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2. Kernmodelle
Bindungsenergien und Massendefekt
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Massenspektrometer
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Atomzahlabhängigkeit der Bindungsenergien
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Deshalb kurze Reichweite der Kernkraft – ohne Abschirmung würde man eine Wechselwirkung eines Teilchens mit
allen Nukleonen erwarten, also
Bei einer Abschirmlänge vergleichbar mit der Grösse der Nukleonen erhält man die beobachtete Abhängigkeit
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2.1. Fermi-Gas Modell
Quantisierter Phasenraum
Ergibt eine konstante Zustandsdichte bis zur Fermikante
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Daraus ergibt sich die mittlere Energie pro Teilchen
In der gleichen Grössenordnung wie das Experiment
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Durch Coulombbarriere ergibt sich unterschiedliche Fermienergie für Protonen und Neutronen. Damit:
Entwickeln nach der Assymmetrie
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2.2. Tröpfchenmodell / Bethe-Weizsäcker
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Abweichungen von der Bethe-Weizsäcker Formel geben weitere Hinweise auf Kernstruktur, bzw. Kernpotential
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Vergleich mit atomaren Ionisationsenergien legt eine Schalenstruktur nahe – das Potential ist
allerdings anders, so auch die Schalen
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2.3. Schalenmodell
Bindungsenergien sind besonders gross bei gewissen “magischen” Zahlen von Neutronen und Protonen (Z und N).
Magische Zahlen sind experimentell:
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
Erklärung dieser Zahlen durch die Schalenstruktur in Folge des Kernpotentials
und der Schrödinger-Gleichung
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Was ist das Kernpotential?
V ist kurzreichweitig
Aus Streudaten wissen wir die Dichte
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Verschiedene Näherungen für das Kernpotential
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Lösen der Schödingergleichung für die verschiedenen Fälle
Bahndrehimpuls l hat hinsichtlich magnetischer QZ m eine 2 l + 1 fache Entartung
Kann nach Pauliprinzip mit
= 2 (2 l +1)
Spin ½ Teilchen besetzt werden.
[ ] Summe aller bis zum betreffenden Niveau
l = 0, 1, 2, 3,…
s, p, d, f,…
Entartung beim Oszillatorpotential.
N
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Explizites Beispiel: Harmonischer Oszillator
Die zugehörige Schrödinger Gleichung
Hat Energie-Eigenwerte:
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Für die richtigen magischen Zahlen muss die Spin Bahn Kopplung mitbetrachtet werden
Ergibt eine Aufspaltung von:
Bei konstantem f gilt nämlich:
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2.4 Kernkräfte
Wechselwirkungen Feldquantenkonzept
Verletzung Energieerhaltung.
Wegen Heisenbergscher Unschärferelation erlaubt für Zeit
In dieser Zeit kann Austauschteilchen Strecke r = c T zurücklegen.
Reichweite der Kernkraft 1.3 fm
mπc2 150 MeV
Powell (1946) π0 135 MeV π+- 139.6 MeV
TE
27Proton-Neutron Streuung -> Ladungsaustausch
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Klein-Gordon Gleichung für das Austauschteilchen
Ergibt ein exponentiell gedampftes Wechselwirkungspotential, das Yukawa-Potential
Masse des Teilchens folgt dann direkt aus der Reichweite
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m(π) ≈ 140 MeV/c2
m(ω) ≈ 784 MeV/c2
Yukawa Potenzial: r
egrrV
r
4,ˆ
2
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Nukleon-Nukleon Potential
2 π Austausch
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-Three quarks for Muster Mark!Sure he hasn’t got much of a barkAnd sure any he has it’s all beside the mark.-Finnegans Wake-James Joyce
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Vergleich Potential Elektron-Nukleon
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Für die starke Wechselwirkung sind Proton und Neutron ununterscheidbar - siehe Vergleich der Spiegelkerne (N und Z vertauscht)
Beschreibe Proton und Neutron als zwei Zustände eines Teilchens, des Nukleons, mit verschiedenen "spins" (Isospins)
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Zum Beispiel für das Deuteron
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Zentralkraft
Spinabhängige Kraft (n-p Streuung)
Nicht Zentralkraft (Quadrupolmoment)
Spin-Bahn Kopplung (p-He Streuung)
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Zusammenfassung Kap. 2Die Bindungsenergie bestimmt die Masse der Kerne
Im Fermi-Gas Modell kann die Grössenordnung der Energie abgeschätzt werden – Coulomb-Barriere ergibt Asymmetrie in Neutronen und Protonenbesetzung
Fermiterme, Coulomb-Barriere und Oberflächenspannungs Term ergeben in guter Näherung die Bindungsenergie der Kerne – Bethe-Weizsäcker Formel
Diese Beschreibung bricht zusammen bei gewissen “magischen” Zahlen - Erklärt durch Schalenstruktur des Kerns analog zum Atom
Quantenzahlen werden durch die unterschiedliche Potentialform aber anders besetzt
Gute Uebereinstimmung bei zusätzlicher Betrachtung einer Spin-Bahn Kopplung
Symmetrie der Nukleonen mittels Beschreibung durch Isospin
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