Algebra Lineal I Transformaciones Lineales

8/19/2019 Algebra Lineal I Transformaciones Lineales

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Álgebra Lineal


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II


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Índice general

Introducción V

4. Transformaciones lineales 1014.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2. Nucleo e imagen de una transformación lineal. . . . . . . . . . . . . . . 1134.3. Representación de transformaciones lineales por matrices. . . . . . . . 1284.4. Sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones lineales . . . . . . . 1434.5. Espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

II I


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IV ÍNDICE GENERAL


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Introducción

V


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VI 0. INTRODUCCIÓN


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Capı́tulo 4

Transformaciones lineales

HABIENDO COMENZADO EL ESTUDIO DE LOS ESPACIOS VECTORIALES, es naturalpensar en compararlos. Para esto, como los espacios vectoriales son conjuntos,sabemos que las funciones entre conjuntos son relaciones entre ellos y de algunamanera los comparan. Ahora bien, los espacios vectoriales son conjuntos con una es-tructura adicional, a saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalaresdel campo dado. Ası́, las funciones entre espacios vectoriales que nos interesan sonaquellos que preservan la estructura de espacio vectorial de los espacios involucrados;es decir, consideraremos funciones entre espacios vectoriales que respetan la sumade vectores y el producto de un escalar por un vector. Estas funciones se dice que

son lineales y en este capı́tulo comenzamos su estudio, mostrando sus propiedadespara culminar con la conexión entre funciones lineales entre espacios vectoriales dedimensión finita y matrices con entradas en el campo dado.

4.1. Transformaciones lineales

En esta sección comenzamos el estudio de las funciones lineales entre espaciosvectoriales y de algunos subespacios vectoriales asociados a ellas. Varios ejemplosilustrarán los conceptos y propiedades que veremos, en particular consideraremos

ejemplos importantes que provienen de la geometrı́a de R2, a saber, rotaciones, re-flexiones y proyecciones. También veremos algunos ejemplos que nos provee el Cálcu-lo: la derivación e integración son funciones lineales.

Definición 4.1.1 Sean V y W dos K−espacios vectoriales. Una transformaci ´ on lineal deV en W , es una funci´ on T : V → W que respeta la estructura de espacio vectorial, esto es,se tiene que

1. T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V, (aditividad),

2. T (λv) = λT (a), ∀λ ∈ K, ∀v ∈ V, (saca escalares).

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102 4. TRANSFORMACIONES LINEALES

Notación 4.1.2 Si T : V → W es una transformaci´ on lineal, algunas veces diremos que

T : V → W es K-lineal, para enfatizar el papel del campo K en la definici´ on. Tambi´ endiremos que T es una aplicaci´ on lineal o una funci´ on lineal.

Ejemplo 4.1 La funci´ on identidad, la funci´ on cero y la funci´ on homotecia son transfor-maciones lineales. M´ as precisamente, sea V un K-espacio vectorial y α ∈ K, entonces las funciones I V , 0, H α : V −→ V , definidas por I V (v) := v, 0 (v) := 0, y H α (v) := αv sontransformaciones lineales.

Ejemplo 4.2 La funci´ on proyecci´ on es una transformaci´ on lineal. M´ as precisamente, si ΠV :V × W → V definida por ΠV ((v, w)) := v es una transformaci´ on lineal. Por ejemplo,

ΠR2 : R2 × R −→ R2

: (x,y,z ) −→ (x, y),

es lineal. En efecto, sean v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) ∈ R2 ×R, entonces

ΠR2(v + w) = ΠR2(v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)

= (v1 + w1, v2 + w2)

= (v1, v2) + (w1, w2)

= ΠR2(v) + ΠR2(w),

ası́ se verifica el axioma 1. An´ alogamente se tiene que ΠR2(λv) = λΠR2(v).

Ejemplo 4.3 La funci´ on:

T : R3 −→ R[x]

: (a,b,c) −→ a + bx + cx2,

es lineal. En efecto, sean v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) ∈ R3, entonces

T (v + w) = T (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)= (v1 + w1) + (v2 + w2)x + (v3 + w3)x

2

= (v1 + v2x + v3x2) + (w1 + w2x + w3x

2)

= T (v) + T (w),

an´ alogamente, se prueba que T (λv) = λT (v).

Ejemplo 4.4 La funci´ on:

T : R2 −→ R2

: (x, y) −→ (2x + y, x − 3y) ,


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4.1. TRANSFORMACIONES LINEALES 103

es una transformaci´ on lineal. En efecto, sean v = (x1, y1), w = (x2, y2) ∈ R2, entonces

T (v + w) = T (x1 + x2, y1 + y2)

= (2(x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) − 3 (y1 + y2))

= (2x1 + y1, x1 − 3y1) + (2x2 + y2, x2 − 3y2)

= T (v) + T (w),

T (λv) = T (λx1, λy1)

= (2 (λx) + (λy) , (λx) − 3 (λy))

= λ (2x + y, x − 3y)

= λT (v) .

Ejemplo 4.5 La funci´ on :

L : R3 −→ R2

:

xyz

−→ 1 0 10 1 −1

xyz

,es una transformaci´ on lineal. De hecho, si A ∈ M m×n (K) y definimos la funci´ on

T A : Rn −→ Rm

: v −→ Av,

donde los elementos de Rk son vistos como vectores columna, se tiene que T A es una transformaci´ on lineal, ya que, por las propiedades de las matrices tenemos:

T A (u + v) = A (u + v)

= Au + Av

= T A (u) + T A (v) , y

T A (λu) = A (λu)

= λAu

= λT A (u)

Ejemplo 4.6 Si C 1 (R) , C 0 (R) son los R-espacios vectoriales de funciones de clase C 1 ocontinuas de R en R respectivamente. Definamos las funciones

D : C 1 (R) −→ C 0 (R)

: f −→ Df, donde (Df ) (x) := f (x)

y

I : C 0 (R) −→ C 1 (R)

: f −→ I (f ) , donde I (f ) (x) := x0

f (t) dt


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son transformaciones lineales, ya que la derivada de una suma es la suma de las derivadas y

la derivada saca escalares, la integral de una suma es la suma de las integrales y tambi´ en sacaescalares, es decir:

D (f + g) = d

dx (f + g) =

df

dx +

dg

dx = Df + Dg, ∀f, g ∈ C 1 (R)

D (λf ) = d

dx (λf ) = λ

df

dx

= λDf, ∀λ ∈ K, y f ∈ C 1 (R)

I (f + g) (x) =

x0

(f (t) + g (t)) dt =

x0

f (t) dt +

x0

g (t) dt = (I (f ) + I (g)) (x) ,

∀x ∈ R, y ∀f, g ∈ C 0 (R)

∴ I (f + g) = I (f ) + I (g) , ∀f, g ∈ C 0

(R)

I (λf ) (x) =

x0

(λf ) (t) dt =

x0

λf (t) dt = λ

x0

f (t) dt = (λI (f )) (x) ,

∀x ∈ R, λ ∈ K y f ∈ C 0 (R)

∴ I (λf ) = λI (f ) , ∀ λ ∈ K, ∀f ∈ C 0 (R)

Observemos adem´ as que estas funciones en realidad sı́ son funciones, es decir, estas funcionesestan bien definidas, ya que, si f es de clase C 1 entonces la funci´ on derivada f es una funci´ oncontı́nua y esta es ´ unica, i.e. D es efectivamente una funci´ on. De igual manara, la funci´ onintegral I esta bien definida, dado que si f es continua entonces, por el teorema fundamental

del c´ alculo la funci´ on I (f ) es una funci´ on de clase C 1 y es ´ unica, i.e. I es una funci´ on.

Ejemplo 4.7 Las rotaciones en R2 son transformaciones lineales. Si fijamos un ´ angulo θ ∈R, dado un vector arbitrario v = (x, y) ∈ R2, queremos obtener el vector Rθ (v) que se obtienerotando el vector v alrededor del origen 0 de R2, en el sentido contrario a las manecillas delreloj si el ´ angulo es positivo y en el mismo sentido si es negativo, un ´ angulo θ :

Para facilitar la geometrı́a involucrada, pensemos que θ es un ´ angulo positivo y consider-aremos el caso cuando el vector est´ a en el primer cuadrante deR2, como en la figura anterior.El vector v = (x, y) determina el tri´ angulo rect´ angulo de catetos x,y, y denotemos suhipotenusa por r. Observemos ahora que si φ es el ´ angulo que hace el vector v y el semi

eje horizontal positivo:

Figura 4.1: La rotación Rθ(v) Figura 4.2: Relación entre x, y,θ


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entonces

cos φ =

x

r , sen φ =

y

rde aquı́ que

v = (x, y) = (r cos φ, rsen φ) .

Consideremos ahora al vector Rθ (v) = (a, b) y veamos ahora las dos figuras anteriores. La primera observaci´ on es que el tri´ angulo rect´ angulo formado por el vector Rθ (v) , los catetosson x e y, y la hipotenusa es la misma r que la del vector v. Por esto se dice que las rotacionesson transformaciones lineales rı́gidas, i.e., en particular no cambian las longitudes de los vec-tores. Observemos adem´ as que el ´ angulo que forma Rθ (v) con el semi eje horizontal positivoes θ + φ. Entonces, si Rθ (v) = (a, b) , sus componentes a, b satisfacen

a = r cos(θ + φ) ,

b = rsen (θ + φ) .

Por otro lado, recordemos que

cos(θ + φ) = cos θ cos φ − sen θ sen φ

sen (θ + φ) = sen θ cos φ + sen φ cos θ

entonces

a = r cos(θ + φ) = r cos θ cos φ − rsen θ sen φ

b = rsen (θ + φ) = r sen θ cos φ + rsen φ cos θ

y dado que x = r cos φ, y = r sen φ, obtenemos

a = x cos θ − ysen θ

b = xsen θ + y cos θ,

es decir, si v = (x, y) ∈ R2, entonces

Rθ (v) = (x cos θ − ysen θ, xsen θ + y cos θ)

define la funci´ on rotaci´ on. Observemos adem´ as, que si pensamos a los elementos de R2 comovectores columna, podemos reescribir a esta funci´ on rotaci´ on como

Rθ

xy

=

cos θ −sen θsen θ cos θ

xy

, ∀

xy

∈ R2.

De esto ´ ultimo vemos que efectivamente es una transformaci´ on lineal, pues este es un caso particular del ejemplo 4.5.

