatan.
Kim bu cennet vatann uruna olmaz ki feda? üheda fkracak topra
sksan, üheda! Cân, cânân, bütün varm alsn da Huda, Etmesin tek
vatanmdan beni dünyada cüda.
Ruhumun senden lâhî, udur ancak emeli: Demesin mabedimin gösüne
nâmahrem eli. Bu ezanlar -ki ehadetleri dinin temeli- Ebedî
yurdumun üstünde benim inlemeli.
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- tam, Her cerîhamdan lâhî,
boanp kanl yam, Fkrr ruh- mücerret gibi yerden na’m; O zaman
yükselerek ara deer belki bam.
Dalgalan sen de afaklar gibi ey anl hilâl! Olsun artk dökülen
kanlarmn hepsi helâl. Ebediyyen sana yok, rkma yok izmihlâl; Hakkdr
hür yaam bayramn hürriyyet; Hakkdr Hakk’a tapan milletimin
istiklâl!
Mehmet Âkif Ersoy
ilelebet muhafaza ve müdafaa etmektir.
Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin
en
kymetli hazinendir. stikbalde dahi, seni bu hazineden mahrum
etmek
isteyecek dâhilî ve hâricî bedhahlarn olacaktr. Bir gün, istiklâl
ve cumhuriyeti
müdafaa mecburiyetine düersen, vazifeye atlmak için, içinde
bulunacan
vaziyetin imkân ve eraitini düünmeyeceksin! Bu imkân ve erait,
çok
namüsait bir mahiyette tezahür edebilir. stiklâl ve cumhuriyetine
kastedecek
dümanlar, bütün dünyada emsali görülmemi bir galibiyetin
mümessili
olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatann bütün kaleleri zapt
edilmi, bütün
tersanelerine girilmi, bütün ordular datlm ve memleketin her köesi
bilfiil
igal edilmi olabilir. Bütün bu eraitten daha elîm ve daha vahim
olmak üzere,
memleketin dâhilinde iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve
hattâ hyanet
içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri ahsî
menfaatlerini,
müstevlîlerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u
zaruret içinde
harap ve bîtap dümü olabilir.
Ey Türk istikbalinin evlâd! te, bu ahval ve erait içinde dahi
vazifen,
Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktr. Muhtaç olduun
kudret,
damarlarndaki asil kanda mevcuttur.
Sayfa numaralarn gösterir.
Önceki örenmeleri hatrlatan, dikkat edilmesi gereken noktalar
gösterir.
Konuya ait tanm ve özellikleri gösterir.
Konu ile ilgili görselleri gösterir.
Konu numaralarn ve adlarn gösterir.
Ana balklar gösterir.
Matematik tarihinde ün yapm isimlerin tantld bölümleri
gösterir.
Yeni örenmelere yol açacak ksa bilgilendirmeleri gösterir.
7
Kitabmz Tanyalm
Karekod okuyucu ile taratarak resim, video, animas- yon, soru ve
çözümleri vb. ilave kaynaklara ulaa- bileceiniz barkod. Detayl
bilgi için http://kitap.eba. gov.tr/karekod
Konu anlatmndan sonra bilgileri adm adm yaplandracak nitelikteki
örnek ve çözümlerin yer ald bölümleri gösterir.
Konu bittikten sonra, konunun pekimesini salayacak sorular
gösterir.
Konuyla ilgili metinlerin yer ald bölümleri gösterir.
Edinilen bilgiler nda konunun zihinde yaplanmasn salamak amacyla
örencilerin etkin rol alaca sorular gösterir.
lgili ünitedeki bütün konular içeren sorularn olduu bölümleri
gösterir.
8
1. Kendimizi
Snayalm......................................................................
79 2. Kendimizi
Snayalm.....................................................................
81
9
2.1.1. Özdelik ve Denklem Kavramlarnn Tarihsel
Geliimi................. 106 2.1.2. Özdelikler ve
Denklemler................................................................
108
Kendimizi
Snayalm..........................................................................
114 2.1.3. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli
Denklemler............................. 117 2.1.4. Birinci
Dereceden ki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin
10
137-185
3.1.1. Aç Kavramnn Tarihsel
Geliimi........................................... 206 3.1.2. Aç le
lgili Temel Kavramlar ve Aç Çizimi........................... 208
3.1.3. Paralel ki Dorunun Bir Kesenle Yapt Açlar...................
213 3.2.. ÜÇGENDE
AÇILAR.......................................................................
222
3.2.1. Üçgen Kavramnn Tarihsel
Geliimi..................................... 222 3.2.2. Üçgen
Çizimleri........................................................................
225 3.2.3. Üçgende Aç
Uygulamalar.....................................................
230
Cevap
Anahtarlar....................................................................
266
Sözlük......................................................................................
272
Kaynakça.................................................................................
274
11
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
= eittir ≠ eit deildir ∈ elemandr ∉ eleman deildir { } küme
parantezi (Bo küme sembolüdür.) ∅ bo küme < küçüktür >
büyüktür ≤ küçüktür veya eittir ≥ büyüktür veya eittir N doal
saylar kümesi {0, 1, 2,...,9} rakamlar kümesi Z tam saylar kümesi Z
- negatif tam saylar kümesi Z
+ pozitif tam saylar kümesi Q rasyonel saylar kümesi Ql irrasyonel
saylar kümesi R gerçek saylar kümesi an a üssü n
karekök ax + by + c = 0 birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem
a x b y c a x b y c
1 1 1
2 2 2
3 birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi
% yüzde (x,y) sral ikili [AB AB n ]AB AB yar dorusu
,a b6 @ a b kapal aral ( , )a b a, b açk aral
,a bh6 a dan kapal, b den açk aralk AB6 @ AB doru parças AB AB doru
parçasnn uzunluu
A /
birebir eleme & ise + benzerdir ≅ elik ' paraleldir
diktir
Sembol ve Gösterimler
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
Bu ünitede say kümelerini ve say kümelerinde ilem yapmay, say
problemlerini çözmeyi, üslü ve kareköklü ifadelerin özelliklerini,
baz akl yürütme ve ilem oyunlarn öreneceksiniz.
1.1. DOAL SAYILAR 1.2. TAM SAYILAR 1.3. RASYONEL SAYILAR 1.4. ÜSLÜ
VE KAREKÖKLÜ FADELER 1.5. AKIL YÜRÜTME VE LEM OYUNLARI
1. ÜNTE: SAYILAR SAYILAR VE CEBR
13 13
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
Matematiin yazl tarihi be dönemde incelenir:
Msr ve Mezopotamya Dönemi: Bu dönem, MÖ 2000-500’lü yllar arasnda
kalan 1500 yllk bir zaman dilimini kapsar.
Yunan Matematii Dönemi: MÖ 500-MS 500 yllar arasnda kalan 1000 yllk
bir zaman dilimini kapsar.
Hint, slam ve Rönesans Dönemi: MS 500’lerden kalkülüsün (analiz)
balangcna kadar olan 1200 yllk bir zaman dilimini kapsar.
Klasik Matematik Dönemi: 1700-1900 yllar ara- snda kalan ve
matematiin altn ça olarak bilinen dönemdir.
Modern Matematik Dönemi: 1900’lerin bandan günümüze uzanan içinde
bulunduumuz dönemdir.
lk insanlarn saydklarn kaydetmek için çentik yap- tklarna ve kesin
olmamakla birlikte ilk say sisteminin çentiklerden olutuuna dair
inan vardr. Geçmiten günümüze çentikler iaret ve sembollere,
semboller günümüzdeki rakamlara dönüerek sayma sistemleri
gelimitir. Ali Ülger <home.ku.edu.tr/~aulger/mkbt.doc>
Saylar yazmak için kullanlan sembollere rakam denir. Onluk sayma
sisteminin rakamlar, kümesinin elemanlardr.
Romen rakamlar, kümesinin elemanlardr (Kümede sfr rakam
yok.).
Arap rakamlar, kümesinin elemanlardr (Kümede sfr rakam var.).
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9" ,
A A
2017 = 1997 =
Bu ilemlerden de anlalaca üzere Romen rakamlar ile dört ilem
yaplmas zordur.
Ünlü Türk-slam matematikçisi Harezmi’nin yazd, Batl matematikçiler
tarafndan tercümesi yaplan eserinde yer alan Hint hesap sistemi ve
rakamlar günümüze kadar kullanlmtr. Ülkemizde de Harf n- klab
yaplmadan önce Hint hesap sistemi ve Hint rakamlar kullanlmaktayd.
Günümüzde ayn hesap sistemi, yeni rakamlarla kullanlmaya devam
etmektedir.
1.1. DOAL SAYILAR
15
Harezmi (780-850)
Harezmi 780’de Özbekistan’n Harezm kentinde doan dünyaca ünlü
Türk-slam matematikçisidir. Ce- birin en büyük bilim insanlarndan
biridir. Çünkü cebirin ve algoritmann kurucusudur. Harezmi, sadece
matematikle deil ayn zamanda astronomi ve corafyayla da
ilgilenmitir. Türk-slam medeniyetinde yetiip Bat dünyasn en çok
etkileyen bilim insanlarndandr.
Harezmi’nin bu kadar önemli bir bilim insan olmasnn sebebi sadece
cebirin kurucusu olmas deil, ayn zamanda gelitiricisi de olmasdr.
Harezmi; aritmetik alannda yazd kitab ile Hint rakam ve he- sap
sistemini Bat dünyasna tamtr. Bu hesaplama sistemi Harezmi’nin
isminden türetilen algoritma (algorism) adn almtr. Cebir konusunda
yazlan ilk ve en yaygn kitap da Harezmi'nin yazd “Kita-
bü’l-Muhtasar fi’l-Hisabi’l Cebr ve’l-Mukâbele”dir. Harezmi’nin bu
eseri kendisine bilim dünyasnda büyük ün kazandrmtr. Bu yaptta ana
konular; birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözümleri, binom
çarpmlar, çeitli cebir problemleri ve miras hesabdr. Harezmi’nin bu
büyük yapt XII. yüzylda Latin- ceye çevrilmitir. Bat dünyas bu
yapttan çok etkilenmitir. Cebir, Bat dünyasnda el-cebr isminden
algebra’ya dönütürülmütür. Harezmi
<http://www.islamansiklopedisi.info/>
16
Doal saylar konusuna balarken rakamlar kümesi 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9"
, için baz durumlar unlardr:
• ki rakamn toplamnn en küçük deeri: 0 + 0 = 0 • ki rakamn toplamnn
en büyük deeri: 9 + 9 = 18 • Farkl iki rakamn toplamnn en küçük
deeri: 0 + 1 = 1 • Farkl iki rakamn toplamnn en büyük deeri: 9 + 8
= 17 • ki rakamn çarpmnn en büyük deeri: 9 9 = 81 • Farkl iki
rakamn çarpmnn en büyük deeri: 9 8 = 72 • a ve b farkl iki rakamdr.
3a + 4b toplamnn en küçük deeri: 3 1 + 4 0 = 3 • a ve b farkl iki
rakamdr. 3a + 4b toplamnn en büyük deeri: 3 8 + 4 9 = 60
a, b, c farkl rakamlardr. 2a + 3b + 4c toplam, hangi saylar arasnda
deerler aldn bulunuz.
