View
145
Download
2
Category
Tags:
Preview:
DESCRIPTION
Deret Dan Transformasi Fourier
Citation preview
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
1/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comDeret dan Transformasi Fourier
Deret Fourier
Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponenkomponensinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret
Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t)dapat dinyatakan sebagai deret Fourier :
[a w+ nw]
f
(t)= a
0
+
.
cos(
)
sin(
)
b
(1)t
t
n
0
0
n
n
n=1
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
2/60
yang dapat kita tuliskan sebagai
..
.a
.
..
)
ditentukan dengan hubungan berikut:
(cos(
22
.
w -.
f
(t)= a
)
b
+
+
(2)t
n
0
0
n
n
n
n=1
Koefisien Fourier a0, an, dan bn
.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
3/60
1
T0 /2
f (t)dt
-
a =
0
T
T0/2
0
2
T0 /2
f (t) cos( nw t)dt ; n > 0 (3)
0
-
.0
T /2
(t) sin( w t)dt ;00
-
a =
n
T
T0/2
0
2
.
.--
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
4/60
.
.
Hubungan (3) dapat diperoleh dari (1). Misalkan kita mencari an; kita kalikan (1) dengancos(kwot) kemudian kita integrasikan antara -To/2 sampai To/2 dan kita akan memperoleh
To /2 To /2
kk
b
f
>
=
n
n
n
T
T0/2
0
.
.
(t) cos(t)dt
cos(
t)dt
f
=
a
0
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
5/60
o
o
To /2
To /2
To /2
a cos( nw t) cos( kw t)dt
- n 0o
.
.
.
.
.
..
.
.
.
Dengan menggunakan kesamaan tigonometri
11
cos acos b= cos( a-b) + cos( a+b)
2211
cos asin b= sin( a-b) + sin( a+b)
22
maka persamaan di atas menjadi
oo
o
- o -
.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
6/60
.
.
..
To /2
.
+
To/2
sin( w ) cos( kw t)dt
0
- o
=1
b
+
t
n
n
n
To/2
/2
/2
T
T
kw
kw
.
n
(t)cos(
t)dt
cos(
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
7/60
t)dt
f
=
a
0
o
/2
/2
T
To
.
To /2
.
.
.
.
..
a
(cos(( )dt
0
-w+ +w
)
)
cos((
)
)
k
k
t
t
n
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
8/60
n
.
.
.
..
o
2
To /2
.
+
.
-
b
n
.
To /2
(sin(( - )w ) + sin(( + )w ))dtdt
0o
-
n
=1
+
k
k
t
t
n
n
2
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
9/60
To /2
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
10/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comKarena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral diruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaitu
aT /2 a
n o n
(cos(( n - k)w t))dt = yang terjadi jika n = k
0
2 .-To/2 2
2 To /2
f (t) cos( nw0t)dt oleh karena itu an =
T .-T /2
oo
Pada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fouriernyabernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnyadalam urain berikut ini.
Kesimetrisan Fungsi
Simetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika f(t)= f(-t).Salahsatu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos(wt) =cos(-wt).
Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan
[anw+ w]
0 n 0
.
(t)cos(
)
sin(
)
dan
f
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
11/60
b
= a
0
+
t
t
n
n
n=1
[an ]
0 n 0
+
.
(
-
t
w- w
)
= a
0
cos(
)
sin(
)
f
b
t
t
n
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
12/60
n
n=1
Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah bn = 0, dan f(t) menjadi
[a w]
.
f
(t)= a
o
+
cos(
)
(4)t
n
0
n
n=1
v(t)
CONTOH-1: Tentukan deret Fourier dari bentuk
A
gelombang deretan pulsa berikut ini.
-T/2To0 T/2
TPenyelesaian :
Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda To , lebar pulsa
T.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
13/60
T /2
1
At
AT
T /2
Adt
.
-T /2 T
T
o
-T/ 2
; b
n
=
0
;
=
=
=
a
o
T
o
o
2
.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
14/60
T /2 2A
T /2
A cos( nw t)dt = sin nw t
oo -T
-
=
a
n
/2
.
T
T
T /2
n
o
o
o
.
.
.
.
.
.
.
.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
15/60
npT
npT
2
A
A
.
..
.