Ejemplo 4.8 Las reflexiones enR2 son transformaciones lineales. Consideremos la reflexi´ on

Rθ (v) del vector v ∈ R2

obtenida por reflexi´ on del vector v con respecto a la recta que pasa por el origen y forma un ´ angulo θ con respecto al semi eje horizontal positivo:


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Figura 4.3: Reflexión Rθ(v)

Procediendo de manera similar que en el ejemplo anterior, se tiene que

Rθ xy = cos2θ sen 2θsen 2θ − cos2θ xy , ∀ xy ∈ R2,el cual, efectivamente es una transformaci´ on lineal. Por ejemplo, si θ = 0 se tiene la reflexi´ oncon respecto al eje horizontal

R

xy

=

x−y

, ∀

xy

∈ R2,

Si θ = 90◦ entonces se tiene la reflexi´ on con respecto al eje vertical

R xy = −xy , ∀ xy ∈ R2,

Figura 4.4: Reflexión sobre el eje x Figura 4.5: Reflexión sobre el eje y

Ejemplo 4.9 La funci´ on traza es una transformaci´ on lineal. Esta funci´ on esta definida por:

T r : M n×n (K) → K

: [aij] → T r ([aij ]) :=ni=1

aii,

la cual es claramente una transformaci´ on lineal.


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Ejemplo 4.10 La funci´ on transposici´ on es una transformaci´ on lineal. Esta funci´ on esta dada

por

t : M n×m (K) → M m×n (K)

: A → t (A) := At

la cual tambi´ en es una transformaci´ on lineal.

Hemos definido las transformaciones lineales como funciones T : V → W en-tre espacios vectoriales que preservan sus operaciones. Las propiedades siguientesdeben ser entonces naturales:

Proposición 4.1.3 Sea T : V −→ W una transformaci´ on K-lineal. Entonces se verifica

1. T (0V ) = 0W , donde OV y OW son los neutros aditivos de V y W respectiva-mente.

2. T (−v) = −T (v) , para toda v ∈ V.

3. T (αu + βv) = αT (u) + βT (v) , para toda α, β ∈ K, y u, v ∈ V.

Demostración: (1)-(2): Dado que T saca escalares y las propiedades de los espa-cios vectoriales, se tiene

T (0V ) = T (0K · 0V ), por prop. de los espacios vectoriales

= 0K · T (0V ), T saca escalares

= 0W , por prop. de los espacios vectoriales

T (−v) = T ((−1) v) , por prop. de los espacios vectoriales

= (−1) T (v) , T saca escalares

= −T (v) , por prop. de los espacios vectoriales.

(3): Dado que T es aditiva y saca escalares, tenemos

T (αu + βv) = T (αu) + T (βv)

= αT (u) + βT (v)

Proposición 4.1.4 Si L : U → V, y T : V → W son transformacionesK

-lineales, entoncesla composici´ on T ◦ L : U → W tambi´ en es una transformaci´ on lineal.


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Demostración: Sean u, v ∈ U y λ ∈ K, entonces

(T ◦ L) (u + v) : = T (L (u + v)) , por definición de la composición

= T (L (u) + L (v)) , por aditividad de L

= T (L (u)) + T (L (v)) , por aditividad de T

= : (T ◦ L) (u) + (T ◦ L) (v) , por definición de la composición

(T ◦ L) (λu) : = T (L (λu)) , por definición de la composición

= T (λL (u)) , L saca escalares

= λT (L (u)) , T saca escalares

= λ (T ◦ L) (u) , por definición de la composición.

Proposición 4.1.5 Si T : V → W es una transformaci´ on lineal biyectiva, entonces la funci´ on inversa tambi´ en es lineal.

Demostración: Sean w1, w2 ∈ W, λ ∈ K y consideremos los únicos vectoresv1, v2 ∈ V tales que T (v1) = w1 y T (v2) = w2. Entonces,

w1 + w2 = T (v1) + T (v2) = T (v1 + v2) , por aditividad de T

λw1 = λT (v1) = T (λv1) , pues T saca escalares,

y ası́, tenemos

T −1 (w1 + w2) = T −1 (T (v1 + v2)) =

T −1 ◦ T

(v1 + v2)

= (v1 + v2)

T −1 (λw1) = T −1 (T (λv1)) =

T −1 ◦ T

(λv1)

= λv1.

Definición 4.1.6 Si T : V → W es una transformaci´ on lineal biyectiva, diremos que T esun isomorfismo de espacios vectoriales y que V es isomorfo a W, y escribimos V ∼= W .

Ası́, la proposición anterior nos dice que la inversa de un isomorfismo de espa-cios vectoriales es también un isomorfismo de espacios vectoriales y además, si V esisomorfo a W , también se tiene que W es isomorfo a V .

La palabra isomorfismo, de las raices griegas iso que significa igual, y morf´ e quesignifica forma, captura la propiedad de que una transformación lineal biyectivaentre dos espacios vectoriales identifica a estos espacios, tanto como conjuntos (porla biyectividad de la función) como con respecto a sus estructuras, identificando lasuma de un espacio con la suma del otro, e identificando el producto por un escalaren un espacio con el producto por un escalar del otro. De esto, de alguna manera

nos dice que los dos espacios son el mismo, sólo presentados de diferente manera onombre.


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Ejemplo 4.11 Si V es cualquier K-espacio vectorial, entonces la funci´ on identidad es un

isomorfismo, ya que por el ejemplo 4.1 es una transformaci´ on lineal, y adem´ as es claro que esbiyectiva.

Usando este ejemplo y las dos proposiciones anteriores tenemos que la relaciónde isomorfismo es una relación de equivalencia en el conjunto de todos los espa-cios vectoriales, y una de las tareas del álgebra lineal es conocer cuántos espaciosvectoriales hay salvo isomorfismo, y distinguir cuando dos espacios vectoriales sondiferentes. La razón de conocer algún espacio vectorial isomorfo, W, a un espaciovectorial dado, V , es debido a que en el espacio V , las operaciones de suma de vec-tores y producto por un escalar pueden ser complicadas, pero no en W si éste seescoje lo más sencillo posible. En esta dirección, se probará que todo K-espacio vec-

torial V de dimensión finita, n, es isomorfo a Kn.

Ejemplo 4.12 Consideremos la funci´ on

T : M 2×3 (R) → R6

:

a b cd e f

→ (a,b,c,d,e,f )

Entonces, T es un isomorfismo, y ası́ M 2×3 (R) ∼= R6: pues claramente es lineal. Faltarı́a ver

que es biyectiva. Para ver que es inyectiva consideremos

A = a b c

d e f

, B =

a b cd e f

tales que T (A) = T (B) , entonces

(a,b,c,d,e,f ) = (a, b, c, d, e, f )

es decir, A = B. Para ver que T es suprayectiva, consideremos x = (a,b,c,d,e,f ) ∈ R6, ysi tomamos

A = a b cd e f

se tiene que T (A) = x.

Es claro que este ejemplo se puede generalizar (ejercicio 1.13) y tenerse que

M m×n (K) ∼= Kmn.

De aquı́ queM 1×n (K) ∼= K

n ∼= M n×1 (K)

es decir, a los elementos de Kn los podemos pensar como vectores renglón o vectores

columna, dependiendo de nuestros intereses o incluso en su escritura, pues mane- jarlos como vectores columna ocupan más espacio.


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Ejemplo 4.13 La funci´ on

L : P 2 (R) → R3

: a + bx + cx2 → (a,b,c)

es un isomorfismo. Es claro que es lineal, ası́ que basta ver que es suprayectiva. Para ver queL es inyectiva, supongamos que L (a1 + b1x + c1x

2) = L (a2 + b2x + c2x2) , entonces

(a1, b1, c1) = (a2, b2, c2)

es decir, a1 = a2, b1 = b2, y c1 = c2; y ası́, a1 + b1x + c1x2 = a2 + b2x + c2x

2. Paraver que L es suprayectiva, tomemos cualquier (a,b,c) ∈ R3, y si tomamos el polinomio

p (x) = a + bx + cx2

, tenemos que L ( p (x)) = (a,b,c) .

Es claro que este ejemplo se puede generalizar, (ejercicio 1.13), teniendose que

P n (K) ∼= Kn+1.

Observemos de estos ejemplos que

dim(M m×n (K)) = mn = dim (Kmn)

dim(P n (K)) = n + 1 = dim

Kn+1

,

es decir, la dimensión se preservó bajo isomorfismo, ¿se tendrá esto en general?, larespuesta es afirmativa y nos la da la siguiente proposición.

Proposición 4.1.7 Sea T : V → W una transformaci´ on lineal inyectiva. Si v1, . . . , vn sonvectores de V linealmente independientes, entonces T (v1) , . . . , T (vn) son vectores de W linealmente independientes.

Demostración: Supongamos que existe una combinación lineal

α1T (v1) + · · · + αnT (vn) = 0W .

Entonces, como T es lineal, tenemos que

T (α1v1 + · · · + αnvn) = 0W .

Ahora, dado que T (0V ) = 0W , por la proposición 4.1.3, y dado que T es inyectiva,tenemos que

α1v1 + · · · + αnvn = 0V

y dado que los vectores v1, . . . , vn son linealmente independientes, tenemos que

α1 = · · · = αn = 0,

y por lo tanto, T (v1) , . . . , T (vn) son linealmente independientes.


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Corolario 4.1.8 Sea T : V → W un isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensi´ on

finita, entonces dim (V ) = dim (W ) .Demostración: Dado que T es un isomorfismo (en particular inyectiva), por la

proposición anterior, tenemos que dim (V ) ≤ dim (W ) . Por otro lado, por la proposi-ción 4.1.5, T −1 : W → V es un isomorfismo (en particular inyectiva) y usando laproposición anterior se tiene que dim (W ) ≤ dim(V ) ; es decir, dim (V ) = dim(W ) .

Corolario 4.1.9 Sea T : V → W una transformaci´ on lineal, con V de dimensi´ on finita yv1, . . . , vn una base para V, entonces la imagen de T es generado por T (v1) , . . . , T (vn) , esdecir, I m (T ) = T (v1) , . . . , T (vn).

