Aop conjuntos

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZOF I M Esc. De Ingeniería Mecánica

ALGEBRA SUPERIOR - CONJUNTOS ANALORPE



DIAGRAMA DE VENN DE UNA DIFERENCIA DE CONJUNTOSSean A y B dos conjuntos cualesquiera, su DIFERENCIA estará representada por el área rellenada de color claro:

LA DIFERENCIA A - B

Gráficamente esta área cubre la superficie que: pertenece al conjunto “A” ,pero no pertenece el conjunto “B”.



Mientras que:

LA DIFERENCIA (B – A)

Nuevamente el área de color claro , que esta a la derecha, representar ladiferencia que no es mas que los elementos que: pertenecen al conjunto “ B ”,pero no pertenece el conjunto “ A ”.



PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS

1.- A - A A

2.- A - B B =

3.- (A - B ) ( B C ) =

4.- A B = ( A - B ) ( A B ) ( B – A )

5.- A - = A

6.- - A =

7.- Si A B entonces A – B =



1.- A - A A

Esta propiedad se basa en lo siguiente.

A – A = Considerando que el conjunto vacio es subconjunto de

todo conjunto se tiene A

A

EXPLICACION: Si a cualquier conjuntose lo retira (resta todos suselementos), da como resultado unconjunto vacio.



2.- A - B B =

Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4 }

A – B = { 1, 3, 5 } y cuando busco interseccion con B se tiene resultado conjunto vacio, por que entre los dos no hay ningunelemento comun

EXPLICACION: Entre los sectores café y amarillo no hay elementos comunes, porlo tanto su interseccion es el conjuntovacio



3.- (A - B ) ( B C ) =

Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 1, 3, 5 } C = { 1, 5}

A – B = { 2, 4 } ( B C ) = { 1, 5 }

Al buscar la interseccion entre estos dos resultados no hay ningunelemento comun , resultado final conjunto vacio



4.- A B = ( A - B ) ( A B ) ( B – A )

Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 1, 3, 5, 8, 9 }

A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9}

A – B = { 2, 4, 6, 7 } ( A B ) = { 1, 3, 5 } B – A = { 8, 9 }

(A – B) ( A B ) (B – A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 }

Al unir estos ultimos tresresultados se tienenuevamente el resultado dela union de los dosconjuntos



5.- A - = A

Sea: A = { 2, 4, 6, 7, 10, 12 }

A – = { 2, 4, 6, 7, 10, 12 }

EXPLICACION: Si a cualquier conjuntono se lo retira ninguno de suselementos, da como resultado elmismo conjunto.



6.- - A =

Sea: = { }

A = { 3, 6, 8, 10 }

- A = EXPLICACION: Si a un conjunto vacio, que no tiene elementos se lepretende retirar algun o algunoselementos no es posible por que elprimer conjunto no tiene elementos,entonces da resultado el conjuntovacio.



7.- Si A B Entonces A- B = A

Sea: A = { a, b, c, d, e, f } B = { b, e, f, g, h }

Operando tengo: A B = { b, e, f } A -B = { a, c, d }



Ejercicio 4.- Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,}

A = { 1, 2, 3, 4} B = { 1, 4, 13, 14} C = { 2, 8} D = { 10, 11, 12}

Hallar:

a) A B

b) A C

c) B D

d) D C

e) A c

f) A c B

g) A c B c

h) (A B ) c

i) A c B c

j) ( A B ) c

k) ( A C ) c

l) ( A B ) - D

ll) (A B ) - D

m) ( A B ) ( B A )

n) ( A B) - ( A B )

o) (A – B ) ( B – A )



