Algebra y transformaciones lineales

ESPACIO VECTORIALSea V un conjunto no vacío

K un cuerpo (en particular R o C)

V es espacio vectorial sobre K , si:

Una operación (suma) interna en V, cumple los siguientes axiomas:

• (u+v)+w=u+(v+w) u,v,wV (asociatividad)

• u+v=v+u u,vV (conmutabilidad)

• 0V/uV, u+0=u (existencia de elemento neutro)

• uV, -uV/u+(-u)=0 (existencia de inverso aditivo u opuesto)

Observación: (V,+) grupo abeliano.

Una operación externa (producto por escalar), que a cada pareja K, uV, asocia un vector u de V y verifica:

• (u+v)= u+ v u,vV K

• (+)u= u+u u V , K• (u)=()u uV , K

• 1u=u (1=unidad de K) u V

Base de un espacio vectorial

Un subconjunto B no vacío, de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, distinto de cero, es una base de V si y sólo si:

1. B es linealmente independiente, y

2. B genera a V

Observaciones:

• El conjunto vacío es, por convención, la única base del espacio vectorial cero o nulo: {0}.

• Todo espacio vectorial tiene al menos una base.

• Un subconjunto B={v1,…,vn} de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, es una base de V si y sólo si para cada vector v en V existen escalares c1,…,cn (elementos de K) únicos, tales que

v=c1v1+…+cnvn

Dimensión de un espacio vectorial

Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, entonces se dice que V es dimensional finito, y n es la dimensión de V. Se expresa

dim(V)=n

La dimensión es un número bien definido y no depende de la elección de la base.

La dimensión del espacio cero {0}, se define como cero. Por consiguiente, {0} es dimensional finito.

Un espacio vectorial que no tenga una base finita se llama dimensional infinito.

Carezco de un don especial. Sólo soy apasionadamente curioso.

Albert Einstein (1879-1955)

TRANSFORMACIÓN LINEAL ENTRE DOS ESPACIOS VECTORIALES SOBRE UN MISMO

CUERPO

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K.

Una transformación lineal de V a W es una aplicación T:VW tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar de K:

1. T(u+v)=T(u)+T(v)

2. T(.u)= .T(u)

El signo + en u+v refiere a la suma en V, mientras que el signo + en T(u)+T(v) lo hace a la suma en W. Del mismo modo, las multiplicaciones por escalares .u y .T(u) se efectúan en V y W, respectivamente.

V W

La condiciones 1. y 2. son equivalentes a la única siguiente:

T:VW es una transformación lineal si y sólo si:

T(.u+.v)= .T(u)+ .T(v)

, K, u,vV

u

u+v.u

vT(u)T(v)

T(u+v)=T(u)+T(v)T(.u)= .T(u)

T

Propiedades:

• T(0v)=0w 0vV, 0wW

• T(-u)= -T(u) uV

En particular:• T es un monomorfismo T es inyectiva

• T es un epimorfismo T es sobreyectiva

• T es un isomorfismo T es biyectiva

Si W=V, entonces T se llama endomorfismo, y si éste es biyectivo recibe el nombre de automorfismo.

Transformaciones lineales triviales:

• O:VW/O(v)=0w (transformación nula)

• I:VW/I (v)=v (transformación identidad)

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Núcleo:

Es el conjunto de todos los vectores del dominio cuyas imágenes por T son el vector nulo del codominio.

N(T)={vV/T(v)=0w}

VW

N(T)

0w

PROPIEDAD:

El núcleo de toda transformación lineal entre dos espacios es un subespacio del primero.

Imagen:

Es el conjunto imagen del dominio, o sea, es la totalidad de las imágenes de los vectores del primer espacio.

I(T)={wW/vV :T(v)=w}

0v 0w

I(T)

V W

PROPIEDAD:

La imagen de toda transformación lineal entre dos espacios vectoriales es un subespacio del codominio.

