Kuliah 07 Contoh 01 Balok

1TKS

2353

Ana

lisis

St

rukt

ur d

g M

etod

e M

atrix Analisis Struktur Balok

tanpa Gaya Aksial Lecture 06: Contoh analisis

balok dengan metode kekakuan langsung.

Setelah menyelesaikan kuliah ini anda akan mampu:

Menyusun formulasi matriks kekakuan elemen balok.

Menyusun formulasi persamaan keseimbangan, vektor beban, martiks kekakuan struktur dan vektor perpindahan.

Menganalisis beban dan menyusun vektor beban nodal ekivalen.

Menyelesaikan persamaan keseimbangan struktur dan menentukan perpindahan struktur, garis elastika, dan gaya gaya dalam struktur

balok.

2

Contoh analisis struktur balok

Analisislah struktur balok dibawah ini, jika diketahui modulus elastisitas material E = 2000000 ton / m2, dan inersia

penampang, I = 0,0016 m4. Berat sendiri balok diabaikan.

1 3

2 m

X

Y

2

2 ton/m1 ton

3 m2 m

Tujuan analisis sebenarnya adalah mencari gaya-gaya dalam balok; yakni gaya geser dan momen

yang dinyatakan dalam bentuk gambar bidang geser dan bidang momen, serta menentukan besar

perpindahan pada struktur balok.

(+)Konvensi tanda

1 2

3

Langkah 1:

L

E, I

i

x, X

y, Y

j

gi, vi gj, vj

mj, θjmi, θi

•Tetapkan sumbu global.

•Identifikasikan titik nodal dan elemen; proses diskritisasi.

•Tentukan vektor perpindahan elemen untuk menentukan DOF global.

1 3

X

Y

2

1

2

3

4

5

6

1 2

1 3

X

Y

24 6

1 2

•Setiap titik nodal mempunyai 2 perpindahan; translasi dan rotasi.

Sehingga struktur mempunyai 6 DOF.

• Join 1, tidak terdapat perpindahan. Pada join 2 dan 3

hanya terdapat perpindahan rotasi yang tidak diketahui,

perpindahan translasinya nol.

4

Langkah 2: menyusun matriks kekakuan elemen

balok

3 2 3 2

2 2e

n

3 2 3 2

2 2

12EI 6EI 12EI 6EI

L L L L6EI 4EI 6EI 2EI

L L L Lk12EI 6EI 12EI 6EI

L L L L6EI 2EI 6EI 4EI

L L L L

•Perhatikan! Matrik kekakuan elemen balok tidak ditransformasikan (dikalikan

matriks trnasformasi), karena sumbu lokal berimpit dengan sumbu global struktur.

•Elemen 1; batang 1-2

E = 2000000 t/m2

I = 0,0016 m4

L = 4 m

•Elemen 2; batang 2-3

E = 2000000 t/m2

I = 0,0016 m4

L = 3 m

1

600 1200 600 1200

1200 3200 1200 1600k

600 1200 600 1200

1200 160 32000 1200

1 2 3 4

1

2

3

4

2

1422,22 2133,33 1422,22 2133,33

2133,33 2133,33k

1422,22 2133,33 1422,22 2133,33

4266,67 2133,33

21332133,33 2133,,33 4266,6733

3 4 5 6

3

4

5

6

5

Matrik kekakuan struktur. Kita susun matriks kekakuan kekakuan sebagai penjumlahan ks = k12 + k23.

Langkah 3: menyusun matriks kekakuan

struktur

s 746

6

6

00

,6

1200 600 1200 0 0

1200 3200 1200 1600 0 0

600 1200 2022,22 933,33 1422,22 2133,33k

1200 1600 933,33 2133,33

0 0 1422,22 2133,33 1422,22 2133,33

0 0

7 2133,33

2133,332133,33 2133,33 4266,67

1 2 3 4 65

12

3

45

6

Global freedom yang relevan.