Toplamn en küçük deeri bulunurken katsays büyük olanlara en küçük
deer verilir. 2 2 + 3 1 + 4 0 = 7 toplamn en büyük deeri bulunurken
katsays büyük olanlara en büyük deer verilir. 2 7 + 3 8 + 4 9 = 74
olduundan 7 ve 74 dâhil olmak üzere bu saylarn arasnda deerler
alr.
a ve b birer rakamdr. a + b = 12 olduuna göre a b çarpmnn kaç farkl
deer alacan bulunuz.
a + b = 12 a b 3 + 9 = 12 ise 3 9 = 27 4 + 8 = 12 ise 4 8 = 32 5 +
7 = 12 ise 5 7 = 35 6 + 6 = 12 ise 6 6 = 36
a ve b farkl iki rakamdr. a + b = 10 olduuna göre a b çarpmnn
alabilecei en küçük ve en büyük deerle- rin toplamn bulunuz.
a + b = 10 a b 9 + 1 = 10 9 1 = 9 8 + 2 = 10 6 4 = 24 7 + 3 = 10 9
+ 24 = 33 olur. 6 + 4 = 10
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Örnek
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
1. a ve b birer rakamdr. a + b = 13 olduuna göre a b$ çarpm kaç
farkl deer aldn bulunuz.
2. a ve b farkl birer rakamdr. 4a + 5b toplamnn alabilecei en büyük
ve en küçük deeri bulunuz.
3. a, b, c birer rakamdr. a + 3b + 5c toplamnn alabilecei en büyük
ve en küçük deeri bulunuz.
4. a, b, c birer rakamdr. 3a + 2b - c ifadesinin alaca en küçük ve
en büyük deerlerin çarpmnn kaç olduunu bulunuz.
5. a ve b farkl birer rakamdr. a b$ + a + b ifadesinin alabilecei
en küçük ve en büyük deerlerin toplamnn kaç olduunu bulunuz.
Doal Say: nsanlarn doada bulunan nesne veya canllardan oluan
topluluklarda çokluklar göstermek için icat ettikleri bir kavramdr.
Doal saylar göstermek için kullanlan sembollere rakam denir.
Rakamlar tek balarna veya yan yana yazlarak doal saylar kümesi elde
edilir ve N ile gösterilir.
Doal saylar kümesi, , , , , , , , , , , , , , ...0 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12N = " , sonsuz elemanldr.
Doal saylarn basamaklar, bölükleri ve okunular u ekildedir:
Say basamaklar sadan sola doru; birler, onlar, yüzler, binler, on
binler, yüz binler, milyonlar, on milyonlar, yüz milyonlar,
milyarlar, on milyarlar, yüz milyarlar… eklinde
isimlendirilir.
Say, sadan sola doru üçerli gruplara ayrlr ve her gruba bir bölük
ismi verilir.
Saynn bölükleri sadan sola doru: Birler bölüü, binler bölüü,
milyonlar bölüü, milyarlar bölüü, trilyonlar bölüü, katrilyonlar
bölüü, kentilyonlar bölüü… isimlerini alr. Daha büyük saylarn bölük
isimlerini sizler aratrabilirsiniz.
30 254 168 907 Saynn okunuu: otuz milyar iki yüz elli dört milyon
yüz altm sekiz bin dokuz yüz yedi dir. Verilen sayda 4 rakamnn say
deeri: 4 (dört) 4 rakamnn basamak deeri: 4 000 000 (dört milyon) 4
rakamnn bölüü: milyonlar 6 rakamnn basama: on binler basamadr. 3’ün
basamak deeri ile 1 in say deeri fark: 30 000 000 000 -1= 29 999
999 999
Aadaki örnekleri inceleyiniz.
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
Rakamlar farkl, 3 basamakl en küçük doal say ile rakamlar farkl üç
basamakl en büyük doal saynn toplamnn rakamlar toplamn
bulunuz.
Rakamlar farkl, 3 basamakl en küçük doal say: 102 Rakamlar farkl, 3
basamakl en büyük doal say: 987 Toplam: 102 + 987 = 1089 1 + 0 + 8
+ 9 = 18 olur.
1. 76 543 210 says veriliyor. a) 6 rakam …….......................
bölüündedir. b) 4 rakam ……....................... basamandadr. c) 5
in basamak deerinden 2 nin basamak deeri çkarlrsa sonuç
……....................... olur.
2. 2 468 135 says veriliyor. a) 6 rakam …….......................
bölüündedir. b) 4 rakam ……....................... basamandadr. c) 4
ün basamak deerinden 8 in say deeri çkarlrsa sonuç
……....................... olur.
3. En büyük üç basamakl çift doal say ile rakamlar farkl en küçük
iki basamakl tek doal saynn farknn kaç olduunu bulunuz.
4. Harezmi’nin Bat dünyasna tad Hint rakam ve hesap sistemi,
Harezmi’nin isminden türetilen ……....................... adn
almtr.
5. Harezmi’nin “Kitabü’l-Muhtasar fi’l-Hisabi’l Cebr ve’l-Mukâbele”
eserinde iledii ana konular yaznz. a)
.......................................... denklemlerin çözümleri.
b) .............. çarpmlar. c) .................................
problemleri. d) ............... hesab.
87 530 000 249 000 Saynn okunuu: seksen yedi trilyon be yüz otuz
milyar iki yüz krk dokuz bin dir. Verilen sayda 4 rakamnn say
deeri: 4 (dört) 4 rakamnn basamak deeri: 40 000 (krk bin) 4 rakamnn
bölüü: binler 5 rakamnn basama: yüz milyarlar
Çözüm
Örnek
19
Onluk Sistemde Çözümleme
Onluk sistemin rakamlar kümesi: Onluk sistemin basamaklar: …
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9" , , , , ,10 10 10 10 104 3 2 1
0
birlikler onluklar yüzlükler binlikler on binlikler
2345 saysn çözümleyiniz.
ab ve ba iki basamakl saylarnn toplamn bulunuz.
ab + ba = 10 a + b + 10 b + a ab + ba = 11 a + 11 b ab + ba = 11 (a
+ b) (Daima 11 in kat olur.)
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Örnek
Örnek
ab ve ba iki basamakl saylarnn farknn deerini bulunuz.
ab - ba = 10 a + b - (10 b + a) ab - ba = 10 a + b - 10 b - a ab -
ba = 9 a - 9 b ab - ba = 9 (a - b) (Daima 9 un kat olur.)
abc ve cba üç basamakl saylarnn farknn deerini bulunuz.
abc - cba = 100 a + 10 b + c - (100 c + 10 b + a) abc - cba = 100 a
+ 10 b + c -100 c - 10 b - a abc - cba = 99 a - 99 c abc - cba = 99
(a - c) (Daima 99 un kat olur.)
2345 2000 300 40 5 2345 2 1000 3 100 4 10 5 1 2345 2 10 3 10 4 10 5
10 2345
3 2 1 0
$ $ $
$ $ $ $
$
= + + + = + + + = + + + = 2 tane binlik + 3 tane yüzlük + 4 tane
onluk + 5 tane birlik
20
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
ab iki basamakl saysnn rakamlar yer deitirdiinde say 27 büyüyor. Bu
art salayan kaç tane iki basamakl ba saysnn yazlabileceini
bulunuz.
abc, cba ve xy4 üç basamakl saylardr. abc - cba = xy4 olduuna göre
x y çarpmn bulunuz.
abc - cba = xy4 100a + 10b + c -100c - 10b - a = xy4 99a - 99c =
xy4 99 (a - c) = xy4 eitliinde a - c = 6 olmaldr. 99 6 = 594 olur
ve x = 5, y = 9 bulunur. Sonuç x y = 45 tir.
ba - ab = 27 a + 3 = b ba 9 (b - a) = 27 1 + 3 = 4 41
b - a = 3 2 + 3 = 5 52
3 + 3 = 6 63
4 + 3 = 7 74
5 + 3 = 8 85
6 + 3 = 9 96
4 6 tane ba says yazlabilir.
1. ab iki basamakl saysnn rakamlar yer deitirdiinde say 45
küçülüyor. Bu art salayan kaç tane ab says yazldn bulunuz. 2. ab
iki basamakl says, a + b toplamnn 9 katdr. Buna göre ba saysnn, a +
b toplamnn kaç kat olduunu bulunuz.
3. ab ve ba iki basamakl saylarnn toplam 132 ve a < b koulunu
salayan kaç tane ab says yazldn bulunuz. 4. abc, 3xy, cba üç
basamakl saylardr. abc = 3xy + cba olduuna göre (x, y) ikilisini
bulunuz. 5. abc, bac, xyz üç basamakl saylardr. abc – bac = xyz
koulunu salayan kaç tane xyz says yazldn bulunuz.
6. Rakamlar toplamnn 5 katna eit olan iki basamakl sayy
bulunuz.
7. abb ve baa üç basamakl saylardr. abb + baa = x y (a + b)
eitliini salayan kaç tane (x, y) doal say ikilisi olduunu
bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
21
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
b) Saylar birbirine yaklatnda en büyük olan say, en küçük deerini
alacaktr. Ortanca say 130 : 5 = 26 olacandan saylar sra ile 24, 25,
26, 27, 28 olmaldr. En büyük olan saynn en küçük deeri 28
olur.
c) Saylar birbirine yaklatnda en küçük olan say, en büyük deerini
alacaktr. Ortanca say 130 : 5 = 26 olduundan saylar sra ile 24, 25,
26, 27, 28 olmaldr. En küçük olan saynn en büyük deeri 24
olur.
Birbirinden farkl iki basamakl dört doal saynn toplam 106 dr. Bu
saylardan en büyüünün en az kaç olduunu bulunuz.
Saylar birbirine yaklatnda en büyük olan say, en küçük deerini
alacaktr. Ortanca say 106 : 4 = 26,5 ve 26 < 26,5 < 27
olduundan gruptaki dört say; 25, 26, 27, 28 olmaldr. En büyük olan
saynn en küçük deeri 28 olur.
Üç basamakl ve dört basamakl iki saynn çarpmnn basamak says, en az
a ve en çok b olduuna göre a b çarpmnn kaç olduunu bulunuz.
m basamakl ve n basa- makl iki saynn çarp- mnn basamak says, en az
(m + n - 1), en çok (m + n) olur.
(üç basamakl en küçük say) (dört basamakl en küçük say) 100 x 1000
= 100 000 için en az a = 3 + 4 - 1 = 6 (üç basamakl en büyük say)
(dört basamakl en büyük say) 999 x 9999 = 9 989 001 için en çok b =
3 + 4 = 7 ise a b = 6 7 = 42 olur.
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Not
Saylar birbirine yakla- tkça büyük olan saynn en küçük, küçük olan
saynn en büyük deeri bulunur.
Not
Birbirinden farkl iki basamakl be doal saynn toplam 130 dur. a) Bu
saylardan en büyüünün en fazla kaç olduunu bulunuz. b) Bu saylardan
en büyüünün en az kaç olduunu bulunuz. c) Bu saylardan en küçüünün
en fazla kaç olduunu bulunuz.
Örnek
a) En büyük sayy bulmak için dier saylar en küçük alnmaldr. 1. say
10
2. say 11
3. say 12
4. say 13
Bu saylarn toplam 130 dan çkarlr. 130 – 46 = 84 olur. 4
Çözüm
22
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
1. ki basamakl be doal saynn toplam 450 olduuna göre bu saylarn en
küçüünün en az kaç olduunu bulunuz. 2. Rakamlar farkl iki basamakl
be farkl saynn toplam 450 olduuna göre bu saylarn en küçüü- nün en
fazla kaç olduunu bulunuz. 3. ki basamakl be doal saynn toplam 115
olduuna göre bu saylarn en büyüünün en fazla kaç olduunu bulunuz.
4. Rakamlar farkl iki basamakl be farkl doal saynn toplam 115 ise
bu saylarn en büyüünün en fazla kaç olduunu bulunuz. 5. ki basamakl
üç doal saynn toplamnn kaç farkl deer aldn bulunuz.
Carl Friedrich Gauss [Karl Fridriy Gaus (1777-1855)]
Carl Friedrich Gauss, 1777’de dünyaya gelen, matematiin prensi
olarak ün yapan Alman matematikçidir.
