Phân phối chuẩn 

Phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận

giá trị trên R với hàm mật độ xác suất

2

2

2 ,1

( )2

x

xf x e

Phân phối chuẩn

• Dạng như một cái chuông• Có tính đối xứng • Trung bình = Trung vị = Mode• Vị trí của phân phối được xác định

bởi kỳ vọng, • Độ phân tán được xác định bởi độ

lệch tiêu chuẩn, σ • Xác định từ + to

Trung bình = Trung vị = Mode

x

f(x)

μ

σ

σ

μXZ

Phân phối chuẩn đơn giản

Bảng 1

2

2

2

1 z

ez

Hàm mật độ phân phối

1,0,02

1 2

0

2

NTzTPdtezzz

 

Bảng 2

Tích phân Laplace

Tính chất hàm f  zz

TP

84.04987.03413.0.......................

3113

TP

VD: P(-3<T<1)=??

Quy tắc 3 sigma

Bài toán: Cho

Giải phương trình với ẩn

1.tXP Với 1- cho trước và được gọi là độ tin cậy

.t Gọi là độ chính xác. Ta có:

ttt TPX

PXP

.1

)(21 t

Vậy ta có phương trình:

)(2)()( ttttt TP

Phân phối chuẩn

Bằng việc thay đổi các tham số μ và σ, ta nhận được nhiều dạng phân phối chuẩn khác nhau

Phân phối chuẩn

x

f(x)

μ

σ

Thay đổi μ dịch chuyển phân phối qua trái hoặc phải

Thay đổi σ làm tăng hoặc giảm độ phân tán.

Hàm phân phối của phân phối chuẩn

• Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình μ và phương sai σ2 , X~N(μ, σ2), hàm phân phối của X là

)xP(X)F(x 00

x0 x0

)xP(X 0

f(x)

Xác suất của phân phối chuẩn

x

Xác suất X  (a,b) đo bởi diện tích giới hạn bởi đường cong chuẩn.

F(a)F(b)b)XP(a

bμa

Xác suất của phân phối chuẩn

xbμa

bμa

bμa

F(a)F(b)b)XP(a

a)P(XF(a)

b)P(XF(b)

Phân phối chuẩn hóa

Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2). Chuẩn hóa X bằng cách đặt 

Khi đó EZ = 0 và VarZ = 1. Ta nói Z có phân phối chuẩn hóa. Ký hiệu

1)N(0~Z ,

σ

μXZ

Z

f(Z)

0

1

Phân phối chuẩn hóa

Nếu  X  có  phân  phối  chuẩn  với  trung  bình  là  100  and  độ lệch tiêu chuẩn là 50, thì giá trị của Z ứng với  X = 200  is

200 1002.0

50

XZ

Z100

2.00200 X (μ = 100, σ = 50)

(μ = 0, σ = 1)

Phân phối chuẩn hóa

• Hàm mật độ

• Hàm phân phối

2

21

( )2

( ) : haøm Gaussz

zf z e

20

02

0 ) ( )1

( ) (2

haøm Laplace

z t

F z P Z e dtz z

Tính xác suất

a b x

f(x)

σ

μaF

σ

μbF

σ

μbZ

σ

μaPb)XP(a

σ

μb σ

μa Z

µ

0

Tính xác suất

f(X)

Xμ

0.50.5

1.0)XP(

P(μ X ) 0.5 P( X μ ) 0.5

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)• Để tìm xác xuất P(X<x0); chuẩn hóa đưa X về Z: tìm xác suất bằng cách tra bảng chuẩn hóa N(0,1).

Z

( )F(a) P(Z a)= a

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

P(Z<1.04) = (1.04)= 0.8508

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

Ví dụ: P(Z < 2.00) =  (2.00) = .9772 Z0 2.00

.9772

Do tính đối xứng(-z) = 1 - (z) 

Ví dụ: P(Z < -2.00) = (-2.00)= 1 –  (2.00)  = 1 - 0.9772                  = 0.0228

Z0-2.00

Z0 2.00

.9772

.0228

.9772

Ví dụ• Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình là 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0. Tìm P(X < 8.6).

X

8.6

8.0

Ví dụ

Z0.12 0X8.6 8

μ = 8 σ = 10

μ = 0σ = 1

P(X < 8.6) P(Z < 0.12)

8.6 8.00.12

5.0

XZ

Ví dụ

Z

0.12

z (z)

.10 .5398

.11 .5438

.12 .5478

.13 .5517

(0.12) = 0.5478

Tra bảng chuẩn hóa

0.00

= P(Z < 0.12)P(X < 8.6)

Ví dụ

• Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0.

• Tìm P(X > 8.6)

X8.0

8.6

Ví dụ

• Tìm P(X > 8.6)…

Z

0.12

0Z

0.5478

0

1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522

   P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)

                                           = 1.0 - 0.5478 = 0.4522

0.12

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

P(Z<1.04) = (1.04)= 0.8508