Composición de transformaciones lineales

Sean T1:UV y T2:VW transformaciones lineales, ambas sobre un mismo K. Se define la transformación compuesta, T2T1:UW por:

(T2T1)(u)=T2 (T1(u)) uU

U V WuT1(u) T2(T1(u))

T1 T2

T2T1

Observación:

T2T1:UW es una transformación lineal.

Leyes de la composición:

Sean T1, T2 y T3 transformaciones lineales, las tres sobre el mismo cuerpo K, en las que están definidas las siguientes operaciones y sea cK. Entonces se verifican:

Potencias de una transformación lineal

Sea T:VV una transformación lineal:

T0=I T1=T T2=TT ... Tk=TT...T (k “factores”)

Potencias particulares de una transformación lineal

Sea T:VV una transformación lineal:

• T se dice idempotente si T2=T

• T de dice nilpotente si n: Tn=0

1. (T1T2)T3 =T1(T2T3)

2. T1(T2+T3)=T1T2 + T1T3

3. (T2+T3)T1= T2T1 + T3T1

4. c(T2T3)= (cT2)T3 = T2(cT3)

5. IT1=T1I=T1

6. 0T1=T10=0

• T se dice involutiva si T2=I

Transformaciones lineales invertibles

Una transformación lineal T:VV es invertible si existe una transformación T’:VV con la propiedad

TT’=I y T’T=I

A la transformación T’ se la llama inversa de T.

Recordemos: Si existe una inversa es única. Esta inversa única se representa por T-1. De ahí que

TT-1=I y T-1T=I

Observaciones:

• Si T es invertible, entonces T(v)=wT-1(w)=v

• T-1 es transformación lineal

T

T-1

Vv V

T(v)

Propiedades de las transformaciones lineales:

Sean V y W espacios vectoriales sobre K:

• Una transformación lineal T:VW es inyectiva, si y sólo si el único elemento del núcleo es el vector nulo del dominio.

• La imagen de cualquier conjunto linealmente dependiente, por una transformación lineal, es linealmente dependiente.

• Si T:VW es una transformación lineal y v1,v2,...,vr son elementos de V tales que sus imágenes constituyen un conjunto linealmente independiente en W, entonces v1,v2,...,vr son linealmente independientes.

• La imagen de todo conjunto linealmente independiente, dada por cualquier transformación lineal inyectiva, es un conjunto linealmente independiente.

• Sea T:VW una transformación lineal, si un conjunto de vectores, es sistema generador de V, entonces el conjunto de sus imágenes, es sistema generador de T(V)=I(T). Se llama rango de T a:

rang T=dim(I(T))

• Sea T:VW una transformación lineal, si U es un subespacio de V, entonces T(U) es una subespacio de W.

• Si T:VW es un isomorfismo, entonces T-1:WV es, también, un isomorfismo.

• Sea T:VW una transformación lineal, si S es un subespacio de W, entonces T-1(S) es un subespacio de V.

• Una transformación lineal T:VW es inyectiva, si y sólo si, un conjunto linealmente independiente de elementos de V tiene por imagen un conjunto linealmente independiente en W.

• Sea T:VW una transformación lineal. Entonces:dim V= dim N(T)+dim I(T)

• La transformación lineal T:VW tiene dimensión finita si y sólo si dimV=dim T(V).

• Sea T:VW una transformación lineal, si B={v1,v2,...,vr} es base de V,entonces T es inyectiva si y sólo si

T(B) ={T(v1),T(v2),...,T(vr)} es una base de T(V).

• Sea T:VW una transformación lineal , T isomorfismo de V en W si y sólo si transforma bases de V en bases de W.

• Si V tiene dimensión finita, una transformación lineal T:VW es un isomorfismo si y sólo si:

dim V= dim T(V)= dim W

• Una transformación lineal T:VV es un automorfismo si y sólo si T es inyectiva ó suryectiva.

• Una transformación lineal T:VW es un isomorfismo si y sólo siI(T)=W y N(T)={0v}

• La composición de dos isomorfismos es, también un isomorfismo.

• Si la transformación lineal T:VW es un isomorfismo, entonces T-1:VW también es un isomorfismo.