..
sin
o
Untuk n = 2, 4, 6, . (genap), an = 0; an hanya mempunyai nilai untuk n =1, 3, 5, .(ganjil).
sin
2 sin
.
..
.
..
.
..
=
=
..
.
..
.
..
.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
16/60
..
.
pn
pn
T
T
o
.
.
.
.
pT
2
AT
A
n
.
.
(t)cos(
)
f
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
17/60
+
.
..
t
=
n
..
.
..
.
o
p
T
T
n
o =1,ganjilo
n
AT
2
A (n-1) / 2
(-1) cos( nw t)
o
.
+
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
18/60
=
p
T
n
o n=1,ganjil2/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
19/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comPemahaman :
Pada fungsi yang memiliki simetri genap, bn = 0. Oleh karena itu sudut fasaharmonisa tanqn = bn/an = 0 yang berarti qn = 0o.
Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t)= -f(-t).Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin(wt)= -sin(-w
t). Untukfungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan
[- ]
a
0
+
.
- -=-
w+ .
(
)
cos(
)
sin(
)
f
b
t
t
t
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
20/60
a
n
n
0
0
n
n
n=1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
[a w+ w]
f
(t)= a
0
+
.
cos(
)
sin(
)
b
t
t
n
n
0
0
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
21/60
n
n
n=1
maka haruslah
[b sin( w )]
0
.
f
(t)=
.
0 dan 0
(5)t
a
0
=
=
a
n
n
n
n=1
CONTOH-2: Carilah deret Fourier dari bentuk gelombang
v(t)
T
persegi di samping ini. A
t
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
22/60
Penyelesaian:
-A
Bentuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudoA, perioda To= T.
a = 0; a = 0;
o n
2
T /2
T
..
.
..
.
.
-.
.
.0 T.
A2AT /2 T
= (- cos( nw t) + cos( nw t) )
o
0o T /2
Tn w
o
A
2
=(1+ cos (np) - 2 cos( np))
npUntuk n ganjil cos(np)= -1 sedangkan untuk n genap cos(np) = 1. Dengan demikianmaka
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
23/60
A 4A
b =(1+1+ 2)= untuk n ganjil
n
pp 4A
sin(
t)dt
sin(
t)dt
b
A
+
=
n
n
n
o
o
T
/2
n
n
.
.
.
v(t)
sin(
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
24/60
)
t
=
n
o
p
A
n
(1+1- 2)= 0 untuk n genap n=1,ganjil
b
=
n
np
Pemahaman:
Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, an = 0. Oleh karena itu sudut fasaharmonisa tanqn = bn/an = atau qn = 90o.
Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengah
gelombang jika f(t)= -f(t-To/2). Fungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainyajika diinversi kemudian digeser setengah perioda. Fungsi sinus(wt) misalnya, jika kita kitainversikan kemudian kita geser sebesar p akan kembali menjadi sinus(wt). Demikain pulahalnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
25/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com
- f (t - To /2) =-a0 + S[- an cos( nw0(t -p)) - bn sin( nw0(t -p)) ]n=1
nn
=-a0 + S[- (-1) an cos( nw0t) - (-1) bn sin( nw0t)]n=1
Kalau fungsi ini harus sama dengan
f (t) = a0 + S[an cos( nw0t) + bn sin( nw0t)]n=1
maka haruslah ao= 0dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyai
harmonisa ganjil saja.
Deret Fourier Bentuk Eksponensial
Deret Fourier dalam bentuk seperti (1) sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus.Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (2). Sekarang bentuk (2) akankita ubahke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungan
ja+ - jacos a= ee.
2
Dengan menggunakan relasi ini maka (2) akan menjadi
..22 .
f (t) = a0 + .an + bn (cos( nw0t -qn ))
.
.
.
n=1
j(nw t-q ) - j(nw t-q )
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
26/60
0 n 0 n
.22 e + e .(6)
= a0 + S.an + bn.
2
n=1 .... .22 . .22 .
a + ba + b
nnj(nw t -q ) nn - j(nw t-q )
= a0 + S.e 0 n .+ S.e 0 n .
.2 ..2 .
n=1
n=1
...
.
