Hülya KILIÇ Kaya SATIŞ Mehmet GÜNEŞ Mehmet SEZİŞLİ

PROGRAM GELTRME UZMANI Doç. Dr. Hasan Hüseyin AHAN
Doç. Dr. Erdoan TEZC
GÖRSEL TASARIM UZMANLARI
Mehmet ZEBER Tufan Burhan LER
MLLÎ ETM BAKANLII YAYINLARI ............................................................................: 7036 YARDIMCI VE KAYNAK KTAPLAR DZS.......................................................................: 1189
Her hakk sakldr ve Millî Eitim Bakanlna aittir. Kitabn metin, soru ve ekilleri ksmen de olsa hiçbir surette alnp yaymlanamaz.
Millî Eitim Bakanl, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlnn 25.06.2018 gün ve 12254648 sayl yazs ile eitim arac olarak kabul edilmi, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüünün 28.05.2019
gün ve 10443977 sayl yazs ile birinci defa 19.271 adet baslmtr.
ISBN 978-975-11-5000-4
Korkma, sönmez bu afaklarda yüzen al sancak; Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak. O benim milletimin yldzdr, parlayacak; O benimdir, o benim milletimindir ancak.
Çatma, kurban olaym, çehreni ey nazl hilâl! Kahraman rkma bir gül! Ne bu iddet, bu celâl? Sana olmaz dökülen kanlarmz sonra helâl. Hakkdr Hakk’a tapan milletimin istiklâl.
Ben ezelden beridir hür yaadm, hür yaarm. Hangi çlgn bana zincir vuracakm? aarm! Kükremi sel gibiyim, bendimi çiner, aarm. Yrtarm dalar, enginlere smam, taarm.
Garbn âfâkn sarmsa çelik zrhl duvar, Benim iman dolu gösüm gibi serhaddim var. Ulusun, korkma! Nasl böyle bir iman boar, Medeniyyet dediin tek dii kalm canavar?
Arkada, yurduma alçaklar uratma sakn; Siper et gövdeni, dursun bu hayâszca akn. Doacaktr sana va’dettii günler Hakk’n; Kim bilir, belki yarn, belki yarndan da yakn
Bastn yerleri toprak diyerek geçme, tan: Düün altndaki binlerce kefensiz yatan. Sen ehit olusun, incitme, yazktr, atan: Verme, dünyalar alsan da bu cennet vatan.
Kim bu cennet vatann uruna olmaz ki feda? üheda fkracak topra sksan, üheda! Cân, cânân, bütün varm alsn da Huda, Etmesin tek vatanmdan beni dünyada cüda.
Ruhumun senden lâhî, udur ancak emeli: Demesin mabedimin gösüne nâmahrem eli. Bu ezanlar -ki ehadetleri dinin temeli- Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- tam, Her cerîhamdan lâhî, boanp kanl yam, Fkrr ruh- mücerret gibi yerden na’m; O zaman yükselerek ara deer belki bam.
Dalgalan sen de afaklar gibi ey anl hilâl! Olsun artk dökülen kanlarmn hepsi helâl. Ebediyyen sana yok, rkma yok izmihlâl; Hakkdr hür yaam bayramn hürriyyet; Hakkdr Hakk’a tapan milletimin istiklâl!
Mehmet Âkif Ersoy
ilelebet muhafaza ve müdafaa etmektir.
Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin en
kymetli hazinendir. stikbalde dahi, seni bu hazineden mahrum etmek
isteyecek dâhilî ve hâricî bedhahlarn olacaktr. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti
müdafaa mecburiyetine düersen, vazifeye atlmak için, içinde bulunacan
vaziyetin imkân ve eraitini düünmeyeceksin! Bu imkân ve erait, çok
namüsait bir mahiyette tezahür edebilir. stiklâl ve cumhuriyetine kastedecek
dümanlar, bütün dünyada emsali görülmemi bir galibiyetin mümessili
olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatann bütün kaleleri zapt edilmi, bütün
tersanelerine girilmi, bütün ordular datlm ve memleketin her köesi bilfiil
igal edilmi olabilir. Bütün bu eraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere,
memleketin dâhilinde iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ hyanet
içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri ahsî menfaatlerini,
müstevlîlerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde
harap ve bîtap dümü olabilir.
Ey Türk istikbalinin evlâd! te, bu ahval ve erait içinde dahi vazifen,
Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktr. Muhtaç olduun kudret,
damarlarndaki asil kanda mevcuttur.
Sayfa numaralarn gösterir.
Önceki örenmeleri hatrlatan, dikkat edilmesi gereken noktalar gösterir.
Konuya ait tanm ve özellikleri gösterir.
Konu ile ilgili görselleri gösterir.
Konu numaralarn ve adlarn gösterir.
Ana balklar gösterir.
Matematik tarihinde ün yapm isimlerin tantld bölümleri gösterir.
Yeni örenmelere yol açacak ksa bilgilendirmeleri gösterir.
7
Kitabmz Tanyalm
Karekod okuyucu ile taratarak resim, video, animas- yon, soru ve çözümleri vb. ilave kaynaklara ulaa- bileceiniz barkod. Detayl bilgi için http://kitap.eba. gov.tr/karekod
Konu anlatmndan sonra bilgileri adm adm yaplandracak nitelikteki örnek ve çözümlerin yer ald bölümleri gösterir.
Konu bittikten sonra, konunun pekimesini salayacak sorular gösterir.
Konuyla ilgili metinlerin yer ald bölümleri gösterir.
Edinilen bilgiler nda konunun zihinde yaplanmasn salamak amacyla örencilerin etkin rol alaca sorular gösterir.
lgili ünitedeki bütün konular içeren sorularn olduu bölümleri gösterir.
8
1. Kendimizi Snayalm...................................................................... 79 2. Kendimizi Snayalm..................................................................... 81
9
2.1.1. Özdelik ve Denklem Kavramlarnn Tarihsel Geliimi................. 106 2.1.2. Özdelikler ve Denklemler................................................................ 108
Kendimizi Snayalm.......................................................................... 114 2.1.3. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler............................. 117 2.1.4. Birinci Dereceden ki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin
10
137-185
3.1.1. Aç Kavramnn Tarihsel Geliimi........................................... 206 3.1.2. Aç le lgili Temel Kavramlar ve Aç Çizimi........................... 208 3.1.3. Paralel ki Dorunun Bir Kesenle Yapt Açlar................... 213 3.2.. ÜÇGENDE AÇILAR....................................................................... 222
3.2.1. Üçgen Kavramnn Tarihsel Geliimi..................................... 222 3.2.2. Üçgen Çizimleri........................................................................ 225 3.2.3. Üçgende Aç Uygulamalar..................................................... 230
Cevap Anahtarlar.................................................................... 266 Sözlük...................................................................................... 272 Kaynakça................................................................................. 274
11
1. ÜNTE: SAYILAR 1.1. DOAL SAYILAR
= eittir ≠ eit deildir ∈ elemandr ∉ eleman deildir { } küme parantezi (Bo küme sembolüdür.) ∅ bo küme < küçüktür > büyüktür ≤ küçüktür veya eittir ≥ büyüktür veya eittir N doal saylar kümesi {0, 1, 2,...,9} rakamlar kümesi Z tam saylar kümesi Z - negatif tam saylar kümesi Z
+ pozitif tam saylar kümesi Q rasyonel saylar kümesi Ql irrasyonel saylar kümesi R gerçek saylar kümesi an a üssü n
karekök ax + by + c = 0 birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem a x b y c a x b y c
1 1 1
2 2 2
3 birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi
% yüzde (x,y) sral ikili [AB AB n ]AB AB yar dorusu
,a b6 @ a b kapal aral ( , )a b a, b açk aral
,a bh6 a dan kapal, b den açk aralk AB6 @ AB doru parças AB AB doru parçasnn uzunluu
A /
birebir eleme & ise + benzerdir ≅ elik ' paraleldir diktir
Sembol ve Gösterimler
Bu ünitede say kümelerini ve say kümelerinde ilem yapmay, say problemlerini çözmeyi, üslü ve kareköklü ifadelerin özelliklerini, baz akl yürütme ve ilem oyunlarn öreneceksiniz.
1.1. DOAL SAYILAR 1.2. TAM SAYILAR 1.3. RASYONEL SAYILAR 1.4. ÜSLÜ VE KAREKÖKLÜ FADELER 1.5. AKIL YÜRÜTME VE LEM OYUNLARI
1. ÜNTE: SAYILAR SAYILAR VE CEBR
13 13
Matematiin yazl tarihi be dönemde incelenir:
Msr ve Mezopotamya Dönemi: Bu dönem, MÖ 2000-500’lü yllar arasnda kalan 1500 yllk bir zaman dilimini kapsar.
Yunan Matematii Dönemi: MÖ 500-MS 500 yllar arasnda kalan 1000 yllk bir zaman dilimini kapsar.
Hint, slam ve Rönesans Dönemi: MS 500’lerden kalkülüsün (analiz) balangcna kadar olan 1200 yllk bir zaman dilimini kapsar.
Klasik Matematik Dönemi: 1700-1900 yllar arasnda kalan ve matematiin altn ça olarak bilinen dönemdir.
Modern Matematik Dönemi: 1900’lerin bandan günümüze uzanan içinde bulunduumuz dönemdir.
lk insanlarn saydklarn kaydetmek için çentik yap- tklarna ve kesin olmamakla birlikte ilk say sisteminin çentiklerden olutuuna dair inan vardr. Geçmiten günümüze çentikler iaret ve sembollere, semboller günümüzdeki rakamlara dönüerek sayma sistemleri gelimitir. Ali Ülger <home.ku.edu.tr/~aulger/mkbt.doc>
Saylar yazmak için kullanlan sembollere rakam denir. Onluk sayma sisteminin rakamlar, kümesinin elemanlardr.
Romen rakamlar, kümesinin elemanlardr (Kümede sfr rakam yok.).
Arap rakamlar, kümesinin elemanlardr (Kümede sfr rakam var.).
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9" ,
A A
2017 = 1997 =
Bu ilemlerden de anlalaca üzere Romen rakamlar ile dört ilem yaplmas zordur.
Ünlü Türk-slam matematikçisi Harezmi’nin yazd, Batl matematikçiler tarafndan tercümesi yaplan eserinde yer alan Hint hesap sistemi ve rakamlar günümüze kadar kullanlmtr. Ülkemizde de Harf n- klab yaplmadan önce Hint hesap sistemi ve Hint rakamlar kullanlmaktayd. Günümüzde ayn hesap sistemi, yeni rakamlarla kullanlmaya devam etmektedir.
1.1. DOAL SAYILAR
15
Harezmi (780-850)
Harezmi 780’de Özbekistan’n Harezm kentinde doan dünyaca ünlü Türk-slam matematikçisidir. Ce- birin en büyük bilim insanlarndan biridir. Çünkü cebirin ve algoritmann kurucusudur. Harezmi, sadece matematikle deil ayn zamanda astronomi ve corafyayla da ilgilenmitir. Türk-slam medeniyetinde yetiip Bat dünyasn en çok etkileyen bilim insanlarndandr.
