ฟ สิกส ควอนตัม(Quantum...

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 2

ฟสกสควอนตม (Quantum Physics)

Size, mSize, m

Quantum

relativity

General and special

relativity

Quantum

mechanics

Classical

mechanics

10-10 m 10-8 m 10 m 1011 m 1020 m

Speed, Speed,

m/sm/s

1m/s

108 m/s

340 m/s

20 m/s

105 m/s

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 3

ฟสกสควอนตม (Quantum Physics, Quantum Mechanics, Quantum Theory)

เพออธบายเกยวกบอนภาคขนาดเลกระดบอะตอม

ในการศกษาระบบทางควอนตม เราจะพบวาปรมาณหลายอยางจะมเพยง

คาตาสด และจานวนเทาของปรมาณตาสดนน มไดมคาตอเนอง

โดยปรมาณทมคาตาสด เราจะเรยกวา ควอนตม (Quantum) ของปรมาณนน

ปรมาณทมลกษณะดงกลาว เราจะเรยกวาปรมาณนนถกควอนไตซ (Quantized)

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 4

ตวอยางเชงเปรยบเทยบ

เงนบาท เปนปรมาณทถกควอนไตซ โดยควอนตมของเงนบาทคอ 1 สตางค

ปรมาณเงนบาทไมวาเทาไรกตามสามารถเขยนไดเปนจานวนเทาของ

1 สตางคเสมอ

เชน 2.5 บาท = 250 (1 สตางค)

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 5

ในป 1905 ไอนสไตน เสนอวา คลนแมเหลกไฟฟาสามารถถกควอนไตซได

โดยควอนตมของคลนแมเหลกไฟฟาเรยกวา โฟตอน (Photon)

ซงโฟตอนแตละตวจะมพลงงาน (โดยไดแนวคดจาก แพลงค (M. Plank))

hfEphoton =

โดย f : ความถของคลนแมเหลกไฟฟา

J.s 1063.6 34−×=hคาคงทของแพลงค (Plank constant)

ความเขมของคลนแมเหลกไฟฟา

แปรผนกบจานวนโฟตอน และ

พลงงานของโฟตอน

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 6

ตวอยางหลอดไฟฟาเปลงแสงความยาวคลน 590 nm ดวยกาลง 100 Watt

หลอดไฟฟานปลอยโฟตอนกตวในเวลา 1 วนาท

ในเวลา 1 วนาท หลอดไฟฟาเปลงแสงพลงงาน 100 J

แตโฟตอน 1 ตว มพลงงานλchhfEphoton ==

( )( )9

834

1059010998.21063.6 −

−

×××

=

J100.34 18−×=

นนคอ ในเวลา 1 วนาท

หลอดไฟฟาจะปลอยโฟตอนออกมา

100.34100 18−×

= 201097.2 ×= ตว

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 7

ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก (Photoelectric Effect)

เปนปรากฏการณเกดอเลกตรอนอสระ โดยการฉายแสงลงบนโลหะ

เมอฉายแสงจะทาใหเกดอเลกตรอน

เคลอนทไปยงขวลบ เกดกระแสไฟฟา

ไหลครบวงจร

แตเมอปรบความตางศกยใหสงขนจนถงคาหนงจะไมมกระแสไฟฟาในวงจร

เราจะเรยกความตางศกยนวา ความตางศกยหยดยง (Stopping Potential; Vstop)

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 8

เมออเลกตรอนเคลอนทในสนามไฟฟา

และจากกฏการอนรกษพลงงานจะไดวา

max stopeVK =

โดยสามารถเขยนสมการโฟโตอเลกตรกไดดงน

จากกฏการอนรกษพลงงาน max KElight +Φ=

พลงงานยดเหนยว

ระหวางอเลกตรอนกบโลหะ

(Work function)

พลงงานจลนสงสด

ของอเลกตรอน

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 9

จากการทดลองพบวา มคาคงทไมเปลยนแปลงไปตามความเขมของแสง stopV

ซงหมายความวา พลงงานจลนสงสดของอเลกตรอน (Kmax)