Demostración: (⊆) : Sea w ∈ Im (T ) , entonces existe v ∈ V tal que T (v) = w,entonces existen α1, . . . , αn ∈ K (pues v1, . . . , vn es una base para V ) tal que v =α1v1 + · · · + αnvn; y ası́, w = T (v) = T (α1v1 + · · · + αnvn) = α1T (v1) + · · · + αnT (vn) ,es decir, w ∈ T (v1) , . . . , T (vn).(⊇) : Sea w ∈ T (v1) , . . . , T (vn), entonces existen α1, . . . , αn ∈ K tal que w =α1T (v1)+· · ·+αnT (vn) y por la linealidad de T tenemos que w = T (α1v1 + · · · + αnvn) ,es decir, w ∈ I m (T ) .

Ejercicios 4.11.1 Si T : V → W es una función aditiva entre los K-espacios vectoriales V y W,

entonces(i) Si K es un campo finito, se tiene que T es lineal.(ii) Si K es un campo que contiene a Q como subcampo, entonces T saca es-calares racionales.

1.2 Si T : R → R es una transformación lineal, demuestre que entonces existeλ ∈ R tal que T (x) = λx, ∀x ∈ R.¿Cuáles son isomorfismos?.

1.3 Sea T : V → W una transformación lineal entre dos K-espacios vectoriales. Siv1, . . . , vn ∈ V, y λ1, . . . , λn ∈ K, demuestre que

T (λ1v1 + · · · + λnvn) = λ1T (v1) + · · · + λnT (vn) .

1.4 Sea T : V → W una transformación lineal entre dos K-espacios vectoriales.Demustre que T es lineal si y sólo si

T (αu + v) = αT (u) + T (v) , ∀α, β ∈ K, y u, v ∈ V .

1.5 Sean U, V , W y X cuatro K-espacios vectoriales y L : U → W y T : V → X dos transformaciones lineales. Consideremos los productos cartesianos U × V y W × X. Definamos la función

P : U × V → W × X

: (u, v) → P (u, v) := (L (u) , T (v)) .

Demuestre que P es lineal.


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1.6 Sea V unK-espacio vectorial, y λ ∈ K un escalar diferente de cero, y definamos

T λ : V → V

: v → T λ (v) := λv.

Demuestre que T λ es un isomorfismo.

1.7 Sean V, W dos K-espacios vectoriales y definamos las funciones inclusión

i1 : V → V × W

: v → i1 (v) := (v, 0W )

i2 : W → V × W

: w → i2 (w) := (0V , w) .

Demuestre que ambas funciones son lineales e inyectivas.

1.8 Sean V, W dos K-espacios vectoriales y definamos las funciones proyección

Π1 : V × W → V

: v → Π1 (v) := v

Π2 : V × W → W

: w → Π2 (w) := w.

Demuestre que ambas funciones son lineales y suprayectivas.

1.9 Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, y sea T : V → V una trans-formación lineal. Si T ◦ T es la transformación lineal cero, demuestre que latransformación lineal IdV − T : V → V es un isomorfismo, donde IdV es laidentidad de V en V.

1.10 Considere las siguientes funciones

f, g : R2 → R2 definidas por

: f (x, y) := (x + y, x − y): g (x, y) := (2x + y, 3x − 5y) .

Demuestre que f y g son isomorfismos.

1.11 Considere las siguientes funciones

T, L : R3 → R3 definidas por

: T (x, y) := (x − y, x + z, x + y + 2z )

: L (x, y) := (2x − y + z, x + y, 3x + y + z ) .

Demuestre que T y L son isomorfismos.


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4.2. NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. 113

1.12 Demuestre que cualquier rotación Rθ : R2 → R2 es un isomorfismo y calcule su

inversa.1.13 Demuestre que

M m×n (K) ∼= Kmn

P n (K) ∼= Kn+1.

1.14 Demuestre que cualquier operación elemental

e : M m×n (K) → M m×n (K)

es un isomorfismo.

1.15 Sea B ∈ M n×n (K) fija. Demuestre que la función

T B : M n×n (K) → M n×n (K)

: A → T B (A) := AB − BA

es una transformación lineal.

4.2. Nucleo e imagen de una transformación lineal.

En esta sección estudiaremos algunos subespacios asociados a un transformación

lineal y usando estos subespacios derivamos algunas propiedades de las transforma-ciones lineales. La sección culmina con una fórmula que relaciona la dimensión delos espacios asociados a una función lineal entre espacios de dimensión finita.

Definición 4.2.1 Sea T : V → W una transformaci´ on lineal. Se tienen los siguientesconjuntos:

Nuc (T ) : = {v ∈ V : T (v) = 0W } ⊆ V,

Im (T ) : = {T (v) ∈ W : v ∈ V } ⊆ W.

Al conjunto N uc (T ) se le llama n ´ ucleo de la transformaci´ on lineal T y al conjunto I m (T )

se le llama la imagen de la transformaci´ on lineal T .Proposición 4.2.2 Sea T : V → W una transformaci´ on lineal, entonces

(i) N uc (T ) es un subespacio vectorial de V.

(ii) I m (T ) es un subespacio vectorial de W.

Demostración: Por el corolario 4.1.9 tenemos que efectivamente Im (T ) es unsubespacio vectorial de W, es decir, se tiene (ii) .(i) : 0W ∈ Nuc (T ) ya que T (0V ) = 0W por la proposición 4.1.3. Supongamos queu, v ∈ N uc (T ) , y λ ∈ K, entonces T (u) = 0W = T (v) y ası́, T (u + v) = T (u)+T (v) =

0W + 0W = 0W , es decir, u + v ∈ N uc (T ) . Además, T (λu) = λT (u) = λ0W = 0W ; esdecir, λu ∈ N uc (T ) .


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Ejemplo 4.14 Si V = C 1 (R) es el R-espacio vectorial de las funciones diferenciables de R

enR, con derivada contı́nua, y W = C 0

(R) el R-espacio vectorial de las funciones contı́nuasde R en R, y si D : V → W la transformaci´ on lineal derivada (D (f ) = f ), entonces eln ´ ucleo de D es el subespacio de las funciones constantes enR.

Ejemplo 4.15 Si consideramos la transformaci´ on lineal

T : R2 → R2

: (x, y) → T (x, y) := (3x + y, x − 2y)

entonces el n ´ ucleo de T es el subespacio de soluciones del sistema de ecuaciones homogeneo:

3x + y = 0

x − 2y = 0.

Ejemplo 4.16 Si V y W son K-espacios vectoriales, Π1 : V × W → V y Π2 : V × W → W son las proyecciones en V y W respectivamente, entonces

Nuc (Π1) = {0V } × W, Im (Π1) = V

Nuc (Π2) = V × {0W }, Im (Π2) = W.

Por definición de suprayectividad, T : V → W es suprayeciva si y sólo si Im (T ) =W. Lo que es sorprendente es:

Proposición 4.2.3 Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformaci´ onlineal. Entonces T es inyectiva si y s´ olo si N uc(T ) = 0W .

Demostración: (⇒) : Supongamos que T es inyectiva. Sea v ∈ N uc(T ), entonces

T (v) = 0W = T (0V ),

luego como T es inyectiva, tenemos que v = 0V .(⇐) : Inversamente, supongamos que Nuc(T ) = 0V y para u, v ∈ V tales que

T (u) = T (v), entonces T (u − v) ∈ N uc(T ), aśı u − v = 0V , por lo que u = v .El siguiente resultado nos dice que una transformación lineal entre espacios vec-

toriales de dimensión finita está determinada por sus valores en cualquier base del

dominio:,

Teorema 4.2.4 (Existencia y unicidad de transformaciones lineales) Sean V y W dosK-espacios vectoriales, con V de dimensi´ on finita y sea a = {v1,...,vn} una base de V. Si{w1,...,wn} es un subconjunto de W , entonces existe una ´ unica transformaci´ on lineal T :V −→ W , tal que

T (vi) = wi, ∀i = 1,...,n.

Dicho en otras palabras :(i) Cualquier funci´ on de la base a al espacio W se puede extender a una transformaci´ on linealT : V → W.

(ii) Si T , L : V → W son dos funciones lineales tales que coinciden en la base a

, es decir,T (vi) = L (vi) para cada i = 1, . . . , n; entonces T = L en todo V.


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Demostración: (i) : Existencia. Veamos que T se puede extender linealmente a

todo V. Sea v ∈ V , entonces, dado que {v1,...,vn} es una base de V, existen escalaresúnicos λ1,...,λn ∈ K, tales que

v =ni=1

λivi,

Ası́, extendemos a T como:T : V −→ W : v −→ T (v) := n

i=1

λiT (vi) .

Afirmamos que T es lineal. En efecto, sean u = λivi, v = µivi ∈ V, λ ∈ K,entonces

T (u + v) = T ni=1

(λi + µi)vi

:=ni=1

(λi + µi)T (vi)

=ni=1

λiT (vi) +

µiT (vi)

= : T (u) + T (v).T (λu) = T

n

i=1 (λλi) vi :=n

i=1 (λλi) T (vi)= λ

ni=1

λiT (vi)

= : λ T (u) .Obsérvese que efectivamente T es una extensión de T .(ii) : Unicidad: Ahora probaremos que T es única. Supongamos que existe una trans-formación lineal L : V −→ W tal que

T (vi) = L (vi) para cada i = 1, . . . , n . Sea

v = λivi ∈ V , entonces

L(v) = L(λivi) = λiL(vi)= :

λiT (vi)

= : T (v),es decir, T = L.Ejemplo 4.17 Considere la base {(1, 0), (0, 1)} deR2 y {(2, 1, 0), (3, 5, 2} ⊆ R3, encu´ entresela ´ unica transformaci´ on lineal T : R2 −→ R3 tal que

T (1, 0) = (2, 1, 0)

T (0, 1) = (3, 5, 2).


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Sea v ∈ R2, entonces v = α(1, 0) + β (0, 1) para algunos α, β ∈ R. Luego

T (v) = T (α(1, 0) + β (0, 1))

= αT (1, 0) + βT (0, 1)

= α(2, 1, 0) + β (3, 5, 2)

= (2α + 3β, α + 5β, 2β ).

Es decir, la transformaci´ on lineal pedida est´ a dada por

T : R2 −→ R3

: (x, y) → T (x, y) := (2x + 3y, x + 5y, 2y).

Definición 4.2.5 Sean V y W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformaci´ onlineal. Supongamos que la dimensi´ on de V es finita, entonces definimos el rango de T como:

r(T ) := dim(Im(T )),

y definimos la nulidad de T por:

n(T ) := dim(Nuc(T )).

