Étudier le sens de variation d'une suite - gconnan.free.frgconnan.free.fr/les pdf/exo_variation.pdf · Étudier le sens de variation d’une suite TS Exercice Question 1 Question

Étudier le sensde variationd’une suite

TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3

ThéorieSens de variationd’une suite

Étudier le sens de variation d’une suite

TS

8 décembre 2007

TS Étudier le sens de variation d’une suite


TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Exercice

1 ExerciceQuestion 1Question 2Question 3

2 CorrigéQuestion 1Question 2Question 3

3 ThéorieSens de variation d’une suite



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Question 1.

Étudier le sens de variation de la suite suivante définie pour toutentier n par :

un =n2

n+1.

Théorie Corrigé



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Question 2.


un =(

23

)n

.

Théorie Corrigé



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Question 3.


un =p

3n+1 .

Théorie Corrigé



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Corrigé






TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 1.Calcul de un+1−un.

On étudie le signe de la différence.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



On étudie le signe de la différence.On a

un+1−un =

=

=



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3




un+1−un =(n+1)2

n+2−

n2

n+1

=

=



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3




un+1−un =(n+1)2

n+2−

n2

n+1

=(n+1)2(n+1)

(n+2)(n+1)−

n2(n+2)

(n+1)(n+2)

=



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3




un+1−un =(n+1)2

n+2−

n2

n+1

=(n+1)2(n+1)

(n+2)(n+1)−

n2(n+2)

(n+1)(n+2)

=n2 +3n+1

(n+1)(n+2).



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1

(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)


n2 Ê 0 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)


n2 Ê 0 ;

3nÊ 0 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)


n2 Ê 0 ;

3nÊ 0 ;

1> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+


n2 Ê 0 ;

3nÊ 0 ;

1> 0.

Donc, par somme, n2 +3n+1> 0.TS Étudier le sens de variation d’une suite


TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+


nÊ 0 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+


nÊ 0 ;

1> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

+


nÊ 0 ;

1> 0.

Donc, par somme, n+1> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

+


nÊ 0 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

+


nÊ 0 ;

2> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



(n+1)(n+2).

un+1−un =n2 +3n+1

(n+1)(n+2)

+

+ +


nÊ 0 ;

2> 0.

Donc, par somme, n+2> 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 1.Conclusion.

On obtient le tableau de signes suivant :

0 +∞n2 +3n+1 +n+1 +n+2 +

n2+3n+1(n+1)(n+2)

+



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 1.Conclusion.

On obtient le tableau de signes suivant :

0 +∞n2 +3n+1 +n+1 +n+2 +

n2+3n+1(n+1)(n+2)

+

Ainsi, pour tout entier n ∈N, un+1−un > 0 c’est-à-dire

un+1 > un .

La suite est donc strictement croissante sur N. Retour



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 2.

La suite est une suite géométrique de raison q = 23 .

Cette raison vérifie0< q < 1 .

La suite est donc strictement décroissante sur N. Retour



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 3.

Pour tout n ∈N, on a un = f (n) avec f la fonction définie par

f (x)=p

3x +1 .

On étudie le sens de variation de la fonction f sur [0;+∞[.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 3.Sens de variation de f .

La fonction f : x 7→p

3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→

px .



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3





px .

La fonction g : x 7→ 3x +1 est strictement croissante sur [0;+∞[à valeurs dans [1;+∞[ ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3





px .


la fonction h : x 7→p

x est strictement croissante sur [1;+∞[.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3





px .




Propriété

La composée de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3





px .




Propriété


Donc f est strictement croissante sur [0;+∞[.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Correction 3.Sens de variation de (un).

Pour tout n ∈N, on a un = f (n) avec f strictement croissante sur[0;+∞[.La suite (un) est donc strictement croissante sur N.

Retour



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Théorie






TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation d’une suiteDéfinitions.

Définition (Suite croissante)

Dire qu’une suite (un) est croissante sur N signifie que pour tout n,

un É un+1 .

u0 u1 u2 u3 u4 un un+1

Définition (Suite décroissante)

Dire qu’une suite (un) est décroissante sur N signifie que pour tout n,

un+1 É un .

u0u1u2u3u4unun+1



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation d’une suiteMéthodes.

Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut

étudier le signe de un+1 −un ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3





si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un

et leréel 1 ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3






et leréel 1 ;

si la suite est arithmétique ou géométrique, déterminer saraison ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3






et leréel 1 ;


s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n),étudier les variations de f sur [0;+∞[ ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3






et leréel 1 ;


s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n),étudier les variations de f sur [0;+∞[ ;

s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un+1 = f (un),étudier les variations de f et utiliser le principe de récurrence.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation d’une suiteSigne de un+1−un.

