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um breve resumo feito por estudantes de engenharia química da UFPB sobre camada limite
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Universidade Federal da Paraíba Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Química Fenômenos de Transporte I Professor: Nagel
José Sabino – 11111097 Pedro Henrique – 11111938 Roxana Pereira – 11118297
Waldene Alexandre – 11111939 Wesley Dayvisson – 1111911
APROXIMAÇÃO DA CAMADA LIMITE
João Pessoa 11 de setembro de 2013
1
A APROXIMAÇÃO DA CAMADA LIMITE
A região do escoamento adjacente à parede na qual os efeitos viscosos
(e portanto os gradientes de velocidade) são significativos é chamada de
camada limite. A propriedade do fluido responsável pela condição de não-
escorregamento e o desenvolvimento da camada limite é a viscosidade.
Considere o escoamento de um fluido num cano estacionário ou sobre
uma superfície sólida não porosa (isto é, impermeável ao fluido). Todas as
observações experimentais indicam que um fluido em movimento pára
totalmente na superfície e assume velocidade zero (nula) em relação à
superfície. Tal fato é conhecido como condição de não-escorregamento.
O movimento altamente ordenado dos fluidos caracterizado por
camadas suaves do fluido é denominado laminar. O escoamento dos fluidos
de alta viscosidade é tipicamente laminar. O movimento altamente
desordenado dos fluidos que ocorre em velocidades altas e é caracterizado por
flutuações de velocidade é chamado turbulento.
A superfície da fronteira hipotética divide o escoamento de um tubo em
duas regiões: a região da camada limite, na qual os efeitos viscosos e as
variações de velocidade são significativos, e a região de escoamento
irrotacional (central), na qual os efeitos do atrito são desprezíveis e a
velocidade permanece essencialmente constante na direção radial.
A espessura dessa camada limite aumenta na direção do escoamento
até a camada limite atingir o centro do tubo e, portanto, preencher todo o tubo.
Equação de Navier-Stokes:
⌊
( )⌋
Se as forças viscosas resultantes forem muito pequenas comparadas
com as forças inerciais e/ou de pressão, o último termo no lado direto da
equação 1 é desprezível. Isso vale somente se 1/Re for pequeno. Portanto,
regiões de escoamento sem viscosidade são regiões de altos números de
Reynolds – o oposto das regiões de escoamento lento. Nessas regiões, a
equação de Navier-Stokes perde seu termo viscoso e se reduz à equação de
Euler.
⌊
( )⌋
Devido à condição de não-escorregamento nas paredes sólidas, as
forças de atrito não são desprezíveis em uma região de escoamento muito
próxima de uma parede sólida. Nessa região, chamada de camada limite, os
2
gradientes de velocidade normais à parede são suficientemente grandes para
modificar o pequeno valor de 1/Re.
Quando usamos a aproximação da equação de Euler, não podemos
especificar a condição de contorno de não-escorregamento nas paredes
sólidas, embora ainda especificamos que o fluido não pode fluir através da
parede. As soluções da equação de Euler portanto, não têm significado físico
próximo a paredes sólidas, pois ali o escoamento pode escorrer. No entanto, a
equação de Euler frequentemente é usada como um primeiro passo em uma
aproximação de camada limite. Ou seja, a equação de Euler é aplicada sobre
todo o campo de escoamento, incluindo regiões próximas a paredes e esteiras,
onde sabemos que a aproximação não é apropriada. Então, uma fina camada
limite é inserida nessas regiões como uma correção para levar em conta os
efeitos viscosos.
Em geral, as regiões de escoamento sem viscosidade distantes das
paredes sólidas e esteiras dos corpos são também irrotacionais (regiões de
escoamento nas quais as partículas de fluido não tem nenhuma rotação
resultante), embora hajam situações nas quais uma região de escoamento sem
viscosidade pode não ser irrotacional. As soluções obtidas para a classe de
escoamento definida pela irrotacionalidade são portanto aproximações das
soluções completas da equação de Navier-Stokes. Matematicamente, a
aproximação é que a vorticidade é muito pequena:
Conforme visto, existem pelo menos duas situações de escoamento nas
quais os termos viscosos na equação de Navier-Stokes podem ser
desprezados. A primeira situação ocorrem em regiões de escoamento com
altos números de Reynolds, onde se sabe que as forças viscosas resultantes
são desprezíveis comparadas com as forças inerciais e/ou de pressão;
chamamos essas regiões de escoamento sem viscosidade. A segunda
situação ocorre quando a vorticidade é muito pequena; chamamos essas
regiões de irrotacionais ou regiões de escoamento potencial. Em qualquer dos
casos, a remoção dos termos viscosos da equação de Navier-Stokes resulta na
equação de Euler. Embora a matemática fique bastante simplificada quando
são eliminados os termos viscosos, há algumas deficiências sérias associadas
com a aplicação da equação de Euler nos problemas práticos de escoamento
na engenharia. A primeira na lista de deficiências é a incapacidade para impor
a condição de não-escorregamento em paredes sólidas. Isso leva a resultados
não-físicos como, por exemplo, forças de cisalhamento viscoso iguais a zero
em paredes sólidas e arrasto aerodinâmico igual a zero em corpos imersos em
uma corrente livre.