Ejemplo 4.18 Consideremos la transformaci´ on lineal:

T : R3

−→ R3

: (x,y,z ) −→ (0, x , y).

Entonces,

N uc(T ) = {(x,y,z ) ∈ R3 : T (x,y,z ) = 0}

= {(x,y,z ) ∈ R3 : (0, x , y) = (0, 0, 0)}

= {(0, 0, z ) ∈ R3 : z ∈ R}.

Claramente N uc(T ) = (0, 0, 1), aśı n(T ) = 1. An´ alogamente,

Im(T ) = {T (x,y,z ) ∈ R3 : (x,y,z ) ∈ R3}

= {(0, x , y) ∈ R3 : x, y ∈ R}.

Claramente I m(T ) = (0, 1, 0), (0, 0, 1), por lo que r(T ) = 2.

El resultado siguiente relaciona las dimensiones del nucleo, imagen y dominio(de dimensión finita) de una transformación lineal:

Teorema 4.2.6 Sean V y W espacios vectoriales, T : V −→ W una transformaci´ on lineal ysupongamos que la dimensi´ on de V es finita. Entonces,

dim(V ) = r(T ) + n(T ). (4.1)


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Demostración: Si Nuc(T ) = {0V }, entonces n(T ) = dim (Nuc(T )) = 0, y por la

proposición 4.2.3 tenemos que T es inyectiva, y por la proposición 4.1.7 tenemos quedim(V ) = dim(Im (T )) = r(T ), es decir, en este caso se tiene (4.1).Si N uc(T ) = {0V }, sea {v1,...,vk} es una base del nucleo Nuc(T ), y de aquı́ quen (T ) = k. Entonces, existen vectores {vk+1,...,vn} de V tales que {v1,...,vk}∪{vk+1,...,vn}es una base de V, y ası́, dim (V ) = n. Por el corolario 4.1.9 tenemos que

Im (T ) = T (vi) : i = 1,...,n = T (vk+1) ,...,T (vn)

pues {v1,...,vk} es una base del nucleo Nuc(T ). Por otro lado, por la proposición 4.1.7tenemos que {T (vk+1) ,...,T (vn)} es linealmente independiente, ya que T retringidoal espacio generado por {vk+1,...,vn} es inyectiva, es decir

r (T ) = dim (Im (T )) = n − k.

De todo esto se tiene que

dim(V ) = n, n (T ) = k, r (T ) = n − k,

es decir, se cumple (4.1).

Teorema 4.2.7 (Inyectividad y suprayectividad en terminos de bases) Sean V , W espacios vectoriales y T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Lo siguiente se verifica:

1. T es inyectiva si y s´ olo si, para cada conjunto linealmente independiente a de V , ten-emos que T (a) es linealmente independiente en W .

2. T es suprayectiva si y s´ olo si, para cada conjunto generador a de V , tenemos que T (a) genera a W.

3. T es biyectiva si y s´ olo si, para cada base a de V , tenemos que T (a) es una base de W.

Demostración: (1). Supongamos que T es inyectiva y sea A = {v1,...,vn} ⊆ a.Deseamos probar que T (A) es linealmente independiente, lo cual se tiene por laproposición 4.1.7.Inversamente, supongamos que para cada conjunto linealmente independiente a deV , tenemos que T (a) es linealmente independiente en W . Sea v ∈ Nuc(T ) y b una

base del N uc(T ), entonces para ciertos vi ∈ β , λi ∈ K, i = 1,...,n, tenemos que

v =ni=1

λivi,

luego

T (v) =ni=1

λiT (vi) = 0,

y dado que T (b) es linealmente independiente por hipótesis, debemos tener que λi =0, ∀i, por lo que v = 0; es decir, Nuc(T ) = {0V } y por la proposición 4.2.3 se tiene que

T es inyectiva.(2) y (3) se prueban de manera análoga.


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Notación 4.2.8 Sean V y W dosK-espacios vectoriales. Denotemos por F(V, W ) al conjunto

de funciones de V en W , y por L(V, W ) al conjunto de transformaciones lineales de V en W ;es decir,

F(V, W ) = {f : V → W | f es una funci´ on}

L(V, W ) = {T : V → W | f es una trans. K-lineal}.

Es claro que F(V, W ) esunK-espacio vectorial con las operaciones definidas comosigue:Suma: Si f, g ∈ F(V, W ), definimos la suma f + g como la función f + g ∈ F(V, W )definida por

(f + g) (v) := f (v) + g (v) , para cada v ∈ V ,

usando en el lado derecho la suma de vectores en W.Producto por un escalar: Si f ∈ F(V, W ), y λ ∈ K, definimos el producto λf como la

función λf ∈ F(V, W ) definida por

(λf ) (v) := λ (f (v)) , para cada v ∈ V,

donde en el lado derecho se tiene el producto de un escalar por un vector en W.Observe que en la definición de la suma y producto por un escalar en F(V, W ) nointerviene la estructura de espacio vectorial de V, esto nos dice que F(V, W ) es unespacio vectorial aún sin la hipótesis de que V lo sea, basta con que sea un conjuntoarbitrario.Lo que mostraremos es que L(V, W ) es un subespacio vectorial de F(V, W ), dondeaquı́ sı́ se usa la estructura de espacio vectorial de V. Más aún, si V y W son dedimensión finita, digamos dimK (V ) = m, y dimK (W ) = n, podemos preguntarnosde manera natural cuál será la dimensión del espacio vectorial L(V, W ). Lo que semostrará enseguida es que L(V, W ) es isomorfo al espacio de matrices M n×m (K) ,donde de paso se prueba la dimensión de L(V, W ), donde nos dice que cualquiertransformación lineal de V en W se puede representar como una matriz con entradas

en el campo K, salvo la identificación que hace el isomorfismo correspondiente.

Teorema 4.2.9 Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces L(V, W ) es un subespaciovectorial de F(V, W ). M´ as a´ un, si V y W son de dimensi´ on finita, digamos, m y n respecti-vamente, entonces

dim(L(V, W )) = mn.

Demostración: Para la primera parte, basta probar que, si L, T ∈ L(V, W ), λ ∈ K,

entonces L + T,λT ∈ L

(V, W ).Veamos que L + T,λT ∈ L(V, W ) :


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( Aditividad): Sean u, v ∈ V , entonces

(L + T )(u + v) : = L(u + v) + T (u + v)

= L (u) + L (v) + T (u) + T (v) , pues L y T son lineales

= (L (u) + T (u)) + (L (v) + T (v))

= : (L + T ) (u) + (L + T ) (v) .

(λT ) (u + v) : = λ (T (u + v))

= λ (T (u) + T (v)) , pues T es lineal

= λ (T (u)) + λ (T (v))

= (λT ) (u) + (λT ) (v) .

(Saca escalares): Sean v ∈ V y α ∈ K, entonces

(L + T ) (αv) : = L (αv) + T (αv)

= αL (v) + αT (v) , pues L y T son lineales

= α (L (v) + T (v))

= : α (L + T ) (v) .

(λT ) (αv) : = λ (T (αv))

= λ (αT (v)) , pues T es lineal

= (λα) (T (v))

= α (λ (T (v)))

= α (λT ) (v)

Para probar la segunda parte, consideremos a = {v1,...,vm} ⊂ V y b = {w1,...,wn} ⊂W bases para V y W respectivamente. Para cada p y q, donde 1 ≤ p ≤ n, 1 ≤ q ≤ m,definamos

E p,q : a −→ W

: vi −→ δ qiw p, para cada i ∈ {1, . . . , m}, donde

δ qi = 1 si q = i, y δ qi = 0 si q = i;

y por la proposición 4.2.4 se extiende a una única transformación lineal E p,q ∈ L(V, W ).Afirmamos que el conjunto

c = {E p,q : 1 ≤ p ≤ n, 1 ≤ q ≤ m}

es una base para L(V, W ). Sea T ∈ L(V, W ), para cada v j ∈ a tenemos que, dado queb es una base para W, existen escalares α1 j, . . . αnj ∈ K tales que

T (v j) =

n

p=1

α pjw p.


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Ahora bien, definamos

U =

mq=1

n p=1

α pqE p,q,

entonces

U (v j) =mq=1

n p=1

α pqE p,q(v j)

=n p=1

mq=1

α pqδ qjw p

=

n p=1

α pjw p

= T (v j),

y por la proposición 4.2.4 se sigue que U = T , por lo que c genera a L(V, W ). Siguien-do con este argumento, si U = 0, entonces

U (v j) =n p=1

α pjw p = 0, para cada j ∈ {1, . . . , m}

Y dado que b

= {w1,...,wn} es una base de W se tiene que α pj = 0, ∀ p, j. Esto nosdice que c es linealmente independiente en L(V, W ); y por lo anterior, tenemos quec es una base de L(V, W ).

Corolario 4.2.10 La funci´ on

M : L(V, W ) → M n×m (K)

: T → AT , donde

AT = [αij ]

es un isomorfismo K-lineal.

Observese que esta función depende de las bases que se tomen en V y W ; másaún, depende del orden en que se tomen los elementos de estas bases. Sobre estohablaremos de manera más precisa en la siguiente sección.

Notación 4.2.11 Denotemos por I V ∈ L(V, V ) ( ´ o simplemente I si no hay peligro de con- fusi´ on) a la transformaci´ on lineal identidad.

Proposición 4.2.12 Sean V, W y Z tres K-espacios vectoriales. Para f, f 1, f 2 ∈ L(V, W ) yg, g1, g2 ∈ L(W, Z ) se verifican las siguientes igualdades:

1. g ◦ (f 1 + f 2) = g ◦ f 1 + g ◦ f 2 ∈ L(V, Z ),


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2. (g1 + g2) ◦ f = g1 ◦ f + g2 ◦ f ∈ L(V, Z ),

3. g ◦ (−f ) = (−g) ◦ f = −(g ◦ f ) ∈ L(V, Z ).

Demostración: Esto es consecuencia de la definición de composición, la proposi-ción anterior y la proposición 4.1.4.

Corolario 4.2.13 En particular, la ley de composici´ on

L(V, V ) × L(V, V ) −→ L(V, V )

(f, g) −→ f ◦ g

da que (L(V, V ), +, ◦) es un anillo con unidad, el elemento unidad 1V es la transformaci´ onidentidad en V .

El siguiente teorema nos caracteriza los isomorfismos entre espacios vectorialesde dimensión finita.