6

Langkah 4: menyusun vektor beban

=

+

wL

2

2wL

12

wL

2

2wL

12

2 3

1P

2

1PL

8

1P

2

1PL

8

1 2

L

w

2 3

1/2 L

P

1 2

1/2 L

Pada struktur tidak terdapat beban yang bekerja tepat di join. Semua beban bekerja pada bentang.

1

0,5

0,5

0,5fo

0,5

2

1,5

1,5

3

fo3

1

2

3

4

3

4

5

6

7

Persamaan keseimbangan struktur. Kita susun persamaan sebagai berikut {F}+{fo} = [K]{U}.

Langkah 4: menyusun persamaan keseimbangan

struktur

0 0,5 600 1200 600 1200 0 0

0 0,5 1200 3200 1200 1600 0 0

0 3,5 600 1200 2022,22 933,33 1422,22 2133,33

0 1200 1600 933,33 2133,33

0 3 0 0 1422,22 2133,33 142

1 7466,67 2133,3

2,22 21

3

1,50

1

3

3

2

1

2

2133,33 4266,

v

v

v3

67

3,33

0 0 2133,33 2133,33

1 2 3 4 65

12

3

45

6

Vektor gaya akibat beban

bentang

Vektor gaya akibat beban di joint {F} = {0}

karena tidak ada gaya luar yang bekerja di Join

Matriks kekakuan struktur

Vektor perpindahan

struktur

8

Persamaan keseimbangan struktur. Kita susun persamaan sebagai berikut {F}+{fo} = [K]{U}.

Langkah 4: menyusun persamaan keseimbangan

struktur


bentang


Vektor perpindahan

struktur

1200 1600 933,33 2133,33

0 0 2133,33 2133,33

0,5 1200 0 600 1200 600 0

0,5 1600 0 1200 3200 1200 0

3,5 933,33 2133,33 600 1200 2022,22 1422,22

3 2133,33 2133,

1 7466,67 2133,33

1,5 2133,33 4266,

33 0

7

0 1

6

42

2

3

1

1

2

3

v

v

v2,22 1422,22

4 6 1 2 53

12

35

46

9

Solusi persamaan keseimbangan struktur dalam

analisis balok

k 11 12 u

u 21 22 k

F K K U

F K K U

Matriks kekakuan dipartisi untuk mengakomodasi entry yang merupakan verktor perpindahan yang diketahui aatu yang tidak diketahui

Pertama tama, kita menyusun persamaan keseimbangan struktur:

F K U

Q K D

atau

10

k 11 u 12 k

u 21 u 22 k

F K U K U

F K U K U

1

u 11 k 12 kU K F K U

1

u 11 kU K F

Perhitungan solusi dapat dilakukan dari sistem persamaan linier dalam bentuk yang lebih kompak (dengan menggunakan bentuk matriks partisi) :

Prosedur solusi:

u 21 u 22 kF K U K U

Solusi vektor perpindahan yang dicari :

Karena dalam kasus kita {Uk} = {0} maka:

Sekali {Uk} dihitung, reaksi yang tidak diketahui dapat diperolah dari hubungan:

11

Persamaan keseimbangan struktur. Kita susun persamaan sebagai berikut untuk struktur yang telah tereduksi.

Langkah 5: solusi persamaan keseimbangan struktur


bentang


Vektor perpindahan

struktur

2

3

1 7466,67 2133,33

1,5 2133,33 4266,67

4 6

4

6

2

3

0,00015625 0,000078125 1 0,000273

0,000078125 0,000273438 1,5 0,000488

rad

rad

Join 2 berotasi searah jarum jam sebesar 0,000273 rad

Join 3 berotasi berlawanan jarum jam sebesar 0,000488 rad

Arti fisik solusi persamaan keseimbangan.

12

Langkah 6: menyusun vektor perpindahan setiap elemen

Join 2: translasi v2 = 0; rotasi searah jarum jam sebesar θ2 = 0,000273 rad

Join 3: translasi v3 = 0; rotasi berotasi berlawanan θ2 = jarum jam sebesar θ3 = 0,000488 rad

Arti fisik solusi persamaan keseimbangan pada tingkat elemen.

