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Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Étudier le sens de variation d’une suite

TS

8 décembre 2007

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Exercice

1 ExerciceQuestion 1Question 2Question 3

2 CorrigéQuestion 1Question 2Question 3

3 ThéorieSens de variation d’une suite

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Question 1.

Étudier le sens de variation de la suite suivante définie pour toutentier n par :

un =n2

n+1.

Théorie Corrigé

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Question 2.

Étudier le sens de variation de la suite suivante définie pour toutentier n par :

un =(

23

)n

.

Théorie Corrigé

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Question 3.

Étudier le sens de variation de la suite suivante définie pour toutentier n par :

un =p

3n+1 .

Théorie Corrigé

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Corrigé

1 ExerciceQuestion 1Question 2Question 3

2 CorrigéQuestion 1Question 2Question 3

3 ThéorieSens de variation d’une suite

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Calcul de un+1−un.

On étudie le signe de la différence.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Calcul de un+1−un.

On étudie le signe de la différence.On a

un+1−un =

=

=

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Calcul de un+1−un.

On étudie le signe de la différence.On a

un+1−un =(n+1)2

n+2−

n2

n+1

=

=

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Calcul de un+1−un.

On étudie le signe de la différence.On a

un+1−un =(n+1)2

n+2−

n2

n+1

=(n+1)2(n+1)

(n+2)(n+1)−

n2(n+2)

(n+1)(n+2)

=

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Calcul de un+1−un.

On étudie le signe de la différence.On a

un+1−un =(n+1)2

n+2−

n2

n+1

=(n+1)2(n+1)

(n+2)(n+1)−

n2(n+2)

(n+1)(n+2)

=n2 +3n+1

(n+1)(n+2).

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

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ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

n2 Ê 0 ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

n2 Ê 0 ;

3nÊ 0 ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

n2 Ê 0 ;

3nÊ 0 ;

1> 0.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

n2 Ê 0 ;

3nÊ 0 ;

1> 0.

Donc, par somme, n2 +3n+1> 0.TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

nÊ 0 ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

nÊ 0 ;

1> 0.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

+

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

nÊ 0 ;

1> 0.

Donc, par somme, n+1> 0.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

+

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

nÊ 0 ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

+

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

nÊ 0 ;

2> 0.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

+ +

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :

nÊ 0 ;

2> 0.

Donc, par somme, n+2> 0.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Conclusion.

On obtient le tableau de signes suivant :

0 +∞n2 +3n+1 +n+1 +n+2 +

n2+3n+1(n+1)(n+2)

+

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 1.Conclusion.

On obtient le tableau de signes suivant :

0 +∞n2 +3n+1 +n+1 +n+2 +

n2+3n+1(n+1)(n+2)

+

Ainsi, pour tout entier n ∈N, un+1−un > 0 c’est-à-dire

un+1 > un .

La suite est donc strictement croissante sur N. Retour

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 2.

La suite est une suite géométrique de raison q = 23 .

Cette raison vérifie0< q < 1 .

La suite est donc strictement décroissante sur N. Retour

TS Étudier le sens de variation d’une suite

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 3.

Pour tout n ∈N, on a un = f (n) avec f la fonction définie par

f (x)=p

3x +1 .

On étudie le sens de variation de la fonction f sur [0;+∞[.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 3.Sens de variation de f .

La fonction f : x 7→p

3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→

px .

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 3.Sens de variation de f .

La fonction f : x 7→p

3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→

px .

La fonction g : x 7→ 3x +1 est strictement croissante sur [0;+∞[à valeurs dans [1;+∞[ ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 3.Sens de variation de f .

La fonction f : x 7→p

3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→

px .

La fonction g : x 7→ 3x +1 est strictement croissante sur [0;+∞[à valeurs dans [1;+∞[ ;

la fonction h : x 7→p

x est strictement croissante sur [1;+∞[.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 3.Sens de variation de f .

La fonction f : x 7→p

3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→

px .

