ejercicios de micro

TM 5-1Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

2015

Ejercicios

2015

Ejercicios

Profesor:Luis Moncada SalcedoMicroeconomía I

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Ejercicio N° 1

Con la siguiente función de utilidad:

Hallar:a) Las demandas Marshalianasb) La función de utilidad indirecta ( F.U.I)c) La validez de la Identidad de Royd) Las demandas Hicksianase) La función de gastof) La validez del Lema de Shephard

U=4

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Primal: El consumidor Maximiza utilidad sujeto a la recta de presupuesto

λ

𝑚=𝑃𝑥𝑥+𝑃 𝑦( 𝑥 .𝑃𝑥

𝑃𝑦)

𝑥❑𝑀=

𝑚2𝑃𝑥

𝑦❑𝑀=

𝑚2𝑃 𝑦

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Para hallarla en la función de utilidad directa se aplica la dualidad, se reemplazan las demandas marshalianas y de ser posible se reduce:

F.U.I Función de Utilidad Indirecta

𝑈 (𝑥 , 𝑦 ) ≡𝑉 (𝑝 ,𝑚 )=4 𝑥1/2 𝑦1/2

𝑉 (𝑝 ,𝑚 )=4 ( 𝑚2𝑃𝑥

)1 /2

( 𝑚2𝑃 𝑦

)1 /2

Aplicando de Identidad de Roy

𝑥𝑖=−

𝑑𝑣 (𝑝 ,𝑚)𝑑 𝑃 𝑖

𝑑𝑣 (𝑝 ,𝑚)𝑑𝑚

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Así:

Derivando: Entonces:

𝑉 (𝑝 ,𝑚 )=4 ( 𝑚2𝑃𝑥

)1 /2

( 𝑚2𝑃 𝑦

)1 /2

𝑑𝑣𝑑𝑃 𝑥

=−𝑚

𝑝 𝑦1 /2 .𝑝𝑥

3 /2

𝑑𝑣𝑑𝑃 𝑦

=−𝑚

𝑝 𝑦3 /2 .𝑝𝑥

1/2

𝑑𝑣𝑑𝑚

=2

𝑝𝑦1 /2 .𝑝𝑥

1/2

𝑥=−

−𝑚

𝑝𝑦

12 .𝑝𝑥

32

2

𝑝𝑦

12 .𝑝𝑥

12

= 𝑚2𝑝𝑥

𝑦=−

−𝑚

𝑝𝑦

32 .𝑝𝑥

12

2

𝑝 𝑦

12 .𝑝𝑥

12

= 𝑚2𝑝 𝑦

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Dual :El consumidor Minimiza la Restricción Presupuestaria sujeto a la Utilidad

𝐿=𝑝 𝑥 .𝑥+𝑝 𝑦 . 𝑦+λ (𝑢− 4 𝑥1 /2 𝑦1 /2)

𝜕𝐿𝜕 𝑥

=𝑝𝑥− 2 𝑦12 𝑥

− 12=0

4

𝜕𝐿𝜕 𝑦

=𝑝𝑦 −2 𝑥12 𝑦

− 12=0

𝑢=4 𝑥1 /2( 𝑥 𝑃𝑥

𝑃 𝑦)

1/2

𝑥𝐻=𝑢 .𝑃 𝑦

1/2

4𝑃𝑥1 /2

𝑦𝐻=𝑢 .𝑃𝑥

1 /2

4𝑃 𝑦1 /2

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Función del Gasto

Similarmente, tomando la F.U.I aplicamos las equivalencias y despejamos:

𝑉 (𝑝 ,𝑚 )=𝑈=4(𝑚≡𝑒 (𝑝 ,𝑈 )2𝑃𝑥

)1 /2

(𝑚≡𝑒(𝑝 ,𝑈)2𝑃 𝑦

)1/2

𝑈=4 (𝑒 (𝑝 ,𝑈 )2𝑃 𝑥

)1/2

(𝑒(𝑝 ,𝑈 )2𝑃𝑦

)1 /2

𝑒 (𝑝 ,𝑈 )=𝑢 .𝑃𝑥

1/2 .𝑃 𝑦1/2

2

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Aplicando el Lema de Shephard

h 𝑖 ( p , U )=𝜕𝑒(𝑝 ,𝑢)𝜕𝑃 𝑖

𝑥𝐻=𝑢 .𝑃 𝑦

1/2

4𝑃𝑥1 /2

𝜕𝑒(𝑝 ,𝑢)𝜕𝑃𝑥

=𝑢 .𝑃 𝑥

1 /2 .𝑃𝑦1/2

2

𝜕𝑒(𝑝 ,𝑢)𝜕𝑃 𝑦

=𝑢 .𝑃 𝑥

1 /2 .𝑃𝑦1/2

2 𝑦𝐻=𝑢 .𝑃𝑥

1 /2

4𝑃 𝑦1 /2

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Ejercicio N° 2

Suponga que el consumidor tiene como función utilidad ue dispone de una renta de que se enfrenta a un precio del bien y ( Si el precio del bien x pasa de a .

a) Obtenga el Efecto Sustitución y Renta por el Método de Hicks.

b) Obtenga el Efecto Sustitución y Renta por el Método de Slutsky.

