FINANSU˛ RINKOS TEORIJU˛ APŽVALGA - klevas.mif.vu.ltremis/apzvalga_paskutinis.pdf · Rinkos...

FINANSU RINKOS TEORIJU APŽVALGA

Remigijus LeipusVilniaus universitetas ir Matematikos informatikos institutas

irRimas Norvaiša

Vilniaus universitetas

2003 m. rugsejo 21 d.

1 Ivadas

Pagrindinis finansu rinkos teoriju uždavinys – aprašyti kainos formavimosi mechanizma ver-tybiniu popieriu rinkoje. Nuo šio mechanizmo aprašymo priklauso kaip yra sprendžiami visikiti finansu rinkos klausimai: optimalaus portfelio formavimas, finansiniu instrumentu ikaino-jimas ir panašiai. Straipsnyje apžvelgiamamodernioji finansu rinkos teorija, kuri del mate-matikos esminio naudojimo dažnai vadinama tiesiogfinansu matematika. Taciau svarbiausiamoderniosios finansu teorijos dalis – efektyviosios rinkos paradigma – formuluojama nesinau-dojant matematine kalba. Šioje apžvalgoje siekiama parodyti kaip dauguma finansu matema-tikos teiginiu atspindi minetaja efektyviosios rinkos samprata. Apžvalgos pabaigoje minimospostmodernistines finansu rinku teorijos išsiskiria kitokiu poži uriu i tai, kas formuoja kaina.Tarp ju yra ir elgsenos finansu rinkos teorija, kurios vienam iš pradininku D. Kahneman’uibuvo paskirta 2002 metu Nobelio ekonomikos premija (žr. [73]).

Ši apžvalga skirta tiems, kas su finansu rinkos teorijomis dar nebuvo susid ures. Todel ciavengiama gilintis i sudetingus ar giliu matematikos žiniu reikalaujancius šiu teoriju aspektus.Vietoje to bandoma nupiešti bendra šios srities paveiksla, siekiant paaiškinti pagrindines idejasir problemas. Leidiniu, skirtu ivairiems finansu rinkos modeliavimo aspektams, sarašas kiekvie-nais metais padideja keliomis dešimtimis ir yra išties isp udingas. Nenoredami išskirti kuriuosnors iš ju, tiesiog si ulome žvilgtereti i virtualia knygu lentyna [1]. Galima b utu rekomenduotika tik pasirodžiusia Paulos knyga [78], kurioje autorius bando paaiškinti pagrindines finansurinkos matematines koncepcijas naudojantis ne formalia matematine kalba bet literat urinemispriemonemis ir savo nesekminga investavimo rinkoje patirtimi. Šia prasme knyga skiriasi nuoankstesniu gerai žinomu finansu teorija ir praktika populiarinanciu tekstu, tokiu kaip Malkiel[60] ir Bernstein [9].

Finansu rinkavadinama tokia rinka, kurioje operuojama (prekiaujama, mainoma ir pan.)vertybiniais popieriais. Pavyzdžiui: (a) bendroviu akcijos ir valstybes vertybiniai popieriai su-daro akciju rinka; (b) trumpalaikiai vertybiniai popieriai (indeliai, paskolos ir pan.) sudaro

pinigu rinka; (c) užsienio valiutos sudaro valiutu rinka; bei kitos rinkos prekiaujancios ivai-riais finansiniais instrumentais ar išvestiniais vertybiniais popieriais. Prie finansu rinku taip patpriskiriamos ir investiciniu prekiu rinkos (brangiuju metalu ir pan.). Paviršutiniškai lyginant,finansu rinkos skiriasi nuo vartojimo prekiu rinku savo dinamiškumu ir dideliu neapibrežtumolaipsniu. Del šiu savybiu ir informaciniu technologiju progreso finansu rinkos sukuria didžiu-lia duomenu baze, kurioje dažnai saugomos ne tik specifines akcijos ar obligacijos kaina, betir apimtis, data, prekiautoju tipai. Pažymetina, kad tokius, dažniausiai dienos begyje gautusduomenis, leidžia tirti šiuo metu sparciau besipletojanti aukšto dažnio duomenu analize.

Rinkos ekonomikos finansu strukt ura sudaro vertybiniu popieriu rinka, bankai, draudimoimones ir kitos institucijos. Finansu rinka šioje strukt uroje užima centrine vieta, tuo tarpu ki-tos institucijos yra tik tarpininkes. Bendroves, finansu rinkose platindamos savo akcijas, igyjakapitala gamybai plesti, o vartotojai investuoja savo lešas i bendroviu akcijas siekdami pelno.Tokiu b udu visi rinkos dalyviai – vartotojai ir gamintojai – sprendžia pagrindini rinkos ekono-mikos uždavini: optimaliai paskirstyti turimus išteklius. Kita svarbi priežastis suprasti finansurinkos elgesi yra paplitusi nuomone, jog apie šalies ekonomikos b usena galima spresti pagalfinansu rinkos elgesi. Pavyzdžiui, manoma, kad pradejus kristi akciju kainoms, galima tike-tis ekonomikos sastingio. Ir atvirkšciai, akciju kainu kilimas yra laikomas galimo ekonominioaugimo ženklu. Ar tai reiškia, jog finansu rinka tiesiogiai veikia ekonomika? Labai mažai po-žymiu patvirtina tokia nuomone. Žymiai daugiau yra požymiu liudijanciu apie tai, kad finansurinka paprasciausiai atspindi žmoniu nuomone apie šalies ekonomikos elgesi artimiausioje at-eityje. Tokiais „veidrodžiais" paprastai yra laikomi ivairiu šaliu finansu rinku indeksai: DowJones Industrial Average (DJIA), Standard and Poor (S&P), NASDAQ, NIKKEI225, DAX irkiti, Lietuvoje – Litin, Litin 10, Litin G.

Tarp minetu akademiniu rinkos tyrimo motyvu, nepaskutine vieta užima ir paprastas pelnosiekimas. Pateiksime toki iškalbinga pavyzdi. Jei 1926 metu sausi b utumete investave1 do-leri i vieno menesio JAV iždo vekselius, viena iš saugiausiu vertybiniu popieriu pasaulyje, irkas menesi gauta pelna reinvestave, tai 1996 metu gruodyje j usu pelnas b utu14 doleriu. Jei tapati doleri b utumete tokiu pat b udu investave i S&P indeksa – žymiai rizikingesniu vertybiniupopieriu portfeli – tai po to paties71 metu laikotarpio j usu pelnas b utu1370 doleriu. Tarkimedabar, kad kiekviena menesi sugebate atspeti iš anksto, kuri iš šiu dvieju investiciju ta menesiduos didesne graža. Koks b utu pelnas, jei, pasinaudoje šia informacija, kiekviena menesi b utu-mete investave i didesniaja graža duodancia investicija? Šio pavyzdžio autoriaus R. Merton’oatsakymas: virš dvieju milijardu doleriu, tiksliau 2296183456 doleriai! Nors tokia tobula prog-noze neimanoma, taciau šis pavyzdys rodo, kad ir menkas gebejimas prognozuoti gali atneštinemenka pelna.

Jei finansu rinka panaši i prekiu rinka, tai galima b utu tiketis ir kainos mechanizmo pa-našumu. Vartojimo prekiu rinkoje augant prekes kainai norinciu ja pirkti mažeja, o kainaikrintant – priešingai – dideja. Tokia prekiu rinkos dalyvio reakcija i kainos kitima formuojakainos susidarymo mechanizma vadinama pasi ulos ir paklausos balansu. Teoriškai šis kainosmechanizmas yra aprašomas Arrow–Debreu–McKenzie bendrosios pusiausvyros modeliu [25].Gi finansu rinkoje jos dalyvio reakcija i kainos kitima yra priešinga: labiau pageidautina yra tapreke-akcija, kurios kaina auga, ir paprastai neperkama ta preke-akcija, kurios kaina krinta. Ne-paisant šiu paviršutiniu skirtumu, galima brežti pasi ulos ir paklausos kreives tarp akciju kiekio

ir ju kainos. Taciau šie pasi ulos ir paklausos santykiai neatspindi esminiu finansu rinkos bruožu(žr. Ross [81]). Todel nat uralu, kad finansu rinkos kainos susidarymo mechanizma aprašanciosteorijos skiriasi nuo bendrosios ekonomines pusiausvyros teorijos. Aiškiai dominuoja moder-nioji finansu rinkos teorija, kainos formavimosi mechanizma siejanti su efektyviuinformacijosatspindejimu kainoje.

2 Efektyviosios rinkos hipoteze

Moderniosios finansu rinkos teorijos ištakos gl udi XX-o amžiaus pradžios mokslininku ban-dymuose paaiškinti keista finansu rinkos kainu elgesi lyginant su tuo kas buvo stebima prekiurinkose. Jei finansu rinkos kainas taipogi nustatytu „pasi ulos ir paklausos jegos", tai akcijos kai-na turetu tam tikra kryptimi kisti link pusiausvyros, o ne chaotiškai svyruoti. Taciau empiriniaiakciju kainu pokyciu tyrimai rode ka kita.

Akciju kainu svyravimu šiuolaikinio aiškinimo prototipa pasi ule pranc uzu matematikasLouis Bachelier1 (1870-1946), kuris 1900 metais Sorbonoje šia tema apgyne disertacija „Spe-kuliacijos teorija" ("Théorie de la spéculation" [3]).Cia „spekuliacijos teorija" yra tai, kas dabarvadinama pasirenkamojo sandorio ikainojimo teorija, apie kuria placiau bus kalbama skyrely-je „Finansu inžinerija". Pagrindinis Bachelier darbo nuopelnas yra iš esmes naujas si ulymasmatematiškai modeliuoti akcijos kainos kitima. Tiksliau, tarkime, kad∆ yra teigiamas laikointervalas ir tegulS∆(k∆) žymi kainas laiko momentaisk∆, k = 1, 2, . . .. Bachelier pasi uly-tas kainos pokyciu modelis remiasi prielaida, kuri šiuolaikines matematikos kalba galetu b utiformuluojama taip:

S∆(k∆) = S(0) + ξ∆ + ξ2∆ + · · ·+ ξk∆, k ≥ 1,

cia S(0) yra teigiamas skaicius, oξi∆ yra nepriklausomi vienodai pasiskirste atsitiktiniai dy-džiai igyjantys reikšmes±σ

√∆ su tikimybe1/2. Toks kainos elgesys vadinamas „atsitiktiniu

klaidžiojimu". Bachelier pastebejo, kad pažymejusk = [t/∆], t > 0, ir neaprežtai mažinant lai-ko intervala∆ arba, kitaip tariant, perejus prie ribos kai∆ → 0 (tam tikra tikimybine prasme),turi egzistuoti toks (atsitiktinis) procesasW , kuris apibrežia kainos procesaS:

S(t) = S(0) + σW (t), t ≥ 0. (1)

Matematiškai korektiška tokio procesoW egzistavimo irodyma 1923 metais pateike NorbertWiener [100], del ko šis procesas yra vadinamas Wiener’io procesu (detaliau apie tai kitameskyriuje).

Velesnius empirinio tyrimo darbus šia kryptimi atliko Holbrook Working (1934) [103], Alf-red Cowles (1933) [23] ir Maurice G. Kendall (1953) [51]. Skirtingai nuo Bachelier, šie autoriaispejo, kad

S∆(k∆) = S(0) expξ∆ + ξ2∆ + · · ·+ ξk∆, k ≥ 1.

11996 metais ikurta Bachelier finansu draugija (angl. Bachelier Finance Society), kurios tikslas – finansu dis-ciplinos pletra, besiremianti atsitiktiniu procesu teorija, statistika ir matematika. Daugiau apie šia draugija žr.internete http://www.stochastik.uni-freiburg.de/bfsweb/

Kitaip sakant, nepriklausomu atsitiktiniu dydžiu elgesiu pasižymi logaritmines santykiniu po-kyciu transformacijoslnS(k∆)/S((k − 1)∆), o ne tiesioginiai kainos pokyciai S(k∆) −S((k − 1)∆). Jei, kaip anksciau, pereitume prie ribos kai∆ → 0, tai gautume, kad kainosprocesasS yra aprašomas formule:

S(t) = S(0) expσW (t), t ≥ 0.

Apibendrindamas empirinius akciju kainu pokyciu tyrimus, Kendall suformulavo tokius jo nuo-mone esminius klausimus: kas vercia rinkos kainas svyruoti, bei kokie atsitiktiniai procesaiadekvaciai aprašo kainos evoliucija? Bandant atsakyti i šiuos klausimus, palaipsniui išsirutu-liojo efektyvios rinkos paradigma, kuria ir remiasi šiame straipsnyje aptariamos pagrindinesfinansu rinku teorijos.

Kitos darbu kryptys buvo ir tebera susijusios su tuo, kas vadinama technine ir fundamenta-liaja analize, kuriu pagrindinis tikslas yra kainos prognoze. Tuo tikslu technine analize naudojavisa informacija susijusia su akcijos kaina praeityje ir ju prekybos apimtimis. Tokiomis yra,pavyzdžiui, Dow teorija ir jos tesinys – Elliot’o bangu teorija (žr. [79]). Fundamentaliosiosanalizes esme sudaro akcijos vidines vertes samprata. John Burr Williams (1938) [102] ir kitibande pagristi poži uri, pagal kuri akcijos kaina atspindi jos vidine verte, o šios vertes dydis yralygus diskontuotai tos akcijos visu galimu ateities dividendu sumai. Fundamentalistu poži uriu,kainos akciju rinkoje svyruoja apie savo vidine (fundamentaliaja) verte.

Rinkos efektyvumas. Ilga laika buvo manoma, kad fundamentaliosios vertes ir atsitiktinioklaidžiojimo teorijos prieštarauja viena kitai, pavyzdžiui, kainu prognozavimo atžvilgiu. Šiprincipini prieštaravima išsprende Paul A. Samuelson’o (1965) [84] ir Benoit Mandelbrot’o(1966) [62] darbai. Be kita ko, Samuelson parode, kad atsitiktinio klaidžiojimo teorijoje akci-jos gražos pokyciu nepriklausomumo savybe pakeitus sažiningojo lošimo salyga, akcijos kainaprivalo sutapti su fundamentaliaja verte, bent jau tuo atveju kai investuotojai yra neutral us ri-zikai, t. y. jiems r upi tik laukiamosios gražos dydis. Be to, Samuelson ir Mandelbrot siekepagristi tai, kad rinka veikia „deramai", jei visa vieša informacija apie akcijas yra „atspindeta"ju kainoje.

Toliau vystydamas efektyvumo samprata, Fama (1970) straipsnyje [31] remesi tuo, kad ka-pitalo rinkos pagrindinis vaidmuo yra kapitalo nuosavybes perskirstymas. Rinka ši vaidmeniatlieka efektyviai, jei kainos padeda teisingai paskirstyti resursus. Todel efektyviosios rinkoshipoteze (toliau ERH) jis apibreže trumpa nuostata:rinka vadinama efektyvia, jei kainos „pil-nai atspindi" turima informacija. Tokiu b udu terminas „efektyvus" finansu teorijos kontekstereiškia, kad rinkoje esantiinformacijapilnai išnaudojama akciju kainoms formuoti. Pati ERHir jos išvados yra per daug bendros, kad jas galima b utu empiriškai patikrinti. Todel iprasta,kad ERH papildoma kuriuo nors konkreciu kainos formavimosi mechanizmo variantu. Tokiuatveju neigiami empirinio tikrinimo rezultatai gali b uti interpretuojami kaip pasirinkto kainosformavimosi mechanizmo atmetimo. Paprasciausias toks mechanizmas grindžiamas vadinama-ja sažiningojo lošimo hipoteze, kuria suformuluosime kitame skyrelyje. Visu tokiu mechanizmubendras bruožas yra tas, kad dabarties kaina yra projektuojama pagal ateities kainas, kurias savoruožtu suformuoja rinka, remdamasi visa jai prieinama informacija. Tokiu b udu formuojamoskainos vadinamospusiausvyrinemiskainomis.

Jau minejome, kad ERH susieja finansu rinkos teorini modeli su realia rinka ir šia prasme jivaidina labai svarbu metodologini vaidmeni. Jei del kokiu nors priežasciu galima manyti, kadkonkreti finansu rinka yra efektyvi, tai, patikrinus papildomas salygas, jei tokios yra, jai galimab utu taikyti visus moderniosios finansu rinkos teorijos teiginius. Kita labai dažnai minima ERHišvada teigia, kad efektyvioje rinkoje bet kuri šiai rinkai prieinama informacija negali b uti iš-naudota siekiant didesnio pelno nei to, kuris yra numatomas formuojant pusiausvyrines kainas.Taigi pelningai gali b uti panaudota tik tokia informacija, kuri nera „pilnai atspindeta" akcijoskainoje. Toks informacijos vaidmuo akciju rinkoje kartais lyginamas su gamybos efektyvumuprekiu rinkoje, todel ERH svarba vertinama panašiai kaip bendrosios ekonomines pusiausvyrossvarba prekiu rinkoje (žr. LeRoy [54]).

Teorinis ERH pagrindimas. ERH teisingumo pagrindimui naudojama keletas teoriniu argu-mentu. Paprasciausias iš ju yra teiginys, kad visi rinkos veikejai – investuotojai – yraracional usir todel racionaliai ikainoja akcijas.Cia racionalumas reiškia du dalykus:

(a) rinkos veikejai teisingaiisisavina visa nauja informacija;

(b) sprendimus apie akciju kainas rinkos veikejai atlieka maksimizuodami savo naudingumofunkcija, aprašoma von Neumann’o-Morgenstern’o vidurkines naudos teorija.

Jei visi rinkos veikejai racional us, tai akciju kainos yra pusiausvyrines, t. y. rinka yra efektyvi.Taciau prielaida, kad visi rinkos veikejai racional us, nera b utina rinkos efektyvumui garan-

tuoti. Kitas, bendresnis, teorinis argumentas yra prielaida, kad kai kurie rinkos veikejai neraracional us, taciau ju poveikis kainoms yra atsitiktinis. Tai reiškia, kad iracionaliu rinkos veike-ju veiksmai kompensuoja vienas kita, jei ju yra daug ir visi jie tarpusavyje nekoreliuoti. Todelakciju kainos tokioje rinkoje turetu b uti artimos pusiausvyrinems, kas velgi reiškia rinkos efek-tyvuma.

Dar bendresnis teorinis argumentas leidžia laikyti iracionaliu rinkos veikeju elgesi koreliuo-ta. Šio argumento pagrinda sudaro arbitražo savoka – vienas iš labiausiai patraukliu ir tiketinuargumentu visoje ekonomikoje. Finansu ekonomikojearbitražuyra vadinama tokia strategija,kuri leidžianerizikuojantpasiekti teigiama pelna (teorinio modelio kontekste ši savoka yra api-brežta (16) implikacija 4 skyrelyje). Taigi, atsiradus nukrypimui nuo pusiausvyrines kainos deliracionaliu investuotoju veiklos, tai žinodami racional us investuotojai be rizikos gali pasinau-doti šiuo skirtumu ir gauti teigiama pelna. Jei racional us investuotojai konkuruodami greitaipanaikina arbitražo galimybe (kaip ir turi b uti efektyvioje rinkoje), tai kaina negali smarkiai irilgam nukrypti nuo savo pusiausvyrines reikšmes, tai yra

(c) jei rinka efektyvi, tai joje neegzistuoja arbitražo galimybiu.

Kartais ERH tapatinama su arbitražo negalimumo akciju rinkoje nuostata, kuri taip pat žinoma„nera nemokamu pietu" (žr. Ross (1987) [81] ir Rubinstein (2001) [83]) vardu.

Pastarajame straipsnyje S. A. Ross taip iliustruoja arbitražo savokos svarba neoklasikinejefinansu teorijoje. Garsiajame ekonomikos vadovelyje P. Samuelson cituoja pasakyma: netgipap uga galima padaryti geru politiniu ekonomistu – tam pakanka išmokyti ja dvieju žodžiu –„pasi ula" ir „paklausa". Pagal Ross’a, panašiai pap uga galima padaryti finansu ekonomistu –

tam pakanka ja išmokyti dvieju žodžiu – „arbitražas neegzistuoja". O jei rimtai, tai galimatiketis papildomu problemu bandant publikuoti akademiniame žurnale straipsni, kuriame nag-rinejamas arbitraža toleruojantis finansu rinkos modelis.

Empiriniai ERH testai. Empirinis ERH pagrindimas iki šiol išgyveno du skirtingus periodus:iki aštuntojo dešimtmecio pabaigos, kai daugumos tyrimu rezultatai „patvirtino" ERH ir po tosekes neigiamu rezultatu antpl udis. Didžiausio pakilimo nuotaika gerai iliustruoja tokia 1978metais išsakyta M. Jensen’o nuomone (žr. [46, p. 95]): „ekonomikoje nera kito teiginio, kuristuretu toki solidu empirini pagrindima, kaip efektyviosios rinkos hipoteze". Antrojo laikotarpiokategorišku teiginiu pavyzdžiu galetu b uti R. A. Haugen knygute [43].

ERH empirine analize reiškia jos išvadu empirini tikrinima. Dažniausiai nagrinejamos dviišvadu r ušys. Pirma, pasirodžius naujai informacijai, akcijos kaina privalo reaguoti ir atspindetišia naujiena greitai ir teisingai. Antra, kadangi akcijos kaina turi sutapti su jos fundamentaliaverte, tai kaina negali svyruoti, jei nera naujos informacijos susijusios su akcijos verte. Tam,kad paneigti šias išvadas pakaktu parodyti, pavyzdžiui, jog kuri laika galima laimeti didesni neividutini pelna naudojantis pasenusia informacija. Šiuo atveju, vertinant rezultatus didžiausiaproblema yra pelno dydžio ivertinimas, kadangi naudojama strategija visada susijusi su tamtikra rizika. Rizikos ivertinimas savo ruožtu reikalauja papildomu prielaidu, o igytas pelnas galib uti vertinamas kaip užmokestis už rizika. Šiek tiek paprasciau yra su informacijos samprata.Fama [31] ivardijo tris galimus informacijos šaltinius ir tuo paciu išskyre tris efektyviosiosrinkos hipotezes formas:

(d) silpna forma: dabarties kainos atspindi visa informacija apie praeities kainas ir akcijupirkimo-pardavimo apimtis;

(e) pusiau stipri forma: dabarties kainos atspindi visa dabarties momentu prieinama viešajainformacija;

(f) stipri forma: dabarties kainos atspindi visa dabarties momentu prieinama informacija,tame tarpe ir viešai neskleistina informacija (angl. insider information).

Jei finansu rinka pasižymi silpnaja ERH forma, tai ateities kainu prognozavimas, remiantis in-formacija tik apie praeities kainas ir pirkimu-pardavimu apimtis, nera imanomas. Kitaip tariant,jei teisinga silpnoji ERH, tai technines akciju analizes naudojimas prognozei yra neperspekty-vus. Ta pati galima pasakyti ir apie fundamentaliaja analize, jei rinka pasižymi pusiau stipriaERH forma. Tai yra, naudojant strategija pagrista tik viešaja informacija, nera pagrindo tiketisnuolatinio didesnio nei vidutinio rinkos pelno. Na, o stiprios formos atveju nepades net ir viešaineskleistina informacija. Šios išvados taip pat iliustruoja visuomeneje vyraujancio mito, kadfinansu matematika gali padeti rasti b udus didinti pelna. Tikroji finansu mokslines visuomenespozicija yra priešinga, klaidinguma. Geriausiu atveju, ka galima daryti, tai ieškoti b udu kaipapsidrausti nuo galimu nuostoliu arba, kalbant finansu inžinerijos žargonu, konstruoti hedžinga(angl. hedging). Vienas iš ju yra gana paplites. Tai pasyvus investavimas bandant kurti tokiakciju portfeli, kuris imituotu rinka. Tai ir daro taip vadinami indeksu fondai.

