APLICACIÓN DE DERIVADAS

DERIVADAS POR DEFINICIÓN

ALGEBRA DE DERIVADAS

ELABORADO POR:

ESTUDIANTES GRADO 11-A 2009

INTITUTO TECNICO INDUSTRIAL SAN JUAN BOSCO

CONTRATACION-SANTANDER

12 DE Noviembre de 2009

ONCE “A”

APLICACIÓN DE DERIVADAS Y ALGEBRA DE

DERIVADAS

I. Solucionar los siguientes problemas de aplicación de derivadas,

realizando la derivada de la función principal de las dos formas (por

definición y utilizando algebra de derivadas).

Halla los números positivos cuyo producto sea 100 y su suma sea

mínima.

100. baarea

minimo ba

b100

100. ba b10

ba

100

b

a100

bb

p 100

10a

b

bbbp

)1(100.0

1100

2

bbp 10;10 Rta ba

2100 b

halla dos números positivos tales que su producto sea 54 y su suma

sea mínima

ba

ba

imoba

ba

54

54.

min

54.

154

1)1(54.0

54

2

2

bbp

b

bbp

bb

p

348.7

348.7

54

348,7

54

54 2

a

a

b

b

b

348.7;348.7 Rta ba

Halla dos números tales que su diferencia sea 30 y su producto sea

minino.

ba

ba

imoba

ba

30

30

min.

30.

15

30

230

230

30

).30(

2

b

bb

b

bbp

bbp

bbp

15

15Rta

15

))15(30(

b

a

a

a

Halla dos números positivos tales que su producto sea 900 y su suma

sea mínima

ba

ba

imaba

ba

900

900.

min

900.

1900

1)1(900.0

900

2

2

bbp

b

bbp

bb

p

30

30

900

900

900 2

a

a

b

b

30;30Rta ba

La suma del numero y el quíntuplo de otro debe ser 70 ¿Qué numero

debe ser para que su producto sea mínimo?

2

570

5702

7052

min.

yx

yx

yx

imoyx

yyp

yyp

yyp

yy

p

yy

p

535

25,235

).5,235(

.2

5

2

70

).2

570(

2

Rta= 𝒙 = 𝟏𝟕,𝟓;𝒚 = 𝟕

5,17

2

)7(570

7

5

35

535

X

X

y

y

y

La suma de tres números positivos es 30. El primero mas el doble

del segundo, mas el triplo del tercero suman 60. ¿Cuáles ser los

números para que su producto sea máximo?

cb

cb

cb

cb

cbcb

cba

imocba

ca

cba

230

302

30602

60230

6032)30(

30

min..

60)(2

30

32

2

230

))(230(

))(230(max

0

3030

30230

aap

aaap

aaaimo

ac

ca

ca

cca

10

10

10

Rta

10

))10(230(

10

660 2

c

b

a

b

b

a

aaap

Se debe construir una canal horizontal con una lámina de 8cm de

ancho, doblando verticalmente hacia arriba partes iguales en ambos

costados ¿Cuántos centímetros debe doblarse la lámina para

obtener una canal de capacidad máxima?

yx

yxa

yxa

28

82

.

2

4

8

48

048

48)(

2.8

).28

2

y

y

y

y

yaP

yya

yya

4

)2(28

28

x

x

yx

Rta= debe doblarse 2

cm en cada lado para

que la canal tenga

capacidad máxima:

Construye una caja de base cuadrada y sin tapa cuya área sea 2 100 cm ¿Qué dimensiones debe tener para que su volumen sea

máximo?

32

2

2

2

2

2

440100

).440100(

.4210210

.)210(

.

210

100)2(

..

yyyv

yyyv

yyyv

yyv

yxv

yx

xy

yxxvol

3

20

3

5210

3

5

)12(2

)100)(12(4(-80)(-80)-

cuadratica la soluciona se

1008012

1280100)(

2

2

2

x

x

y

y

yyp

yyvP

Rta= las dimensiones que la caja debe

tener para que su volumen sea máximo

son: base 3

20x ; altura

3

5y

Se quiere fabricar un recipiente de forma cilíndrica con base

circular y de volumen igual a 232cm ¿Qué dimensiones debe tener

para que el material utilizado sea mínimo?

rr

roaP

rr

a

rr

ra

rrr

a

.2)1.64().(

)(

.64

..

.64

..2..

32

2

2

2

2

22

2

2

2

2

.