Gauss’un dehas erken yalarda kendini göstermitir. Eitim hayatnn ilk
yllarnda öretmeninin sorduu birden yüze kadar ardk saylarn toplam
ilemini ksa yoldan çözmütür. Say dizisinin iki zt ucundan birer say
alnp toplandnda hep 101 says elde edilir. Elde edilen 50 adet 101
says, çarpma ilemiyle 5050 saysna ksa sürede ulalmasn salar.
Gauss’un bulduu ardk saylar toplama yöntemi, bugün Gauss yöntemi
olarak bilinmektedir. Gauss, üniversite örencisiyken Antik
Yunan’dan yaad döneme kadar çözülemeyen problemlerden 17 kenarl
düzgün çokgeni sadece pergel ve cetvel kullanarak çizmitir.
Yllar
geçtikçe Gauss’un ilgisi matematiksel fizik ve karmak geometri
aratrmalarna yönelmitir. Bu dönem- de Dünya’nn manyetik alan
üzerine deneysel çalmalar yapmtr. 1833’te Weber (Vebr) ile birlikte
bir
elektrik telgraf kurmu ve bunun- la düzenli mesajlar göndermitir.
Onun elektromanyetizma ile ilgili aratrmalar, XIX. yüzylda fizik
biliminin gelimesine büyük katk salamtr.
Saylar teorisi üzerine yazm ol- duu ilk büyük eseri olan
“Disquistiones Arithmeticae”, ona imdiki ününü kazandrmtr. Gauss’un
bu yapt modern saylar teorisine temel olmutur. Gauss <
https://www2.stetson.edu/~efried-
ma/periodictable/html/Ga.html>
23
-
- +
-
" " " " " " " " "
, ,
, , ,
,
, , ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
Z
N
Z
Z
Z
Z
N
Z
Eit miktarda artarak devam eden saylara ardk saylar (ritmik saylar)
denir.
Ardk Saylar
1 + 2 + 3 + 4 +...+ 100 ardk saylarn toplamn bulunuz.
2 + 4 + 6 +...+ 100 ardk çift saylarn toplamn bulunuz.
Bu saylarn toplam x olsun. Toplam, tersten yazlr ve iki satr alt
alta toplanr.
Bu saylarn toplam x olsun. Toplam, tersten yazlr ve iki satr alt
alta toplanr.
Bu satrda 100 tane 101 vardr.
bulunur.
bulunur.
x100 101 2$ =
$= = =
x 2 100 101 5050$= = 1 2 3 4 ... n 2
n (n 1) + + + + + =
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = x
100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1 = x
101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 = 2x
2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100 = x
100 + 98 + 96 + ... + 4 + 2 = x
102 + 102 + 102 + ... + 102 + 102 = 2x
+
+
24
1 + 3 + 5 +...+ 99 ardk tek saylarn toplamn bulunuz.
Bu saylarn toplam x olsun. Toplam, tersten yazlr ve iki satr alt
alta toplanr.
x50 100 2$ =
Bu satrda 50 tane 100 vardr.
Eit miktarda artan sonlu saydaki bir say grubunun toplam bulunurken
aadaki admlar izlenir.
1. Adm: Terim says (TS) bulunur.
2. Adm: Toplam (T) bulunur.
Terim Says = (Son Terim - lk Terim)
Art Miktar +1
2 .(Terim Says)
99 - 1 2
2 + 100 2
Örnek
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
Çözüm
TS=
TS=
TS=
T =
T =
T =
101 - 1
125 - 1
14 + 71 2
1 + 101
1 + 125
14 + 17 + 20 + ... + 71 toplamn bulunuz.
1 + 6 + 11 + ... + 101 toplamn bulunuz.
1 + 5 + 9 + ... + 125 toplamn bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Örnek
Örnek
( )
( ) ( )
15 330
45 45 - = + =
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
kier ikier artan 11 doal saynn toplam 220 olmaktadr. Bu say
grubunda en küçük say a, en büyük say b ise a + b toplamnn kaç
olduunu bulunuz.
Önce tam ortadaki say 220 : 11 = 20 bulunur. Sonra 20 den küçük
ikier ikier aza- lan ritmik be say ile 20 den büyük ikier ikier
artan ritmik be saydan 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
saylar elde edilir. Buradan a = 10 ve b = 30 için a + b = 40
bulunur.
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
2. toplamnda ikinci çarpanlar birer artrlrsa sonucun kaç arttn
bulunuz.
...16 17 18 64+ + + +
3. olduuna göre x in kaç olduunu bulunuz.
4. olduuna göre x in kaç olduunu bulunuz.
6. olduuna göre a nn alabilecei deerler toplamn bulunuz.
5. saysnda batan 105. rakamn kaç olduunu bulunuz.
... x2 4 6 420+ + + + =
... x215 20 5 375+ + + + =
...10111213 9899
9. Tablodaki saylar bir kurala göre yerletirilmitir. Bu kurala göre
x, y, z saylar için x z y+ - deerini bulunuz.
8. ekildeki I. satrda saylar bir kurala göre dizilmitir. II.
satrdaki saylar arasnda da ayn kural olduuna göre x in kaç olduunu
bulunuz.
7. 1223334444...999999999 saysnda kaç rakam kullanldn
bulunuz.
3 6 10
21 28 x
2 3 6
4 6 24
6 9 x
8 y z
...A 1 1 2 2 3 3 20 20$ $ $ $= + + ++ toplamnda birinci çarpanlar
birer arttrlrsa sonu- cun kaç arttn bulunuz.
...A 1 1 2 2 3 3 20 20$ $ $ $= + + ++ ...A 1 2 3 2 202 3 4 1$ $ $
$= + + + +l
...A A 1 2 3 20- = + + + +l
.A A artar20 21 2 210$- = =l
27
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
Geçmi zamann birinde padiahn biri, vezirinden ülkenin en iyi 10
kuyumcusuna onar gramlk (10 g) paralar yaptr- masn istemi. Oldukça
titiz bir ekilde görevlendirmeleri yapan vezir, kuyumculara
belirlenen tarihte paralar padi- ahn huzuruna getirmelerini
emretmi. Ancak kuyumculardan biri, paralar dokuzar gram (9 g) yapm
ve bu haberi duyan padiah, vezirine çok sinirlenmi. Vezirinden tek
bir tartma ilemi ile hangi kuyumcunun hile yaptn bulmas- n ancak bu
koulla cann balayacan söylemi. Vezir nasl bir tartma ilemi ile
kendini affettirebilir?
Vezir her bir kuyumcuya 1 den 10 a kadar nu- mara verip kuyumcularn
getirdii paralardan numaras kadar para alr.
1. kuyumcunun kesesinden 1 para, 2. kuyumcunun kesesinden 2 para,
3. kuyumcunun kesesinden 3 para, . . . 10. kuyumcunun kesesinden 10
para alr.
Tüm paralar tek seferde tartar.
Hiç hile yaplmamas durumunda tane para, onar gramdan (10 g) 550
gram gelmelidir.
Tartm sonucu 549 g çktnda hileyi yapan 1. kuyumcudur. Tartm sonucu
548 g çktnda hileyi yapan 2. kuyumcudur. Tartm sonucu 547 g çktnda
hileyi yapan 3. kuyumcudur. . . . Tartm sonucu 540 g çktnda hileyi
yapan, 10. kuyumcudur.
Böylelikle vezir, tek seferde hangi kuyumcunun hile yaptn bulur ve
cann kurtarr.
Çözüm
Örnek
28
ABA
BAB
777 +
ABC
AB
169 +
Yandaki toplama ileminde ABA ve BAB üç basamakl saylardr. Buna göre
kaç tane üç basamakl ABC says yazlabilir?
Yandaki toplama ileminde ABC üç, AB iki basamakl say olduuna göre
A+B+C toplamnn kaç olduunu bulunuz.
Toplama ileminde elde olmadndan A + B = 7 olur. C bir rakam olup 10
farkl deer alr. ABA ve BAB üç basamakl saylar olduundan olmaldr. ,A
B0 0! !
A + B = 7 ABC 6 + 1 = 7 6 1 . 5 + 2 = 7 5 2 . 4 + 3 = 7 4 3 . 3 + 4
= 7 3 4 . 2 + 5 = 7 2 5 . 1 + 6 = 7 1 6 .
Nokta yerlerine 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarndan her biri
yazlabileceinden 60 tane ABC says yazlabilir.
Toplama ilemi, ABC + AB = 169 eklinde yazlabilir. AB0 + C + AB =
169 10 AB + C + AB = 169 11 AB + C = 169 11 AB = 169 - C eitliine
göre 169 dan hangi rakam çkarlrsa 11 in kat olduu bulunmaldr. C = 4
için AB = 15 olur. A + B + C = 1 + 5 + 4 = 10 bulunur.
6xy 538
x - 3 = y y - 8 = z
x + y -11 = y + z x - z = 11 iki rakamn fark 11 olamaz. Bu çözüm
yanltr.
Doru çözüm: x - 1 - 3 = y
10 + y - 8 = z
x + y -2 = y + z x - z = 2 bulunur.
+ +
xy 23
abc x
mn
215
Yandaki çarpma ileminde xy iki basamakl ve abc üç basamakl
saylardr. Bu ilemin dördüncü satrndaki mn iki basamakl says
yanllkla bir basamak saa yazldndan sonuç yanl bulun- mutur. lemin
doru sonucunu bulunuz.
mn nin bir basamak saa yazlmas xy nin 20 yerine yanllkla 2 ile
çarpldn belirtir. 3 xy + 2 xy = 215 5 xy = 215 xy = 43
Çarpma ilemi tekrar yapldnda doru sonuç u ekilde çkar.
+
. . . .
Yandaki çarpma ileminde ABC üç, 2D iki basamakl saylar oldu- una
göre sonucun kaç olduunu bulunuz.
326 24
13. . x
10 D.3 13 olduundan D = 4 olmaldr. 326.24 = 7824
# #
78C0
78C0
Sonuç satrnda birler basamanda 0 olduundan B rakam 0 veya 5
olmaldr. B ile çarpm satr, dört basamakl say olduu için B = 5
olmaldr. Sonuç 25 in kat olacandan C, 0 veya 5 olmaldr.
3A4 = 7800 : 25 = 312 olamaz. 3A4 = 7850 : 25 = 314 ve A = 1 ve C =
5 olur. A + B + C = 1 + 5 + 5 = 11 bulunur.
Yandaki çarpma ilemine 3A4 üç, 2B iki ve 78C0 dört ba- samakl
olduuna göre A + B + C toplamnn kaç olduunu bulunuz.
Örnek
Çözüm
30
245
ab0ab4
12
ab
x
x
y
y
Yandaki bölme ilemine göre x + y toplamnn sonucunu bulunuz.
Yandaki bölme ileminde ab0ab4 alt ve ab iki basamakl olduuna göre x
+ y toplamn bulunuz.
Buna göre x + y = 20 + 5 = 25 bulunur.
ve x + y = 10 010 + 4 = 10 014 bulunur.
Yandaki ilemde AB, BA ve CC iki basamakl saylar olduuna göre en
büyük ABC ile en küçük ABC üç basamakl saylarnn farknn kaç olduunu
bulunuz.
Yandaki bölme ileminde abc üç basamakl saysnn en büyük deerini
bulunuz. ( k Z! + )
ABC says üç basamakldr. ABC X çarpmnda A ve C rakamlar 2 artrlr, B
rakam 2 azaltlrsa çarpm 6188 arttna göre X in kaç olduunu
bulunuz.
Yandaki çkarma ileminde 4a3b ve 3b4a dört basamakl saylar olduuna
göre a - b farknn kaç olduunu bulunuz.
Yandaki çarpma ileminin sonucunu bulunuz.
1.
4.
5.
2.
3.