Vektor perpindahan

elemen 1; batang 1-2

1

0,000273

0

0u

0

1 = v1

2 = θ13 = v2

4 = θ2

2

0,000273

0,00048

0

8

u0

Vektor perpindahan

elemen 2; batang 2-3

3 = v2

4 = θ25 = v3

6 = θ3

Join 1: translasi v1= 0 ; rotasi θ1 = 0

13

Langkah 7: solusi gaya-gaya dalam elemen

1

1

12

2

v 0 0,5 0,1719 0,5 0,1719

m 0 0,5 0,0625 0,5 0,0625K

v 0 0,5 0,8281 0,5

0

0,8281

,000273 0,5 1,3750 0,5 1,3750m

2

2

23

3

0,000273 1,5 0,1

v 0 3 0,4583 3 3,4583

m 1,3750K

v 0 3 0,4583

250 1,5

0,000488 1,5 1,500 1

3 2

,5 0,00

,5 7

m 0

4

0

1

Gaya dalam pada elemen 1, batang 1-2. Join 1; gaya vertikal v1 dan momen m1. Join 2; gaya vertikal v2 dan momen m2.

Gaya dalam pada elemen 2, batang 2-3. Join 2; gaya vertikal v2 dan momen m2. Join 3; gaya vertikal v3 dan momen m3.

t

t m

t

t m

t

t m

t

t m

14

Langkah 8: menggambar gaya-gaya dalam elemen

Free body Diagram. Dengan menggunakan hasil perhitungan langkah 7 maka dapat digambar diagram benda bebas setiap elemen.

0,1719 t

0.062 t m+

2 31 2

1,3750 t m

0,8281 t

1,3750 t m

3,4583 t 2,5417 t

Perhatikan. Arti tanda + / - pada hasil langkah 7 (dalam bentuk matriks) terhadap arah gaya dan free body diagram. Tanda + berarti arah gaya gaya sesuai dengan arah DOF (perjanjian tanda). Pada “free body” tidak diperlukan lagi tanda + / -, karena telah diterjemahkan pada vektor gaya / momen.

15

Langkah 8: menggambar gaya-gaya dalam elemen

Free body Diagram. Dengan menggunakan hasil perhitungan langkah 7 maka dapat digambar diagram benda bebas setiap elemen.

0,1719 t

+

2 31 2

0,8281 t

3,4583 t

2,5417 tP = 1 t

SFD

Posisi gaya P

x

BMD0,0625 tm

1,3750 tm

(-)

(+)(-)

(-)

(-)

½ PL = 1 tm bukan nilai momen efektif

1/8 qL2 = 2,25 tm pada posisi tengah bentang bukan nilai momen efektif

nilai momen maks dapat dihitung

16

Persamaan keseimbangan struktur. Kita susun persamaan sebagai berikut {F} = [K]{U} - {fo}.

1

1

2

2

3

3

G 600 1200 600 1200 0 0

M 1200 3200 1200 1600 0 0

G 600 1200 2022,22 933,33 1422,22 2133

7466,67 2133,

,33

M 1200 1600 933,33 2133,33

G 0 0 1422,22 2133,33 1422,22 2133

3

,

3

2133,

33

M 0 0 33 42133,33 2133,33 26

0,000273 1

6,67 0,000488

0 0,5

0 0,5

0 3,5

0 3

1,5

Langkah 9: solusi reaksi perletakan struktur


bentang

Vektor gaya di

joint


Vektor perpindahan

struktur

1

1

2

2

3

3

G 0,32813 0,5 0,17188

M 0,43750 0,5 0,06250

G 0,78646 3,5 4,28646

M 1,00000 1 0,00000

G 0,45833 3 2,54167

M 1,50000 1,5 0,00000

t

t m

t

t

Reaksi vertikal di join 1

Reaksi momen lentur di join 1



Education

Kuliah 07 Contoh 01 Balok