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El exponente de unnúmero dice cuántas veces semultiplica el número.
En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64
En palabras: 82 se puede leer "8 a la
segunda potencia", "8 a lapotencia 2" o simplemente "8 alcuadrado"
Todo lo que necesitas saber...
Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de las siguientes ideas:
El exponente de un número dicemultiplica el número por sí mismo tantasveces.
Lo contrario de multiplicar esdividir, así que un exponente negativosignifica dividir.
Leyes de los exponentes
Ejemplo: potencias de 5
... etc...
52 1 × 5 × 5 25
51 1 × 5 5
50 1 1
5-1 1 ÷ 5 0,2
5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0,04
... etc...
Verás que los exponentes positivos, cero y
negativos son en realidad parte de un mismo patrón,
es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el
exponente crece (o disminuye).
Así que x2x3 =
La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"?
Respuesta:
Primero "m" veces, después otras "n" veces,
en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
x(2+3) = x5
Multiplicación de monomios
Para multiplicar expresiones algebraicasveremos, en primer lugar, la más simple de ellas:saber, la multiplicación de monomio pormonomio. Esta se realiza multiplicando loscoeficientes numéricos y multiplicando la parteliteral, aplicando las propiedades de las potencias.Por ejemplo, multipliquemos los monomios:
axn · bxm = (a · b)xn + m
(5x2 y3 z) (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3
Multiplicación de monomios
(−2x3) · (−5x) · (−3x4) =
(– 4a2b) (– ab2) =
(– 5x3y) (xy2) =
5 ( – 2x2y3z) =
( – 5x2y3z) ( – 2xy) =
( – 18x3y2z5) (6wx3z2) =
+4a3b3
– 5x4y3
– 10 x2y3z
+ 10 x3y4z
– 108 wx6y2z7
– 30 x8
Multiplicación de monomios
(– x2y3)(−4y3z4) =
(+2x3) (– 5x3) =
(12x3) (4x) =
(a2b3) (3a2x) =
( – 4m2)(– 5mn2p) =
( 5a2y) (– 6x2) =
Nombre:
Grupo:
Nº de lista
Fecha:
Tema:
(abc)(cd) =
(– 15x4y3)(−16a2x3) =
(3a2b3)(−4x2y) =
(3a2bx)(7b3x5) =
Para multiplicar un monomio por un polinomio,
utilizamos la propiedad distributiva de la multiplicación
con respecto a la adición y/o sustracción, esto es:
Multiplicación de monomio por polinomios
3 (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) =
3x2 (2x3 − 3x2 + 4x − 2) =
6x3 − 9x2 + 12x − 6
6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
4ax2 (3x2 − 6x + 7= 12ax4 − 24ax3 + 28ax2
– 2x (3x3 − x2) =
2ax3 (8x2y− 3y2) =
– 6x4 + 2x3
16ax5y − 6ax3y2
(– 2x)( x2 – 4x + 3) =
3ab ( a3 – 4a2 + 6a) =
– ab( a2 – 2ab + b2) =
Nombre:
Grupo:
Nº de lista
Fecha:
Tema: 3a2x2 ( x5 – 6x3 – 8x) =
– 4m3x ( m4 – 3m2n2 + 7n4) =
ax3y ( x3 – 4x2y + 6xy2) =
– 4a4m2 ( a3 – 5a2b – 8 ab2) =
– 4x2 ( x3 – 3x2 + 5x – 6) =
– 3a2x3(x4 – 6x3 + 8x2 – 7x + 5) =
3bx3 (a4 – 6a3x – 9a2x2 – 8) =
Para multiplicar polinomios, multiplique cada
término del primer polinomio con cada término del
segundo polinomio, combine los términos semejantes y
exprese el resultado lo más simple posible.
