METODE SLOPE DEFLECTION

1.Pendahuluan

Untuk metoda Slope Deflection ini rotasi batang dipakai sebagai variable.

Maka dari itu untuk metoda Consistent Deformation dan metoda Persamaan Tiga

Momen yang variabelnya berupa gaya luar ataupun gaya dalam dikategorikan

sebagai Force Method sedangkan metoda Slope Deflection yang memakai rotasi batang

sebagai variabel dikategorikan sebagai Flexibility Method. Dengan ketentuan bahwa

pada batang-batang yang bertemu pada suatu titik simpul yang disambung secara kaku

mempunyai rotasi yang sama, besar maupun arahnya, maka pada batang-batang yang

bertemu pada titik simpul tersebut mempunyai rotasi yang sama, atau boleh dikatakan

sama dengan rotasi titik simpulnya. Sehingga dapat dikatakan jumlah variabel yang ada

sama dengan jumlah titik simpul (joint) struktur tersebut.

Besarnya variabel-variabel akan dihitung dengan menyusun persamaan-

persamaan sejumlah variabel yang ada dengan ketentuan bahwa momen batang-batang

yang bertemu pada satu titik simpul haruslah dalam keadaan seimbang atau dapat

dikatakan jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama

dengan nol. Disini diperlukan perumusan dari masing-masing momen batang sebelum

menyusun persamaan-persamaan yang dibutuhkan untuk menghitung variabel-variabel

itu. Rumus-rumus momen batang tersebut mengandung variabel-variabel yang ada yaitu

rotasi titik simpul.

Dengan persamaan-persamaan yang disusun, besarnya variabel dapat dihitung.

Setelah besarnya variabel didapat, dimasukkan kedalam rumus-rumus momen batang,

maka besarnya momen batang-batang tersebut dapat dihitung. Demikianlah konsep dari

metoda “Slope Deflection” untuk menyelesaikan struktur statis tidak tertentu.

2 Momen Batang

Momen batang dapat ditimbulkan dengan adanya beban luar, rotasi titik simpul

ujung-ujung batang dan juga akibat perpindahan relatif antara titik simpul ujung batang

atau yang biasa disebut dengan pergoyangan.

A. Batang dengan kedua ujungnya dianggap jepit

1. Akibat beban luar

Momen batang akibat beban luar atau disebut Momen Primer (MP), yaitu momen

akibat beban luar yang menggembalikan rotasi nol (θ = 0) pada ujung batang jepit.

MPij MPijq

i j

L

a). Batang ij dibebani beban q, dengan kondisi i dan j jepit

qL3

θij = 24 EI

qL3II

q θ ji =

24 EI

EIi j

L

b). Beban terbagi rata q

MPij

i θij =M P ij

L

3 EI

M P ijL j

c). Beban MPij

θ ji = 6 EI

MPij

i θij =M P ji

L

6 EIθ ji =

M P ji L j

3 EId). Beban MPji

Gambar 6.1 Momen batang akibat beban luar

P

Batang i-j dengan beban terbagi rata q akibat beban q akan terjadi lendutan,

tetapi karena i dan j jepit, maka akan terjadi momen di i dan j untuk mengembalikan

rotasi di jepit sama dengan nol, yaitu θij = 0 dan θji = 0. Momen itulah yang disebut

momen primer (MP), MPij di ujung i dan MPji di ujung batang j.

Kondisi batang i-j yang dibebani beban terbagi rata q dan terjadi MPij dan MPji

karena ujung-ujung i dan j jepit, dapat dijabarkan sebagai balok dengan ujung-ujung

sendi dibebani beban terbagi rata q, (Gambar b), beban momen MPij (Gambar c) dan

beban momen MPji (Gambar d).

Dari ketiga pembebanan tadi, rotasi di i dan j haruslah sama dengan nol (karena i

dan j adalah jepit).