99
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
1. x ve y iki basamakl doal saylardr. x + y = 30 olduuna göre x in
alabilecei deerler toplam kaçtr?
2. x ve y doal saylardr. x + 3y = 30 oldu- una göre x in alaca
deerler toplam kaçtr?
3. (45 + 47 + 49 +…+ 99) + 1 ifadesinin sonucu kaçtr?
4. (80 + 84 + 88 +…+ 120) - 29 ifadesinin sonucu kaçtr?
7.
8.
9.
5. a ve b doal saylardr. 4a + 5b = 120 olduuna
göre a nn alabilecei deerler toplam kaçtr?
6. a, b, c farkl rakamlardr. 3a + 4b - 5c ifadesinin alabilecei en
büyük deer ile en küçük deerin fark kaçtr?
A) 150 B) 165 C) 175
D) 210 E) 240
D) 240 E) 360
D) 2017 E) 2018
D) 1920 E) 1923
D) 11 E) 12
D) 13 E) 14
D) 1325 E) 1335
D) 120 E) 150
D) 102 E) 103
AR
a ve b pozitif tam saylardr. Yandaki bölme ilemine göre kaç tane a
says vardr?
xyz üç basamakl, ab iki basa- makl saylardr. Yandaki bölme ilemine
göre k doal saysnn alabilecei deerler toplam 66 ise en küçük ab
says kaçtr?
Yandaki çarpma ileminde ab iki basamakl saydr. II numaral sa- trda
kaydrma hatas yapldn- dan sonuç yanl bulunmutur. lemin doru sonucu
kaçtr?
75 a b
10.
11.
a) 1299. halka ile 1453. halka sra ile han- gi çubuklara
taklmtr?
b) 2017. halka takldnda A çubuunda kaç halka birikmi olur?
a) Bir gün içinde yeil k, toplam kaç dakika yanmtr?
b) Bir gün içinde krmz k, toplam kaç dakika yanmtr?
c) Bir gün içinde sar k, toplam kaç defa yanmtr?
A B C D E Yukarda 5 çubuklu bir abaküs verilmitir. Elimizde çok
sayda bulunan halkalar abaküsteki çubuklara A dan balanarak
ABCDEDCBAB… eklinde taklyor. Bu sra ile çubuklara halka takma
ilemine devam ediliyor.
Yandaki trafik lambasnda krmz k 80 saniye, sar k 5 saniye, yeil k
30 saniye süre ile krm- z, sar, yeil, sar, krmz, sar… eklinde
yanmaktadr. Bu lamba gün içinde 8.00 ile 24.00 saatleri arasn- da
16 saat boyunca çalmaktadr.
Kendimizi Snayalm
12. abc üç basamakl bir saydr. koulunu salayan rakamlar farkl kaç
tane abc says yazlabilir? A) 18 B) 22 C) 24
D) 27 E) 30
63abc acb- =
13. ab iki basamakl saysnn rakamlar yer dei- tirdiinde say 36
büyüyor. a < b < c için kaç tane abc üç basamakl says
yazlabilir?
14.
D) 9 E) 10
D) 341 E) 452
Yandaki bölme ileminde abc üç basamakl say ve k doal saydr. abc nin
en büyük deeri kaçtr?
abc 25 3k+1
k2
15. abc üç basamakl says ile xy iki basamak- l saysnn çarpmnda a
ile c 2 arttrlr ve b 3 azaltlr ise çarpm 4128 büyüdüüne göre xy
kaçtr?
16.
D) 32 E) 34
D) 5596 E) 5886
Yandaki çarpma ileminin sonucu kaçtr?
17. abc ve cba üç basamakl saylardr. abc - cba = 297 eitliini
salayan kaç tane abc says vardr?
A) 42 B) 50 C) 60
D) 70 E) 80
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
18. 2 345 678 saysnda 3 ün basamak de- erinden 7 nin say deeri
çkarldnda elde edilen saynn rakamlar toplam kaç olur?
20. ekildeki saylar belli bir kurala göre yazlmtr. Soru iareti
yerine hangi say gelmelidir?
19.
Öretmen tahtaya bir doru parças çizer ve örencilerini sra ile
tahtaya kaldrarak aada anlatld gibi doru parçasnn üzerine noktalar
koymalarn ister. 1. örenciden doru parçasn 2 eit par- çaya ayracak
ekilde tam ortaya 1 nokta koymasn ister. 2. örenciden doru parçasn
4 eit par- çaya ayracak ekilde tam ortalara 2 nokta koymasn ister.
3. örenciden doru parçasn 8 eit par- çaya ayracak ekilde tam
ortalara 4 nokta koymasn ister. . . . Doru parças üzerine nokta
koyma (ia- retleme) ilemine bu ekilde devam edildi- inde
A) 38 B) 39 C) 40
D) 41 E) 42
D) 25 E) 26
a) Yedinci örenci doru parçasna kaç nokta koyacaktr?
b) Yedinci örenci noktalarn koyduunda doru parças kaç eit parçaya
ayrla- caktr?
c) Snftaki ilk yedi örencinin koyduklar toplam nokta says
kaçtr?
Kendimizi Snayalm
1.1 . D
O AL
SA YIL
Pozitif Tam Say
Pozitif tam saylarn sayma saylar olarak kullanldn gösteren ilk
belgeler, 70 bin yl öncesine aittir. Bunlarn ilk kez, say- mak
amacyla kullanld anlalmakta- dr. Güney Afrika'da bulunan baz talarn
üzerine yln alt ayn yirmi sekizer gün- lük ay takvimine göre
gösteren çentikler atld tespit edilmitir. Bu çetelelerin sayma
amacyla kullanlmasn matema- tik olarak nitelemek zordur. Saylar
ifade etmek için her sayya karlk bir iaretin kullanlmas, baka bir
deyile rakamlarn icad, matematiin balangc saylabilir. Bu amaçla
yazl ilk kaytlara MÖ 2000 yllarnda Babil'de rastlanmaktadr. 60
tabanna göre kurulmu bu say sistemi, negatif saylar içinde
tamamakla bera- ber, kavram olarak sfr bulundurmakta- dr.
Negatif Tam Say Negatif tam saylara, ilk olarak MÖ 100-50
yllarndaki Çin kaynaklarnda rastlanmak- tadr. Hindistan'da ve Orta
Dou’da 7. yy.da borç veya zarar olarak negatif saylardan
bahsedildii bilinmektedir. Avrupa'da negatif saylar ilk Fibonacci
(Fibonaçi)'nin “Liber Abaci” adl eserinde geçmektedir. Fibonacci,
1202 ylnda cebirin kurucusu Harez- mi’nin “Kitabü'l Muhtasar fi
Hisabi'l Cebr ve'l Mukabele” adl kitabndan esinlenerek yazd bu
eserle slam Medeniyeti’ndeki matematii Avrupa'ya tamakta öncülük
etmitir.
Asal Say
MÖ 400 civarnda Pisagor’un takipçilerinden biri olan Filolaus
(Faylalous), baz say- larn birleik yani bölünebilir saylar olduunu
savundu. Asal ya da bölünemez saylar kendilerinden ve 1 den baka
saylara bölünemiyordu. MÖ 300’lü yllarda Öklid, asal saylar
incelediinde “ne kadar saylrsa saylsn her zaman yeni bir asal say”
bu- lunacan dier bir deyile asal saylarn sonsuz olduunu “Elements
(Elemanlar)” adl eserinde kantlad. Ayrca asal olmayan saylarn asal
saylarn deiik kombi- nasyonlarnn çarpmna bölünebildiini de kefetti.
MÖ 200’lerde ise Eratosthenes (Eratostenes), Eratosthenes Kalburu
olarak bilinen ve asal saylar bulmaya yarayan bir sistem
gelitirmitir.
A
-3 -2 -1 0
Leonnardo Fibonacci [Lionardo Fibonaçi (1170-1250)]
Pisal Leonardo (Leonardo Pisano) da denilen Leonnardo Fibonacci,
talya’da dünyaya gelmitir. Babas, Cezayir ile talya arasnda bir
ticaret postasn idare etmekteydi. Leonardo, çocukken babasna yardm
etmek için onunla seyahat ederdi. Fibonacci bu seyahatlerde
Hint-Arap say sistemini örendi. Fibonacci, Hint-Arap saylar ile
aritmetik ilemler yapmann Roma rakamlar ile hesap yapmaktan çok
daha basit ve verimli olduunu gördü. Fibonacci, 1202’ye gelindiinde
32 yandayken örendiklerini abaküs kitab veya hesaplama kitab
anlamna gelen “Liber Abaci” isimli eserinde toplad. Yaymlad bu
eserde Hint-Arap say sistemini Avrupa’ya duyurdu.
Leonardo Fibonacci, her saynn kendinden önce gelen say ile
toplanarak bir sonrakinin elde edildii say dizisini kefetmitir. Bu
diziye, bulucusuna ithafen Fibonacci saylar denir. Bu say dizisi,
doadaki birçok oluumun düzeninde bulunduu varsaylan altn oran
kapsar ve birçok bilimsel aratrmaya dayanak tekil eder. Fibonacci
<http://matematik.dpu.edu.tr/index/sayfa/3118/leonardo-fibonacci>
Fibonacci Saylar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ..., b, a, a + b, ...
Altn oran ( ){
Negatif Tam Saylarn Günlük Hayatta Kullanm Alanlar
Negatif tam saylarla günlük hayatta meteoroloji, maliye, denizcilik
vb. alanlarda karlalr.
1. Hava scaklnn eksi deerleri göstermesi, sfrn altnda scakl ifade
etmektedir.
3. Mimari yaplarda eksi ifadesi, zemin katn altndaki katlar
belirtmektedir.
4. Denizcilikte eksi ifadeler, deni- zin dibine doru alnan mesafede
kullanlan uzunluk biriminin önüne getirilir.
2. Mali ilemlerde eksi ifadeler; borç, harcama anlamna
gelmektedir.
37
1,2,3, . .. Z =+ " ,
..., 3, 2, 1Z = - - -- " ,
Pozitif tam saylar kümesi: eklinde gösterilir. En küçük pozitif tam
say 1 dir.
Negatif tam saylar kümesi: eklinde gösterilir. En büyük negatif tam
say -1 dir.
A
0
O
..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...Z = - - -" ,Tam saylar kümesi: eklinde
gösterilir.
: Sfr says negatif ya da pozitif tam say deildir. Sfr saysnn iareti
yoktur.
0Z Z Z= , , +- " ,
0 1 2 3-3 -2 -1 . . .. . . “ ZN 1 ”: Her doal say ayn zaman- da bir
tam saydr.
Tam saylar kümesi doal saylar kümesini, doal saylar kümesi de sayma
saylar kü- mesini kapsar.
Her doal say bir tam saydr. Her sayma says ayn zamanda bir doal
saydr.
Tam Saylarn Say Dorusunda Gösterilmesi
Tam Saylar Kümesi
Tam saylar, say dorusu üzerinde gösterilirken bir doru üzerinde bir
nokta alnr. Bu nokta, sfr saysyla elenir ve say dorusunun balangç
noktas kabul edilir. Balangç noktasnn sanda ve solunda eit
aralklarla noktalar iaretlenir. Say dorusundaki noktalar
koordinatlar ile birlikte eklindedir.
( ),( 1), B ( 2), ( 3),A C O 0- - -l ll
Rakamlar farkl iki basamakl en büyük pozitif tam say ile iki
basamakl en küçük negatif tam saynn farknn pozitif deerini
bulunuz.
Rakamlar farkl iki basamakl en büyük pozitif tam say 98 dir. ki
basamakl en küçük negatif tam say -99 dur. 98 - (-99) = 98 + 99 =
197 olur.