La fonction g : x 7→ 3x +1 est strictement croissante sur [0;+∞[à valeurs dans [1;+∞[ ;

la fonction h : x 7→p

x est strictement croissante sur [1;+∞[.

Propriété

La composée de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 3.Sens de variation de f .

La fonction f : x 7→p

3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→

px .

La fonction g : x 7→ 3x +1 est strictement croissante sur [0;+∞[à valeurs dans [1;+∞[ ;

la fonction h : x 7→p

x est strictement croissante sur [1;+∞[.

Propriété

La composée de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.

Donc f est strictement croissante sur [0;+∞[.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Correction 3.Sens de variation de (un).

Pour tout n ∈N, on a un = f (n) avec f strictement croissante sur[0;+∞[.La suite (un) est donc strictement croissante sur N.

Retour

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TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Théorie

1 ExerciceQuestion 1Question 2Question 3

2 CorrigéQuestion 1Question 2Question 3

3 ThéorieSens de variation d’une suite

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteDéfinitions.

Définition (Suite croissante)

Dire qu’une suite (un) est croissante sur N signifie que pour tout n,

un É un+1 .

u0 u1 u2 u3 u4 un un+1

Définition (Suite décroissante)

Dire qu’une suite (un) est décroissante sur N signifie que pour tout n,

un+1 É un .

u0u1u2u3u4unun+1

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteMéthodes.

Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut

étudier le signe de un+1 −un ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteMéthodes.

Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut

étudier le signe de un+1 −un ;

si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un

et leréel 1 ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteMéthodes.

Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut

étudier le signe de un+1 −un ;

si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un

et leréel 1 ;

si la suite est arithmétique ou géométrique, déterminer saraison ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteMéthodes.

Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut

étudier le signe de un+1 −un ;

si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un

et leréel 1 ;

si la suite est arithmétique ou géométrique, déterminer saraison ;

s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n),étudier les variations de f sur [0;+∞[ ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteMéthodes.

Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut

étudier le signe de un+1 −un ;

si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un

et leréel 1 ;

si la suite est arithmétique ou géométrique, déterminer saraison ;

s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n),étudier les variations de f sur [0;+∞[ ;

s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un+1 = f (un),étudier les variations de f et utiliser le principe de récurrence.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteSigne de un+1−un.

Propriété

Si pour tout n ∈N on a

un+1−un > 0 alors la suite est croissante sur N ;

un+1−un < 0 alors la suite est décroissante sur N.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où pour tout n ∈N, un > 0.

Propriété

Soit (un) une suite de termes strictement positifs.Si pour tout n ∈N on a

un+1un

> 1 alors la suite est croissante sur N ;

un+1un

< 1 alors la suite est décroissante sur N.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où la suite est arithmétique.

Définition

Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r appelé raison telque pour tout n ∈N,

un+1 = un + r ou un = u0 +nr .

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où la suite est arithmétique.

Définition

Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r appelé raison telque pour tout n ∈N,

un+1 = un + r ou un = u0 +nr .

Propriété

Une suite arithmétique est

strictement croissante sur N si r > 0 ;

n

un

0

u0

1

u1

2

u2

3

u3

r>0

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où la suite est arithmétique.

Définition

Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r appelé raison telque pour tout n ∈N,

un+1 = un + r ou un = u0 +nr .

Propriété

Une suite arithmétique est

strictement croissante sur N si r > 0 ;

strictement décroissante sur N sir < 0. n

un

3

u3

2

u2

1

u1

0

u0

r<0

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où la suite est géométrique.

Définition

Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q appelé raison telque pour tout n,

un+1 = q un ou un = u0 qn.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où la suite est géométrique.

Définition

Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q appelé raison telque pour tout n,

un+1 = q un ou un = u0 qn.

Propriété

Une suite géométrique est

strictement croissante sur N siq > 1 ;

Elle n’est pas monotone si q < 0. n

un

0

u0

1

u1

2

u2

3

u3

4

u4

q>1

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où la suite est géométrique.

Définition

Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q appelé raison telque pour tout n,

un+1 = q un ou un = u0 qn.