Considerando-se uma perspectiva histórica, em meados de 1800, a
equação de Navier-Stokes era conhecida, mas não podia ser resolvida exceto
3
para escoamentos de geometrias muito simples. Enquanto isso, os
matemáticos conseguiam obter belas soluções analíticas da equação de Euler
e das equações de escoamento potencial para escoamentos de geometria
complexa, mas seus resultados frequentemente não tinham significado físico.
Então, a única maneira confiável de estudar escoamentos de fluidos era
empiricamente, isto é, através de experimentos. Uma grande mudança na
mecânica dos fluidos ocorreu em 1904 quando Ludwig Prandtl (1875-1953)
introduziu a aproximação da camada limite. A idéia de Prandtl era dividir o
escoamento em duas regiões: uma região de escoamento externo que é sem
viscosidade e/ou irrotacional e uma região de escoamento interno chamada de
camada limite – uma camada muito fina de escoamento próxima a uma parede
sólida onde as forças viscosas e a rotacionalidade não podem ser ignoradas.
Na região de escoamento externo, usamos as equações da continuidade e de
Euler para obter o campo de velocidade do escoamento externo e a equação
de Bernoulli para obter o campo de pressão. Alternativamente, se a região de
escoamento externo é irrotacional, podemos usar as técnicas de escoamento
potencial para obter o campo de velocidade do escoamento externo. Em
qualquer dos casos, solucionamos a região do escoamento externo primeiro e
depois ajustamos uma fina camada limite em regiões nas quais a
rotacionalidade e as forças viscosas não podem ser desprezadas. Dentro da
camada limite nós resolvemos as equações de camada limite.
A aproximação da camada limite corrige algumas das principais
deficiências da equação de Euler proporcionando uma maneira de impor a
condição de não-escorregamento em paredes sólidas. Consequentemente,
forças de cisalhamento viscoso podem existir ao longo de paredes, corpos
imersos em uma corrente livre podem ser submetidos a arrasto aerodinâmico e
a separação do escoamento em regiões de gradiente de pressão adversa pode
ser prevista com maior precisão.
Para uma aplicação bem-sucedida da aproximação da camada limite,
deve-se admitir a hipótese de que a camada limite é muito fina. O exemplo
clássico é uma corrente uniforme fluindo parala a uma longa placa plana
alinhada com o eixo x. A espessura δ da camada limite em alguma posição x
ao longo da placa está representada na figura 1. Por convenção, δ usualmente
é definida como a distância em relação à parede, na qual a componente da
velocidade paralela à parede é 99% da velocidade do fluido fora da camada
limite. Resulta que para um dado fluido e placa, quanto mais alta a velocidade
V da corrente livre, mais fina é a camada limite.
4
Figura 1: Escoamento de uma corrente uniforme paralela a uma placa plana: (a) Rex ~ 10², (b)
Rex ~104. Quanto maior o número de Reynolds, mais fina é a camada limite ao longo da placa
em uma dada posição x.
Em termos adimencionais, definimos o número de Reynolds com base
na distância x ao longo da parede:
Portanto, em uma dada posição x, quanto mais alto for o número de
Reynolds, mais fina é a camada limite, e mais confiável será a aproximação de
camada limite. Podemos ter confiança que a camada limite é fina quando δ <<
x.
A forma do perfil da camada limite pode ser obtida experimentalmente
pela visualização do fluxo.
Embora estejamos discutindo camadas limites em conexão com a região
fina próxima a uma parede sólida, a aproximação de camda limite não está
limitada a regiões de escoamento limitadas por paredes. As mesmas equações
podem ser aplicadas a camadas de cisalhamento livre como jatos, esteiras e
camadas de mistura, contanto que o número de Reynolds seja suficientemente
alto para que essas regiões sejam finas. As regiões desses campos de
escoamento com forças viscosas não desprezíveis e vorticidade finita também
podem ser consideradas como camadas limites, mesmo que não esteja
presente uma parede divisória sólida. Por convenção δ é usualmente definido
baseado em metade da espessura total da camada de cisalhamento livre.
Definimos δ como a distância desde a linha de centro até a borda da camada
limite onde a mudança em velocidade é 99% da variação máxima em
velocidade desde a linha de centro até o escoamento externo. A espessura da
camada limite não é constante, mas varia com a distância x jusante.