ไมขนกบความเขมของแสง

: เมอแสงตกกระทบโลหะ อเลกตรอนจะสนดวยอาพนซง

มขนาดแปรผนกบอาพนของแสง นนหมายความวาแสง

ทมความเขมสง(อาพนมคามาก) กจะทาใหอเลกตรอนม

พลงงานจลนสงขนดวย ซงไมสอดคลองกบผลการทดลอง

Classical Physics

: แสงทมความเขมตางกนกจะมจานวนโฟตอนตางกน

แตพลงงานของโฟตอนแตละตวมคาเทากน ดงนน

พลงงานจลนของอเลกตรอนจงไมเปลยนไปตามความเขมแสง

Quantum Physics

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 10

จากการทดลองยงพบอกวา

- Vstop มคาแปรผนตรงกบความถของแสงทตกกระทบ

- ปรากฏมความถขดเรม (Cutoff Frequency) ซงถาแสงมความถตากวาน

จะไมมอเลกตรอนอสระเกดขน ไมวาความเขมแสงจะเปนเทาใด

ซงไมสามารถอธบายไดโดย

Classical Physics แตยงคง

สามารถอธบายไดโดย

Quantum Physics อกเชนกน

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 11

โดยอาศย Quantum Physics สามารถเขยนสมการโฟโตอเลกตรกไดดงน

max KElight +Φ=

stopeVhf +Φ=e

fehVstop

Φ−= หรอ

จาก

จะได

ตวอยางจากการทดลองปรากฏการณโฟโตอเลกตรกโดยใชโลหะโซเดยม

พบวาคาความถขดเรมคอ 5.5 x 1014 Hz โลหะโซเดยมมคา เทาใดΦ

จากstopeVhf +Φ= จะได 0 0 +Φ=hf

นนคอ J 106.3 19−×=Φ

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 12

การกระเจงคอมพตน (Compton Scattering)

ในป 1916 ไอนสไตน ไดเสนออกวา โฟตอนมโมเมนตมเชงเสน ดงน

λhpphoton =

โดย คอ ความยาวคลนของคลนแมเหลกไฟฟาλ

เพอเปนการพสจนสมมตฐานน

A. Compton ไดยงรงสเอกซเขา

ชนเปาคารบอน แลววดความยาว

คลนของรงสเอกซทกระเจงออกมา

ทมมตาง ๆ

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 13

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ−=λ−λ=λΔ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

φ+θλ

=

φ+θλ

=λ

+=

)cos1('sinsin

'0:

coscos'

:

':

cmh

phy

phhx

Khfhf

ee

e :FormulaShift Compton

:onconservati Momentumonconservati Energy

ซงผลการทดลองทไดสอดคลองกบการคานวณโดยใชสมมตฐานดงกลาว

การทความยาวคลนของคลนทกระเจงออกมามคาเปลยนไปน ไมสามารถ

อธบายไดโดยใช Classical Physics ซงกลาววาคลนตกกระทบและคลนกระเจง

จะตองมคาความยาวคลนเทากน

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 14

จากปรากฏการณคอมพตน และปรากฏการณโฟโตอเลกตรก แสดงใหเหนอยาง

ชดเจนวา คลนแมเหลกไฟฟาสามารถแสดงคณสมบตของอนภาคไดเชนกน

นบเปนการทาลายหลกการทมมาอยางยาวนานของ Classical Physics ทแยก

การศกษาคลน และอนภาคออกจากกนอยางเดดขาด

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 15

คลนสสาร (Matter Wave)

จากการคนพบวาคลนสามารถแสดงสมบตของอนภาคได จงมแนวคดวา

อนภาคกนาจะแสดงคณสมบตของคลนไดเชนกน

ในป 1924 เดอบรอยด(L. de Broglie) เสนอวาสมการโมเมนตมเชงเสนของ

โฟตอนนาจะประยกตใชกบอนภาคไดเชนกน

ph

particle =λ ความยาวคลนเดอบรอยด

ซงตอมากไดรบการพสจนวาสมการนเปนจรง โดยสามารถสงเกตเหนลวดลาย

การแทรกสอด(ซงเปนสมบตของคลน) ของอเลกตรอนไดจากการทดลอง

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 16

x-ray diffraction Electron diffraction

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 17

ทวภาคของคลนและอนภาค (Wave and Particle Duality)