Darbu susijusiu su empiriniu ir teoriniu ERH pagrindimu yra labai daug ir, be abejones, šisklausimas nera galutinai išsprestas. Keli momentai šia tema yra pamineti straipsnio pabaigo-je kalbant apie alternatyvias finansu teorijas.Cia atkreipsime demesi tik i viena pastebejima,minima daugelyje straipsniu (žr. pavyzdžiui Bowman ir Buchanan [17]). Dauguma finansurinkos teoretiku mano, kad rinkos yra efektyvios, o daugumos praktikuojanciu investuotoju po-zicija yra priešinga ERH nuostatai. Investuotojai geriausiu atveju sprendimus grindžia technineir/arba fundamentine analize, o neretai pasitelkia ir astrologija, psichologija, numerologija irpan. Iš kitos puses, mineti R. G. Bowman ir J. Buchanan mano, jog b utu idomu pabandyti at-sakyti i klausima: kodel galima manyti, kad finansu akademine visuomene tiki ERH net ir tuoatveju, kai ji gal b ut nera teisinga? Iš esmes panašu klausima nagrineja Frankfurter ir McGoun[34] tirdami ideologijos itaka finansu ekonomikos teorijai.

Tolesniuose skyreliuose apžvelgsime pagrindinius finansu matematikos teiginius bandyda-mi susieti juos su ERH, o tiksliau su jos pagrindiniu variantu teigianciu, kad efektyvioje rinkojearbitražas yra negalimas. Pradesime nuo svarbaus dalyko: matematinio modelio sampratos.

3 Finansu rinkos modelis: samprata ir pavyzdžiai

Finansu rinkos kontekste modelio savokai suteikiama konkreti prasme. B utent, finansu rinkosmodeliu vadiname matematine teorija, kurios elementai ir teiginiai interpretuojami imituojantrealias finansu rinkas. Vienas iš pagrindiniu skirtumu tarp abstrakcios matematines teorijos irfinansu rinkos modelio yra rezultatu vertinimo kriterijai. Matematine teorija dažniausiai yravertinama pagal savo vidine darna ir logika. Tuo tarpu finansu rinkos modeliui taikomi to-kie išoriniai vertinimo kriterijai kaip ekonomine intuicija (ekonomikos metodologija) ir atitiki-mas realiai tikrovei (ekonometrine analize). Šia prasme finansu rinkos modelis yra vadinamo-siosmotyvuotosios matematikospavyzdys – terminas, kuri vartojo J.-P. Aubin kalbedamas apiebendrosios ekonomines pusiausvyros teorija (žr. jo knygos [2] epiloga).

Akcijos kaina ir graža. Kitas labai svarbus matematikos vaidmuo yra jos, kaip kalbos, funk-cija. Matematinis samprotavimas skiriasi nuo nematematinio dar ir tuo, kad kalbos objektaisuvokiami vienareikšmiškai, remiantis tik tomis ju savybemis, kurios yra priskirtos pagal api-brežima. Pavyzdžiui, finansu teorijoje labai svarb us tokie realybes aspektai kaip ateities neapi-brežtis, laikas, atsitiktiniai ivykiai, akcijos kaina ir panašiai. Finansu rinkos modelyje, naudo-jant matematine tikimybiu teorija, šiems terminams suteikiama labai konkreti prasme. Tam, kadgaletume naudotis šia teorija privalomatarti, kad yra žinoma tikimybine erdve, t. y. aibe Ω irfunkcijaP apibrežta tam tikros šios aibes poaibiu klasejeF ir igyjanti reikšmes intervale[0, 1].Aibe Ω sudaro tiesiogiai su ekonominiu modeliu susije pasaulio ateities scenarijaiω, kartaistiesiog vadinami b usenomis. Kiekvienas šeimosF elementasA suprantamas kaip tokia atei-ties scenariju aibe, apie kuria galime pasakyti, kad ji ivyks su tikimybeP (A). Taigi tarus, kadmums yra žinoma tikimybine erdve (Ω,F , P ), akcijos kainos reikšme nat uraliai priklauso nuob usenosω ∈ Ω ir laiko. Laikas finansu teorijoje paprastai yra sutapatinamas arba su diskreciaaibeD = 0, 1, . . . , T arba su intervaluD = [0, T ]. Atitinkamos teorijos vadinamos diskre-taus arba tolydaus laiko finansu rinkos modeliu. Dažniausiai aibesD elementast = 0 žymi

dabarties laiko momenta, o bet kuris elementast > 0 priklauso ateiciai. Diskrecios laiko aibeselementus galima interpretuoti ivairiai, pavyzdžiui, tai gali b uti metai, menesiai ar valandos.

Toliau, akcijos kaina yra dvieju kintamuju funkcijaS = S(t, ω): (t, ω) ∈ D × Ω, kuriosreikšmes yra neneigiami real us skaiciai. Labai dažnai antrasis argumentasω praleidžiamastodel, kad teiginiai apieS(t) ≡ S(t, ω) paprastai nepriklauso nuo konkreciosω reikšmes. Tokiafunkcija vadinamaatsitiktiniu procesu, jei ivykis ω: S(t, ω) ∈ B priklauso šeimaiF sukiekvienu t ∈ D ir su kiekvienu tam tikros[0,∞) poaibiu klasesB elementuB. Ši savybereiškia, kad yra žinomos tokios klases ivykiu tikimybes. Toliau funkcijaS vadinsime akcijoskainos procesu, nepriklausomai nuo to, kuris modelis – diskretaus ar tolydaus laiko – turimasgalvoje.

Daugelyje finansu teorijos klausimu ekonomiškai labiau pagristais laikomi ne absoliut uskainos pokyciai bet santykiniai. Del šios priežasties, salygos finansu rinkos modeliams apibrež-ti išreiškiamos ne kainos, bet gražos terminais. Ji, priklausomai nuo konteksto, apibrežiamaskirtingai. Tarkime,S yra diskretaus laiko kainos procesas. Akcijosgražaarbagražos procesuvadinsime funkcijaR = R(t): t = 0, 1, . . . , T apibrežta taip:R(0) := 0 ir

R(t)−R(t− 1) :=S(t)− S(t− 1)

S(t− 1), t = 1, . . . , T. (2)

Cia tariama, kadS(t − 1) > 0 visiemst. Kadangi diskretaus laiko modeliuose laiko inter-valas yra fiksuotas ir lygus vienetui (jo interpretacija gali b uti skirtinga), tai dažnai skirtumuiR(t)−R(t− 1), vadinamamgražos norma(angl. rate of return), naudojamas žymejimasR(t).Tolydaus laiko modeliuose laiko intervalo ilgiai yra kintami ir todel toks pažymejimas, kuriameneatsispindi intervalo pradžia ir galas, nera geras. Dar viena gražos samprata naudojama eko-nometrineje analizeje, gaunama dešine (2) lygybes puse pakeitus funkcijalnS(t)/S(t− 1).

Taigi, žinant akcijos kainaS, gražaR nusakoma (2) formule. Ir atvirkšciai, žinant gražaR,iš tos pacios formules nesunku gauti kainos proceso išraiška:

S(t) = S(0)t∏

[1 + R(s)−R(s− 1)], t = 1, . . . , T, (3)

kurioje S(0) gali b uti laisvai pasirinktas teigiamas skaicius, pavyzdžiuiS(0) = 1, o pokytisR(t) − R(t − 1) > −1 su visaist. (2) ir (3) saryšiais nusakoma abipus vienareikšme atitiktistarpS ir R:

S(t) = S(0) +t∑

S(s− 1)[R(s)−R(s− 1)], t = 1, . . . , T.

Turedami akcijos kainos ir gražos matematine samprata, toliau galime konkreciau apib udintiviena kainos formavimosi mechanizmo varianta.

Sažiningojo lošimo rinka. Kaip ir anksciau, tarkime, kad žinoma tikimybine erdve(Ω,F , P ), apibrežianti finansu rinkos modeliui svarbius ateities scenarijus ir ju tikimybes. Taippat tarkime, kad visa laiko momentut prieinama rinkos informacija yra nusakoma aibeFt ⊂ F ,kuri sudaro vadinamajaσ-algebra, o šeimaF := Ft: t = 0, 1, . . . , T yra nemažejanti tokiu

σ-algebru seka, toliau vadinama informacijos srautu. Sakysime, kad akcijos gražos procesuiR galiojasažiningojo lošimo hipoteze(angl. fair game), jei su kiekvienut = 1, . . . , T teisingalygybe

R(t) = R(t− 1) + µ + ξt, (4)

kai µ yra realus skaicius, oξt – martingaliniu skirtumu seka atžvilgiu informacijos srautoF, t. y.E[ξt|Ft−1] = 0 su kiekvienut. Aišku, kad gražos procesuiR galioja sažiningojo lošimo hipo-teze, jei (4) salygojeξt yra nepriklausomi vienodai pasiskirste atsitiktiniai dydžiai su vidurkiu0 ir dispersijaσ2. Tuo atveju sakoma, kad gražos procesuiR galioja atsitiktinio klaidžiojimohipoteze.

Sažiningojo lošimo hipoteze papildo efektyviosios rinkos hipoteze ir abi kartu sudaro vienaiš galimu kainos formavimosi mechanizmu. Iš tikruju, tegulS yra akcijos kainos procesas, ojos gražos procesuiR galioja (4). Remdamiesi (2) gauname, kad su kiekvienut = 1, . . . , T ,

E[S(t)|Ft−1]

S(t− 1)− 1 = E[R(t)|Ft−1]−R(t− 1) = µ. (5)

Iš cia išplaukia, kad su kiekvienut = 1, . . . , T

S(t− 1) = E[S(t)|Ft−1]/(1 + µ). (6)

Taip apibrežtas kainos procesasS yra pusiausvyrines kainos proceso pavyzdys, kadangiS(t−1)„pilnai atspindi" visa rinkos informacija aprašoma aibeFt−1. Kartais (6) saryšis vadinamasanalitine ERH forma.

Remiantis analitine ERH forma, su papildomomis salygomis galima išvesti vertybinio po-pieriaus fundamentaliosios vertes formule. Tarkime, kad kainosS evoliucija nusakyta visiemst = 0, 1, . . ., o momentut išmokamu dividendu norma yraD(t), (paprastumo delei iki šioldividendai buvo laikomi akcijos kainos dalimi). Tokiu atveju akcijos gražaR = R(t): t =0, 1, . . . yra apibrežiama taip:R(0) := 0 ir

R(t)−R(t− 1) :=S(t)− S(t− 1) + D(t)

S(t− 1), t = 1, 2, . . . , (7)

cia tariama, kadS(t− 1) > 0 su visaist; o analitine ERH forma yra

S(t− 1) = E[S(t) + D(t)|Ft−1]/(1 + µ)

su kiekvienut = 1, 2, . . .. Naudodami ši saryšin kartu ir matematine rekursija gauname, kad

S(t− 1) =n∑

E[D(t + k − 1)|Ft−1]

(1 + µ)k+

E[S(t + n− 1)|Ft−1]

(1 + µ)n(8)

su bet kuriuon = 1, 2, . . . ir t = 1, 2, . . .. Dabar tarkime, kad galioja vadinamojitransversa-lumo salyga: (8) lygybes dešineje esantis narys arteja i nuli kai n neaprežtai auga. Tada, (8)lygybeje sun →∞ gauname, kad bet kuriamt = 1, 2, . . .,

S(t− 1) = E[ ∞∑

D(t + k − 1)

(1 + µ)k

∣∣∣Ft−1

]. (9)

Ši akcijos kainos dinamika, toliau žymimaS, yra vadinamafundamentaliaja verte(angl. fun-damental value). Jei akcijos kainaS atitinka fundamentaliaja verta, t. y. jeiS = S, tai nesunkupatikrinti, kad atitinkamam gražos procesui (7) galioja sažiningojo lošimo hipoteze. Tokiu b u-du fundamentalioji verte ir yra pusiausvyrine kaina, pagal ERH, „pilnai atspindinti" turimainformacija. Jei kaina skiriasi nuo savo fundamentaliosios vertes, tai sakoma, kad tokia akci-ja sukuriafinansini burbula(angl. financial bubble). Pagal tokia finansinio burbulo samprata,jis gali egzistuoti ir efektyviojoje rinkoje, nusakomoje analitine ERH forma (daugiau apie taikalbama paskutiniame šios apžvalgos skyriuje).

Ar teisinga, kad efektyvioje rinkoje gražos procesui galioja sažiningojo lošimo hipoteze?Teoriškai – atsakymas yra neigiamas. Taciau dar svarbiau yra empiriškai patikrinti sažiningojološimo hipoteze ar kuri nors atsitiktinio klaidžiojimo hipotezes varianta. Vargu ar suklysimepasakydami, kad ši problema, šalia efektyviosios rinkos hipotezes pagrindimo, yra viena išsvarbiausiu moderniojoje finansu rinkos teorijoje. Ji taip pat susijusi su kitu klausimu – arakcijos kainos yra numatomos? Jei taip, tai akcijos gražos procesui negali b uti teisinga sažinin-gojo lošimo hipoteze. Vienareikšmio atsakymo visais šiais klausimais vargu ar galima tiketis.Pacituosime tik vienos seniai šioje srityje dirbancios mokslininku grupes [58, p. 4] nuomone:„finansu rinkos tam tikru laipsniuyra numatomos, bet tai toli gražu nera rinkos neefektyvumoar iracionalumo požymis,...". Bendros nuomones šiuo klausimu tarp ekonomistu nera iki šiol.

Pastebesime, kad atsitiktiniai dydžiaiξt ir skaiciusµ sažiningojo lošimo hipotezes (4) api-brežime skirtingoms akcijoms gali b uti skirtingi. Toliau sakysime, kad rinka yrasažiningojološimo rinka, jei skaiciusµ visoms šios rinkos akcijoms yra vienodas. Tarkime, kad sažiningo-jo lošimo rinkoje yra akcija su gražos normaR0(t) = µ su kiekvienut, t. y. (4) salyga galioja kaiξt ≡ 0 su kiekvienut. Remiantis (3), tokios akcijos kainos procesas yraS0(t) := S0(0)(1 + µ)t

visiemst. Toks vertybinis popierius vadinamas nerizikingu. Tuo tarpu kainaS, apibrežta (6)lygybe, nusako rizikinga vertybini popieriu, nes jo gražaR yra atsitiktinis procesas. Taciau šiovertybinio popieriauslaukiamoji gražos norma(angl. expected rate of return)E[R(t)|Ft−1] lygikonstantaiµ su kiekvienut. Rinkos veikejas vadinamas neutraliu rizikai, jei investuodamas jisr upinasi tik laukiamosios gražos normos dydžiu, bet ne akcijos rizikingumu. Kadangi akcijuS0 ir S laukiamosios gražos normos sutampa, tai tokiam rinkos veikejui jos yra lygiavertes. Irbendrai, sažiningojo lošimo rinkoje rizikai neutraliems investuotojams nera prasmes investuotii rizikingas akcijas.

Kaip rodo (6) pavyzdys, sažiningojo lošimo rinkoje akcijos kaina neprivalo išpildyti mar-tingalo salygas, taciau bet kuri diskontuota kaina

S(t)/S0(t): t = 0, 1, . . . , T yra martingalas(Ω,F , P, F) atžvilgiu. (10)

Cia, kaip ir anksciau,S0(t) = S0(0)(1+µ)t. Iš tikruju, remiantis (6), su kiekvienut = 1, . . . , T ,teisinga

E(S(t)/(1 + µ)t

∣∣∣Ft−1

)= S(t− 1)/(1 + µ)t−1.

Tai ir reiškia, kad (10) galioja. Kitame skyriuje parodysime, kad sažiningojo lošimo rinka netik efektyvi, bet joje taip pat nera arbitražo galimybes.

Diskretaus laiko finansu rinkos modeliu nepakanka, kai reikia tiksliau modeliuoti greitaikintancias kainas. Mat, smulkejant intervalams, diskreciam modeliui pritaikytas matematinis

aparatas tampa per daug gremezdiškas. Tokiu atveju paprasta išeitis – naudoti abstraktesni ma-tematini aparata, kuris leistu nagrineti akciju kitimavisamelaiko intervale[0, T ]. Dar vienasdiskretaus laiko finansu rinkos modeliu tr ukumas yra aptartas skyrelyje apie finansu ekonomet-rija. Svarbiausi yra finansu teorijos teiginiai, kuriuos pavyksta irodyti toliau nagrinejamuosetolydaus laiko finansu rinkos modeliuose.

Tolydaus laiko modelis: geometrinis Wiener’io procesas. Tolydaus laiko atveju proble-mos prasideda jau tada, kai norime apibrežti tokius akcijos kainos ir gražos procesus, kuriepasižymetu anksciau minetomis savybemis bet kuriame intervalo[0, T ] skaidinyje0 = t0 <t1 < · · · < tn = T ir, pereinant nuo vieno skaidinio prie kito, tos savybes b utu tam tikrub udu suderintos. Toks savybiu suderinamumo reikalavimas atsispindi paciame Wiener’io pro-ceso apibrežime. Sakoma, kad tikimybineje erdveje (Ω,F , P ) apibrežtas atsitiktinis procesasW = W (t): t ≥ 0 yraWiener’ioprocesas (arba Brown’o judesys), jei

(i) W (0) = 0 ir visiems 0 ≤ s < t < ∞, W (t) − W (s) yra standartinis normalusisatsitiktinis dydis su vidurkiu 0 ir dispersijat− s;

(ii) pokyciai W (t1)−W (s1), . . . , W (tn)−W (sn) yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai betkuriems0 ≤ s1 < t1 ≤ . . . ≤ sn < tn < ∞;

(iii) proceso trajektorijosW (·, ω) yra tolydžiosios funkcijos beveik visiemsω ∈ Ω.

Klausimas ar toks procesas egzistuoja yra visiškai netrivialus. Matematiškai griežta jo egzistavi-ma pirma karta sugebejo irodyti N. Wiener2 (1923) [100]. Kaip jau minejome antrame skyriuje,iš esmes panašia matematine konstrukcija naudojosi L. Bachelier savo 1900 metu darbe. Api-brežime išvardintos Wiener’io proceso savybes yra esmines – jos yra b utinos tam, kad apibrežtiatsitiktini procesa vieninteliu b udu. Iš šio apibrežimo išplaukia ir kitos savybes. Pavyzdžiui,Wiener’io proceso trajektorijos yra ne tik tolydžios, bet ir su kiekvienuα < 1/2 joms galiojavadinamojiα-Hölder’io savybe, t. y. beveik visiemsω ∈ Ω egzistuoja tokia baigtine konstantaK(α, ω), kad

|W (t, ω)−W (s, ω)| ≤ K(α, ω)|t− s|α

su visaist, s ≥ 0. Be to, ši savybe nera teisinga suα = 1/2.Toliau Wiener’io procesas bus naudojamas apibrežiant tolydaus laiko gražos ir kainos pro-

cesus. TegulW yra Wiener’io procesas,µ – realusis skaicius irσ > 0. Apibrežkime atsitiktiniprocesa

R(t) := µt + σW (t), 0 ≤ t ≤ T. (11)

Susiaurinus apibrežimo sriti, R(t): t = 0, 1, . . . , T yra diskretaus laiko gražos procesas.Tokiam gražos procesui teisinga atsitiktinio klaidžiojimo hipoteze, nes (4) lygybeje dydžiaiξt = σ[W (t)−W (t− 1)] yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai su vidurkiu0 ir dispersijaσ2.

Diskretaus laiko atveju kaina ir graža yra susietos (3) saryšiu. Ar toks saryšis gali b utiapibendrintas tolydaus laiko procesams yra toli gražu netrivialus klausimas. Atskiru atveju, jeiσ = 0, t. y. jei tolydaus laiko gražos procesas yraR(t) = R0(t) = µt, tai atitinkamas kainos

2Norbert Wiener (1894 – 1964) – amerikieciu matematikas

procesas finansu teorijoje apibrežiamas gerai žinomu b udu skaiciuojant tolydžiasias sudetinespal ukanas (angl. continuous compound interest). B utent, kiekvienam intervalo[0, T ] skaidiniuiiT/mm

i=0 suskaiciuojamos atitinkamos sudetines pal ukanos ir po to, perejus prie ribos kaim →∞, gaunama

S0(T ) := limm→∞

(1 + R0(iT/m)−R0((i− 1)T/m)) = limm→∞ (1 + µT/m)m = eµT . (12)

Nat uralu b utu ta pati skaiciavimo metoda taikyti ir kitoms gražoms. Deja, pastaroji riba galineegzistuoti arba gali b uti begaline, jei vietojeR0 yra laisvai pasirenkama funkcija. A.1 priedeparodyta, kad tolydžiasias sudetines pal ukanas galima „skaiciuoti" toms funkcijoms, kurios yratam tikra prasme nešiurkštesnes už Wiener’io proceso trajektorijas.

Tarkime, kad gražaR yra (11) lygybe apibrežtas atsitiktinis procesas. Tada, A.1 priedenagrineta (43) lygybe apibrežta kainaS taip pat yra atsitiktinis procesas ir

S(t) = expµt + σW (t)− (σ2/2)t, 0 ≤ t ≤ T. (13)

Šis atsitiktinis procesas vadinamasgeometriniu Wiener’io procesu, o jo apibrežimas apibend-rina tolydžiasias sudetines pal ukanas (12). A.1 priede pateikta šio proceso konstrukcija nerastandartine. Paprastai remiamasi stochastine analize, kurios kontekste (13) geometrinis Wie-ner’io procesas yra tiesines stochastines diferencialines lygties

dS(t) = S(t)(µdt + σdW (t)), S(0) = 1,

sprendinys, t. y. (45) lygties sprendinys, kai integralas yra Itô stochastinis integralas, oR api-brežtas (11) lygybe.

Tai, kad geometrinis Wiener’io procesas gali b uti gaunamas remiantis (43) lygybe, apibend-rinant tolydžiasias sudetines pal ukanas (12), yra salyginai paprastas argumentas, kuris nereika-lauja stochastines analizes žiniu ir pateisina jo sasaja su akciju kainos kitimo aprašymu. Mažiautikslus, bet istoriškai pirmas, argumentas remiasi jau minetu pastebejimu, kad investuotojamsyra svarbesni kainu santykiniai, o ne absoliutiniu reikšmiu pokyciai. Pavyzdžiui, Osborne [77]šia investuotoju savybe grinde psichologijoje žinomu Weber’io-Fechner’io desniu. Tam priešta-raves Samuelson [85, p. 14] šios savybes priežastis ižvelge tiek pacioje rinkoje, tiek ir tikimybiuskaiciavimo logikoje.