5
À medida que a espessura da camada limite cresce a jusante, as linhas
de corrente que passam através da camada limite devem divergir ligeiramente
para cima para satisfazer o princípio da conservação da massa. O valor desse
deslocamento para cima é menor do que o crescimento de δ(x). Como as
linhas de corrente cruzam a curva δ(x), está claro que δ(x) não é uma linha de
corrente.
Para uma camada limite laminar desenvolvendo-se sobre uma placa
plana, a espessura d da camada limite é no máximo uma função de V, x e das
propriedades ρ e μ do fluido. A medida que nos movemos para baixo na placa
para valores de x cada vez maiores, Rex aumenta linearmente com x. Em
algum ponto, começam a surgir distúrbios infinitesimais no escoamento e a
camada limite não pode continuar sendo laminar – ela inicia um processo de
transição em direção ao escoamento turbulento. Para uma placa plana com
uma corrente livre uniforme, o processo de transição começa em um número
de Reynolds crítico, Rex, crítico ≈ 1x105, e continua até que a camada limite seja
totalmente turbulenta no número de Reynolds de transição, Rex, transição ≈
3x106.
Nos escoamentos na prática, a transição para o escoamento turbulento
usualmente ocorre de forma mais abrupta e muito antes (com um valor mais
baixo de Rex) do que os valores dados para uma placa plana e lisa com uma
corrente livre calma. Fatores tais como rugosidade ao longo da superfície,
distúrbios da corrente livre, ruído acústico, instabilidades do escoamento,
vibrações e curvatura da parede contribuem para que a transição ocorra mais
cedo.
AS EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE
Agora que temos noção da camada limite, é preciso gerar as equações
necessárias para serem usadas em seus cálculos. Para simplificar irá se
considerar a seguinte situação:
Escoamento bidimensional no plano cartesiano (XY);
Desprezam-se os efeitos da gravidade;
Consideram-se apenas camadas de escoamento laminar;
No plano utilizado,o eixo X é sempre paralelo e Y normal a parede;
Iniciaremos com a equação Navier-Stokes, onde desprezamos o termo
gravitacional e também o termo não permanente:
[ ] [
]
6
Como as pressões fora da camada limite são determinadas pela
equação de Bernoulli, e o número de Euler é próximo de
um.
V é a velocidade para escoamento externo e é geralmente igual a
velocidade de corrente livre pra corpos imersos em escoamentos
uniformes;
Para o caso estudado, camada limite, o número de Reynolds é
suficientemente grande para que possamos desprezar o segundo termo
na equação (5), porém isto reduziria a equação de Navier-Stokes a
equação de Euler, então serão mantidos alguns termo viscosos na
equação;
Para escolher quais parcelas da equação serão mantidas faremos uma
adimensionalização das equações de movimento envolvidas. Para as
derivadas na direção Y( ortogonal a direção do escoamento) usaremos a
quantidade , e a velocidade utilizada será U, a componente da velocidade
global paralela a parede. Assim:
Da equação da continuidade para fluidos incompressíveis temos:
Como as componentes são equivalentes, elas possuem a mesma ordem
de grandeza, assim a ordem de grandeza da velocidade em Y:
Como ⁄ em uma camada limite, pois a mesma é muito fina,
concluímos que . Agora definiremos as variáveis adimensionais dentro
da camada limite:
Consideramos agora as componentes X e Y da equação de Navier-
Stokes. Substituindo essas variáveis adimensionais na equação do momento
na direção Y resultando:
7
Após algumas operações algébricas e multiplicando cada termo por
⁄ obtemos:
(
)
(
) (
)
O termo do meio do lado direito é menor que qualquer outro termo,
assim como o último termo do mesmo lado, pois . A equação se
torna:
Porém, o termo do lado direito tem ordem de grandeza muito superior
aos termos do lado esquerdo, dessa maneira teremos:
Ou seja, como a camada limite tem uma pequena espessura, o
gradiente de pressão na direção normal ao escoamento é desprezível.
Fisicamente, devido à camada limite ser tão fina, as linhas de corrente dentro
da camada limite têm uma curvatura desprezível quando observados na escala
de espessura da camada limite. Linhas de corrente curvadas requerem uma
aceleração centrípeta, que vem de um gradiente de pressão ao longo do raio
de curvatura. Como as linhas de corrente não são significativamente curvadas
em uma camada limite fina, não há um gradiente pressão significativo através
da linha.
O fato de a camada limite apresentar a mesma pressão ao longo da
direção normal tem interessantes aplicações tecnológicas, pois podemos tirar a
pressão na cada externa de uma cada limite pela sua base. Isso é aplicada na
confecção de asas de aviões e pás de turbinas.