- อนภาคสามารถแสดงคณสมบตของทงอนภาคและคลนได

- คลนสามารถแสดงคณสมบตของทงอนภาคและคลนได

- ปรมาณทางฟสกสไมสามารถถกวดไดโดยปราศจากอนตรกรยา

กบเครองมอทใชวด

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 18

การวดตาแหนง และโมเมนตมของอเลกตรอน

โดยใชกลองจลทรรศนรงสแกมมา

- ตาแหนงของอเลกตรอนทไดจากการวด

จะมความคลาดเคลอนซงกาหนดโดย

ความยาวคลนของคลนทใช (Rayleigh’s citeria)

นนคอ λ >Δx

- แตเมอคลนกระทบกบอเลกตรอน

จะเกดการกระเจงคอมพตน ทาใหโมเมนตม

ของอเลกตรอนเปลยนแปลงไป

นนคอλhp >Δ

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 19

จะได λ >Δx

λhp >Δ

ความคลาดเคลอนของการวดตาแหนง

ความคลาดเคลอนของการวดโมเมนตม

นนคอ hpx >Δ⋅Δ

ผลคณความคลาดเคลอนของการวดตาแหนงและโมเมนตม

มคามากกวาคาคงทของแพลงคเสมอ

หลกความไมแนนอนของไฮเซนเบรก

(Heisenberg’s Uncertainty Principle)

ไดรบรางวลโนเบล สาขาฟสกส

ในป 1932

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 20

สมการชโลดงเจอร (Schrodinger’s equation)

คลนความนาจะเปน (Probability wave)

ฟงกชนคลน (Wave function ; )

อธยายโดย Schrodinger’s equation

ψ

คลนแมเหลกไฟฟา

คลนแมเหลกไฟฟา : อธบายโดย Maxwell’s equations

อนภาค : โฟตอนλhpphoton =

อนภาค

อนภาค

คลนสสาร

สมการชโลดงเจอรถกเสนอโดย Erwin Schrodinger ในป 1926

ซงทาใหเขาไดรบรางวลโนเบลในป 1932 รวมกบ Heisenberg

และ Diracในฐานะทรวมกนวางรากฐานกลศาสตรควอนตม

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 21

ฟงกชนคลน ( ) : สมพนธกบความนาจะเปนทจะพบอนภาคทตาแหนงตาง ๆ

ดงนนจงอาจเรยกไดวา “คลนความนาจะเปน”ψ

ความนาจะเปนทจะพบ

อนภาคทตาแหนง (x, y, z)

ในปรมาตรเลก ๆ dV= ( ) dVzyx 2,,ψ

ความหนาแนนความนาจะเปน

(Probability density ; P(x,y,z) )

สมการชโลดงเจอรสาหรบระบบ 1 มต ซงไมขนกบเวลา

เขยนไดดงน [ ] 0 8 2

2

2

2

=−+ ψπψ UEh

mdxd

โดย E คอ พลงงานของอนภาค

U คอ พลงงานศกยของอนภาค

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 22

ตวอยางฟงกชนคลนของอเลกตรอนสถานะพน ในอะตอมไฮโดรเจน

เขยนไดดงน

โดย r เปนระยะหางจากนวเคลยส และ a เปนคาคงท

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ar

ar exp1

2/3πψ

1) จงคานวณหาความนาจะเปน

ทจะพบอเลกตรอนทระยะหางจากนวเคลยส a ถง 2a

ความนาจะเปนทจะพบ

อเลกตรอนทระยะหาง r

ในปรมาตรเลก ๆ dV

= ( ) dVr 2ψ

( ) ( )drrr 22 4πψ=

drarr

a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2exp4 23

=

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 23

ความนาจะเปนทจะพบ

อเลกตรอนทระยะหาง

a ถง 2a

ความนาจะเปนทจะพบ

อเลกตรอนทระยะหาง r

ในปรมาตรเลก ๆ dV

= ∫a

a

2

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

a

adr

arr

a2 2

32exp4

ar

arar

ar

ar

2

2

2

1222exp =

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

439.0 =

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 24

2) จงคานวณหาความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอนทก ๆ ท

∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

0

23

2exp4 drarr

a

∞=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

r

rar

ar

ar

02

2

1222exp

1 =

ความนาจะเปนทจะพบ

อเลกตรอนทระยะหาง

0 ถง

ความนาจะเปนทจะพบ

อเลกตรอนทระยะหาง r

ในปรมาตรเลก ๆ dV

= ∫∞

0 ∞

เงอนไขปกต

(Normalization condition)

