MatemáticasAplicada

Clemente Mora González Jefe del Departamentode Fomento Editorial

Leticia Mejia GarcíaCoordinadora de Fomento Editorial

Ulises Ramírez HernándezCoordinador de Diseño Gráfico

Miguel Antonio González VidalesGestión Administrativa

Mayra Guzmán GallegoDiseño Gráfico

DIRECCIÓN GENERALAv. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires.Col. Cuauhtémoc SurTels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08

Correo Electrónico: principal@cecytebc.edu.mxPágina Web: www.cecytebc.edu.mx

CICLO ESCOLAR 2012-1Prohibida la reproducción total o parcialde esta obra incluido el diseño tipográficoy de portada por cualquier medio,electrónico o mecánico, sin el consentimientopor escrito del editor.

GESTIÓNDITORIAL

Nota:

Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradeceremos hacernos llegar sus comentarios o aportacionesa los siguientes correos:

acaro@cecytebc.edu.mxfomentoeditorial@cecytebc.edu.mx

José Guadalupe Osuna MillánGobernador del Estado

de Baja California

Javier Santillán PérezSecretario de Educación

y Bienestar Social del Estado

CECYTE BC

Adrian Flores LedesmaDirector General

Jesús Gómez EspinozaDirector Académico

Ricardo Vargas RamírezDirector de Administración y Finanzas

Olga Patricia Romero CázaresDirectora de Planeación

Argentina López BuenoDirectora de Vinculación

Ángela Aldana TorresJefe del Departamento de Evaluación Académica

MUNICIPIO DE MEXICALI

Cristina de los Ángeles Cardona RamírezDirectora del Plantel Los Pinos

Laura Gómez RodríguezEncargada del Plantel San Felipe

Carlos Zamora SerranoDirector del Plantel Bella Vista

Jesús Ramón Salazar TrillasDirector del Plantel Xochimilco

Rodolfo Rodríguez GuillénDirector del Plantel Compuertas

Abraham Limón CampañaDirector del Plantel Misiones

Francisco Javier Cabanillas GarcíaDirector del Plantel Guadalupe Victoria

Román Reynoso CervantesDirector del Plantel Vicente Guerrero

MUNICIPIO DE TIJUANA

Martha Xóchitl López FélixDirectora del Plantel El Florido

María de los Ángeles Martínez VillegasDirectora del Plantel Las Águilas

Amelia Vélez MárquezDirectora del Plantel Villa del Sol

Bertha Alicia Sandoval FrancoDirectora del Plantel Cachanilla

Rigoberto Gerónimo González RamosDirector del Plantel Zona Río

Jorge Ernesto Torres MorenoDirector del Plantel El Niño

Joel Chacón RodríguezDirector del Plantel El Pacífico

Efraín Castillo SarabiaDirector del Plantel Playas de Tijuana

Benito Andrés Chagoya MorteraDirector del Plantel Altiplano

Juan Martín Alcibia MartínezDirector del Plantel La Presa

MUNICIPIO DE ENSENADA

Alejandro Mungarro JacintoDirector del Plantel Ensenada

Emilio Rios MaciasDirector del Plantel San Quintín

MUNICIPIO DE ROSARITO

Manuel Ignacio Cota MezaDirector del Plantel Primo Tapia

Héctor Rafael Castillo BarbaDirector del Plantel Rosarito Bicentenario

MUNICIPIO DE TECATE

Christopher Díaz RiveraEncargado del Plantel Tecate

Dir

ecto

rio

 

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO

Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC: La educación es un valuarte que deben apreciar durante su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, dado la formación y calidad educativa que les ofrece la Institución y sus maestros.

Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado hace para brindarles educación media superior, a fin de que en lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional.

Esta administración tiene como objetivo crear espacios y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia y en su comunidad.

En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán del CECYTE BC.

Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos, para brindar y recibir una mejor educación en Baja California, ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y económico, y factor importante del progreso de México.