Para o movimento em x:
Após algumas operações algébricas e multiplicando ambos os lados por ⁄ :
8
(
)
(
) (
)
Fazemos a mesma análise que na situação anterior descarta-se o termo
do meio do lado direito, porém não o último termo deste lado, caso fizéssemos
isso estaríamos retornando a equação de Euler, então esta parcela será
mantida.Todos os outros termos desta equação são próximos de 1, assim a
combinação de parênteses no último termo também deve ter esta ordem de
grandeza:
(
) (
)
Novamente, reconhecendo que ,vemos que:
√
Isso confirma nossa afirmação anterior de que em uma dada localização
na corrente ao longo da parede, quanto maior o numero de Reynolds, mais fina
será a camada limite. Se trocarmos x por L na equação acima, concluiremos
que para uma camada limite laminar sobre placa plana, onde U(x) = V=
constante, aumenta com a raiz quadrada de x.
Em termos das variáveis originais temos:
Equação do momento na direção x na camada limite:
O último termo desta equação não é desprezível na camada limite, pois
a derivada na direção Y do gradiente de velocidade ⁄ é suficientemente
grande para compensar o valor da viscosidade cinemática k. Finalmente, como
sabemos, pela nossa análise da equação de momento na direção y, que a
pressão da camada limite é a mesma que a fora da camada limite, aplicando a
equação de Bernoulli à região de escoamento externo. Derivando com relação
a x temos:
9
Para uma camada limite, em um escoamento laminar, permanente e
incompressível no plano XY sem efeitos consideráveis da gravidade:
Equação da camada limite
Matematicamente, a equação completa de Navier-Stokes é elíptica no
espaço, o que significa que são necessárias condições de contorno sobre toda
a fronteira do domínio do escoamento. Fisicamente, as informações de
escoamento são passadas em todas as direções, tanto a montante quanto a
jusante. Por outro lado, a equação do momento na direção x da camada limite
é parabólica. Isso significa que precisamos especificar condições de contorno
somente sobre três lados do domínio de escoamento bidimensional.
Fisicamente, as informações de escoamento não são passadas na direção
oposta ao escoamento. Esse fato reduz muito o nível de dificuldade na solução
das equações da camada limite. Especificamente, não precisamos definir
condições de contorno a jusante, somente montante, no topo e na base do
domínio do escoamento. Para um problema típico de camada limite ao longo
de uma parede, especificamos a condição de não escorregamento na parede
(u=v=0 em y=0), a condição de escoamento externo na borda da camada limite
e além [u=U(x) quando y muito grande] e um perfil inicial em alguma posição a
montante [u=u(y) em x=x°,onde x° pode não ser 0]. Com essas condições de
contorno, simplesmente nos movemos a jusante na direção x, resolvendo as
equações de camada limite conforme progredimos. Isso é particularmente
interessante para cálculos numéricos de camada limite, porque uma vez que
conhecemos o perfil em uma posição xi, podemos passar para a próxima
posição xi+1 e assim passar a uma próxima posição.
O PROCEDIMENTO DE CAMADA LIMITE
Quando é empregada a aproximação de camada limite, usamos um
procedimento geral passo a passo.
Passo 1: Resolva para o escoamento externo, ignorando a camada
limite (assumindo que a região de escoamento fora da camada limite é
aproximadamente sem viscosidade e/ou irrotacional). Transforme as
coordenadas se for necessário, para obter U(x).
Passo 2: Suponha uma camada limite fina--- tão fina na verdade, que ela
não afeta a solução de escoamento externo do passo 1.
10
Passo 3: Resolva as equações da camada limite, usando condições de
contorno apropriadas. A condição de contorno de não-deslizamento na
parede, u = v = 0 em y = 0; a condição conhecida do escoamento
externo na borda da camada limite, u → U(x) à medida que as y → ∞; e
algum perfil inicial conhecido, u = uinicial(y) em x = xinicial.
Passo 4: Calcule valores de interesse no campo de escoamento. Por
exemplo, uma vez resolvidas as equações da camada limite (passo 3),
podemos calcularxa tensão de cisalhamento ao longo da parede,
arrasto total de atrito superficial etc.
Passo 5: Verificar se as aproximações de camada limite são
apropriadas. Em outra palavras, verificar se a camada limite é fina ---
caso contrário a aproximação não é justificada.
Listamos aqui algumas limitações da aproximação da camada limite.
São simplesmente sinais de alerta para chamar atenção ao executar cálculos
com camada limite:
A aproximação da camada limite perde a validade se o número de
Reynolds não for suficientemente grande. Quão grande é
suficientemente grande? Depende da precisão desejada na
aproximação.
A hipótese de gradiente de pressão zero na direção y (equação 13)
fica inválida se a curvatura da parede for de grandeza similar a .
Nesses casos, os efeitos da aceleração centrípeta devida à
curvatura da linha de corrente não podem ser ignorados.
Fisicamente, a camada limite não é fina o suficiente para que a
aproximação seja apropriada quando não for << R.
