Bab 11 getaran

1

Getaran(Vibrations)

gerak periodik, gerak harmonik, osilasi, atau getaranperiodic motion, harmonic motion, oscillation, or vibration

2

benda di ujung pegas

Mobil berosilasi naik-turun ketika melewati lubang

Getaran adalah gerakan bolak balik yang dialami suatu benda terhadap titik kesetimbangan.

Bandul jam dinding

3

Suatu balok diikat pada ujung pegas,

m : massa balok (kg)

k : tetapan pegas (N/m)

O : adalah titik kesetimbangan (posisi pegas tidak tertarik atau tertekan)

Dimanapun balok berada dari posisi setimbang maka balok cendrung kembali ke posisi setimbang oleh gaya F. Gaya yang memiliki sifat seperti ini disebut gaya pemulih (restoring force).

4

Amplitudo ( A ) : simpangan maksimum atau terjauh (meter)

Perioda ( T ) : waktu untuk menempuh satu getaran (sekon)

Frekuensi ( f ) : jumlah getaran yang terjadi dalam satu satuan

waktu (Hertz)

Bila bandul ditarik ke posisi P, lalu dilepaskan maka bandul akan bergerak bolak balik secara teratur dalam lintasan

P – O - Q – O – P – O – Q - ... demikian seterusnya.

Beberapa parameter yang menentukan karaktersitik getaran:

Satu getaran adalah gerak balok dalam lintasan P – O - Q – O – P

5

Gerak harmonik sederhana

k = konstanta pegas (N/m)m = massa beban (kg)

Perhatikan sistem balok pegas di atas permukaan horizontal tanpa gesekan. Bila pegas tidak ditarik atau ditekan balok berada pada posisi O (posisi kesetimbangan). Bila balok ditarik ke kanan, maka pegas akan menarik balok ke kiri dengan gaya:

Percepatan (a) ~ perpindahan (x)kxF −=

kx ma− =

xm

ka −=

F ma=

Bila pada benda bekerja gaya yang arahnya selalu berlawanan dengan arah perpindahan maka benda akan mengalami gerak harmonik sederhana (GHS).

Arah a berlawanan dengan perpindahan.

6

Jika (k/m) ditulis dengan ω2 maka persamaan menjadi

xm

ka −= x

m

k

dt

xd −=2

2

22

2 ... (1)

d xx

dtω= −

( )( ) cos ... (2)x t A tω φ= +

( ) ( )φωωφω +−=+= tAtAdt

d

dt

dxsincos

Persamaan (1) disebut persamaan getaran. Salah satu fungsi yang memenuhi persamaan ini adalah fungsi sinusoidal (sinus-cosinus).

Solusi Persamaan Getaran

Substitusi persamaan (2) ke (1)

7

x : simpangan setiap saat (posisi terhadap titik setimbang) dlm meter.

A : Amplutudo atau simpangan maksimum dalam meter.

: frekuensi sudut dalam radian/sekon

: tetapan fasa atau sudut fasa dalam derjat atau radian

22

2

d xx

dtω=−

( ) ( )2

2

2sin cos

d x dA t A t

dt dtω ω φ ω ω φ= − + = − +

Persamaan (2) memenuhi persamaan getaran dan disebut solusi persamaan getaran.

( )( ) cosx t A tω φ= +

φω

( ) fasa :φω +t

x(t)

t

A

-A

T

8

Persamanan getaran adalah fungsi trigonometri. Diketahui bahwa fungsi triginometri periodik dan berulang terhadap waktu dalam 2π rad. Perioda (T) adalah waktu untuk benda menempuh satu siklus. Maka nilai x pada t akan sama dengan nilai x pada ( t + T ). Sedangkan fasa naik 2π dalam waktu T sehingga,

( )2

2

2 /

2 / 2

t t T

T

T

T f

ω φ π ω φπ ω

π ωω π π

+ + = + +=

== =

( )( ) cosx t A tω φ= +

9

Perioda gerak balok pada ujung pegas

k

mT π2=

2

2

d x kx

dt m=−

22

2

d xx

dtω=−

m

k=ω

ω disebut frekuensi sudut

fπω 2=

fT

1=

1

2

kf

mπ=

2f

ωπ

=

10

Alat eksperimen untuk menunjukkan gerak harmonik sederhana.