ความนาจะเปน

ทจะพบอเลกตรอน

ในปรมาตรเลกๆ dV∫

1 =

Overall space

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 25

3) จงคานวณหาความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอนทระยะอนนต

ความนาจะเปนทจะพบ

อเลกตรอนทระยะอนนต

ในปรมาตรเลก dVdr

arr

ar⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

∞→

2exp4 lim 23

0 =

4) จงคานวณหาความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอนทนวเคลยส

ความนาจะเปนทจะพบ

อเลกตรอนทนวเคลยส

ในปรมาตรเลก dVdr

arr

ar⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

→

2exp4 lim 230

0 =

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 26

5) จงคานวณหาตาแหนงทมโอกาสพบอเลกตรอนมากทสด

ความนาจะเปนทจะพบ

อเลกตรอนทระยะหาง r

ในปรมาตรเลก dV

drarr

a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2exp4 23 ( )drrP =

เนองจาก dr เปนคาคงท ดงนนความนาจะเปนทจะพบอเลกตรอนจงขนกบ P(r)

เมอ P(r) มคาสงสด หรอตาสด จะไดวา ( ) 0 =rPdrd

นนคอ ( ) 0 2exp84 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−

arrar

a

จะได ∞= ,0, ar

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 27

แตท จะทาให ซงเปนคาตาสด∞= 0, r ( ) 0 =rP

ดงนน ทระยะหาง จะมโอกาสพบอเลกตรอนมากทสดar =

r

P(r)

a

เราสามารถพบอเลกตรอนของอะตอมไฮโดรเจน

ทสถานะพนไดทกแหง แตมโอกาสพบมากทสด

ทระยะหางจากนวเคลยส a

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 28

อนภาคอสระ (Free particle)

ในกรณน ( ) 0 =xU

เมอแทนในสมการชโลดงเจอร จะได 0 8 2

2

2

2

=+ ψπψ Eh

mdxd

แกสมการนจะได ( ) ( )ikxAx exp =ψ

และm

pE2

2

= = คาคงท

โดย A เปนคาคงท

ph

k π2 = เลขคลน (wave number)

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 29

พจารณา

ความหนาแนน

ความนาจะเปน( ) ( ) 2 xxP ψ==

( )( ) 2 AAeAe ikxikx == − คาคงท

ซงหมายความวา โอกาสทจะพบอนภาคมคาเทากนในทก ๆ ตาแหนง

สอดคลองกบหลกความไมแนนอนของไฮเซนเบอรก

≥Δ⋅Δ px

0∞

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 30

การทะลผานของอนภาค (Particle Tunneling)

ในกรณน

( )⎩⎨⎧

≤≤><

=LxULxx

xU0:

,0: 0

0x

E

0 L

U0

ในฟสกสแบบฉบบ อนภาคจะไมสามารถผานกาแพงศกย(potential barrier) ได

ถาพลงงานจลนทพนนอยกวาพลงงานศกยทตาแหนงสงสด

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 31

แตจากการแกสมการชโลดงเจอรสาหรบกรณน จะได

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤<+

≈ −

−

LxDeLxCe

xBeAex

ikx

bLx

ikxikx

: 0:

0: ψ

โดย A, B, C, D เปนคาคงท ซงมความสมพนธกน

( )2

028

hEUmb −

=πและ

พจารณา ความหนาแนนความนาจะเปน

( ) ( )( )

2 2

: 0 : 0

constant :

bLx

f x xP x x e x L

x Lψ −

⎧ <⎪= ≈ ≤ ≤⎨⎪ >⎩

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 32

จากความหนาแนนความนาจะเปน จะพบวามโอกาสทจะพบอนภาคภายใน

กาแพงศกย และดานหลงกาแพงศกย ปรากฏการณนเรยกวา การทะลผาน

(Tunneling) ซงไมสามารถอธบายไดดวยฟสกสแบบฉบบ

( ) ( )( )

2 2

: 0 : 0

constant :

bLx

f x xP x x e x L

x Lψ −

⎧ <⎪= ≈ ≤ ≤⎨⎪ >⎩

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 33

ปรากฏการณนนาไปสการสรางสวทซความเรวสง เพอควบคมการไหลของ

อเลกตรอนโดยการปรบความสงของกาแพงศกย(U0)

ปรากฏการณนทาใหผศกษาไดรบรางวลโนเบลในป 1973 คอ

- Leo Esaki : Tunneling in semiconductor

- Iva Giaever : Tunneling in superconductor

- Brain Josephson : Josephson junction

และรางวลโนเบลในป 1986

- Gerd Binnig

- Heinrich RohrerScanning Tunneling Microscope (STM)

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 34

Scanning Tunneling Microscope (STM)

กลองจลทรรศนปกตจะเหนวตถเลกสดประมาณ 2000 องสตรอม

กลอง STM จะเหนวตถเลกสดประมาณ 2 องสตรอม (ระดบอะตอม !!!)