 

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN

Alumno de CECYTE BC:

La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social.

Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior, y ofrecerles programas de estudios tecnológicos que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores.

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación, y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro.

Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios.

La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda el sector productivo que se asienta en la región.

Además de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, por ser esta, una responsabilidad compartida.

Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel del CECYTE BC. Te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal, y a que utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

 

Adrian Flores Ledesma DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

Atentamente

PRESENTACIÓN

El libro que tienes en tus manos representa un importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus academias de profesores te proporciona material de calidad para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu preparación como Bachiller Técnico.

Los contenidos corresponden a los programas establecidos para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integral de la educación media superior, y enriquecidos por las competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.

Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria, convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrece para obtener una mejor formación académica.

Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del Colegio: sus Alumnos.

 

gradecimiento

Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico.

El Colegio

• MANUAL DE QUÍMICA II •Mario Báez VázquezASESOR ACADÉMICO DEL DIRECTOR GENERAL DEL CECYTEBC

• GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA •Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G.Andrés Aguilar MeztaDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• INGLÉS 2 •Mauro Alberto Ochoa SolanoAlonso Palominos TapiaBertha Alicia Canceco JaimeAlejandra AgúndezDOCENTES DEL PLANTEL ENSENADA

• QUÍMICA 2 •Saúl Torres AcuñaAgustín Valle RuelasDOCENTES DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• LECTURA, EXPRESIÓN ORAL Y ESCRITA 2 •María Guadalupe Valdivia MartínezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASMaría Elena Padilla GodoyCOORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL, D.G.

María Trinidad Salas LeyvaCAPTURISTA DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA, D.G.Lina Rodríguez EscárpitaENCARGADA DEL GRUPO OVIEDO MOTA

• CÁLCULO • Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• INGLÉS 4 • Adriana Cera MoralesDOCENTE DEL GRUPO PORTALESVerónica Murillo EsquiviasDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASManuel Arvizu Ruíz Joaquín Alberto Pineda Martínez Lina Roxana Cárdenas MezaJuan Olmeda González Juliana Camacho CamachoDOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• FÍSICA I • Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G. Juan Francisco Cuevas Negrete Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• ECOLOGÍA • Aidé Aracely Pedraza MendozaClara Angélica Rodríguez SánchezDOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTASGloria Mosqueda Contreras Sulma Loreto Lagarda LagardaPetra Cantoral Gómez Eva Pérez Vargas DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• MATEMÁTICAS APLICADA • Manuel Norberto Quiroz OrtegaSilvia Elisa Inzunza OrnelasDOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA Eloísa Morales CollínIsmael Castillo OrtízDOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS

• BIOQUÍMICA • José Manuel SotoDOCENTE DEL GRUPO PORTALESAidé Araceli Pedraza MendozaDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS Alejandra MachucaCristina FélixDOCENTES DEL PLANTEL MISIONESEnid Quezada MatusSergio Alberto Seym GuzmánDOCENTES DEL GRUPO CENTENARIO

Alberto Caro EspinoJEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIADenisse Samaniego ApodacaRESPONSABLE DE FORMACIÓN PROFESIONAL

SEGUNDO SEMESTRE

CUARTO SEMESTRE

SEXTO SEMESTRE

COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA

 