Alternatyv us gražos procesai. Akcijos kainos proceso aprašymui naudojamas geometrinisWiener’io procesas patogus teorinems išvadoms, taciau turi nemažai tr ukumu susijusiu su ati-tikimu realiai rinkai. Daugelio finansu teoretiku nuomone, tarp kuriu B. B. Mandelbrot yravienas iš pirmuju ir aktyviausiu jos reiškeju, pagrindines problemos yra susijusios su Wiener’ioproceso vienmacio marginalaus skirstinio uodegos lengvumu3, pokyciu nepriklausomumu irtrajektoriju tolydumu (žr. [63]). Per pastaruosius kelis dešimtmecius kainu modeliavimui buvo

3Atsitiktinio procesoX = X(t): t ≥ 0 vienmatis marginalusis skirstinys yra atsitiktinio dydžioX(t) skirs-tinys bet kuriamt ≥ 0. Atsitiktinio dydžioξ skirstiniouodegavadinama funkcijaf(u) := P (|ξ| ≥ u), u ≥ 0.Uodega yra lengva, pusiau sunki arba sunki, jei funkcijaf didelems argumento reikšmems elgiasi atitinkamai kaipfunkcija exp−u2, u±b exp−u arbau−a, kuriems nors0 < a, b < ∞.

išbandyti praktiškai visi žinomi atsitiktiniai procesai ir ju klases.Cia paminesime tik keleta al-ternatyviu atsitiktiniu procesu dažnai naudojamu vietoje Wiener’io proceso. Pirmasis iš ju yrasimetrinisα-stabilusis procesasXα = Xα(t): t ≥ 0, α ∈ (0, 2). Jo pokyciai yra nepriklau-somiα-stabil us atsitiktiniai dydžiai, vienmaciai marginalieji skirstiniai turi sunkias uodegas, otrajektorijos yra tr ukios. Tarkime, kad gražos procesas yra

R(t) := µt + Xα(t), 0 ≤ t ≤ T.

Kadangi su kiekvienup ∈ (α, 2), vp(Xα(·, ω); [0, T ]) < ∞ beveik visiemsω ∈ Ω, tolydine šioproceso kvadratinesλ-variacijos dalis[Xα(·, ω)]cλ ≡ 0 tiems patiemsω ∈ Ω. Todel remiantis(43), atitinkamas kainos procesas yra

S(t) = exp µt + Xα(t) ∏

(1 + ∆Xα)e−∆Xα , 0 ≤ t ≤ T.

Buve populiar us praejusio amžiaus septintajame ir aštuntajame dešimtmeciuose, simetriniaiα-stabilieji atsitiktiniai procesai šiais laikais yra gerokai reciau naudojami akciju gražoms mode-liuoti. Argumentuojama, kad ju uodegos per sunkios (neegzistuoja antras momentas), be to, jieneturi analizines tankio išraiškos, gal b ut yra ir kitos mažiau racionalios priežastys. Paskuti-niji dešimtmeti finansu matematikoje ir ekonometrijoje išpopuliarejo kelios kitos homogeniškuLévy procesu klases. Priminsime, kadLévy procesuvadinamas toks, nepriklausomus pokyciusturintis atsitiktinis procesasX = X(t): t ≥ 0, kurio trajektorijos yra tolydžios iš dešines,gali tureti tr ukius iš kaires irX(0) = 0. Lévy procesasX vadinamashomogenišku, jei pokycioX(t + s)−X(t), t, s ≥ 0, skirstinys nepriklauso nuot. Wiener’io procesas yra vienintelis ho-mogeniškas Lévy procesas, kurio trajektorijos yra tolydžios. Tarp minetuju populiariu procesušiuo metu yranormalusis atvirkštinis Gauss’oLévy procesas (žr. Barndorff-Nielsen [5]). Kitapotencialiai populiariu procesu klase, tinkama kainu dinamikai modeliuoti, gali taptiapibend-rintuju z-skirstiniuLévy procesai, apibrežti B. Grigelionio [39].

Kitokio tipo alternatyva Wiener’io procesui yra trupmeninis Brown’o judesysBH =BH(t): t ≥ 0, kurio Hurst’o rodiklis1/2 < H < 1. BH taip pat yra Gauss’o atsitiktinisprocesas su tolydžiomis trajektorijomis, taciau, skirtingai nuo Wiener’io proceso, jo pokyciaiyra priklausomi atsitiktiniai dydžiai. Tarkime, kad gražos procesas yra

R(t) := µt + BH(t), 0 ≤ t ≤ T.

Vel gi, kadangi su kiekvienup ∈ (1/H, 2), vp(BH(·, ω); [0, T ]) < ∞ beveik visiemsω ∈Ω, tolydine šio proceso kvadratinesλ-variacijos dalis yra nulis. Be to, kadangi šio procesotrajektorijos yra tolydžios funkcijos, remiantis (43), atitinkamas kainos procesas yra

S(t) = exp µt + BH(t), 0 ≤ t ≤ T.

Beje, jei procesoBH Hurst’o indeksasH ∈ (0, 1/2), tai jo kvadratine λ-variacija yra begalineir todel tai yra proceso, kuriam tolydžiu sudetiniu pal ukanu skaiciavimo metodas yra nepritai-komas, pavyzdys .

4 Finansu matematika

Arbitražo teorija. Svarbiausia šiuolaikines finansu matematikos dali sudaro teorija apie ar-bitraža, rizikai neutralu ikainojima ir finansiniu išmoku replikavima. Jos svarba lemia tai, kadšios trys savokos sieja efektyvios rinkos samprata, vertybiniu popieriu ikainojimo mechaniz-ma ir hedžingu grindžiama finansiniu instrumentu ikainojimo metoda. (Apie tokius finansiniusinstrumentus, kaip pasirenkamasis sandoris, ir ju ikainojima kalbama kitame skyrelyje.) Ši teo-rija kartais vadinamaarbitražo teorija, o jos gimimas yra siejamas su Harrison’o ir Kreps’o[40] bei Harrison’o ir Pliska [41] darbais.

Mineti trys arbitražo teorijos dalykai yra nusakomi matematinemis konstrukcijomis: bearbi-traže rinka, ekvivalentusis rizikai neutralus matas ir rinkos pilnumas. Ju konkretus apibrežimaspriklauso nuo finansu rinkos modelio. Arbitražo teorija turi daugiau ar mažiau užbaigta pavidalatik diskretaus laiko atveju –cia rinka yra bearbitraže tada ir tik tada, kai egzistuoja ekvivalen-tusis rizikai neutralus matas. Be to, bearbitraže rinka yra pilna tada ir tik tada, kai egzistuojavienintelis ekvivalentusis rizikai neutralus matas. Šie du teiginiai sudaro tai, kas yra vadinamapirmaja ir antraja fundamentaliomis vertybiu ikainojimo teoremomis. Tolydaus laiko finansurinkos modeliuose kol kas žinoma, kad šie teiginiai yra teisingi nepilnai ir šiek tiek modifikavusvisas tris minetas matematines konstrukcijas. Todel arbitražo teorija tolydaus laiko atveju visdar nepilna.

Pradžioje nagrinekime diskretaus laiko finansu rinkos modeli, t. y. tarkime, kad rinko-je kainos keiciasi tik laiko momentaist ∈ D := 0, 1, . . . , T. Šiuo atveju, su kiekvienuk ∈ 0, 1, . . . , d, akcijos kainaSk = Sk(t): t ∈ D ir investuotojo turimas jos kiekisψk = ψk(t): t ∈ D yra diskretaus laiko atsitiktiniai procesai, apibrežti tikimybineje erd-veje (Ω,F , P ) ir suderinti su informacijos srautuF = Ft: t ∈ D. Pora(S, P ), kuriojeS := (S0, S1, . . . , Sd), trumpiau vadinsimevertybiniu popieriu rinka. Akcija S0 laikoma neri-zikinga, jeiS0(t) yraFt−1-mati ir S0(t) > 0 su kiekvienut. Atsitiktinis dydisψk(t), nusakantisk-tosios akcijos kieki laikoma investuotojo periodu nuot−1 iki t, yraFt−1-matus su kiekvienut = 1, . . . , T , o ψk(1) ≡ ψk(0). Investavimostrategijavadinamas procesasψ = (ψ0, . . . , ψd),investuotojoportfeliu laiko momentut ∈ D vadinamas vektoriusψ(t) = (ψ0(t), . . . , ψd(t)),o investuotojo portfeliovertes procesuvadinamas atsitiktinis procesasV = V (t): t ∈ Dapibrežtas lygybe

V (t) :=d∑

ψk(t)Sk(t). (14)

Investuotojo strategijaψ vadinamafinansavimosistrategija, jei

V (t) = V (0) +d∑

ψk(s)[Sk(s)− Sk(s− 1)] (15)

su kiekvienut = 1, . . . , T . Šios savybes interpretacija sako, kad rinkoje nera papildomu finan-siniu šaltiniu, nera finansiniu lešu vartojimo, transakcijos nekainuoja, o portfelio vertes pokytispriklauso tik nuo akciju kainu pokyciu.

Sakysime, kad rinkoje(S, P ) arbitražas neegzistuoja, arba rinka(S, P ) yra bearbitraže, jeibet kuriai finansavimosi strategijaiψ ir ja atitinkanciam vertes procesuiV teisinga

V (0) = 0 ir V (T ) ≥ 0 beveik visada

V (T ) = 0 beveik visada

. (16)

Salyga „A beveik visada" reiškia, kadP (A) = 1. Tai ir yra anksciau mineto bearbitražes rinkostermino formalus apibrežimas diskretaus laiko finansu rinkos modelyje. Kaip jau minejomeskyrelio pradžioje, ši savoka siejama su ERH vertybiniu popieriu rinkoje.

Toliau paaiškinsime, ka reiškia „ekvivalentusis rizikai neutralus matas". Macios erdves(Ω,F) tikimybinis matasP ∗ vadinamasrizikai neutraliu matu, jei diskontuotas kainos procesasSk/S0 yra martingalas(Ω,F , P ∗, F) atžvilgiu. (10) rodo, kad sažiningojo lošimo rinkos matasP yra rizikai neutralus. Toks šio mato pavadinimas atspindi tai, kad rizikingos ir nerizikingosakciju laukiamuju gražu normos šio mato atžvilgiu yra lygios (plg. su (5) savybe sažiningojološimo rinkoje). Iš tikruju, remiantis gražos normos apibrežimu ir tuo, kadS0(t) yra Ft−1-matus, su kiekvienut = 1, . . . , T teisingos lygybes

E∗[Rk(t)|Ft−1] =S0(t)

Sk(t− 1)E∗

[Sk(t)

∣∣∣Ft−1

]− 1 = R0(t),

kurioseE∗ žymi vidurki matoP ∗ atžvilgiu. Ta pacia apibrežimo sriti turintys du tikimybiniaimatai vadinamiekvivalenciais, jei, be to, abu jie turi tas pacias nulinio mato aibes. Visu rizikaineutraliu matuP ∗, kurie yra ekvivalent us matuiP , šeima pažymekimeP(P ). Realaus pasauliomatoP keitimas kitu matuP ∗ gali atspindeti investuotojo polinki nerizikuoti, suteikiant didesnisvori nepageidaujamiems ivykiams ir mažesni svori pageidaujamiems ivykiams.

Pirmoji fundamentalioji vertybiu ikainojimo teorema: Vertybiniu popieriu rinka(S, P ) yrabearbitraže tada ir tik tada, kai šeimaP(P ) yra netušcia, t. y. egzistuoja bent vienas ekvivalen-tusis rizikai neutralus matasP ∗.

Mato keitimo technika seniai žinoma ir aktuarijams. Pavyzdžiui, tais atvejais, kai apskai-ciuojama gyvybes draudimo premija, reali mirtingumo lentele pakeiciama didesnio mirtingumolentele. Taciau reali mirtingumo lentele pakeiciama mažesnio mirtingumo lentele, kai apskai-ciuojama pensijos vienkartine išmoka.

Antroji arbitražo teorijos pagrindine teorema charakterizuoja tas bearbitražes rinkas(S, P ),kuriose visos finansines išmokos yra atkartojamos.Finansine išmoka(angl. contingent claim)ateities momentut = T vadinamas bet kurisFT -matus ir neneigiamas atsitiktinis dydis. Fi-nansine išmokaH yra atkartojama(arba replikuojama), jei egzistuoja finansavimosi strategijaψ, kuria atitinkancio portfelio verte momentut = T yra V (T ) = H. Atkartojamos finansinesišmokosH kaina dabarties momentut = 0 galetu b uti ja atkartojancio portfelioV kaina mo-mentut = 0, t. y. V (0). Jei, be to, rinka yra bearbitraže, tai bet kuri kita kaina sukurtu arbitražogalimybe ir todel H kainaV (0) vadinama sažiningaja kaina (apie tai placiau kalbama finansuinžinerijos skyrelyje). Del šios priežasties labai svarbi yra rinkos pilnumo savoka. Rinka(S, P )vadinamapilnaja, jeigu kiekviena finansine išmoka yra atkartojama.

Antroji fundamentalioji vertybiu ikainojimo teorema: Bearbitraže vertybiniu popieriu rinka(S, P ) yra pilna tada ir tik tada, kai šeimaP(P ) yra sudaryta iš vienintelio elemento.

Tolesnis arbitražo teorijos vystymasis susijes su bandymais fundamentaliasias vertybiu ikai-nojimo teoremas apibendrinti keliais aspektais. Vienas iš ju siekia atsisakyti tokiu suvaržanciusalygu, kaip nemokamos akciju pirkimo-pardavimo transakcijos. Šiuo atveju pirmoji funda-mentalioji vertybiu ikainojimo teorema nesenai buvo apibendrinta Schachermayer [86]. Kita

svarbi veiklos kryptis susijusi su darbais, siekianciais analogiškas teoremas irodyti tolydauslaiko atveju.

Tolydaus laiko finansu rinkos arbitražo teorija susiduria su problemomis, kurios neegzistuo-ja diskretaus laiko atveju. Treciame skyriuje apibreždami tolydaus laiko finansu rinkos modeliaptareme viena iš problemu – ka laikyti akcijos kaina ir graža. Kaip mateme, vienas iš reikala-vimu buvo, kad gražos ir kainos procesu trajektorijos turetu kvadratineλ-variacija (41). Taciaušiuolaikine tolydaus laiko arbitražo teorija vystosi remdamasi stipresnemis prielaidomis. Ne-sigilindami i technines detales, iliustruosime ekvivalentaus rizikai neutralaus mato ir rinkospilnumo savokasmatematiniu poži uriuidealiame tolydaus laiko finansu rinkos modelyje.

Tarkime, kad tolydaus laiko finansu rinka((S0, S1), P ) yra sudaryta iš nerizikingo vertybi-nio popieriausS0(t) = ert su tolydžiuju pal ukanu normar > 0 ir rizikingo vertybinio popie-riaus, kurio kainaS1 yra geometrinis Wiener’io procesas (13). Ar šioje rinkoje egzistuoja ekvi-valentusis rizikai neutralus matasP ∗, t. y. toks matas, kuris yra ekvivalentusP , o diskontuotaskainos procesasS∗ := S1/S0 yra martingalas(Ω,F , P ∗, F) atžvilgiu? Nesudetingi stochasti-nes analizes veiksmai itikina, kad kainos procesasS∗ yra vienintelis stochastines integralineslygties

S∗(t) = S∗(0) +∫ t

0S∗ dX, 0 ≤ t ≤ T, (17)

sprendinys.Cia X(t) = (µ − r)t + σW (t). Ši diskontuoto kainos proceso išraiška rodo, kadS∗ yra martingalas(Ω,F , P ∗, F) atžvilgiu tada ir tik tada, kaiX yra martingalas(Ω,F , P ∗, F)atžvilgiu. O taip yra tada ir tik tada, kaiµ = r, t. y. kai((S0, S1), P ) – sažiningojo lošimo rinka.

Toliau tarkime, kadµ 6= r. Kitas stochastines analizes faktas teigia, kad savo ruožtu subet kuriuo skaiciumi γ, atsitiktinis procesasW γ(t) := γt + W (t), 0 ≤ t ≤ T , yra Wiener’ioprocesas tikimybineje erdveje (Ω,F , P ∗) (o tuo paciu ir martingalas(Ω,F , P ∗, F) atžvilgiu),jei matasP ∗ nusakomas lygybe

P ∗(A) :=∫

Aexp − γW (T )− γ2T

2 dP, A ∈ F . (18)

Jei γ := (µ − r)/σ, tai X(t) = (µ − r)t + σW (t) = σW γ(t). Remiantis šiaX išraiškair (17) formule, diskontuotas kainos procesasS∗ yra martingalas(Ω,F , P ∗, F) atžvilgiu. Beto, kadangi (18) lygybeje pointegrine funkcija niekur nevirsta nuliumi, mataiP ir P ∗ yra ek-vivalent us. Tai reiškia, kad((S0, S1), P ) rinkoje egzistuoja bent vienas ekvivalentusis rizikaineutralus matasP ∗.

Dabar aptarsime((S0, S1), P ) rinkos pilnuma ir kaip ši savybe leidžia ikainoti išvestiniusvertybinius popierius. Kaip ir diskretaus laiko atveju, rinka yra pilna, jei kiekviena finansineišmokaH yra atkartojama, t. y. egzistuoja tokia finansavimosi strategijaψ, kadV (T ) = H.Cia reiktu dar patikslinti, ka vadiname finansavimosi strategija. Ankstesnis (15) apibrežimasgali atrodyti per daug suvaržantis tolydaus laiko atveju, nes portfelio prieaugis vertinamas tikfiksuotais laiko momentais. Paprastai finansavimosi strategija tolydaus laiko atveju apibrežiamaportfelio prieaugi vertinant Itô stochastiniu integralu∫T

0 ψk dSk (su salyga, kad jis egzistuoja sukiekvienuk). Šiuo atveju, ankstesne strategijos finansavimosi salyga (15), galime pakeisti naujasalyga:

V (t) = V (0) +d∑

0ψk dSk,

su kiekvienu0 ≤ t ≤ T ; cia portfelio vertes procesasV = V (t): 0 ≤ t ≤ T apibrežtas, kaipir anksciau, (14) lygybe. Nagrinekime finansine išmokaH, turincia išraiška

H = S0(T )[H0 +

0αH dS∗

], (19)

su kuriuo nors atsitiktiniu procesuαH ir konstantaH0; cia, kaip ir anksciau, S∗ = S1/S0

yra diskontuotas kainos procesas. Kitame skyrelyje nagrinejamas konkretus tokios finansinesišmokos pavyzdys. Parodysime, kadH yra atkartojama, t. y. egzistuoja tokia finansavimosistrategijaψ, kadV (T ) = H, ir suskaiciuosimeH pradine kainaV (0). Apibrežkime atsitiktiniusprocesusψ1 := αH ir ψ0(t) := H0 − ∫ t

0 αH dS∗ − (αHS∗)(t), 0 ≤ t ≤ T . Kadangi egzistuojaItô stochastiniai integralai∫T

0 ψk dSk, k = 0, 1, tai ψ = (ψ0, ψ1) yra finansavimosi strategija ir,be to, ja atitinkancio portfelio verte laiko momentut = T yraV (T ) = H. Remiantis [41, 3.24teiginiu], ψ yra finansavimosi strategija, kadangi

V ∗(t) := ψ0(t) + ψ1(t)S∗(t) = V ∗(0) +

0ψ1 dS∗

su kiekvienu0 ≤ t ≤ T . Taigi, (19) finansine išmoka yra atkartojama. Anksciau parode-me, kad diskontuotas kainos procesasS∗ yra martingalas(Ω,F , P ∗, F) atžvilgiu, kai P ∗ yraekvivalentusis rizikai neutralus matas apibrežtas (18) lygybe. Todel su kiekvienu0 ≤ t ≤ T

E∗[ H

S0(T )

∣∣∣Ft

]= E∗[V ∗(T )|Ft] = V ∗(0) +

0αH dS∗ = V ∗(t) =

S0(t); (20)

cia E∗ – vidurkis atžvilgiuP ∗. Atskiru atveju, kait = 0, gauname pradine kainaV (0) =E∗[H/S0(T )] = H0. Tai, kad kiekviena finansine išmoka užrašoma (19) išraiška, yra darvienas stochastines analizes faktas, kuriuo remiantis rinka((S0, S1), P ) yra pilna.

Ši iliustracija rodo, kad matematiniu poži uriu idealiame modelyje problemu nera. Jos atsi-randa tada, kai norima idealu modeli pakeisti bent kiek realesniu. Taigi, kyla klausimas kokiaitolydaus laiko finansu rinkos modeliu klasei vis dar galima irodyti pirmosios ir antrosios funda-mentaliuju vertybiu ikainojimo teoremu analogus. Pasirodo, kad tokie apibendrinimai imanomi,taciau keiciant arbitražo (žr. Delbaen ir Schachermayer [26]) ir pilnumo savokas (žr. Battig irJarrow [7]).

Portfelio teorija. Vertybiniu popieriu rinkos portfelio problema kyla tada, kai bandoma nu-spresti kokias ir kiek akciju laikyti portfelyje siekiant maksimizuoti savo turta ir vartojima. Pri-klausomai nuo rinkos modelio ir prielaidu, yra keletas portfelio problemos sprendimo variantu.Šiuo metu bene daugiausia demesio skiriama optimalios investavimo ir vartojimo strategijospaieškai tolydaus laiko finansu rinkos modelio kontekste.

Portfelio teorijos gimimo data galima laikyti 1952 metus kai H. Markowitz [65] publikavovadinamaja efektyviojo portfelio teorija. Naudojantis ankstesnio skyrelio terminologija, Mar-kowitz nagrinejo diskretaus laiko finansu rinkos modeli, kuriameT = 1, t.y. vieno periodo(statini) finansu rinkos modeli. Šiame modelyje tarsime, kad kiekvienos akcijos ateities kai-na ir tuo paciu gražaRk := Rk(1), k = 0, 1, . . . , d, yra atsitiktiniai dydžiai turintys vidurkiEk := ERk ir dispersijaDk := DRk = E[Rk − Ek]

2. (KadangiRk(0) = 0, šiuo atveju

gražaRk sutampa su gražos normaRk(1).) Jei tarp visu investuotojo turimu akciju,k-tosiosakcijos dalis yrawk ∈ [0, 1], tai

∑dk=0 wk = 1 ir investuotojoportfeliu vadinamas vektorius

w := (w0, . . . , wd). (Arbitražo teorijoje portfeliu laiko momentut = 0 yra vadinamas vektorius(wkV (0)/Sk(0)) (plg. su (14)).) Portfeliow graža yraR(w) :=

∑dk=0 wkRk. Markowitz’o teori-

jos esme yra ta, kad sudarant optimalu portfeliw b utina atsižvelgti i ji sudaranciu akciju gražukintamuma ir tarpusavio saveika, o šiems faktoriams kiekybiškai vertinti galima naudoti atitin-kamai dispersijasDk ir kovariacijas Cov(Rk, Rl) := E[Rk−Ek][Rl−El]. Optimalaus portfelio(vadinamo efektyviuoju portfeliu) parinkimo problema Markowitz formulavo kaip matematinioptimizavimo uždavini: minimizuojama portfelio gražos dispersijaDR(w) su fiksuotu vidurkiuER(w), t. y. ieškomas toks portfelisw, kuriam pasiekiamas minimumas

minwDR(w): ER(w) = v, wk ≥ 0,

wk = 1. (21)

Šis uždavinys iš esmes ekvivalentus portfelio gražos vidurkioER(w) maksimizavimo uždavi-niui, kai fiksuota dispersijaDR(w). Jei galioja tam tikra neišsigimimo salyga siejantiEk irDk reikšmes, tai šis uždavinys yra išsprendžiamas, o sprendiniai sudaro efektyviuju portfeliuaibeF := w(v): v ≥ 0. Už ši darba H. M. Markowitz’ui buvo paskirta 1990 metu Nobelioekonomikos premija.