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Max. S. a Cuando

=

𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕 𝑦

=𝑃𝑥

𝑃 𝑦

𝑦4 𝑥

=42

𝑦=8 𝑥

Reemplazamos en …

𝑈 0=50.2∗400.8

𝑥𝐴=5 𝑦𝐴=40

𝐴(5,40)

Equilibrio del consumidor:

Primero hallamos las funciones de demanda para encontrar las combinaciones óptimas de consumo, a través del Primal:

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𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕 𝑦

=𝑃𝑥

1

𝑃 𝑦

𝑦4 𝑥

=22

Max. S. a Cuando

𝑦=4 𝑥

Reemplazamos en …

𝑥𝐶=10 𝑦𝐶=40

𝑈 1=100.2∗ 400.8

C

=

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Determinando la canasta B ( para caso Hicks) :

𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕 𝑦

=𝑃𝑥

1

𝑃 𝑦

𝑦𝐵

4 𝑥𝐵=22

𝑦𝐵=4 𝑥𝐵

𝑥𝐵= 𝑦𝐵

4

𝑥𝐵=

𝑚1

10𝑦𝐵=

4𝑚1

10

𝑚1=87.05

𝑥𝐵=8.71 𝑦𝐵=34.82

B

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Hicks señala que para identificar el ES o efecto precio, hay que compensar alconsumidor, de modo que le permita obtener, con la nueva relación de precios, su nivel de utilidad original ( ). Esto lo consigue en el punto B del gráfico siguiente:

Efecto Sustitución y Renta según Hicks

𝑚0 𝑚1

RESUMEN:

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𝑥𝐴=5 𝑦𝐴=40Se sabe:

𝑥𝐶=10 𝑦𝐶=40

=

(Nuevos Precios)

𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑢𝜕 𝑦

=𝑃𝑥

1

𝑃 𝑦

𝑦4 𝑥

=22

𝑦𝐵=4 𝑥𝐵

𝑥𝐵= 𝑦𝐵

4

Determinando la canasta B ( para caso Slutsky) :

CANASTA «A» INICIAL

NUEVA CANASTA CON COMPENSACION «B»

90=10 𝑥𝐵

𝑥𝐵=9 𝑦𝐵=36

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Efecto Sustitución y Renta según Slutsky

Para hallar la canasta , según Slutsky, se debe mantener constante la capacidad adquisitiva del consumidor, esto implica compensar al individuo con un ingreso,tal que le permita adquirir nuevamente la canasta A, que elegía antes que variara Pero, así, el óptimo ya no sería en A sino en B y con un nivel de utilidad mayor, .

RESUMEN:

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Ejercicio N° 3Supongamos que Laura tiene un ingreso monetario de S/.1500.00 , que los destina al consumo de arroz (bien 1) y pollo ( bien 2) , cuyos precios son de S/. 1.50 por Kg y S/.12.00 por Kg respectivamente. Si el precio de arroz sube a S/.2.00 por Kg . ,determine :

a) La Curva de demanda compensada de Hicks.b) La Curva de demanda compensada de Slutsky.

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Primero hallamos las funciones de demanda para encontrar las combinaciones óptimas de consumo, a través del Primal:

Max. S. a Cuando

=

𝜕𝑢𝜕 𝑥1

𝜕𝑢𝜕 𝑥2

=𝑃𝑥1

𝑃𝑥2

130−2 𝑥2

=1.512

𝑥2=11

1500

𝑚=𝑃 𝑋 1. 𝑥1+𝑃𝑥2

. 𝑥2

𝑥1=912

𝐴(912,11)

𝑈 0=912+30 (11 )−112

𝑈 0=1121

TM 5-18Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

Primero hallamos las funciones de demanda para encontrar las combinaciones óptimas de consumo, a través del Primal:

Max. S. a Cuando

=

𝜕𝑢𝜕 𝑥1

𝜕𝑢𝜕 𝑥2

=𝑃𝑥1

∗

𝑃 𝑥2

130−2 𝑥2

=2

12

𝑥2=12

1500

𝑚¿𝑃𝑥1∗𝑥1+𝑃𝑥2

.𝑥2

𝑥1=678

C

𝑈 1=678+30 (12 ) −122

𝑈 1=¿ 894 ¿

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Determinando la canasta B ( para caso Hicks) :

1

30 −2 𝑥2𝐵=

212

𝑥2𝐵=12

B

𝜕𝑢𝜕 𝑥1

𝜕𝑢𝜕 𝑥2

=𝑃𝑥1

∗

𝑃 𝑥2

𝑥1𝐵=

𝑚1−144

2

Luego reemplazamos…

(12)

+ 30(12) -

𝑚1=1954𝑥1𝐵=905

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Efecto Sustitución y Renta según Hicks

RESUMEN:

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Curva de Demanda Compensada Hicksiana

=

𝜕𝑢𝜕 𝑥1

𝜕𝑢𝜕 𝑥2

=𝑃𝑥1

❑

𝑃𝑥2

𝑥2=¿15 −

𝑃2

2 𝑃1

¿

130 −2 𝑥2

=𝑃𝑥1

❑

𝑃𝑥2

Donde reemplaza en la función utilidad

𝑈 0=𝑥1+30 𝑥2−𝑥22

𝑈 0=𝑥1+30 (15−𝑃2

2𝑃1)−(15−

𝑃2

2𝑃1

)2

𝑋 1𝐻=𝑈 0 −30 (15 −

12𝑃1

𝑃2)+(15 −

12𝑃1

𝑃2)

2

TM 5-22Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

Efecto Sustitución y Renta según Slutsky

Se sabe: 𝐴(912,11)

C 𝑈 1=¿ 894 ¿

12 =2 Los nuevos precios son:

𝑥2𝐵=12

1

30 −2 𝑥2𝐵=

212

CANASTA «A» INICIAL

(11)NUEVA CANASTA CON COMPENSACION «B»

1956(12)𝑥1𝐵=906

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Efecto Sustitución y Renta según Slutsky

RESUMEN:

TM 5-24Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

Curva de Demanda Compensada Slutsky

=

𝜕𝑢𝜕 𝑥1

𝜕𝑢𝜕 𝑥2

=𝑃𝑥1

𝑃𝑥2

𝑥2=¿15 − 12

2𝑝 1∗¿

130 −2 𝑥2

=𝑝𝑥1

∗

𝑃𝑥2

Donde reemplaza en la función utilidad

mo + p1x1 = p11x1

B + p2x2B

La compensación al consumidor debe ser tal que la canasta A siga siendo asequible.

p1x = (0.5)(912) = 456 unidades monetarias

1500+ 456= p11x1

B + 12(15−12

2𝑝1∗ )

𝑥1𝑆=

1745𝑝1∗+72

𝑝1∗2

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Ejercicio N° 4Un consumidor tiene la función de utilidad siguiente:

Y su ingreso es de S/2520 , además los precios son S/. 2 y S/. 4 respectivamente.

a) Hallar las demandas Marshalianas b) Hallar las demandas Hicksianas c) Hallar el F.U.Id) Hallar la Elasticidad de Ingreso, Cruzada y Precio de Demanda del

bien “x”

TM 5-26Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

Primal: El consumidor Maximiza utilidad sujeto a la recta de presupuesto

λ

𝑚=𝑃𝑥𝑥+𝑃 𝑦( 𝑥 .𝑃𝑥

𝑃𝑦

− 4)

𝑥𝑀=𝑚+4𝑃 𝑦

2𝑃𝑥𝑦𝑀=

𝑚− 4𝑝 𝑦

2𝑃 𝑦

2520− 4(4)2 (4 )

=3132520+4 (4 )

2(2)=634

TM 5-27Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

Dual :El consumidor Minimiza la Restricción Presupuestaria sujeto a la Utilidad

𝜕𝐿𝜕 𝑥

=𝑝𝑥− 1𝑥=0

𝜕𝐿𝜕 λ

=𝑢− 𝑙𝑛𝑥− ln (𝑦+4 )=0

𝜕𝐿𝜕 𝑦

=𝑝𝑦 − 1

𝑦+4=0

𝑢=𝑙𝑛𝑥−ln (𝑥 .𝑝 𝑥

𝑝 𝑦

− 4+4)