• Dos espacios vectoriales de dimensión finita (sobre el mismo cuerpo K) son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.

• El conjunto de las transformaciones lineales que van de V en V, constituye un álgebra.

Los vectores y las matrices se relacionan en forma íntima a través de la multiplicación matricial. Para una matriz fija A de mxn, cualquier vector x de n componentes, corresponde al vector Ax de m componentes. Esta correspondencia definida por el producto matricial Ax es el principal ejemplo de una transformación lineal.

Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en matemática, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, gráficas en computadora y otras áreas de la ciencia y de la vida diaria.

Ahora dirigiremos nuestra atención a un tipo contemporáneo de aplicación.

El dilema del caricaturista.

Un caricaturista emplea computadoras y álgebra lineal para transformar las imágenes que dibuja. Supongamos que trata de dar la sensación de movimiento a la imagen de la figura (a), inclinándola y estirándola (horizontalmente) en forma gradual para llegar a la de la figura (b). Si el estiramiento necesario, por ejemplo, a lo largo del eje x es 50%, ¿cómo puede modelarlo matemáticamente y hacer que la computadora trace la imagen inclinada?

El método debería ser independiente de la imagen inicial para poder aplicarlo a otros cuadros.

En la respuesta interviene una sencilla multiplicación de matriz por vector. De hecho, necesitamos multiplicar por la izquierda el vector coordenado de cualquier punto en el plano que deseemos transformar, por la matriz:

10

5,01

y

x

y

xS

y

x

RRS

x

x

10

5,01

: 22

Así,

es la transformación que se desliza en dirección positiva de x en un factor de 0,5.

TRANSFORMACIÓN MATRICIAL

Una transformación matricial T se expresa mediante T:RnRm y a ésta le corresponde una matriz A de mxn tal que:

T(x)=Axpara todo xRn. A se llama matriz (estándar) de T.

Ahora generalizaremos el concepto de la matriz estándar de una transformación matricial.

Toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensiones finitas puede representarse con una transformación matricial.

Este resultado útil nos permite evaluar transformaciones lineales mediante la multiplicación de matrices.

Matriz de una transformación lineal

Sea T:VW una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. Sea B={v1,…,vn} una base de V y B’={v’1,…,v’m} una base de W. La matriz A de mxn cuyas columnas son:

[T(v1)]B’,…,[T(vn)]B’

es la única matriz que satisface:

[T(v)]B’=A[v]B

para todo vV.

La matriz A se llama matriz de T con respecto a B y B’. Si V=W y B=B’, A se llama matriz de T con respecto a B.

v V

[v]B

Rn

[ ]B

T

Mult. por A

T(v)

A[v]B=[T(v)]B’

W

Rm

Matriz de una transformación lineal

[ ]B’

Observaciones:

• Si conocemos A es posible evaluar T(v) calculando [T(v)]B’ como A[v]B , lo cual es tan sólo una multiplicación de matrices.

• La matriz de T depende de T, B y B’. Aún cuando se modifica el orden de los vectores en una de las bases, la matriz de T cambia.

• Las únicas transformaciones lineales de Rn a Rm son las transformaciones matriciales.

EJEMPLO:

Sea la transformación lineal definida por

y sean las bases de donde

respectivamente.

a) Determine la matriz A de T con respecto a las bases B y B’

b) La matriz estándar de T, ¿es igual que A del inciso (a)?

c) Evalúe en forma directa y a partir del inciso (a).

yx

yx

yx

y

xTRRT

4

2

/: 32

',','',, 32121 vvvBvvB 32 ,RR

132231

1221

',','

,

evevev

evev

6

4T

SOLUCIÓN:

a) En este caso

y

A continuación necesitamos [T(e2)]B’ y [T(e1)]B’. Es fácil verificar que,

y

4

1

1

1

02 TeT

1

1

2

0

11 TeT

1

1

4

4

1

1

'B

2

1

1

1

1

2

'B

Por consiguiente,

2

1

1

1

1

4

A

b)La matriz estándar de T, que también es la matriz de T con respecto a la base estándar, es

que no es igual que A.

