Makalah metode numerik

Universitas Singaperbangsa Karawang

14

Metode Numerik Interpolasi (Interpolasi Linear, Interpolasi Kuadrat,

Interpolasi Kubik)

HendriAgustiana (1341177004141)

LukmanMuttaqien (1341177004248)

M SaefulAnwar(1341177004xxx)

Afianah (1341177004xxxx)

Suwandri (1341177004xxx)

UswatunKhasanah (1341177004281)

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena limpahan rahmat dan

hidayah-Nyalah sehingga makalah yang berjudul “INTERPOLASI (Interpolasi lanjar,

interpolasi kuadrat dan interpolasi kubik) dapat tersusun dan selesai tepat pada waktunya.

Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada pihak-pihak yang terkait yang telah

membantu penyusunan makalah ini.

Akhirnya penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari sempurna.

Juga kemungkinan kesalahan cetak tak dapat dihindarkan. Karena itu kritik dan saran yang

sifatnya membangun dari berbagai pihak sangat diharapkan penyusun. Demikianlah, mudah-

mudahan makalah ini dapat dimanfaatkan sebaik-baiknya.

Karawang, November 2014

Penyusun

ii

Daftar Isi

Kata Pengantar ....................................................................................................................... i

Daftar Isi ................................................................................................................................ ii

Bab I Pendahuluan ................................................................................................................. 1

1.1 LatarBelakang ...................................................................................................... 1

1.2 RumusanMasalah ................................................................................................. 1

1.3 Tujuan .................................................................................................................. 1

Bab II Pembahasan ................................................................................................................ 2

2.1 Interpolasi Linear ................................................................................................. 2

2.2 InterpolasiKuadrat................................................................................................ 4

2.3 InterpolasiKubik ..................................................................................................

Bab III Penutup ......................................................................................................................

3.3 Kesimpulan ..........................................................................................................

DaftarPustaka .........................................................................................................................

1

1

BAB I Pendahuluan

1.1 LatarBelakang

Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah

diketahui. Di dunia nyata, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi, yang

mana fungsi tersebut tidak terdefinisi dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan

data-data atau tabel, misalnya table dari hasil percobaan. Interpolasi dapat juga diaplikasikan

untuk pengolahan citra digital, membuat kontur-kontur, dan berguna dalam proses recovery.

Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi

linier, interpolasikuadrat, dan interpolasipolinomial. Adapun berbagai metode dalam interpolasi

antaralain metode Lagrange dan metode Newton. Kedua metode tersebut menggunakanfungsi

polynomial untuk menginterpolasi f (x) pada titik-titik yang diberikan.

1.2 RumusanMasalah

Dalam makalah ini hanyaakan dibahas mengenai Interpolasi (Interpolasi Linear,

Interpolasi Kuadrat, Interpolasi Kubik).

1.3 Tujuan

Adapun Tujuan dibuatnya makalah ini adalah :

1. Mengetahui pengertian Interpolasi Linear

2. Mengetahui pengertian Interpolasi Kuadrat

3. Mengetahui pengertian Interpolasi Kubik

4. Sebagai salah satu tugas yang diberikan pada mata kuliah Metode Numerik

2

Bab II Pembahasan

Interpolasi adalah pendekatan numeric untuk menentukan nilai fungsi f(x)=y yang tidak

diketahui rumus fungsinya, pada suatu nilai x tertentu jika nilai di sekitar x diketahui.

2.1 Interpolasi Linear

Interpolasi Linear adalah cara menentukan titik-titik antara 2 buah titik dengan menggunakan

pendekatan fungsi garis lurus.

Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2 (x2,y2)

Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier :

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1(x-𝑥1)

3

Contoh penyelesaian Interpolasi Linier

Cari nilai y untuk titik x=2.1 yang berada diantara titik (1,1.5) dan (3,2.5)

Jawab:

P1 (1,1.5) dan P2 (3,2.5)

x=2.1

Titik terbaru adalah P3 (2.1,2.05)

4

Algoritma Interpolasi

1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2)

2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari

3) Hitung nilai y dengan :𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1(x-𝑥1)

4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)

2.2 InterpolasiKuadrat

Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang

diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier. Untuk itu digunakan polinomial lain yang

berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya

Interpolasi Kuadrat digunakan untuk menentukan titik-titik antara 3 buah titik dengan

menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

3 titik yang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3)

Untuk memperoleh titik Q (x,y) digunakan interpolasi kuadrat

5

Contoh penyelesaian Interpolasi Kuadrat

Cari nilai y untuk titik x=2.5 yang berada diantara titik (1,5), (2,2) dan (3,3)

Jawab :

P1(1,5) , P2(2,2) dan P3(3,3) x=2.5

y =𝑦1(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3)

(𝑥1−𝑥2)(𝑥1−𝑥3)+ 𝑦2

(𝑥−𝑥1)((𝑥−𝑥3)

(𝑥2−𝑥1)(𝑥1−𝑥3)+ 𝑦3

(𝑥−𝑥1)((𝑥−𝑥2)

(𝑥3−𝑥1)(𝑥3−𝑥2)

y = 5(2,5−2)(2.5−3)

(1−2)(1−3) + 2

(2.5−1)(2.5−3)

(2−1)(1−3)+ 3

(2.5−1)(2.5−2)

(3−1)(3−2)

y = 2

Titik baru:P4(2.5,2)

Algoritma Interpolasi Kuadrat

1) Tentukan 3 titik P1, P2 dan P3 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1), (x2,y2) dan

(x3,y3).