Efektyviuju portfeliu optimalumas nera vienintele idomi ju savybe. Suformuluosavime darviena svarbia ju savybe. Tegul tarp rinkos akciju yra vienas nerizikingas vertybinis popierius,kurio gražos norma yraµ. Tarkime, kadR(p) yra efektyviojo portfeliop ∈ F graža, oR(w) yrabet kurio portfeliow graža. Tada, remiantis geometriniais argumentais, galima parodyti, kad

ER(w) − µ =Cov(R(w), R(p))

(ER(p) − µ). (22)

Svarbiausias šioje lygybeje yra daugiklisβ(R(w), R(p)) := Cov(R(w), R(p))/DR(p), vadinamasbeta koeficientu, kuri galima interpretuoti kaipw portfelio rizika ažvilgiu p portfelio. Tokiuatveju (22) lygybes kairioji puse reiškiapremija už rizikaatžvilgiu p portfelio, nesw portfeliograža dideja didejant beta koeficientui ir atvirkšciai.

(22) saryši galima interpretuoti ir kaip vertybiniu popieriu kainos formavimosi mechaniz-ma. Tarkime, kad visu rinkoje esanciu k-tosios akcijos visumine kaina yraMk. PažymekimeM :=

∑dk=0 Mk ir mk := Mk/M . Vektoriu m := (m0, . . . , md) vadinsime rinkos portfeliu.

TadaR(m) =∑d

k=0 mkRk yra rinkos graža. Parodysime, kad, tam tikru b udu apibrežus rinkospusiausvyra, rinkos portfelis tampa efektyviu. Tuomet jam galesime pritaikyti (22) saryši sup = m.

Tarsime, kadM yra rinkos pasi ula. Suformuoti paklausai tarkime, kad rinkoje yraI in-vestuotojui = 1, . . . , I ir visi jie „tiki" tuo paciu tikimybiniu matuP . Tai reiškia, kad visijie konstruoja ta pacia efektyviuju portfeliu aibeF . Investuotojai gali skolintis vienas iš kitosu pal ukanu normaµ. tai ekvivalentu tam, kad rinkoje yra dar vienas nerizikingas vertybinispopierius su šia pal ukanu norma, nekeiciantis rinkos pasi ulos dydžioM . Taip pat tarkime, kadi-tojo investuotojo gražaei > µ atitinkantis efektyvusis portfelis yraw(ei) = wk(ei), o Wi

yra jo investicijos dydis. Tadak-tosios akcijos visumine paklausa yraPk :=∑I

i=1 wk(ei)Wi.

PažymekimeW :=∑I

i=1 Wi =∑d

k=0 Pk. Tadak-tosios akcijos santykine dalis visumineje pa-klausoje yraδk := Pk/W . Kadangi efektyviu portfeliu aibe F yra iškila, visumines paklausosportfelis

δ := δkdk=0 =

wk(ei)Wi/Wd

k=0= w

( I∑

eiWi/W)

taip pat yra efektyvus ir∑I

i=1 eiWi/W > µ. Sakysime, kad rinka yra pusiausvyroje, jeiMk =Dk su kiekvienuk = 1, . . . , d, t.y. kiekvienos akcijos pasi ula lygi jos paklausai. Jei rinka yrapusiausvyroje, tai portfeliaim ir δ sutampa.m yra efektyvusis portfelis, kadangi toks yraδ.Todel, remiantis (22),k-tosios akcijos gražos vidurkis yra

ERk = µ + β(Rk, R(m))(ER(m) − µ). (23)

Gautas saryšis susieja akcijos laukiamaja gražaERk su nerizikingo vertybinio popieriaus gražaµ ir šios akcijos rizikaβ(Rk, R(m)). Šis saryšis ir yra akcijos kainos formavimosi pavyzdysvadinamaskapitalo vertybiu ikainojimo modeliu(angl. Capital Asset Pricing Model), o jo pra-dininkais yra Sharpe [87], Lintner [57] ir Mossin [70]. Už ši darba W. F. Sharpe (kartu su H. M.Markowitz ir M. H. Miller) buvo paskirta 1990 metu Nobelio ekonomikos premija. (23) saryšigalima palyginti su sažiningojo lošimo hipoteze (4) iš kurios išplaukia lygybe ERk = µ, t. y.sažiningasis lošimas yra kapitalo vertybiu ikainojimo modelio atskiras atvejis, kai akcijos rizikaβ(Rk, R(m)) yra nulis.

Šiuolaikineje portfelio teorijoje be portfelio gražos dispersijos minimizavimo (ar vidurkiomaksimizavimo) taip pat sprendžiamas investuotojo turto (ir vartojimo) maksimizavimo užda-vinys remiantis naudingumo funkcija. Parodysime kaip šie uždaviniai siejasi vienas su kituvieno periodo finansu rinkos modelio kontekste. Sakykime, kadψk yra investuotojo turimosk-tosios akcijos kiekis su kiekvienuk ∈ 0, 1, . . . , d, o V (t) investuotojo turimas visasturtas(angl. wealth) laiko momentaist ∈ 0, 1 (tas pats, kas arbitražo teorijoje vadinama portfelioverte). Tada vektoriusψ = (ψ0, . . . , ψd) vadinamas investuotojostrategija,

V (t) =d∑

ψkSk(t) ir wk = ψkSk(0)/V (0).

Remiantis gražos apibrežimu (2), gauname

R(w) =d∑

wkRk =d∑

ψkSk(0)

V (0)· Sk(1)

Sk(0)−

wk =V (1)

V (0)− 1,

arbaV (1) = V (0)[1+R(w)]. Naudojantis šiuo saryšiu galima patikrinti, kad (21) optimizavimouždavinys yra ekvivalentus tokiai optimizavimo problemai: duotamx > 0, rasti tokia strategijaψ, kuri realizuoja minimuma

min DV (1): EV (1) = x(1 + v), V (0) = x.TegulU(y) := −(1/2)y2 + λy bet kuriems realiems skaiciamsy. Naudojantis Lagrange’o dau-gikliu metodu, galima parodyti, kad pastarasis minimizavimo uždavinys tampa maksimizavimouždaviniu: duotamx > 0, rasti rasti tokia strategijaψ, kuri realizuoja maksimuma

max EU(V (1)): V (0) = x.

Tai ir yra kita portfelio problemos forma, formuluojama ivairiems naudingumo funkcijosUpavidalams ir kuriai spresti yra naudojama šio skyriaus pirmojoje dalyje aptariama arbitražoteorija. Gana išsamia portfelio teorijos apžvalga, skirta diskretaus laiko finansu rinkos mode-liams, galima rasti [93] darbe.

Toliau suformuluosime portfelio problema tolydaus laiko finansu rinkos modeliui, t. y.kai kainos gali kisti bet kuriuo laiko momentut ∈ D := [0, T ]. Šiuo atveju, su kiekvie-nu k ∈ 0, 1, . . . , d akcijos kainaSk = Sk(t): t ∈ D ir investuotojo turimas jos kiekisψk = ψk(t): t ∈ D yra atsitiktiniai procesai, apibrežti tikimybineje erdveje(Ω,F , P ) ir su-derinti su informacijos srautuF = Ft: t ∈ D. Paprastai tariama, kadSk ir ψk yra tokie proce-sai, kuriems turi prasme Itô stochastinis integralas∫T

0 ψk dSk. Investuotojostrategijavadinamasvektoriusψ = (ψ0, ψ1, . . . , ψd), o investuotojoturto procesu– procesasV = V (t): t ∈ Dapibrežtas (14) lygybe.Vartojimo procesuvadinsime bet kuri neneigiama ir Lebesgue prasmeintegruojama procesac = c(t): t ∈ D. Strategijaψ vadinamafinansavimosistrategija, jei

V (t) = V (0) +d∑

0ψk dSk −

0c(s) ds (24)

su kiekvienut ∈ D. Ši investuotojo strategijosψ savybe reiškia jog turto pokytisV (t) −V (s) priklauso tik nuo pajamu, gautu prekiaujant akcijomis rinkos viduje, ir vartojimo dydžiolaikotarpyje nuos iki t. Kai nera vartojimo, t. y.c ≡ 0, finansavimosi strategijos savoka sutampasu šia savoka arbitražo teorijoje.

Investuotoja domina tokia finansavimosi strategijaψ ir toks vartojimo procesasc, kuriemaksimizuoja funkcija

J(x; ψ, c) := E

[∫ T

0U1(t, c(t)) dt + U2(V (T ))

esant duotoms naudingumo funkcijomsU1, U2 ir duotai pradinei turto verteiV (0) = x. Te-gul A(x) yra aibe tokiu finansavimosi strategijos ir vartojimo proceso poru(ψ, c), kurioms šifunkcija yra apibrežta ir baigtine. Taigi, investuotojo, turincio pradini kapitalax > 0, portfelioproblemayra optimizavimo uždavinys:

max J(x; ψ, c): (ψ, c) ∈ A(x).

Paprastai išskiriami du pagrindiniai šio uždavinio sprendimo metodai. Pirmasis grindžiamasstochastinio valdymo teorija. Optimalus sprendinys gaunamas išsprendus netiesine lygti dali-nemis išvestinemis, vadinama Hamilton’o–Jacobi–Bellman’o lygtimi. Merton [66] irode, kadportfelio problema išsprendžiama šiuo metodu ir be to turi išreikštini pavidala tuo atveju, kaid = 1, S0 yra tolydžiosios sudetines pal ukanos,S1 – geometrinis Wiener’io procesas, oU1, U2

– specialaus pavidalo naudingumo funkcijos. Bent kiek bendresniu atveju Hamilton’o–Jacobi–Bellman’o lygti sunku išspresti net ir skaitiniais metodais. Antrasis portfelio problemos spren-dimo metodas yra pagristas stochastine analize. Pastarasis metodas leidžia nagrineti ir išsprestioptimizavimo uždavini šiek tiek bendresniais atvejais.

5 Finansu inžinerija

Tarkime, kad rizikingas vertybinis popierius (akcija, portfelis, valiutu kursas,...) aprašomas at-sitiktiniu procesuS = S(t): 0 ≤ t ≤ T apibrežtu tikimybineje erdveje(Ω,F , P ). Dabartieslaiko momentut = 0, šio vertybinio popieriaus kainaS(T ) ateities momentut = T yra nežino-ma, nes priklauso nuo dabar nežinomo ateities scenarijausω ∈ Ω. Ši nežinomybe sukuria tai,kas vadinamarizika. Norint sumažinti šia rizika, galima bandyti nusipirkti finansini instrumentavadinama pasirenkamuoju sandoriu (angl. option).

Nagrinekime, pavyzdžiui, pirkimo pasirenkamaji sandori (angl. call option). Šis sandorissuteikia teise pirkti vertybini popieriuS laiko mometut = T už iš anksto sutarta ivykdymokainaK. Tai reiškia, kad sandorio išmoka laiko momentut = T yra

H(ω) := [S(T, ω)−K]+ := maxS(T, ω)−K, 0, ω ∈ Ω. (25)

Klausimas: kokia yra šio sandoriosažiningoji kaina(angl. fair price) pradiniu momentut = 0,kai jo išmokaH yra nežinoma? Pažymekime šia kainaV .

Iki 1973 metu, kada pasirode fundamental us Black ir Scholes [12] ir Merton [67] straipsniai,visuotinai priimtino atsakymo i ši klausima nebuvo. Klasikiniu aktuariju poži uriu, nat uralusatsakymas i ši klausima, kuris galejo b uti žinomas dar Chr. Huygens’o (1657) ir J. Bernoulli(1713) laikais, yra toks: sažininga kaina yra atsitiktinio dydžioH vidurkis tikimybinio matoPatžvilgiu, tai yra

V = EH =∫

ΩH(ω) P (dω).

Jei šis atsakymas patenkina, tai belieka viena „smulkmena" – pasirinktiS tikimybini skirstini.Jau minejome, kad 1900 metais L. Bachelier pasi ule akcijos kainaS modeliuoti tuo, kas da-bar vadinama Wiener’io procesu (žr. (1)), ir tokiu b udu ženge dideli žingsni i prieki jau ilgusamžius trunkancioje sažiningosios sandorio kainos paieškoje. Po penkiu metu, visiškai nežino-damas apie L. Bachelier darba, A. Einstein’as sugalvojo iš esmes ta pacia matematine konst-rukcija, kurios pagalba jis sugebejo ivertinti daleles judejimo tam tikra trajektorija tikimybe.Šis Einstein’o darbas buvo paminetas kartu su jo sukurtomis reliatyvumo ir kvantine teorijomis,suteikiant jam Nobelio fizikos premija. Deja, Bachelier negavo aukšciausio ivertinimo netgi užsavo disertacija. Apie to meto Bachelier mokslinio darbo aplinkybes žr. [96].

Moderniosios finansu rinkos teorijos poži uriu, standartinis akcijos kainosS pasirinkimasyra geometrinis Wiener’io procesas (13), t. y.

S(t) = S(0) expσW (t) + (µ− 1

2σ2)t, 0 ≤ t ≤ T. (26)

Istate šiaS(T ) išraiška iH ir suskaiciave vidurkiEH, gautume Huygens’o–Bernoulli kaina.Taciau Black ir Scholes [12] 1973 metais pasi ule visiškai kitoki atsakyma i klausima apie saži-ningaja kaina – tikimybini mataP reikia pakeisti tokiu tikimybiniu matuP ∗, kad(Ω,F , P ∗, F)atžvilgiuS taptu martingalu. Tada išmokosH sažiningoji kaina yra

V = E∗H =∫

ΩH(ω) P ∗(dω).

Jei, be to, rinkoje yra nerizikingas vertybinis popierius su tolydžiuju sudetiniu pal ukanu normar, tai sažiningoji kaina yra

V = E∗H e−rT = S(0)Φ(d)−Ke−rT Φ(d− σ√

T ); (27)

ciaΦ yra standartinis normalus skirstinys, t. y. su kiekvienux ∈ R

Φ(x) =1√2π

−∞e−u2/2 du, o d =

ln(S(0)/K) + (r + σ2/2)T

Kodel reiketu tiketi, kad ši kaina yra sažiningesne nei Huygens’o–Bernoulli kaina?Tam yra dvi priežastys. Pirma, bet kuri kaina, besiskirianti nuo Black’o–Scholes’o kainos,

sukuria arbitražo galimybe arba sandorio pirkejui, arba pardavejui. Turint galvoje anksciaupateikta arbitražo apibrežima, ši galimybe išplaukia iš to, kad be kainos ivertinimo, Black irScholes sukonstruoja finansavimosi portfelio strategija, leidžiancia sandorio pardavejui bet ku-riuo atveju sukaupti b utina sandorio išmokai pinigu suma be papildomu tam išlaidu. Pastarojiaplinkybe taip pat mažina rizika, susijusia su sandorio kaina. Apsauga nuo tokios rizikos va-dinamahedžinguir yra antroji priežastis del ko Black’o–Scholes’o kaina yra sažiningesne, neiHuygens’o–Bernoulli kaina.

Esmine itaka Black’o ir Scholes’o sažiningosios kainos problemos sprendimui turejo 1958metais publikuotas F. Modigliani ir M. Miller’io darbas [69]. Jame autoriai efektingai pasinau-dojo arbitražo argumentu irodydami teigini, kuris prieštaravo iki tol dominavusiam poži uriui,kad firmos verte priklauso nuo kapitalo strukt uros ir dividendu politikos. Black ir Scholes pa-našiai pasinaudojo arbitražo argumentu parodydami, kad vertybinio popieriausS laukiamosiosgražos normaµ nesvarbi sandorio kainos dydžiui. Tai ir sudare pagrindini ju gauto rezultatoskirtuma nuo iki tol žinomu rezultatu.

Black’o–Scholes’o formule. Sažiningoji pirkimo pasirenkamojo sandorio kaina (27) vadina-maBlack’o–Scholes’o formule. M. P. Kritzman’as savo knygoje [52, pusl. 99] rašo: „Black’o–Scholes’o formules atradimas reiške ne tik intelektualine pergale prieš sunkia problema. Taireiške ir gilesni ekonomikos suvokima, sukuriant analitinius finansiniu išmoku ikainojimo me-todus, bei iš pagrindu pakeiciant rizikos administravimo praktika ir finansine inžinerija." Kita-me puslapyje Kritzman taip pat rašo: „...be jokios abejones, [Black’o–Scholes’o formule] yravienas reikšmingiausiu pasiekimu ekonomikos istorijoje." Šis atradimas nebuvo nepastebetasir Nobelio premijos atrankos komiteto. 1997 metu spalio menesi, komitetas Nobelio premi-ja apdovanojo R. Merton’a ir M. Scholes’a už nauja išvestiniu vertybiniu popieriu ikainojimometoda. Nors Nobelio premija ir nera suteikiama po mirties, atrankos komitetas nukrypo nuotradicijos ir tiesiogiai pažymejo F. Black’o indeli sprendžiant pasirenkamuju sandoriu ikainoji-mo problema.

A.2 priede pateiktas Black’o–Scholes’o–Merton’o formules irodymas galioja esant išpildy-toms šioms salygoms:

• rizikingos akcijosS1 = S kainos kitimas yra nusakomas specialaus pavidalo atsitiktiniuprocesu (26), be to, kintamumasσ yra žinomas ir pastovus visa laikotarpi[0, T ];

• nerizikingo vertybinio popieriausS0 pal ukanu normar yra žinoma ir pastovi visa laiko-tarpi [0, T ];

• akcijaS1 = S nemoka dividendu, o transakcijos yra nemokamos;

• galima laisvai skolintis arba skolinti bet kuri akcijosS1 = S kieki.

Kas atsitiks, jei bent viena iš šiu salygu nera išpildyta? Pavyzdžiui, jei kiekvienos transakcijoskaina yra teigiama, tai, kadangi akcijos kainaS ir tuo paciu strategija(α, β) kinta be galo dažnai,atrodytu, kad tokio hedžingo reali kaina turetu b uti begaline. Šis ir kiti panaš us klausimaistimuliavo aktyvia veikla, ieškant Black’o–Scholes’o formules apibendrinimu.

Vienu tokios veiklos rezultatu tapo arbitražo teorija, pagal kuria sandorio ikainojimas grin-džiamas pradinio tikimybinio matoP keitimu jam ekvivalenciu ir rizikai neutraliu tikimybiniumatuP ∗. Remiantis (20) sut = 0, V = E∗[H/S0(T )] = H0, kaiH0 yra apibrežtas (19) lygybe.Ar H0 reikšme sutampa su (27) Black’o–Scholes’o formules dešiniaja puse? Norint atsakyti iši klausima, tereikia gauti (19) išraiška tuo atveju, kaiH apibrežtas (25) lygybe.

Apibrežkime funkcijaf lygybe f(x) := [x − K/S0(T )]+, kai x realusis skaicius. Tadafinansine išmoka (25) igyja pavidala:

H = S0(T )f(S∗(T ));

ciaS∗ = S1/S0 = S/S0 yra diskontuotas kainos procesas. MatoP ∗ atžvilgiu,S∗ yra difuzinisprocesas su atitinkamu generatoriumiL∗. Tarkime, kadh = h(x, t) yra Cauchy problemos

(L∗ +

)h = 0, h(·, T ) = f,

sprendinys. Remdamiesi Itô formule, sprendiniuih gauname saryši

h(S∗(t), t) = h(S∗(0), 0) +∫ t

∂x(S∗(s), s) dS∗(s),

kai 0 ≤ t ≤ T . Taigi, (19) lygybe teisinga, kaiαH(s) = (∂h/∂x)(S∗(s), s) ir H0 =h(S∗(0), 0). Naudodamiesi Feynman’o–Kac’o sprendinio išraiška, gauname

h(x, t) =1√2π

∫ +∞

−∞f

(xeσu

√T−t−σ2(T−t)/2

)e−u2/2 du

= xΦ( ln(x/K) + rT + σ2(T − t)/2

T − t

)−Ke−rT Φ

( ln(x/K) + rT − σ2(T − t)/2

T − t

Dabar jau nesunku matyti, kadH0 reikšme sutampa su (27) Black–Scholes formules dešiniajapuse, nesS∗(0) = S(0).

Kitos finansu inžinerijos tyrimu kryptys. Pirmiausia reiktu pastebeti, kad (25) sandorioišmoka yra tik viena iš daugelio galimu. Visiškai panašiai galima ikainoti pardavimo pasirenka-maji sandori su išmokaH = [K − S(T )]+. Šie pirkimo ir pardavimo pasirenkamieji sandoriaidar vadinami europietiškaisiais pasirenkamaisiais sandoriais. Gerokai sudetingesnis ikainoji-mo metodas reikalingas tuo atveju kai rizikai mažinti naudojamas vadinamasis amerikietiškasispasirenkamasis sandoris. Šis sandoris skiriasi nuo europietiškojo tuo, kad jo savininkas igy-ja teise pirkti (parduoti) vertybini popieriuS už kainaK bet kuriuo momentu nuot = 0 ikit = T . Europietiškasis ir amerikietiškasis sandoriai gali tureti skirtinga kaina. Kitokios r ušieskomplikacijos iškyla tais atvejais kai išmoka yra sudetingesne nei paprasta maksimumo funkci-ja. Tokiu pavyzdžiu gali b uti vadinamasis vidurkinis arba azijietiškasis sandoris, kurio išmokayra

H =[ 1

0S(s) ds−K

Svarbia finansu inžinerijos tyrimu krypti sudaro darbai, kuriuose siekiama vertybinio po-pieriaus kainosS dinamika, nusakoma (26) geometriniu Wiener’io procesu, pakeisti kitu, kiekgalima bendresniu atsitiktiniu procesu. Pavyzdžiui, gerokai bendresne kainos dinamika aprašostochastine integraline lygtis

S(t) = S(0) +∫ t

0S(u)d

( ∫ u

0µ(s) ds +

0σ dW

), 0 ≤ t ≤ T,

kai µ = µ(t): 0 ≤ t ≤ T ir σ = σ(t): 0 ≤ t ≤ T yra atsitiktiniai procesai, su kuriaisegzistuoja vienintelis šios lygties sprendinys

S(t) = S(0) exp ∫ t

(µ(s)− σ2(s)

0σ dW

. (28)

Papildomai yra reikalaujama, kad atsitiktinis procesasσ, vadinamaskintamumo funkcija, b utugriežtai teigiamas. Toks šios funkcijos pavadinimas pateisinamas tolydaus laiko gražos proceso,apibrežto (46) lygybe A.1 priede, išraiška:

R(t) :=∫ t

0µ(s) ds +

0σ dW, 0 ≤ t ≤ T. (29)

Tuo atveju, kaiµ(t) ≡ µ, oσ(t) ≡ σ, S yra tas pats geometrinis Wiener’io procesas. Europietiš-kojo pasirenkamojo sandorio sažiningosios kainos nustatymas tuo atveju, kai kainos procesasS yra nusakomas (28) lygybe, yra galimas modifikuojant antraji aukšciau aprašytaji metoda.Tuo tikslu tenka apibendrinti ir arbitražo, pilnumo bei dinamiškojo sandorio atkartojimo savo-kas (žr. pavyzdžiui [90, VII.4 skyrius]). Tai, kad (28) lygybeje kintamumo funkcijaσ gali b utiatsitiktine, yra svarbu siekiant adekvaciau modeliuoti realius kainu pokycius, apie ka smulkiaukalbama kitame skyriuje.

