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Kernphysik I
Kernkräfte und Kernmodelle:
•Deuteron
Wiederholung: Ladungsunabhängigkeit der Kernkräfte
Neutronen und Protonen haben nicht nur fast die gleiche Masse,sondern sind auch in ihrer Kernwechselwirkung ähnlich.
Dies sieht man an ihren ähnlichen Bindungsenergien und, noch deutlicher, an den Energiezuständen der "Spiegelkerne".
Spiegelkerne sind Paare von Isobaren (gleiches A), bei denen die Protonenzahl des einen Nuklids gleich der Neutronen-zahl des anderen ist.
Beispiel:Isobare Kerne mit A=22 und 23
2311Na 23
12 Mg
2212Mg
2211Na
2210Ne
Isospin
• Beobachtung: mn ~ mpNur kleiner Massenunterschied von 1.29 MeV
• Proton und Neutron koppeln gleich stark an starke Wechselwirkung
• Starke Wechselwirkung kann Proton/Neutron nicht unterscheiden
• Proton und Neutron sind für starke WW Zustände eines Teilchens→ Nukleon• Unterschied im Isospin I=1/2 mit zwei Zuständen: Proton Neutron
• Unterscheidung durch z.B. elektromagnetische WW möglich
• Starke Wechselwirkung: erhält Isospin!
Proton
Neutron
Kernkräfte
Kraft
Naive Erwartung an Kern-Kern-Potential
abstoßender Kern
Erwarte V0~ x 10 MeV ?
Deuteron
• Das Deuteron ist das einfachste gebundene System von Nukleonen.Leider besitzt das Deuteron keine gebundenen angeregten Zustände(→ keine Analogie zum Wasserstoffatom). • Es existieren kein Zustände des Di-Protons oder Di-Neutrons.• Masse und BindungsenergieDas Deuteron hat eine Masse von m(2H) = 2,014 uBindungsenergie: B.E. = 2,225 MeV• Bindungsenergie ist gleich der Energie des emittierten Photons, γ-Quantsbei der Bildung eines Deuterons beim Neutroneneinfang am Proton.
Deuteron
Annahmen zur Lösung der Schrödingergleichung• Zweikörperproblem wird auf ein eindimensionales Problem reduziert, • Relativabstand r zwischen Proton und Neutron,• Annahmen: einfaches Zentralpotenzial mit Rechteckform, Potenzial hat die Tiefe -V0 und die Breite R0
• Die beiden Nukleonen befinden sich im niedrigsten Zustand des Systems in einem Zustand mit relativem Bahndrehimpuls l= 0
Einfachste Näherung: Kastenpotential
V(r)
-V0
R0
rB.E.
Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron
Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron
Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron
BBa
R/raa
0
B0iiii
iii0
ikrikr
0B22
2
0B022
2
lm
p
pn
pn2
22
mER mEikmit eA)r(u
ab Bereichm verboteneklassisch in llexponentietionWellenfunkfällt aussen) a(Rrfür
)EV(m1kmit rksinA)r(u
0)0(u ist wegen innen) i(Rrfür
ee)r(u :atzLösungsans
)R(r 0uEmdr
ud
)R(r 0u)EV(mdr
ud
),(Y)r(),,r( )r(r)r(u2m
2m
mmmm
mit 0u)E)r(V(dr
ud2
h
h
h
h
h
h
==⋅=
>
−=⋅=
β−=α=<
β+α=
>=+
<=−+
ϕϑ⋅ψ=ϕϑφψ=
≡≈+⋅
=μ=−+μ
−
−
−
- Radialgleichung- reduzierte Masse- Substitution u=rΨ
- Kein Bahndrehimpulsl=0
-Gleichung für Relativ-bewegung
- vgl. stehende Welle
-Wellenfunktion imInneren- Lsg verschwindet im Ursprung und Unendlich.