)(waktu t

)(simpangan x

11

( )cosx A tω φ= +

x

t

TA

- A

ωφ

22 f

T

πω π= =

Kurva simpangan (x) terhadap waktu (t)

12

Amplitudo

Tiga getaran dengan fasa dan frekuensi yang sama tapi dengan amplitudo berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu adalah seperti gambar di bawah.

x

t

A3

A2

A1

13

Frekuensi dan Perioda

Dua getaran dengan amplitudo yang sama tapi dengan frekuensi yang berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu adalah seperti gambar di bawah.

t

xGetaran1

Getaran2

12 2 ff =12

12 TT =

T2

T1

14

Tetapan Fasa

Dua getaran dengan amplitudo yang sama tapi dengan tetapan fasa yang berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu adalah seperti gambar di bawah.

t

x

15

1. Sebuah bandul melakukan 20 getaran dalam waktu 10 detik, berapa periode and frekuensi getaran bandul tersebut ?

waktu total 10Perioda( ) = 0,5

jumlah getaran 20

tT

N= = =

1 12 Hz

0.5f

T= = =

16

Sebuah pegas dengan konstanta gaya pegas sebesar 20 N/m diberi beban 5 kg. Dari keadaan setimbang, pegas ditarik dengan gaya sebesar 20 N. Tentukanlah:a. simpangan maksimumb. periode getarannyac. frekuensi getarannya

20a. 1 m

20

FF kx x

k= → = = =

5b. 2 2 3,14 sekon

20

mT

kπ π= = =

1 1c. Hzf

T π= =

17

g

LT

g

LT 22 42 ππ =→=

2

2 2

40 m

4

T gL

π π= =

Perioda sebuah bandul 4 sekon. Hitung panjang tali penggantung bandul itu jika percepatan gravitasi adalah 10 m/s2.

18

Posisi, Kecepatan dan Percepatan Getaran

( )( ) cosx t A tω φ= +

( )φωω +−== tAdt

dxtv sin)(

x

t

v

t

19

( )2 2( ) cos ( )dv

a t A t x tdt

ω ω φ ω= = − + = −

a

t

x

t

( )( ) cosx t A tω φ= +

20

x

t

v

t

a

t

P O Q O P

Perhatikan, pada simpangan terjauh kelajuan adalah nol sedangkan besar percepatan maksimum. Kelajuan maksimum di titik kesetimbangan dan percepatan nol di posisi ini.

21

Suatu mesin piston berputar pada 4000 rpm (rotation per minute) dengan amplitude 5 cm:

2 1 2 2

MAX 0,05 m (419 s ) 8770 m/s a xω −= = × =

1

4000 2 / 60 radians/sekon

419 sekon

ω π−

= ×=

(5,00 cm)cosx tω=

22

Suatu benda mengalami GHS dengan amplitudo 0,500 m dan frekuensi 2,00 Hz. Tentukan (a) perpindahan, (b) kecepaatan, dan (c) percepatan pada waktu 0,0500 s.

Solusi:

Diketahui: A = 0,500 m, f = 2,00 Hz, t = 0,0500 s.

2 2 (2,00 Hz) 4,00 rad/s

(4,00 rad/s)(0,0500 s)

0,200 rad 0,628 rad

f

t

ω π π πω π

π

= = === =

cos( ) (0,500 m)cos(0,628 rad) 0,405 mx A tω= = =

23

- sin( )

(0,500 m)(4 rad/s)sin(0,628 rad)

3,69 m/s

v A t

v

v

ω ωπ

== −= −

2

2

2

cos( )

(0,500 m)(4 rad/s) cos(0,628 rad)

63,9 m/s

a A t

a

a

ω ωπ

== −= −

24

2 21 1

2 2E EK EP mv kx= + = +

Energi Getaran Osilator

25

1) What happens to the maximum speed?b) Doublesc) 4 x Largerd) Doesn’t change

2) What happens to the maximum acceleration?b) Doublesc) 4 x Largerd) Doesn’t change

3) What happens to the the total energy?b) Doublesc) 4 x Largerd) Doesn’t change

Suppose you double the amplitude of the motion:

26

L

m

Getaran Bandul

Bola bermassa m tergantung pada sebuah tali yang panjang L. Bandul ditarik dengan sudut kecil kemudian dilepas dan akibat tarikan gaya gravitasi maka bandul akan berayun (osilasi)

27

Bola di tarik oleh gaya tegangan tali (T ) dan gaya gravitasi mg. Komponen tangensial gaya gravitasi adalah mgsinθ.Arahnya selalu menuju θ = 0 atau titik kesetimbangan dan berlawanan dengan perpindahan (berfungsi sebagai gaya pemulih).