Quando o número de Reynolds for muito alto, a camada limite não
permanece laminar, conforme discutimos anteriormente. A própria
aproximação da camada limite pode ainda ser aproximada, mas as
equações 21 e 22 não são válidas se o escoamento for de transição
ou totalmente turbulento. Conforme observamos antes, a camada
limite laminar em uma placa plana sob condições estáveis de
escoamento inicia sua transição para a turbulência em Rex ≈ 1x105.
Nas aplicações práticas da engenharia, as paredes podem não ser
lisas e pode haver vibrações, ruídos e flutuações no escoamento de
corrente livre acima da parede, sendo que tudo isso contribui para
um início ainda mais antecipado do processo de transição.
Se ocorre separação de escoamento, a aproximação da camada
limite não é mais apropriado na região de escoamento separado. A
razão principal para isso é que uma região de escoamento separado
contém escoamento reverso, e a natureza parabólica das equações
da camada limite é perdida.
11
ESPESSURA DE DESLOCAMENTO
As linhas de correntes dentro e fora de uma camada limite devem se
curvar ligeiramente para fora afastando-se da parede para satisfazer ao
princípio da conservação da massa à medida que a espessura da camada
limite aumenta a jusante. Isto é porque a componente y da velocidade, v, é
pequena mas finita e positiva. Fora da camada limite, o escoamento externo é
afetado por essa deflexão das linhas de corrente. Definimos a espessura de
deslocamento como a distância pela qual é defletida a linha de corrente
imediatamente fora da camada limite.
Geramos uma expressão para para a camada limite ao longo de uma
placa plana fazendo uma análise de volume de corrente usando a conservação
da massa. O resultado em qualquer posição x ao longo da placa é:
Espessura de deslocamento:
∫ (
)
Observe que o limite superior da integral na equação acima é mostrado
com ∞, mas como u = U em todos os pontos acima da camada limite, é
necessário integrar somente até uma distância finita acima de Obviamente,
cresce com x à medida que a camada limite cresce. Para uma placa plana
laminar, integramos a solução numérica de Blasius e obtemos:
Espessura de deslocamento, placa plana laminar:
√ x (24)
Há uma maneira alternativa de explicar o significado físico de que
vem a ser útil para as aplicações práticas de engenharia. Isto é, podemos
pensar na espessura de deslocamento como um aumento imaginário ou
aparente na espessura da parede do ponto de vista de região de escoamento
sem viscosidade e/ou região de escoamento irrotacional externo. Para nosso
exemplo da placa, o escoamento externo não “vê” mais uma placa plana
infinitesimalmente fina; em lugar disso, ele vê uma placa de espessura finita
com forma semelhante à espessura de deslocamento
Se fôssemos resolver a equação de Euler para o escoamento ao redor
dessa placa imaginária mais grossa, a componente de velocidade U(x) do
escoamento externo seria diferente daquele do cálculo original. Poderíamos
então usar essa U(x) aparente para melhorar nossa análise de camada limite.
Você pode imaginar uma modificação no procedimento da camada limite no
qual percorremos os primeiros quatro passos, calculamos x) e depois
voltamos para o passo 1, desta vez usando a forma imaginária mais cheia do
corpo para calcular uma U(x) aparente. Em seguida, resolvemos novamente as
12
equações da camada limite. Poderíamos repetir o laço quantas vezes fosse
necessário até chagar à convergência. Dessa forma, o escoamento externo e a
camada limite seriam mais consistentes um com o outro.
A utilidade dessa interpretação da espessura de deslocamento torna-se
óbvia se considerarmos um escoamento uniforme entrando em um canal
limitado por duas paredes paralelas. À medida que as camadas limites crescem
nas paredes superiores e inferior, o escoamento central irrotacional deve
acelerar para satiszer a conservação da massa. Do ponto de vista do
escoamento central entre as camadas limites, a camada limite faz com que as
paredes do canal pareçam convergir --- a distância aparente entre as paredes
diminui à medida que x aumenta. Esse aumento imaginário na espessura de
uma das paredes é igual a x); e a U(x) aparente do escoamento central deve
aumentar de forma correspondente para satisfazer a conservação da massa.
ESPESSURA DO MOMENTO
Figura 2: Um volume de controle é definido pela linha tracejada grossa, limitado acima por uma linha de corrente fora da camada limite e limitado abaixo pela placa plana; FD,x é a força
viscosa da placa agindo sobre o volume de controle.