6 Finansu ekonometrija

Finansu ekonometrija taiko ekonometrijos metodus finansu rinkai tirti ir šia prasme yra eko-nometrijos mokslo šaka. Šiuo atveju finansu rinkos tyrimas reiškia ne tik finansiniu duomenu

savybiu tyrima, bet ir finansu rinkos modeliu, nagrinetu ankstesniuose skyreliuose, atitikimorealiai rinkai analize. Taigi galima išskirti mažiausiai dvi svarbias finansu ekonometrijos kryp-tis. Pirmaja iš ju sudaro tokiu ekonometriniu modeliu, kurie aprašytu tiriamu finansiniu duome-nu savybes, paieška. Tradiciškai tai daroma išskiriant keleta kintamuju ir juos susiejant funkcinepriklausomybe, pasižymincia pageidaujamomis savybemis. Tais atvejais, kai finansiniai duo-menys stebimi vienodais laiko tarpais, pagrindiniai ekonometriniai modeliai yra finansiniu laikoeiluciu modeliai. Taciau kuriami ir ekonometriniai modeliai, leidžiantys atspindeti savybes, b u-dingas skirtingiems laiko tarpams. Tokiu modeliu pavyzdžiais gali b uti ivair us tolydaus laikostochastiniai procesai.

Pastebesime, kad šiame skyrelyje vartojama ekonometrinio modelio savoka skiriasi nuoanksciau vartotos finansu rinkos modelio sampratos. Finansu rinkos modelyje naudojamosivairios teorines prielaidos: efektyviosios rinkos hipoteze, arbitražo nebuvimas, atsitiktinio klai-džiojimo hipoteze ir pan. Šiu teoriniu prielaidu statistinis ivertinimas, t. y. ju atitikimo realiemsfinansiniams duomenims analize, ir sudaro antraja finansu ekonometrijos krypti. Kai kurie šioskrypties rezultatai jau buvo pamineti, kuomet kalbejome apie konkrecias finansu rinkos teorijosdalis. Išsamia šios krypties darbu apžvalga galima rasti, pavyzdžiui, Campbell, Lo, MacKin-lay [20] ir Lo, MacKinlay [58] knygose. Tad šiame skyrelyje trumpai apžvelgiama tik pirmojifinansu ekonometrijos kryptis: finansiniu duomenu savybiu tyrimas.

Prieš tai reiktu pamineti, kad paskutini dešimtmeti ypac aktyviai šioje srityje pradejo dirbtifizikini išsilavinima turintys žmones. Jie ne tik pradejo naudoti naujus tyrimo metodus bet irpirmieji pradejo kaupti ir tirti tai, kas dabar vadinama labai aukšto dažnio duomenimis (keliusekundžiu trukmes laiko intervalai). Tai leido aptikti ne tik naujas kainu kitimo savybes, betir empiriškai tirti tolydaus laiko finansu rinkos modelius. Ši veiklos sritis sparciai vystomair neretai vadinama statistine finansu teorija, finansu rinku statistine mechanika arba, tiesiog,ekonofizika, o šios srities atstovai vadinamai „kvantais" (angl. quants = quantitative analysts).Ekonofizika neapsiriboja statistine finansiniu duomenu analize. Kaip rašo vienas iš šios sritiespradininku ir lyderiu Bouchaud [16], remiantis naujausiais empiriniais rezultatais ekonofizikasiekia tobulinti rizikos modelius bei išvestiniu finansiniu instrumentu ikainojimo metodus, beikurti naujus kainos formavimosi mechanizmu modelius, geriau paaiškinancius stebimas rinkuanomalijas.4

Stilizuoti faktai. Neretai empirinis finansu rinkos tyrimas siekia paaiškinti stebimus faktusremiantis ekonomines, politines ar kitokios informacijos pasirodymo aplinkybemis. Atrodytu,jog tokiu skirtingu vertybiniu popieriu, kaip gr udu ateities pardavimo sandoriai, IBM akcijos arvaliutu kursai, kitimo savybes turetu skirtis, nes yra salygojamos skirtingu aplinkybiu. Iš tikrujugi, mineti paskutiniojo šimtmecio empiriniai kainu kitimo tyrimai rodo, kad statistiniu poži uriu

4Taciau ekonofizika pasižymi dar vienu bruožu. Dauguma šios srities tyrimu rezultatu yra publikuojami tik fi-ziku žurnaluose, o ekonofiziku veikla pletojasi atskirai nuo finansu ekonomistu veiklos. Pavyzdžiui, Zigrand [105]rašo: „atrodo, kad daugelis autoriu [fiziku] ignoruoja milžiniška finansu literat ura, kurioje jau buvo sprendžia-mos tos pacios problemos, ir apskritai vengia kontaktu su finansu ekonomistu visuomene". Vienas ekonofizikospradininku Farmer [32] iš Santa Fe instituto taip rašo: „Ne be pagrindo daugelis ekonomistu mano, kad fizikupasirodymas jiems priklausanciame pasaulyje yra tiesiog ju iž ulumo, puikybes ir arogancijos atspindys. Fizikainiekada nepasižymejo kuklumu, o kai kurie fizikai taip pateikia savo mintis, kad tik dar labiau sustiprina ši stereo-tipa. Bus sunku iveikti kult urini barjera tarp šiu dvieju grupiu."

šie vertybiniai popieriai turi daug bendru bruožu. Tokios savybes, kurios b udingos skirtingiemsvertybiniams popieriams ir skirtingose rinkose, dažnai vadinamosstilizuotais faktais, kuriuostoliau ir aptarsime.

Matyt paprasciausi finansiniu duomenu (kaip ir kitu ekonominiu duomenu) stilizuoti faktaiyra pastovaus augimo ir sezoniškumo efektai. Pirmasis iš ju atspindi vertybiniu popieriu kainuaugima, o antrasis – tokiu faktoriu, kaip metu laikai, Kaledos ir pan., itaka kainoms. Sezoniš-kumo efektas aprašomas periodine funkcija ir paprastai eliminuojamas iš kainos standartiniaismetodais. Taigi, akcijos kaina priklauso nuo augimo efekto, vadinamo trendum(t), ir nuoivairiausiu atsitiktiniu poveikiu, vadinamu triukšmuX(t), arba tiksliau atsitiktinius svyravimusatspindincia ciklo dalimi. Remiantis ekonominiais argumentais vertybinio popieriaus kainosS = S(t): 0 ≤ t ≤ T elgesys aprašomas funkcija

S(t) = m(t)eX(t).

Yra du pagrindiniai trendo funkcijosm modeliavimo b udai. Pagal pirmaji iš ju, trendas nu-sakomas neatsitiktine funkcijam(t) = Aeµt, cia µ ir A yra konstantos. Tokiu atveju kainoslogaritmas turi pavidala

ln S(t) = α + µt + X(t),

ciaα := ln A. Antruoju b udu trendo funkcijam modeliuojama remiantis buvusia kainos reikš-meS(t−∆) ir parametruµ taip, kad

m(t) = S(t−∆)eµ∆.

Šiuo atveju trenda aprašo atsitiktine funkcija ir todel ekonometrijoje šis modelis vadinamasstochastinio trendo modeliu. Stochastinio trendo atveju kainos logaritmas turi pavidala

ln S(t) = ln S(t−∆) + µ∆ + X(t).

Kuris iš dvieju minetu b udu geriau tinka realiu duomenu modeliavimui, atsakoma, patikrinusatitinkamas statistines hipotezes.

Finansiniu duomenu savybiu analizei paprastai naudojamas pastarasis stochastinio trendomodelis kadangi real us duomenys neprieštarauja tam, kadln S(t)− ln S(t−∆) transformacijaelgiasi kaip stacionaraus atsitiktinio proceso trajektorija. Be to, ši transformacija nepriklausonuo kainos matavimo vienetu. Tolesne kainos analize reikalauja subtilesniu metodu triukšmokomponenteiX tirti.

Duotam laiko intervalui∆ ∈ (0, T ], toliau vadinamamdažniu, logaritmine gražaarba tie-siog graža, kai aišku pagal konteksta, vadinama kainos transformacija

r(t, ∆) := ln S(t∆)− ln S((t− 1)∆), t = 1, . . . , N, N := [T/∆] ≤ T/∆; (30)

cia [x] žymi realaus skaiciausx sveikaja dali. Daugelyje ekonometriniu modeliu, panašiai kaipir diskretaus laiko finansu rinkos modelyje,∆ = 1, kadangi tokiu modeliu kontekste šis dydisyra nekintamas. Tuo atveju naudosime žymejimart := r(t, 1), t = 1, . . . , T . Dažniausiai lo-garitmines gražos skaiciuojamos kasdieniams duomenims. Paskutinis empirinio kainu kitimotyrimu dešimtmetis išsiskiria tuo, kad atsirado technines galimybes rinkti bei analizuoti ir va-dinamuosius aukšto dažnio duomenis. Kaip bus minima žemiau, empirines logaritminiu gražu

savybes priklauso nuo dažnio∆. Greta žemo dažnio duomenu, kuriuose∆ yra metai ar menuo,nagrinejami ir aukšto dažnio duomenys, kuomet∆ atitinka valandas ar minutes bei labai aukštodažnio duomenys, kuomet∆ yra sekundes ar net nuosekliai fiksuojami visi kainu pokyciai, t. y.duomenys neagreguojami.

Viena iš svarbiausiu finansiniu duomenu empirines analizes salygu yra statistiniu savy-biu invariantiškumas laiko atžvilgiu. Jei praeities duomenu savybes neturi nieko bendrosu dabarties ir ateities kainu kitimu, tai tokiu duomenu tyrimas b utu beprasmiškas. Todelsvarbia statistines analizes prielaida yra funkcijosr(·, ∆) stacionarumo hipoteze: bet ku-riems t1, . . . , tk ir s, vektoriu r(t1, ∆), . . . , r(tk, ∆) ir r(t1 + s, ∆), . . . , r(tk + s, ∆) ti-kimybiniai skirstiniai yra lyg us. Jei ši prielaida teisinga, tai nuot nepriklauso nei funkcijaF∆(u) := P (r(t, ∆) > u), u > 0, vadinama skirstinio uodega, nei kovariacija vadinamafunkcija C∆(s) := Cov(r(t, ∆), r(t + s, ∆)), apibrežta tuo atveju kai egzistuoja antras gražosmomentas.Cia ir toliau, bet kuriems antra momenta turintiems atsitiktiniams dydžiamsξ, η,naudojame standartinius kovariacijos ir koreliacijos žymenis

Cov(ξ, η) := E(ξ − Eξ)(η − Eη) ir Corr(ξ, η) := Cov(ξ, η)/√

DξDη.

Stacionarumo prielaida nera vienintele b utina triukšmo komponentes tyrimo salyga. Detaliaunenagrinedami, tik paminesime, kad taip pat b utina tikrinti naudojamu statistiniu iverciu kon-vergavima i tiriamas triukšmo charakteristikas, nes priešingu atveju tos charakteristikos galineegzistuoti. Pavyzdžiui, jei tokia charakteristika yraEf(r(t, ∆)), nepriklausanti nuot pagalstacionarumo prielaida, tai reiktu isitikinti, jog, didinantN , suma(1/N)

∑Nt=1 f(r(t, ∆)) kuria

nors prasme arteja prie baigtinio skaiciaus.Toliau aprašomi keli svarbiausi stilizuoti faktai susije su skirstinio uodegos ir kovariacijos

elgesiu.

• Sunkios uodegos: Dideli kainu pokyciai pasirodo žymiai dažniau nei tuo atveju, kai gra-žos skirstinys yra normalusis. Toks efektas galetu b uti paaiškinamas tuo, kad logarit-mines gražos skirstinys turi sunkia uodega, t. y. kuriam nors baigtiniam skaiciui a > 0,F∆(u) ≈ u−a, kaiu →∞. Palyginimui, Wiener’io procesoW pokyciaiW (t)−W (t−∆)turi normaluji skirstini, kurio uodega1−Φ(u/

√∆) = ce−u2/(2∆) laikoma lengva. Vienas

pirmuju sunkiu uodegu efekta finansiniuose duomenyse pastebejo Mandelbrot [61], [63,E14], ir pasi ule vietojeW naudoti simetriniα-stabiluji procesaXα. Priminsime, kadXα

pokyciu skirstiniai turi sunkias uodegas, kuriomsa = α < 2. Taciau velesni tyrimaiparode, kad finansiniu duomenu logaritmines gražas geriau aproksimuoja tie skirstiniaiturintys sunkias uodegas, kuriu skaiciusa ∈ (2, 4). Taip pat pastebeta, kad uodegu cha-rakteris keiciasi, pereinant nuo vieno logaritmines gražos dažnio prie kito. Išsamiausiaikol kas ištirtos kasdieniu duomenu logaritmines gražos.

• Asimetrija. To paties absoliutinio dydžio gražas lydi nevienodo dydžio kintamumo reikš-mes – kintamumas yra didesnis po neigiamos gražos (t.y. po kainos kritimo). Tai pa-prastai aiškinama tuo, kad investuotojai „jautriau" reaguoja i neigiama informacija, nei iteigiama. Del šios asimetrijos kovariacija tarp gražos ir b usimu kintamumo reikšmiu yraneigiama. Šis efektas dar vadinamas sverto efektu (angl. leverage effect), žr. [10].

• Kintamumo klasterizacija.Tiketina, kad finansiniuose duomenyse didelio kintamumoperiodai ir mažo kintamumo periodai seka vienas paskui kita, t.y. stebima kintamumuklasterizacija.

• Taylor’o efektas. Pacios gražosrt tarpusavy yra beveik nekoreliuotos, o ju absoliutiniudydžiu laipsniai|rt|δ (δ > 0) turi nenuline koreliacija. Stipriausia koreliacija stebimaabsoliutinems gražoms, t. y. kaiδ = 1. Šia savybe pirma karta paminejo Taylor’as [97] irdel to kartais vadinama Taylor’o efektu.

• Ilgalaike atmintis.Koreliacijos tarp|rt|δ ir |rs|δ ivertis, didejant|t− s|, gesta letai (pana-šiai kaip laipsnine funkcija). Tas pats teisinga ir koreliacijai tarp kintamumo iverciu. Darsakoma, kad šie dydžiai pasižymi stipriu nuolatinumu (angl. persistency). Yra keletas hi-poteziu, bandanciu pagristi ilgalaikes atminties efekta gražu kvadratams ar absoliutiniamsdydžiams. Daugelis ju remiasi ivairiu nestacionarumu egzistavimu (trendu, šuoliu buvi-mas ir pan., žr., pavyzdžiui, [59]). Taciau vis tiek dar yra daug neaiškumu ir šio fenomenopaaiškinimas yra vienas aktualiausiu šiuolaikines finansu ekonometrijos uždaviniu.

• Suminis gausiškumas. Žemesniems dažniams∆, logaritminiu gražur(t, ∆) skirstinys(kuris, bendrai, ivairiems∆ yra skirtingas) vis labiau „panašeja" i normaluji skirstini.

Tai, kad kai kurie stilizuoti faktai skiriasi ivairiems dažniams∆ reiškia, kad diskretaus laikofinansu rinkos modeliai nera pakankami.

Toliau apžvelgiami du laiko eiluciu metodai skirti stilizuotu faktu finansiniuose duomenysemodeliavimui. Tarp kitu šiam tikslui skirtu metodu paminesime ekonofizikos metodus, besire-miancius neseniai aptikta analogija tarp turbulencijos reiškinio hidrodinamikoje ir valiutu kursudinamikos (žr. apžvalgas Montegna ir Stanley [64], bei Voit [99]). Dar vienas metodas iga-linantis modeliuoti finansu rinkos stilizuotus faktus yra finansu rinkos veikeju teorija aptartapaskutiniame šios apžvalgos skyriuje.

Ekonometriniai laiko eilu ciu modeliai. Vienas pagrindiniu finansu ekonometrijos uždaviniuyra tokiu ekonometriniu modeliu, kurie kaip galima adekvaciau pasižymetu savybemis panašio-mis i aptinkamus stilizuotus faktus, paieška. Tuo atveju, kai empiriniai duomenys nepriklausonuo laiko intervalu ilgio, dažniausiai yra naudojami laiko eiluciu (angl. time series) modeliai.Šiu modeliu pavadinimas atspindi tai, kad duomenys yra interpretuojami kaip kryptinga atsitik-tiniu dydžiu sekaXt, t = 0, 1, 2, . . ., kurioje t indeksas yra diskretaus laiko kintamasis. Tokiossekos narius susiejus funkcine priklausomybe, gauname laiko eilutes modelio pavyzdi.

Grižkime prie finansiniu duomenu stilizuotu faktu. Nežymi logaritminiu gražu tarpusaviokoreliacija lyg ir reikštu, kad gražas galima laikyti nepriklausomais ar silpnai priklausomais at-sitiktiniais dydžiais. Jei taip, tai maža koreliacija turetu b uti ir tarp bet kuriu logaritmines gražosfunkciju. Tai nera iprastiniu laiko eiluciu savybe. Pavyzdžiui, jeiXt, t = 0, 1, . . . yra stacio-narus Gauss’o procesas su kovariacine funkcijaCov(Xt, X0) ∼ Ct2d−1, 0 < d < 1/2, tai X2

kovariacija elgiasi kaip funkcijat4d−2, kuri yra mažesne už funkcijat2d−1 su visaist = 2, 3, . . ..Taciau ši savybe prieštarauja Taylor’o efektui. Šis efektas rodytu, kad logaritminiu gražu ko-reliacija yra dominuojama kintamumo koreliacijos. Matematiniu poži uriu paprasciausiai ši sa-vybe yra išreiškiama tokia forma:r(t, ∆) = σ(t, ∆)εt, kai εt yra nepriklausomi vienodai pasi-

skirste (dažniausiai standartiniai normalieji) atsitiktiniai dydžiai, oσ(t, ∆) > 0 yra atsitiktinisdydis (dažniausiai gražos salyginis kintamumas

√D(r(t, ∆)|F(t−1)∆)). Toliau aptarsime tik

atveji kai∆ = 1, t. y.rt = σtεt, t = 0, 1, 2, . . . ; (31)

cia rt := r(t, 1) ir σt := σ(t, 1). Šio modelio savybems iliustruoti tarkime, kad su kiekvienut = 1, 2 . . ., σ-algebraFt yra generuota atsitiktiniu dydžiurs, εs, s ≤ t, o σt yraFt−1-matusatsitiktinis dydis. JeiE(εt|Ft−1) = 0 ir E(ε2

t |Ft−1) = 1, tai gražart turi salygini vidurki lygu0 ir salygine dispersija lygiaσ2

E(rt|Ft−1) = 0 ir D(rt|Ft−1) = σ2t .

Ši savybe vadinamasalyginiu heteroskedastiškumu(graikiškai: hetero = skirtinga ir skédasis= dispersija). Toliau aptariamos (31) modelio savybes esant kitokioms prielaidoms, taciau betkuriuo atvejuσt iprasta vadintikintamumu.

Kadangi atsitiktinis dydisσt nera stebimas, jo evoliucijai nusakyti reikia pasirinkti ekono-metrini modeli. Dažniausiai naudojami du b udai kintamumo kvadratuiσ2

t modeliuoti. Mo-deliuojant pirmuoju b udu tariama, kadσ2

t tiesiškai priklauso nuo baigtinio skaiciaus ankstes-niu gražos kvadrato reikšmiur2

t−1, r2t−2, . . . ir, gal b ut, baigtinio skaiciaus ankstesniu reikšmiu

σ2t−1, σ

2t−2, . . .. Tai yra apibendrinto autoregresijos salyginio heteroskedastiškumo arba trum-

piau GARCH modelis. Antruoju b udu modeliuojant tariama, kadσ2t priklauso nuo kito atsi-

tiktinio dydžio ir todel tai yra vadinama stochastinio kintamumo (angl. stochastic volatility)modeliu. Trumpai apžvelgsime abu šiuos modelius.

GARCH modeliai. Sveikiems skaiciamsp, q, kintamumo GARCH(p, q) modelis reiškia, kad sukiekvienut,

σ2t = α0 +

βiσ2t−i +

αjr2t−j; (32)

ciaα0 > 0, αj ≥ 0 (j = 1, . . . , q), βi ≥ 0 (i = 1, . . . , p). Ši modeli sup = 0 pasi ule Engle [29]ir veliau Bollerslev [14]. Jis leidžia modeliuoti tokius stilizuotus faktus kaip kintamumo klas-terizacija, Taylor’o efektas bei sunkios uodegos. Pavyzdžiui, pastaruosius du efektus stebimeARCH(1) atveju. Tiksliau, jeiσ2

t = α0 + α1r2t−1 ir r2

t yra stacionari placiaja prasme seka, tai

E(rtrs) = 0, Corr(r2t , r

2s) = α

|t−s|1 .

Be to, jei εt yra standartiniai normalieji atsitiktiniai dydžiai irEr2t = α0/(1 − α1) = 1, tai

Er4t = 3(1 − α2

1)/(1 − 3α21) ≥ 3 su salyga3α2

1 ≤ 1. Tai rodo, kad papildomai apimamas irsunkiu uodegu efektas.

Norint nagrineti gražas, kuriu kintamumas aprašomas GARCH(p, q) modeliu, gražos kvad-ratar2

t = σ2t ε

2t patogu užrašyti klasikinio autoregresijos–slenkamojo vidurkio arba trumpiau

ARMA proceso pavidalu. Priminsime, kadνt yra balto triukšmo seka, jeiEνt = 0,Dν2

t = const > 0 ir Cov(νt, νs) = 0, kai t 6= s. Sakoma, kad atsitiktinis procesasXt ten-kina ARMA(p, q) lygti atžvilgiu balto triukšmo sekosνt, jei

Xt = µ + φ1Xt−1 + . . . + φpXt−p + νt + θ1νt−1 + . . . + θqνt−q; (33)

cia µ – realusis skaicius, o parametraiφ1, . . . , φp, θ1, . . . , θq parinkti taip, kad lygtis turetustacionaru sprendini. Pakankama ARMA lygties sprendinio egzistavimo salyga yra ta, kaddaugianariaiφ(z) ≡ 1− φ1z− . . .− φpz

p ir θ(z) ≡ 1 + θ1z + . . . + θqzq neturetu bendru nuliu

ir φ(z) 6= 0 su visaisz iš apskritimo|z| = 1.Jei σ2

t turi (32) pavidala irm = maxp, q, tai gražos kvadratasr2t = σ2

t ε2t , tenkina

ARMA(m, p) lygti balto triukšmo sekosνt = σ2t (ε

2t − 1) atžvilgiu. Be to, nesunku matyti,

kadνt sudaro martingaliniu skirtumu seka. Pailiustruosime tai paprastu GARCH(1, 1) atveju.Iš tikruju, jei σ2

t = α0 + α1r2t−1 + β1σ

2t−1, tai

r2t = σ2

t + (r2t − σ2

t ) = α0 + α1r2t−1 + β1σ

2t−1 + νt = α0 + (α1 + β1)r

2t−1 + νt − β1νt−1,

t. y. r2t tenkina ARMA(1, 1) lygti.