Suku ketiga (6) adalah penjumlahan dari n = 1 sampai n =. Jika penjumlahan ini kitaubah mulai dari n = -1 sampai n = -, dengan penyesuaian an menjadi a-n , bn menjadi b-n ,dan qn menjadi q-n, maka menurut (3) perubahan ini berakibat
2
T0/2 2 T0/2
a=
.f (t) cos( -nw0t)dt =
.f (t) cos( nw0t)dt = an
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
27/60
-n
T0 -T0/2 T0 -T0/22 T0/2 2 T0/2
b=
.f (t) sin( -nw0t)dt =-
.f (t) sin( nw0t)dt =-b (7)
-n
T0-T0/2 T0 -T0/2b - b
-nn
tan q= = .
q =-q
-n-nn
aa
-nn
Dengan (7) ini maka (6) menjadi
.22 .
- .22 .
a+ ba + b
n nj(nw0t-qn ) n nj(nw0t -qn )
f (t) = S.e .+ S.e .(8)
.2 ..2 .
n=0n=-1
.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
28/60
..
.
Suku pertama dari (8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n = 0 untukmemasukkan a0 sebagai salah satu suku penjumlahan ini. Dengan cara ini maka (8)dapatditulis menjadi
4/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
29/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com22nn bac+=+ .22 .+
a + b.nn - jqn.j(nw0t) j(nw0t)
f (t) = S.e .e = Scn e (9).2 .
n=-8n=-
.
.
Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan cn adalah koefisien Fourier yang mungkinberupa besaran kompleks.
- jq an - jb n
ne =(10)
22
22
a + b
nn
n 2dan cn =qn dengan(11)
c
=
.- b ..b .
-1 n
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
30/60
-1 n
qn = tan....jika an < 0; qn = tan ....jika an > 0.an ..an .
Jika an dan bn pada (3) kita masukkan ke (10) akan kita dapatkan
an - jb n 1 T0 /2 - jn wnt
cn ==
f (t) e dt(12)
2 T .-T /2
00
dan dengan (12) ini maka (9) menjadi
+ +
.1 T0/2 .
j(nw0t)- jn wotj(nw0t)
f (t) = Scn e = S..
.f (t) e dt ..e(13)
T -T0/2
n=- n=- .0.
Persamaan (11) menunjukkan bahwa 2|cn| adalah amplitudo dari harmonisa ke-n dan
sudutfasa harmonisa ke-n ini adalah cn. Persamaan (10) ataupun (12) dapat kita pandangsebagai pengubahan sinyal periodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri darispektrumamplitudo dan spektrum sudut fasa. Persamaan (9) ataupun (13) memberikan f(t) apabilakomposisi harmonisanya cn diketahui. Persamaan (12) menjadi cikal bakal transformasiFourier, sedangkan persamaan (13) adalah transformasi baliknya.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
31/60
CONTOH-3: Carilah koefisien Fourier cn dari fungsi pada contoh-10.1.Penyelesaian :
T /2
- jn wot
1 T /2 A .e .
- jn wot
..T .-T /2 T .- jn w .
cn =
Aedt =
o
o .o .
-T /2
jn woT /2 - jn woT /2
A .e - e .2A
= .
.
.
.= sin (nw T /2)
o
nw Tj nw T
oo ..oo
Transformasi Fourier
Spektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (12) hanyaberlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal eksponensial dan sinyalanak tangga tidak dapat direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menanganisinyalsinyaldemikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum kontinyu.Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda tak-hingga.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
32/60
Jika diingat bahwa w0= 2p/T0 , maka (13) menjadi
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
33/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com
.
.
1
T0/2
- jn w
-
.
jn
w
0
t
.
t
f
(t)(t)f
dt
0
=
e
e
..
..
T
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
34/60
0
T0/2
n=-
(14)
1
T0/2
- jn w
-
.
..
..
jn
w
0
t
t
0
=
2
p
.
n=-
T0/2
f (t)
e
dt
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
35/60
.
e
0
Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T0 diperbesar. Karena w0=2p/T0makajika T0 makin besar, w0 akan makin kecil. Beda frekuensi antara dua harmonisa yang
berturutan, yaitu
2p
Dw = (n +1)w- nw =w =
0 00
T
0
.
juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu jumlahharmonisasemakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T0 diperbesar menuju maka spektrumsinyal menjadi spektrum kontinyu, Dw menjadi dw (pertambahan frekuensi infinitisimal),dan nw0 menjadi peubah kontinyu w. Penjumlahan pada (14) menjadi integral. Jadidenganmembuat T0 maka (14) menjadi
-- -
..