Harezmi’nin bu kadar önemli bir bilim insan olmasnn sebebi sadece cebirin kurucusu olmas deil, ayn zamanda gelitiricisi de olmasdr. Harezmi; aritmetik alannda yazd kitab ile Hint rakam ve hesap sistemini Bat dünyasna tamtr. Bu hesaplama sistemi Harezmi’nin isminden türetilen algoritma (algorism) adn almtr. Cebir konusunda yazlan ilk ve en yaygn kitap da Harezmi'nin yazd “Kita- bü’l-Muhtasar fi’l-Hisabi’l Cebr ve’l-Mukâbele”dir. Harezmi’nin bu eseri kendisine bilim dünyasnda büyük ün kazandrmtr. Bu yaptta ana konular; birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözümleri, binom çarpmlar, çeitli cebir problemleri ve miras hesabdr. Harezmi’nin bu büyük yapt XII. yüzylda Latin- ceye çevrilmitir. Bat dünyas bu yapttan çok etkilenmitir. Cebir, Bat dünyasnda el-cebr isminden algebra’ya dönütürülmütür. Harezmi <http://www.islamansiklopedisi.info/>
16
Doal saylar konusuna balarken rakamlar kümesi 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9" , için baz durumlar unlardr:
• ki rakamn toplamnn en küçük deeri: 0 + 0 = 0 • ki rakamn toplamnn en büyük deeri: 9 + 9 = 18 • Farkl iki rakamn toplamnn en küçük deeri: 0 + 1 = 1 • Farkl iki rakamn toplamnn en büyük deeri: 9 + 8 = 17 • ki rakamn çarpmnn en büyük deeri: 9 9 = 81 • Farkl iki rakamn çarpmnn en büyük deeri: 9 8 = 72 • a ve b farkl iki rakamdr. 3a + 4b toplamnn en küçük deeri: 3 1 + 4 0 = 3 • a ve b farkl iki rakamdr. 3a + 4b toplamnn en büyük deeri: 3 8 + 4 9 = 60
a, b, c farkl rakamlardr. 2a + 3b + 4c toplam, hangi saylar arasnda deerler aldn bulunuz.
Toplamn en küçük deeri bulunurken katsays büyük olanlara en küçük deer verilir. 2 2 + 3 1 + 4 0 = 7 toplamn en büyük deeri bulunurken katsays büyük olanlara en büyük deer verilir. 2 7 + 3 8 + 4 9 = 74 olduundan 7 ve 74 dâhil olmak üzere bu saylarn arasnda deerler alr.
a ve b birer rakamdr. a + b = 12 olduuna göre a b çarpmnn kaç farkl deer alacan bulunuz.
a + b = 12 a b 3 + 9 = 12 ise 3 9 = 27 4 + 8 = 12 ise 4 8 = 32 5 + 7 = 12 ise 5 7 = 35 6 + 6 = 12 ise 6 6 = 36
a ve b farkl iki rakamdr. a + b = 10 olduuna göre a b çarpmnn alabilecei en küçük ve en büyük deerlerin toplamn bulunuz.
a + b = 10 a b 9 + 1 = 10 9 1 = 9 8 + 2 = 10 6 4 = 24 7 + 3 = 10 9 + 24 = 33 olur. 6 + 4 = 10
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Örnek
1. a ve b birer rakamdr. a + b = 13 olduuna göre a b$ çarpm kaç farkl deer aldn bulunuz.
2. a ve b farkl birer rakamdr. 4a + 5b toplamnn alabilecei en büyük ve en küçük deeri bulunuz.
3. a, b, c birer rakamdr. a + 3b + 5c toplamnn alabilecei en büyük ve en küçük deeri bulunuz.
4. a, b, c birer rakamdr. 3a + 2b - c ifadesinin alaca en küçük ve en büyük deerlerin çarpmnn kaç olduunu bulunuz.
5. a ve b farkl birer rakamdr. a b$ + a + b ifadesinin alabilecei en küçük ve en büyük deerlerin toplamnn kaç olduunu bulunuz.
Doal Say: nsanlarn doada bulunan nesne veya canllardan oluan topluluklarda çokluklar göstermek için icat ettikleri bir kavramdr. Doal saylar göstermek için kullanlan sembollere rakam denir. Rakamlar tek balarna veya yan yana yazlarak doal saylar kümesi elde edilir ve N ile gösterilir.
Doal saylar kümesi, , , , , , , , , , , , , , ...0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12N = " , sonsuz elemanldr.
Doal saylarn basamaklar, bölükleri ve okunular u ekildedir:
Say basamaklar sadan sola doru; birler, onlar, yüzler, binler, on binler, yüz binler, milyonlar, on milyonlar, yüz milyonlar, milyarlar, on milyarlar, yüz milyarlar… eklinde isimlendirilir.
Say, sadan sola doru üçerli gruplara ayrlr ve her gruba bir bölük ismi verilir.
Saynn bölükleri sadan sola doru: Birler bölüü, binler bölüü, milyonlar bölüü, milyarlar bölüü, trilyonlar bölüü, katrilyonlar bölüü, kentilyonlar bölüü… isimlerini alr. Daha büyük saylarn bölük isimlerini sizler aratrabilirsiniz.
30 254 168 907 Saynn okunuu: otuz milyar iki yüz elli dört milyon yüz altm sekiz bin dokuz yüz yedi dir. Verilen sayda 4 rakamnn say deeri: 4 (dört) 4 rakamnn basamak deeri: 4 000 000 (dört milyon) 4 rakamnn bölüü: milyonlar 6 rakamnn basama: on binler basamadr. 3’ün basamak deeri ile 1 in say deeri fark: 30 000 000 000 -1= 29 999 999 999
Aadaki örnekleri inceleyiniz.
Rakamlar farkl, 3 basamakl en küçük doal say ile rakamlar farkl üç basamakl en büyük doal saynn toplamnn rakamlar toplamn bulunuz.
Rakamlar farkl, 3 basamakl en küçük doal say: 102 Rakamlar farkl, 3 basamakl en büyük doal say: 987 Toplam: 102 + 987 = 1089 1 + 0 + 8 + 9 = 18 olur.
1. 76 543 210 says veriliyor. a) 6 rakam ……....................... bölüündedir. b) 4 rakam ……....................... basamandadr. c) 5 in basamak deerinden 2 nin basamak deeri çkarlrsa sonuç ……....................... olur.
2. 2 468 135 says veriliyor. a) 6 rakam ……....................... bölüündedir. b) 4 rakam ……....................... basamandadr. c) 4 ün basamak deerinden 8 in say deeri çkarlrsa sonuç ……....................... olur.
3. En büyük üç basamakl çift doal say ile rakamlar farkl en küçük iki basamakl tek doal saynn farknn kaç olduunu bulunuz.
4. Harezmi’nin Bat dünyasna tad Hint rakam ve hesap sistemi, Harezmi’nin isminden türetilen ……....................... adn almtr.
5. Harezmi’nin “Kitabü’l-Muhtasar fi’l-Hisabi’l Cebr ve’l-Mukâbele” eserinde iledii ana konular yaznz. a) .......................................... denklemlerin çözümleri. b) .............. çarpmlar. c) ................................. problemleri. d) ............... hesab.
87 530 000 249 000 Saynn okunuu: seksen yedi trilyon be yüz otuz milyar iki yüz krk dokuz bin dir. Verilen sayda 4 rakamnn say deeri: 4 (dört) 4 rakamnn basamak deeri: 40 000 (krk bin) 4 rakamnn bölüü: binler 5 rakamnn basama: yüz milyarlar
Çözüm
Örnek
19
Onluk Sistemde Çözümleme
Onluk sistemin rakamlar kümesi: Onluk sistemin basamaklar: …
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9" , , , , ,10 10 10 10 104 3 2 1 0
birlikler onluklar yüzlükler binlikler on binlikler
2345 saysn çözümleyiniz.
ab ve ba iki basamakl saylarnn toplamn bulunuz.
ab + ba = 10 a + b + 10 b + a ab + ba = 11 a + 11 b ab + ba = 11 (a + b) (Daima 11 in kat olur.)
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Örnek
Örnek
ab ve ba iki basamakl saylarnn farknn deerini bulunuz.
ab - ba = 10 a + b - (10 b + a) ab - ba = 10 a + b - 10 b - a ab - ba = 9 a - 9 b ab - ba = 9 (a - b) (Daima 9 un kat olur.)
abc ve cba üç basamakl saylarnn farknn deerini bulunuz.
abc - cba = 100 a + 10 b + c - (100 c + 10 b + a) abc - cba = 100 a + 10 b + c -100 c - 10 b - a abc - cba = 99 a - 99 c abc - cba = 99 (a - c) (Daima 99 un kat olur.)
2345 2000 300 40 5 2345 2 1000 3 100 4 10 5 1 2345 2 10 3 10 4 10 5 10 2345
3 2 1 0
$ $ $
$ $ $ $
$
= + + + = + + + = + + + = 2 tane binlik + 3 tane yüzlük + 4 tane onluk + 5 tane birlik
20
ab iki basamakl saysnn rakamlar yer deitirdiinde say 27 büyüyor. Bu art salayan kaç tane iki basamakl ba saysnn yazlabileceini bulunuz.
abc, cba ve xy4 üç basamakl saylardr. abc - cba = xy4 olduuna göre x y çarpmn bulunuz.
abc - cba = xy4 100a + 10b + c -100c - 10b - a = xy4 99a - 99c = xy4 99 (a - c) = xy4 eitliinde a - c = 6 olmaldr. 99 6 = 594 olur ve x = 5, y = 9 bulunur. Sonuç x y = 45 tir.
ba - ab = 27 a + 3 = b ba 9 (b - a) = 27 1 + 3 = 4 41
b - a = 3 2 + 3 = 5 52
3 + 3 = 6 63
4 + 3 = 7 74
5 + 3 = 8 85
6 + 3 = 9 96
4 6 tane ba says yazlabilir.
1. ab iki basamakl saysnn rakamlar yer deitirdiinde say 45 küçülüyor. Bu art salayan kaç tane ab says yazldn bulunuz. 2. ab iki basamakl says, a + b toplamnn 9 katdr. Buna göre ba saysnn, a + b toplamnn kaç kat olduunu bulunuz.
3. ab ve ba iki basamakl saylarnn toplam 132 ve a < b koulunu salayan kaç tane ab says yazldn bulunuz. 4. abc, 3xy, cba üç basamakl saylardr. abc = 3xy + cba olduuna göre (x, y) ikilisini bulunuz. 5. abc, bac, xyz üç basamakl saylardr. abc – bac = xyz koulunu salayan kaç tane xyz says yazldn bulunuz.
6. Rakamlar toplamnn 5 katna eit olan iki basamakl sayy bulunuz.
7. abb ve baa üç basamakl saylardr. abb + baa = x y (a + b) eitliini salayan kaç tane (x, y) doal say ikilisi olduunu bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
21
b) Saylar birbirine yaklatnda en büyük olan say, en küçük deerini alacaktr. Ortanca say 130 : 5 = 26 olacandan saylar sra ile 24, 25, 26, 27, 28 olmaldr. En büyük olan saynn en küçük deeri 28 olur.
c) Saylar birbirine yaklatnda en küçük olan say, en büyük deerini alacaktr. Ortanca say 130 : 5 = 26 olduundan saylar sra ile 24, 25, 26, 27, 28 olmaldr. En küçük olan saynn en büyük deeri 24 olur.
Birbirinden farkl iki basamakl dört doal saynn toplam 106 dr. Bu saylardan en büyüünün en az kaç olduunu bulunuz.
Saylar birbirine yaklatnda en büyük olan say, en küçük deerini alacaktr. Ortanca say 106 : 4 = 26,5 ve 26 < 26,5 < 27 olduundan gruptaki dört say; 25, 26, 27, 28 olmaldr. En büyük olan saynn en küçük deeri 28 olur.
Üç basamakl ve dört basamakl iki saynn çarpmnn basamak says, en az a ve en çok b olduuna göre a b çarpmnn kaç olduunu bulunuz.
m basamakl ve n basamakl iki saynn çarp- mnn basamak says, en az (m + n - 1), en çok (m + n) olur.