c)Al sustituir en la fórmula para T, se obtiene

Por otro lado, para usar A se necesita ,que es

4

1

1

1

1

2

20

10

2

6

4T

B

6

4

4

6

Así, por la definición de un vector coordenada con respecto a B’,

2

10

20

4

6

2

1

1

1

1

4

6

4

'B

T

20

10

2

0

0

1

2

0

1

0

10

1

0

0

206

4T

De manera que,

Transformaciones lineales y operaciones matriciales

Sean T1 y T2 transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensiones finitas, con matrices A y B con respecto a bases fijas. Entonces, la matriz de la transformación lineal:

1. T1+T2 es A+B;

2. T1-T2 es A-B;

3. -T1 es –A;

4. cT1 es cA;

5. T1T2 es AB

Cambio de base y la matriz de una trasformación lineal

Sea T:VV una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión finita en sí mismo. Sean B y B’ dos bases de V, y sea P la matriz de transición de B’ a B. Si A es la matriz de T con respecto a B y si A’ es la matriz de T con respecto a B’, entonces:

A’=P-1AP

xRn

Px Rn

P

A´

El efecto del cambio de base

A’x=P -1APx

APx

Rn

Rn

P-1

[T()]B’

A

[T()]B

Generalizando:

Sea T:VW una trasnformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita sobre un mismo cuerpo K, y sea A la matriz asociada a T respecto de ciertas bases de V y W. Si en V y W se cambian las bases y llamando P y Q a las matrices de los respectivos cambios de coordenadas, entonces la matriz asociada a T en las nuevas bases es la

A’=Q-1AP

En los últimos años ha surgido un área nueva en las matemáticas, llamada geometría fractal. Aunque esta geometría tiene sus raíces en varias contribuciones importantes como las de Cantor, Sierpinski, von Koch, Peano y otros matemáticos del siglo XIX, no fue sino hasta fines de la década de los setenta que llegó a ser un “campo nuevo”. Esto se debió al trabajo del precursor Benoit Mandelbrot de la IBM Corporation, y a la disponibilidad de computadoras rápidas. La palabra fractal, introducida por Mandelbrot, se usa para describir figuras con “infinitas repeticiones de la misma forma”.

M. Barnsley observó que pueden obtenerse muchos objetos “fractaloides” graficando iteraciones de ciertas transformaciones especiales llamadas afines.

El triángulo de Sierpinski

Sean f1, f2 y f3 las tres transformaciones afines de R2 a R2 expresadas por:

El triángulo de Sierpinski puede generarse como sigue: comenzamos con un triángulo, por ejemplo aquel cuyos vértices están en (0,0), (1,0), (0,1) y elegimos un punto dentro de él y lo graficamos, digamos, en el punto (½,½). A continuación seleccionamos al azar una de las transformaciones f1, f2 o f3, digamos fi, y se calcula y grafica fi (½,½). Partiremos de este nuevo punto y repetiremos el proceso tanto como lo deseemos. La imagen que resulta es un “objeto fractal” que parece un triángulo con agujeros triangulares (si se grafican bastantes puntos).

2

10

2

10

02

1

02

1

2

10

02

1

2

10

02

1

3

2

1

xxf

xxf

xxf

Bibliografía consultada:

• Apostol, T. “Calculus, Vol. 2”. Reverté

• Apuntes de Álgebra II por E.D. Fongi. FRR. UTN.

• Burgos, J. “Álgebra Lineal”. Mc Graw Hill.

• Herstein, I. “Álgebra Moderna”. Trillas.

• Nakos, G. – Joyner, D. “Álgebra Lineal con Aplicaciones”. Thomson.

• Rojo, A. “Álgebra”. El Ateneo.

• Strang, G. “Álgebra Lineal y sus aplicaciones”. Adisson Wesley.

Realizado por: Prof. Micaela Susana Luque

2007