โดยจะแสดงลกษณะของพนผวของวสด

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 35

Image from STM

Fe

Cu

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 36

อเลกตรอนทถกกกในหลมศกยอนนต (A trapped electron in infinite well)

x

E

0 L

ในกรณน

( )⎩⎨⎧

≤≤><∞

=Lx

LxxxU

0: 0 ,0:

เมอแกสมการชโลดงเจอร จะได

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

><= Lxx

Ln

L

Lxxxn 0: sin2

,0: 0 πψ

โดย n = 1, 2, 3,…...

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 37

แทนฟงกชนคลนทไดลงในสมการชโลดงเจอร จะไดวา

0 sin82

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− x

LnE

hm

Ln

nπππ

สมการจะเปนจรงสาหรบทกคาของ x กตอเมอสมประสทธหนาฟงกชน sin เทากบ 0

จะได 22

2

8 n

mLhEn ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= โดย n = 1, 2, 3,……

เลขควอนตม (Quantum number)

x

E

0 L

E1

E2

E3

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 38

ผลลพธทไดนบวานาสนใจมากทพลงงานของอเลกตรอนทถกกก

มคาเปนขน ๆไมตอเนองอยางทควรจะเปนในฟสกสแบบฉบบ

นนคอ พลงงานของอเลกตรอนในบอศกยถกควอนไตซ

ซงควอนตมของพลงงานในกรณนคอ2

2

1 8

mLhE =

และ E1 ซงเปนระดบพลงงานตาสดจะเรยกวา สถานะพน (Ground state)

สวนสถานะอน ๆ เรยกวา สถานะกระตน (Excited state)

นอกจากนยงพบวา อนภาคควอนตมอน ๆ ทถกกก ไมวาจะเปนหลมศกยแบบใด

พลงงานของอนภาคจะถกควอนไตซเสมอ

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 39

อเลกตรอนทถกกกในหลมศกยจากด (A trapped electron in finite well)

x

E

0 L

U0

E1

E2

- พลงงานของอเลกตรอนในบอศกย

(E < U0) กจะถกควอนไตซเชนกน

- แตถาอเลกตรอนมพลงงานมากกวา

บอศกย (E > U0) พลงงานจะมคา

ไดอยางตอเนอง

Continuous level

Continuous level

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 40

อเลกตรอนในอะตอมไฮโดรเจน (A electron in Hydrogen atom)

r

U(r)

0

E

( )rerU

2

041 πε

−=

พลงงานศกยของอเลกตรอน

ในกรณนกคอ ศกยไฟฟาเนองจาก

จดประจไฟฟานนเอง

(Coulomb’s potential)E1

E2

จากการแกสมการชโลดงเจอรจะได

2220

4 18

nh

meEn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

εโดย n = 1, 2, 3,……

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 41

การดดกลนและคายพลงงานของอนภาคทกกกก

(Energy Absorption and Emission of trapped particle)

อนภาคจะดดกลนหรอคายพลงงานเทากบความแตกตางระหวาง

ระดบพลงงานของอนภาคทถกกกเทานน

นนคอ lowhigh EEEhf −=Δ=

พลงงานของโฟตอน

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 42

ตวอยาง อเลกตรอนถกกกในบอศกยอนนต 1 มต ซงกวาง 100 pm

1) พลงงานตาสดของอเลกตรอนในบอศกยน

จาก 22

2

8 n

mLhEn ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= โดย n = 1, 2, 3,……

ระดบพลงงานตาสด คอ n = 1

จะได( )