(üç basamakl en küçük say) (dört basamakl en küçük say) 100 x 1000 = 100 000 için en az a = 3 + 4 - 1 = 6 (üç basamakl en büyük say) (dört basamakl en büyük say) 999 x 9999 = 9 989 001 için en çok b = 3 + 4 = 7 ise a b = 6 7 = 42 olur.
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Not
Saylar birbirine yakla- tkça büyük olan saynn en küçük, küçük olan saynn en büyük deeri bulunur.
Not
Birbirinden farkl iki basamakl be doal saynn toplam 130 dur. a) Bu saylardan en büyüünün en fazla kaç olduunu bulunuz. b) Bu saylardan en büyüünün en az kaç olduunu bulunuz. c) Bu saylardan en küçüünün en fazla kaç olduunu bulunuz.
Örnek
a) En büyük sayy bulmak için dier saylar en küçük alnmaldr. 1. say 10
2. say 11
3. say 12
4. say 13
Bu saylarn toplam 130 dan çkarlr. 130 – 46 = 84 olur. 4
Çözüm
22
1. ki basamakl be doal saynn toplam 450 olduuna göre bu saylarn en küçüünün en az kaç olduunu bulunuz. 2. Rakamlar farkl iki basamakl be farkl saynn toplam 450 olduuna göre bu saylarn en küçüü- nün en fazla kaç olduunu bulunuz. 3. ki basamakl be doal saynn toplam 115 olduuna göre bu saylarn en büyüünün en fazla kaç olduunu bulunuz. 4. Rakamlar farkl iki basamakl be farkl doal saynn toplam 115 ise bu saylarn en büyüünün en fazla kaç olduunu bulunuz. 5. ki basamakl üç doal saynn toplamnn kaç farkl deer aldn bulunuz.
Carl Friedrich Gauss [Karl Fridriy Gaus (1777-1855)]
Carl Friedrich Gauss, 1777’de dünyaya gelen, matematiin prensi olarak ün yapan Alman matematikçidir.
Gauss’un dehas erken yalarda kendini göstermitir. Eitim hayatnn ilk yllarnda öretmeninin sorduu birden yüze kadar ardk saylarn toplam ilemini ksa yoldan çözmütür. Say dizisinin iki zt ucundan birer say alnp toplandnda hep 101 says elde edilir. Elde edilen 50 adet 101 says, çarpma ilemiyle 5050 saysna ksa sürede ulalmasn salar. Gauss’un bulduu ardk saylar toplama yöntemi, bugün Gauss yöntemi olarak bilinmektedir. Gauss, üniversite örencisiyken Antik Yunan’dan yaad döneme kadar çözülemeyen problemlerden 17 kenarl düzgün çokgeni sadece pergel ve cetvel kullanarak çizmitir. Yllar
geçtikçe Gauss’un ilgisi matematiksel fizik ve karmak geometri aratrmalarna yönelmitir. Bu dönem- de Dünya’nn manyetik alan üzerine deneysel çalmalar yapmtr. 1833’te Weber (Vebr) ile birlikte bir
elektrik telgraf kurmu ve bunun- la düzenli mesajlar göndermitir. Onun elektromanyetizma ile ilgili aratrmalar, XIX. yüzylda fizik biliminin gelimesine büyük katk salamtr.
Saylar teorisi üzerine yazm olduu ilk büyük eseri olan “Disquistiones Arithmeticae”, ona imdiki ününü kazandrmtr. Gauss’un bu yapt modern saylar teorisine temel olmutur. Gauss < https://www2.stetson.edu/~efried- ma/periodictable/html/Ga.html>
23
-
- +
-
" " " " " " " " "
, ,
, , ,
,
, , ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N
Z
N
Z
Z
Z
Z
N
Z
Eit miktarda artarak devam eden saylara ardk saylar (ritmik saylar) denir.
Ardk Saylar
1 + 2 + 3 + 4 +...+ 100 ardk saylarn toplamn bulunuz.
2 + 4 + 6 +...+ 100 ardk çift saylarn toplamn bulunuz.
Bu saylarn toplam x olsun. Toplam, tersten yazlr ve iki satr alt alta toplanr.
Bu satrda 100 tane 101 vardr.
bulunur.
bulunur.
x100 101 2$ =
$= = =
x 2 100 101 5050$= = 1 2 3 4 ... n 2
n (n 1) + + + + + =
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = x
100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1 = x
101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 = 2x
2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100 = x
100 + 98 + 96 + ... + 4 + 2 = x
102 + 102 + 102 + ... + 102 + 102 = 2x
+
+
24
1 + 3 + 5 +...+ 99 ardk tek saylarn toplamn bulunuz.
x50 100 2$ =
Bu satrda 50 tane 100 vardr.
Eit miktarda artan sonlu saydaki bir say grubunun toplam bulunurken aadaki admlar izlenir.
1. Adm: Terim says (TS) bulunur.
2. Adm: Toplam (T) bulunur.
Terim Says = (Son Terim - lk Terim)
Art Miktar +1
2 .(Terim Says)
99 - 1 2
2 + 100 2
Örnek
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
Çözüm
TS=
TS=
TS=
T =
T =
T =
101 - 1
125 - 1
14 + 71 2
1 + 101
1 + 125
14 + 17 + 20 + ... + 71 toplamn bulunuz.
1 + 6 + 11 + ... + 101 toplamn bulunuz.
1 + 5 + 9 + ... + 125 toplamn bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Örnek
Örnek
( )
( ) ( )
15 330
45 45 - = + =
kier ikier artan 11 doal saynn toplam 220 olmaktadr. Bu say grubunda en küçük say a, en büyük say b ise a + b toplamnn kaç olduunu bulunuz.
Önce tam ortadaki say 220 : 11 = 20 bulunur. Sonra 20 den küçük ikier ikier aza- lan ritmik be say ile 20 den büyük ikier ikier artan ritmik be saydan 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 saylar elde edilir. Buradan a = 10 ve b = 30 için a + b = 40 bulunur.
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
2. toplamnda ikinci çarpanlar birer artrlrsa sonucun kaç arttn bulunuz.
...16 17 18 64+ + + +
3. olduuna göre x in kaç olduunu bulunuz.
4. olduuna göre x in kaç olduunu bulunuz.
6. olduuna göre a nn alabilecei deerler toplamn bulunuz.
5. saysnda batan 105. rakamn kaç olduunu bulunuz.
... x2 4 6 420+ + + + =
... x215 20 5 375+ + + + =
...10111213 9899
9. Tablodaki saylar bir kurala göre yerletirilmitir. Bu kurala göre x, y, z saylar için x z y+ - deerini bulunuz.
8. ekildeki I. satrda saylar bir kurala göre dizilmitir. II. satrdaki saylar arasnda da ayn kural olduuna göre x in kaç olduunu bulunuz.
7. 1223334444...999999999 saysnda kaç rakam kullanldn bulunuz.
3 6 10
21 28 x
2 3 6
4 6 24
6 9 x
8 y z
...A 1 1 2 2 3 3 20 20$ $ $ $= + + ++ toplamnda birinci çarpanlar birer arttrlrsa sonucun kaç arttn bulunuz.
...A 1 1 2 2 3 3 20 20$ $ $ $= + + ++ ...A 1 2 3 2 202 3 4 1$ $ $ $= + + + +l
...A A 1 2 3 20- = + + + +l
.A A artar20 21 2 210$- = =l
27
Geçmi zamann birinde padiahn biri, vezirinden ülkenin en iyi 10 kuyumcusuna onar gramlk (10 g) paralar yaptr- masn istemi. Oldukça titiz bir ekilde görevlendirmeleri yapan vezir, kuyumculara belirlenen tarihte paralar padiahn huzuruna getirmelerini emretmi. Ancak kuyumculardan biri, paralar dokuzar gram (9 g) yapm ve bu haberi duyan padiah, vezirine çok sinirlenmi. Vezirinden tek bir tartma ilemi ile hangi kuyumcunun hile yaptn bulmas- n ancak bu koulla cann balayacan söylemi. Vezir nasl bir tartma ilemi ile kendini affettirebilir?
Vezir her bir kuyumcuya 1 den 10 a kadar nu- mara verip kuyumcularn getirdii paralardan numaras kadar para alr.
1. kuyumcunun kesesinden 1 para, 2. kuyumcunun kesesinden 2 para, 3. kuyumcunun kesesinden 3 para, . . . 10. kuyumcunun kesesinden 10 para alr.
Tüm paralar tek seferde tartar.
Hiç hile yaplmamas durumunda tane para, onar gramdan (10 g) 550 gram gelmelidir.
Tartm sonucu 549 g çktnda hileyi yapan 1. kuyumcudur. Tartm sonucu 548 g çktnda hileyi yapan 2. kuyumcudur. Tartm sonucu 547 g çktnda hileyi yapan 3. kuyumcudur. . . . Tartm sonucu 540 g çktnda hileyi yapan, 10. kuyumcudur.
Böylelikle vezir, tek seferde hangi kuyumcunun hile yaptn bulur ve cann kurtarr.
Çözüm
Örnek
28
ABA
BAB
777 +
ABC
AB
169 +
Yandaki toplama ileminde ABA ve BAB üç basamakl saylardr. Buna göre kaç tane üç basamakl ABC says yazlabilir?
Yandaki toplama ileminde ABC üç, AB iki basamakl say olduuna göre A+B+C toplamnn kaç olduunu bulunuz.
Toplama ileminde elde olmadndan A + B = 7 olur. C bir rakam olup 10 farkl deer alr. ABA ve BAB üç basamakl saylar olduundan olmaldr. ,A B0 0! !
A + B = 7 ABC 6 + 1 = 7 6 1 . 5 + 2 = 7 5 2 . 4 + 3 = 7 4 3 . 3 + 4 = 7 3 4 . 2 + 5 = 7 2 5 . 1 + 6 = 7 1 6 .
Nokta yerlerine 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarndan her biri yazlabileceinden 60 tane ABC says yazlabilir.
Toplama ilemi, ABC + AB = 169 eklinde yazlabilir. AB0 + C + AB = 169 10 AB + C + AB = 169 11 AB + C = 169 11 AB = 169 - C eitliine göre 169 dan hangi rakam çkarlrsa 11 in kat olduu bulunmaldr. C = 4 için AB = 15 olur. A + B + C = 1 + 5 + 4 = 10 bulunur.
6xy 538
x - 3 = y y - 8 = z
x + y -11 = y + z x - z = 11 iki rakamn fark 11 olamaz. Bu çözüm yanltr.
Doru çözüm: x - 1 - 3 = y
10 + y - 8 = z
x + y -2 = y + z x - z = 2 bulunur.
+ +
xy 23
abc x
mn
215
Yandaki çarpma ileminde xy iki basamakl ve abc üç basamakl saylardr. Bu ilemin dördüncü satrndaki mn iki basamakl says yanllkla bir basamak saa yazldndan sonuç yanl bulunmutur. lemin doru sonucunu bulunuz.
mn nin bir basamak saa yazlmas xy nin 20 yerine yanllkla 2 ile çarpldn belirtir. 3 xy + 2 xy = 215 5 xy = 215 xy = 43
Çarpma ilemi tekrar yapldnda doru sonuç u ekilde çkar.
+
. . . .
Yandaki çarpma ileminde ABC üç, 2D iki basamakl saylar olduuna göre sonucun kaç olduunu bulunuz.
326 24
13. . x
10 D.3 13 olduundan D = 4 olmaldr. 326.24 = 7824
# #
78C0
78C0
Sonuç satrnda birler basamanda 0 olduundan B rakam 0 veya 5 olmaldr. B ile çarpm satr, dört basamakl say olduu için B = 5 olmaldr. Sonuç 25 in kat olacandan C, 0 veya 5 olmaldr.
3A4 = 7800 : 25 = 312 olamaz. 3A4 = 7850 : 25 = 314 ve A = 1 ve C = 5 olur. A + B + C = 1 + 5 + 5 = 11 bulunur.