Uma outra medida da espessura da camada limite é a espessura do
momento para a qual se atribui comumente o símbolo . A espessura do
momento é mais bem explicada analisando-se o volume de controle da figura
(1) para uma camada limite de placa plana, como a base do volume de controle
é a própria placa plana, nenhuma massa ou momento pode cruzar essa
superfície. O topo do volume de controle e tomado como uma linha de corrente
do escoamento externo. Como nenhum fluxo pode cruzar uma linha de
corrente, não pode haver fluxo de massa ou momento através da superfície
superior do volume de controle, concluímos que o fluxo de massa entrando no
volume de controle pela esquerda (em x = 0) deve ser igual ao fluxo de massa
saindo pela direita (em alguma posição arbitrária x ao longo da placa):
13
∫
∫
∫
Onde w é a espessura perpendicular á pagina na figura (2), que
tomamos arbitrariamente como largura unitária de Y é a distância da placa até
a linha de corrente externa em x = 0, conforme indicado na figura (2). Como u =
U= constante, em todos os pontos ao longo da superfície esquerda do volume
de controle, e como u = U entre y = Y e y = Y + δ* ao longo da superfície direita
do volume de controle, a equação 25 se reduz a:
∫
Fisicamente o déficit de fluxo de massa dentro da camada limite (a
região inferior sombreada em azul na figura 2 é substituído por uma porção de
escoamento de corrente livre de espessura δ* (a região superior sombreada em
azul na figura 2). A equação 26 verifica que essas duas regiões sombreadas
têm a mesma área. Ampliamos a figura para mostrar essas áreas mais
claramente na Figura 3.
Figura 3: Comparação da área sob o perfil da camada limite, representando o déficit de fluxo de massa e a área gerada por uma porção de fluido de corrente livre de espessura δ
*. Para
satisfazer o princípio da conservação da massa, essas duas áreas devem ser idênticas.
Agora considere a componente x da equação do momento do volume de
controle. Como não há momento cruzado as superfícies de controle superior ou
inferior, a força resultante agindo sobre o volume de controle deve ser igual ao
fluxo de momento saindo do volume de controle menos o fluxo do momento
entrando no volume de controle.
Conservação do momento x para o volume de controle:
∑ ∫
∫
14
Onde é a força de arrasto devida ao atrito sobre a placa em x = 0
até a posição x. Após algumas operações algébricas, incluindo a substituição
da equação 26, a equação 27 se reduz a:
∫
Finalmente, definimos a espessura do momento de forma que a força de
arrasto viscoso sobre a placa por unidade de largura perpendicular à página
seja igual a vezes , isto é:
∫
Em outras palavras:
A espessura do momento é definida como a perda de fluxo do momento
por largura unitária dividida por devido à presença da camada limite
que está se desenvolvendo.
A equação 29 se reduz a:
∫
(
)
A altura Y da linha de corrente pode ter qualquer valor, desde que a
linha de corrente tomada como superfície superior do volume de controle esteja
acima da camada limite. Como u = U para qualquer y maior que Y, podemos
substituir Y por infinito na equação 30 sem nenhuma alteração do valor de :
Espessura do momento: ∫
(
)
Para o caso específico da solução da solução de Blasius para uma
camada limite laminar de uma placa plana. Integramos a Equação 31
numericamente para obter:
Espessura do momento, placa plana lamina
√
Observamos que a equação para é a mesma que para δ ou δ* mas
com uma constante diferente. De fato, para o fluxo laminar sobre uma placa
plana, vem ser aproximadamente 13,5% de δ em qualquer posição de x
conforme é identificado na figura 4.
15
Figura 4: Para uma camada limite laminar sobre uma placa plana, a espessura de deslocamento é 35,0% de δ, e a espessura do momento é 13,5% de δ.
CAMADA LIMITE TURBULENTA SOBRE UMA PLACA PLANA
As expressões para a forma do perfil da camada limite e outras
propriedades da camada limite turbulenta são obtidas empiricamente (ou no
melhor dos casos semi-empiricamente), já que não podemos resolver as
equações de camada limite para escoamento turbulento. Observe também que
os escoamentos turbulentos são inerentemente transientes, e a forma do perfil
de velocidade instantânea varia com o tempo. Portanto todas as expressões
turbulentas discutidas neste tópico representam valores médios no tempo. Uma
aproximação empírica comum para o perfil de velocidades médias no tempo,
de uma camada limite turbulenta sobre placa plana é a lei da potência um
sétimo:
(
)
Observe que na aproximação da equação 33, δ não é a espessura de 99
por centro da camada limite, mas sim, a borda real da camada limite,
diferentemente da definição de δ para escoamento laminar. O gráfico da
equação 33 está ilustrado na figura 5. Para efeitos de comparação, o perfil da
camada limite laminar sobre a placa plana (a solução numérica de Blasius) está
também traçada na figura 5, usando y/δ para o eixo vertical no lugar da variável
de similaridade h. Pode-se notar que se as camadas limites laminar e
turbulenta tivessem a mesma espessura, a camada limite turbulenta seria mais
cheia do que a laminar. Em outras palavras, a camada limite turbulenta iria
permanecer mais próxima da parede, preenchendo a camada limite com
escoamento de velocidade mais alta próxima da parede. Isto é devido aos
grandes redemoinhos turbulentos que transportam fluido em alta velocidade da
parte externa da camada limita para as partes inferiores da camada limite (e
vice-versa). Em outras palavras, uma camada limite turbulenta tem um grau
maior de mistura quando comparada com a camada limite laminar. No caso
laminar, o fluido se mistura lentamente devido à difusão viscosa. No entanto, os
16
grandes redemoinhos em um escoamento turbulento promovem uma mistura
mais rápida e completa.