𝑥𝐻=( 𝑝𝑥

𝑝 𝑦

.𝑒𝑢)1/2

𝑥𝐻=( 𝑝𝑥

𝑝 𝑦

.𝑒𝑢)1/2

− 4

¿ ( 42

.𝑒12,21095)1 /2

=634

313

TM 5-28Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

Para hallarla en la función de utilidad directa se aplica la dualidad, se reemplazan las demandas Marshalianas y de ser posible se reduce:

F.U.I Función de Utilidad Indirecta

TM 5-29Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

Elasticidad Ingreso:

𝐸𝑚𝑥=𝜕𝑥𝜕𝑀

.𝑀𝑥

𝐸𝑚=1

2𝑃𝑥

.𝑀𝑥

𝐸𝑚=𝑚

2𝑃𝑥 . 𝑋

𝐸𝑚=2520

2(2)(634 )

𝐸𝑚=0.99

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Elasticidad Cruzada:

𝐸𝑑𝑥 ,𝑦=𝜕 𝑥𝜕𝑃2

.𝑃2

𝑥

𝐸𝑥 ,𝑦=2𝑃 𝑥

.𝑃 𝑦

𝑥

𝐸𝑥 ,𝑦=2𝑃 𝑦

𝑃 𝑥 . 𝑥

𝐸𝑥 ,𝑦=2(4)

2 (634)

0.0063 𝐵𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑡𝑜𝑠

TM 5-31Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

Elasticidad Precio de Demanda:

𝐸𝑑𝑥=𝜕 𝑥𝜕𝑃𝑥

.𝑃 𝑥

𝑥

𝐸𝑑𝑥=−(𝑚+4𝑃 𝑦

2𝑃𝑥2 ) .

𝑃 𝑥

𝑥

𝐸𝑑𝑥=−(𝑚+4𝑃 𝑦

2𝑃𝑥 .𝑥 )𝐸𝑑𝑥=−( 2520+4 (4)

2(2)(634) )1 𝐵𝑖𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜

TM 5-32Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

Una empresa de desodorantes ha sufrido una variación en sus precios como se detallan en la siguiente tabla.

A. Se pide calcular las elasticidad punto de la demanda

B. Se pide calcular la elasticidad arco de la demanda.

Precio inicial

Precio modificado

EJERCICIO N°5

PRECIO (P) CANTIDAD (Q)

10 P1 20 Q1

20 P2 14 Q2

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• Aplicamos la formula PUNTO DE LA DEMANDA.

Epd = [(∆Qd/Qd)]/[(∆P/P)]

• Entonces.- Calculamos las variaciones

1. ∆ Qd/Qd = ( Q2 – Q1 ) / Q1

2. ∆ P/P = ( P2 – P1 ) / P1

SOLUCIÓN PARA «a»

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• Reemplazando datos tenemos:

1. ∆ Qd/Qd = [( Q2 – Q1 ) / Q1]= [(14-20)/20]= -0,3

2. ∆ P/P = [( P2 – P1 ) / P1]= [(20-10)/10]= 1

ENTONCES.

Epd = [(∆Qd/Qd)]/[(∆P/P)]

Epd = [-0,3/1] = -0,3 = 0,3 = Inelástica

Nota :

Los economistas eliminan el signo(-), en el entendimiento de que el precio y la cantidad demandada siempre se mueven en direcciones diferentes.

TM 5-35Copyright © 1998 Addison Wesley Longman, Inc.

• Aplicamos la formula ARCO DE LA DEMANDA.

Ead = [∆Qd/(1/2)(Qd1+Qd2)]/[∆P/(1/2)(P1+P2)]

• Entonces.- Calculamos las variaciones

1. [∆ Qd] / [(1/2)(Qd1+Qd2)]

= [( Q2 – Q1 ) ] / [(1/2)(Qd1+Qd2)]

2. [∆P]/ [(1/2)(P1+P2)]

= [( P2 – P1 ) ] / [(1/2)(P1+P2)]

SOLUCIÓN PARA «b»

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• Reemplazando datos tenemos:

1. = [( Q2 – Q1 ) ] / [(1/2)(Qd1+Qd2)]

= [(14-20)] / [(1/2) (14+20)] = (-6) / (17)

2. = [( P2 – P1 ) ] / [(1/2)(P1+P2)]

= [( 20-10)] / [(1/2)(10+20)] = (10) / (15)

ENTONCES.

Ead = [∆Qd/(1/2)(Qd1+Qd2)]/[∆P/(1/2)(P1+P2)]

Ead = [(-6) / (17)] / [(10) / (15) ] = -0,53 = 0,53 = Inelástica

Nota :

Los economistas eliminan el signo(-), en el entendimiento de que el precio y la cantidad demandada siempre se mueven en direcciones diferentes.