13  

ÍNDICE

UNIDAD I. Métodos de integración………………………………… 18

1.1 Inmediatas………………………………………………………………………… 18

1.2 Integración por partes……………………………………………………………. 21

1.3 Integración por sustitución o cambio de variable……………………………... 24

1.4 Integración por fracciones parciales……………………………………………. 27

UNIDAD II. La integral como área bajo la curva…………………. 37

2.1 Áreas por aproximación de límites de sumas…………………………………. 37

2.2 Suma de Riemann……………………………………………………………….. 43

2.3 Integral definida………………………………………………………………...… 45

2.4 Teorema fundamental del cálculo……………………………………………… 54

2.5 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas……………… 54

UNIDAD III. Aplicaciones de la integral…………………………… 57

3.1 Calculo de volúmenes…………………………………………………………… 57

3.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría……………………………….. 61

3.3 Aplicación del cálculo integral en la física……………………………………... 66

3.4 Aplicaciones a la economía…………………………………………………...… 68 

 BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………… 71

14  

15  

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

16  

UNIDAD I. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN COMPETENCIA: Formula y resuelve problemas relacionados con la integral indefinida, aplicando diferentes métodos. SABERES:

1. Inmediatas. 2. Integración por partes. 3. Integración por sustitución o cambio de variable. 4. Integración por fracciones parciales.

1. Inmediatas. Para el cálculo de integrales indefinidas por el método de integración inmediato se utilizan las reglas básicas de integración. Reglas básicas y propiedades de la integral indefinida:

1. Cdx =∫ 0 7. Cxsenxdx +−=∫ cos

2. Ckxkdx +=∫ 8. Cxxdx +=∫ tansec2

3. ∫∫ = dxxfkdxxkf )()( 9. Cxxdxx +=∫ sectansec

4. ∫∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 10. Cxxdx +−=∫ cotcsc2

5. 1,1

1

−≠++

=+

∫ nCnxdxx

nn (Regla de

la potencia)

11. Cxxdxx +−=∫ csccotcsc

6. Csenxxdx +=∫ cos

EJEMPLO 1: Encontrar: ∫ dxx512  

Utilizando la regla de la potencia 1,1

1

−≠++

=+

∫ nCnxdxx

nn :

Solución: Cxxx+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

6615

26

1215

12

17  

EJEMPLO 2:

Encontrar: ∫ dxx46

Solución: reescribimos ∫ − dxx 46 Cx

xx+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=−+−

3

314 23

614

6

 

  EJEMPLO 3: Encontrar: ( )∫ + dxxx 23

Solución: reescribimos ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ dxxx 23

1

cxxxxxx++=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

+=

++

23423

4113

331

43

22

3411

2

33

31

  

EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar” Individualmente completa la tabla reescribiendo la integral original y resuelve por el método de integración inmediata.

Integral original Reescribir Integrar Simplificar

1. ∫ dxx51

2. ∫ dxx

3. ∫ senxdx3

4. ∫ dxx3

5. ∫ + dxxx )4(

18  

EJERCICIO 2. En equipo de tres personas resuelve las siguientes integrales por el método de integración inmediata utilizando las fórmulas y reglas de integración. Ejercicios Solución

∫ + dxx )4( cxx ++ 421 2

∫ − dxx)3( cxx +− 2

213

∫ − dxxx )64( 2 cxx +− 32 22

∫ −+ dxxx )594( 23 cxxx +−+ 53 34

∫ ++ dxxx )34( 23

cxxx +++ 3252 22

5

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − dx

xx 1 cxx 2

123

232

−

∫ −+ dxxx )12)(2( cxxx +−+ 223

32 23

∫ − dxt 2)32( cttt ++− 9634 23

∫ + dxxsenx )cos24( csenx ++− 2cos4

∫ − dxxx )cotcsc4( cxx ++ csc4

SOLUCIONES: EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar”

1. cx

+− 441 2. cx +2

3

32 3. c+− cos3 4. cx +3

4

43 5.

cxx ++ 23 231

19  

1.2 Integración por partes.

De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la derivación por partes.

 '.'.)'.( vuvuvu += que se puede escribir dvuvduvud ..).( +=

Tomando integrales en los dos miembros de la igualdad tendremos:

∫ ∫∫ += dvuvduvud ..).(  

 

Teniendo en cuenta que la integral de la derivada de una función es la misma función y utilizando la notación de integral tendremos:

∫ ∫+= dvuvduvu ...  