Ejemplos:
Multiplicación de polinomios
1) (a + 3)(a +1) = a(a)+ a(1)+ 3(a)+ 3(1)= a2 + a + 3a + 3= a2 + 4a + 3
2) (x + 2)(x2 − 4x −1)= x(x2 )+ x(−4x) + x(−1) + 2(x2 ) + 2(−4x) + 2(−1)=x3 − 4x2 − x + 2x2 − 8x − 2=x3 − 2x2 − 9x − 2
Se multiplica cada monomio del primer polinomiopor todos los elementos del segundo polinomio.
Se suman los monomios del mismo grado.
También podemos multiplicar polinomios de
siguiente modo:
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
(2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x)
(3x4 + 5x3 − 2x + 3) (2x2 − x + 3) =
= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3 − 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9
6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9
También podemos multiplicar polinomios de
siguiente modo:
Ejercicios
1) (x4 − 2x3 + 2x2 ) (x2 − 2x + 3) =
X4 – 2x3 + 2x2
X2 – 2x + 3 x6 – 2x5 + 2x4
– 2x5 + 4x4 – 4x3
+ 3x4 – 6x3 + 6x2
X6 – 4x5 + 9x4 – 10x3 + 6x2
2X3 + 4x2 – x + 2 3X2 – 5x
6x5 + 12x4 – 3x3 + 6x2
– 10x4 – 20x3 + 5x2 – 10x 6X5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 – 10x
– 5X3 – 6x2 + 4x – 3 – 5x + 6
25x4 + 30x3 – 20x2 + 15x – 30x3 – 36x2 + 24x – 18
25X4 – 56x2 + 39x – 18
3) (− 5x3 − 6x2 + 4x − 3) (− 5x + 6) =
2) (2x3 + 4x2 − x + 2) (3x2 − 5x) =
1) ( y + 3)( y + 3) =
2) (z + 5)(z − 5) =
3) (m + 4) (m – 10) =
4) (x − 2)(x2 − 4x − 5)
5) (−2x + 3y)(x2 − 2xy − y2)
Ejercicios
1) y2 + 6y + 9
2) z 2 − 25
3) m2 – 6m – 40
4) x3 − 6x2 + 3x +10
5) − 2x3 + 7x2 y − 4xy2 − 3y3
Respuestas
1) ( a + 3)( a – 1) =
2) (a + 1)(a − 3) =
3) (m + 5) (m – 4) =
4) (x − 6)(x − 5)
5) (3 − x)(5 − x)
Ejercicios
6) (– a – 2) (– a – 3) =
7) (3x – 2y) (y + 2x) =
8) (– 4y + 5x) (– 3x + 2y) =
9) (5a – 7b) (a + 3b) =
10) (7x – 3) (4 + 2x) =
Nombre:
Grupo:
Nº de lista
Fecha:
Tema:
Ejercicios 1) (x2 + xy + y2 )(x – y) =
2) (a2 + b2 – 2ab)(a – b) =
3) (a2 + b2 + 2ab)(a + b) =
4) (x3 – 3x2 + 1)(x + 3) =
5) (a3 – a + a2)(a – 1) =
6) (m4 + m2n2 + n4)(m2 – n2) =
7) (x3 – 2x2 + 3x – 1)(2x + 3) =
8) (3y3 + 5 – 6y)(y2 + 2) =
9) (m3 – m2 + m – 2)(am + a) =
10) (3a2 – 5ab + 2b2)(4a – 5b) =
Nombre:
Grupo:
Nº de lista
Fecha:
Tema:
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces
multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después
reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en
total "m-n" veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una
x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes
cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0=1
Ejercicios
– a3
– a2=
a2b5
– a b2
a3b4c
a b2
– x3y4z2
– x y z2
– x y4z2
– x y2z4
– a3m4n2
– a m4 n4
m3n4
– m4c5
– a4b2c4
– a4b4c2
b4c2
– a b2c2
– a3b4c2
b2c
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
División de monomios
Sólo se pueden dividir monomios con la mismaparte literal.