θ ij =

θ ji =

qL3

24 EI

qL3

24 EI

M P ij L

- -3 EI

M P ij L

- -6 EI

M P ji L= 0

6 EI

M P ji L= 0

3 EI

(1)

(2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat besarnya Mpij dan Mpji yaitu :

1MPij = MPji =

12qL²

Dengan cara yang sama dapat diturunkan rumus besarnya momen primer dari beban

terpusat sebagai berikut :

P MPij

i EI

MPji

j Beban terpusat P ditengah bentang

1L L

MPij = MPji = 8

PL

2 2

P j

M ij = Pab²

MPa ²b

=a b L² P ji L²

i EI

L

Gambar 6.2 Momen primer akibat beban titik

j

2. Akibat rotasi di i (θij)

Mij Mji θji = 0

θij EIi

L

a). Batang ij dengan rotasi θij

Mij

iθij =

M ijLθji =

jM ijL

3EI

b). Beban Mij di i

M ji L

6EI M ji Lθji =

3EI

Mji

θij =6EI

c). Beban Mji di j

Gambar 3.3 Momen akibat rotasi

Akibat rotasi θij, di ujung i terjadi momen Mij, dan untuk mempertahankan

rotasi di j sama dengan nol (θji = 0) akan terjadi momen Mji. Kondisi pada Gambar (a)

dapat dijabarkan sebagai balok dengan ujung-ujung sendi dengan beban Mij (Gambar b)

dan beban Mji (Gambar c). Dari kedua pembebanan tersebut, rotasi di j harus sama

dengan nol.

θji = M ijL

6 EI

M ji L- = 0

3 EI

Mji = ½ Mij

Disini kita dapatkan bahwa apabila di i ada momen sebesar Mij, untuk

mempertahankan rotasi di j sama dengan nol (0), maka momen tadi diinduksikan ke j

dengan faktor induksi setengah (0,5).

Besarnya rotasi di i : θij = M ijL

3 EI

M ji L-

6 EI

Dengan memasukkan Mji = ½ Mij, didapat

θij = M ijL

4 EI→ M ij =

4 EI

Lθij

Sehingga didapat besarnya momen akibat θij :

Mij =4EI

Lθij dan M ji =

2EI

Lθij

Kekakuan batang (K) adalah besarnya momen untuk memutar sudut sebesar satu satuan sudut (θ = 1 rad), bila ujung batang yang lain berupa jepit.

4EIUntuk θij = 1 rad, maka Kij =

L3). Akibat rotasi di j (θji)

Mji Dengan cara sama seperti penurunan rumus akibat θij, maka akibat rotasi θji, maka

didapat :i

Mij

EI θjij

L Mji =4EI

θ jiL; M ij

2EI= θ jiL

Gambar 3.4 Momen Mji

4). Akibat pergoyangan (∆)

Mij EI Akibat pergoyangan (perpindahan relatif

ji ∆ ujung-ujung batang) sebesar ∆, maka akan

j’ terjadi rotasi θij dan θjiMji

L ∆θij = θji =

LGambar 6.5 Rotasi akibat ∆

Karena ujung-ujung i dan j jepit maka akan timbul momen Mij dan Mji untuk

mengembalikan rotasi yang terjadi akibat pergoyangan. Seolah-olah ujung i dan j

∆berotasi θij = θji = , sehingga besarnya momen :

L

Mij =4EI

Lθij + 2EI

L. θ ji =

6EI. ∆

L²

M =

Mji =4EI

Lθ ji +2EI

L. θij = 6EI

. ∆L²

Dari keempat hal yang menimbulkan momen tadi, dapat ditulis rumus umum

momen batang sebagai berikut :

Untuk i dan j jepit :

Mij = MPij +

MPji = MPji +

4EI

L4EI

L

θij +

θ ji +

2EI

L2EI

L

θ ji +

θij +

6EI∆

L²6EI

∆L²

Dengan Kij =4EI

L∆

Mij = MPij + K (θij + ½ θji + 1,5 )L∆

Mji = MPji + K (θji + ½ θij + 1,5 )L

B. Batang dengan salah salah satu ujungnya sendi / rol

1. Akibat beban luar

Dengan cara yang sama seperti pada balok dengan i dan j jepit, didapat besarnya

momen primer (akibat beban luar) sebagai berikut :MP’ij

i j

La). Beban terbagi rata q

’P ij

1qL²

8

MP’ijP

’ 3MP ij = PL

i j 16

42 42

b). Beban terpusat P. ditengah bentang

Pab² 1 Pa ²ba

P b

i MP’ij

L

MP’ =

j

-L² 2 L²

c). Beban terpusat P. sejarak a dari i

Gambar 6.6 Momen primer akibat beban luar

2). Akibat rotasi di i (θij)

Mij

i Qij EI

j

L

Gambar 6.7. Momen Mij

θij = M ij L

3 EI

Mij =3 EI

Lθij

Kekakuan batang modifikasi (K’), besarnya momen untuk memutar rotasi sebesar satu satuan sudut (θ= 1 rad) bila ujung yang lain sendi.

