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2. Kernmodelle

Bindungsenergien und Massendefekt

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Massenspektrometer

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Atomzahlabhängigkeit der Bindungsenergien

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Deshalb kurze Reichweite der Kernkraft – ohne Abschirmung würde man eine Wechselwirkung eines Teilchens mit

allen Nukleonen erwarten, also

Bei einer Abschirmlänge vergleichbar mit der Grösse der Nukleonen erhält man die beobachtete Abhängigkeit

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2.1. Fermi-Gas Modell

Quantisierter Phasenraum

Ergibt eine konstante Zustandsdichte bis zur Fermikante

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Daraus ergibt sich die mittlere Energie pro Teilchen

In der gleichen Grössenordnung wie das Experiment

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Durch Coulombbarriere ergibt sich unterschiedliche Fermienergie für Protonen und Neutronen. Damit:

Entwickeln nach der Assymmetrie

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2.2. Tröpfchenmodell / Bethe-Weizsäcker

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Abweichungen von der Bethe-Weizsäcker Formel geben weitere Hinweise auf Kernstruktur, bzw. Kernpotential

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Vergleich mit atomaren Ionisationsenergien legt eine Schalenstruktur nahe – das Potential ist

allerdings anders, so auch die Schalen

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2.3. Schalenmodell

Bindungsenergien sind besonders gross bei gewissen “magischen” Zahlen von Neutronen und Protonen (Z und N).

Magische Zahlen sind experimentell:

2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

Erklärung dieser Zahlen durch die Schalenstruktur in Folge des Kernpotentials

und der Schrödinger-Gleichung

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Was ist das Kernpotential?

V ist kurzreichweitig

Aus Streudaten wissen wir die Dichte

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Verschiedene Näherungen für das Kernpotential

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Lösen der Schödingergleichung für die verschiedenen Fälle

Bahndrehimpuls l hat hinsichtlich magnetischer QZ m eine 2 l + 1 fache Entartung

Kann nach Pauliprinzip mit

= 2 (2 l +1)

Spin ½ Teilchen besetzt werden.

[ ] Summe aller bis zum betreffenden Niveau

l = 0, 1, 2, 3,…

s, p, d, f,…

Entartung beim Oszillatorpotential.

N

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Explizites Beispiel: Harmonischer Oszillator

Die zugehörige Schrödinger Gleichung

Hat Energie-Eigenwerte:

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Für die richtigen magischen Zahlen muss die Spin Bahn Kopplung mitbetrachtet werden

Ergibt eine Aufspaltung von:

Bei konstantem f gilt nämlich:

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2.4 Kernkräfte

Wechselwirkungen Feldquantenkonzept

Verletzung Energieerhaltung.

Wegen Heisenbergscher Unschärferelation erlaubt für Zeit

In dieser Zeit kann Austauschteilchen Strecke r = c T zurücklegen.

Reichweite der Kernkraft 1.3 fm

mπc2 150 MeV

Powell (1946) π0 135 MeV π+- 139.6 MeV

TE

27Proton-Neutron Streuung -> Ladungsaustausch

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Klein-Gordon Gleichung für das Austauschteilchen

Ergibt ein exponentiell gedampftes Wechselwirkungspotential, das Yukawa-Potential

Masse des Teilchens folgt dann direkt aus der Reichweite

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m(π) ≈ 140 MeV/c2

m(ω) ≈ 784 MeV/c2

Yukawa Potenzial: r

egrrV

r

4,ˆ

2

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Nukleon-Nukleon Potential

2 π Austausch

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-Three quarks for Muster Mark!Sure he hasn’t got much of a barkAnd sure any he has it’s all beside the mark.-Finnegans Wake-James Joyce

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Vergleich Potential Elektron-Nukleon

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Für die starke Wechselwirkung sind Proton und Neutron ununterscheidbar - siehe Vergleich der Spiegelkerne (N und Z vertauscht)

Beschreibe Proton und Neutron als zwei Zustände eines Teilchens, des Nukleons, mit verschiedenen "spins" (Isospins)

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Zum Beispiel für das Deuteron

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Zentralkraft

Spinabhängige Kraft (n-p Streuung)

Nicht Zentralkraft (Quadrupolmoment)

Spin-Bahn Kopplung (p-He Streuung)

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Zusammenfassung Kap. 2Die Bindungsenergie bestimmt die Masse der Kerne

Im Fermi-Gas Modell kann die Grössenordnung der Energie abgeschätzt werden – Coulomb-Barriere ergibt Asymmetrie in Neutronen und Protonenbesetzung

Fermiterme, Coulomb-Barriere und Oberflächenspannungs Term ergeben in guter Näherung die Bindungsenergie der Kerne – Bethe-Weizsäcker Formel

Diese Beschreibung bricht zusammen bei gewissen “magischen” Zahlen - Erklärt durch Schalenstruktur des Kerns analog zum Atom

Quantenzahlen werden durch die unterschiedliche Potentialform aber anders besetzt

Gute Uebereinstimmung bei zusätzlicher Betrachtung einer Spin-Bahn Kopplung

Symmetrie der Nukleonen mittels Beschreibung durch Isospin