Despejando llegamos a la fórmula de integración por partes

∫ ∫−= duvvudvu ...

que permite calcular la integral de un producto de dos funciones Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso. Teniendo en cuenta que dv = v’ y que du = u’ La fórmula también se puede escribir:

 

20  

Ejemplos:

1.- Hallar la ∫ xsenxdx Solución:

Sean

xu = du = dx dv = senxdx xv cos−= Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos: −x cos x − −cos xdx = −x cos x + cos xdx∫∫

dado que cos udu = senu + c∫ finalmente nos queda:

xsenxdx∫ = −x cos x + senx + c

2.- Hallar la x 2 ln xdx∫

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Solución:

Sean

u = ln x du =dx

x dv = x 2dx v =

x 3

3

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos: x 3 ln x

3−

1

3

x 3

xdx =∫ x 3 ln x

3−

1

3x 2dx =∫ x 3 ln x

3−

1

3

x 3

3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

por lo tanto:

x 2 ln xdx∫ = x 3 ln x

3−

x 3

9+ c

21  

3.- Hallar la x 1+ xdx∫

Solución:

Sean

u = x du = dx dv = 1+ xdx v =23

1+ x( )3

2

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

=2

3x 1+ x( )

32 −

2

31+ x( )

32 dx =

2

3x 1+ x( )

32 −

2

3

1+ x( )5

2

52

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

∫ = 23

x 1+ x( )3

2 −4

151+ x( )

52[ ]

por lo tanto:

x 1+ xdx∫ = 23

x 1+ x( )3

2 −4

151+ x( )

52 + c

4.- Hallar la sen 2xdx∫

Solución:

Sean

u = senx du = cosxdx dv = senxdx v = −cos x + c Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

−cos xsenx + cos x cos xdx =∫ − cos xsenx + cos2 xdx =∫

Aplicando la identidad senxcosx =12

sen2x

tenemos:−12

sen2x + 1− sen2xdx =∫ −12

sen2x + dx −∫ sen2xdx =∫

22  

ya que la expresión original es sen 2xdx∫ y nuevamente nos resulta en el

procedimiento, se procederá a sumar ambas expresiones:

sen2xdx =∫ −12

sen2x + dx −∫ sen2xdx =∫ 2 sen2xdx =∫ −12

sen2x + dx =∫ −12

sen2x + x

por lo tanto:

sen 2xdx∫ = −14

sen2x +x

2+ c

1.3 Integración por sustitución o cambio de variable.

Con un cambio de variables formal se puede reescribir la integral en términos de u y du (o cualquier otra variable), esto resulta útil para integrandos complicados. Si u=g(x) y du=g’(x) dx la integral toma la siguiente forma:

∫ ∫ +== cuFduufdxxgxgf )()()('))((

EJEMPLO 1:

Encontrar: ∫ − dxx 13

Solución: 13 −= xu dxdu 3= 3dudx =

∫∫ =−3

13 duudxx Integrar en términos de u.

cucuduu +=+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∫ 232

3

21

92

233

131

cx +− 23

)13(92 Resultado en términos de x.

23  

EJEMPLO 2:

Encontrar: ∫ − dxxx 13

Solución: 13 −= xu dxdu 3= 3dudx =

31+

=ux

∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−33

113 21 duuudxxx Integrar en términos de u.

cuucuuduuu ++=+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∫ 2

3252

325

21

23

272

452

23

259

191

cxx +−+−= 23

25

)13(272)13(

452 Resultado en términos de x.

EJEMPLO 3:

Encontrar: ∫ xdxxsen 2cos)2( 2

Solución: xsenu 2= xdxdu 2cos2= xdxdu 2cos2

=

∫∫ =2

2cos)2( 22 duuxdxxsen Integrar en términos de u.

cucuduu +=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫ 3

32

61

321

21

cxsen += 3)2(61 Resultado en términos de x.