Örnek
Çözüm
Z N
Çözüm
38
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
$
$
$
$
+ - + -
- + + -
= - = - = + = +
( ) ( ): ( ) ( )2 3 5 5 13 2 2 3$- - - - - - -6 @
-2 (-2) -[(-8) : (-2) - (-8)] = 4 - [4 + 8] = -8
1. 8 (2 - 4) - [(6 - 26) : (-2) - (-1) 3] 2 ileminin sonucunu
bulunuz.
2. [(16 - 12) : (-4) -(-1) 3] [(16 - 6) (-2) - (-3) 3] ileminin
sonucunu bulunuz.
3. 3 { [ ( - 3 ) - ( - 10 ) + 20 ] : [ 5 - ( -1 ) - ( - 3 ) ] }
ileminin sonucunu bulunuz.
Mutlak Deer
0 0
x ise x x x ise x x x ise
a) b) c)
2
1
Bir saynn mutlak deeri, o saynn balangç noktasna olan uzakldr. x
gerçek saysnn mutlak deeri, eklinde gösterilir.x
0x $
dr.
Sonuç olarak bir saynn mutlak deerinin alabilecei en küçük deer
sfrdr.
Aada baz saylarn mutlak deerleri verilmitir.
4 4 10 10 18 18
= - = - =
- + - = - + =
1. ÜNTE: SAYILAR 1.2. TAM SAYILAR
a, b, c birbirinden farkl pozitif tam saylar olmak üzere 2a + 3b +
5c = 52 veriliyor. Buna göre a nn en büyük deerini bulunuz.
a nn en büyük deer alabilmesi için b ve c nin en küçük farkl iki
pozitif tam say olmas gerekir. Buna göre c nin katsays daha büyük
olduu için c = 1 ve b = 3 deerleri alnrsa 2a + 3 3 + 5 1 = 52 2a =
52 - 14 = 38 a = 19 bulunur.
x, y, z birbirinden farkl negatif tam saylardr. 2x + 3y + z
toplamnn en büyük dee- rini bulunuz.
Birbirinden farkl en büyük üç negatif tam say -1, -2, -3 saylardr.
x, y, z den katsa- ys en büyük olana en büyük negatif tam say
verilerek çözüm yapldnda 2 (-2) + 3 (-1) + (-3) = -4 - 3 - 3 = -10
bulunur.
En büyük negatif tam say ile iki basamakl en küçük negatif tam
saynn toplamn bulunuz.
En büyük negatif tam say: -1 dir. ki basamakl en küçük negatif tam
say: -99 dur. (-1) + (-99) = -100 bulunur.
,. .
12 8
3 2
b c a b ise a c ve b2 3 4= = = - = - = -Y Y alnmaldr.
ifadesinin eitini bulunuz.
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
Örnek
Çözüm
Örnek
Çözüm
Örnek
Çözüm
çx i in x x6 2 52 - + -
ç .x i in x ve x olur6 2 0 5 02 2 1- -
.x x x x x bulunur2 5 2 5 2 7- + - = - - + = -
40
1. ÜNTE: SAYILAR 1.2. TAM SAYILAR
a, b ve c pozitif tam saylar olmak üzere (2a + b + c) (a + 2b - c)
= 29 ise a + b toplamn bulunuz.
29 asal say olduundan çarpanlar 1 ile 29 olur. 2a + b + c ifadesi
“1” olamaz.
a 2b c 1 2 29 3 30 10 bulunur.
a b c a b a b
+ - = + + + =
+ = + =$
Y ^ h
1. x, y ve z pozitif tam saylar olmak üzere dür. x + y + z toplam
en az kaçtr?
2. x, y ve z iki basamakl birbirinden farkl üç pozitif tam say ve x
- y - z = 20 ise x + y + z toplamnn en büyük deeri kaçtr?
x y 12003 =$ x 15 z ise= $
Tek Tam Saylar
2 ile tam olarak bölünemeyen tam saylara tek tam say denir. n i
inçZ! 2n - 1 ile gösterilen tek tam saylarn birler basamanda 1, 3,
5, 7, 9 rakamlarndan biri bulunur.
Çift Tam Saylar
2 ile tam olarak bölünen tam saylara çift tam say denir. n i inçZ!
2n ile gösteri- len çift tam saylarn birler basamanda 0, 2, 4, 6, 8
rakamlarndan biri bulunur.
a) Toplama ve Çkarma Özellii
Ç
n
n
0 !
Örnek
Çözüm
Tek saylar T ve çift saylar Ç ile gösterilerek aadaki özellikler
yazlabilir.
tek + tek = çift tek + çift = tek çift + tek = tek çift + çift =
çift
çift çift = çift çift tek = çift tek tek = tek
tek - tek = çift tek - çift = tek çift - tek = tek çift - çift =
çift
Tek saynn pozitif tam say kuvvet- leri tek saydr. Çift saynn
pozitif tam say kuvvet- leri çift saydr.
çn i inZ! +
1. ÜNTE: SAYILAR 1.2. TAM SAYILAR
( ) ( ) ( )
Ç Ç ç .T sonu ifttir 13 5 6 8
1 1Ç Ç ç
4 0 3 0|
|
- - + - - - + = + =
x, y, z birer tam say ve x y = 2z - 1 olduuna göre aadaki
durumlardan hangileri doru olabilir? a) x ve y tek saylardr. b) x
ve y çift saylardr. c) x çift, y tek saydr. ç) x - y tek saydr. d)
x + y tek saydr. e) x tek ve y çift saydr. f) z için herhangi bir
ey söylenemez.
x y = 2z - 1 eitliinde z tek veya çift olsa bile 2z - 1 tek say
olur. 2z - 1 tek say olduundan x y tek saydr. ki saynn çarpm tek
say ise saylarn ikisi de tek say olmaldr. Buna göre x ve y tek
saylardr ve a ile f seçenekleri dorudur.
a, b, c, d pozitif tam saylardr. olduuna göre a ve
b nin tek veya çift olma durumlarn belirtiniz.
a b c d2003 2017
2004 2018 1$ $ $ $
- = +
(? yerine tek say gelmelidir.) olduundan 2003 a b says tektir. Bu
durumda a ve b ikisi birlikte daima tektir.
Örnek
Örnek
Çözüm
Örnek
Çözüm
Çözüm
Pozitif tam saylarn bütün pozitif tamsay kuvvetleri pozitiftir.
Kuvvetin tek ya da çift olmas, sonucu deitirmez. a pozitif tamsay
olmak üzere )a 0 0 olur. (nve a N2n 2n 12 2 !+
Negatif tam saylarn çift kuvvetleri pozitif olurken tek kuvvetleri
negatiftir. b negatif tamsay olmak üzere )0 0 olur. (nb ve b N2n 2n
12 1 !+
a b c d2003 2017
2004 2018 1$ $ $ $
T T
$ $ $ $ $
$
- = + - = +
=
Örnek
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
Çözüm
En küçük iki basamakl pozitif tam say ile en büyük negatif tam
saynn farknn pozitif deerini bulunuz.
En büyük negatif tam say: -1 En küçük iki basamakl pozitif tam say:
10 bulunur.( )10 1 11- - =
ileminin sonucunu bulunuz.( ) ( )( 1) 2 3 53 04 4- - - - - -
( ) ( ) .
4 4 3 0- - - - - - = - + - =
2 3 4 :2 82- - +$ $^ ^ ^h h h6 @
. ( )
$+ + - + + + =
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
x, y, z doal saylardr. x + z - 1 = 8y + 5 olduuna göre aadakilerden
hangileri daima çifttir. I. x y IV. (x - z) II. x z V. (x + z) y
III. y z
x + z - 1 = 8y + 5 x + z = 8y + 6 eitliinde y tek veya çift olsa
bile y8 6+ daima çifttir. Her iki taraf çift olduuna göre x ile z
nin her ikisi de tek veya çifttir. Bu durumda IV ve V daima
çifttir.
43
x y z x z
y z
olduuna göre x, y ve z tam saylarnn iaretlerini inceleyiniz.
ifadesinde olduundan dr. ifadesinde olduundan olduu anlalr.
ifadesinde ve olduundan olmaldr.
x 04 2 z 02 z 02
z 02 x 01y 02 2
y 0<
Örnek
Çözüm
Bir denizalt, denizin 1200 m dibinde bulunmaktadr. Denizalt,
dakikada 130 m olmak üzere toplam 10 dakika daha dalmaya devam
ediyor. Deniz yüzeyi sfr kabul edilirse denizaltnn bulunduu son
derinlii ifade eden tam sayy bulunuz.
çinde 4 m derinliinde su bulunan havuzun üzerine su seviyesinden 3
m yüksekliinde bir tramplen kurulmutur. Bu tramplen üzerinden
havuza atlayan Ceyda havuzda 174 cm derinlie kadar dalmtr. Buna
göre Cey- da'nn havuza dald derinlik ile tramplen arasndaki
mesafenin kaç m olduunu bulunuz.
Denizalt balangçta denizin 1200 m dibinde ise bunu -1200 ile
gösteririz. Araç, 10 dakikada 1300 m daha dibe iner, yani -1300 m
daha derine inmitir. Denizaltnn bulunduu son derinlik, -1200 - 1300
= -2500 m bulunur.
Su seviyesini 0 m olarak kabul edersek tramplenin su seviyesinden
yüksekliini +3 m, havuzun derinliini -4 m ve Ceyda'nn dald derinlii
-1,74 m olarak gös- terebiliriz. Ceyda'nn havuza dald derinlik ile
tramplen arasndaki mesafe ; (+3 m) - (-1,74 m) = 4,74 m olarak
bulunur.
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
44
1. ÜNTE: SAYILAR 1.2. TAM SAYILAR
3. Bir kimyasal madde C11o- scaklkta iken soutulmaya balanyor. Bu
kimyasal maddenin 6 saat boyunca her saat sonunda scakl C6 o
azaltlyor. Buna göre 6. saatin sonunda bu kimyasal maddenin scaklnn
kaç derece olduunu bulunuz.
4. 40 soruluk bir snavda doru cevaplanan her bir soru için 5 puan
verilmekte, yanl cevaplanan her bir soru için 2 puan silinmektedir.
Bengü’nün bu snavdan 17 dorusu ve 10 bou olduuna göre Bengü snavda
kaç puan almtr?
5. Bir madenci, yerin 1100 metre altnda kömür çkarrken 400 metre
yukardaki toplanma alanna çkyor. Buna göre madencinin son durumda
bulunduu yeri gösteren tam say kaçtr?
6. Ardk 4 tane doal saynn toplam, bu saylarn en küçüünün 6 katna
eittir. Bu saylarn en büyüü kaçtr?
7. a çift, b tek doal saylar olmak üzere aadakilerden hangileri
kesinlikle tektir? I. 3a + 4b IV. ba ab + II. ( )a b a b- $ V. a b
2018$ + III. ( )a b 2023+
8. ileminin sonucunu bulunuz.
9. x2 51 1 olduuna göre x x x2 5- + + - ifadesinin eitini
bulunuz.
10. a b2 3 0++ - = olduuna göre a b- ifadesinin deerini
bulunuz.
1. x, y, z tam say ve x < y < z olmak üzere aadaki
ifadelerden hangisi pozitiftir?
2.
- -
x z y x
- - x z z y- -$^ ^h h y x z y- -$^ ^h h y x zy2- -$^ ^h h
, ,x y ve y z ve x z ise x y z tam0 0 02 4 3 5$ $ $1 2 1 saylarnn
iaretlerini bulunuz.
5 2 4 3 2 5 3 4 $ $
$ $
- -- + - - -
Asal Saylar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Sadece kendisine ve 1 e bölünebilen 1 den büyük doal saylara asal
saylar denir. 2 den baka çift asal say yoktur.