Yandaki çarpma ilemine 3A4 üç, 2B iki ve 78C0 dört basamakl olduuna göre A + B + C toplamnn kaç olduunu bulunuz.
Örnek
Çözüm
30
245
ab0ab4
12
ab
x
x
y
y
Yandaki bölme ilemine göre x + y toplamnn sonucunu bulunuz.
Yandaki bölme ileminde ab0ab4 alt ve ab iki basamakl olduuna göre x + y toplamn bulunuz.
Buna göre x + y = 20 + 5 = 25 bulunur.
ve x + y = 10 010 + 4 = 10 014 bulunur.
Yandaki ilemde AB, BA ve CC iki basamakl saylar olduuna göre en büyük ABC ile en küçük ABC üç basamakl saylarnn farknn kaç olduunu bulunuz.
Yandaki bölme ileminde abc üç basamakl saysnn en büyük deerini bulunuz. ( k Z! + )
ABC says üç basamakldr. ABC X çarpmnda A ve C rakamlar 2 artrlr, B rakam 2 azaltlrsa çarpm 6188 arttna göre X in kaç olduunu bulunuz.
Yandaki çkarma ileminde 4a3b ve 3b4a dört basamakl saylar olduuna göre a - b farknn kaç olduunu bulunuz.
Yandaki çarpma ileminin sonucunu bulunuz.
1.
4.
5.
2.
3.
99
1. x ve y iki basamakl doal saylardr. x + y = 30 olduuna göre x in alabilecei deerler toplam kaçtr?
2. x ve y doal saylardr. x + 3y = 30 olduuna göre x in alaca deerler toplam kaçtr?
3. (45 + 47 + 49 +…+ 99) + 1 ifadesinin sonucu kaçtr?
4. (80 + 84 + 88 +…+ 120) - 29 ifadesinin sonucu kaçtr?
7.
8.
9.
5. a ve b doal saylardr. 4a + 5b = 120 olduuna
göre a nn alabilecei deerler toplam kaçtr?
6. a, b, c farkl rakamlardr. 3a + 4b - 5c ifadesinin alabilecei en büyük deer ile en küçük deerin fark kaçtr?
A) 150 B) 165 C) 175
D) 210 E) 240
D) 240 E) 360
D) 2017 E) 2018
D) 1920 E) 1923
D) 11 E) 12
D) 13 E) 14
D) 1325 E) 1335
D) 120 E) 150
D) 102 E) 103
AR
a ve b pozitif tam saylardr. Yandaki bölme ilemine göre kaç tane a says vardr?
xyz üç basamakl, ab iki basamakl saylardr. Yandaki bölme ilemine göre k doal saysnn alabilecei deerler toplam 66 ise en küçük ab says kaçtr?
Yandaki çarpma ileminde ab iki basamakl saydr. II numaral satrda kaydrma hatas yapldn- dan sonuç yanl bulunmutur. lemin doru sonucu kaçtr?
75 a b
10.
11.
a) 1299. halka ile 1453. halka sra ile hangi çubuklara taklmtr?
b) 2017. halka takldnda A çubuunda kaç halka birikmi olur?
a) Bir gün içinde yeil k, toplam kaç dakika yanmtr?
b) Bir gün içinde krmz k, toplam kaç dakika yanmtr?
c) Bir gün içinde sar k, toplam kaç defa yanmtr?
A B C D E Yukarda 5 çubuklu bir abaküs verilmitir. Elimizde çok sayda bulunan halkalar abaküsteki çubuklara A dan balanarak ABCDEDCBAB… eklinde taklyor. Bu sra ile çubuklara halka takma ilemine devam ediliyor.
Yandaki trafik lambasnda krmz k 80 saniye, sar k 5 saniye, yeil k 30 saniye süre ile krm- z, sar, yeil, sar, krmz, sar… eklinde yanmaktadr. Bu lamba gün içinde 8.00 ile 24.00 saatleri arasnda 16 saat boyunca çalmaktadr.
Kendimizi Snayalm
12. abc üç basamakl bir saydr. koulunu salayan rakamlar farkl kaç tane abc says yazlabilir? A) 18 B) 22 C) 24
D) 27 E) 30
63abc acb- =
13. ab iki basamakl saysnn rakamlar yer deitirdiinde say 36 büyüyor. a < b < c için kaç tane abc üç basamakl says yazlabilir?
14.
D) 9 E) 10
D) 341 E) 452
Yandaki bölme ileminde abc üç basamakl say ve k doal saydr. abc nin en büyük deeri kaçtr?
abc 25 3k+1
k2
15. abc üç basamakl says ile xy iki basamak- l saysnn çarpmnda a ile c 2 arttrlr ve b 3 azaltlr ise çarpm 4128 büyüdüüne göre xy kaçtr?
16.
D) 32 E) 34
D) 5596 E) 5886
Yandaki çarpma ileminin sonucu kaçtr?
17. abc ve cba üç basamakl saylardr. abc - cba = 297 eitliini salayan kaç tane abc says vardr?
A) 42 B) 50 C) 60
D) 70 E) 80
18. 2 345 678 saysnda 3 ün basamak deerinden 7 nin say deeri çkarldnda elde edilen saynn rakamlar toplam kaç olur?
20. ekildeki saylar belli bir kurala göre yazlmtr. Soru iareti yerine hangi say gelmelidir?
19.
Öretmen tahtaya bir doru parças çizer ve örencilerini sra ile tahtaya kaldrarak aada anlatld gibi doru parçasnn üzerine noktalar koymalarn ister. 1. örenciden doru parçasn 2 eit par- çaya ayracak ekilde tam ortaya 1 nokta koymasn ister. 2. örenciden doru parçasn 4 eit par- çaya ayracak ekilde tam ortalara 2 nokta koymasn ister. 3. örenciden doru parçasn 8 eit par- çaya ayracak ekilde tam ortalara 4 nokta koymasn ister. . . . Doru parças üzerine nokta koyma (ia- retleme) ilemine bu ekilde devam edildi- inde
A) 38 B) 39 C) 40
D) 41 E) 42
D) 25 E) 26
a) Yedinci örenci doru parçasna kaç nokta koyacaktr?
b) Yedinci örenci noktalarn koyduunda doru parças kaç eit parçaya ayrla- caktr?
c) Snftaki ilk yedi örencinin koyduklar toplam nokta says kaçtr?
Kendimizi Snayalm
1.1 . D
O AL
SA YIL
Pozitif Tam Say
Pozitif tam saylarn sayma saylar olarak kullanldn gösteren ilk belgeler, 70 bin yl öncesine aittir. Bunlarn ilk kez, say- mak amacyla kullanld anlalmakta- dr. Güney Afrika'da bulunan baz talarn üzerine yln alt ayn yirmi sekizer gün- lük ay takvimine göre gösteren çentikler atld tespit edilmitir. Bu çetelelerin sayma amacyla kullanlmasn matematik olarak nitelemek zordur. Saylar ifade etmek için her sayya karlk bir iaretin kullanlmas, baka bir deyile rakamlarn icad, matematiin balangc saylabilir. Bu amaçla yazl ilk kaytlara MÖ 2000 yllarnda Babil'de rastlanmaktadr. 60 tabanna göre kurulmu bu say sistemi, negatif saylar içinde tamamakla bera- ber, kavram olarak sfr bulundurmakta- dr.
Negatif Tam Say Negatif tam saylara, ilk olarak MÖ 100-50 yllarndaki Çin kaynaklarnda rastlanmaktadr. Hindistan'da ve Orta Dou’da 7. yy.da borç veya zarar olarak negatif saylardan bahsedildii bilinmektedir. Avrupa'da negatif saylar ilk Fibonacci (Fibonaçi)'nin “Liber Abaci” adl eserinde geçmektedir. Fibonacci, 1202 ylnda cebirin kurucusu Harez- mi’nin “Kitabü'l Muhtasar fi Hisabi'l Cebr ve'l Mukabele” adl kitabndan esinlenerek yazd bu eserle slam Medeniyeti’ndeki matematii Avrupa'ya tamakta öncülük etmitir.
Asal Say
MÖ 400 civarnda Pisagor’un takipçilerinden biri olan Filolaus (Faylalous), baz saylarn birleik yani bölünebilir saylar olduunu savundu. Asal ya da bölünemez saylar kendilerinden ve 1 den baka saylara bölünemiyordu. MÖ 300’lü yllarda Öklid, asal saylar incelediinde “ne kadar saylrsa saylsn her zaman yeni bir asal say” bulunacan dier bir deyile asal saylarn sonsuz olduunu “Elements (Elemanlar)” adl eserinde kantlad. Ayrca asal olmayan saylarn asal saylarn deiik kombi- nasyonlarnn çarpmna bölünebildiini de kefetti. MÖ 200’lerde ise Eratosthenes (Eratostenes), Eratosthenes Kalburu olarak bilinen ve asal saylar bulmaya yarayan bir sistem gelitirmitir.
A
-3 -2 -1 0
Leonnardo Fibonacci [Lionardo Fibonaçi (1170-1250)]
Pisal Leonardo (Leonardo Pisano) da denilen Leonnardo Fibonacci, talya’da dünyaya gelmitir. Babas, Cezayir ile talya arasnda bir ticaret postasn idare etmekteydi. Leonardo, çocukken babasna yardm etmek için onunla seyahat ederdi. Fibonacci bu seyahatlerde Hint-Arap say sistemini örendi. Fibonacci, Hint-Arap saylar ile aritmetik ilemler yapmann Roma rakamlar ile hesap yapmaktan çok daha basit ve verimli olduunu gördü. Fibonacci, 1202’ye gelindiinde 32 yandayken örendiklerini abaküs kitab veya hesaplama kitab anlamna gelen “Liber Abaci” isimli eserinde toplad. Yaymlad bu eserde Hint-Arap say sistemini Avrupa’ya duyurdu.
Leonardo Fibonacci, her saynn kendinden önce gelen say ile toplanarak bir sonrakinin elde edildii say dizisini kefetmitir. Bu diziye, bulucusuna ithafen Fibonacci saylar denir. Bu say dizisi, doadaki birçok oluumun düzeninde bulunduu varsaylan altn oran kapsar ve birçok bilimsel aratrmaya dayanak tekil eder. Fibonacci <http://matematik.dpu.edu.tr/index/sayfa/3118/leonardo-fibonacci>
Fibonacci Saylar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ..., b, a, a + b, ...
Altn oran ( ){
Negatif Tam Saylarn Günlük Hayatta Kullanm Alanlar
Negatif tam saylarla günlük hayatta meteoroloji, maliye, denizcilik vb. alanlarda karlalr.
1. Hava scaklnn eksi deerleri göstermesi, sfrn altnda scakl ifade etmektedir.
3. Mimari yaplarda eksi ifadesi, zemin katn altndaki katlar belirtmektedir.
4. Denizcilikte eksi ifadeler, denizin dibine doru alnan mesafede kullanlan uzunluk biriminin önüne getirilir.
2. Mali ilemlerde eksi ifadeler; borç, harcama anlamna gelmektedir.
37
1,2,3, . .. Z =+ " ,
..., 3, 2, 1Z = - - -- " ,
Pozitif tam saylar kümesi: eklinde gösterilir. En küçük pozitif tam say 1 dir.
Negatif tam saylar kümesi: eklinde gösterilir. En büyük negatif tam say -1 dir.
A
0
O
..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...Z = - - -" ,Tam saylar kümesi: eklinde gösterilir.
: Sfr says negatif ya da pozitif tam say deildir. Sfr saysnn iareti yoktur.
0Z Z Z= , , +- " ,
0 1 2 3-3 -2 -1 . . .. . . “ ZN 1 ”: Her doal say ayn zamanda bir tam saydr.