32h

32..

.).2.(

r

hrvol

rrharea

167704381.2

)167704381.2(

32

167704281.2

18591636.103

2

64 .64

.264

0.264

23

2

2

h

h

r

r

rr

rr

rr

Rta: las dimensiones para que el material usado sea mínimo son: r167704281.2 ;

y 167704381.2h

Con una hoja cuadrada de 9cm de lado se desea hacer una caja abierta

del mayor volumen posible, recortando un cuadrado en cada uno de sus

cuatro vértices. Halla las

Dimensiones de los cuadrados.

v

xx

xx

xxxx

xxvol

3

22

2

22

32x-81x

.436x-81

.184x18x-81

.924929

)29).(29(

9185565.0

08196

09681

9681)(

2

2

2

x

x

xvP

Rta= las dimensiones de los cuadrados

es de

9185565.0 cm

Halla dos números cuya suma sea 60 de forma que el producto de uno de

ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

432

22

2

22

222

1203600

.1203600

6023600

max.y-60

y-60 x

60y x)2

max. x.x.y)1

yyy

yyy

yy

y

imoyx

30

3060

30

36047200

36047200

043607200

43607200

2

3

23

32

32

x

X

y

y

yy

yyy

yyy

yyyyP

𝑅𝑡𝑎 = 𝑥 = 30;𝑦 = 30

¿Qué numero positivo sumado a su inverso da lugar a la suma mínima?

2

1.11

mínimo2

1

x

x

2

2

11

01

1

x

x

1

1 2

x

x

Rta= el numero positivo

que sumado a su inversa da

lugar a la suma mínima es 1

Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal, sin tapa, que tenga

una capacidad de 31dm encuentra las dimensiones que debe tener este

recipiente para que la cantidad de material utilizado sea mínimo.

rr

ap

rr

raP

rr

a

rr

ra

rrr

a

.22000

.21.2000.0

.2000

..

.2000

..2..

1000

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

.

1000

1000..

..2.

rh

hrvol

rrharea

h

h

r

r

r

rrr

rr

82784063.6

82784063.6

1000

82784063.6

3098.3183

2

2000

.2000 .22000

0.22000

2

3

3

2

2

Rta= las dimensiones que debe tener el cilindro son 82784063.6r y h82784063.6

DERIVADAS POR DEFINICION.

1) xx

100

2

100

100

0

.

100100100

0

100100

0

100

lim

lim

lim

xxf

xhxh

h

h

xf

h

xhx

hxx

h

xf

h

xhx

h

xf

xxf

1

0

0

0

lim

lim

lim

xf

h

h

h

xf

h

xhx

h

xf

h

xhx

h

xf

xxf

xf2

100

x

+1

___________________________________________________________

2) 230 bbfx

230

0

3023030

0

3023030

0

3030

lim

lim

lim

222

22

22

h

hbh

h

xf

h

bbhbhhbb

h

xf

h

bbhbhbhb

h

xf

h

bbhbhbxf

bbxf 230

__________________________________________________________

3) 24 xxxf

xxf

hh

xf

hh

xf

h

xxhxh

h

xf

h

xxhxhx

h

xf

24

h-2x-4h

0

h-2xh-4h

0

42x-4h4x

0

44

0

lim

lim

lim

lim

2

222

22

________________________________________________________________

4) 321025 xxxxf

2

22

32322322

32322322

3232

32025

33x10h-20x-25h

0

102533102010x-25h25x

0

1025332x10-25h25x

0

102510hx25

0

lim

lim

lim

lim

xxxf

h

hxh

h

xf

h

xxxhxhhxxhxh

h

xf

h

xxxhxhhxxhxh

h

xf

h

xxxhxhx

h

xf

__________________________________________________________

5) 432 1203600 yyyxf

32

32

322322

422333222

4324223

34322322

432

422334322322

432432

4360y-7200y

4360y-7200y

0

644120360360y-3600h7200yh

0

6441203603603600h7200yh

0

12036064

4120360360120360072003600y

0

1203600

644331202y3600

0

1203600120hy3600

0

lim

lim

lim

lim

lim

lim

yxf

y

h

xf

h

hhyyhyhyh

h

xf

h

hhyyhhyhyhhy

h

xf

h

yyyhhyyh

hyyhyhhyyhyh

h

xf

h

yyy

hhyyhhyyhyhhyyhyh

h

xf

h

yyyhyhy

h

xf