Teorema 4.2.14 Sean V y W dos K-espacios vectoriales con dimensi´ on finita y T : V −→W una transformaci´ on lineal. Si dim(V ) = dim(W ), entonces lo siguiente es equivalente:

1. T es biyectiva,

2. T es inyectiva,

3. T es suprayectiva.

Demostración: (1)=⇒(2), (1)=⇒(3) son obvias.(2)=⇒(3), (2)=⇒(1): Supongamos que T es inyectiva y sea a = {v1,...,vn} una basede V . Por proposición 4.1.7, tenemos que T (a) es linealmente independiente en W .Ahora bien, como |T (a)| = n = dim(W ), tenemos que T (α) es una base de W . Luego,por 4.2.7 se tiene que T es suprayectiva, es decir, se tiene (3), y además T es biyectiva,es decir, se tiene (1). Esto demuestra que (2)=⇒(3) y (2)=⇒(1). Análogamente, seprueba (3)=⇒(2) y (3)=⇒(1).

Teorema 4.2.15 Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensi´ on finita. Entonces V ∼=W si y s´ olo si dim (V ) = dim (W ).

Demostración: (⇒) : Supongamos que V ∼= W , entonces existe un isomorfismoT : V −→ W y por el corolario 4.1.8 tenemos que dim (V ) = dim(W ) .(⇐) : Inversamente, supongamos que dim (W ) = dim (V ). Sean a = {v1,...,vn} basede V y b = {w1,...,wn} base de W . Entonces por el Teorema 4.2.4 existe una únicaaplicación lineal

T : V −→ W

: vi −→ wi.

Ahora bien, sea w =

λiwi ∈ W , entonces T (

λivi) = x, por lo que T es suprayec-

tiva, y por el teorema anterior debe ser biyectiva. Ası́ T es un isomorfismo entre V yW .


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Corolario 4.2.16 Si V es un K-espacio vectorial de dimensi´ on n, entonces V ∼= Kn.

Corolario 4.2.17 Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensi´ on m y n respectiva-mente, entonces

L (V, W ) ∼= M n×m (K) .

Corolario 4.2.18 Si n, m ∈ N tal que n = m, entonces Rn Rm.

Ejemplo 4.19 Los espacios vectoriales P 3 (K) y M 2×2(K) son isomorfos, pues dim (P 3 (K)) =4 = dim M 2×2(K). Un isomorfismo esta dado por:

T : P 3 (K) −→ M 2×2(K)

: ax3 + bx2 + cx + d −→ a bc d .Ejemplo 4.20 La transformaci´ on lineal

T : R3 −→ K 2[x]

: (a,b,c) −→ a + (a + b)x + (a + b + c)x2

es un isomorfismo. En efecto, sea (a,b,c) ∈ N uc(T ), entonces

0 = T (a,b,c) = a + (a + b)x + (a + b + c)x2,

luego a = 0, a + b = 0, a + b + c = 0, aśı a = b = c = 0. De aquı́ que N uc(T ) = {0V }. Enconsecuencia, T es inyectiva y por (4.1) tenemos que

dim(R3) = r(T ) + n(T )

= r(T )

= dim (Im(T ))

= 3,

aś ı T es suprayectiva. Luego T es un isomorfismo. O bien, por Teorema 4.2.14 y dado quedim(R3) = 3 = dim(P 2(K)) se tiene que T es biyectiva, es decir, T es un isomorfismo.

Ejemplo 4.21 La transformaci´ on lineal

T : R3 −→ K 2[x]

: (a,b,c) −→ a + (a + b)x,

no es un isomorfismo, pues T (0, 0, 1) = 0, por lo que N uc(T ) = 0.


T : R3 −→ R4

: (a,b,c) −→ (a + b, b + c, a + c, a + b)

no es un isomorfismo pues, dim (R3) = dim (R4).


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T : R3 −→ R3

: (a,b,c) −→ (a + b + c, a + b, a + b, a + b),

no es un isomorfismo. En efecto, un c´ alculo directo muestra que

Im(T ) = {(a,b,b) : a, b ∈ R},

luego (1, 2, 3) /∈ I m(T ), aśı T no es suprayectiva.

Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio vectorial de V . Definamos unarelación en V como sigue: dados u, v ∈ V

u ∼ v ⇔ u − v ∈ W.

Se puede demostrar con facilidad que ∼ es una relación de equivalencia en V . Ası́,esta relación induce el espacio cociente consistente del conjunto de todas las clasesde equivalencia, es decir

V /W : = {[u] : u ∈ W }, donde

[u] : = {v ∈ V : u ∼ v}

Con respecto a esta relación de equivalencia se obtiene sin dificultad que:

[u] = u + W =: {u + v : v ∈ W }

[u] = [v] ⇔ u − v ∈ W. (4.2)

El espacio cociente tiene estructura de espacio vectorial:Suma: Sean [u], [v] ∈ V/W, definamos [u] + [v] := [u + v].Producto por un escalar: Sea [u] ∈ V/W, y λ ∈ K, definamos λ · [u] := [λu].

Lema 4.2.19 Las operaciones anteriores estan bien definidas.

Demostración: Veamos que las operaciones anteriores no dependen de los repre-sentantes que se tomen de las clases de equivalencia.La suma esta bien definida: Supongamos que [u] = [u], y [v] = [v], por demostrar que

[u]+ [v] = [u]+ [v], es decir, [u+v] = [u+v]. Por (4.2) tenemos que [u+v] = [u+v] ⇔(u + v)−(u + v) = (u − u)+(v − v) ∈ W, lo cual se tiene pues (u − u) , (v − v) ∈ W (pues [u] = [u], y [v] = [v] y (4.2)) y W es un subespacio vectorial.El producto por un escalar esta bien definido: Supongamos que [u] = [u] y λ ∈ K, por

demostrar que λ [u] = λ [u] , es decir, [λu] = [λu]. Por (4.2) tenemos que [λu] =[λu] ⇔ (λu) − (λu) = λ (u − u) ∈ W, lo cual se tiene pues (u − u) ∈ W (pues[u] = [u] y (4.2)) y W es un subespacio vectorial.

Se demuestra sin mucha dificultad que


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Proposición 4.2.20 Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio vectorial de V, en-

tonces el espacio cociente (V/W,K, +, ·) es un espacio vectorial. M´ as a ´ un, la funci´ on proyec-ci´ on

π : V → V /W

: v → π (v) := [v]

es una transformaci´ on lineal suprayectiva.

Ahora estamos en posición de enunciar el primer teorema de isomorfismo:

Teorema 4.2.21 (Primer teorema de isomorfismo) Sea W un subespacio vectorial de V y T : V −→ V una transformaci´ on lineal tal que W ⊆ N uc(T ). Entonces existe una ´ unica

transformaci´ on lineal U : V /W −→ V tal que el siguiente diagrama conmuta:

V T

−→ V

π U V /W

.

M´ as a ´ un, Im(U ) = I m(T ) y N uc(U ) = N uc(T )/W .

Demostración: En efecto, definamos

U : V /W −→ V

: [v] → T (v) .Vemos que esta función esta bien definida, es decir, esta función no depende delrepresentante que se tomo de cada clase de equivalencia. Si [u] = [v] , entonces u −v ∈ W , luego T (v1 − v2) = 0 (pues W ⊆ N uc(T )) por lo que U ([u]) = T (u) =T (v) = U ([v]), ası́ U esta bien definida. Un cálculo directo muestra que U es unatransformación lineal. Claramente U ◦ π = T , además, como π es suprayectiva estodice que I m(U ) = I m(T ). Por otro lado, U ([v]) = 0V si y sólo si T (v) = 0V , es decir,si y sólo si v ∈ N uc(T ), luego [v] ∈ N uc(T )/W , por lo que N uc(U ) = N uc(T )/W .

Corolario 4.2.22 Sean T : V −→ V una transformaci´ on lineal y W = N uc(T ), entonces

T (V ) ∼= V/W.

Teorema 4.2.23 (Segundo teorema de isomorfismo) Sean W 1, W 2 subespacios de V ,en-tonces

W 1/(W 1 ∩ W 2) ∼= (W 1 + W 2)/W 2.

Demostración: Sea π : V −→ V /W 1 la proyección canónica. Denotemos por T :W 2 −→ V /W 1 a la restricción de π a W 2. Entonces T es lineal y suprayectiva de W 2en (W 1 + W 2)/W 2, ası́ por el primer teorema de isomorfismo, tenemos que

(W 1 + W 2)/W 2 ∼= W 1/Nuc(T ),

y un cálculo directo muestra que N uc(T ) = W 1 ∩ W 2.


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Teorema 4.2.24 (Tercer teorema de isomorfismo) Sean W 2, W 1 subespacios de V tales

que W 2 ⊂ W 1, entonces (V /W 2)/(W 1/W 2) ∼= V /W 1.

Demostración: Sea

T : V /W 2 −→ V /W 1

: v + W 2 −→ v + W 1,

uncálculo directo muestra que esta es una transformación lineal. Má s aún, N uc(T ) =W 1/W 2, luego el resultado se sigue del primer teorema de isomorfismo.

Definición 4.2.25 Si V y W son dos K-espacios vectoriales y consideremos su producto

cartesiano V × W. Es decir

V × W = {(u, w) : v ∈ V, w ∈ W }.

En el conjunto V × W se definen las siguientes operaciones:

Suma Si (v, w) , (v, w) ∈ V × W , se define

(v, w) + (v, w) := (v + v, w + w)

observando que en el lado derecho, v+v y w+w es la suma en V y W respectivamente.

Producto por un escalar Si (v, w) ∈ V × W y λ ∈ K, se define

λ (v, w) := (λv,λw) ,

observando en el lado derecho que λv y λw es el producto escalar en V y W respectiva-mente.Se verifica facilmente que V × W es un K-espacio vectorial con las operaciones anteri-ores (ejercicio 4.3), al cual se le llama el producto directo de V y W.

En el capı́tulo anterior se estudió la suma directa de dos subespacios vectorialesV y W de un espacio vectorial U. Obsérvese que en la definición de producto directosólo se requiere que V y W sean dos espacios vectoriales y no necesariamente sube-

spacios de un espacio vectorial; es por esto que siempre se tiene definido el productodirecto de dos espacios vectoriales y la suma directa no necesariamente está definidaya que se requiere que los espacios involucrados sean subespacios de otro espaciovectorial. ¿Qué relación habrá entre la suma y producto directo cuando estos tengansentido?