1
1
..
.
..
.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
36/60
- jw
w
w
j
j
t
t
t
w=
(w)
.
(t)(t)f
f
dt
d
F
d
(15)=
e
e
e
p
p
2
2
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
37/60
dengan F(w) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian rupa sehingga
- jwt
F (w)
.-
dan F(w) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasiF[ f (t)]= F (w)
Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan (15).
f (t) = F-1(w)
f (t)
dt (16)
=
e
CONTOH-4: Carilah transformasi Fourier dari bentuk
v(t)
gelombang pulsa di samping ini.
A
Penyelesaian :
-T/2 0
T/2
Bentuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyainilai antara -T/2 dan +T/2, sedangkan untuk t yang lain nilainya nol. Oleh karena ituintegrasi yang diminta oleh (16) cukup dilakukan antara -T/2dan +T/2 saja.
T /2
jwT /2 - jwT /2
- e
.
.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
38/60
A
A
T /2
e
Ae
- jw
t
dt
=-
- jw
t
F
(w)
=
..
.
..
.
=
j
e
w
.
/2
j
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
39/60
2
.
-T /2
-T /2
sin( wT / 2)
= AT
wT /2
Kita bandingkan transformasi Fourier (16)
- jwt
F (w)
=
f (t)
e
dt
.-
dengan koefisien Fourier
6/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
40/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.coman - jb n 1 T0/2 - jn wnt
cn ==
f (t) e dt (17)
2 T .-T0 /2
0
Koefisien Fourier cn merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda T0 yangterdiri dari spektrum amplitudo |cn| dan spektrum sudut fasa cn, dan keduanyamerupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentuyang diskrit). Sementara itu transformasi Fourier F(w) diperoleh dengan mengembangkanperioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita anggap sebagaisinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T0 pada cn dikeluarkan untukmemperoleh F(w) yang merupakan spektrum kontinyu, baik spektrum amplitudo |F(jw)
|maupun spektrum sudut fasa F(w).
CONTOH-5: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-4.
Penyelesaian :
Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu |F(jw)|.
2/)2/sin()(T
TATww =wF|F(w)|0 wPemahaman:
Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah nol sehinggaspektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perhatikan pula bahwa |F(w)| mempunyaispektrum di dua sisi, w positif maupun negatif; nilai nol terjadi jika sin(wT/2)=0yaitu pada w = 2kp/T (k = 1,2,3,); nilai maksimum terjadi pada w = 0, yaitu padawaktu nilai sin(wT/2)/(wT/2) =1.
-at
CONTOH-6: Carilah transformasi Fourier dari f(t)=[Ae ] u(t) dan gambarkanspektrum amplitudo dan fasanya.
Penyelesaian :
. .
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
41/60
-at - jwt -(a+ jw)t
F (w) = Ae u(t)e dt = Ae dt
- 0
-(a+ jw)t
A
=- Ae
= untuk a> 0
a+ jw
a+ jw
0
| A |
.F (w) =a2 +w2-1 w.q(w) =F( jw) =- tan
a
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
42/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com-90oa 0|F(w)wA/25q(w)
+90o
Pemahaman:
Untuk a < 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasi menjadi tidakkonvergen.
Transformasi Balik
Pada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan dengan mengaplikasikan
relasi formalnya yaitu persamaan (15). Hal ini dapat dimengerti karena aplikasiformula
tersebut relatif mudah dilakukan
CONTOH-7: Carilah f(t) dari
F (w) = 2pd (w)
Penyelesaian :
1 jwt 10+jwt
f (t) = 2pd (w) edw= - 2pd (w) edw
2p .- 2p .0
= .aa-+d(w)(1) dw= 1
Pemahaman :
Fungsi 2pd(w) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai diw=0 sebesar 2p. Oleh karena itu ejwt juga hanya mempunyai nilai di w=0 sebesar e
j0t =1. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di w=0 maka integral dari - sampai+ cukup dilakukan dari 0- sampai 0+, yaitu sedikit di bawah dan di atas w=0.Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyal searahberamplitudo 1 adalah 2pd(w).