Terapkan Hukum II Newton untuk arah tangesial:

Dimana s adalah perpindahan bola sepanjang lengkungan. Karena s = Lθ dan L nilainya tetap maka persamaan menjadi:

∑ =−=2

2

sindt

sdmmgFt θ

θθsin

2

2

L

g

dt

d −=

28

Untuk sudut kecil maka sin θ ~ θ, sehingga persamaan dapat ditulis menjadi

Sekarang kita punya ekspresi yang sama dengan persamaan sebelumnya yang merupakan persamaan untuk gerak harmonik (balok di ujung pegas), yaitu

Dapat disimpulkan bahwa gerak bandul untuk perpindahan kecil adalah gerak harmonik sederhana. Dengan frekuensi angular:

Dengan perioda gerak:

θθL

g

dt

d −=2

2

xdt

xd 2

2

2

ω−=

L

g=ω

g

LT π

ωπ

22 ==

29

Jika suatu objek menggantung berosilasi pada titik tetap yang tidak melewati titik massa dan tidak dapat dianggap sebagai titik massa, maka sistem tidak bisa diberlakukan sebagai bandul sederhana. Kasus ini disebut bandul fisis.

Perhatikan benda tegar yang berputar pada titik O sehingga mempunyai jarak d dari pusat massa. Gaya gravitasi melakukan torsi pada sumbu melewati O, dan besar torsi adalah mgd sinθ,

Bandul Fisis

Gunakan hukum gerak: ∑ = ατ I

dimana I adalah momen inersia terhadap O: 2

2

sindt

dImgd

θθ =−

30

Untuk sudut kecil maka sin θ ~ θ, persamaan menjadi

Persamaan ini mempunyai bentuk yang sama dengan persamaan untuk bandul sederhana, gerak bandul fisis juga GHS. Dengan solusi:

( )φωθθ += tmaks cos

2mdI =Bila:

Yaitu bila semua massa terpusat pada pusat massa (CM) maka persamaan menjadi sama dengan persamaan untuk bandul sederhana.

θωθθ 2

2

2

−=

−=

I

mgd

dt

d

I

mgd=ω

mgd

IT π

ωπ

22 ==

31

Gerak osilasi yang dipelajari selama ini adalah untuk sistem ideal (gaya pemulih linier).Dalam banyak sistem nyata, gaya seperti gesekan, menghalangi gerak. Sehingga, energi mekanik sistem berkurang dengan waktu, dan gerak dikatakan teredam (damped).

OSILATOR TEREDAM

Salah satu contohnya adalah bila gaya penghalang sebanding dengan kelajuan objek dan dalam arah yang berlawanan dengan gerak. Misalnya terjadi pada benda yang bergerak pada udara.

32

Bila gaya penghalang kecil dibanding gaya pemulih maksimum, yaitu bila b kecil, maka solusi persamaan di atas

Gaya penghalang dapat dinyatakan sebagai R = - bv (dimana b adalah konstanta yang disebut koefisien redaman) dan gaya pemulih adalah F = - kx maka Hukum II Newton dapat ditulis sebagai

∑ =−−= xx mabvkxF

2

2

dt

xdm

dt

dxbkx =−−

( )φω +=−

tAext

m

b

cos2

33

Frekuensi angular osilasi adalah

ωo adalah frekuensi angular bila tidak ada gaya penghalang (osillator tidak teredam) dan disebut frekuensi natural sistem.

m

ko =ω

sistem dikatakan underdamped.

kAbvR maks <=Bila magnitudo dari gaya penahan maksimum

2 2

2

2 2

k b b

m m mω ω = − = −

Saat nilai R mendekati nilai kA maka nilai amplitudo turun semakin cepat (Kurva biru gambar 13.29.)

34

oc mb ω=2/Bila nilai b mencapai nilai kritis bc sehingga

Sistem tidak berosilasi dan dikatakan critically damped. Dalam kasus ini, sekali dilepas dari pada posisi tidak setimbang, kembali ke keadaan setimbang dan diam di posisi itu. (Kurva merah gambar 13.20)

35

Bila medium kental sehingga gaya penahan lebih besar daripada gaya pemulih, dan omb ω>2/

Sistem dikatakan overdamped. Sistem tidak berosilasi, tetapi kembali ke posisi setimbang. Ketika redaman naik, waktu yang diperlukan untuk mencapai kesetimbangan juga naik (Kurva hitam gambar 13.29).

maksmaks bvR >