Proposición 4.2.26 Sean V y W dos subespacios vectoriales de un K-espacio vectorial U.Entonces, la funci´ on natural

T : V × W → V ⊕ W

: (v, w) → T (v, w) := v + w

es un isomorfismo.


32/67


Demostración: (1): T es lineal, ya que si (v, w) , (v, w) ∈ V × W , y λ ∈ K, entonces

T ((v, w) + (v, w)) : = T (v + v, w + w)

: = (v + v) + (w + w)

= (v + w) + (v + w)

= : T (v, w) + T (v + w) .

T (λ (v, w)) : = T (λv,λw) := λv + λw

= λ (v + w)

= λT (v, w) .

(2) T es inyectiva. Por la proposición 4.2.3 basta probar que N uc (T ) = {(0U , 0U )}. Sea(v, w) ∈ N uc (T ) , entonces T (u, v) = 0U y ası́, 0U = T (v, w) := v + w implica queque v = −w y de aquı́ que v, w ∈ V ∩ W. Pero, dado que V ⊕ W es una suma directa,V ∩ W = {0U }, entonces v = 0U = w, i.e. (v, w) = (0U , 0U ) .(3) T es suprayectiva. Si v + w ∈ V ⊕ W, entonces (v, w) ∈ V × W y además T (v, w) =v + w.

Ejercicios 4.2

2.1 Demuestre que F (V, W ) es un K-espacio vectorial.

2.2 Demuestre que V /W es un K-espacio vectorial.

2.3 Compruebe que V × W es un K-espacio vectorial.

2.4 Si V y W son dos K-espacios vectoriales de dimensión finita, demuestre que

dimK (V × W ) = dimK (V ) + dimK (W ) .

2.5 Si T ∈ L (V, W ) es inyectiva, demuestre que T : V → I m (T ) es un isomorfismo.

2.6 Si V y W son dos K-espacios vectoriales de dimensión finita, T ∈ L (V, W ) ydimK (V ) > dimK (W ) , demuestre que T no puede ser inyectiva.

2.7 Si V y W son dos K-espacios vectoriales de dimensión finita, T ∈ L (V, W ) ydimK (V ) < dimK (W ) , demuestre que T no puede ser suprayectiva.

2.8 Sea V = C ∞ ([0, 1] ,R) el R-espacio vectorial de funciones diferenciables declase C ∞ en el intervalo [0, 1] , y sea D : V → V la función derivada, es decir,D (f ) = f . Calcule el nucleo de D.

2.9 Sea V y D como en el ejercicio anterior, fijemos un escalar λ ∈ R

. Si T = D −IdV : V → V , calcule su nucleo.


33/67


2.10 Sea

T : M n×n (K) → M n×n (K)

: A → T (A) := A − At.

(i) Muestre que T es lineal.

(ii) Calcule el núcleo de T .

(iii) Calcule dimK (N uc (T )) .

2.11 Si U y V subespacios de W, y definamos

T : U × V → W

: (u, v) → T (u, v) := u − w.

(i) Muestre que T es lineal.

(ii) Calcule el nucleo de T .

(iii) Calcule la imagen de T.

2.12 Consideremos la transformación lineal

T : M n×m (K) → L (Km,Kn)

: A → T (A) : Km → Kn

: v → T (A) (v) := Avdonde Km,Kn son vistos como espacios vectoriales donde sus elementos sonvectores columna. Demuestre que T es un isomorfismo, probando lo siguiente:

a) Demuestre que T es lineal.

b) Demuestre que T es inyectiva. Sugerencia: si A ∈ M n×m (K) entoncesAe j = columna j-ésima de A, donde e1, . . . em es la base canonica de K

m.

c) Demuestre que T es suprayectiva. Sugerencia: dado L ∈ L (Km,Kn) , con-sidere la matriz A = [αi,j] asociada a L inducida por las bases canónicasde Km y Kn (véase el Teorema 4.2.9).

2.13 Sea P : V → V una transformación lineal tal que P 2 = P (donde P 2 = P ◦ P ).Demuestre que V = N uc (P ) ⊕ Im (P ) . Sugerencia: si v ∈ V, entonces v =(v − P (v)) + P (v) .

2.14 Si U y V subespacios de W tales que U ∩ V = {0}, y consideremos las inclu-siones

i1 : U → U ⊕ V

: u → u = u + 0V

i2 : W → U ⊕ V

: w → w = 0U + w


34/67


y las proyecciones

p1 : U ⊕ V → U

: u + v → u

p2 : U ⊕ V → V

: u + v → v.

(i) Muestre que i1, i2 son transformaciones lineales inyectivas.

(ii) Muestre que p1, p2 son dos transformaciones lineales suprayectivas.

(iii) Demuestre que I m (i1) = N uc ( p1) e Im (i2) = N uc ( p2) .

4.3. Representación de transformaciones lineales por ma-

trices.

En esta sección se supondra que todos los espacios vectoriales son de dimensiónfinita y consideraremos bases ordenadas, es decir

Definición 4.3.1 Si V es un espacio vectorial de dimensi´ on finita, y a = {v1, . . . vn} es unabase de V y escojemos un orden de los elementos de esta base, se dir´ a que a = {v1, . . . vn} esuna base ordenada de V. Si u ∈ V, entonces existen escalares ´ unicos α1, . . . , αn ∈ K tal

queu = α1v1 + · · · + αnvn

entonces se dice que (α1, . . . , αn)t ∈ Kn son las coordenadas de u en la base a, y se denota

por

[u]a =

α1...αn

.Ojo, el orden de a = {v1, . . . vn} es importante, pues si a

es una permutaci´ on de la base a,entonces [u]

a es la correspondiente permutaci´ on de [u]

a .

Dado queKn es un espacio vectorial de dimensión n, denotemos por c = {e1, e2, . . . , en}a la base canónica ordenada de vectores unitarios de Kn. Si otra base no es explı́cita-mente mensionado, se asumirá que la base es la base canónica, y si escribimos

v =

874

se entenderá que está en términos de la base canónica c, en el sentido de que v =[v]c = 8 · e1 + 7 · e2 + 4 · e3; es decir, el vector v son las coordenadas de v en la base

canónica c

. Las coordenadas estándares de un vector enKn

son las coodenadas en la base canónica c.


35/67

4.3. REPRESENTACIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES POR MATRICES. 129

Problema 4.3.2 Si el vector v ∈ R3 cuyas coordenadas en la base can´ onica son

v =

874

,determine las coordenadas de v en la base

a =

v1 =

111

, v2 = 12

2

, v3 = 12

3

Soluci´ on: el objetivo es encontrar escalares α1, α2, α3 ∈ R, tales que v = α1v1 + α2v2 +α3v3. Esto es simplemente el sistema de ecuaciones lineales 1 1 11 2 21 2 3

α1α2α3

= 87

4

⇒ [v]a =

α1α2α3

= 92

−3

.

Observación 4.3.3 Sean V y W dos K-espacios vectoriales con dimensi´ on n y m respecti-vamente y a = {v1,...,vn} una base ordenada para V , b = {w1,...,wm} una base ordenada

para W. Entonces, por el Teorema 4.2.4, cualquier aplicaci´ on lineal

T : V −→ W,

esta totalmente determinada por los valores: T (v j) ∈ W . Adem´ as,

T (v j) =mi=1

αijwi,

para ciertos escalares αij ∈ K. En consecuencia T esta totalmente determinada por la matriz

A = [αij] ∈ M m×n (K) . Es decir,

[T (v j)]b =

α1 j...αnj

= columna j-´ esima de la matriz A. A la matriz A se le llama la matriz asociada a T con respecto a las bases a y b, a la cualse le denota por [T ]b

a. Si T : V → V lineal, denotaremos por [T ]a en lugar de [T ]

a

a .

Observación 4.3.4 Recordemos adem´ as que

c = {E p,q : 1 ≤ p ≤ m, 1 ≤ q ≤ n}


36/67


es una base (can´ onica con respecto a las bases a y b) para L(V, W ), y adem´ as

T =mq=1

n p=1

α pqE p,q,

es decir, si consideramos a c como una base ordenada, por ejemplo,

c = {E 11, . . . , E n1, E 12, . . . , E n2, . . . , E 1n, . . . , E nn} (4.3)

entonces

[T ]c = (α11, . . . , αn1, α12, . . . , αn2, . . . , α1n, . . . , αnn)

t ,

de aquı́ que las coordenadas de T en la base c son las columnas de la matriz [T ]b

a, ası́ que lamatriz [T ]b

a la podemos pensar como las coordenadas de T en la base c.

Observación 4.3.5 (linealidad de las matrices asociadas) Sean T, U ∈ L(V, W ), en-tonces [T +λU ]b

a = [T ]b

a+ λ[U ]b

a. En efecto, la aplicaci´ on T +λU esta totalmente determinada

por los valores

(T + λU )(v j) = T (v j) + λU (v j)

=m

i=1αijwi + λ ·

m

i=1β ijwi

=mi=1

(αij + λβ ij)wi.

Todo esto lo resumiremos en el siguiente teorema.

Teorema 4.3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales con dimensi´ on n y m respectiva-mente y a = {v1,...,vn} y b = {w1,...,wm} bases ordenadas de V y W respectivamente. SiT : V → W es una transformaci´ on lineal, entonces c (como en 4.3) es una base ordenada deL(V, W ), inducida por a y b; y adem´ as, las coordenadas de T con respecto a c son las columnas

de la matriz [T ]ba = ([T (v1)]b , [T (v2)]b , · · · , [T (vn)]b) .

Adem´ as, la funci´ on

M : L(V, W ) → M m×n (K)

: T → M (T ) := [T ]ba

es un isomorfismo K-lineal. M´ as a ´ un, para v ∈ V , tenemos que

[T (v)]b = [T ]b

a[v]a.

donde el lado derecho es la multiplicaci´ on de matrices.


37/67


Demostración: Falta probar que M es un isomorfismo y que [T (v)]b = [T ]b

a[v]a.

Se sigue de la observación 4.3.5 que M es lineal. Ahora bien, si A = [αij] ∈ M m×n(K),entonces la aplicación:

T : V −→ W

: v −→mi=1

(n j=1

αijλ j)wi,

donde v =ni=1 λivi, es lineal. Esto define una aplicación N de M m×n(K) en L(V, W ).

Un cálculo directo muestra que las aplicaciones M y N son inversas una de la otra.Para la segunda afirmación, nótese que si v =

n

i=1 λivi ∈ V , entonces

[v]a = λ1...