Figura 5: Comparação dos perfis de camada limite de placa plana, laminar e turbulenta, adimensionalizada, pela espessura da camada limite.
A forma do perfil de velocidades da camada limite turbulenta da Equação
33 não tem significado físico muito perto da parede (y 0), pois ela afirma que
a variação ( ) é infinita em y = 0. Embora a variação na parede seja muito
grande para uma camada limite turbulenta, ela é finita. Essa grande variação
na parede leva a uma tensão de cisalhamento muito grande na parede,
, e, portanto, um atrito superficial correspondente muito alto
ao longo da superfície da placa (comparada com uma camada limite laminar da
mesma espessura).
A lei de potência não é a única aproximação da camada limite turbulenta
usada pela mecânica dos fluidos. Uma outra aproximação comum é a lei
logarítmica, uma expressão semi-empírica que vem a ser válida não somente
para camadas limite sobre placa plana, mas também para perfis de velocidade
de escoamento turbulento totalmente desenvolvido em tubo. Na verdade, a lei
logarítmica vem a ser aplicável para quase todas as camadas limites
turbulentas limitadas por paredes, não apenas no escoamento sobre uma placa
plana. (Essa situação afortunada nos permite empregar a aproximação da lei
logarítmica próxima a paredes sólidas em softwares de Dinâmica dos Fluidos
Computacional). A lei logarítmica é expressa comumente em variáveis
adimensionais por uma velocidade característica chamada de velocidade de
atrito u*.
A lei logarítmica:
Onde:
17
Velocidade de atrito: √
e k e B são constantes; seus valores usuais são k = 0,40 a 0,41 e B = 5,0 a 5,5.
Infelizmente a lei logarítmica é prejudicada pelo fato de que ela não funciona
muito perto da parede (logaritmo de 0 não é definido). Ela também se desvia
dos valores experimentais próximo da borda da camada limite. No entanto, a
equação 34 se aplica através de quase toda a camada limite turbulenta sobre
placa e é útil porque ela relaciona a forma do perfil de velocidade com o valor
local da tensão de cisalhamento na parede através da equação 35.
Uma expressão inteligente que é válida em todo o percurso até a parede
foi criada por D.B Spalding em 1968 e é chamada de lei da parede de
Spalding:
⌈ (
)
[ (
)]
[ (
)]
⌉
CAMADAS LIMITES COM GRADIENTES DE PRESSÃO
Camadas limites com gradientes de pressão podem ser laminares ou
turbulentas. A análise é muito mais difícil de que quando se trata de apenas a
placa plana, pois o gradiente de pressão (U dU/dx) na equação do momento na
direção x é diferente de zero. Uma análise tridimensional pode ficar ainda mais
complicada, por isso visaremos apenas características qualitativas.
Quando o escoamento na região de escoamento na região externo sem
viscosidade e/ou irrotacional(fora da camada limite) acelera, U(x) aumenta e
P(x) diminui. Chamamos isso de um gradiente de pressão favorável (a
camada limite se mantém próxima a parede e fina). Quando o escoamento
externo desacelera, U(x) diminui, P(x) aumenta, e temos um gradiente de
pressão desfavorável ou adverso (a camada limite tende a se separar da
parede e é grossa).
Em um escoamento externo típico, como o escoamento sobre uma asa
de avião, a camada limite na parede da frente do corpo está sujeita a um
gradiente de pressão favorável, enquanto na parte de trás ela está sujeita a um
gradiente de pressão desfavorável. Se o gradiente de pressão adversa (dP/dx=
-UdU/dx) for suficientemente forte a camada limite pode separar-se da parede.
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As equações da camada limite são parabólicas, o que o que significa que nenhuma informação pode ser passada a partir do limite jusante. No entanto, a separação leva ao escoamento reverso próximo da parede, destruindo a natureza parabólica do campo de escoamento e tornando inaplicáveis as equações da camada limite. Em casos como este, deve ser usada a equação completa de Navier-Stokes. A separação de escoamento leva a uma diminuição significativa da recuperação de pressão, condições como essas são chamadas de condições de Estol.
Como a velocidade na parede é zero(condição de não-escorregamento),
sobram apenas o termo de gradiente de pressão e o termo viscoso:
(
)
I. Sob condição de escoamento favorável, dU/dx>0, o
que indica que ⁄ <0. Sabemos que ⁄
deve permanecer negativa à medida que u se aproxima
de U(x) na borda da camada limite.