CONTOH-8: Carilah f(t) dari
F ( jw) = 2pd (w-a)
Penyelesaian :
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
43/60
a+
1 jwt 1 jwt
f (t) = 2pd (w-a) edw= - 2pd (w-a) edw
2p .- 2p .a
a+
jatjat
= e -d(w-a) dw= e
.a
Pemahaman :
Fungsi 2pd(w-a) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilaidi w=a sebesar 2p. Oleh karena itu ejwt juga hanya mempunyai nilai di w=a sebesar
8/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
44/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comejat. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di w=a maka integral dari - sampai +cukup dilakukan dari a- sampai a+, yaitu sedikit di bawah dan di atas w=a.
CONTOH-9: Carilah f(t) dari
F (w) =pA [u(w+a) - u(w-a)]
a
Penyelesaian :
.
1 pAjwt
f (t) =[u(w+a) - u(w-a)]edw
2p -aa
jwt
1 pAjwt Ae
[] edw
= 1 =
.
2p -a 2a jt
-a
jat - jatjat - jat
Ae - e Ae - e sin( at)
==
= A
2a jt atj2 at
Pemahaman:
Dalam soal ini F(w) mempunyai nilai pada selang -a
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
45/60
F(w)w+b-b 0ADari Transformasi Laplace ke Transformasi Fourier
Untuk beberapa sinyal, terdapat hubungan sederhana antara transformasi Fourier dantransformasi Laplace. Sebagaimana kita ketahui, transformasi Laplace didefinisikan melalui
(8.1) sebagaiF (s) = .0f (t)e-st dt (18)
dengan s = s + jw adalah peubah frekuensi kompleks. Batas bawah integrasi adalahnol,artinya fungsi f(t) haruslah kausal. Jika f(t) memenuhi persyaratan Dirichlet maka integrasitersebut di atas akan tetap konvergen jika s = 0, dan formulasi transformasi Laplace inimenjadi
- jwt
F (s) = f (t)e dt (19)
.
.0
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
46/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comSementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi Fourier cukup dilakukandari nol,sehingga transformasi Fourier untuk sinyal kausal menjadi
- jwt
F (w) = f (t) e dt (20)
..0
Bentuk (20) sama benar dengan (19), sehingga kita dapat simpulkan bahwa
untuk sinyal f (t) kausal dan dapat di -integrasi berlaku
(21)F (w) = F (s) s=0
Persyaratan dapat di-integrasipada hubungan (21) dapat dipenuhi jika f(t)
mempunyai durasi yang terbatas atau cepat menurun menuju nol sehingga integrasi|f(t)|dari t=0 ke t= konvergen. Ini berarti bahwa pole-pole dari F(s) harus berada di sebelah kirisumbu imajiner. Jika persyaratan-persyaratan tersebut di atas dipenuhi, pencariantransformasi balik dari F(w) dapat pula dilakukan dengan metoda transformasi balik Laplace.
CONTOH-10: Dengan menggunakan metoda transformasi Laplace carilah transformasiFourier dari fungsi-fungsi berikut (anggap a, b > 0).
a). f (t) = Ae-atu(t)
1b). f 2(t) =d(t)
-at
c) f (t) = A[e sin bt]u(t)
3
Penyelesaian:
a). f (t) = Ae -atu(t) fungsi kausal dan dapat di -integrasi
1
F(s) = A pole p1 = -a (di kiri sumbu imag)s +a
1
F (w) =jw+a
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
47/60
b). f2(t) =d(t) fungsi kausal dan dapat di -integrasi
F (s) =1 F (w) =1-at
c). f (t) = A[e sin bt]u(t) fungsi kausal, dapat di -integrasi
3
A
F (s) = pole p = -a jb (di kiri sumbu im)(s +a)2 +b2Aa
F (w) ==22 222
( jw+a) +b a+b-w+ j2aw
10
CONTOH-11: Carilah f(t) dari F (w) =
( jw+ 3)( jw+ 4)
Penyelesaian :
Jika kita ganti jw dengan s kita dapatkan
10
F (s) =
(s + 3)( s + 4)
Pole dari fungsi ini adalah p1= -3 dan p2= -4, keduanya di sebelah kiri sumbuimajiner.