λn

, [T ]ba = [αij] ,[T ]b

a[v]a =

n j=1 α1 jλ j

...n j=1 αmjλ j

T (v) =

n j=1

λ jT (v j)

=n j=1

λ j mi=1

αijwi=mi=1

n j=1

αijλ j

wi,

luego, [T (v)]b = [T ]b

a[v]a.

Observación 4.3.7 Observemos que la ecuaci´ on [T (v)]b = [T ]b

a[v]a en el Teorema anterior

nos dice que el siguiente diagrama es conmutativo:

V T −→ W Φa ↓ ↓ Ψb

Kn [T ]b

a−→ Km

v → T (v)↓ ↓

[v]a → [T ]b

a[v]a = [T (v)]b

: donde Φa (v) = [v]a, Ψb (w) = [w]b

donde [T ]ba es visto como la transformaci´ on lineal asociada a la matriz A = [T ]b

a, (v´ ease el

ejercicio 2.12).

Ejemplo 4.24 Consideremos la transformaci´ on lineal:

T : R2 −→ R3

: (x, y) −→ (x + 3y, 0, 2x − 4y),


38/67


y si a ={e1, e2} y β ={e1, e

2, e

3} son las bases can´ onicas de R

2 y R3 respectivamente, en-

tonces

T (1, 0) = (1, 0, 2) = 1 · e1 + 0 · e2 + 2 · e

3

T (0, 1) = (3, 0, −4) = 3 · e1 + 0 · e2 + (−4) · e3

es decir

[T (e1)]b =

102

, [T (e2)]b = 30

−4

de aquı́ que

[T ]ba = 1 30 0

2 −4

.Ejemplo 4.25 Consideremos la transformaci´ on lineal:

D : P 3 (K) −→ P 2 (K)

: p −→ D ( p) := p.

Deseamos calcular la matriz asociada a D con respecto a las bases a = {1, x , x2, x3} y b ={1, x , x2} de P 3 (K) y P 2 (K) respectivamente. De un c´ alculo directo se obtiene

D(1) = 0 = 0 · 1 + 0 · x + 0 · x2,

D(x) = 1 = 1 · 1 + 0 · x + 0 · x2,

Dx2) = 2x = 0 · 1 + 2 · x + 0 · x2,

D(x3) = 3x2 = 0 · 1 + 0 · x + 3 · x2,

Es decir,

[D(1)]a =

000

, [D(x)]a =

100

,

D(x2)

a

=

020

,

D(x3)

a

=

003

.

Luego,

[D]ba =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

. Adem´ as, si p = x3 + 2x2 + x + 2, entonces D( p) = 3x2 + 4x + 1, y tambi´ en

[D]ba[ p]a =

0 1 0 00 0 2 0

0 0 0 3

212

1

=

14

3

.


39/67


Problema 4.3.8 Consideremos la funci´ on proyecci´ on

P : R3 → R3

: (x,y,z ) → (x,y, 0)

Determine la matriz de coordenadas de P, [P ]a , en las bases a, a ; donde

a =

v1 = 11

1

, v2 = 12

2

, v3 = 12

3

Soluci´ on: por el teorema anterior, la column j-´ esima de [P ]

a es [P (v j)]a . Aśı,

P (v1) = 110 = 1 · v1 + 1 · v2 − 1 · v3 ⇒ [P (v1)]a = 11

−1 ,

P (v2) =

120

= 0 · v1 + 3 · v2 − 2 · v3 ⇒ [P (v2)]a = 03

−2

,P (v3) =

120

= 0 · v1 + 3 · v2 − 2 · v3 ⇒ [P (v3)]a = 03

−2

.de aquı́ que

[P ]a =

1 0 01 3 3−1 −2 −2

.Esta matriz nos sirve para calcular [P (v)]

a de cualquier vector v ∈ R3 siempre que conoz-

camos las coordenadas de v en la base a, pues, por el mismo teorema tenemos que [P (v)]a =[P ]a[v]a. Por ejemplo, si

v =

356

= 1 · v1 + 1 · v2 + 1 · v3 ⇒ [v]a = 11

1

entonces

[P (v)]a = [P ]a[v]a

=

1 0 01 3 3−1 −2 −2

111

= 17

−5

lo cual es cierto, pues

P (v) =

350

= 1 · v1 + 7 · v2 − 5 · v3.


40/67


Problema 4.3.9 Consideremos las bases

a =v1 = 10

0

, v2 = 110

, v3 = 111

b =

w1 = −10

0

, w2 = 01

0

, w3 = 01

−1

.Y consideremos la funci´ on proyecci´ on P del problema anterior, y calcule [P ]b

a.

Soluci´ on: Calculemos las coodenadas de P (v j) en la base b:

P (v1) = 100 = −1 · w1 + 0 · w2 + 0 · w3 ⇒ [P (v1)]b = −10

0 ,

P (v2) =

110

= −1 · w1 + 1 · w2 + 0 · w3 ⇒ [P (v2)]b = −11

0

,P (v3) =

110

= −1 · w1 + 1 · w2 + 0 · w3 ⇒ [P (v3)]b = −11

0

,de aquı́ que

[P ]ba = −1 −1 −10 1 1

0 0 0

.Problema 4.3.10 Sea

T : R3 → R2

: (x,y,z ) → T (x,y,z ) := (2x + 3y, x − y − z ) .

Calcule [T ]c

c , donde c, c son las bases can´ onicas de R3, R2 respectivamente.

Soluci´ on: Calculemos las coordenadas de T (e j) en la base can´ onica c de R2 :

T (e1) = 2

1

= 2 · e1 + 1 · e

2 ⇒ [T (e1)]c =

21

,

T (e2) =

3−1

= 3 · e1 − 1 · e

2 ⇒ [T (e1)]c =

3−1

,

T (e3) =

0−1

= 0 · e1 − 1 · e

2 ⇒ [T (e1)]c =

0−1

.

De aquı́ que

[T ]c

c =

2 3 01 −1 −1 .


41/67


42/67


Claramente se tiene que T ◦ U = I V . Ahora bien, con respecto a las bases, a = {1, x , x2, x3},

b = {1, x , x2

} bases para P 3 (K), P 2 (K) respectivamente, entonces tenemos que

[T ]ba

=

0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

[U ]ab

=

0 0 01 0 00 1/2 00 0 1/3

,luego,

[T ◦ U ]ab

= [T ]ba[U ]a

b

=

0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

0 0 01 0 00 1/2 00 0 1/3

=

1 0 00 1 00 0 1

.Observación 4.3.13 Sea T ∈ L(V, V ) y a una base para V . Entonces T es invertible si ys´ olo si [T ]a es invertible. M´ as a ´ un, [T

−1]a = [T ]−1a

.

El siguiente lema nos da la forma de pasar de una base a otra.

Lema 4.3.14 (Matriz de cambio de base) Sean a, a bases de V y Q = [I V ]a

a. Entonces, Q

es invertible y tenemos que para todo v ∈ V ,

[v]a = Q[v]a .

(V, a) Q

→ (V, a)

A la matriz Q se le llama matriz de cambio de bases de a , a.

Demostración: Se sigue de la observación anterior que Q es invertible. Ahora bien, ∀v ∈ V,

[v]a = [I V (v)]a = [I V ]a

a[v]a = Q[v]a .

Ejemplo 4.27 Consideremos al espacio vectorial P 2 (R) y las bases

a = 1, x , x2 y a = 1, 1 + x, 1 + x + x2 .


43/67


Determine la matriz de cambio de base de a a a; y determine las coordenadas de p (x) =

3 + 2x + 4x2

en la base a

.Soluci´ on: Observemos que

a =

v1 = 1, v2 = x, v3 = x2

a =

w1 = 1, w2 = (1 + x) , w3 =

1 + x + x2

.

Ası́, la matriz pedida es P = [I V ]a

a , es decir, las columna de P son las coordenadas de I V (vi)

en la base a . Ası́ que, ¡¡manos a la obra!! :

I V (v1) = 1 = 1 · (1) + 0 · (1 + x) + 0 ·

1 + x + x2

= 1 · w1 + 0 · w2 + 0 · w3,

I V (v2) = x = −1 · (1) + 1 · (1 + x) + 0 ·

1 + x + x2

= −1 · w1 + 1 · w2 + 0 · w3,

I V (v3) = x

2

= 0 · (1) − 1 · (1 + x) + 1 · 1 + x + x2 = 0 · w1 − 1 · w2 + 1 · w3, p (x) = 3 + 2x + 4x2 = 3 · v1 + 2 · v2 + 4 · v3.

De aquı́ que

[I V (v1)]a =

100

, [I V (v2)]a = −11

0

, [I V (v3)]a = 0−1

1

, [ p]a =

324

es decir

P = [I V ]a

a =

1 −1 00 1 −1

0 0 1 , y[ p]

a = [I V ]

a

a [ p]

a =

1 −1 00 1 −10 0 1

324

= 1−2

4

.Observemos que, efectivamente

p (x) = 1 · w1 − 2 · w2 + 4 · w3

= 1 · (1) − 2 · (1 + x) + 4 ·

1 + x + x2

= 3 + 2x + 4x2.

Teorema 4.3.15 Sea T : V −→ W una transformaci´ on lineal y a, a bases de V , b, b basesde W . Entonces,

[T ]b

a = P −1[T ]b

aQ,

donde Q = [I V ]a

a, P = [I W ]

b

b son las matrices de cambio de bases. Una forma de recordar

este teorema es considerando el siguiente diagrama conmutativo:

(V, a)[T ]b

a→ (W, b)Q ↓ ↓ P

(V, a) [T ]b

a→ (W, b)


44/67


Demostración: En efecto, para v ∈ V , tenemos, por el lema anterior, que

[T (v)]b = P [T (v)]b

= P [T ]b

a[v]a,

Por otro lado,

[T (v)]b = [T ]b

a[v]a

= [T ]baQ[v]a,

de aquı́, tenemos queP [T ]b

a [v]a = [T ]

b

aQ[v]a,

y como P es invertible el resultado se sigue ahora.

Ejemplo 4.28 Consideremos

T : R2 −→ R2

: (x, y) −→ (y, −2x + 3y),

y las bases

c = {e1, e2} , a =

w1 =

11

, w2 =

12

.