Propriété

Une suite géométrique est

strictement croissante sur N siq > 1 ;

strictement décroissante si 0< q < 1.

Elle n’est pas monotone si q < 0. n

un

4

u4

3

u3

2

u2

1

u1

0

u0

0<q<1

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un = f (n).

Propriété

S’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n) alors

si f est croissante sur [0;+∞[ alors la suite est croissante sur N ;

x

un

Cf

u0

u1

u2u3u4

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un = f (n).

Propriété

S’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n) alors

si f est croissante sur [0;+∞[ alors la suite est croissante sur N ;

si f est décroissante sur [0;+∞[ alors la suite est décroissantesur N.

x

un

Cf

u0

u1

u2u3u4

x

un

Cf

0

u0

1

u1

2

u2

3

u3

4

u4

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Exercice (Corrigé)

On considère la suite (un) définie par :

u0 = 1 et pour tout naturel n, un+1 =√

un +1 .

On admet que pour tout n ∈N, on a 0< un < 2.

1 Étudier le sens de variation de la fonction f : x 7→p

x +1 sur[0;2].

2 Démontrer par récurrence que (un) est croissante sur N.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Solution

1 La fonction f : x 7→p

x +1 est la composée de la fonction

g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p

x.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Solution

1 La fonction f : x 7→p

x +1 est la composée de la fonction

g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p

x.

La fonction g : x 7→ x +1 est strictement croissante sur

[0;2] à valeurs dans [1;3] ;

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Solution

1 La fonction f : x 7→p

x +1 est la composée de la fonction

g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p

x.

La fonction g : x 7→ x +1 est strictement croissante sur

[0;2] à valeurs dans [1;3] ;

la fonction h : x 7→p

x est strictement croissante sur [1;3[.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Solution

1 La fonction f : x 7→p

x +1 est la composée de la fonction

g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p

x.

La fonction g : x 7→ x +1 est strictement croissante sur

[0;2] à valeurs dans [1;3] ;

la fonction h : x 7→p

x est strictement croissante sur [1;3[.

Propriété

La composée de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Solution

1 La fonction f : x 7→p

x +1 est la composée de la fonction

g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p

x.

La fonction g : x 7→ x +1 est strictement croissante sur

[0;2] à valeurs dans [1;3] ;

la fonction h : x 7→p

x est strictement croissante sur [1;3[.

Propriété

La composée de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.

Donc f est strictement croissante sur [0;2].

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Solution

2 Soit la propriété « un < un+1 ». Montrons par récurrence qu’elle

est vraie pour tout entier n.

Initialisation.

Comme u0 = 1 et u1 =p

u0+1=p

2, on a u0 < u1.

Ainsi la propriété est initialisée au rang 0.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Solution

2 Soit la propriété « un < un+1 ». Montrons par récurrence qu’elle

est vraie pour tout entier n.

Hérédité.

Il existe donc au moins un entier ktel que :

uk < uk+1 .

Montrons que la propriété reste vraie au rang k +1.

On sait que la fonction f est strictement croissante sur [0;2]et que tous les termes de la suite (un) sont dans cet intervalle.

Donc si uk < uk+1 alors f (uk )< f (uk+1) i.e

uk+1 < uk+2

La propriété reste donc vraie au rang k +1.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Solution

2 Soit la propriété « un < un+1 ». Montrons par récurrence qu’elle

est vraie pour tout entier n.

Conclusion.

La propriété est donc héréditaire et initialisée au rang 0.

Elle est donc vraie pour tout entier n.

La suite (un) est strictement croissante sur N.

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Attention

Le sens de variation d’une suite définie par récurrence dépend de sonpremier terme u0.

x

un

Cf

y = x

u0x

un

Cf

y = x

u0

TS Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Attention

Le sens de variation d’une suite définie par récurrence dépend de sonpremier terme u0.

x

un

Cf

y = x

u0

(un) croissante

u0

u1u2

x

un

Cf

y = x

u0

(un) décroissanteu0u1u2

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