( )( )( )221231

234

1 1101001011.98

1063.6 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××

×=

−−

−

E

J 10031.6 181

−×=E

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 43

2) อเลกตรอนจะตองดดกลนพลงงานเทาใดเมอเปลยนจากสถานะพน

ไปสสถานะกระตนท 2

ระวง!!!สถานะกระตนท 2 คอ E3 ไมใช E2

x

E

0 L

E1

E2

E3

สถานะพน

สถานะกระตนท 1

สถานะกระตนท 2

ดงนน ( )222

2

1331 132

−=−=ΔmLhEEE

J 104.83 18−×=

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 44

3) อเลกตรอนในสถานะกระตนท 2 คายพลงงานสสถานะพน

โฟตอนทเกดขนมความยาวคลนเทาไร

E1

E3

31λ E2

E3

E1

21λ

32λ

J 1083.4 1731

31

−×=Δ= Echλ

m 1012.4 931

−×=λจะได

J 103.016 1732

32

−×=Δ= Echλ

m 106.60 932

−×=λจะได

J 101.809 1721

21

−×=Δ= Echλ

m 1010.1 821

−×=λจะได

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

ตวอยางอเลกตรอนทสถานะพนในอะตอมไฮโดรเจน

จะตองดดกลนโฟตอนความยาวคลนเทาไร จงจะเปนอเลกตรอนอสระ

จาก 2220

4 18

nh

meEn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

εโดย n = 1, 2, 3,……

จะได J 1018.2 181

−×−=E และ J 0 =∞E

นนคอ J 102.18 181

−∞ ×=−= EEch

λ

m 109.12 10−×=λ

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)

- Monochromatic

- Coherent

- Colimated

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

การแผรงสของวตถดา (BlackBody Radiation)

Blackbody

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

จากผลการทดลองพบวา

Km 102.898 3max ⋅×= −Tλ Wein’s displacement law

( ) 24 Watt/m TTF σ= Stafan-Boltzmann law

โดย 428- K Watt/m105.67 ⋅×=σ

อตราการแผพลงงานตอพนทของวตถดา

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

ตวอยางอณหภมเฉลยของผวหนง คอ 35oC

จงหาความยาวคลนทมความเขมมากทสดทแผออกจากผวหนง

จากกฏการขจดของวน Km 102.898 3max ⋅×= −Tλ

จะได( ) m

35273102.898

3

max +×

=−

λ m 940 μ=

พลงงานทแผออกมาจากตวคนใน 1 วนาท โดยประมาณมคาเทาไร

( ) 24 Watt/m TTF σ= Stafan-Boltzmann law

( ) ( ) 25.05.135273105.67 1 48 ×××+××=⋅⋅= −ATFE

J 657 =

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

Classical Physics อะตอมของวตถดาจะดดกลน หรอแผคลนแมเหลกไฟฟา

ทมพลงงานเทาไรกได

( ) 2 , 4λπλ ckTTF = Rayleigh-Jean law

Quantum Physics Max Plank (1900) เสนอวาอะตอมของวตถดาจะดดกลน

หรอแผคลนแมเหลกไฟฟาทมพลงงานเฉพาะบางคา

ตามสมการ nhfEn =

จะไดวา

จะไดวา ( ) ( )[ ] 1exp2 , 5

2

−=

kThchcTFλλ

πλ Plank’s law

และ sJ 106.626 34 ⋅×= −h Plank’s constant

ขอสงเกต ( ) ( ) , 0∫∞

= λλ dTFTF ( ) 0 ,max

=λ

λλ

TFdd

และ

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

สเปคตรมชนดเสน

(Line spectrum)

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

แบบจาลองอะตอมของบอหร (1913)