-Wellenfunktion im Äus--seren
Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron
B
BB
Bii
RRaiii
RRaii
aiai
EVEREVm
mER
Rkk
eRARkAk
eARkA
)(Ru)(Ru)(Ru)(RuRr
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=−=⋅
⋅−=⋅
⋅=⋅
′=′==
−
−
02
200
0
/0
/0
0000
0
)(cot
1cot
cos
sin
0
0
h
h :ergibt Division
für sbedingungStetigkeit
Die Gleichung läßt sich numerisch lösen.Abschätzung: Bindungsenergie des Deuterons EB = 2,225 MeV ist bekannt. Sättigung der Bindungsenergien ergibt Abschätzung für die Reichweite des Nukleon-Nukleon Potenzials: R0 ~1,4 fm
Mit diesem Werten erhält man eine Potenzialtiefe von: V0 ~ 50 MeVAus dieser Abschätzung kann man V0 >> EB folgern, d.h. rechte Seite << 1das Argument des cot auf der linken Seite ist ~ π/2 ist.
Deuteron: Wellenfunktion
MeV50Vist 1,4fm RFür
fm) in R MeV,in V( R100V
:chweiteseiner Rei und s Potenzialdes Tiefeder zwischen Beziehung
mR2V
2RmV
00
002
00
20
22
0
2
2
200
≈=
≈
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π≈→⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π=
h
h
Das Nukleon-Nukleon Potenzial verursacht trotz seiner Tiefe von ca. 50 MeVnur eine Bindungsenergie von 2,225 MeV
Wellenfunktion:• Im Innenraum eine Sinusfunktion• bei r = R0 Übergang in eine exponentiell abfallende Amplitude• im Abstand r = R auf 1/e abfällt• R=4,3 fm ist wesentlich größer als die Reichweite der Kernkraft
Einfache quantenmechanische Rechnung zum Deuteron
Relativ langsamer Abfall der Wellenfunktion und damit große räumlicheAusdehnung ist auf die geringe Bindungsenergie des Deuterons zurückzuführen.
Die geringe Bindung bei der großen Potenzialtiefe läßt sich durch die große kinetischeEnergie der Relativbewegung von Proton und Neutron erklären.
MeV33 E vonwegung Relativbediefür Energiekinetische eine sichergibt daraus MeV/c180 kp zu Impuls ein sichergibt MeV50V-EVMit
kin
i0B0
≈≈=≈≈ h
Deuteron: Spin und ParitätDer totale Drehimpuls (Kernspin) des Deuterons ist gegeben durch die Kopplung der
Spins der Nukleonen ( ) und dem relativen Bahndrehimpuls zwischen Proton und Neutron:
Der g
n p
n p
J
s , s l
J s s l= + +
v
vv v
vv v v
2 2emessene Kernspin des Deuterons ist 1 , 1
Mögliche Kombinationen der Spins und des Bahndrehimpulses:
• und parallel und 0.
• und antiparallel und 1.
• und
n p
n p
n
J J J(J )
s s l
s s l
s
= = +
=
=
vh
v v
v v
v v parallel und 1.
• und parallel und 2.
p
n p
s l
s s l
=
=v v
Experiment !
Deuteron: Spin und Parität
Parität des Deuterons: Eigenschaften der emittierten Gammastrahlung beim Neutroneneinfang am Proton ergibt, dass die Parität des Deuterons positiv ( 1) ist.
Aus den Eigenschaften der Kugelfächenfun
π = +
ktionen ergibt sich die Parität zu 1 1, woraus folgt, dass nur gerade Bahndrehimpulse von 0 und 2 vorkommen können.
Das Resultat ist konsistent mit der Annahme, dass 0 ist. Höherer Dre
l(- )l l
l
= += =
=himpulswert von 2 ist jedoch nicht ausgeschlossen.l =
Experiment !
Deuteron: Magnetisches Moment
Das magnetische Moment des Deuterons, welches sich z.B. durch Kernspin- resonanz (NMR) bestimmen läßt, ergibt sich zu: 0 8574
Bei einer parallelen Ausrichtung der Nukleonenspins und einem angenom
kμ , μ=
menen Bahndrehimpuls von 0 ergibt die Summe der magnetischen Momente von Proton und Neutron:
Mit 3 8261und 5 5857 und 1 2 folgt
10 ( ) 02
sp ksn kp n n p
sn sp n p
p n k sn sp
l
gg s s
g - , g , s s /
μ(l ) μ μ μ g g
μμμ μ
=
+ = +
= = = =
= = + = + =
v vv v
h h
,8798
Dieser Wert liegt sehr nahe beim experimentellen Ergebnis. Er stimmt aber nicht vollständig mit dem gemessenen Wert des Deuterons überein.
kμ
Experiment !