10/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
48/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com10 kk
F (s) == 1 + 2
(s + 3)( s + 4) s + 3 s + 410
10
k1 == 10 ; k =
=-10
2
s + 4 s + 3
s=-3 s=-4
10 10
.F (s) =-s + 3 s + 4Transformasi balik dari F(w) adalah :
-3t -4t
f (t) =[10 e -10 e ]u(t)
Sifat-Sifat Transformasi Fourier
Kelinieran. Seperti halnya transformasi Laplace, sifat utama transformasi Fourieradalah kelinieran.
Jika : F[f (t)]= F (w) dan F[f (t)]= F (w)
12
12
(22)maka : F[Af 1(t) + Bf 2(t)]= AF (w) + BF (w)
12
CONTOH-12: Carilah transformasi Fourier dari v(t) = cosbt.Penyelesaian:
Fungsi ini adalah non-kausal; oleh karena itu metoda transformasi Laplace tidakdapat di terapkan. Fungsi cosinus ini kita tuliskan dalam bentuk eksponensial.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
49/60
jbt - jbt
..
F[cosbt]= F.e + e.= 1F[ejbt ]+ 1
F[e- jbt ]
22 2
..
..
.jwt .
Dari contoh-8 kita ketahui bahwa Fe 2pd (w-b)
..=
..
Jadi F[cosbt]= pd (w-b) + pd (w+b)
Diferensiasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut
.df (t) .
F.= jwF (w) (23)
.
.dt .
Persamaan (15) menyatakan
1 jwt
f (t) = F(w) edw
.
2p -df (t) d .1 jwt .1 .djwt .
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
50/60
= ..F(w) edw.= ..(F(w) edw).dt dt .2p - .2p - .dt .
1 jwt
= jwF(w) edw
.
2p -8.df (t) .
FjwF (w)..
=
.dt .
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
51/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comIntegrasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut:
.t .F (w)
Ff (x)dx +pF (0)d(w) (24)
..- .=jw
..
Suku kedua ruas kanan (24) merupakan komponen searah jika sekiranya ada. FaktorF(0)terkait dengan f(t); jika w diganti dengan nol akan kita dapatkan
F (0) = f (t)dt
.
.-
CONTOH-13: Carilah transformasi Fourier dari f(t)= Au(t).Penyelesaian:
Metoda transformasi Laplace tidak dapat diterapkan untuk fungsi anak tangga.Dari contoh (10.b) kita dapatkan bahwa F[d(t)]= 1 . Karena fungsi anak tanggaadalah integral dari fungsi impuls, kita dapat menerapkan hbungan (24) tersebut
diatas.
t 1
F[u(t)]= Fd(x)dx = +pd (w)
.
.- jw
Pembalikan. Pembalikan suatu fungsi f(t) adalah mengganti t dengan -t. Jika kita
membalikkan suatu fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsi yang baru berlawanandengan urutan kejadian pada fungsi semula. Transformsi Fourier dari fungsi yangdibalikkansama dengan kebalikan dari transformasi Fourier fungsi semula. Secara formal halini dapatdituliskan sebagai
Jika F[ f (t)]= F (w) maka F[ f (-t)]= F (-w) (25)
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
52/60
Menurut (16)
- jwt
F[ f (-t)]= f (-t) e dt ; Misalkan - t =t
.
.
-
.-
jwt
F[ f (-t)]= F[ f (t)]= - f (t) edt
- jwt
= f (t) edt= F (-w)
.
.-
Sifat pembalikan ini dapat kita manfaatkan untuk mencari transformasi Fourier dari fungsisignum dan fungsi eksponensial dua sisi.
CONTOH-14: Carilah transformasi Fourier dari fungsi signum dan eksponensial duasisiberikut ini.
v(t)u(t)
v(t)
1e -atu(t)eu(-t)-a(-t)1
0
t
-u(-t)
-10 teksponensial dua sisi :signum : sgn(t)= u(t) - u(-t) e -a|t |= e -atu(t)+ e -a(-t) u(-t)
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
53/60
12/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
54/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comPenyelesaian :
1
Contoh-13 memberikan F[u(t)]=jw+pd(w) maka
2
F[sgn(t)]= F[u(t) - u(-t)]=jw
1
-at
Contoh-10.a memberikan F[eu(t)]= maka
a+ jw
-a|t| -at -a(-t)
F[e ]= F[eu(t) + eu(-t)]11 2a
=+ =
a+ jw a+ j(-w) a2 +w2
Komponen Nyata dan Imajiner dari F(.wwww). Pada umumnya transformasi Fourier darif(t), yaitu F(w), berupa fungsi kompleks yang dapat kita tuliskan sebagai
8
- jwt
F (w) = f (t) e dt = f (t) coswt dt - jf (t) sinwt dt
.