1. อเลกตรอนเคลอนทเปนวงกลมรอบโปรตอนภายใตอทธพลของแรงคลอมป

2. อเลกตรอนจะอยเฉพาะในวงโคจรพเศษซงจะไมสญเสยพลงงาน

3. ในวงโคจรพเศษดงกลาว โมเมนตมเชงมมจะถกควอนไตซ

2

πhnmvrL ==

4. ถาอเลกตรอนเปลยนวงโคจรจะดดกลน หรอคายโฟตอน 1 ตว

ซงจะมความถตามสมการ fi EEhf −=

if EEhf −=

คายโฟตอน

ดดกลนโฟตอน

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

จากสมมตฐานทง 4 ขอขางตน ทาใหคานวณไดวา

22

20 nmehrn ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πε

รศมวงโคจรของอเลกตรอน

18

2220

4

nhmeEn ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

εพลงงานของอเลกตรอน

ซงสามารถอธบายสเปคตรมแบบเสนของอะตอมไฮโดรเจน และอะตอม

ทมลกษณะคลายไฮโดรเจน(Hydrogen like atoms) ไดเปนอยางด

แตกยงคงไมสามารถอธบายอะตอมทซบซอนได

eV 6.13 2n−=

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

สาหรบ Hydrogen like atom ซงคอไอออนทมอเลกตรอนเหลอ 1 ตว

เชน He+, Li2+, Be3+ สามารถใชแบบจาลองอะตอมของบอรหไดเชนกน

โดยเปลยนประจของนวเคลยสจาก e เปน Ze

จะได

220

2 nhr n

Z meεπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠รศมวงโคจรของอเลกตรอน

2 4

2 2 20

1 8nmZ eE

h nε⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

พลงงานของอเลกตรอน

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

ตวอยางPikering (1896) พบวาสเปคตรมแบบเสนจากดาว ζ-Puppis

สามารถอธบายไดโดยสมการ

( ) ( )

4

2 22 30

1 1 1 8 22 if

e mch nnλ ε

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦

จงแสดงวาสเปคตรมนเกดจากการเปลยนระดบพลงงานของอเลกตรอนใน He+

สาหรบ He+ จะได Z = 2 นนคอ4

2 2 20

4 8nmeE

h nε⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

การเปลยนระดบพลงงานของอเลกตรอนจะเกดโฟตอน4

2 2 2 20

4 4 8i f

f i

mehf E Eh n nε

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

นนคอ( ) ( )

4

2 22 30

1 1 1 8 22 if

f mec c h nnλ ε

⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

ตวอยางจงคานวณหาความยาวคลนสสารของอเลกตรอนในกลองจลทรรศน

อเลกตรอนซงเคลอนทดวยอตราเรว 107 m/s

จาก hmv

λ =( )( )

34 o

31 7

6.63 10 = 0.728 A9.11 10 10

−

−

×=

×

เทยบเทากบความยาวคลนของรงสเอกซ

กลองจลทรรศนนจะมกาลงขยายมากกวากลองจลทรรศนทใชแสงประมาณเทาไร

จาก Rayleigh citeria 1.22 R dλθ = λ∝

จะได( )

( )9

10

500 10 ~ ~ 7000 0.728 10

R

R

opticelectron

θθ

−

−

××

นนคอ กลองจลทรรศนอเลกตรอนนจะมกาลงขยายสงกวากลองปกต 7000 เทา

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

ตวอยางกอนหนมวล 50 กรม เคลอนทดวยอตราเรว 40 m/s

เราจะสามารถสงเกตคณสมบตคลนของกอนหนกอนนไดหรอไม

จาก hmv

λ =( )( )

3434

3

6.63 10 = 3.32 10 m50 10 40

−−

−

×= ×

×

ซงสนมาก ๆ เกนกวาจะเหนการเลยวเบนได เนองจากไมมชองแคบใดเลกขนาดน

Electron diffraction

through double slit

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

ตวอยางกอนหนมวล 1 mg ถกกบอยในบอศกยอนนตซกวาง 1 cm

จงคานวณหาอตราเรวตาสดของมวลน

จาก 22

2

8 n

mLhEn ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= โดย n = 1, 2, 3,……

อตราเรวตาสด กคอทระดบพลงงานตาสด n = 1

จะได 2 581

1 5.49 10 J 2

mv E −= = ×58

266

2 5.49 10 3.31 10 m/s1 10

v−

−−

⎛ ⎞× ×= = ×⎜ ⎟×⎝ ⎠

หากมวลนเคลอนท 1 nm จะใชเวลาประมาณ 1010 ป ซงประมาณอายเอกภพ!!!

ดงนนเราจะสงเกตพบวามวลนอยนงในบอศกย

อาจารย ดร. เจษฎา สขพทกษ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ฟสกสควอนตม 45

ถาวตถนเคลอนทดวยความเรว 3 cm/s จงหาคา n

2 2 101

1 4.5 10 J 2nE n E mv −= = = ×

จะได 23 9.05 10 n ≈ ×

พจารณา 1 n nE E EΔ += −

( ) ( ) ( )2 223 23 58 9.05 10 1 9.05 10 5.49 10 −⎡ ⎤= × + − × ×⎢ ⎥⎣ ⎦

0 ≈

นนคอเราไมสามารถพบการควอนไตซของพลงงานของมวลนได