Tam saylar kümesi doal saylar kümesini, doal saylar kümesi de sayma saylar kü- mesini kapsar.
Her doal say bir tam saydr. Her sayma says ayn zamanda bir doal saydr.
Tam Saylarn Say Dorusunda Gösterilmesi
Tam Saylar Kümesi
Tam saylar, say dorusu üzerinde gösterilirken bir doru üzerinde bir nokta alnr. Bu nokta, sfr saysyla elenir ve say dorusunun balangç noktas kabul edilir. Balangç noktasnn sanda ve solunda eit aralklarla noktalar iaretlenir. Say dorusundaki noktalar koordinatlar ile birlikte eklindedir.
( ),( 1), B ( 2), ( 3),A C O 0- - -l ll
Rakamlar farkl iki basamakl en büyük pozitif tam say ile iki basamakl en küçük negatif tam saynn farknn pozitif deerini bulunuz.
Rakamlar farkl iki basamakl en büyük pozitif tam say 98 dir. ki basamakl en küçük negatif tam say -99 dur. 98 - (-99) = 98 + 99 = 197 olur.
Örnek
Çözüm
Z N
Çözüm
38
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
$
$
$
$
+ - + -
- + + -
= - = - = + = +
( ) ( ): ( ) ( )2 3 5 5 13 2 2 3$- - - - - - -6 @
-2 (-2) -[(-8) : (-2) - (-8)] = 4 - [4 + 8] = -8
1. 8 (2 - 4) - [(6 - 26) : (-2) - (-1) 3] 2 ileminin sonucunu bulunuz.
2. [(16 - 12) : (-4) -(-1) 3] [(16 - 6) (-2) - (-3) 3] ileminin sonucunu bulunuz.
3. 3 { [ ( - 3 ) - ( - 10 ) + 20 ] : [ 5 - ( -1 ) - ( - 3 ) ] } ileminin sonucunu bulunuz.
Mutlak Deer
0 0
x ise x x x ise x x x ise
a) b) c)
2
1
Bir saynn mutlak deeri, o saynn balangç noktasna olan uzakldr. x gerçek saysnn mutlak deeri, eklinde gösterilir.x
0x $
dr.
Sonuç olarak bir saynn mutlak deerinin alabilecei en küçük deer sfrdr.
Aada baz saylarn mutlak deerleri verilmitir.
4 4 10 10 18 18
= - = - =
- + - = - + =
1. ÜNTE: SAYILAR 1.2. TAM SAYILAR
a, b, c birbirinden farkl pozitif tam saylar olmak üzere 2a + 3b + 5c = 52 veriliyor. Buna göre a nn en büyük deerini bulunuz.
a nn en büyük deer alabilmesi için b ve c nin en küçük farkl iki pozitif tam say olmas gerekir. Buna göre c nin katsays daha büyük olduu için c = 1 ve b = 3 deerleri alnrsa 2a + 3 3 + 5 1 = 52 2a = 52 - 14 = 38 a = 19 bulunur.
x, y, z birbirinden farkl negatif tam saylardr. 2x + 3y + z toplamnn en büyük deerini bulunuz.
Birbirinden farkl en büyük üç negatif tam say -1, -2, -3 saylardr. x, y, z den katsays en büyük olana en büyük negatif tam say verilerek çözüm yapldnda 2 (-2) + 3 (-1) + (-3) = -4 - 3 - 3 = -10 bulunur.
En büyük negatif tam say ile iki basamakl en küçük negatif tam saynn toplamn bulunuz.
En büyük negatif tam say: -1 dir. ki basamakl en küçük negatif tam say: -99 dur. (-1) + (-99) = -100 bulunur.
,. .
12 8
3 2
b c a b ise a c ve b2 3 4= = = - = - = -Y Y alnmaldr.
ifadesinin eitini bulunuz.
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
Örnek
Çözüm
Örnek
Çözüm
Örnek
Çözüm
çx i in x x6 2 52 - + -
ç .x i in x ve x olur6 2 0 5 02 2 1- -
.x x x x x bulunur2 5 2 5 2 7- + - = - - + = -
40
a, b ve c pozitif tam saylar olmak üzere (2a + b + c) (a + 2b - c) = 29 ise a + b toplamn bulunuz.
29 asal say olduundan çarpanlar 1 ile 29 olur. 2a + b + c ifadesi “1” olamaz.
a 2b c 1 2 29 3 30 10 bulunur.
a b c a b a b
+ - = + + + =
+ = + =$
Y ^ h
1. x, y ve z pozitif tam saylar olmak üzere dür. x + y + z toplam en az kaçtr?
2. x, y ve z iki basamakl birbirinden farkl üç pozitif tam say ve x - y - z = 20 ise x + y + z toplamnn en büyük deeri kaçtr?
x y 12003 =$ x 15 z ise= $
Tek Tam Saylar
2 ile tam olarak bölünemeyen tam saylara tek tam say denir. n i inçZ! 2n - 1 ile gösterilen tek tam saylarn birler basamanda 1, 3, 5, 7, 9 rakamlarndan biri bulunur.
Çift Tam Saylar
2 ile tam olarak bölünen tam saylara çift tam say denir. n i inçZ! 2n ile gösteri- len çift tam saylarn birler basamanda 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarndan biri bulunur.
a) Toplama ve Çkarma Özellii
Ç
n
n
0 !
Örnek
Çözüm
Tek saylar T ve çift saylar Ç ile gösterilerek aadaki özellikler yazlabilir.
tek + tek = çift tek + çift = tek çift + tek = tek çift + çift = çift
çift çift = çift çift tek = çift tek tek = tek
tek - tek = çift tek - çift = tek çift - tek = tek çift - çift = çift
Tek saynn pozitif tam say kuvvetleri tek saydr. Çift saynn pozitif tam say kuvvetleri çift saydr.
çn i inZ! +
( ) ( ) ( )
Ç Ç ç .T sonu ifttir 13 5 6 8
1 1Ç Ç ç
4 0 3 0|
|
- - + - - - + = + =
x, y, z birer tam say ve x y = 2z - 1 olduuna göre aadaki durumlardan hangileri doru olabilir? a) x ve y tek saylardr. b) x ve y çift saylardr. c) x çift, y tek saydr. ç) x - y tek saydr. d) x + y tek saydr. e) x tek ve y çift saydr. f) z için herhangi bir ey söylenemez.
x y = 2z - 1 eitliinde z tek veya çift olsa bile 2z - 1 tek say olur. 2z - 1 tek say olduundan x y tek saydr. ki saynn çarpm tek say ise saylarn ikisi de tek say olmaldr. Buna göre x ve y tek saylardr ve a ile f seçenekleri dorudur.
a, b, c, d pozitif tam saylardr. olduuna göre a ve
b nin tek veya çift olma durumlarn belirtiniz.
a b c d2003 2017
2004 2018 1$ $ $ $
- = +
(? yerine tek say gelmelidir.) olduundan 2003 a b says tektir. Bu durumda a ve b ikisi birlikte daima tektir.
Örnek
Örnek
Çözüm
Örnek
Çözüm
Çözüm
Pozitif tam saylarn bütün pozitif tamsay kuvvetleri pozitiftir. Kuvvetin tek ya da çift olmas, sonucu deitirmez. a pozitif tamsay olmak üzere )a 0 0 olur. (nve a N2n 2n 12 2 !+
Negatif tam saylarn çift kuvvetleri pozitif olurken tek kuvvetleri negatiftir. b negatif tamsay olmak üzere )0 0 olur. (nb ve b N2n 2n 12 1 !+
a b c d2003 2017
2004 2018 1$ $ $ $
T T
$ $ $ $ $
$
- = + - = +
=
Örnek
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
Çözüm
En küçük iki basamakl pozitif tam say ile en büyük negatif tam saynn farknn pozitif deerini bulunuz.
En büyük negatif tam say: -1 En küçük iki basamakl pozitif tam say: 10 bulunur.( )10 1 11- - =
ileminin sonucunu bulunuz.( ) ( )( 1) 2 3 53 04 4- - - - - -
( ) ( ) .
4 4 3 0- - - - - - = - + - =
2 3 4 :2 82- - +$ $^ ^ ^h h h6 @
. ( )
$+ + - + + + =
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
x, y, z doal saylardr. x + z - 1 = 8y + 5 olduuna göre aadakilerden hangileri daima çifttir. I. x y IV. (x - z) II. x z V. (x + z) y III. y z
x + z - 1 = 8y + 5 x + z = 8y + 6 eitliinde y tek veya çift olsa bile y8 6+ daima çifttir. Her iki taraf çift olduuna göre x ile z nin her ikisi de tek veya çifttir. Bu durumda IV ve V daima çifttir.
43
x y z x z
y z
olduuna göre x, y ve z tam saylarnn iaretlerini inceleyiniz.
ifadesinde olduundan dr. ifadesinde olduundan olduu anlalr. ifadesinde ve olduundan olmaldr.
x 04 2 z 02 z 02
z 02 x 01y 02 2
y 0<
Örnek
Çözüm
Bir denizalt, denizin 1200 m dibinde bulunmaktadr. Denizalt, dakikada 130 m olmak üzere toplam 10 dakika daha dalmaya devam ediyor. Deniz yüzeyi sfr kabul edilirse denizaltnn bulunduu son derinlii ifade eden tam sayy bulunuz.
çinde 4 m derinliinde su bulunan havuzun üzerine su seviyesinden 3 m yüksekliinde bir tramplen kurulmutur. Bu tramplen üzerinden havuza atlayan Ceyda havuzda 174 cm derinlie kadar dalmtr. Buna göre Cey- da'nn havuza dald derinlik ile tramplen arasndaki mesafenin kaç m olduunu bulunuz.
Denizalt balangçta denizin 1200 m dibinde ise bunu -1200 ile gösteririz. Araç, 10 dakikada 1300 m daha dibe iner, yani -1300 m daha derine inmitir. Denizaltnn bulunduu son derinlik, -1200 - 1300 = -2500 m bulunur.
Su seviyesini 0 m olarak kabul edersek tramplenin su seviyesinden yüksekliini +3 m, havuzun derinliini -4 m ve Ceyda'nn dald derinlii -1,74 m olarak gös- terebiliriz. Ceyda'nn havuza dald derinlik ile tramplen arasndaki mesafe ; (+3 m) - (-1,74 m) = 4,74 m olarak bulunur.
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
44
3. Bir kimyasal madde C11o- scaklkta iken soutulmaya balanyor. Bu kimyasal maddenin 6 saat boyunca her saat sonunda scakl C6 o azaltlyor. Buna göre 6. saatin sonunda bu kimyasal maddenin scaklnn kaç derece olduunu bulunuz.
4. 40 soruluk bir snavda doru cevaplanan her bir soru için 5 puan verilmekte, yanl cevaplanan her bir soru için 2 puan silinmektedir. Bengü’nün bu snavdan 17 dorusu ve 10 bou olduuna göre Bengü snavda kaç puan almtr?
5. Bir madenci, yerin 1100 metre altnda kömür çkarrken 400 metre yukardaki toplanma alanna çkyor. Buna göre madencinin son durumda bulunduu yeri gösteren tam say kaçtr?
6. Ardk 4 tane doal saynn toplam, bu saylarn en küçüünün 6 katna eittir. Bu saylarn en büyüü kaçtr?
7. a çift, b tek doal saylar olmak üzere aadakilerden hangileri kesinlikle tektir? I. 3a + 4b IV. ba ab + II. ( )a b a b- $ V. a b 2018$ + III. ( )a b 2023+
8. ileminin sonucunu bulunuz.
9. x2 51 1 olduuna göre x x x2 5- + + - ifadesinin eitini bulunuz.