24  

EJERCICIO 1. “Identificando a u y du” Individualmente completa la tabla identificando u y du para cada integral.

Integral en términos de x U du

1. ∫ + xdxx 8)24( 22

2. ∫ + dxxx 23

3. ∫ −dx

xx

22

4. ∫ + dxxx )6()42( 243

5. ∫ − 4)35( xdx

EJERCICIO 2. Individualmente integra con cambio de variable. Ejercicios Soluciones

∫ + dxx23 ( ) cx ++ 32331

∫ − xdx

21 cx +−− 21

∫ + dxxx 232

( ) cx ++32 23

91

∫ + 32 2xxdx cx ++ 32ln

41 2

∫ − 13

2

xdtx

cx +− 1

32 3

25  

( )∫ + dxx )4(41 4( ) cx ++ 541

51

∫ −− dxxx )2(3 2cx +− 2

32 )3(

32

∫ dtt4

1 ct +421

∫ − 32 )2( xxdx c

x+

− 22 )2(41

∫ − dxtt 12

( ) ( ) ( ) cttt +−+−−− 753 1

721

541

32

SOLUCIONES: EJERCICIO 1. “Identificando a u y du”

Número u Du

1 24 2 +x xdx8

2 23 +x dxx23

3 22 −x xdx2

4 42 3 +x dxx26

5 35 −x dx5

26  

1.4 Integración por fracciones parciales.

Función Raciona

Una función racional es aquella en que tanto el numerador como el denominador son expresiones en donde la variable tiene solamente exponentes enteros y positivos.

Es una función racional, donde P y Q son polinomios.

Si el grado de P es menor que el grado Q entonces f(x) es una fracción racional propia; en caso contrario es impropia.

Las fracciones racionales propias se pueden expresar como una suma de fracciones simples.

EJEMPLO 1. Calcular por fracciones parciales

Dividiendo entre x+3, entonces:

Para poder aplicar este método de integración, es importante recordar los siguientes puntos:

a) Factorización b) Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales c) Solución de integrales inmediatas.

27  

Una vez que Q(x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las fracciones parciales depende de la naturaleza de los factores lineales y cuadráticos. Se pueden presentar cuatro casos.

CASO 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos.

Factorizando denominador:

La descomposición por fracciones parciales seria:

Simplificando la fracción:

A=1

28  

Sustituyendo:

Simplificando

Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten

Por división sintética:

29  

Eliminando A de (1) y (2):

………(4)

Eliminando A de (1) Y (3)

Formando un sistema con (4) y (5)

 

 

 

CASO 3: Todos los factores cuadráticos del denominador son distintos

Resolver:

2x 2 + x

x 4 + 3x 3 + 4 x 2 + 3x +1dx =∫

30  

Resolviendo el denominador por división sintética

= x 3 + 2x 2 + 2x +1

= x 2 + x +1 = x +1( )2

A

x +1( )2 +B

x +1+

Cx + D

x 2 + x +1=

A x 2 + x +1( )+ B x +1( ) x 2 + x +1( )+ Cx + D( ) x +1( )2

x +1( )2x 2 + x +1( )

=

Ax 2 + Ax + A + Bx 3 + 2Bx 2 + 2Bx + B + Cx 3 + 2Cx 2 + Cx + Dx 2 + 2Dx + D

x +1( )2x 2 + x +1( )

=

x 3 B + C( )+ x 2 A + 2B + 2C + D( )+ x A + 2B + C + 2D( )+ A + B + D( )x +1( )2

x 2 + x +1( )

Formando un sistema de ecuaciones:

RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES

ELIMINANDO B DE (1) Y (2)

(-2)

1 3 4 3 1 -1 1 -1 -2 -2 -1 1 2 2 1 0

1 2 2 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 0

B +C =0 (1)A +2B +2C +D =2 (2)A +2B +C +2D =1 (3)A +B +D =0 (4)

B +C =0 (1)A +2B +2C +D =2 (2)