.- .- .-jqw
= A(w) + jB(w) = F (w) e
dengan
8
A(w) = f (t)cos wt dt ; B(w) =- f (t)sin wt dt(26)
.
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
55/60
.- .-22 -1.B(w) .
F (w) = A (w) + B (w); q(w) = tan ..(27)
..
A(w)
..
Jika f(t) fungsi nyata, maka dari (26) dan (27) dapat kita simpulkan bahwa
1.Komponen riil dari F(w) merupakan fungsi genap, karena A(-w)= A(w).2.Komponen imajiner F(w) merupakan fungsi ganjil, karena B(-w)=- B(w).3.|F(w)| merupakan fungsi genap, karena |F(-w)| = |F(w)|.4.
Sudut fasa q(w) merupakan fungsi ganjil, karena q(-w)=-q(w).5.Kesimpulan (1) dan (2) mengakibatkan : kebalikan F(w) adalah konjugat-nya, F(-w)=A(w) - jB(w)= F *(w).6.Kesimpulan (5) mengakibatkan : F(w) F(-w)= F(w) F *(w)=|F(w)|2.7.Jika f(t) fungsi genap, maka B(w) = 0, yang berarti F(w) riil.8.Jika f(t) fungsi ganjil, maka A(w) = 0, yang berarti F(w) imajiner.Kesimetrisan. Sifat ini dinyatakan secara umum sebagai berikut.
Jika F[ f (t)]= F (w) maka F[F (t)]= 2p f (-w)(28)
Sifat ini dapat diturunkan dari formulasi transformasi balik.
8
jwt- jwt
2p f (t) = F (w) edw 2p f (-t) = F (w) edw
.
.-8.-
- jwt
Jika t dan w dipertukarkan maka : 2p f (-w) = F (t) edw
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
56/60
.
.-
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
57/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comPergeseran Waktu. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
- jwT
Jika F[ f (t)]= F (w) maka F[ f (t - T )]= e F (w) (29)
Sifat ini mudah diturunkan dari definisinya.
Pergeseran Frekuensi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
- 1 -1 jbt
Jika F[F (w)]= f (t) maka F[F (w-b)]= ef (t) (30)
Sifat ini juga mudah diturunkan dari definisinya.
.
.
Penskalaan. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.
.w
1
Jika [ f (t)]= F (w) maka [ f (at )]= F
.
.
.
F
F
(31)| a |
a
Ringkasan
Tabel-1 berikut ini memuat pasangan transformasi Fourier sedangkan sifat-sifattransformasi Fourier termuat dalam Tabel-2.
Tabel-1. Pasangan transformasi Fourier.
Sinyal f(t) F(w)Impuls d(t) 1Sinyal searah (konstan) 1 2p d(w)
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
58/60
Fungsi anak tangga u(t) ( )1 + pd wjwSignum sgn(t) jw2Exponensial (kausal) ( )u(t)e-atwa + j1Eksponensial (dua sisi) |t|e-a222
+ waaEksponensial kompleks tje b )(2p d w - bCosinus cosbt [ )]()(p d w - b + d w + bSinus sinbt [ )]()(p d w - b - d w + b- j
14/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
59/60
DarpublicNopember 2013 www.darpublic.com DarpublicNopember 2013 www.darpublic.comTabel-2. Sifat-sifat transformasi Fourier.
Sifat Kawasan Waktu Kawasan FrekuensiSinyal f(t) F(w)Kelinieran A f1(t) + B f2(t) AF1(w) + BF2(w)Diferensiasidt
tdf ( )jwF(w)Integrasi .-tx dx f ( ) (0) ( )( ) d w+ pwwFFjKebalikan f (-t) F(-w)Simetri F (t) 2p f (-w)Pergeseran waktu f (t - T) (w)- wT Fje
Pergeseran frekuensi e j b t f (t) F(w - b)Penskalaan |a| f (at)......waF
5/23/2018 Deret Dan Transformasi Fourier
60/60
Recommended