10. a b2 3 0++ - = olduuna göre a b- ifadesinin deerini bulunuz.
1. x, y, z tam say ve x < y < z olmak üzere aadaki ifadelerden hangisi pozitiftir?
2.
- -
x z y x
- - x z z y- -$^ ^h h y x z y- -$^ ^h h y x zy2- -$^ ^h h
, ,x y ve y z ve x z ise x y z tam0 0 02 4 3 5$ $ $1 2 1 saylarnn iaretlerini bulunuz.
5 2 4 3 2 5 3 4 $ $
$ $
- -- + - - -
Asal Saylar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Sadece kendisine ve 1 e bölünebilen 1 den büyük doal saylara asal saylar denir. 2 den baka çift asal say yoktur.
Eratosthenes (Eratosten) Kalburu
1. Adm: 1 in üzerine çarp atlr. 2. Adm: 2 yi yuvarlak içine alnr ve 2 nin tüm katlarnn üzerine çarp atlr (4, 6, 8, 10, 12, …). 3. Adm: 3 ü yuvarlak içine alnr ve 3 ün tüm katlarnn üzerine çarp atlr (6, 9, 12, 15, …). 4. Adm: 5 i yuvarlak içine alnr ve 5 in tüm katlarnn üzerine çarp atlr (10, 15, 20, 25, …). . . . Bu ilemler bittiinde yuvarlak içine alnan saylar asal saylardr. Buna göre ilk 100 sayma says içindeki asal saylar; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 dir.
x, y, z asal saylardr. z = 11 (x - y) olduuna göre x + y + z toplamnn kaç olduunu bulunuz.
z nin asal olabilmesi için x - y = 1 olmaldr. Bu durumda x = 3, y = 2, z = 11 olmaldr. Toplam 3 + 2 + 11 = 16 bulunur.
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
a, b pozitif tam saylar ve c asal say olmak üzere 7 28 2c
a b c2
7 28 2 7(a 4) (b 2) cc
a b c2
3= - + - =+ & $ tür.
c nin asal say olmas için a + 4 ve b – 2 çarpanlar da 7 olmaldr.
a a 4 7
9 - =
= bulunur. Sonuç olarak a + b + c = 3 + 9 + 7 = 19 olur.
46
Aralarnda Asal Saylar
x, y, z asal say olmak üzere x y x z x4 82$ $+ = + olduuna göre x + y + z toplam kaçtr?
x y x z x4 82$ $+ = + ifadesi çift saydr. eitliinde x = 2 olmaldr.
Eitlikte x yerine 2 yazlrsa
.
2$+ = + + =
+ + = + =
1 den baka pozitif ortak böleni olmayan iki veya daha fazla pozitif tam sayya aralarnda asal saylar denir. 1 ile her pozitif tamsay aralarnda asaldr.
Aada aralarnda asal baz saylar verilmitir:
5 ile 7 saylar, 6 ile 7 saylar, 8 ile 9 saylar, 5, 6, 7 saylar ve 4, 6, 15 saylar aralarnda asaldr.
1. k bir asal say ve m bir doal say olmak üzere eitlii salanyorsa m - k fark nedir? 2. x ile y birer pozitif tam say ve k asal say olmak üzere olduuna göre x in k türünden deerini bulunuz.
6 30 26
b a
9 4=
6 15 13
4 9
30 26
b a
k m 3k$ =
5 1 y x 20
46- =
^ ^h h
5x - y ile x y aralarnda asaldr. ve x ile y pozitif tamsaylar olduuna
göre y nin alabilecei tam say deerini bulunuz.
5x - y ile x y aralarnda asal olduundan x y ve x y10 5 23== -$ olmaldr.
Bu durumlardan x = 5 ve y = 2 için 5x-y = 23 eitlii salandndan y = 2 bulunur.
durumlar vardr.
Örnek
Çözüm
a ve b pozitif tam saylar ve (a - 2) ile (b + 3) aralarnda asal saylardr. a b 3a 2b 23+ - =$ ise b - a = ?
( ) ( ) ( )
( ) . ( )
a b
2 3 17 1 17
+ - - = + - + =
a a 2 1
x y x y + +
=1. x ve y saylar aralarnda asaldr. olduuna göre x - y deerini bulunuz.
2. (a - 3) ile (b+ 2) aralarnda asal saylardr. a b 2a 3b 29+ - =$ ise a + b deerini bulunuz.
5. 8, 9, 10, 16, 17, 18 say grubundaki saylardan hangisinin iki asal saynn toplam eklinde yazlamayacan bulunuz.
6. 10, 15, 23, 31, ? say grubu ardk üç asal saynn toplamlar ile oluturulmutur. Soru iareti yerine gelecek saynn deerini bulunuz.
3. 20 den küçük, 6 ile aralarnda asal olan kaç tane pozitif tam saynn olduunu bulunuz.
4. aralarnda asal saylardr. olduuna göre kaç tane (x, y) sral ikilisinin olduunu bulunuz.
b a 14 3 11- = - =
,x y ve x ile yZ! + ( )x y 2 60$ + =
x y 10 ise x 1 x 2 x 5
x 10
= = = =
=
= = = =
$
Asal Çarpanlara Ayrma
x, y, z pozitif tam saylar ve a, b, c birbirinden farkl asal saylar olsun. A saysnn eklinde yazlmasna A saysnn asal çarpanlara ayrlm biçimi denir.
36 ve 48 saylarn asal çarpanlarna ayrnz.
36 2
18 2
9 3
3 3
.36 2 3 bulunur2 2= $ .48 2 3 bulunur4= $
12 x y3=$x ve y pozitif tam saylardr. olduuna göre x in en küçük deeri için x + y toplamn bulunuz.
y3
2 3 2 3 lrsa 18 .
2 3 (2 3 ) 2 3 6 6 18 6 24 .
y x y
y y y ve x y bulunur
x12 3
3 3 3
= =
= =
= = + = + =&
$
$ $
$
$ $ $
$
= Eitliin sa tarafnda bulunduu için eitliin sol tarafndaki her bir asal çarpann kuvveti, 3 ve 3 ün kat olmaldr.
y yerine yanndaki asal çarpanlarn üsleri, 2 olacak ekilde çarpanlar yazlr.
x ve y pozitif tam saylar olmak üzere
olduuna göre x + y toplamnn alabilecei en küçük deer kaçtr?
ifadesinde 50, asal çarpanlarna ayrlr. yazlr.)
x y502 =
x y x y y yerine x x olur
50 2 5 2 2 5 2 2 5 2 5 10
2
$
$ $
$ $ $
$
= = = = = =
^
Örnek
Örnek
Çözüm
Örnek
Çözüm
Çözüm
49
Örnek
Örnek
Çözüm
Çözüm
a ve b pozitif tam saylardr. 288 a b4=$ olduuna göre a + b toplamnn alabilecei en küçük deer kaçtr?
288 saysn asal çarpanlarna ayrnz.
288 2
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
2 3 72 2 3 2 3
2 3 2 2 3
2 2 3 12 72 12 84
5 2
8 4 4
$
$ $
$
$ $ $
$
$ $
$ $
= = = = = = = = =
+ = + =
Eitliin sa tarafnda bulunduu için eitliin sol tarafndaki her bir asal çarpann kuvveti, 4 ve 4 ün kat olmaldr.
1. 180 k ifadesi, pozitif bir tam saynn karesi olduuna göre k nn alabilecei en küçük pozitif tam say deeri kaçtr?
2. 48 80 250 375 says kaç basamakldr?
...
75 16 5 3 5 2 5 3 2 5 2 12 10 1200 0
5 16 2 20 16
2 18 18
Verilen say eklinde yazlmaldr.
60 = 160 60 = 230 60 = 320 60 = 415 60 = 512 60 = 610
60 2
30 2
15 3
5 5
1.2.3. Bir Tam Saynn Pozitif Tam Say Bölenleri Says
x, y, z pozitif tam saylar ve a, b, c birbirinden farkl asal saylar olsun. eklinde asal çarpanlarna ayrlm A saysnn; 1. Pozitif tam say bölen says: (x + 1) (y + 1) (z + 1) 2. Negatif tam say bölen says: (x + 1) (y + 1) (z + 1) 3. Tüm tam say bölen says: pozitif tam say bölen saysnn 2 kat 4. a çift, b ve c tek tam say olmak üzere a) Pozitif tek tam say bölen says: (y + 1) (z + 1) (Sadece tek asal çarpanlarn üslerinin birer fazlas çarplr.) b) Pozitif çift tam say bölen says: pozitif tam say bölen says - pozitif tek tam say bölen says 5. Asal say bölenleri kümesi: , ,a b c" ,
60 tam saysnn bölenlerini ve bölen saylarn bulunuz.
A = 1200...0 saysnn 189 adet asal olmayan tam say böleni vardr. a) A says kaç basamakldr? b) A saysnn kaç tane pozitif tek tam say böleni vardr.
Bölen, ayn zamanda çarpan demektir. 60 n pozitif bölenleri (çarpanlar) kümesi ,2, , 4, ,6,10,12, ,20,30,601 3 5 15= " ,
60 2 3 52 1 1= $ $
Pozitif tam say bölen says: (2+1) (1+1) (1+1) =3 2 2 = 12 Negatif tam say bölen says: (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 3 2 2 = 12 Tam say bölen says: 2 12 = 24 Pozitif tek tam say bölen says: (1 + 1) (1 + 1) = 2 2 = 4 Pozitif çift tam say bölen says: 12 - 4 = 8
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
A a b cx y z$ $=
( ) ( ) ( ) ( )
5
3$ $ $
A 2 512 122 3 5 107 5 55 5$ $ $$ $ = ==
)b A 2 3 57 5$ $= saysnn pozitif tek tam say bölen says, (1 + 1) (5 + 1) = 2 6 =12 bulunur.
A says 7 basamakldr.
Faktöriyel
! ! ! !
! !
0 1 1 1 2 2 1 2 4 3 2 1
$ $
$ $ $
$
= = = = = =
= = = =
51
6 15a$ saysnn 168 tane tam say böleni olduuna göre a saysnn deerini bulunuz.
6 15a$ saysnn 168 tane tam say böleni varsa 84 tane pozitif tam say böleni vardr. 6 15 2 3 3 5
2 3 5
a a a
a) Asal çarpanlarnn toplamn bulunuz.
b) Pozitif tam say bölenleri saysn bulunuz.
c) Pozitif tek tam say bölenleri saysn bulunuz.
!11 2 3 5 7 118 4 2 1 1$ $ $ $=11 2 2
2 5
2 1
a) Asal çarpanlarnn toplam: 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28
b) Pozitif tam say bölenleri says: (8 + 1) (4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 9 5 3 2 2 = 540
c) Pozitif tek tam say bölenleri says: (4 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 5 3 2 2 = 60
Çözüm
Örnek
(1 1) (a 2) (a 1) 84 (a 2) (a 1) 42
a 2 7 a 5 bulunur. 7 6
+ + + = + + =
+ = =&
$ $
$ 1 2 34444 4444 1 2 3444 444
1. 120 tam says için aadaki sorular cevaplaynz. a) Pozitif tam say bölen says kaçtr? b) Negatif tam say bölen says kaçtr? c) Tam say bölen says kaçtr? ç) Pozitif tek tam say bölen says kaçtr? d) Pozitif çift tam say bölen says kaçtr?
2. saysnn 64 tane tam say böleni varsa says kaç basamakldr?
3. 12! saysnn pozitif tek bölenleri says ile pozitif çift bölenleri saysn bulunuz.
4. a pozitif tam say olmak üzere saysnn tam bölenlerinin says 36 ise a kaçtr?
3 10a$
144 2a$
3 10a$
11! saysnn içindeki asal çarpanlarn saysn bulmak için aadaki yol izlenir.