2) Tentukan titik x dari titik yang akan dicari

3) Hitung nilai y dengan:

y = 𝑦1(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3)

(𝑥1−𝑥2)(𝑥1−𝑥3)+ 𝑦2

(𝑥−𝑥1)((𝑥−𝑥3)

(𝑥2−𝑥1)(𝑥1−𝑥3)+ 𝑦3

(𝑥−𝑥1)((𝑥−𝑥2)

(𝑥3−𝑥1)(𝑥3−𝑥2)

6

4) Tampilkan nilai titik yang terbaru.

2.3 Interpolasi Kubik

Interpolasi Polinomial menentukan titik-titik antara N buah titik dengan menggunakan

pendekatan fungsi polynomial pangkat N-1

Titik-titik yang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3)…PN (xN,yN)

Persamaan polynomial pangkatN-1

Masukkan nilai dari setiap titik kedalam persamaan polynomial diatas, diperoleh persamaan

simultan dengan n persamaan dan n variable bebas,

7

Contoh penyelesaian Interpolasi Polynomial

Cari nilai y untuk titik x=3 yang berada diantara titik-titik (3.2,22), (2.7,17.8), (1,14.2),

(4.8,38.3) dan (5.6,51.7).

x=3.2 →a(3.2)3 + b(3.2)2 + c(3.2) + d = 22

x=2.7 →a(2.7)3+ b(2.7)2+ c(2.7) + d = 17.8

x=1 →a(1)3+ b(1)2+ c(1) + d = 14.2

x=4.8 →a(4.8)3+ b(4.8)2+ c(4.8) + d = 22

Didapatkan:

a = -0.5275

b = 6.4952

c = -16.117

d = 24.3499

Sehingga persamaan polynomialnya menjadi:

Y=-0.5275x3+6.4952x2-16.117x+24.3499

Untuk x = 3 didapatkan nilai y = 20.212

Titi kterbaru:

(3,20.212)

8

Algoritma Interpolasi Polynomial

CONTOH PROGRAM DALAM BAHASA C++

#include

#include

#include

9

main()

{

int data[8] = {0,1,1,2,3,3,9,9};

intlow,high,cari,posisi;

float posisi1;

int N = 8,

tanda=0;

low=0,high=N-1;

cout<<" Datanyayaitu : "<<endl;

for(int z=0; z<=7; z++)

{

cout<<"\t"<<data[z]<<endl;

}

cout<<"================================="<<endl;

cout<<"Masukan data yang di cari = ";cin>>cari;

do

{

posisi1 = (cari-data[low])/(data[high]-data[low])*(high-low)+low;

posisi = floor(posisi1); //pembulatankebawah

if(data[posisi]==cari)

{

tanda =1;

break;

}

if(data[posisi]>cari)

{

high=posisi-1;

}

else if (data[posisi]<cari)

{

low=posisi+1;

}

}

while (cari>=data[low]&&cari<=data[high]);

if(tanda==1)

{

cout<<posisi<<endl;

cout<<posisi<<endl;

cout<<endl<<" ::="">Data ditemukan<::"<<endl;

}

else

{

10

cout<<endl<<" ::="">Data tidakada<::"<<endl;

}

getch();

}</endl;

</endl<<"></endl;

</endl<<"></posisi<<endl;

</posisi<<endl;

</cari)

</endl;

</data[z]<<endl;

</endl;

Bab III Penutup

3.1 Kesimpulan

Adapunkesimpulandarimakalahiniialah:

1. Interpolasididefinisikansebagaicarauntukmengestimasinilaidarifungsiyandiberikanolehkel

ompok data.

2. Interpolasi linear

adalahinterpolasiduabuahtitikdengansebuahgarislurus.Misaldiberikanduabuahtitik (𝑥1, 𝑦1)

dan (𝑥2, 𝑦2), polinom yang menginterpolasikan dua buah titik ini ialah:

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1(x-𝑥1)

3. Interpolasikuadratialahdigunakanuntukmencarititik-tiikantaradari 3

buahtitikyaituP1(𝑥1, 𝑦1), P2(𝑥2, 𝑦2) dan P3(𝑥3, 𝑦3). Polinom yang digunakan untuk

persamaan ini ialah:

11

y = 𝑦1(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3)

(𝑥1−𝑥2)(𝑥1−𝑥3)+ 𝑦2

(𝑥−𝑥1)((𝑥−𝑥3)

(𝑥2−𝑥1)(𝑥1−𝑥3)+ 𝑦3

(𝑥−𝑥1)((𝑥−𝑥2)

(𝑥3−𝑥1)(𝑥3−𝑥2)

4. Interpolasikubikialahdigunakanuntukmencariempatbuahtitikdata.misalnyadiberikantitik-

titik (𝑥0, 𝑦0),(𝑥1, 𝑦1),(𝑥2, 𝑥2),dan (𝑥3, 𝑦3).polinom yang mengintrpolasikan titik-titik tersebut

ialah:

𝑝3(𝑥)=𝑎0+𝑎1x+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3

12

DaftarPustaka

Chapra, Steven C. danReymond P. Canale.1988.“Numerical Methods for Engineers, 2nd edition,

MetodeNumerikJilid 1”. Jakarta. Erlangga

Munir, Renald.2010. “MetodeNumerik”.Bandung.Informatika.