3EIθij = 1 rad K’ij =

L

3). Akibat pergoyangan (∆)

Mij j

i

j’

Gambar 6.8 Rotasi akibat ∆

∆Akibat pergoyangan ∆, i dan j berotasi sebesar

L

∆θij = θji =

L

Mij mengembalikan rotasi di i sama dengan nol (θij = 0) seolah-olah di i berotasi θij =

∆, sehingga timbul momen : Mij =

L

3EI

Lθij = 3EI

. ∆L²

4). Akibat momen kantilever (jk – batang kantilever)

Mij Mji MjkP

i j k

Gambar 6.9 Momen kantilever

Momen kantilever Mjk.Σ Mj = 0 Mji = - Mjk

akibat Mji, untuk mempertahankan θij = 0, akan timbul Mij.

Mij = ½ Mji = - ½ Mjk.

Dari keempat hal yang menimbulkan momen batang diatas dapat dituliskan

secara umum momen batang sebagai berikut :

Untuk ujung j sendi / rol :

Mij = MP’ij +

3 EI

3 EI

Lθij

3 EI ∆+

L²

1- M jk2

(a)

Dengan K’ = , rumus tersebut diatas dapat ditulisL

∆ 1Mij = MP’ij + K’ (θij + ) -

L 2Mjk (b)

Jadi kita mempunyai dua rumus momen batang, pertama dengan ujung-ujung

jepit-jepit, kedua dengan ujung-ujung jepit sendi. Yang dikatakan ujung jepit bila ujung

batang betul-betul perletakan jepit atau sebuah titik simpul yang merupakan pertemuan

batang dengan batang (tidak termasuk katilever). Sedangkan yang dikatakan ujung

batang sendi yang betul-betul perletakan sendi, bukan berupa titik-titik simpul.

Rumus batang dengan jepit-jepit, ada dua variabel rotasi yaitu θij dan θji,

sedangkan untuk batang dengan ujung jepit-sendi, hanya mengandung satu variabel rotasi yaitu θij, rotasi pada perletakan sendi (θji) tidak pernah muncul dalam persamaan.

Untuk menunjukkan arah momen batang dan rotasi, dalam perumusan momen

batang perlu diadakan perjanjian tanda sebagai berikut : momen batang positif (+) bila

arah putarannya searah jarum jam, dan negatif bila arah putarannya berlawanan arah

jarum jam.

Untuk arah rotasi, kita beri tanda seperti pada momen batang. Akibat beban luar

(MP) momen bisa positif (+) atau negatif (-) tergantung beban yang bekerja. Akibat

pergoyangan bisa positif (+) atau negatif (-) tergantung arah pergoyangannya. Untuk

rotasi, karena kita tidak tahu arah sebenarnya (sebagai variabel) selalu kita anggap

positif (+).

6.3 Langkah-Langkah Metoda Slope Deflection

Adapun langkah-langkah dengan metode slope deflection sebagai berikut:

Tentukan derajat kebebasan dalam pergoyangan struktur statis tak tentu. dengan

rumus :

n = 2 j – (m + 2f + 2h + r), dimana:

n = jumlah derajat kebebasan

j = “joint”, jumlah titik simpul termasuk perletakan.

m = “member”, jumlah batang, yang dihitung sebagai member adalah batang yang

dibatasi oleh dua joint.

f = “fixed”, jumlah perletakan jepit.

h = “hinged”, jumlah perletakan sendi.

r = “rool”, jumlah perletakan rol.

Bila n < 0 tidak ada pergoyangan.

n > 0 ada pergoyangan

Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan ada tentukan arah momen

akibat pergoyangan, untuk menentukan tanda positif (+) ataukah negatif (-) momen

akibat pergoyangan tersebut (untuk menggambar pergoyangan ketentuan yang

harus dianut seperti pada metoda “Persamaan Tiga Momen”).

Tentukan jumlah variabel yang ada. Variabel yang dipakai pada metoda ini adalah rotasi (θ) titik simpul, dan delta (∆) kalau ada pergoyangan.