(33) lygtimi apibrežto procesoXt kovariacine funkcija gesta eksponentiniu greiciu. Ši savy-be vadinama trumpalaike atmintimi. Taigi ARMA seka negali tureti ilgalaikes atminties efekto.Todel yra naudojama ARMA modelio modifikacija – FARIMA modelis. Sakoma, kad procesasXt tenkina FARIMA(0,d,0) lygti, jei (1− L)dXt = νt, t. y.

Xt = (1− L)−dνt :=∞∑

bjLjνt;

cia −1/2 < d < 1/2, L – skirtuminis operatorius, apibrežtas lygybeLjνt = νt−j, o bj –koeficientai priezj gaunami funkcija(1 − z)−d skleidžiant Taylor’o eilute. FARIMA lygtitenkinantis procesasXt pasižymi laipsniškai gestancia kovariacine funkcijaCov(Xt, X0) ∼Ct2d−1, taigi yra ilgalaikes atminties procesas. FARIMA modelio analogas gražu kvadratumodeliavimui vadinamas FIGARCH modeliu. Pasi ulytas [4], šis modelis paprasciausiu atvejuužrašomas taip

(1− L)dr2t = α + νt;

cia, kaip ir anksciau, νt = r2t − σ2

t . Nors pastarasis modelis placiai naudojamas, jo teorinessavybes dar nera pakankamai nuodugniai ištirtos, žr. [50].

Dar vienas GARCH modelio tr ukumas yra susijes su asimetrijos efekto neturejimu: kinta-mumas vienodai reaguoja i teigiamas ir neigiamas to paties absoliutinio dydžio gražas. Kitaisžodžiais, naudojant Engle ir Ng [30] terminologija, naujienu itakos kreive (angl. news impa-ct curve), grafiškai vaizduojanti saryšiσ2

t = f(rt−1), yra simetriška. Šiai problemai spres-ti yra sukurtos ivairios ARCH modeliu modifikacijos: GJR-ARCH ([37]), TARCH ([104]),HARCH ([71]). Jais, be kitu savybiu, galima aprašyti ir sverto efekta, nusakyta nelygybeCov(rt−1, σ

2t ) < 0. Pažymesime, kad, iš dalies, problemos susijusios su asimetrijos efektu ir

kartu ilgalaike atmintimi išsprendžiamos tiesinio ARCH (LARCH) modelio pagalba, žr. [35],[36]. LARCH modelyjeσt tiesiškai priklauso nuo praeities gražurt−1, rt−2, . . ., skirtingai neiARCH tipo modeliuose, kuriuoseσ2

t priklauso nuo praeities gražu kvadratu.

Stochastinio kintamumo modeliai. Stochastinio kintamumo modeliu paprastai vadinamas (31)gražos modelis, kuriameεt yra nepriklausomi vienodai pasiskirste atsitiktiniai dydžiai, o kinta-mumasσt turi pavidala

σt = f(ηt), t = 0, 1, . . . , (34)

kai f yra neneigiama funkcija, oηt – atsitiktiniai dydžiai. Funkcijosf kintamasisηt vadinamaspasleptuoju arba latentiniu kintamuoju. Skirtingai nei ARCH tipo modeliai, kuriuose kinta-mumas valdomas stebejimu, stochastinio kintamumo modeliuose kintamumas yra „valdomasparametru". Šia latentine komponente galima interpretuoti kaip tam tikra atsitiktini informaci-jos srauta, patenkanti i finansu rinka iš šalies. Dažniausiai funkcijaf yra eksponentine. Tuomet,be kitu savybiu, žemiau pateikiami stochastinio kintamumo modelio variantai leidžia gana pa-prastai modeliuoti asimetrijos efekta ir ilgalaike atminti atsitiktiniams dydžiamsln σt.

Dažniausiai laikoma, kad (34) modelyje fig uruojantis procesasη – stacionarus procesas,pavyzdžiui Gauss’o arba ARMA tipo. Gauss’o atveju, kaip parode Robinson [80], šis mo-delis leidžia naudotis gana placia netiesiniu funkcijuf klase ir modeliuoti daugeli stilizuotufaktu, tarp ju ir ilgalaike atminti. Kitas populiarus (34) stochastinio kintamumo modelis yraf(ηt) = eηt , kai ηt yra ARMA arba FARIMA tipo slenkamojo vidurkio procesas. Nelson’o[72] eksponentinis GARCH (EGARCH) modelis yra

rt = σtεt, σt = expa +

∞∑

bjg(εt−j); (35)

ciag(z) = θz+γ(|z|−E|ε0|), o parametraiθ, γ parenkami atsižvelgiant i asimetrija stebima fi-nansiniuose duomenyse. EGARCH(p, q) modelis atitinka atveji, kaiηt = ln σt yra ARMA(p, q)seka. Pavyzdžiui, EGARCH(1,1) modelis nusakomas lygtimis

rt = σtεt, ln σt = α + β ln σt−1 + g(εt−1).

Kai koeficientaibj atitinka FARIMA modelio svorius, tai (35) modelis vadinamas FIEGARCHir, kaip parode Bollerslev ir Mikkelsen [15], be asimetrijos efekto, leidžia modeliuoti ilgalaikeatminti tarp logaritminiu kintamumu.

Kitas svarbus stochastinio kintamumo modelis aprašomas formule (žr. [18], [42]):

rt = σtεt, σt = expa +

∞∑

bjξt−j

, (36)

cia ξt yra nepriklausomi vienodai pasiskirste atsitiktiniai dydžiai su vidurkiu 0 ir vienetine dis-persija, ir nepriklausomi nuo sekosεt, o bj atitinka ARMA arba FARIMA modeli. Surgailisir Viano [95] nagrinejo toki (36) modeli, kuriame sekosξt ir εt neb utinai nepriklausomos,tuo paciu apibendindami daugeli aukšciau minetu EGARCH ir SV modeliu. Jie ištyre tokiasmodelio savybes, kaip ilgalaike atmintis, momentu egzistavimas, asimetrija, ribines teoremos.

Engle ir Ng [30] tvirtino, kad del eksponentines modelio strukt uros EGARCH(1,1) mode-lyje σt reikšmes per daug iškraipomos, esant didelems gražurt−1 reikšmems. Šis tr ukumas,bendrai b udingas eksponentiniams modeliams ir komplikuotesnis nei ARCH modeliu atvejuparametru vertinimas, neleidžia ju laikyti visiškai tinkamais gražu modeliavimui.

Ekonometriniai tolydaus laiko modeliai. Ankstesnio skyriaus apie finansu inžinerija pabai-goje buvo kalbama apie tolydaus laiko procesu klase (28), apibendrinancia geometrini Wie-ner’io procesa. Dabar tarsime, kad šios klases apibrežime naudojamas atsitiktinis procesasµ

yra konstanta, žymima ta pacia raide. Tada atsitiktinis procesas

S(t) = S(0) exp ∫ t

(µ− σ2(u)

0σ dW

, 0 ≤ t ≤ T, (37)

iš esmes priklauso tik nuo kintamumo funkcijosσ = σ(t): 0 ≤ t ≤ T. Bet kuriam∆ ∈ (0, T ], tolydaus laiko procesoS reikšmes (30) lygybe apibrežia logaritmine gražar(t, ∆)diskretaus laiko momentaist = 1, . . . , N suN = [T/∆] ≤ T∆. Ar taip apibrežta graža turisavybes artimas aukšciau išvardintiems stilizuotiems faktams ir kaip jos priklauso nuo kintamu-mo funkcijosσ? Tai vienas iš pagrindiniu finansu ekonometrijos klausimu, kuri jau aptaremetuo atveju kai gražar(t, ∆) modeliuojama (31) saryšiu.

Taigi, istate procesoS (37) reikšmes i logaritmines gražos (30) formule gauname, kad

r(t, ∆) = µ∆− 1

∫ t∆

(t−1)∆σ2(u) du +

∫ t∆

(t−1)∆σ dW (38)

su kiekvienut = 1, . . . , N . (Pastebesime, kad ši logaritmines gražos išraiška skiriasi nuoR(t∆)−R((t− 1)∆)), kai R yra tolydaus laiko graža aprašoma (29) formule.) Jei kintamumofunkcija σ yra konstanta, tair(t, ∆) yra seka nepriklausomu atsitiktiniu dydžiu pasiskirsciusiupagal normaluji desni. Tokiu atveju logaritmine graža nepasižymi dauguma realioje rinkoje ste-bimu stilizuotuju faktu. Tai reiškia, kad geometrinis Wiener’io procesas ekonometriniu poži uriunera adekvatus realios kainos aprašymo b udas. Ši aplinkybe buvo pagrindinis stimulas ieškantkitu kainos aprašymo b udu.

Svarbiausias (38) išraiškoje yra paskutinis narys, kuris priklauso nuo stochastinio integraloM(t) := ∫ t

0 σ dW , t ≥ 0. Tarkime, kad atsitiktiniai procesaiσ ir W yra nepriklausomi,Wyra Wienerio procesas, o kintamumo funkcijaσ – toks numatomas procesas, kad integralasσ2(t) := ∫ t

0 σ2(u) du → ∞ kartu sut → ∞. Tada, apibrežus atsitiktini procesaγ(t) :=infu: σ2(u) > t, t ≥ 0, kompozicijaW (t) := M(γ(t)), t ≥ 0 yra kitas Wiener’io procesas,nepriklausantis nuoσ2, ir lygybe

M(t)t≥0 = W (σ2(t))t≥0 (39)

yra teisinga pagal pasiskirstyma. Nesudetingi skaiciavimai rodo, kad (31) lygybe apibrežtodiskretaus laiko modelis ir atsitiktiniu dydžiu seka

t−1σ dW = M(t)−M(t− 1), t = 1, . . . , T,

turi tas pacias charakteristikas. Todel galima tiketis, kad (31) diskretaus laiko modelis ircianagrinejamas (38) modelis, o tuo paciu ir tolydaus laiko (37) modelis, ekonometriniu poži uriuelgiasi panašiai.

Dar viena svarbi aplinkybe yra ta, kad (39) skirstiniu lygybe suteikia, Clark (1973) [21]pastebeta, tolydaus laiko modelio finansine interpretacija. Wiener’io proceso laiko pakeitimasW (σ2(t)) gali b uti suprantamas kaip kainos kitimo priklausymas nuo prekybos aktyvumo (ap-imties) skirtingais laikotarpiais: tomis dienomis, kai nauja informacija nepasiekia investuotojo,prekyba yra vangi ir todel kainos keiciasi letai; priešingai – prekyba suaktyveja ir kainos kei-ciasi sparciau, kai pasirodo nauja informacija. Vadinasi, transakciju laikas, o ne pats laikas, yra

nat urali skale, kurios atžvilgiu turetu b uti stebima kaina. Šis procesuiσ2 priskiriamas „chrono-metro" vaidmuo paskatino pastaruju metu teorinius ir ekonometrinius tyrinejimus modeliuojantkainas tolydaus laiko atsitiktiniais procesais su pakeistu laiku.

Kaip minejome, (37) proceso savybes ir ju atitikimas stilizuotiems faktams iš esmes priklau-so tik nuo kintamumo funkcijosσ. Šios funkcijos kitima ir jos priklausomuma nuo papildomoneapibrežtumo šaltinio galima apib udinti kita lygtimi ir tokiu b udu visa kainos kitima nusakantintegraliniu lygciu sistema

S(t) = µ

∫ t0 S(u) du +

∫ t0 σS dW (1),

σ2(t) = a∫ t0 σ2(u) du + b

∫ t0 σ2 dW (2),

kai µ, a, b yra realios konstantos, oW (1), W (2) – Wiener’io procesai su bet kokia tarpusaviokoreliacija. Tokia kainos modeliavimo forma vadinama tolydaus laiko stochastinio kintamumomodeliu ir buvo pasi ulyta Hull’o ir White’o (1987) [45]. Šis modelis yra analitiškai patrauklus,nes jam galima paprastai ivertinti pasirenkamojo sandorio kaina. Taciau jo savybes sunkiaisuderinamos su stilizuotais faktais.

Kita tolydaus laiko stochastinio kintamumo modeliu klase gaunama kintamumo funkcijoskvadrata modeliuojant Ornstein’o–Uhlenbeck’o lygties sprendiniu, t. y.

S(t) = S(0) exp

∫ t0(µ + βσ2(u))du +

∫ t0 σ dW

σ2(t) = −λ∫ t0 σ2(u) du + Z(λt);

cia µ, β yra realieji skaiciai, λ > 0, o Z – Lévy procesas su teigiamas pokyciais ir nepriklau-santis nuo Wiener’io procesoW . Svarbi tokio kintamumo funkcijos aprašymo savybe yra ta,kad Ornstein’o–Uhlenbeck’o lygties sprendinys

σ2(t) = e−λtσ2(0) +∫ t

0e−λ(t−s) dZ(λs), 0 ≤ t ≤ T,

yra stacionarus su fiksuotu (nepriklausanciu nuoλ) vienmaciu marginaliuoju skirstiniuF tadair tik tada, kaiF yra saviskaidus (angl. selfdecomposable). Barndorff-Nielsen ir Shephard [6]mano, kad tinkamiausiu skirstiniuF yra apibendrintasis Gauss’o atvirkštinis (angl. generalizedinverse Gaussian) skirstinys GIG(ν, δ, γ) su tankiu

Const xν−1 exp− 1

2(δ2x−1 + γ2x)

, x > 0;

cia δ ≥ 0, γ ≥ 0 ir −∞ < ν < ∞ yra parametrai. Tarp galimu parametro reikšmiu, la-biausiai autoriu populiarinamas atvejis, kaiν = −1/2, t. y. F yra (normalusis) Gauss’o at-virkštinis skirstinys (angl. (normal) inverse Gaussian). Teigiama (40) stochastinio kintamumomodelio savybe yra jo analizinis lankstumas, leidžiantis nesunkiai suskaiciuoti ar ivertinti dau-guma sprendinio charakteristiku. Barndorff-Nielsen ir Shephard parode, kad šis stochastiniokintamumo modelis yra pakankamai lankstus ir ekonometrine prasme, pasižymintis tokiais sti-lizuotais faktais, kaip sunkios uodegos, kintamumo klasterizacija, ir Teylor’o efektas. Galu gale,nagrinejantn nepriklausomu Ornstein’o–Uhlenbeck’o lygties sprendiniu sumas

∑nj=1 wjσ

2j (t),

bei pereinant prie ribos kain →∞, galima aptikti ir ilgalaikes atminties efekta.

Trajektoriju savyb es. Greta statistikiniu kainos proceso savybiu pastaraisiais metais pradetostirti vertybiniu popieriu kainos proceso trajektoriju savybes. Griežtai kalbant, tokia trajektorijarealiai nera stebima ir todel gali kilti klausimas, kas iš tikruju yra tiriama. Šiuo atveju yra daro-ma prielaida, kad tai kas yra stebima yra tik isivaizduojamos trajektorijos aproksimacija. Tokspoži uris patogus ta prasme, kad jis leidžia tikrinti tolydaus laiko finansu rinkos modelius, beiju saveika su rizika. Intuityviai galvojant, kuo isivaizduojamoji kainos kreive labiau vingiuota,tuo kainos svyravimai labiau susije su didesne rizika.

Atsitiktinio procesoX = X(t, ω): 0 ≤ t ≤ T, ω ∈ Ω apibrežto tikimybineje erdveje(Ω,F , P ), trajektorija yra bet kuri funkcijaX(ω) := X(t, ω): 0 ≤ t ≤ T jei ω ∈ Ω. Tiki-mybinio matoP atžvilgiu beveik visos trajektorijos turi tik tam atsitiktiniam procesui b udingastrajektoriju savybes. Kaip jau minejome, beveik kiekviena Wiener’io proceso trajektorija pa-sižymi tokiaα-Hölderio savybe, kuriojeα yra bet kuris skaicius mažesnis bet nelygus1/2.Šia savybe pasižymi ir geometrinis Wiener’io procesas. Problema tiriant šias savybes yra ta,kad jos priklauso nuo trajektorijos elgesio visuose bet kurio intervalo taškuose, tuo tarpu real usduomenys atspindi tokios trajektorijos elgesi tik baigtineje tašku aibeje. Todel tiesioginis tokiusavybiu tyrimas dažniausiai neimanomas, netiesiogiai gi tai imanoma padaryti susiejant skirtin-gas atsitiktinio proceso savybes. Pavyzdžiui, paskutinias metais tapo populiaru tirti tokiu tašku,kuriu aplinkoje trajektorija turiα-Hölder’io savybe, aibes strukt ura. Tokios aibes yra labai su-detingos, ju (fraktaline) dimensija vadinama trajektorijos singuliarumo spektru, ju tyrimas yravadinamas multifraktaline analize. Netiesiogiai singuliarumo spektra galima tirti empiriškai,jei tarsime, kad gražos procesas yra Lévy atsitiktinis procesas. Nors daugumos šiu procesu tra-jektorijos yra tr ukios, taciau jos yra pakankamai „reguliarios" tam, kad šiu procesu prieaugliuempiriniu momentu elgesys leistu ivertinti singuliarumo spektra (detaliau apie tai rašoma R.Cont apžvalgoje [22]).

Iš tikruju multifraktaline procesu prigimtis finansu matematikoje tiesiogiai nera naudojama,o susidomejimas ja, atrodo, yra kiles iš skysciu tekejimo turbulencijos teorijos. Gerokai reikš-mingesnis tolydaus laiko finansu rinkos teorijai, m usu nuomone, yra gražos proceso trajektori-josp-variacijos, apibrežtos (42) formule, baigtinumas. Šia savybe jau rememes, kalbedami apietolydaus laiko finansu rinkos modeli. Be to, skirtingai neguα-Hölder’io savybe, dydis

υ(X)(ω) := inf p > 0: vp(X(ω); [0, T ]) < ∞

yra korektiškai apibrežtas ir yra lygus konstantai beveik visiemsω ∈ Ω, kai išpildytos mini-malios salygos. Šiuo atvejuυ(X) yra vadinamasp-variacijos indeksu. Ši savybe yra priešingaminetam multifraktališkumui ta prasme, kad visiems iki šiol finansu matematikoje naudotiemsatsitiktiniams procesamsX, υ(X) yra konstanta priklausanti tik nuoX, bet ne nuo trajektori-jos. Pavyzdžiui, atžvilgiu tikimybinio matoP beveik visadaυ(W ) = 2 Wienerio procesuiW ,υ(Xα) = α simetriniamα-stabiliam procesuiXα, α ∈ (0, 2], ir υ(BH) = 1/H fraktaliniamBrown’o judesiuiBH , H ∈ (0, 1), (ciaW , X2 ir B1/2 yra tas pats Wiener’io procesas). Teorineakcijos kainu analize labai skiriasi priklausomai nuo to ar gražos procesoR p-variacijos indek-sasυ(R) yra lygus2 ar griežtai mažesnis nei2. Todel b utu idomu šias alternatyvas statistiškaiatskirti, naudojantis akcijos kainos kitimo duomenimis. Tokia tyrimu kryptis buvo argumentuo-jama [75] ir [76] darbuose, kuriuose pasi ulyti dup-variacijos indekso vertinimo metodai; abujie buvo panaudoti Olsen & Associates finansiniams duomenims tirti.

7 Postmodernizmas: teorines alternatyvos

Modernioji finansu rinkos teorija, pagrista efektyviosios rinkos hipoteze (ERH), vis dažniaukritikuojama del to, kad ji negali paaiškinti daugelio finansu rinkose stebimu reiškiniu. Todeltokie reiškiniai yra vadinami rinkos anomalijomis. Kaip mineta 2 skyriuje, empiriniu rezultatu,prieštaraujanciu ERH ar jos išvadoms, atsirado apie 1980 metus. Empiriniai rezultatai išjudinoir kritiškesni poži uri i teorini ERH pagrindima.

Teoriniai ERH sunkumai. Nesunku suvokti, kodel prielaida apie racionalu investuotoju el-gesi kritikuotina. Netgi paviršutiniški investuotoju sprendimu tyrimai rodo, kad daugelis iš jureaguoja i pašaline informacija. Vaizdžiai kalbant, tokie investuotojai prekiauja remdamiesi„triukšmu", o ne informacija (žr. Black [11]). Taciau dar svarbiau yra tai, kad nukrypimai nuoracionalaus elgesio yra ne atsitiktiniai, o sistemingi. Kahneman ir Riep [47] išskyre mažiau-siai tris svarbias tokiu nukrypimu grupes: poži uris i rizika, ateities neapibrežtumo vertinimasnusižengiant Bayes’o taisyklems ir sprendimu priklausymas nuo problemos pateikimo formos.

Pirma, dažnai rizikos vertinimas neatitinka racionaluma suprantama von Neumann’o–Morgenstern’o prasme, pagal kuria naudingumas priklauso tik nuo numatomo turto lygio. Ty-rimai rodo, kad tokie sprendimai priklauso, atsižvelgiant i situacija, ir/arba nuo turto pokyciu.Be to, i teigiamus ir neigiamus turto pokycius reaguojama skirtingai: vengiama turto praradimu(angl. loss averse). Šia savybe galima paaiškinti tai, kad investuotojai nenoriai parduoda akci-jas, kuriu kainos pradeda kristi. Eksperimentinius investuotoju preferencijos tyrimu rezultatusapibendrina Kahneman ir Tversky [49], [98] teorija, angliškai vadinama „prospect theory".

Antra, numatant ateities ivykius, kasdieniniame gyvenime žmones dažniausiai vadovaujasilabai trumpa praeities ivykiu istorine informacija. Tokia informacija gali b uti atsitiktine, nepilnaar neturinti itakos ateities ivykiams. Ateities ivykiu tikimybiu vertinimas Bayes’o taisykle reiš-kia naudojimasi formuleP (A ∩B) = P (A|B)P (B). Taikant šia taisykle, problemos atsirandanetiksliai ivertinus salygines tikimybes. Tokiu klaidu pasekmes ypac dideles, vertinant galimusateities kainu pokycius. Pavyzdžiui, trumpa akcijos kurso augimo istorija yra klaidingai ekstra-poliuojama pirmyn i ateiti. Ivair us subjektyvaus investuotoju elgesio atvejai ir ju psichologiniaimotyvai buvo pradeti nagrineti dar 1973 metais Kahneman ir Tversky [48].

Pagaliau trecia ir svarbiausia, kad individu sprendimai priklauso nuo to kaip pateikiamaar suvokiama ta pati problema. Pavyzdžiui, didesne portfelio dalis investuojama i rizikingasakcijas tuo atveju, kai investuotojo informacija ribojasi žiniomis apie ilgo laikotarpio rizikinguakciju gražu istorija, o ne apie obligaciju gražas. Kita vertus, investuojama mažiau i rizikingasakcijas, kai investuotojo informacija ribojasi žiniomis apie trumpo laikotarpio rizikingu akcijukintamuma (žr. Benartzi ir Thaler [8]).