Figura 7: Condição conhecida como Estol, a bolha de separação cobre quase toda a superfície da asa do avião. O estol é acompanhado por uma perda de sustentação e um grande aumento no arrasto dinâmico
Figura 8: Esquema da análise I, esperamos que o perfil de velocidade através da camada limite seja arredondado.
Figura 6: Escoamento sobre a asa de um avião, a camada limite permanece colada sobre toda a superfície inferior, mas ela se separa em algum ponto perto da superfície superior. A linha de corrente fechada indica uma região de escoamento recirculante chamada de bolha de separação.
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II. Sob condições de gradiente de pressão zero,
⁄ é zero, implicando em um crescimento
linear de u com relação a y próximo da parede.
III. Para gradientes de pressão adversa, dU/dx<0, o que
exige que ⁄ seja positiva. No entanto, como
⁄ deve ser negativo à medida que u se aproxima
de U(x) na borda da camada limite, deve haver um ponto
de inflexão( ⁄ ) em algum lugar da camada
limite.
IV. Se o gradiente de pressão adverso for
suficientemente grande, ⁄ pode tornar-se
zero, essa posição ao longo da parede é o ponto de
separação, onde há escoamento reverso e uma bolha de
separação. <0 por ⁄
A primeira derivada de u em relação y na parede é diretamente
proporcional a tensão de cisalhamento na parede [ ⁄ ];
A tensão de cisalhamento é maior para escoamentos favoráveis;
A espessura da camada limite aumenta quando o gradiente de pressão
muda de sinal;
A aproximação da camada limite pode ser apropriada para localizar o
ponto de separação e funcionar até ele, não indo além;
A aproximação da camada limite é apenas tão boa quanto a solução do
escoamento externo; se o escoamento externo for alterado significativamente
pela separação do escoamento, a aproximação da camada limite está errada.
Camadas limites turbulentas tem um perfil de velocidade média mais
cheio do que uma camada laminar sob condições similares. Portanto, é
necessário um gradiente de pressão adversa mais forte para separar a camada
limite turbulenta. Isso quer dizer que camadas limites turbulentas são mais
Figura 9: Esquema da análise II. Sem gradiente de pressão, já estudado anteriormente.
Figura 10: Esquema da análise 3, fracamente adversa, surge agora um ponto de torção em relação as figuras anteriores.
Figura 11: pressão adversa em dois graus diferentes, sendo a do lado direito a de grau mais acentuado ocorrendo o escoamento reverso.
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resistentes à separação de escoamento do que as camadas limites laminares
expostas ao mesmo gradiente de pressão adversa.
A técnica de integral de momento para camadas limites
A técnica integral de momento utiliza uma aproximação de volume de
controle para obter aproximações quantitativas das propriedades da camada
limite ao longo de superfícies com gradientes de pressão zero ou diferente de
zero. Ela é valida tanto para a camada limite laminar quanto para a turbulenta.
De acordo com a aproximação com a aproximação da camada limite,
⁄ , consideremos então que a pressão P age ao longo de toda a face
esquerda do volume de controle, .
No caso geral com gradiente de pressão diferente de zero, a pressão na
face direita do volume de controle é diferente da pressão na face esquerda.
Usando uma aproximação truncada de primeira ordem da série de Taylor:
De forma similar escrevemos a vazão em massa que entra através da
face esquerda como:
∫
E a massa que sai através da face direita como:
[∫
(∫
) ]
w é a largura do volume de controle no eixo z;
Como a equação (39) é diferente da equação (38), e como nenhum
escoamento pode cruzar a base do volume de controle(a parede), a massa tem
que escoar para dentro ou para fora pela parte superior do volume de controle.
Para o caso de uma camada limite que está crescendo, na qual
Qdireita<Qesquerda, e Qsuperior>0 (a massa escoa para fora). A conservação
da massa sobre o volume de controle resulta em:
A parte inferior do volume de controle é a parede em y=0 e a parte superior está em y=Y,
suficientemente alta para abranger toda a altura da camada limite. O volume de controle é
uma fina espessura dx.
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(∫
)
Aplicamos agora o princípio da conservação do momento x para o
volume de controle escolhido. O momento x entra pela face esquerda e é
removido através das faces direita e superior do volume de controle. O fluxo
total do momento para a fora do volume de controle deve ser equilibrado pela
força devida à tensão se cisalhamento agindo sobre o volume de controle na
parede e a força de pressão total na superfície de controle. O fluxo total do
momento para fora do volume de controle deve ser equilibrado pela força
devida à tensão de cisalhamento agindo sobre o volume de controle na parede
e a força de pressão total na superfície de controle.
(∫
)
(∫
)
Bliografia:
Çengel, Y. A.; Cimbala, J. M. Mecânica dos Fluidos-Fundamentos e
Aplicações. 1ª edição - São Paulo: McGraw-Hill, 2007