Tuliskan rumus momen batang untuk semua batang yang ada, dimana akan mengandung variabel-variabel (θ dan ∆) untuk masing-masing rumus momen batang tersebut.

Untuk menghitung variabel-variabel tersebut perlu disusun persamaan-persamaan

sejumlah variabel yang ada. Persamaan-persamaan itu akan disusun dari :

- Jumlah momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama

dengan nol.

- Kalau ada variabel ∆, perlu ditambah dengan persamaan keseimbangan

struktur. Seperti juga pada metoda “Persamaan Tiga Momen”, dalam

menyusun persamaan keseimbangan struktur pada dasarnya membuat

perhitungan “free body diagram” sehingga mendapatkan persamaan yang

menghubungkan satu variabel dengan variabel yang lain. Pada penggambaran

arah momen, momen yang belum tahu besarnya (masih dalam perumusan)

digambarkan dengan arah positif (+) yaitu searah jarum jam.

Dengan persamaan-persamaan yang disusun, dapat dihitung besarnya variabel-

variabelnya.

Setelah variabel-variabel diketahui nilainya, dimasukkan kedalam rumus momen-

momen batang, sehingga mendapatkan harga nominal dari momen-momen batang

tersebut.

Contoh 1

q = 1 t/m’ P1 = 4 t P2 = 1,5 t

1,5 EI 2 EI EIA B C D

6 m 3 m 3 m 2 m

Gambar 6.10 Contoh 1 balok statis tak tentu

Suatu balok statis tak tentu dengan ukuran dan pembebanan seperti pada gambar

A jepit, B dan C rol. Hitung momen-momen batangnya dengan metoda Slope Deflection.

Gambar bidang M, D, N nya.

Penyelesaian :

n = 2j – (m + 2f + 2h + r)

= 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 + 2) = 0 tidak ada pergoyangan

A jepit θA = 0 B – titik simpul ada θB

C rol θC tidak sebagai variabel. Jadi variabelnya hanya satu yaitu θB

Rumus Momen Batang

Rumus Umum :

∆Untuk i, j jepit : Mij = MPij + Kij (θij + ½ θji + 1,5 )

L

∆Untuk j sendi / rol : Mij = MP’ij + K’ij (θij + ) – ½ Mjk

L

Momen-momen primer :

- q = 1 t/m’ +

A B

L = 6 m4 t

- MPAB = MPBA =

1

1qL² =

12

3

1(1)6² = +3 tm

12

- - MP’BC = -

CB

16 P1L = -

16(4)6 = -4,5 tm

3 m 3 m

Gambar 6.11 Momen-momen primer

Kekakuan Batang :

AB – jepit-jepit KAB = KBA =4EI

=L

4 (1,5 EI)

6

= EI

BC – jepit-sendi K’BC =3EI

L

3 (2EI)=

6= EI

MCD = - P2xL = - 1,5 x 2 = -3 tm (momen kantilever)

MCB = - MCD = + 3 tm

MAB = - 3 + EI (θA + ½ θB) = - 3 + 0,5 EIθB

MBA = + 3 + EI (θB + ½ θA) = + 3 + EI θB

MBC = - 4,5 + EI θB – ½ (-3) = -3 + EI

Persamaan :ΣMB = 0 MBA + MBC = 0

(3 + EI θB) + (-3 + EI θB) = 0 EI θB = 0

Momen Batang :

MAB = -3 + 0,5 x 0 = - 3 tm

MBA = + 3 + 0 = + 3 tm

MBC = - 3 + 0 = - 3 tm

3 tm 3 tm 4t 1,5t3 tm 3 tm 3 tm

A 3t 3t B 2t 2t

D C 1,5

6 m 3 m 3 m 2 m

a). Free body diagram

3t2t 1,5 t 1,5 t

A B C D3 m

3t 2t

6 m 3 m 3 m 2 m

b). Bidang Gaya Lintang (D)

3 tm 3 tm 3 tm

- - -

A + B

1,5 tm+ C D

c). Bidang Momen (M) 3 tm

Gambar 6.12 Bidang M, D, N

Contoh 2P1 = 4 t P2 = 3 t

A 2 EI B EI C

3 m

EI

D

2 m 2 m 1 m

Gambar 6.13 Contoh 2 portal statis tak tentu

Diketahui suatu portal dengan ukuran dan pembebanan seperti pada Gambar. A rol dan

D jepit. Hitung momen-momen batang dengan metoda Slope Deflection. Gambar

bidang M, D dan N-nya.