Investuotoju elgesio didesnis priklausomumas nuo ju psichologijos nei nuo ekonominiu mo-tyvu vadinamasinvestuotoju sentimentais. Jei ERH teorinis pagrindimas priklausytu tik nuo toar visi investuotojai elgiasi racionaliai, tai investuotoju sentimentu egzistavimas b utu aiškusmoderniosios finansu rinkos teorijos paneigimas. Taciau, kaip mineta 2 skyriuje, iracionaliu in-vestuotoju egzistavimas neprieštarauja ERH, jei kiekvieno ju poveikis kainoms yra atsitiktinis.Šis argumentas taip pat kritikuotinas, nes remiantis Kahneman’o ir Tversky teorija, investuoto-ju nukrypimai nuo racionalaus elgesio yra ne atsitiktiniai, o panašaus pob udžio. Investuotojo

sentimentus sudaro tos daromu sprendimu klaidos, kurias pastoviai kartoja daugelis investuoto-ju. Pastovios ir tipiškos klaidos b udingos ne tik privatiems investuotojams bet ir institucinamsinvestuotojams, valdantiems ivairiu fondu investicijas.

Svarbiausias ERH teorinio pagrindimo argumentas remiasi arbitražo negalimumu efekty-vioje rinkoje. Tiksliau sakant, net ir pastov us iracionaliu investuotoju nukrypimai nuo pusiau-svyrines kainos yra racionaliu investuotoju panaikinami naudojantis arbitražu. Šis argumentasyra problematiškas tuo atveju, jei, kaip yra teigiama, realioje rinkoje arbitražas gali b uti ir rizi-kingas ir brangus. Tokiu atveju tai jau ne arbitražas, bet tai kas dažnai vadinama ribotu arbitražu(angl. limited arbitrage). Šie argumentai rodo, kad implikacija

rinka yra efektyvi =⇒ rinka yra bearbitraže

nera apverciama, t. y.

rinka yra bearbitraže 6=⇒ rinka yra efektyvi.

Kitaip sakant, rinkoje kurioje nera arbitražo galimybiu, akciju kainos gali skirtis nuo pusiausvy-riniu. Šis efektyviosios rinkos ir arbitražo galimybiu nebuvimo savybiu atskyrimas yra svarbus,nes, kaip mateme šioje apžvalgoje, moderniojoje finansu rinkos teorijoje arbitražo negalimumunaudojamasi tiesiogiai, suteikiant šiai savybei išskirtini vaidmeni. Tuo tarpu ekonominiu poži u-riu svarbesne atrodo esanti rinkos efektyvumo savybe, nes ji leidžia tiketis optimalaus ištekliupaskirstymo per pusiausvyrines akciju kainas.

Finansu rinkos anomalijos. Cia paminesime tik dažniausiai komentuojamas ir labiausiai aki-vaizdžias anomalijas.

Perteklinis kintamumas. Akciju kainos kintamumas gerokai viršija ta, kuris aiškintinas remian-tis moderniaja finansu rinkos teorija. Perteklinio kintamumo pavyzdžiu dažnai pateikiama 1987spalio 19 diena ivykusi finansine krize. Ta diena Dow Jones Industrial Average nukrito 22,6%- didžiausias kainu pokytis per diena finansu istorijoje. Šios ir kitu finansu rinkos kriziu tyrimaiparode, kad koreliacija tarp kainos pokyciu ir naujos informacijos pasirodymo yra nereikšmin-ga (žr. [24]). Tai akivaizdžiai prieštarauja ERH, kadangi akcijos kainu kintamuma apsprendžiatik nauja informacija. Tirdamas akciju rinka, R. J. Shiller’ nustate [88], kad rinkos kintamumasviršija naujai isisavinamos informacijos generuota kintamuma nuo penkiu iki trylikos kartu. Pa-našios išvados buvo gautos nepriklausomai ir tuo paciu metu atliktame LeRoy ir Porter darbe[55] tiriant obligaciju rinka. Vertinant šia anomalija nesutariama, kas svarbiau – ekonominesar psichologines priežastys. Šis klausimas aktualus ir investuotojams, nes, esant svarbesnemispsichologinems priežastims, technine ir fundamentalioji analize yra mažai vertinga akciju kursoprognozei.

Finansiniai burbulai.Finansu rinkos, kaip ir kitos ekonomines strukt uros dalys, kartais pasižy-mi tuo, kad kainu lygis ir ju augimas tampa „nenat uraliai" aukšti. Manoma, kad tokie pakilimai,trunkantys keleta menesiu ar metu, neišvengiamai anksciau ar veliau baigiasi staigiu kritimu i„realu" lygi. Šie reiškiniai vadinamai finansiniais burbulais arba tiesiog krize. Be jau mine-tos 1987 spalio 19 dienos finansu krizes, kitas pavyzdys yra Japonijos finansu rinkos ir visos

jos ekonomikos b usena iki maždaug 1990 metu, kuri vadinama Japonijos burbulo ekonomi-ka. Pagal isivaizduojamas atsiradimo priežastis finansiniai burbulai skirstomi i racionalius iriracionalius.

Sakoma, kad finansinis burbulas yra racionalus, jei akcijos kainos nukrypimas nuo funda-mentaliosios vertes yra nepaaiškinamas naujos informacijos poveikiu. Analitiškai racionalu-sis burbulas paaiškinamas fundamentaliosios vertes (9) formules išvedimu. Jei transversalumosalyga nera išpildyta, tai (6) analitine ERH forma, kaip lygtis atžvilgiuS, turi be galo daugsprendiniu. Bendras (6) lygties sprendinio pavidalas yra „stebima akcijos kaina= fundamentaliverte+ racionalusis burbulas" arbaS(t) = S(t)+ b(t). Nesunku pastebeti, kad taip apibrežtamatsitiktiniam procesuib = b(t): t = 0, 1, . . . teisinga

b(t− 1) =1

1 + µE[b(t)|Ft−1].

Jeib(0) 6= 0, tai šis saryšis reiškia stochastini augima, interpretuojama kaip kainos didejimo l u-kesciu augima (detaliau apie racionaliuosius burbulus žr. Blanchard ir Fischer [13, 5 Skyrius]).Kai kurie kritikai teigia, kad toks racionalaus burbulo egzistavimas nesuderinamas su kitomisERH išvadomis (žr. [27]).

Kita finansiniu burbulu aiškinimo kryptis remiasi prielaida, kad dalies rinkos veikeju l ukes-ciai nera racional us, o formuojasi priklausomai nuo užgaidu, madu, gandu ir kito „triukšmo".Šis požiuris išpopuliarejo vel gi po Shiller [89] darbo pasirodymo. Remdamasis savo empiri-niais darbais apie perteklini kintamuma, R. J. Shiller grinde ypatinga visuomenes psichologijosvaidmeni aiškinant kainu nukrypimus. Rinkos veikeju psichologija grindžiama akciju kainosdinamikos teorija kartais vadinama tiesiogužgaidos modeliu(angl. fads model). Užgaida vadi-namas bet koks kainos nuokrypis nuo fundamentalios vertes atsirandantis del socialiai ar psi-chologiškai atsirndanciu pasikeitimu investuotoju sentimentuose. Formaliai akcijos kainosSkitimas užgaidos modeliu yra išreiškiamas Summers [94] pasi ulytu saryšiu

ln S(t) = ln S(t) + F (t) ir F (t) = λF (t− 1) + εt,

cia, kaip ir anksciau, S yra fundamentalioji verte, F yra akcijos kainos užgaida,0 ≤ λ < 1 –parametras reguliuojantis užgaida, oεt – atsitiktiniu dydžiu su nuliniu vidurkiu seka.

Minetos finansu rinkos anomalijos yra tik keletas svarbesniu pavyzdžiu. Didžiausia demesimatyt susilaukia bandymai paaiškinti ir prognozuoti finansu rinkos krizes. Su šios kryptiesdarbais ir rezultatais galima susipažinti nesenai pasirodžiusioje D. Sornette [92] knygoje.

Elgsenos finansu rinkos teorija. Finansu rinkos teorija, siekianti paaiškinti nukrypimus nuoERH remiantis investuotoju sentimentais, vadinama elgsenos finansu teorija (angl. behavioralfinance). Atsižvelgdama i tai, kad dalis rinkos veikeju elgiasi iracionaliai, ši teorija tiria tai,kaip tokia elgsena itakoja akciju kainas ir kitus vertybiniu popieriu rinkos aspektus. Tarp kitko,manoma, kad daugeliu atveju rinka nera efektyvi. Rinkos efektyvumas yra traktuojamas tikkaip specialus ir ekstremalus atvejis.

Elgsenos finansu rinkos teorija grindžiama dviem pagrindinemis idejomis. Pirmoji ideja yrajau anksciau minetas realaus arbitražo ribotumas. Ši ideja grindžiama tuo, kad realioje rinkojedalis akciju gali ir netureti tobulu pakaitalu, b utinu realizuojant arbitraža. Arbitražo ribotumas

padeda paaiškinti, kodel akciju kainos ne visada reikiamai reaguoja i nauja informacija arba,priešingai, akciju kainos reaguoja i rinkos pokycius, nesusijusius su nauja informacija. Taciauribotas arbitražas nedaug ka tepasako apie konkrecias rinkos neefektyvumo formas.

Antroji elgsenos finansu rinkos teorijos ideja yra investuotoju sentimentai – teorija, aiški-nanti kaip formuojasi investuotojuisitikinimai ir preferencijos. Kartu su ribotu arbitražu, inves-tuotoju sentimentu teorija leidžia prognozuoti akcijos kainu ir ju gražu elgesi. Šios dvi idejospapildo viena kita. Jei arbitražas neb utu ribotas, tai visi nukrypimai nuo pusiausvyrines kainosturetu b uti greitai panaikinti ir rinka taptu efektyvia netgi tuo atveju, kai investuotojai yra ira-cional us. Iš kitos puses, be investuotoju sentimentu, neatsirastu nukrypimu nuo pusiausvyrineskainos.

Finansu rinkos veikeju teorija. Ši teorija dar neturi savo nusistovejusio pavadinimo. Ang-liškai ji dažnai vadinama tiesiog „agent based modelling" arba „agent based computationalfinance" (žr. [53])5. Tiesa sakant, vargu ar dar galima kalbeti apie tokia tyrimu krypti kaipteorija, turincia visuotinai priimtina dominuojanti metoda (žr. [44, p. 1]). Šios krypties tyrimusvienija kritiškas poži uris i moderniosios finansu rinkos teorijos prielaida, kad racional us rin-kos veikejai yra homogeniški savo racionaliais l ukesciais. Vietoje to teigiama, kad visi rinkosveikejai yra heterogeniški, o ne tik iracional us. Moderniosios finansu rinkos teorijos konteks-te tai reiškia, kad tikimybinis matasP yra skirtingas kiekvienam rinkos dalyviui, ir todel (6)saryšiu nusakoma pusiausvyrine kaina yra skirtinga kiekvienam rinkos veikejui, kai tuo tarpuinformacijos aibe visiems yra ta pati. Esant skirtingiems kainos vertinimams, tolesnis matema-tinis rinkos kainu aprašymas tampa per daug sudetingu. Todel finansu rinkos veikeju teorijapaprastai naudojasi kompiuterinio modeliavimo metodais. Šios teorijos modeliuose svarbiausiaheterogenišku veikeju savybe yra ju saveika, del ko daugelis autoriu kalba apiesaveikaujanciuveikeju hipoteze(angl. interacting agents hypothesis) arbaheterogenines rinkos hipoteze(angl.heterogeneous market hypothesis) kaip alternatyva ERH.

Finansu rinkos veikeju teorijoje visi investuotojai skirstomi i kelias grupes pagal isitikini-mus ar l ukescius. Paprastai nagrinejamos dvi grupes. Pirmaja sudaro racional us veikejai arbafundamentalistai isitikine, kad vertybiniu popieriu kainas lemia ekonominiai principai. Antrajagrupe sudaro vadinamiejicartistai arba techniniai analitikai isitikine, kad ateities kainas galimaprognozuoti remiantis praeities kainu ir ju prekybos apimciu istorija. Šiu dvieju grupiu veik-la, pasireiškianti skirtingu investavimo strategiju naudojimu, yra modeliuojama remiantis labaiskirtingomis prielaidomis ir metodais. Pavyzdžiui, Brock ir Hommes [19] strategijos pasirin-kima laiko momentut ∈ 1, . . . , T modeliuoja naudodami atsitiktines naudingumo funkcijas,kurios, savo ruožtu, priklauso nuo iki momentot − 1 naudotos strategijos rezultatu. Taigi,rinkos veikejai šiame modelyje renkasi tas strategijas, kurios iki pasirinkimo momento dave di-džiausia pelna. Todel autoriai ši modeli vadinaprisitaikanciu isitikinimu sistema(angl. adaptivebelief systems). Akcijos kainu dinamika priklauso nuo to, kuri rinkos veikeju grupe dominuoja.Prisitaikanciu isitikinimu sistemos modelyje ERH atitinkantis tobulas visu rinkos veikeju racio-nalumas taip pat yra imanomas, o riboto racionalumo dydis priklauso nuo modelio parametru.Šis modelis rodo, kad abi rinkos veikeju grupes gali ilga laika gyvuoti kartu, t. y. fundamentalis-

5Su šios srities literat ura supažindina L. Tesfatsion tinklapis http://www.econ.iastate.edu/tesfatsi ir B. LeBarontinklapis http://www.unet.brandeis.edu/ blebaron/index.htm

tu strategijos neb utinai laimi evoliucine konkurencija sucartistu strategijomis, kas prieštaraujaERH. Antra vertus, prisitaikanciu isitikinimu sistemos modelis geba generuoti kai kuriuos fi-nansu ekonometrijos skyriuje aptartus finansiniu duomenu stilizuotus faktus: sunkias uodegas,kintamumo klasterizacija ir ilgalaike atminti.

Kitos finansu rinkos teorijos. Kaip matome, visa ši kontraversija supanti ERH, stimuliavoivairias finansu rinkos tyrimo kryptis. Kai kurios iš ju bando naudoti vis sudetingesnius mate-matinius modelius siekdamos racionaliai paaiškinti rinkos anomalijas, kitos gi atmeta raciona-laus aiškinimo galimuma iš principo. ERH galetu b uti tiriama taip pat ivairiais naujais aspektais.Viena iš tokiu galimybiu – laikyti ERH idealizacija, suteikiancia vertinimams atskaitos taška.Tai reiškia, kad galima b utu kalbeti apie skirtingu rinku tarpusaviosantykiniefektyvuma. To-kio poži urio potencialu naudinguma nesunku isivaizduoti prisiminus analogiškos efektyvumosavokos vartojima fizikoje. Tai sudaro vienos iš naujausiu finansu teorijos vystymosi krypciuesme. Kitu ERH tyrimo aspektu galetu tapti toks šios hipotezes apibendrinimas, kurio atžvilgiuyra galimas garantuotas pelnas, jei remiamasi techologine inovacija, t. y. kai kuriais atvejaisgaletu b uti galimas finansinis arbitražas. Šis poži uris taip pat nesunkiai pagrindžiamas lyginantfinansu rinka su kai kuriomis kitomis nefinansinemis rinkomis (detaliau apie tai žr. Farmer ir Lo[33]). Taciau, pastarieji autoriai mano, kad perspektyviausias yra biologinis poži uris i finansurinkas. Šio poži urio esme sudaro tai, kad finansu rinkos, ju instrumentai, ivairios institucijosir investuotojai, saveikaudami tarpusavyje, dinamiškai evoliucionuoja pagal ekonomines atran-kos „desnius". Pagal ši poži uri finansu rinkos veikejai konkuruoja ir prisitaiko, bet neb utinaioptimaliu b udu.

A Priedas

A.1 Akcijos kaina ir graža tolydaus laiko modelyje

Šiame priede kalbama apie kainos ir gražos saryši, panašu i ta, kuris apibrežiamas eksponenteir logaritmu, t. y.S(t) = expR(t) ir R(t) = lnS(t). Kaip rodo (12) formule, toks saryšisgaunamas kaiR yra tiesine funkcija. Toki pati saryši gautume, jei funkcijaR b utu tolydi irbaigtines variacijos. Taciau pastaroji savybe nera teisinga kaiR yra Wiener’io proceso trajek-torija. Todel apibendrinant (12) Wiener’io procesui tenka naudotis kitomis funkciju savybemis.Tokias savybes nusako funkcijos kvadratine variacija irp-variacija.

Tarkime, kad su kiekvienum ∈ 1, 2, . . ., λm yra intervalo[0, T ] skaidinys0 = tm0 < tm1 <· · · < tmn(m) = T . Taip pat tarkime, kadλm ⊂ λm+1 visiemsm, ir aibe∪λm: m ≥ 1 tirštaintervale[0, T ]. PažymekimeD[0, T ] aibe visu funkcijuf : [0, T ] → R, kurios yra tolydžiosiš dešines kiekviename tašket ∈ [0, T ) ir egzistuoja ribos iš kairesf(t−) kiekviename tašket ∈ (0, T ]. Toliau, tokios funkcijosf šuoli tašket ∈ (0, T ] žymesime∆f(t) := f(t)− f(t−).Sakysime, kad funkcijaf ∈ D[0, T ] turi kvadratineλ-variacija intervale[0, T ], jei egzistuojatokia funkcija[f ]λ ∈ D[0, T ], kad: a) [f ]λ(0) = 0, b) ∆[f ]λ(t) = [∆f(t)]2 ir c) riba

[f ]λ(t) = limm→∞

n(m)∑

[f(tmi ∧ t)− f(tmi−1 ∧ t)]2 (41)

egzistuoja, bei lygybe yra teisinga su kiekvienut ∈ (0, T ]. Kadangi funkcija[f ]λ yra nedide-janti, egzistuoja jos išskaidymas i tolydžia dali[f ]cλ ir visur tr ukia dali

∑(0,· ][∆f ]2. Nesunku

pastebeti, kad kvadratineλ-variacija[f ]λ egzistuoja ir visur lygi nuliui jeif yra tolydžioji baig-tines variacijos funckija.

Nenuline kvadratineλ-variacija turi beveik visos Wiener’io proceso trajektorijos. Tiksliau,egzistuoja tokia nulinio mato aibe N(λ) ∈ F , kad [W ]λ(t) := [W (·, ω)]λ(t) = t visiemst ∈[0, T ] ir ω ∈ Ω\N(λ). Kadangi Wiener’io proceso trajektorijos yra tolydžios, jos kvadratinesλ-variacijos tr ukioji dalis lygi nuliui. Kvadratines variacijos savybe Wiener’io procesui yra tikslita prasme, kad∪λN(λ) = Ω. Šias ir daugeli kitu Wiener’io proceso savybiu irode P. Lévy6

(1940) [56].Kita funkcijos charakteristika – funkcijosp-variacija – pirma karta Fourier eiluciu teorijoje

buvo panaudota N. Wiener (1924) [101]. Bet kuriems0 < p < ∞ ir funkcijai f : [0, T ] → R,dydis

vp(f ; [0, T ]) := sup n∑

|f(ti)− f(ti−1)|p: 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T

vadinamasf funkcijos p-variacija intervale [0, T ]. Sakoma, kadf funkcija turi baigtinep-variacija, jeivp(f ; [0, T ]) < ∞. Baigtines variacijos funkcija yra funkcija turinti baigtine1-variacija. Jei funkcija turi baigtine variacija, tai josp-variacija yra baigtine su kiekvienu1 ≤p < ∞. Bet ne atvirkšciai, kaip rodo Wiener’io proceso trajektorijos pavyzdys. Nat uralu,kad Wiener’io procesui2-variacijav2(W (·, ω); [0, T ]) = +∞ ir bet kuriamp > 2, p-variacijavp(W (·, ω); [0, T ]) < +∞ beveik visiemsω ∈ Ω. Pastaroji savybe aišku išplaukia iš jauminetos Wiener’io procesoα-Hölder’io savybes, teisingos su kiekvienuα < 1/2.

Dabar jau galime apibrežti akcijos kainos ir gražos procesus tolydaus laiko finansu rinkosmodelyje. Tarkime, funkcijaR ∈ D[0, T ] turi kvadratineλ-variacija[R]λ intervale[0, T ]. Tadaribos

S(t) := limm→∞

n(m)∏

[1 + R(tmi ∧ t)−R(tmi−1 ∧ t)]

= expR(t)− (1/2)[R]cλ(t)∏

(1 + ∆R)e−∆R (43)

egzistuoja kiekviename tašket ∈ [0, T ]. Be to funkcijaS ∈ D[0, T ], turi kvadratineλ-variacija[S]λ, apibrežta lygybe

[S]λ(t) =∫ t

0S2 d[R]λ, 0 ≤ t ≤ T, (44)

kurioje integralas egzistuoja sutankinto Riemann’o–Stieltjes’o integralo prasme, ir yra integra-lines lygties

S(t) = 1 +∫ t

0S dλR, 0 ≤ t ≤ T, (45)

6Paul Lévy (1886 – 1971) – pranc uzu matematikas

sprendinys. Pastarojoje lygtyje integralas yra intervalo[0, T ] skaidiniusλm, m ≥ 1, atitinkanciuRiemann’o–Stieltjes’o sumu riba kaim →∞, t. y.

0S dλR := lim

m→∞

n(m)∑

S(tmi−1 ∧ t)[R(tmi ∧ t)−R(tmi−1 ∧ t)].

Be to, (43) lygybe apibrežtai funkcijaiS, riba dešineje puseje

R(t) = limm→∞

n(m)∑

[S(tmi ∧ t)− S(tmi−1 ∧ t)]/S(tmi−1 ∧ t) =∫ t

0S−1 dλS (46)

egzistuoja ir lygybes galioja su kiekvienut ∈ [0, T ]. Nesunku pastebeti, kad tolydžiajai baig-tines variacijos funkcijaiR, dešinioji (43) lygybes puse yra tiesiog eksponente expR(t), odešinioji (46) lygybes puse yra logaritmaslnS(t).

Tokiu b udu, (43) ir (46) lygybes apibendrina eksponentines ir logaritmines transformacijudualuma. (43) lygybe apibrežta funkcijaS vadinamaakcijos kaina, o (46) lygybe apibrežtafunkcijaR – šiosakcijos graža. Abi funkcijos yra apibrežtos tik tuo atveju, kai jos turi kvadra-tineλ-variacija kuriam norsλ. FunkcijosR kvadratinesλ-variacijos egzistavimas b utinas tam,kad egzistuotu (43) riba jei, papildomai,R yra tolydi ir vp(R; [0, T ]) < ∞ su kuriuo norsp < 3.Jei vp(R; [0, T ]) < ∞ su kuriuo norsp < 2, tai (43) riba ir integralas (45) lygtyje egzistuojaklasikines analizes prasme, t. y. ribos egzistuoja (visu) intervalo skirstiniu smulkinimo prasme.Šie teiginiai ir daugelis kitu faktu susijusiu su baigtinesp-variacijos funkciju analize irodyti[28] ir [74] darbuose.