Calcule [T ]c , la matriz de cambio de base P de a a c, y con esto calcule [T ]a .Soluci´ on: Recordemos que las columnas de [T ]

c son las coordenadas de T (ei) en la base

c ; P = [I R2]c

a , es decir, las columnas de P son las coordenadas de I R2 (ei) en la base c.

(R2, a) [T ]a

a−→ (R2, a)P ↓ ↓ P

(R2, c) [T ]

c−→ (R2, c)

⇒ [T ]a = P −1 [T ]

c P.

T (e1) = T 1

0 = 0

−2 = 0 · e1 + (−2) · e2 ⇒ [T (e1)]c = 0

−2 ,T (e2) = T

01

=

13

= 1 · e1 + 3 · e2 ⇒ [T (e2)]c =

13

,

∴ [T ]c =

0 1−2 3

.

I R2 (w1) = w1 =

11

= 1 · e1 + 1 · e2 ⇒ [I R2 (w1)]c =

11

,

I R2 (w2) = w2 =

12

= 1 · e1 + 2 · e2 ⇒ [I R2 (w2)]c =

12

,

∴ P = [I R2 ]ca = 1 11 2 .


45/67


Y ası́, dado que [T ]a = P −1 [T ]

c P, es decir

[T ]a

=

1 11 2

−1 0 1−2 3

1 11 2

=

1 00 2

.

Lo cual es cierto, ya que

T (w1) = T

11

=

11

= 1 · w1 + 0 · w2 ⇒ [T (w1)]a = 10

,

T (w2) = T 1

2

= 2

4

= 0 · w1 + 2 · w2 ⇒ [T (w2)]a =

02

.

Ejemplo 4.29 Sean

T : R3 −→ R2

: (x,y,z ) −→ (2x + y, x + y − z ),

y a = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, a = {(2, 0, 0), (0, −1, 0), (0, 0, −2)} bases de R3, b ={(1, 0), (0, 1)}, β = {(1, 1), (1, −1)} bases de R2. Entonces, por un calculo directo, se tiene

[T ]ba

=

2 1 01 1 −1

,

[T ]b

a =

3 −1 11 0 −1

.

Tambi´ en, tenemos que

Q = [I R3]a

a =

2 0 00 −1 00 0 −2

,P = [1R2 ]

b

b =

1 11 −1

,

un c´ alculo directo muestra que,

P −1 = 12 1212

−12 ,


46/67


en consecuencia, otra forma de calcular [T ]b

a es usar el teorema anterior

[T ]b

a = P −1[T ]baQ

=

12

12

12

−12

2 1 01 1 −1

2 0 00 −1 00 0 −2

=

12

12

12

−12

4 −1 02 −1 2

=

3 −1 11 0 −1

.

de donde se obtiene el mismo resultado.

Ejercicios 4.3

3.1 Si T : R2 −→ R2 es la función dada por T (x, y) = (3x + y, 2x − y) ,

a) Muestre que T es un isomorfismo.

b) Calcule la inversa de T.

c) Encuentre la matriz asociada a T en la base canónica de R2.

d) Encuentre la matriz asociada a T −1 en la base canónica de R2.

3.2 Encuentre la matriz asociada a las trasformaciones lineales T : Rn −→ Rm

siguientes, en las bases canónicas correspondientes:

a) T : R4 −→ R2 dada por T (x , y, z, w) := (x, y) .

b) T : R3 −→ R2 dada por T (x,y,z ) := (x, y) .

c) T : R4 −→ R4 dada por T (x , y, z, w) := (x,y, 0, 0) .

d) T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) := 3 (x, y) .

e) T : R3 −→ R3 dada por T (x,y,z ) := − (x,y,z ) .

f ) T : Rn −→ Rn dada por T (x) := −x.

g) T : Rn −→ Rn dada por T (x) := 5x

h) T : Rn −→ Rn dada por T (x) := λx, con λ fijo.

i) T : R2 −→ R3 dada por T (x, y) : = (ax + by,cx + dy,ex + f y) ; dondea , . . . , f ∈ R son constantes fijas.

3.3 Sea T : P 2 (R) −→ M 2×2 (R) dada por

T ( p (x)) :=

p (0) 2 p (1)

0 p (3)

donde p y p denotan la primera y segunda derivada de p. Verifique que es-

ta ”función”esta bien definida, es una transformación lineal y calcule la matrizasociada a T en las bases canónicas de los espacios vectoriales dados.


47/67


3.4 Sean T : P 2 (R) → P 2 (R) y L : P 2 (R) → R3 las funciones dadas por

T ( p (x)) : = (3 + x) p (x) + 2 p (x)

L

a + bx + cx2

: = (a + b,c,a − c) .

Consideremos a = {1, x , x2} la base canonica de P 2 (R) y b = {e1, e2, e3} la basecanónica de R3.

a) Demuestre que T y L son transformaciones lineales.

b) Calcule [T ]a y [L]b

a .

c) Calcule L ◦ T : P 2 (R) → R3.

d) Calcule [L ◦ T ]b

a .e) Compruebe que [L ◦ T ]b

a = [L]b

a [T ]

a .

f ) Si p (x) = 3 − 2x + x2, calcule [ p]a , [L ( p)]

b y muestre que [L ( p)]

b = [L]b

a [ p]

a .

3.5 Si V y W son K-espacios vectoriales con bases a y b respectivamente. Si T , L ∈L (V, W ) son tales que [T ]b

a = [L]b

a . ¿es T = L?.

3.6 Considere L : M 2×2 (R) → P 2 (R) definida por

L a b

c d := (a + b) + (2d) x + bx2

y considere las bases canónicas de M 2×2 (R) y P 2 (R) :

a =

1 00 0

,

0 10 0

,

0 01 0

,

0 00 1

b =

1, x , x2

a) Calcule [L]b

a .

b) Si T : M 2×2 (R) →: M 2×2 (R) es la función transpuesta, i.e. T (A) := At;

calcule [T ]aa .

c) Defina R : P 2 (R) → M 2×2 (R) mediante

R ( p) :=

p (0) 2 p (1)

0 p (3)

.

Calcule [R]ab .

d) Defina S : M 2×2 (R) → R la función traza de una matriz, i.e.

S

a bc d

:= a + d.

1) Muestre que S es lineal.


48/67


2) Calcule [S ]ca , donde c = {1} es la base canónica de R.

e) Defina G : P 2 (R) → R mediante G ( p) := p (2) . Muestre que G es lineal ycalcule [G]c

b .

f ) Si A =

1 −2−5 4

, calcule [A]

a .

g) Si p (x) = 3 − 6x + x2, calcule [ p]b .

3.7 En el R-espacio vectorial R3, consideremos la base canónica c de R3, y sea

a =

10

0

,

11

0

,

11

1

otra base de R3.

a) Encuentre la matriz de cambio de base de c a a, es decir, [I R3]a

c .

b) Encuentre la matriz de cambio de base de a a c, es decir, [I R3]c

a .

c) Dado v = (3, 4, 5) ∈ R3, calcule [v]a y [v]

c .

d) Considere las funciones T , L : R3 → R3 definidas por

T xy

z := x − y + z

2x + y − 3z

z − x , Lxy

z := x + y + z

y + z

z Calcule

T ◦ L L ◦ T

i) [T ]c

ii) [T ]a

iii) [T ]ac

iv) [T ]ca

v) [L]a

vi) [L]ca

vii) [T ◦ L]a

vii) [L ◦ T ]a

3.8 Si c : C → C es la función conjugación, es decir, c (x + iy) := x − iy; x, y ∈ R, yconsideremos a C como un R-espacio vectorial con la base a = {1, i}.

a) Muestre que c es lineal.

b) Calcule [c]a .

c) Muestre que si se considera a C como un C-espacio vectorial, entonces cno es lineal.

3.9 Si T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x + y, −2x + 4y) . Calcule [T ]a , donde

a = 11 , 12 .


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4.4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES 143

3.10 Si T : R2 → R3 definida por T (x, y) = (x + 3y, 0, 2x − 4y) . Considere las bases

canónicas c, c

de R2

y R3

respectivamente.

a) Calcule [T ]c

c .

b) Calcule [T ]c

c , donde c es la siguiente permutación de los elementos de la

base canónica c ,c = {e3, e2, e1} .

3.11 Si T : R3 → R3 definida por T (x, y) = (x − y, y − x, x − z ) . Considere

a = 1

01 ,0

11 ,1

10 , v = 1

12 .Calcule

a) [T ]a y [v]

a .

b) [T (v)]a y verifique que [T (v)]

a = [T ]

a [v]

a .

3.12 Sea I : P 2 (R) → P 3 (R) la función integración, es decir,

I ( p) := x0 p (t) dty considere las bases canónicas c, c de P 2 (R) y P 3 (R) respectivamente, es decir,

c = {1, x , x2}, c = {1, x , x2, x3} . Calcule [I ]c

c .

3.13 Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n, y I V ∈ L (V, V ) es la transforma-ción identidad en V . Demuestre que

[I V ]a = I dn×n,

donde I dn×n es la matriz identidad de n × n.

4.4. Sistemas de ecuaciones lineales y transformaciones

lineales

Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales homogeneo:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0

..

.am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

(*)


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con coeficientes aij en un campo K, y si consideramos la matriz de coeficientes

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

... ...

. . . ...

am1 am2 · · · amn

a la cual llamaremos la matriz asociada al sistema, y el vector :

x =

x1x2

...xn

,

el vector de inc´ ognitas. El sistema anterior se puede ascribir como

Ax = 0, (1)

donde 0 es el vector (columna) cero de Kn. Si consideramos la transformación linealasociada a la matriz A,

T A : Kn

→ Km

: x → T A (x) := Ax.

Ası́, en términos de esta transformación lineal, el sistema de ecuaciones (1) se escribecomo

T A (x) = 0, (2)

es decir, el conjunto de soluciones S h del sistema homogéneo (1) es el núcleo de latransformación lineal T A :

S h = N uc (T A) ⊆ Kn

de donde tenemos que el conjunto de soluciones del sistema homogeneo S h es unsubespacio vectorial de Kn. Resolver el sistema homogeneo (1) es calcular el nucleoN uc (T A), y ası́, para determinarlo basta dar una base de este subespacio. Observeseque el espacio de soluciones del sistema homogéneo es no vaćıo, pues almenos está lasolución trivial x = 0.

¿Qué sucede si tenemos un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales? Sea

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

..

.am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(**)

8/19/2019 Algebra Lineal I Trans

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