Untuk penyelesaian dari soal ini dapat dikerjakan sebagai latihan

6.4 Struktur Statis Tak Tentu Akibat Penurunan Perletakan dengan Metoda Slope

Deflection.

Pada metoda slope defelection langkah-langkah yang harus dikerjakan untuk

menyelesaikan struktur statis tak tentu akibat penurunan perletakan sama seperti pada

akibat pembebanan luar yang telah disajikan dimuka. Hanya saja pada akibat penurunan

perletakan dalam rumus momen batang, momen primer yang dipakai adalah besarnya

momen akibat penurunan perletakan yang terjadi.

Jadi pada metoda slope deflection akibat penurunan perletakan digambarkan

bentuk pergoyangannya dan digambarkan arah perputaran momen akibat pergoyangan

tersebut dan dihitung besar nominalnya untuk dipakai sebagai momen primer dalam

perumusan momen batang. Sehingga untuk struktur yang dapat bergoyang ada dua

gambaran pergoyangan, yaitu pergoyangan akibat penurunan perletakan yang

menghasilkan momen-momen primer batang, dan pergoyangan natural yang

mengandung variabel ∆.

Contoh 3

EI EIA B C

6m 4m

Gambar 6.14 Contoh 3 balok statis tak tentu dengan penurunan

Suatu balok statis tidak tertentu dengan perletakan A jepit, B dan C rol seperti

dalam gambar. Balok dari beton dengan ukuran penampang 30 x 40 cm dan E = 2 x 105

kg/cm². Kalau terjadi penurunan perletakan B sebesar 2 cm, hitunglah momen-momen

batangnya dengan metoda slope deflection dan gambarkan bidang M, D dan N-nya.

Penyelesaian : n = 2j – (m + 2 f + 2 h + r)

= 2 x 3 – (2 + 2 x 1 + 2 x 0 +2) = 0 tidak pergoyangan

Jumlah variabelA jepit θA = 0

B titik simpul ada θB

C rol, θC bukan variable

Jadi variabelnya hanya satu, θB

Rumus Momen Batang

∆Untuk i, j jepit : Mij = MPij + Kij (θij + ½ θji + 1,5 )

L

∆Untuk j sendi / rol : Mij = MP’ij + K’ij (θij + ) – ½ MjkL

- Momen Primair akibat B turun 2 cm = 0,02 m

-Balok beton 30 x 40 cm2

B ∆B =2 cm

AI =

1 (30) 40

3 = 160.000 cm4

C 12

E = 2 x 105 kg/cm2

- +9 2 2

B’6m 4m

EI = 32 x 10 kg cm = 3200 tm

Gambar 6.15 Momen primer akibat penurunan perletakan

MPAB = MPBA = - 6EI

L2

. ∆ = −

6 x 3200

(6) 2

x 0,02 = −10,667 tm

MP’BC = 3EI

L2

. ∆ = +3 x 3200

(4) 2

x 0,02 = +12 tm

- Kehalusan Batang : KAB = KBA =

3EI

4EI =

L

3EI

4EI

6= 0,667 EI

K’BC = = = 0,75 EIL 4

MAB = - 10,667 + 0,667 EI (θA + ½ θB) = - 10,667 + 0,333 EI θB

MBA = - 10,667 + 0,667 EI (θB + ½ θA) = - 10,667 + 0,667 EI θB

MBC = + 12 + 0,75 EI θB

Persamaan : ΣMB MBA + MBC = 0

(- 10,667 + 0,667 EI θB) + (12 + 0,75 EI θB) = 0

1,417 EI θB = - 1,333

EI θB = - 0,941

Momen Batang :MAB = - 10,677 + 0,333 (- 0,941) = - 10,981 tm MBA = - 10,667 + 0,667 (-0,941) = - 11,294 tm MBC = + 12 + 0,75 (- 0,941) = + 11, 294 tm

10,981 tm 11,294 tm 11,294 tm

A

3,7125 t 3,7125 t B C

2,8235 t 2,8235 t

6 m 4 m

a). Free Body Diagram

3,7125 t

+

A C B

- 2,8235 t

10,981 tm

b. Bidang Gaya Lintang (D

- B C A

+

11,294 tm

c). Bidang Momen (M)

Gambar 6.16 Gambar bidang M, D, N