52
Prof. Dr. Cahit Arf (1910-1997)
Cahit Arf, cebir konusundaki çalmalaryla tannm dünyaca ünlü Türk matematikçidir. Selanik doumlu Arf, yüksekörenimini Fransa’da tamamladktan sonra stanbul Üniversitesinde bir süre doçent aday olarak çalmtr. Daha sonra doktora eitimi için gittii Almanya’dan dönüp stanbul Üniversitesinde profesörlük ve ordinaryüs profesörlüe yükselmitir. 1967’de Orta Dou Teknik Üniversitesinde öretim üyeliine getirilmitir. 1980 ylnda emekli olan Arf, TÜBTAK’a bal Gebze Aratrma Merkezinde görev almtr. Cahit Arf, 1997’de bir kalp rahatszl nedeniyle vefat etmitir.
Cebir ve saylar teorisi ile elastisite teorisi alanlarnda baarl çalmalar yapan Arf, yirmiden fazla orijinal yaynda bulunmutur. Matematik literatürüne Arf halkalar, Arf deimezleri, Arf kapan gibi kavramlarn yan sra Hasse-Arf Teoremi olarak anlan teoremi de kazandrmtr.
Arf, matematii bir meslek dal olarak deil; bir yaam tarz olarak görmütür. Örencilerine her zaman “Matematii ezberlemeyin, kendiniz yapn ve anlayn.” demitir. Türk Bilginleri <http://tubav.org.tr/turk-bilginler/>
53
1. x, y, z pozitif tam saylardr.
2. a ve b birer tam say olmak üzere
16 28 4a b b a bve+ + =1 1 olduuna
göre a-b fark en çok kaçtr?
3. -2 -3 + 2 (-4) - 5 (-2) 2 + 10 : (-2) ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?
4. a, b, c pozitif tam saylar ve
olduuna göre aadakilerden hangisi
6. x < y < 0 olduuna göre aadakilerden hangisi daima pozitiftir?
7. Aadakilerden hangisi bir çift saydr?
A) -5 B) -4 C) 4
D) 7 E) 8
D) 15 E) 18
D) 2 E) 12
D) 2
- +
A) 5 211 9+ B) 5 11 10!3 3 +$ C) 9 84 3-
D) 9! 7! 2- + E) 3 8! 714 10+$ 1.2
. T AM
SA YIL
AR
13 17 isex y ve y z= =$ $ x - y - z kaça eittir?
A) a çift saydr.
B) b çift saydr.
C) c çift saydr.
a b 2 c6 +$ =
Kendimizi Snayalm
8. x, y, z pozitif tam saylardr. x y = 4 ve x z = 9 olduuna göre x + y - z ifadesinin deeri kaçtr?
9. a, b, c birbirinden farkl pozitif tam saylar olmak üzere 3a + 4b + 2c = 63 olduuna göre b nin alabilecei en büyük deer kaçtr?
10. a b c2 2 olmak üzere a, b, c asal rakamlarn kullanarak kaç tane üç basamakl abc says yazlabilir?
A) -5 B) -4 C) -3
D) -2 E) 1
D) 24 E) 35
D) 7 E) 10
5. a ve b pozitif tam saylar olmak üzere 2a + 3b = 27 koulunu salayan kaç tane b deeri bulunur?
A) 9 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1
1. ÜNTE: SAYILAR 1.3. RASYONEL SAYILAR
11. a, b, c farkl birer asal say olmak üzere eitlii veriliyor. a + b + c toplam kaç olur?
12. saysnn asal çarpanla- rnn en büyüü ile en küçüü arasndaki fark kaçtr?
A) 4 B) 7 C) 9
D) 10 E) 18
D) 11 E) 17
Kendimizi Snayalm
için aadakilerden hangisi dorudur?
C) x ve y çifttir.
D) x ve y tektir.
E) z tek, y çifttir.
4 x y 5
= $
14. Rakamlar farkl üç basamakl dört pozitif tam saynn toplam 430 olduuna göre bu saylarn en büyüü en çok kaçtr?
A) 124 B) 128 C) 129
D) 132 E) 138
15. 9! saysnn pozitif tam say bölen says kaçtr?
16. 120 m yükseklie çkldnda hava scaklnn C1 cazald varsaylsn. Buna göre yükseklik fark 4800 m olan iki noktadan birinde hava scakl C6 colduuna göre dier nokta da hava scakl kaç Cc olabilir?
17. a pozitif bir tam say olmak üzere 4 27a $ saysnn pozitif tam bölen says 60 olduuna göre a kaçtr?
18. , ,x y y z x y0 0 03 2$ $ $1 2 1 olduuna göre x, y, z tam saylarnn iaretleri srasyla nedir?
A) 160 B) 180 C) 270
D) 320 E) 380
D) 6 E) 7
D) - 34 Cc E) - 36 Cc
A) +, +, - B) +, +, + C) -, -, -
D) -, +, - E) -, +, +
19. 15 14 ... 2 1 1 2 17- - - - - + + + +g ileminin sonucu kaçtr?
A) 22 B) 33 C) 35
D) 46 E) 48
20. Geçerli durumlar için bir pozitif doal saynn birler basamandaki rakam 4, onlar basamandaki rakam 5 artryor ve binler basamandaki rakam 1 azaltyor. Saynn deeri, son durumda nasl deimitir?
A) 46 artmtr.
B) 46 azalmtr.
C) 946 artmtr.
D) 946 azalmtr.
Ömer Hayyam (1048-1131)
Asl ad, Giyaseddin Ebu'l Feth Bin brahim El Hayyam’dr. ran'n Nia- bur kentinde domutur. Astronom, bilim insan, air ve filozoftur.
Matematik, fizik, metafizik, astronomi ve tp gibi rasyonel ilimler dnda iirle de yakndan ilgilenmi ve bu alanlarla ilgili eserler vermitir. Gerek kendi yaad dönemde gerekse sonraki çalarda yazlan kaynaklarda Ömer Hayyam’n; çann bilgilerini edindii, o alanlarda derin tartma- lara girdii, fkh, ilahiyat, edebiyat, tarih, fizik ve astronomi okuttuu ya- zldr. En büyük eseri “Cebir Risalesi”dir. Matematik bilgisi ve yetenei zamannn çok ötesinde olan Ömer Hayyam, denklemlerle ilgili baarl çalmalar yapmtr. Bunun yan sra, binom açlmn ve bu açlmda- ki katsaylar da bulan ilk kiidir. Hayyam, yapt çalmalarn çounu
kaleme almamtr ancak kendisi birçok teori ve icadn isimsiz kahramandr. 21 Mart 1079 tarihinde tamamlad “Celali takvimi” olarak bilinen takvim için büyük çaba sarf etmitir. Güne ylna göre dü- zenlenen bu takvim, 5000 ylda bir gün hata verirken bugün kullandmz “Gregoryen takvimi” 3330 ylda bir gün hata vermektedir. Bugün Ömer Hayyam’n eserlerinden 18 tanesinin ad bilinmektedir.
Matematik ve geometriye ait eserleri:
1. Ziyc-i Melikahi (astronomi ve takvime dair) 2. Kitabün fi'l Burhan ül Shhat- Turuk ül Hind (geometriye dair) 3. Risaletün fi Berahin l Cebr ve Mukabele (cebir ve denklemlere dair) 4. Mükilat'ül Hisab (aritmetie dair) 5. Nevruzname (takvim ve ylba tespitine dair) Ömer Hayyam, < http://matematik.dpu.edu.tr/index/sayfa/3121/omer-hayyam>
1.3. RASYONEL SAYILAR
2 3 1
mn da kullanarak birimi kesir cinsinden parçala- mlardr.
Kesir kavram 11. yüzylda Ömer Hayyam tarafndan ortaya atlmtr. Hayyam, bir kesri iki saynn birbirine bölümü olarak yorumlam ve açklamtr. (Argün vd., 2014)
2 1
1 3
1 4
1 4
1 4
1 4
1 5
1 5
1 5
1 5
1 5
1 3
1 3
2 1
Kesir kavramna yönelik en erken delile, Msr matematiinde rastlanmaktadr. Kesirler MÖ 1800’lü yllarda Babil Uygarl’nda kullanlmtr.
1.3.1. Rasyonel Saylarn Tarihsel Geliimi
(Görsel temsilîdir.)
a ve b tam saylar aralarnda asaldr ve b 0 olmak üzere b a
! biçiminde ifade edi-
len saylara rasyonel say denir ve rasyonel saylar kümesi,Q sembolü ile gösterilir.
Her tam say, paydas 1 olan bir rasyonel saydr. Z Q1
ç
ç
tanmsz
a) Basit Kesir: Pay paydasndan mutlak deerce küçük olan kesirlere denir.
b) Bileik Kesir: Pay, paydasndan mutlak deerce büyük veya paydasna eit olan kesirlere denir.
c) Tam Sayl Kesir: Bir tam say ve bir basit kesrin yan yana yazlmas ile elde edilen kesirlerdir.
, , , , ...1 10 1 2 5
3 12 5 1 3 7
4- - gibi kesirler birer tam sayl kesirdir.
,... gibi saylar basit kesirdir.
, , , ,5 2 0 5
35 43
(5) (7) $
45 18 20
a d b c .Q
(d) (b) b d $
3 9 4
a d c
(d) (b) $
(9) (5)
!
$!
4= =| $
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Bölme ileminde birinci kesir aynen braklr, ikinci kesir ters çev- rilerek birinci kesirle çarplr.
Not
58
ileminin sonucunu bulunuz. 1 3
1 : 2 1
1 1 3
2 : 4 1
1 3 2
3 , 7 4
(7) (5)
kesirlerinde önce 3 ile 7 çarplr: 3 7=21. Sonra 4 ile 5 çarplr:
4 5 =20 olur. 21 ile 20 saylar 21 > 20 olarak sralandna göre
paydalar eitlenirse
kesirlerini sralaynz.
35 21
Rasyonel Saylarda Sralama
1. Paylar eit olan pozitif iki kesirden paydas küçük olan kesir, dierinden büyüktür. 2. Paydalar eit olan pozitif iki kesirden pay büyük olan kesir, dierinden büyüktür. 3. Negatif kesirlerde sralama ise pozitif kesirlerdeki durumun tersidir.
1
2
3
4
5
6
7
1. biçiminde ifade edilen ve Q sembolü ile gösterilen say kümesi
2. Rasyonel sayda kesir çizgisinin üstünde kalan say 3. Rasyonel sayda kesir çizgisinin altnda kalan say
4. Rasyonel saynn 0 0 durumu
5. Rasyonel saynn 0
,a b ve b olmak zere b a0 üZ !!
Aadaki bulmacada yer alan boluklar, sorular okuyarak uygun ifadelerle doldurunuz.
Bulmaca
lem öncelii: Parantez içi, çarpma, bölme, toplama, çkarma eklinde sralanmaktadr.
59
Paylar eitlenirse 20 12 , 12
21 olur. Paydas büyük olan daha küçük
olacandan
Çözüm
Çözüm
Örnek
Örnek
Pay ve paydas arasndaki fark ayn olan pozitif basit kesirlerden paydas büyük olan 1 e daha yakndr.
Pay ve paydas arasndaki fark ayn olan pozitif bileik kesirlerde paydas büyük olan 1 e daha yakndr.
Verilen saylarn pay ve paydalar arasndaki fark sabit ve 3 tür.
Verilen saylarn pay ve paydalar arasndaki fark sabit ve 2 dir.
1 e yaknlk srasna göre c < b < a < 1 olur.
1 < c < b < a
0
ve x in 4 farkl deeri vardr.
kesrinin bir tam say belirtmesi için kaç farkl x deeri vardr?
x + 2 yerine 13 ün bölenleri olan -1, 1, -13, 13 saylar yazldnda tam saylar elde edilir.
