Solução de Blasius para a equação da camada limite laminar para placa plana com dp e /dx= 0

2004 Mecânica dos Fluidos II Prof. António Sarmento - DEM/IST

Matéria:– Solução de Blasius para CL laminar com gradiente de

pressão nulo;– Parâmetros integrais: espessura de deslocamento e espessura

de quantidade de movimento;– Equação de von Kárman: simplificação para gradiente de

pressão nulo.

Solução de Blasius para a equação da camada limite laminar para placa plana com dpe/dx=0


Equações da camada limite laminar para placa plana com dpe/dx=0

Equações de camada limite laminar 2D delgada (<<x) para placa plana:

2

2

yu

yuv

xuu

0

yv

xu

Condições de fronteira: y=0 u=v=0y=∞ u=U


Solução:


0 0 0,33211 0,3298 0,3232 0,6298 0,26683 0,8461 0,16144 0,9555 0,06425 0,9916 0,00596 0,999 0,00247 0,999 0,00028 1 0,0001

xUy

FUu F

0

0,4

0,8

1,2

0 2 4 6 8 10

xUy

FUu

F


Solução:


0 0 0,33211 0,3298 0,3232 0,6298 0,26683 0,8461 0,16144 0,9555 0,06425 0,9916 0,00596 0,999 0,00247 0,999 0,00028 1 0,0001

xUy

FUu F

0Fx

UU

x

FUx Re

664,002

00

yy

u

o Tensão de corte na parede

2

0

21 U

fc

o Coeficiente de atrito


Solução:


0 0 0,33211 0,3298 0,3232 0,6298 0,26683 0,8461 0,16144 0,9555 0,06425 0,9916 0,00596 0,999 0,00247 0,999 0,00028 1 0,0001

xUy

FUu F

dxDL

o 0

o Força de resistência

LD

LU

DCRe328,1

21 2

o Coeficiente de resistência

UL

L Re

021 F

LUU


Solução:


Uyu 99,0

o Espessura da CL

0 0 0,33211 0,3298 0,3232 0,6298 0,26683 0,8461 0,16144 0,9555 0,06425 0,9916 0,00596 0,999 0,00247 0,999 0,00028 1 0,0001

xUy

FUu F

xUxx Re55

η=5

%8,105

0

FF

o Tensão de corte em y=


Espessura de deslocamento (d ou *):

Parâmetros integrais: Espessura de deslocamento

0

1 dyuUUd

0

1 dyuUUd

0

udyUU d

U

0

dyuU

Caudal para fluido invíscido

Caudal realDéficit de caudal devido à redução de velocidade na CL.


Espessura de deslocamento (d ou *):

Parâmetros integrais: espessura de deslocamento

0

1 dyuUUd

0

1 dyuUUd

0

udyUU d

Caudal para fluido invíscido

Caudal realDéficit de caudal devido à redução de velocidade na CL.

dUq


Espessura de deslocamento:

0

1 dyuUUd

0

1 dyuUUd

0

1 udyUd

Afastamento inicial da LC

δ δdq/U LC

Desvio sofrido pela LC exterior

Parâmetros integrais: espessura de deslocamento


Solução de Blasius para a espessura de deslocamento (Camada Limite Laminar)

Valor da solução de Blasius para a espessura de deslocamento:

x

d

x Re72,1

δ dq/U LC

Ux

x Recom

344,0dou


Espessura de quantidade de movimento (m ou ):

0

2

1 udyuUUm

0

2

1 udyuUUm

dU mdUdyu

2

0

2

mUudyUdyu

2

00

2

0

2

0

2 dyuudyUU m

Parâmetros integrais: espessura de quantidade de movimento


Caudal de quantidade de movimento através duma secção da CL:

mdqm UUUdyuqx

222

0

2

Caudal de q.m. com perfil uniforme

UU

Redução devido ao déficit de

caudal

dUU

Redução devido ao déficit de q.m. na C.L.

mUU



Balanço de quantidade de movimento longitudinal entre o bordo de ataque e a secção afastada de x:

xxqmxqm xx

qqD

0

dU 2 mU d 2mU 2

δ d-d LCx



Solução de Blasius (Camada Limite Laminar) para espessura da quantidade de movimento

Valor da solução de Blasius para a espessura de quantidade de movimento:

x

m

x Re664,0

Ux

x Recom

133.0mou

Factor de forma: 59,2m

d


Equação de von Kárman para placa plana (dpe/dx≠0)

Válida para escoamento laminar ou turbulento – neste caso as velocidades e pressões representam valores médios temporais.

Método: balanço de massa e quantidade de movimento ao volume de controlo representado:

dx

dxdxd

x x+dx


dx

xmdxxm

m

dxudydxdudym

x

dxx

00

Balanço de massa: dxxxVC mmmMdtd

Esc. estacionário

o Caudal : xmx

x udym

0

o Caudal : dxxm

dxudydxd

0



dx

xmdxxm

m

0

udydxdUmUq

xqm

o Caudal de quantidade de movimento segundo x através y=δ:

dxudydxdm

0

Balanço de massa:



dxxqmxqxqmxq

qmxq

VCxx

VCxdxqmxqmxqmx

x Fqqqdt

dK

o Diferença : xqmxdxxqmx qq

dxdyudxd

0

2

Balanço de q. movimento segundo x:

esc. estacionário



xqmxqdxxqmxq

qmxq

qmxqmxdxqmxx qqqF

xxVC

Balanço de q. movimento segundo x:

dxdyudxd

0

2

0

udydxdU



dxddppddpppFVCx 02

1

Forças segundo x:

p+dpp

p+1/2dp

τ0

dxdxdpF

VCx

0

dxdUU

dxdpe



00

0 dyuUdxdUudyuU

x

Resultado:

Introduzindo d e δm:

dxdUUU

dxd

dm 20



Caso em que dpe/dx=0 (dU/dx=0):

dxdU m 2

0

dxd

Uc m

f

2

21 2

0



Conceitos:– Solução de Blasius para CL laminar com gradiente de

pressão nulo;– Número de Reynolds local;– Número de Reynolds global;– Espessura de deslocamento;– Espessura de quantidade de movimento;– Equação de von Kárman: simplificação para gradiente de

pressão nulo.



Bibliografia:– Sabersky – Fluid Flow: 8.3, 8.4, 8.6 e 8.7– White – Fluid Mechanics: 7.3, 7.4


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