Eratosthenes (Eratosten) Kalburu
1. Adm: 1 in üzerine çarp atlr. 2. Adm: 2 yi yuvarlak içine alnr ve
2 nin tüm katlarnn üzerine çarp atlr (4, 6, 8, 10, 12, …). 3. Adm:
3 ü yuvarlak içine alnr ve 3 ün tüm katlarnn üzerine çarp atlr (6,
9, 12, 15, …). 4. Adm: 5 i yuvarlak içine alnr ve 5 in tüm katlarnn
üzerine çarp atlr (10, 15, 20, 25, …). . . . Bu ilemler bittiinde
yuvarlak içine alnan saylar asal saylardr. Buna göre ilk 100 sayma
says içindeki asal saylar; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31,
37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 dir.
x, y, z asal saylardr. z = 11 (x - y) olduuna göre x + y + z
toplamnn kaç olduunu bulunuz.
z nin asal olabilmesi için x - y = 1 olmaldr. Bu durumda x = 3, y =
2, z = 11 olmaldr. Toplam 3 + 2 + 11 = 16 bulunur.
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
a, b pozitif tam saylar ve c asal say olmak üzere 7 28 2c
a b c2
7 28 2 7(a 4) (b 2) cc
a b c2
3= - + - =+ & $ tür.
c nin asal say olmas için a + 4 ve b – 2 çarpanlar da 7
olmaldr.
a a 4 7
9 - =
= bulunur. Sonuç olarak a + b + c = 3 + 9 + 7 = 19 olur.
46
Aralarnda Asal Saylar
x, y, z asal say olmak üzere x y x z x4 82$ $+ = + olduuna göre x +
y + z toplam kaçtr?
x y x z x4 82$ $+ = + ifadesi çift saydr. eitliinde x = 2
olmaldr.
Eitlikte x yerine 2 yazlrsa
.
2$+ = + + =
+ + = + =
1 den baka pozitif ortak böleni olmayan iki veya daha fazla pozitif
tam sayya aralarnda asal saylar denir. 1 ile her pozitif tamsay
aralarnda asaldr.
Aada aralarnda asal baz saylar verilmitir:
5 ile 7 saylar, 6 ile 7 saylar, 8 ile 9 saylar, 5, 6, 7 saylar ve
4, 6, 15 saylar aralarnda asaldr.
1. k bir asal say ve m bir doal say olmak üzere eitlii salanyorsa m
- k fark nedir? 2. x ile y birer pozitif tam say ve k asal say
olmak üzere olduuna göre x in k türünden deerini bulunuz.
6 30 26
b a
9 4=
6 15 13
4 9
30 26
b a
k m 3k$ =
5 1 y x 20
46- =
^ ^h h
5x - y ile x y aralarnda asaldr. ve x ile y pozitif tamsaylar
olduuna
göre y nin alabilecei tam say deerini bulunuz.
5x - y ile x y aralarnda asal olduundan x y ve x y10 5 23== -$
olmaldr.
Bu durumlardan x = 5 ve y = 2 için 5x-y = 23 eitlii salandndan y =
2 bulunur.
durumlar vardr.
Örnek
Çözüm
a ve b pozitif tam saylar ve (a - 2) ile (b + 3) aralarnda asal
saylardr. a b 3a 2b 23+ - =$ ise b - a = ?
( ) ( ) ( )
( ) . ( )
a b
2 3 17 1 17
+ - - = + - + =
a a 2 1
x y x y + +
=1. x ve y saylar aralarnda asaldr. olduuna göre x - y deerini
bulunuz.
2. (a - 3) ile (b+ 2) aralarnda asal saylardr. a b 2a 3b 29+ - =$
ise a + b deerini bulunuz.
5. 8, 9, 10, 16, 17, 18 say grubundaki saylardan hangisinin iki
asal saynn toplam eklinde yazlamayacan bulunuz.
6. 10, 15, 23, 31, ? say grubu ardk üç asal saynn toplamlar ile
oluturulmutur. Soru iareti yerine gelecek saynn deerini
bulunuz.
3. 20 den küçük, 6 ile aralarnda asal olan kaç tane pozitif tam
saynn olduunu bulunuz.
4. aralarnda asal saylardr. olduuna göre kaç tane (x, y) sral
ikilisinin olduunu bulunuz.
b a 14 3 11- = - =
,x y ve x ile yZ! + ( )x y 2 60$ + =
x y 10 ise x 1 x 2 x 5
x 10
= = = =
=
= = = =
$
Asal Çarpanlara Ayrma
x, y, z pozitif tam saylar ve a, b, c birbirinden farkl asal saylar
olsun. A saysnn eklinde yazlmasna A saysnn asal çarpanlara ayrlm
biçimi denir.
36 ve 48 saylarn asal çarpanlarna ayrnz.
36 2
18 2
9 3
3 3
.36 2 3 bulunur2 2= $ .48 2 3 bulunur4= $
12 x y3=$x ve y pozitif tam saylardr. olduuna göre x in en küçük
deeri için x + y toplamn bulunuz.
y3
2 3 2 3 lrsa 18 .
2 3 (2 3 ) 2 3 6 6 18 6 24 .
y x y
y y y ve x y bulunur
x12 3
3 3 3
= =
= =
= = + = + =&
$
$ $
$
$ $ $
$
= Eitliin sa tarafnda bulunduu için eitli- in sol tarafndaki her
bir asal çarpann kuvveti, 3 ve 3 ün kat olmaldr.
y yerine yanndaki asal çarpanlarn üsleri, 2 olacak ekilde çarpanlar
yazlr.
x ve y pozitif tam saylar olmak üzere
olduuna göre x + y toplamnn alabilecei en küçük deer kaçtr?
ifadesinde 50, asal çarpanlarna ayrlr. yazlr.)
x y502 =
x y x y y yerine x x olur
50 2 5 2 2 5 2 2 5 2 5 10
2
$
$ $
$ $ $
$
= = = = = =
^
Örnek
Örnek
Çözüm
Örnek
Çözüm
Çözüm
49
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
a ve b pozitif tam saylardr. 288 a b4=$ olduuna göre a + b toplamnn
alabilecei en küçük deer kaçtr?
288 saysn asal çarpanlarna ayrnz.
288 2
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
2 3 72 2 3 2 3
2 3 2 2 3
2 2 3 12 72 12 84
5 2
8 4 4
$
$ $
$
$ $ $
$
$ $
$ $
= = = = = = = = =
+ = + =
Eitliin sa tarafnda bulunduu için eitliin sol tarafndaki her bir
asal çarpann kuvveti, 4 ve 4 ün kat olmal- dr.
1. 180 k ifadesi, pozitif bir tam saynn karesi olduuna göre k nn
alabilecei en küçük pozitif tam say deeri kaçtr?
2. 48 80 250 375 says kaç basamakldr?
...
75 16 5 3 5 2 5 3 2 5 2 12 10 1200 0
5 16 2 20 16
2 18 18
Verilen say eklinde yazlmaldr.
1. ÜNTE: SAYILAR 1.2. TAM SAYILAR
60 = 160 60 = 230 60 = 320 60 = 415 60 = 512 60 = 610
60 2
30 2
15 3
5 5
1.2.3. Bir Tam Saynn Pozitif Tam Say Bölenleri Says
x, y, z pozitif tam saylar ve a, b, c birbirinden farkl asal saylar
olsun. eklinde asal çarpanlarna ayrlm A saysnn; 1. Pozitif tam say
bölen says: (x + 1) (y + 1) (z + 1) 2. Negatif tam say bölen says:
(x + 1) (y + 1) (z + 1) 3. Tüm tam say bölen says: pozitif tam say
bölen saysnn 2 kat 4. a çift, b ve c tek tam say olmak üzere a)
Pozitif tek tam say bölen says: (y + 1) (z + 1) (Sadece tek asal
çarpanlarn üslerinin birer fazlas çarplr.) b) Pozitif çift tam say
bölen says: pozitif tam say bölen says - pozitif tek tam say bölen
says 5. Asal say bölenleri kümesi: , ,a b c" ,
60 tam saysnn bölenlerini ve bölen saylarn bulunuz.
A = 1200...0 saysnn 189 adet asal olmayan tam say böleni vardr. a)
A says kaç basamakldr? b) A saysnn kaç tane pozitif tek tam say
böleni vardr.
Bölen, ayn zamanda çarpan demektir. 60 n pozitif bölenleri
(çarpanlar) kümesi ,2, , 4, ,6,10,12, ,20,30,601 3 5 15= " ,
60 2 3 52 1 1= $ $
Pozitif tam say bölen says: (2+1) (1+1) (1+1) =3 2 2 = 12 Negatif
tam say bölen says: (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 3 2 2 = 12 Tam say
bölen says: 2 12 = 24 Pozitif tek tam say bölen says: (1 + 1) (1 +
1) = 2 2 = 4 Pozitif çift tam say bölen says: 12 - 4 = 8
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
A a b cx y z$ $=
( ) ( ) ( ) ( )
5
3$ $ $
A 2 512 122 3 5 107 5 55 5$ $ $$ $ = ==
)b A 2 3 57 5$ $= saysnn pozitif tek tam say bölen says, (1 + 1) (5
+ 1) = 2 6 =12 bulunur.
A says 7 basamakldr.
Faktöriyel
! ! ! !
! !
0 1 1 1 2 2 1 2 4 3 2 1
$ $
$ $ $
$
= = = = = =
= = = =
51
1. ÜNTE: SAYILAR 1.2. TAM SAYILAR
6 15a$ saysnn 168 tane tam say böleni olduuna göre a saysnn deerini
bulunuz.
6 15a$ saysnn 168 tane tam say böleni varsa 84 tane pozitif tam say
böleni vardr. 6 15 2 3 3 5
2 3 5
a a a
a) Asal çarpanlarnn toplamn bulunuz.
b) Pozitif tam say bölenleri saysn bulunuz.
c) Pozitif tek tam say bölenleri saysn bulunuz.
!11 2 3 5 7 118 4 2 1 1$ $ $ $=11 2 2
2 5
2 1
a) Asal çarpanlarnn toplam: 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28
b) Pozitif tam say bölenleri says: (8 + 1) (4 + 1) (2 + 1) (1 + 1)
(1 + 1) = 9 5 3 2 2 = 540
c) Pozitif tek tam say bölenleri says: (4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 +
1) = 5 3 2 2 = 60
Çözüm
Örnek
(1 1) (a 2) (a 1) 84 (a 2) (a 1) 42
a 2 7 a 5 bulunur. 7 6
+ + + = + + =
+ = =&
$ $
$ 1 2 34444 4444 1 2 3444 444
1. 120 tam says için aadaki sorular cevaplaynz. a) Pozitif tam say
bölen says kaçtr? b) Negatif tam say bölen says kaçtr? c) Tam say
bölen says kaçtr? ç) Pozitif tek tam say bölen says kaçtr? d)
Pozitif çift tam say bölen says kaçtr?
2. saysnn 64 tane tam say böleni varsa says kaç basamakldr?
3. 12! saysnn pozitif tek bölenleri says ile pozitif çift bölenleri
saysn bulunuz.
4. a pozitif tam say olmak üzere saysnn tam bölenlerinin says 36
ise a kaçtr?
3 10a$
144 2a$
3 10a$
11! saysnn içindeki asal çarpanlarn saysn bulmak için aadaki yol
izlenir.
52
Prof. Dr. Cahit Arf (1910-1997)
Cahit Arf, cebir konusundaki çalmalaryla tannm dünyaca ünlü Türk
matematikçidir. Selanik doumlu Arf, yüksekörenimini Fransa’da
tamamladktan sonra stanbul Üniversitesinde bir süre doçent aday
olarak çalmtr. Daha sonra doktora eitimi için gittii Almanya’dan
dönüp stanbul Üniversitesinde profesörlük ve ordinaryüs profesörlüe
yükselmitir. 1967’de Orta Dou Teknik Üniversitesinde öretim
üyeliine getirilmitir. 1980 ylnda emekli olan Arf, TÜBTAK’a bal
Gebze Aratrma Merkezinde görev almtr. Cahit Arf, 1997’de bir kalp
rahatszl nedeniyle vefat etmitir.