-2B -2C =0 (1)A +2B +2C +D =2 (2)

A +D =2 (5)

31  

Eliminando B de (1) y (3)

(-2)

ELIMINANDO B DE (1) Y (4)

(-1)

ELIMINANDO C DE (6) Y (7)

(-1)

B +C =0 (1)A +2B +C +2D =1 (3)

-2B -2C

=0 (1)

A +2B +C +2D =1 (3)

A -C +2D =1 (6)

B +C =0 (1)A +B +D =0 (4)

-B -C =0 (1)A +B +D =0 (4)

A -C +D =0 (7)

A -C +2D =1 (6)A -C +D =0 (7)

A -C +2D =1 (6)-A +C -D =0 (7)

D =1

32  

DESPEJANDO A DE (5)

A=2-D A=2-1 A=1

Despejando C de (6)

C=A+2D-1 C= (1)+2(1)-1 C=2

Despejando B de (1)

B=-C B=-(2) B=-2

Sustituyendo incógnitas en integral:

1

x +1( )2 +−2

x +1+

2x +1

x 2 + x +1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ dx∫ =

1

x +1( )2 dx − 21

x +1dx∫ +

2x +1

x 2 + x +1∫ dx∫ =

u = x + 1 u = x 2 + x +1

du = dx du = 2x +1( )dx

= u−2du − 2ln x +1[ ]+ ln x 2 + x +1[ ]∫

= −1

x +1− 2ln x +1[ ]+ ln x 2 + x +1[ ]+ c

CASO 4: Algunos factores cuadráticos del denominador se repiten. Por cada factor de la forma ax 2 + bx + c( )n

que resulte de la factorización de Q(x), le

corresponde una suma de n fracciones de la forma:

Ax + B

ax2 + bx + c( )n +Cx + D

ax 2 + bx + c( )n−1 = +.........+Lx + M

ax 2 + bx + c( )

33  

Ejemplo:

2x 3 + x + 3

x 2 + 2x 2 +1dx∫ =

factorizando el denominador:

x 2 + 2x 2 +1= x 2 +1( )2= x 2 +1( ) x 2 +1( )

como los factores cuadráticos se repiten:

2x 3 + x + 3

x 2 +1( )2 =Ax + B

x 2 +1( )2 +Cx + D

x 2 +1

2x 3 + x + 3

x 2 +1( )2 =Ax + B + Cx + D( ) x 2 +1( )

x 2 +1( )2 =Ax + B + Cx3 + Cx + Dx2 + D

x 2 +1( )2

Formando un sistema de ecuaciones:

DESPEJANDO A DE (3)

A=1-C A=1-2 A=-1

DESPEJANDO B DE (4)

B=3-D B=3-0 B=3

La integral a resolver es:

−x + 3

x 2 +1( )2 +2x

x 2 +1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ dx∫ =

−x + 3

x 2 +1( )2 dx +2x

x 2 +1dx∫∫

C =2 (1) D =0 (2)A +C =1 (3) B +D =3 (4)

34  

u = x 2 +1

du = 2xdx

32

u−2du + ln x 2 +1[ ]∫ =32

1u

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ + ln x 2 +1[ ]+ c=

= 3

2 x 2 +1( )+ ln x 2 +1[ ]+ c

1.- EJERCICIOS: Individualmente resolver las siguientes integrales por fracciones parciales

1.- x 2

x 2 + x − 6dx∫ Solución: −

95

ln x + 3[ ]+45

ln x − 2[ ]+ c

2.- 2x 2 + 3x + 2( )

x 3 + 4x 2 + 6x + 4dx∫ Solución: 2ln x + 2[ ]−

12

tan−1 x +1[ ]+ c

3.- x 2

2x 2 + 2x +1dx

−1

0

∫ Solución: 12

4.- 4x 2 − 5x − 20( )x 3 + 3x 2 −10x

dx∫ Solución: 2ln x[ ]+ 3ln x + 5[ ]−1ln x − 2[ ]+ c au

 

35  

UNIDAD II. LA INTEGRAL COMO ÁREA BAJO CURVA 2.1 Áreas por aproximación de límites de sumas.  