Deuteron: Magnetisches Moment
'.eine nenteKraftkompo zentrale-nicht eine es gibt abhängt, und r von Kernkraft die Wenn
abhängt. Winkel dem und Radius von das aufbringen Drehmoment ein Kernkräfte die müssen Dafür
verändert. zu sich von Deuterons des Drehimpuls der sich Zeit der 4% für daß aber bedeutet Das
Zustand. einem aus 4% zu und Zustand einem aus 96% :Zustand gemischtem aus besteht Deuterons des tionWellenfunk Die und mit konsistent ist Moment emagnetisch gemessene Das
:Moment esMagnetisch
und :mplitudenMischungsa den mit :dann lautet Deuterons des tionWellenfunk Die
),( tionWellenfunk-s einer zu )( Komponente-d einer gBeimischun Abweichung der Erklärung
tTensorkraf'ϑ
ϑ
==
==
==
−−==
=μ+=μ=μ
=ψ+=ψ=ψ
==
r2l
0l
2l0 l
04,0a96,0a
)gg2(41)2l(μ
)2l(a)0l(a
aa)2l(a)0l(a
0l2l
2d
2s
spsn
2d
2s
dsds
Quadrupolmoment des Deuterons
Das freie Neutron und das freie Proton haben kein elektrisches Quadrupolmoment.
Das Deuteron kann nur aufgrund der Bahnbewegung von Proton und Neutron einQuadrupolmoment besitzen.
Eine reine l=0 Wellenfunktion hat aufgrund ihrer Rotationssymmetrie einverschwindendes Quadrupolmoment.
Das Deuteron hat ein experimentell bestimmtes Quadrupolmoment von
Q = 0,00282 eb
Der Wert ist mit den Mischungsamplituden von s- und d-Wellenfunktion, die ausdem magnetischen Moment abgeschätzt wurden, konsistent.
Experiment !
Eigenschaften des Deuteron
Deuteron besteht im wesentlichen aus dem 3S1-Zustand:
Bindungsenergie:Spin, Parität:Mag. Moment:Quadrupolmoment:Radius:
Warum gibt es keinen 1S0-Zustand?Warum existiert das Di-Proton und das Di-Neutron nicht?
Man erwartet eigentlich, dass die beiden Zustände des Deuterons mit Drehimpulsen J=0 und J=1 mit der gleichen Energie gebunden sind.
Jedoch nur der J=1 Zustand (↑↑) wird beobachtet.
Die Kernkraft ist spinabhängig!
Es existieren auch keine gebundenen Zustände des Dineutrons oder des Diprotons, diese würden ebenfalls mit antiparallelen Spins (↑↓) wegen desPauliprinzips zu J=0 koppeln.
Drehimpulserhaltung und Paritätserhaltung erfordern, dass bei einem spinabhängigen Potential der einfachste Term ein Skalar ist:
Spinabhängigkeit der Kernkraft
Dineutron Deuteron Diproton
SpinS=0Singulettantisymmetrisch
S=1Triplettsymmetrisch
IsospinT=1TriplettSymmetrisch
T=0Singulettantisymmetrisch
Spinabhängigkeit der Kernkraft
Daraus ergibt sich unterschiedliches Potential für Singulett- und Triplettzustand.
Spinabhängige Zentralkraft:- Kraft muss unabhängig vom Koordinatensystem sein.- Kraft muss invariant gegenüber der Paritätstransformation seinSkalar der die Spins der beidenNukleonen enthält.
Zusammenfassung
Eigenschaften des Deuterons: • Tiefe des Nukleonenpotenzials
V0 ~ 50 MeV für Kernradius R0 =1,4 fm.
• Kernkräfte sind spinabhängig.
• Nicht-zentraler, Tensorterm im zwei Nukleonenpotential
Vorläufiges Kernpotential:
Deuteron: - nur eine gebundener Zustand, keine angeregten Zustände.- Nicht genügend Information um Parameter des Potentials zu bestimmen.- Kein Zugang zu l≠0 Zustand.