Cebir ve saylar teorisi ile elastisite teorisi alanlarnda baarl
çalmalar yapan Arf, yirmiden fazla orijinal yaynda bulunmutur.
Matematik literatürüne Arf halkalar, Arf deimezleri, Arf kapan gibi
kavramlarn yan sra Hasse-Arf Teoremi olarak anlan teoremi de
kazandrmtr.
Arf, matematii bir meslek dal olarak deil; bir yaam tarz olarak
görmütür. Örencilerine her zaman “Matematii ezberlemeyin, kendiniz
yapn ve anlayn.” demitir. Türk Bilginleri
<http://tubav.org.tr/turk-bilginler/>
53
1. x, y, z pozitif tam saylardr.
2. a ve b birer tam say olmak üzere
16 28 4a b b a bve+ + =1 1 olduuna
göre a-b fark en çok kaçtr?
3. -2 -3 + 2 (-4) - 5 (-2) 2 + 10 : (-2) ileminin sonucu
aadakilerden hangisidir?
4. a, b, c pozitif tam saylar ve
olduuna göre aadakilerden hangisi
6. x < y < 0 olduuna göre aadakilerden hangisi daima
pozitiftir?
7. Aadakilerden hangisi bir çift saydr?
A) -5 B) -4 C) 4
D) 7 E) 8
D) 15 E) 18
D) 2 E) 12
D) 2
- +
A) 5 211 9+ B) 5 11 10!3 3 +$ C) 9 84 3-
D) 9! 7! 2- + E) 3 8! 714 10+$ 1.2
. T AM
SA YIL
AR
13 17 isex y ve y z= =$ $ x - y - z kaça eittir?
A) a çift saydr.
B) b çift saydr.
C) c çift saydr.
a b 2 c6 +$ =
Kendimizi Snayalm
8. x, y, z pozitif tam saylardr. x y = 4 ve x z = 9 olduuna göre x
+ y - z ifadesi- nin deeri kaçtr?
9. a, b, c birbirinden farkl pozitif tam saylar olmak üzere 3a + 4b
+ 2c = 63 olduuna göre b nin alabilecei en büyük deer kaçtr?
10. a b c2 2 olmak üzere a, b, c asal rakam- larn kullanarak kaç
tane üç basamakl abc says yazlabilir?
A) -5 B) -4 C) -3
D) -2 E) 1
D) 24 E) 35
D) 7 E) 10
5. a ve b pozitif tam saylar olmak üzere 2a + 3b = 27 koulunu
salayan kaç tane b deeri bulunur?
A) 9 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
1. ÜNTE: SAYILAR 1.3. RASYONEL SAYILAR
11. a, b, c farkl birer asal say olmak üzere eitlii veriliyor. a +
b + c toplam kaç olur?
12. saysnn asal çarpanla- rnn en büyüü ile en küçüü arasndaki fark
kaçtr?
A) 4 B) 7 C) 9
D) 10 E) 18
D) 11 E) 17
Kendimizi Snayalm
için aadakilerden hangisi dorudur?
C) x ve y çifttir.
D) x ve y tektir.
E) z tek, y çifttir.
4 x y 5
= $
14. Rakamlar farkl üç basamakl dört pozitif tam saynn toplam 430
olduuna göre bu saylarn en büyüü en çok kaçtr?
A) 124 B) 128 C) 129
D) 132 E) 138
15. 9! saysnn pozitif tam say bölen says kaçtr?
16. 120 m yükseklie çkldnda hava scak- lnn C1 cazald varsaylsn.
Buna göre yükseklik fark 4800 m olan iki noktadan birinde hava
scakl C6 colduuna göre dier nokta da hava scakl kaç Cc
olabilir?
17. a pozitif bir tam say olmak üzere 4 27a $ saysnn pozitif tam
bölen says 60 olduuna göre a kaçtr?
18. , ,x y y z x y0 0 03 2$ $ $1 2 1 olduuna göre x, y, z tam
saylarnn iaretleri srasyla nedir?
A) 160 B) 180 C) 270
D) 320 E) 380
D) 6 E) 7
D) - 34 Cc E) - 36 Cc
A) +, +, - B) +, +, + C) -, -, -
D) -, +, - E) -, +, +
19. 15 14 ... 2 1 1 2 17- - - - - + + + +g ileminin sonucu
kaçtr?
A) 22 B) 33 C) 35
D) 46 E) 48
20. Geçerli durumlar için bir pozitif doal say- nn birler
basamandaki rakam 4, onlar basamandaki rakam 5 artryor ve binler
basamandaki rakam 1 azaltyor. Saynn deeri, son durumda nasl
deimitir?
A) 46 artmtr.
B) 46 azalmtr.
C) 946 artmtr.
D) 946 azalmtr.
Ömer Hayyam (1048-1131)
Asl ad, Giyaseddin Ebu'l Feth Bin brahim El Hayyam’dr. ran'n Nia-
bur kentinde domutur. Astronom, bilim insan, air ve
filozoftur.
Matematik, fizik, metafizik, astronomi ve tp gibi rasyonel ilimler
dnda iirle de yakndan ilgilenmi ve bu alanlarla ilgili eserler
vermitir. Gerek kendi yaad dönemde gerekse sonraki çalarda yazlan
kaynaklarda Ömer Hayyam’n; çann bilgilerini edindii, o alanlarda
derin tartma- lara girdii, fkh, ilahiyat, edebiyat, tarih, fizik ve
astronomi okuttuu ya- zldr. En büyük eseri “Cebir Risalesi”dir.
Matematik bilgisi ve yetenei zamannn çok ötesinde olan Ömer Hayyam,
denklemlerle ilgili baarl çalmalar yapmtr. Bunun yan sra, binom
açlmn ve bu açlmda- ki katsaylar da bulan ilk kiidir. Hayyam, yapt
çalmalarn çounu
kaleme almamtr ancak kendisi birçok teori ve icadn isimsiz
kahramandr. 21 Mart 1079 tarihinde tamamlad “Celali takvimi” olarak
bilinen takvim için büyük çaba sarf etmitir. Güne ylna göre dü-
zenlenen bu takvim, 5000 ylda bir gün hata verirken bugün kullandmz
“Gregoryen takvimi” 3330 ylda bir gün hata vermektedir. Bugün Ömer
Hayyam’n eserlerinden 18 tanesinin ad bilinmektedir.
Matematik ve geometriye ait eserleri:
1. Ziyc-i Melikahi (astronomi ve takvime dair) 2. Kitabün fi'l
Burhan ül Shhat- Turuk ül Hind (geomet- riye dair) 3. Risaletün fi
Berahin l Cebr ve Mukabele (cebir ve denklemlere dair) 4.
Mükilat'ül Hisab (aritmetie dair) 5. Nevruzname (takvim ve ylba
tespitine dair) Ömer Hayyam, <
http://matematik.dpu.edu.tr/index/sayfa/3121/omer-hayyam>
1.3. RASYONEL SAYILAR
2 3 1
mn da kullanarak birimi kesir cinsinden parçala- mlardr.
Kesir kavram 11. yüzylda Ömer Hayyam tarafn- dan ortaya atlmtr.
Hayyam, bir kesri iki saynn birbirine bölümü olarak yorumlam ve
açklamtr. (Argün vd., 2014)
2 1
1 3
1 4
1 4
1 4
1 4
1 5
1 5
1 5
1 5
1 5
1 3
1 3
2 1
Kesir kavramna yönelik en erken delile, Msr matematiinde rast-
lanmaktadr. Kesirler MÖ 1800’lü yllarda Babil Uygarl’nda kulla-
nlmtr.
1.3.1. Rasyonel Saylarn Tarihsel Geliimi
(Görsel temsilîdir.)
1. ÜNTE: SAYILAR 1.3. RASYONEL SAYILAR
a ve b tam saylar aralarnda asaldr ve b 0 olmak üzere b a
! biçiminde ifade edi-
len saylara rasyonel say denir ve rasyonel saylar kümesi,Q sembolü
ile gösterilir.
Her tam say, paydas 1 olan bir rasyonel saydr. Z Q1
ç
ç
tanmsz
a) Basit Kesir: Pay paydasndan mutlak deerce küçük olan kesirlere
denir.
b) Bileik Kesir: Pay, paydasndan mutlak deerce büyük veya paydasna
eit olan kesirlere denir.
c) Tam Sayl Kesir: Bir tam say ve bir basit kesrin yan yana yazlmas
ile elde edilen kesirlerdir.
, , , , ...1 10 1 2 5
3 12 5 1 3 7
4- - gibi kesirler birer tam sayl kesirdir.
,... gibi saylar basit kesirdir.
, , , ,5 2 0 5
35 43
(5) (7) $
45 18 20
a d b c .Q
(d) (b) b d $
3 9 4
a d c
(d) (b) $
(9) (5)
!
$!
4= =| $
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Bölme ileminde birinci kesir aynen braklr, ikinci kesir ters çev-
rilerek birinci kesirle çarplr.
Not
58
ileminin sonucunu bulunuz. 1 3
1 : 2 1
1 1 3
2 : 4 1
1 3 2
3 , 7 4
(7) (5)
kesirlerinde önce 3 ile 7 çarplr: 3 7=21. Sonra 4 ile 5
çarplr:
4 5 =20 olur. 21 ile 20 saylar 21 > 20 olarak sralandna
göre
paydalar eitlenirse
kesirlerini sralaynz.
35 21
Rasyonel Saylarda Sralama
1. Paylar eit olan pozitif iki kesirden paydas küçük olan kesir,
dierinden büyüktür. 2. Paydalar eit olan pozitif iki kesirden pay
büyük olan kesir, dierinden büyüktür. 3. Negatif kesirlerde sralama
ise pozitif kesirlerdeki durumun tersidir.
1
2
3
4
5
6
7
1. biçiminde ifade edilen ve Q sembolü ile gösterilen say
kümesi
2. Rasyonel sayda kesir çizgisinin üstünde kalan say 3. Rasyonel
sayda kesir çizgisinin altnda kalan say
4. Rasyonel saynn 0 0 durumu
5. Rasyonel saynn 0
,a b ve b olmak zere b a0 üZ !!
Aadaki bulmacada yer alan boluklar, sorular okuyarak uygun
ifadelerle doldurunuz.
Bulmaca
lem öncelii: Parantez içi, çarpma, bölme, top- lama, çkarma eklinde
sralanmaktadr.
59
Paylar eitlenirse 20 12 , 12
21 olur. Paydas büyük olan daha küçük
olacandan
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Pay ve paydas ara- sndaki fark ayn olan pozitif basit kesirlerden
paydas büyük olan 1 e daha yakndr.
Pay ve paydas ara- sndaki fark ayn olan pozitif bileik kesirlerde
paydas büyük olan 1 e daha yakndr.
Verilen saylarn pay ve paydalar arasndaki fark sabit ve 3
tür.
Verilen saylarn pay ve paydalar arasndaki fark sabit ve 2
dir.
1 e yaknlk srasna göre c < b < a < 1 olur.
1 < c < b < a
0
ve x in 4 farkl deeri vardr.
kesrinin bir tam say belirtmesi için kaç farkl x deeri vardr?
x + 2 yerine 13 ün bölenleri olan -1, 1, -13, 13 saylar yazldnda
tam saylar elde edilir.
Önce verilen rasyonel saylarn paylar eitlenir.
Buna göre pay eit olan pozitif kesirlerden paydas büyük olan daha
küçüktür. Fakat saylar negatif olduu için sralama ters çevrilir. Bu
durumda b < a < c olur.