SOLUCION:

a) A B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }

A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 1, 4, 13, 14 }

Utilizando el diagrama de Venn se tiene



b) A C = { 1, 2, 3, 4, 8 }

A = { 1, 2, 3, 4 } C = { 2, 8 }




c) B D = { 1, 4, 10, 11, 12, 13, 14 }

B = { 1, 4, 13, 14 } D = { 10, 11, 12 }




d) D C = { 2, 8, 10, 11, 12 }

D = { 10, 11, 12 } C = { 2, 8 }




e) A c = { 5,6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } A = { 1, 2, 3, 4 }




f) A c B = { 1, 4, 5,6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }

A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } B = { 1, 4, 13,14}




g) A c B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }

A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }

B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }




h) ( A B ) c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

A B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }

Entonces : ( A B ) c Sera igual U – (A B = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }



i) A c B c = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 }

A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }

B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 }



j) ( A B ) c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14 }

Si : A B = { 1, 4 }

( A B ) c = U – ( A B ) = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14 }



k) ( A C ) c = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12,13, 14 }

Si : A C = { 1, 2, 3, 4, 8 }

( A C ) c = U - ( A C ) = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12,13, 14 }



l) ( A B ) – D = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }

Si : A B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }

D = { 10, 11, 12 }



l l) (A B ) - D = { 1, 4 }

Si : A B = { 1, 4 }

D = { 10, 11, 12 }



m) (A - B ) ( B – A ) = { 2, 3, 13, 14 }

Si : A - B = { 2, 3 } B – A = { 13, 14 }

Cuando consideramos 2 conjuntos, y se tiene la diferencia de estos en losdos sentidos, en forma de union se da lugar a un resultado que se lo conocecon el nombre de Diferencia Simetrica



n) ( A B) - ( A B ) = { 2, 3, 13, 14 }

Si : A B = { 1, 2, 3,4, 13, 14 }

A B = { 1, 4 }



o) ( A - B) ( B - A ) = { } Conjunto Vacio

Donde: A - B = { 2, 3 }

B - A = { 13, 14 }

De los 180 Profesores que tiene una Universidad, 135 tienen su Doctorado, 145 sonInvestigadores, de los Doctores 114 son Investigadores, entonces cual de los siguientesenunciados son verdaderos

A = {x/x son Doctores}

B = {x/x son Investigadores}

Para desarrollar tomemoslos sectores que se representa con letrasminusculas

a + b = 135 son doctores

b +c = 145 son Investigadres

b = 114 son doct. e Invest

d = ? No son doctores Tampoco Investigadores



SOLUCION: En primer lugar partimos del total de profesores, tenemos un numero de Doctores(135), otro de investigadores (145), y un grupo que son a la vez doctores einvestigadores (114), a partir de este ultimo dato: se tendra el numero de solodoctores y solo investigadores, mientras que al sumar tanto doctores comoinvestigadores y restando del Universo se tiene el numero de profesores que no sonInvestigadores ni doctores.

A = 135 (Doctores) A = a + b pero: b = 114 a = A – b a = 135 – 114 = 21

Entonces se dice que a = 21 corresponde a profesores solo doctores(sector amarillo)

B = 145 (Investigadores) B = b + c pero: b = 114 c = B – b c = 145 – 114 = 31

Entonces se dice que c = 31 corresponde a profesores solo Investigadores(sector verde)



Al sumar los sectores ( a + b + c ) = 21 + 114 + 31 = 166 Corresponde a profesorescon preparacion a nivel de doctores e investigadores. Aplicando algebra de conjuntos tenemos:

( A – B ) ( A B ) ( B - A ) = 21 + 114 + 31 = 166

Para determinar el numero de profesores que no son: ni Doctores pero tampoco estan en investigacion sera: U – ( A B ) = 180 – 166 = 14 ( solo profesores) = d

Si: 180 = a + b + c + d, entonces d = 180 - (a + b + c)

Tambien se tiene que: d = (A B ) c = U - (A B ) = 14 profesores ( sector lila)



Una vez realizado los calculos se tiene la siguiente solucion con el Diagrama de Venn

a = solo doctores

c= solo Investigadores

d = Profesores, no doctores, tampoco Investigadores

b = doctores e investigadores





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