A.2 Black’o–Scholes’o formules irodymas

Tarkime, kad be rizikingo vertybinio popieriausS1 nusakyto geometriniu Wiener’io procesu

S1(t) = S1(0) expσW (t) + (µ− 1

2σ2)t, 0 ≤ t ≤ T,

rinkoje yra ir nerizikingas vertybinis popieriusS0, kurio kaina nusakoma tolydžiuju pal ukanunormar > 0, t. y. S0(t) = ert, 0 ≤ t ≤ T . Be to, tarsime, kad pirkimo pasirenkamasissandorius taip pat yra vertybinis popierius, kurio kaina yraH(t), t ∈ [0, T ]. TadaH(0) = Vyra ieškoma sažiningoji kaina, oH(T ) = H – sandorio išmoka (25). Irodysime, kad egzistuojatokia finansavimosi strategija(α, β), kad

α(t)S0(t) + β(t)S1(t) = H(t), 0 ≤ t ≤ T. (47)

TuometV ir bus Black’o ir Scholes’o si uloma sažininga kaina. Iš tikruju, sandorio pardavejasgaves pradine imokaV = H(0), toliau tolydžiai keisdamas portfeli(α(t), β(t)), laikotarpiopabaigoje turi sukaupes b utina pagal sandorio sutarti išmokaH = H(T ), t. y. strategija(α, β)sukuria hedžinga. Jei sandorio pardavejes paimtu imokaV ′ > V , tai laikotarpio pabaigoje jisturetu garantuota pelnaV ′ − V > 0. Jei sandorio pardavejes paimtu imokaV ′ < V , tai tapati „bizni" galetu padaryti pirkejas perpardaves sandori. Taigi, bet kuri kita kaina, nelygiV ,sukuria arbitraža.

Pradedami žadetaji strategiju egzistavimo irodyma, tarkime, kad egzistuoja tokia tolydžiojifunkcijaC = C(t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × (0,∞), kuri yra glodi aibeje [0, T ) × (0,∞) ir H(t) =C(t, S(t)) su visaist ∈ [0, T ] (toliau matysime, kad tokia funkcija iš tikruju egzistuoja). Jeifunkcija F = F (t, x), (t, x) ∈ [0, T ] × R yra glodi, o tolydžioji funkcijaf = f(t), t ∈ [0, T ]turi kvadratineλ-variacija[f ]λ, apibrežta (41) salyga, tai teisinga Itô formule

F (t, f(t)) = F (0, f(0)) +∫ t

0Ft(s, f(s)) ds +

0Fx(·, f) dλf +

0Fxx(·, f) d[f ]λ

su kiekvienut ∈ [0, T ], cia Ft, Fx, Fxx žymi dalines išvestines pagal nurodytus kintamuosius.Kadangi iš (44) išplaukia[S1]λ(t) = ∫ t

0 σS21(s) ds ir S1 yra (45) integralines lygties sprendinys,

tai pasinaudoje Itô formule, gauname lygybe

H(t) = H(0) +∫ t

0A(s)ds +

0σCx(s, S1(s))S1(s) dλS1(s) (48)

su kiekvienu0 ≤ t < T ; cia

A(t) := Ct(t, S1(t)) + µCx(t, S1(t))S1(t) +σ2

2Cxx(t, S1(t))S1(t)

Remdamiesi (47) lygybe, strategijos(α, β) finansavimosi salyga ir dar karta tuo, kadS1 yra(45) integralines lygties sprendinys, gauname

H(t) = H(0) +∫ t

0α dS0 +

0β dλS1

= H(0) +∫ t

[rα(s)S0(s) + µβ(s)S1(s)

0σβS1 dλS1. (49)

Strategijas(α, β) apibrežkime tokiu b udu:β(T ) := 0 ir

β(t) := Cx(t, S1(t)), jei t ∈ [0, T ),α(t) := [C(t, S1(t))− β(t)S1(t)]/S0(t), jei t ∈ [0, T ].

Tuomet, sulygine gauta (49)H(t) išraiška su (48), matome, kad funkcijaC privalo tenkintilygti dalinemis išvestinemis:

∂u∂t

+ Lu = 0 ant [0, T )× (0, +∞),u(T, x) = max0, x−K visiemsx ∈ (0, +∞),u(t, 0) = 0 visiemst ∈ [0, T ],

Lu(t, x) :=σ2

2x2∂2u

∂x2(t, x) + rx

∂x(t, x)− ru(t, x).

Nesunku patikrinti, kad ši lygtis turi (vieninteli) sprendini:

C(t, x) :=

xΦ(d1(t, x))−Ke−r(T−t)Φ(d2(t, x)), jei (t, x) ∈ [0, T )× (0, +∞),max0, x−K, jei (t, x) ∈ T × (0, +∞),0, jei (t, x) ∈ [0, T ]× 0,

d1(t, x) :=ln(x/K) + (r + σ2/2)(T − t)

T − tir d2(t, x) = d1(t, x)− σ

√T − t.

Black’o–Scholes’o (27) formule irodyta, kadangiV = H(0) = C(0, S1(0)). Pateiktojo iro-dymo esme yra (47) lygybe tenkinancios finansavimosi strategijos(α, β) egzistavimo irody-mas. Tokia strategija vadinamadinamiškuoju sandorio atkartojimu. Ši irodymo metoda pasi uleR. C. Merton [68]. Jis skiriasi nuo originalaus Black’o ir Scholes’o irodymo. Jo autoriai konst-ravo tokia finansavimosi strategija(1,−δ), kuria atitinkantis portfelisS1−δC b utu nerizikingas.Kitaip tariant, jie konstravo dinamiškajiobligacijosatkartojima. Deja, pastarasis irodymo me-todas turejo techniniu tr ukumu, kurie neseniai buvo pašalinti [82] darbe.

Literat ura

[1] http://finmath.com/Chicago/NAFTCORP/Bookshelf.html

[2] Aubin, J.-P.,L’analyse non linéaire et ses motivations économiques. Masson, Paris, 1984.Russian transl.: Mir, Moscow, 1988.

[3] Bachelier, L., Théorie de la Spéculation.Annales de l’Ecole normale superioure, 1900.Transl. by A. J. Boness: Theory of speculation. In:Random Character of Stock MarketPrices, Cootner, P. H. ed., MIT Press, Cambridge, 1964.

[4] Baillie, R. T., Bollerslev, T. and Mikkelsen, H. O., Fractionally integrated generalizedautoregressive conditional heteroskedasticity.Journal of Econometrics, 74 (1996), 3–30.

[5] Barndorff-Nielsen, O. E., Processes of normal inverse Gaussian type.Finance and Sto-chastics, 2 (1998), 41-68.

[6] Barndorff-Nielsen, O. E. and Shephard, N., Non-Gaussian Ornstein–Uhlenbeck-basedmodels and some of their uses in financial economics (with discussion).Journal of theRoyal Statistical Society, Series B, 63 (2001), 167–241.

[7] Battig, R. J. and Jarrow, R. A., The second fundamental theorem of asset pricing: a newapproach.The Review of Financial Studies, 12 (1999), 1219-1235.

[8] Benartzi, S. and Thaler, R., Myopic loss aversion and the equity premium puzzle.Quar-terly Journal of Economics, 110(1995), 73-92.

[9] Bernstein, P. L.,Capital Ideas. The Improbable Origins of Modern Wall Street. The FreePress, 1992.

[10] Black, F., Studies in stock price volatility changes. Proceedings of the American Statisti-cal Association, Business and Economic Statistics Section, (1976).

[11] Black, F., Noise.Journal of Finance, 41 (1986), 529-543.

[12] Black, F. and Scholes, M., The pricing of options and corporate liabilities.Journal ofPolitical Economy, 81 (1973), 637-659.

[13] Blanchard, O. and Fischer, S.,Lectures in Macroeconomics. M.I.T. Press, CambridgeMass., 1989.

[14] Bollerslev, T., Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity.Journal of Eco-nometrics, 31 (1986), 307–327.

[15] Bollerslev, T. and Mikkelsen, H. O., Modeling and pricing long memory in stock marketvolatility. Journal of Econometrics, 73 (1996), 151–184.

[16] Bouchaud, J.-P., An introduction to statistical finance.Physica A, 313(2002), 238-251.

[17] Bowman, R. G. and Buchanan, J., The efficient market hypothesis – a discussion ofinstitutional, agency and behavioural issues.Australian Journal of Management, 20 Nr.2 (1995), 155-166.

[18] Breidt, F. J., Crato, N. and de Lima, P., On the detection and estimation of long memoryin stochastic volatility.Journal of Econometrics, 83 (1998), 325–348.

[19] Brock, W. A. and Hommes, C. H., Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simpleasset pricing model.Journal of Economic Dynamics and Control, 22 (1998), 1235-1274.

[20] Campbell, J. Y., Lo, A. W. and MacKinlay A. C.,The Econometrics of Financial Markets.Princeton University Press, Princeton, 1997.

[21] Clark, P. K., A subordinated stochastic process model with finite variance for speculativeprices.Econometrica, 41 (1973), 135–155.

[22] Cont, R., Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues.Qu-antitative Finance, 1 (2001), 223-236.

[23] Cowles, A. Can stock market forecasters forecast?Econometrica, 1 (1933), 309-324.

[24] Cutler, D.M. Poterba, J.M. and Summers, L.H., What moves stock prices?Journal ofPortfolio Management, 15 (1989), 4-12.

[25] Debreu, G.,Theory of Value. An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium.A CowlesFoundation Monograph 17. Yale University Press, 1959.

[26] Delbaen, F. and Schachermayer, W., A general version of the fundamental theorem ofasset pricing.Mathematische Annalen, 300(1994), 463-520.

[27] Diba, B. and Grossman, H., The theory of rational bubbles in stock prices.EconomicJournal, 98 (1988), 746-754.

[28] Dudley, R. M. and Norvaiša, R.,Differentiability of Six Operators on Nonsmooth Func-tions andp-variation.Lecture Notes in Mathematics, vol. 1703 (1999), Springer, Berlin.

[29] Engle, R. F., Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the varianceof United Kingdom inflation.Econometrica, 50 (1982), 987-1008.

[30] Engle, R. F. and Ng, V. K., Measuring and testing the impact of news on volatility.Journal of Finance, 48 (1993), 1749–1778.

[31] Fama, E. F., Efficient capital markets: a review of theory and empirical work.The Journalof Finance, 25 (1970), 383-417.

[32] Farmer, J. D., Physicists attempt to scale the ivory towers of finance.Computing in Scien-ce and Engineering, 1, No. 6 (1999) 26-39.

[33] Farmer, J. D. and Lo, A. W., Frontiers of finance: evolution and efficient markets.Proce-edings of the National Academy of Science96 (1999), 9991-9992.

[34] Frankfurter, G. M. and McGoun, E. G., Ideology and the theory of financial economics.Journal of Economic Behavior and Organization, 39 (1999), 159-177.

[35] Giraitis, L., Robinson, P. M. and Surgailis,D., A model for long memory conditionalheteroskedasticity.Annals of Applied Probability, 10 (2000), 1002–1024.

[36] Giraitis, L., Leipus, R., Robinson, P. M. and Surgailis, D., LARCH, leverage and longmemory. Preprint, (2003).

[37] Glosten, L.R., Jagannathan, R. and Runkle, D.E., On the relation between the expectedvalue of the volatility and the volatility of the nominal excess return on stocks.Journalof Finance, 48 (1993), 1779–1801.

[38] Goldenberg, B., A unified method for pricing options on diffusion processes.Journal ofFinancial Economics, 29 (1991), 3–34.

[39] Grigelionis, B., Generalizedz-distributions and related stochastic processes.LietuvosMatematikos Rinkinys, 41 (2001), 303-319.

[40] Harrison, J. M. and Kreps, D. M., Martingales and arbitrage in multiperiod securitiesmarkets.Journal of Economic Theory, 20 (1979), 381-408.

[41] Harrison, J. M. and Pliska, S. R., Martingales and stochastic integrals in the theory ofcontinuous trading.Stochastic Processes and their Applications, 11 (1981), 215-260.

[42] Harvey, A., Long memory in stochastic volatility. In:Forecasting Volatility in the Finan-cial Markets(eds J. Knight and S. Satchell), Butterworth & Heineman, Oxford, 1998,325–348.

[43] Haugen, R. A.,The New Finance. The Case Against Efficient Markets.Second ed. Pren-tice Hall, New Jersey, 1999.

[44] Hommes, C. H., Financial markets as nonlinear adaptive evolutionary systems.Quanti-tative Finance, 1 (2001), 149-167.

[45] Hull, J. and White, A., The pricing of options on assets with stochastic volatilities.Jour-nal of Finance, 42 (1987), 281–300.

[46] Jensen, M., Some anomalous evidence regarding market efficiency.Journal of FinancialEconomics, 6 (1978), 95-101.

[47] Kahneman, D. and Riepe, M., Aspects of investor psychology.Journal of Portfolio Ma-nagement, 24 (1998), 52-65.

[48] Kahneman, D. and Tversky, A., On the psychology of prediction.Psychological Review,80 (1973), 237-251.

[49] Kahneman, D. and Tversky, A., Prospect theory of decisions under risk.Econometrica,47 (1979), 263-291.

[50] Kazakevicius, V. and Leipus, R., A new theorem on existence of invariant distributionswith applications to ARCH processes.Journal of Applied Probability, 40 (2003), 147–162.

[51] Kendall, M. G., The analysis of economic time-series. Part I: Prices.Journal of the RoyalStatistical Society, 96 (1953), 11-25.

[52] Kritzman, M. P.,Puzzles of Finance. Six Practical Problems and Their Remarkable So-lutions.John Wiley & Sons, New York, 2000.

[53] LeBaron, B., Agent-based computational finance: suggested readings and early research.Journal of Economic Dynamics and Control24 (2000), 679-702.

[54] LeRoy, S. F., Efficient capital markets and martingales.Journal of Economic Literature,27 (1989), 1583-1621.

[55] LeRoy, S. F. and Porter, R. D., The present-value relation: tests based on implied variancebounds.Econometrica, 49 (1981), 555-574.

[56] Lévy, P., Le mouvement brownien plan.American Journal of Mathematics, 62 (1940),487-550.

[57] Lintner, J., The valuation of risky assets and the selection of risky investments in stockportfolios and capital budgets.Review of Economics and Statistics, 47 (1965), 346-382.

[58] Lo, A. W. and MacKinlay, A. G.,A Non-Random Walk Down Wall Street. PrincetonUniversity Press, Princeton, 1999.

[59] Lobato, I. N., Savin, N. E., Real and spurious long-memory properties of stock-marketdata (with comments).Journal of Business & Economic Statistics, 16 (1998), 261–283.

[60] Malkiel, B. G.,A Random Walk Down Wall Sreet.Norton, 1996.

[61] Mandelbrot, B., The variation of certain speculative prices.Journal of Business, 36(1963), 394-419.

[62] Mandelbrot, B., Forecasts of future prices, unbiased markets and martingale models.Journal of Business, 39 (1966), 242-255.

[63] Mandelbrot, B. B.,Fractals and Scaling in Finance. Discontinuity, Concentration, Risk.Springer, New York, 1997.

[64] Mantegna, R. N. and Stanley, H. E.,An Introduction to Econophysics. Correlations andComplexity in Finance. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.

[65] Markowitz, H. Portfolio selection.Journal of Finance, 7 (1952), 77-91.

[66] Merton, R. C., Optimum consumption and portfolio rules in a continuous time model.Journal of Economic Theory, 3, 373-413.

[67] Merton, R. C., Theory of rational option pricing.Bell Journal of Economics and Mana-gement Science, 4 (1973), 141-183.

[68] Merton, R. C., On the pricing of contingent claims and the Modigliani-Miller theorem.Journal of Financial Economics, 5 (1977), 241-249.

[69] Modigliani, F. and Miller, M., The cost of capital, corporation finance, and the theory ofinvestment.American Economic Review, 48 (1958), 261-297.

[70] Mossin, J., Equilibrium in a capital asset market.Econometrica, October (1966), 768-783.

[71] Müller, U. A., Dacorogna, M. M., Davé, R., Olsen, R. B., Pictet, O. V. and von Weiz-säcker, J. E., Volatilities of different time resolutions – analyzing the dynamics of marketcomponents.Journal of Empirical Finance, 4 (1997), 213–240.

[72] Nelson, D. B., Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach.Econo-metrica, 59 (1991), 347–370.

[73] Nobelio 2002 m. ekonomikos mokslu premijos laureatai.Pinigu Studijos, Nr. 1 (2003),97–114.

[74] Norvaiša, R., Modelling of stock price changes: A real analysis approach.Finance andStochastics, 3 (2000), 343-369.

[75] Norvaiša, R. and Salopek, D. M., Estimating the Orey index of a Gaussian stochasticprocess with stationary increments: An application to financial data set. In:StochaticModels, Proc. Int. Conf., Otawa, Canada, June 10-13, 1998. Canadian Math. Soc., Con-ference Proceedings,26 (2000), 353-374.

[76] Norvaiša, R. and Salopek, D. M., Estimating thep-variation index of a sample function:An application to financial data set.Methodology and Computing in Applied Probability,4 (2002), 27-53.

[77] Osborne, M. F. M., Brownian motion in the stock market.Operations Research, 7 (1959),145-173.

[78] Paulos, J. A.,A Mathematician Plays the Stock Market. Basic, 2003.

[79] Prechter, R. R. Jr.,The Wave Principle of Human Social Behavior and the New Scienceof Socionomics. New Classics Library, US, 1999.

[80] Robinson, P. M., The memory of stochastic volatility models.Journal of Econometrics,101(2001), 195–218.

[81] Ross, S. A., The interrelations of finance and economics: theoretical perspectives.TheAmerican Economic Review, 77No. 2 (1987), 29-34.

[82] Rosu, I. and Stroock, D., Note on the derivation of the Black–Scholes formula. 2001 (toappear).

[83] Rubinstein, M., Rational markets: yes or no? The affirmative case.Financial AnalysisJournal, May-June (2001), 15-29.

[84] Samuelson, P. A., Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly.IndustrialManagement Review, 6 (1965), 41-49.

[85] Samuelson, P. A., Mathematics of speculative price.SIAM Review, 15 (1973), 1-42.

[86] Schachermayer, W., The Fundamental Theorem of Asset Pricing under Propor-tional Transaction Costs in Finite Discrete Time. (2001). Submitted for publ.http://doob.fam.tuwien.ac.at/ wschach/pubs/

[87] Sharpe, W. Capital asset prices: a theory of capital market equilibrium under conditionsof risk. Journal of Finance, 19 (1964), 425-442.

[88] Shiller, R. J., Do stock prices move too much to be justified by subsequent changes individends?The American Economic Review, 71, 421-435.

[89] Shiller, R. J.,Market Volatility.M.I.T. Press, Cambridge Mass., 1989.

[90] Shiryaev, A., N., Essentials of Stochastic Finance. World Scientific, Singapore, 1999.

[91] Shleifer, A.,Inefficient Markets. An Introduction to Behavioral Finance.Oxford Univer-sity Press, New York, 2000.

[92] Sornette, D.,Why Stock Markets Crash. Critical Events in Complex Financial Systems.Princeton University Press, 2003.

[93] Steinbach, M. C., Markowitz revisited: Mean-variance models in financial portfolio ana-lysis.SIAM Review, 43 (2001), 31-85.

[94] Summers, L. H., Does the stock market rationally reflect fundamental values?Journal ofFinance, 41 (1986), 591-601.

[95] Surgailis, D. and Viano, M.-C., Long memory properties and covariance structure of theEGARCH model.ESAIM: Probability and Statistics, 6 (2002), 311-329.

[96] Taqqu, M. S., Bachelier and his times: A conversation with Bernard Bru.Finance andStochastics, 5 (2001), 3-32.

[97] Taylor, S. J.,Modelling Financial Time Series. John Wiley & Sons, 1986.

[98] Tversky, A. and Kahneman, D., Advances in prospect theory: Cumulative representationof uncertainty.Journal of Risk Uncertainty, 5 (1992), 297-323.

[99] Voit, J.,The Statistical Mechanics of Financial Markets. Springer, berlin, 2001.

[100] Wiener, N., Differential spaces.Journal of Mathematical Physics. MIT, 2 (1923), 131-174.

[101] Wiener, N., The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients.Journal ofMathematical Physics. MIT, 3 (1924), 72-94.

[102] Williams, J. B.,The Theory of Investment Value. Cambridge, Harvard University Press,1938.

[103] Working, H., A random difference series for use in the analysis of time series.J. Amer.Statist. Assoc., 29 (1934), 11-24.

[104] Zakoian, J.-M., Threshold heteroskedastic models.Journal of Economic Dynamics andControl, 18 (1994), 931–955.

[105] Zigrand, J.-P., On physics and finance. London School of Economics. Special Paper 128,January 2001.

FINANSU˛ RINKOS TEORIJU˛ APŽVALGA - klevas.mif.vu.ltremis/apzvalga_paskutinis.pdf · Rinkos...

Documents

riska pārvaldību Eiropas Centrālajā bankā 2010. finanšu ... · banku un Kanādas Banku un izsūtīja aptaujas Ņujorkas Federālo rezervju bankai, Kanādas Bankai un Šveices

Elektroninių leidinių rinkos prognozės

Valstybes Finansu Kursinis Turto Mokestis

ŠALIES FINANSŲ RINKŲ VYSTYMO PRIORITETAI. pdf_V_Sapoka_pranesimas... · 2018-04-19 · BANKAI DRAUDIMAS KAPITALO RINKOS 3,1% 3,2% Didelė koncentracija Lietuvos finansų sektoriaus

Reklamos rinkos naujienos 2013 birželis

myriadcapital.lt · jau pažengusius dalyvius supaŽindinti su finansu rinka, platiai išnagrinêti ivairiu tipu finansines priemones. Dideli démesi kreipé i sistemines rinkos rizikas,

Antradienio „Rinkos aikštė“

6 paskaita FINANSŲ RINKOS

Reklamos rinkos naujienos 2013 rugpjūtis

1 Tema Finansu Samprata 140902

Verslininko - Lietuvos laisvosios rinkos institutas

ELEKTROS RINKOS KŪRIMO TENDENCIJOS

PASTARŲJŲ METŲ LIETUVOS BŪSTO RINKOS RAIDOS …...Veiklos sritys: finansų rinkos, finansinių disbalansų vertinimas, bankų sektorius, nekilnojamojo turto rinkos ir jos raidos

Rinkos Apzvalga 2009 H1

Lietuvos laisvosios rinkos instituto ATASKAITA

Lietuvių terminijos i štekliai : terminų bankai ir terminų žodynai Albina Auksoriūtė

DARBO RINKOS SITUACIJA KLAIPĖDOS MIESTE

Sanaksmes par ES fondu un citu Arvalstu finanSu ... · Ligita Lauce Vivita Pulina Alda Smojenska Inga Kirse Agnese Aivare Finans'u ministrija FinanSu ministrija Finansu ministrija

2016 2017 EKONOMIKOS IR NT RINKOS - inreal.lt · ekonomikos ir nt rinkos apŽvalga 2016 – 2017 metai │ 1 turinys santrauka 2 ekonomikos apŽvalga 5 bŪsto rinkos apŽvalga 10

Finansu Tfgfgeises Programa1(1)