5 3 , 10
5 3
14 6 7
= - = - = - = - = - = - ^ ^ ^h h h
+ +
+ + = + +
+ +
+
+ +
= +
, ,
,
x ise x x ise x x ise x x ise x olur
+ = = - + = - = - + = = + = - = -
1. ÜNTE: SAYILAR 1.3. RASYONEL SAYILAR
ileminin A ya bal deerini bulunuz.
kinci ifade -1 ile çarplp A ve -X taraf tarafa toplanr.
Çarpanlarn virgülden sonraki basamak saylar toplam 4 olduundan
ilemin sonucu virgülden sonra 4 basamak olur.
1. Yol
2. Yol
8 1
9 1
10 1
8 17
9 8
Çözüm
Örnek
Basamak deeri sisteminin bir gelimesi olan saylarn ondalk
gösterimi, aslnda kesir fikrine dayanmaktadr. Kesir, literatürde
ondalk saylar olarak yer almakta- dr. Fakat ondalk say diye bir say
türü yoktur. Ondalk say, sadece saylarn gösterim biçimlerinden
biridir. Paydas 10 un pozitif kuvveti olarak yazlan kesir- lere
ondalk kesir denir.
ifadeleri birer ondalk gösterimdir.
Ondalk gösterimde tam ve ondalk ksmlarn ayrm için virgül kullanlr.
Ondalk gösterimlerinde önemli olan tam say ve kesirler arasndaki
ilikidir. Her ondalk say kesir biçiminde yazlr.
, ,ve10 5 0 5 10
127 0 1273= =
1,140,49 1170 468
- x
a) (0,73 - 0,24) + 0,65 ileminin sonucu kaçtr? b) 0,25 2,34
ileminin sonucu kaçtr?
Ondalk Gösterim
1. ÜNTE: SAYILAR 1.3. RASYONEL SAYILAR
, ,ve x8 3 0 375 0 375= + tam say olduuna göre x in ondalk
ksm
, , ,
0 1+ ileminin sonucunu bulunuz.
x pozitif bir ondalk saydr. x 8 3+ ifadesi bir tam say belirttiine
göre x in virgülden
sonraki ksmnn kaç olduunu bulunuz.
, ,
0 34 3 4 kesrinde pay ve payda 100 ile çarplrsa ondalk saylar
virgülden kurtulur.
,34 340 10= benzer ekilde ,
, 0 1 3 4 ksmnn da pay ve paydas 10 ile çarplrsa 1
34 34=
0,5646 -
2. Yol: Bu ilemin sonucu ksa yoldan 0,4354 saysnn on binde birler
basaman- daki rakam 10 a tamamlanp dier rakamlar ise 9 a
tamamlanarak bulunur. 1 - 0,4354 = 0,5646 bulunur.
1. Yol:
Bir çubuk çizilip 12 eit parçaya bölünür. 20 20 20
Kalan üç eit parça 60 olduundan her bir parça 20 olur. Cevap 20 12
= 240 tr.
Aye pazarda parasnn ü ile meyve, ü ile sebze, s ile de süt
ürünleri
almtr. Aye’nin geriye 60 liras kaldna göre tüm parasnn kaç lira
olduunu bulunuz. Çözüm
Örnek
bulunur.
62
1. ÜNTE: SAYILAR 1.3. RASYONEL SAYILAR
1. Aye ile Zeynep birbirlerine toplam 300 ileti gönderiyorlar. Aye
iletilerin
5 2 ini, Zeynep ise 15
4 ini gönderdikten sonra haberlemeye ara veriyorlar.
Kalan sürede ikisi de eit miktarda ileti gönderdiine göre Zeynep
kaç ileti göndermitir?
2. Burak parasnn önce 2 1 sini, sonra kalan parasnn 3
1 ünü, en sonunda da
kalan parasnn 4 1 ünü harcyor. Buna göre Burak parasnn kaçta
kaçn
harcamtr?
Ali, bir kitabn ilk gün ünün 1 eksiini okuyor. kinci gün ise okumad
sayfalarn
inin 3 fazlasn okuyarak kitabn tamamn bitiriyor. Ali’nin okuduu
kitabn sayfa
saysn bulunuz.
4 3
Geriye sayfa kalr.x x x 4 3 1 4
4- - = +b l
x olur Buna g re x bulunur
2 20 17 8 20 40 17 8
3 48 16
çubuun uzunluu kaç cm dir?
2. gün .x x sayfa okur4 4
5 2 3 20
2 8 3= - + + +
30 30
Önce bütünü gösteren bir çubuk çizilir ve çubuun 3 1 ü kesilir.
Kalan parça tekrar
üçe bölünür ve bunun da iki parças kesilir. Geriye kalan parçann
uzunluu 20 cm
olduundan parçalarn uzunluklar sondan baa doru bulunur ve verilen
çubuun
uzunluu 90 cm olur.
2.
3.
4.
5.
6.
D) 1 10
E) 1 2
2 3
A) 22 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4
+ + + + $^
1
l
+ -$ -b l: D
1 1 3 1 1 4
1 ... 1 48 1 147x+ + + + =$ $ $a a a ak k k k
ileminin sonucu kaçtr?
3 220 242
3 251 3
D) 10 E) 12
D) A - 2 E) A - 6
2 51 49
2 47 2
kaç farkl x tam says vardr? 3
2 41 x x
5 13
11.
12.
D) 35 E) 36
2 3 1
2 , 5 3b l
D) 1 E) 2
D) 6 E) 7
A) a<b<c<d B) a<c<b<d C) a<d<c<b
D) a<b<d<c E) a<d<b<c
3 1
2 1
7a b c= = = = olduuna
göre a, b, c, d kesirlerinin sralamas aa- dakilerden
hangisidir?
16.
17.
D) -15 E) -16
2 1
4 3
5 4
18.
A) x>y>z B) x>z>y C) z>x>y
D) z>y>x E) y>x>z
15 13
105 103
göre aadaki sralamalardan hangisi do- rudur?
19.
20.
D) 21 E) 28
D) 7 E) 2004
7,35753 >7,35AA6 olduuna göre A rakamnn alabilecei deerler
toplam kaçtr?
ileminin sonucu
1007-
1.4. ÜSLÜ VE KAREKÖKLÜ FADELER
Üs (kuvvet) ve üstel fonksiyon kavramna uygun gösterimler
gelitirilmesi ve tantlmasnda Fransz matematikçi Augustin Louis
Cauchy (Austin Luis Koi) liderlik etmitir. “Courd d’Analyse” (Kord
Danalays) kitabnda Cauchy; genel üs, kök ve logaritmalarla ilgili
ilemlerde kolaylk salamas için gelitirdii gösterimleri tantmtr. Üs,
kök ve logaritma kavramlarnn gösterimleri ve terminolojisi, 1846
ylnda Cauchy’nin çalmalarndan sonra dikkatleri daha fazla
çekmitir.
18 446 744 073 709 551 615 Adet Buday Tanesi
Eski zamanlarda sava stratejilerini çok seven ve sürekli bunlar uy-
gulamaktan holanan bir kral yaarm. Kral halkn ve ordusunu sudan
sebeplerle savaa sokarak deiik hamlelerle zafer kazan- may
amaçlarm. Kraln sava merakndan usanan halk, bu soru- nuna çare
aramaya balam. Halk, ülkenin Bilge’sine bavurmu. Bilge, uzun bir
düünme sürecinin ardndan bu soruna çözüm bul- mu. Kraln huzuruna
çkan Bilge, Kral’a bir hediye sunmak istedii- ni söylemi. Çok mutlu
olan Kral merakla hediyeyi beklemi. Bilge, Krala bir kutu uzatp
“Kralm siz savamay çok seviyorsunuz. Bu sebeple size ayn gün
içerisinde defalarca savama imkân verecek bir oyun getirdim. Bu
ufak talar askerleriniz. ki tane atl birliiniz ve iki tane de filli
askeriniz var. Yine ayn ekilde iki tane sava arabanz var (kale).
Siz de bu oyunun ahsnz ve bir de yardmcnz olan vezir var. Bu
gördüünüz satranç tahtas üzerinde kardaki rakibi zekice
hamlelerinizle yenmek için mücadele edeceksiniz. Bu oyu- nun ad
satrançtr.” Bilgenin getirdii satranç oyunundan memnun
kalan Kral, Bilge’ye bu güzel oyun için ne ödül istediini sormu.
Bilge, satranç tahtasnda 64 kare bulunduunu ve birinci kare için
bir adet buday, bir sonraki kare için birinci karedekinin iki kat
kadar buday, üçüncü kare için ikinci karedekinin iki kat kadar
buday gelecek ekilde bütün karelere denk gelecek kadar buday
istediini söylemi. Hesaplamalar yapldnda Bilge’nin istedii buday
tanesi adetinin 18 446 744 073 709 551 615 tane olduu ortaya çkm.
Kvrak zekâl Bilge’nin buday hikâyesi nesilden nesile anlatlm.
Augustin Louis Cauchy [Ogustin Luis Koi (1789-1857)]
Augustin Louis Cauchy, Fransz Devrimi’nin balangcndan ksa bir süre
sonra 1789’da dünyaya gelmitir. Matematik konusundaki yetenei, kap
komular olan ünlü matema- tikçi Laplace (Leples) tarafndan fark
edilmitir. 1810’da inaat mühendisliinden mezun olup Napolyon’un
ordusunda askeri mühendis olarak çalmaya balamtr. Bu srada
Laplace’in baz kitaplar ile matematik üzerine aratrmalarna devam
etmitir. 1857’de altm sekiz yanda iken geçirdii ateli bir hastalk
sonucu yaamn yitirmitir.
Analiz dalnda pek çok çalmas olan Cauchy, ayn zamanda bir akkan
yüzeydeki dalgalarn hareketi üzerine yapt çalma ile tannmaktadr.
Birçok ünlü matematikçinin cevaplayamad Fermat’n bir sorusunu
1815’te cevaplayarak ispatlamtr. Bu sayede matematikçi olarak
kendini bir kez daha kantlam ve iyice ünlenmitir.
En çok ses getiren çalmalar: Olaslk analizi, optik, elastisite,
matematiksel fizik, astronomi, hidrodinamik ve diferansiyel
denklemler olarak saylabilir. Cauchy
<https://www.ugr.es/~eaznar/cauchy.htm>
1.4.1. Üslü ve Kareköklü fadelerin Tarihsel Geliimi Üslü Saylarn
Tarihsel Geliimi
66
1 12 = 1 1=
2 4 2 = 4 2=
3 9 2 = 9 3=
4 16 2 = 16 4=
5 25 2 = 25 5=
Karekökü tam say olan 1, 4, 9, 16, 25, ... gibi saylara karesel say
denir.
Geçmiten bugüne tarih içinde saylarn kareköklerinin (açlm)
hesaplanma- sna dair pek çok teebbüsün yapld görülmektedir. MÖ
1650’lerde Rhind (Raynd) Papirüslerinde karekök hesaplarnn yapld
görülmütür. MÖ 1600’de Eski Babil tabletlerinde nin altmlk tabana
göre üç basamaa kadar hesapland görülmektedir. Bu hesaplama yöntemi
ile Babilliler nin ondalk açlmn yaklak olarak 1,414222 olarak
bulmulardr. Bu sonuç ile ...... nin tam açlm arasndaki fark
0,000008 kadardr. Hindistan ve Çin’in eski dönemlerinde de bu tür
hesaplarn yapld bilinmektedir. Eski Yunan matema- tikçileri ise
karekökü yalnzca deneyerek hesaplamlardr.
Arimet “Mensuration of the Circle”da (Mensüreyn of d Sörkl) karekök
ile
ilgili çok sayda bilgi vermitir. Örnein