Önce verilen rasyonel saylarn paylar eitlenir.
Buna göre pay eit olan pozitif kesirlerden paydas büyük olan daha küçüktür. Fakat saylar negatif olduu için sralama ters çevrilir. Bu durumda b < a < c olur.
5 3 , 10
5 3
14 6 7
= - = - = - = - = - = - ^ ^ ^h h h
+ +
+ + = + +
+ +
+
+ +
= +
, ,
,
x ise x x ise x x ise x x ise x olur
+ = = - + = - = - + = = + = - = -
ileminin A ya bal deerini bulunuz.
kinci ifade -1 ile çarplp A ve -X taraf tarafa toplanr.
Çarpanlarn virgülden sonraki basamak saylar toplam 4 olduundan ilemin sonucu virgülden sonra 4 basamak olur.
1. Yol
2. Yol
8 1
9 1
10 1
8 17
9 8
Çözüm
Örnek
Basamak deeri sisteminin bir gelimesi olan saylarn ondalk gösterimi, aslnda kesir fikrine dayanmaktadr. Kesir, literatürde ondalk saylar olarak yer almaktadr. Fakat ondalk say diye bir say türü yoktur. Ondalk say, sadece saylarn gösterim biçimlerinden biridir. Paydas 10 un pozitif kuvveti olarak yazlan kesirlere ondalk kesir denir.
ifadeleri birer ondalk gösterimdir.
Ondalk gösterimde tam ve ondalk ksmlarn ayrm için virgül kullanlr. Ondalk gösterimlerinde önemli olan tam say ve kesirler arasndaki ilikidir. Her ondalk say kesir biçiminde yazlr.
, ,ve10 5 0 5 10
127 0 1273= =
1,140,49 1170 468
- x
a) (0,73 - 0,24) + 0,65 ileminin sonucu kaçtr? b) 0,25 2,34 ileminin sonucu kaçtr?
Ondalk Gösterim
, ,ve x8 3 0 375 0 375= + tam say olduuna göre x in ondalk ksm
, , ,
0 1+ ileminin sonucunu bulunuz.
x pozitif bir ondalk saydr. x 8 3+ ifadesi bir tam say belirttiine göre x in virgülden
sonraki ksmnn kaç olduunu bulunuz.
, ,
0 34 3 4 kesrinde pay ve payda 100 ile çarplrsa ondalk saylar virgülden kurtulur.
,34 340 10= benzer ekilde ,
, 0 1 3 4 ksmnn da pay ve paydas 10 ile çarplrsa 1
34 34=
0,5646 -
2. Yol: Bu ilemin sonucu ksa yoldan 0,4354 saysnn on binde birler basamandaki rakam 10 a tamamlanp dier rakamlar ise 9 a tamamlanarak bulunur. 1 - 0,4354 = 0,5646 bulunur.
1. Yol:
Bir çubuk çizilip 12 eit parçaya bölünür. 20 20 20
Kalan üç eit parça 60 olduundan her bir parça 20 olur. Cevap 20 12 = 240 tr.
Aye pazarda parasnn ü ile meyve, ü ile sebze, s ile de süt ürünleri
almtr. Aye’nin geriye 60 liras kaldna göre tüm parasnn kaç lira olduunu bulunuz. Çözüm
Örnek
bulunur.
62
1. Aye ile Zeynep birbirlerine toplam 300 ileti gönderiyorlar. Aye iletilerin
5 2 ini, Zeynep ise 15
4 ini gönderdikten sonra haberlemeye ara veriyorlar.
Kalan sürede ikisi de eit miktarda ileti gönderdiine göre Zeynep kaç ileti göndermitir?
2. Burak parasnn önce 2 1 sini, sonra kalan parasnn 3
1 ünü, en sonunda da
kalan parasnn 4 1 ünü harcyor. Buna göre Burak parasnn kaçta kaçn
harcamtr?
Ali, bir kitabn ilk gün ünün 1 eksiini okuyor. kinci gün ise okumad sayfalarn
inin 3 fazlasn okuyarak kitabn tamamn bitiriyor. Ali’nin okuduu kitabn sayfa
saysn bulunuz.
4 3
Geriye sayfa kalr.x x x 4 3 1 4
4- - = +b l
x olur Buna g re x bulunur
2 20 17 8 20 40 17 8
3 48 16
çubuun uzunluu kaç cm dir?
2. gün .x x sayfa okur4 4
5 2 3 20
2 8 3= - + + +
30 30
Önce bütünü gösteren bir çubuk çizilir ve çubuun 3 1 ü kesilir. Kalan parça tekrar
üçe bölünür ve bunun da iki parças kesilir. Geriye kalan parçann uzunluu 20 cm
olduundan parçalarn uzunluklar sondan baa doru bulunur ve verilen çubuun
uzunluu 90 cm olur.
2.
3.
4.
5.
6.
D) 1 10
E) 1 2
2 3
A) 22 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
4
+ + + + $^
1
l
+ -$ -b l: D
1 1 3 1 1 4
1 ... 1 48 1 147x+ + + + =$ $ $a a a ak k k k
ileminin sonucu kaçtr?
3 220 242
3 251 3
D) 10 E) 12
D) A - 2 E) A - 6
2 51 49
2 47 2
kaç farkl x tam says vardr? 3
2 41 x x
5 13
11.
12.
D) 35 E) 36
2 3 1
2 , 5 3b l
D) 1 E) 2
D) 6 E) 7
A) a<b<c<d B) a<c<b<d C) a<d<c<b
D) a<b<d<c E) a<d<b<c
3 1
2 1
7a b c= = = = olduuna
göre a, b, c, d kesirlerinin sralamas aadakilerden hangisidir?
16.
17.
D) -15 E) -16
2 1
4 3
5 4
18.
A) x>y>z B) x>z>y C) z>x>y
D) z>y>x E) y>x>z
15 13
105 103
göre aadaki sralamalardan hangisi dorudur?
19.
20.
D) 21 E) 28
D) 7 E) 2004
7,35753 >7,35AA6 olduuna göre A rakamnn alabilecei deerler toplam kaçtr?
ileminin sonucu
1007-
1.4. ÜSLÜ VE KAREKÖKLÜ FADELER
Üs (kuvvet) ve üstel fonksiyon kavramna uygun gösterimler gelitirilmesi ve tantlmasnda Fransz matematikçi Augustin Louis Cauchy (Austin Luis Koi) liderlik etmitir. “Courd d’Analyse” (Kord Danalays) kitabnda Cauchy; genel üs, kök ve logaritmalarla ilgili ilemlerde kolaylk salamas için gelitirdii gösterimleri tantmtr. Üs, kök ve logaritma kavramlarnn gösterimleri ve terminolojisi, 1846 ylnda Cauchy’nin çalmalarndan sonra dikkatleri daha fazla çekmitir.
18 446 744 073 709 551 615 Adet Buday Tanesi
Eski zamanlarda sava stratejilerini çok seven ve sürekli bunlar uy- gulamaktan holanan bir kral yaarm. Kral halkn ve ordusunu sudan sebeplerle savaa sokarak deiik hamlelerle zafer kazan- may amaçlarm. Kraln sava merakndan usanan halk, bu soru- nuna çare aramaya balam. Halk, ülkenin Bilge’sine bavurmu. Bilge, uzun bir düünme sürecinin ardndan bu soruna çözüm bul- mu. Kraln huzuruna çkan Bilge, Kral’a bir hediye sunmak istediini söylemi. Çok mutlu olan Kral merakla hediyeyi beklemi. Bilge, Krala bir kutu uzatp “Kralm siz savamay çok seviyorsunuz. Bu sebeple size ayn gün içerisinde defalarca savama imkân verecek bir oyun getirdim. Bu ufak talar askerleriniz. ki tane atl birliiniz ve iki tane de filli askeriniz var. Yine ayn ekilde iki tane sava arabanz var (kale). Siz de bu oyunun ahsnz ve bir de yardmcnz olan vezir var. Bu gördüünüz satranç tahtas üzerinde kardaki rakibi zekice hamlelerinizle yenmek için mücadele edeceksiniz. Bu oyunun ad satrançtr.” Bilgenin getirdii satranç oyunundan memnun
kalan Kral, Bilge’ye bu güzel oyun için ne ödül istediini sormu. Bilge, satranç tahtasnda 64 kare bulunduunu ve birinci kare için bir adet buday, bir sonraki kare için birinci karedekinin iki kat kadar buday, üçüncü kare için ikinci karedekinin iki kat kadar buday gelecek ekilde bütün karelere denk gelecek kadar buday istediini söylemi. Hesaplamalar yapldnda Bilge’nin istedii buday tanesi adetinin 18 446 744 073 709 551 615 tane olduu ortaya çkm. Kvrak zekâl Bilge’nin buday hikâyesi nesilden nesile anlatlm.
Augustin Louis Cauchy [Ogustin Luis Koi (1789-1857)]
Augustin Louis Cauchy, Fransz Devrimi’nin balangcndan ksa bir süre sonra 1789’da dünyaya gelmitir. Matematik konusundaki yetenei, kap komular olan ünlü matema- tikçi Laplace (Leples) tarafndan fark edilmitir. 1810’da inaat mühendisliinden mezun olup Napolyon’un ordusunda askeri mühendis olarak çalmaya balamtr. Bu srada Laplace’in baz kitaplar ile matematik üzerine aratrmalarna devam etmitir. 1857’de altm sekiz yanda iken geçirdii ateli bir hastalk sonucu yaamn yitirmitir.
Analiz dalnda pek çok çalmas olan Cauchy, ayn zamanda bir akkan yüzeydeki dalgalarn hareketi üzerine yapt çalma ile tannmaktadr. Birçok ünlü matematikçinin cevaplayamad Fermat’n bir sorusunu 1815’te cevaplayarak ispatlamtr. Bu sayede matematikçi olarak kendini bir kez daha kantlam ve iyice ünlenmitir.
En çok ses getiren çalmalar: Olaslk analizi, optik, elastisite, matematiksel fizik, astronomi, hidrodinamik ve diferansiyel denklemler olarak saylabilir. Cauchy <https://www.ugr.es/~eaznar/cauchy.htm>
1.4.1. Üslü ve Kareköklü fadelerin Tarihsel Geliimi Üslü Saylarn Tarihsel Geliimi
66
1 12 = 1 1=
2 4 2 = 4 2=
3 9 2 = 9 3=
4 16 2 = 16 4=
5 25 2 = 25 5=
Karekökü tam say olan 1, 4, 9, 16, 25, ... gibi saylara karesel say denir.
Geçmiten bugüne tarih içinde saylarn kareköklerinin (açlm) hesaplanma- sna dair pek çok teebbüsün yapld görülmektedir. MÖ 1650’lerde Rhind (Raynd) Papirüslerinde karekök hesaplarnn yapld görülmütür. MÖ 1600’de Eski Babil tabletlerinde nin altmlk tabana göre üç basamaa kadar hesapland görülmektedir. Bu hesaplama yöntemi ile Babilliler nin ondalk açlmn yaklak olarak 1,414222 olarak bulmulardr. Bu sonuç ile ...... nin tam açlm arasndaki fark 0,000008 kadardr. Hindistan ve Çin’in eski dönemlerinde de bu tür hesaplarn yapld bilinmektedir. Eski Yunan matema- tikçileri ise karekökü yalnzca deneyerek hesaplamlardr.
Arimet “Mensuration of the Circle”da (Mensüreyn of d Sörkl) karekök ile
ilgili çok sayda bilgi vermitir. Örnein

Documents

Hülya KILIÇ Kaya SATIŞ Mehmet GÜNEŞ Mehmet SEZİŞLİ