Propriété

Si pour tout n ∈N on a

un+1−un > 0 alors la suite est croissante sur N ;

un+1−un < 0 alors la suite est décroissante sur N.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation d’une suiteCas où pour tout n ∈N, un > 0.

Propriété

Soit (un) une suite de termes strictement positifs.Si pour tout n ∈N on a

un+1un

> 1 alors la suite est croissante sur N ;

un+1un

< 1 alors la suite est décroissante sur N.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation d’une suiteCas où la suite est arithmétique.

Définition

Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r appelé raison telque pour tout n ∈N,

un+1 = un + r ou un = u0 +nr .



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Définition



Propriété

Une suite arithmétique est

strictement croissante sur N si r > 0 ;

n

un

0

u0

1

u1

2

u2

3

u3

r>0



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Définition



Propriété

Une suite arithmétique est

strictement croissante sur N si r > 0 ;

strictement décroissante sur N sir < 0. n

un

3

u3

2

u2

1

u1

0

u0

r<0



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation d’une suiteCas où la suite est géométrique.

Définition

Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q appelé raison telque pour tout n,

un+1 = q un ou un = u0 qn.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Définition



Propriété

Une suite géométrique est

strictement croissante sur N siq > 1 ;

Elle n’est pas monotone si q < 0. n

un

0

u0

1

u1

2

u2

3

u3

4

u4

q>1



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Définition



Propriété

Une suite géométrique est

strictement croissante sur N siq > 1 ;

strictement décroissante si 0< q < 1.

Elle n’est pas monotone si q < 0. n

un

4

u4

3

u3

2

u2

1

u1

0

u0

0<q<1



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation d’une suiteCas où un = f (n).

Propriété

S’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n) alors

si f est croissante sur [0;+∞[ alors la suite est croissante sur N ;

x

un

Cf

u0

u1

u2u3u4



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation d’une suiteCas où un = f (n).

Propriété

S’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n) alors

si f est croissante sur [0;+∞[ alors la suite est croissante sur N ;

si f est décroissante sur [0;+∞[ alors la suite est décroissantesur N.

x

un

Cf

u0

u1

u2u3u4

x

un

Cf

0

u0

1

u1

2

u2

3

u3

4

u4



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3


Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).

Exercice (Corrigé)

On considère la suite (un) définie par :

u0 = 1 et pour tout naturel n, un+1 =√

un +1 .

On admet que pour tout n ∈N, on a 0< un < 2.

1 Étudier le sens de variation de la fonction f : x 7→p

x +1 sur[0;2].

2 Démontrer par récurrence que (un) est croissante sur N.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution

1 La fonction f : x 7→p

x +1 est la composée de la fonction

g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p

x.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution




x.

La fonction g : x 7→ x +1 est strictement croissante sur

[0;2] à valeurs dans [1;3] ;



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution




x.




x est strictement croissante sur [1;3[.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution




x.





Propriété




TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution




x.





Propriété


Donc f est strictement croissante sur [0;2].



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution

2 Soit la propriété « un < un+1 ». Montrons par récurrence qu’elle

est vraie pour tout entier n.

Initialisation.

Comme u0 = 1 et u1 =p

u0+1=p

2, on a u0 < u1.

Ainsi la propriété est initialisée au rang 0.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution



Hérédité.

Il existe donc au moins un entier ktel que :

uk < uk+1 .

Montrons que la propriété reste vraie au rang k +1.

On sait que la fonction f est strictement croissante sur [0;2]et que tous les termes de la suite (un) sont dans cet intervalle.

Donc si uk < uk+1 alors f (uk )< f (uk+1) i.e

uk+1 < uk+2

La propriété reste donc vraie au rang k +1.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Solution



Conclusion.

La propriété est donc héréditaire et initialisée au rang 0.

Elle est donc vraie pour tout entier n.

La suite (un) est strictement croissante sur N.



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Attention

Le sens de variation d’une suite définie par récurrence dépend de sonpremier terme u0.

x

un

Cf

y = x

u0x

un

Cf

y = x

u0



TS

ExerciceQuestion 1

Question 2

Question 3

CorrigéQuestion 1

Question 2

Question 3



Attention

Le sens de variation d’une suite définie par récurrence dépend de sonpremier terme u0.

x

un

Cf

y = x

u0

(un) croissante

u0

u1u2

x

un

Cf

y = x

u0

(un) décroissanteu0u1u2

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