La división de monomios es otro monomio quetiene por coeficiente el cociente de los coeficientes ycuya parte literal se obtiene dividiendo las potenciasque tenga la misma base.
axn / bxm = (a : b)xn − m
18x6y2z5
6x3yz2=
12x3
4x=
36x3y7z4
12x2y2 =– 6x3y4z2
– 3x2y2z2 =
36x3y4z2
– 3x3y4z2=
18x6y2z5
6x3yz2=
12x3
4x=
36x3y7z4
12x2y2 = – 6x3y4z2
– 3x2y2z2 =
36x3y4z2
– 3x3y4z2=
3x2
3x3yz3
3xy5z42xy2
– 12
División de polinomios entre monomios
24x5y4 + 18x4y5 – 48x10y3
– 6x2y3=
12x3y5 + 18x5y7 – 48x12y6
3x2y2=
División de polinomios entre monomios
24x5y4 + 18x4y5 – 48x10y3
– 6x2y3=
12x3y5 + 18x5y7 – 48x12y6
3x2y2=
4xy3 + 6x3y5 – 16x10y4
– 4x3y – 3x2y2 + 8x8
Nombre:
Grupo:
Nº de lista
Fecha:
Tema:
Ejercicios
3x2y3 – 5a2x4 =
– 3x2
a2 – ab =a
3a3– 5ab2 – 6a2b3 = – 2a
x3 – 4x2 + x =x
4x8 – 10x6 – 5x4 =2x 3
3a2 – 8m2n+20mn 2 =– 2m
1 2
3
45
6
6a8b9 – 3a6b6 + a2 b3 =3a2b3
x4 – 5x3 – 10x2 + 15x =– 5x
3a3 – 6a2b + 9ab2 =3a
8m9n2 – 10m7n4 – 20m5n6 + 12m3n8 =2m2
7
8
9
10
– a + b – 8a2 + 12ab – 4b2 =
La división de polinomios, re realiza al igual que una división aritmética.
PASOS:
Se divide el primer término del polinomio divisor, entre elprimer término del polinomio dividendo.
El resultado será el primer término del polinomio cociente, ymultiplicará al polinomio divisor
Al producto de esta multiplicación se le antepone el signonegativo para invertirle los signos y se le resta al polinomiodivisor.
– a + b – 8a2 + 12ab – 4b2 =
+8a
8a2 – 8ab
Primero se divide– 8a2 = +8a
– a El resultado se escribe
8a (– a + b) = – 8a2 + 8ab se le antepone el sigo negativo
– (– 8a2 + 8ab) = 8a2 – 8ab y se reducen términos
0 – 4ab
se repite el procedimiento
– a + b – 8a2 + 12ab + 4b2 =
+8a
8a2 – 8ab
Se divide–4ab = +4b
–a El resultado se escribe
4b (– a + b) = – 4ab + 4b2
– (– 4ab + 4b2) = 4ab – 4b2
0 – 4ab + 4b2
+ 4b
4ab – 4b2
0
+2x
– 14x2 + 6x
Primero se divide14x2 = +2x7x
El resultado se escribe
2x (7x – 3) = 14x2 – 6x se le antepone el sigo negativo
– (14x2 – 6x) = – 14x2 + 6x y se reducen términos
0 + 28x
se repite el procedimiento
7x – 3 14X2 + 22x – 10
+2x + 4
– 14x2 + 6x
Primero se divide28x = +47x
El resultado se escribe
4 (7x – 3) = 28x – 12 se le antepone el sigo negativo
– (28x – 12) = – 28x + 12 y se reducen términos
0 + 28x – 10
7x – 3 14X2 + 22x – 10
– 28x + 12 0 + 2
Nombre:
Grupo:
Nº de lista
Fecha:
Tema:
Ejercicios
a + 3 a2 + 2a – 3 =
a + 1 a2 – 2a – 3 =
x + 5 X2 – 20 + x =
m – 6 m2 – 11m + 30 =
1
2
3
4
X + 5 X2 – 20 + x =
a + 2 6 + a2 + 5a
y + 2x 6X2 – xy - 2y2 =
X + 5 X2 + 15 – 8x =
5
6
7
8
2y – 3x – 15X2 – 8y2 + 22xy =
a + 3b 5a2 + 8ab – 21b2 =
9
10