Notación sigma En el capitulo anterior se estudio la antiderivada. En esta capitulo se estudiara el problema de encontrar el área de una región en el plano. A primera vista estas dos ideas parecen no relacionarse entre sí. Aunque se estudiara que se relacionan de una manera muy estrecha por medio del teorema fundamental del cálculo. Por lo cual empezaremos estudiando la notación sigma. Debido a que se nota con la letra griega mayúscula sigma.∑.

Nota: los límites inferior y superior han de ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo el límite inferior no siempre tiene que ser uno, puede tomar cualquier valor menor o igual al límite superior. Ejemplo 1. Como desarrollar una sumatoria.

Notación sigma La suma de n términos a₁, a₂, a�,……an se escribe en notación matemática como

                                   

Donde i es índice de suma, ai es el i-esimo término de la suma y los limites superior e inferior de la suma son n y 1

36  

 d) 

  

e) 

f)  En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en forma de sumatoria, en los siguientes ejemplos intentaremos aclarar cómo se realiza.

Por ejemplo en la siguiente suma:  , el termino inicial es i =1 y el termino final es i = 19, la variación que se presenta es que el denominador es mayor por una unidad que el numerador, por ello una posible representación de la sumatoria es:

 Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se dice a las propiedades asociativas y conmutativas de la suma y de las propiedades distributivas de la suma sobre la multiplicación.(Primera propiedad, k es una constante).

 

       

37  

 

Teorema suma:  

   

El problema del área.

Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada por dicha figura. El área de un polígono puede definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto y se puede demostrar que el área obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en triángulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego Antifón alrededor del año 430 a.C. y se conoce como el "método del agotamiento".

Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Eudoxo consiguió de esta manera encontrar la fórmula para calcular el área de un círculo. Teniendo en cuenta el uso del método dado por Eudoxo, se lo conoce como método de exacción de Eudoxo y el mismo fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver problemas de este tipo.

Hasta aquí tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región y que, calcular áreas de regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no es fácil hallar el área de una región limitada por lados que son curvos. También podemos observar, sin mayores inconvenientes que:

• El área de una región plana es un número (real) no negativo. • Regiones congruentes tienen áreas iguales. • El área de la unión de dos regiones que se superponen sólo por un segmento es la suma de

las áreas de las dos regiones. • Si una región está contenida en una segunda el área de la primera es menor o igual que el

área de la segunda.

38  

Aproximación del área de una región plana. ¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos si conocemos la expresión analítica de la función que la limita? El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de , desde x = 0 a x = 3.

Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.

Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta región se puede encontrar usando dos rectángulos. La altura del primer rectángulo es f(0) = 3 y la altura del segundo rectángulo es  . El ancho de cada rectángulo es 1.5 

El área total de los dos rectángulos es:    

Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada uno de una unidad de ancho.  

39  

La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En todos los casos el ancho del sub-intervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad. El área total de los tres rectángulos es:  

 Área 8,0644 unidades cuadradas. Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es mayor que el área real buscada. Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo 0,5 unidades.

rectángulo  x  F(x)  Ancho de base  Área 

1  0  3  0.5  1.5 

2  0.5  0.5  1.4790 

3  1  0.5  1.4142 

4  1.5  0.5  1.2990 

40  

¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla para resolver este problema...?

Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de rectángulos es cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca cada vez más al área real de la región.

En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas cuando n crece indefinidamente, lo que puede escribirse:

Área = (suma de las áreas de los n rectángulo)

Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la comprensión intuitiva del Cálculo Integral.

Ejercicios de evaluación:

A. Desarrolla las siguientes sumas.

1. 6.-  

2. 7.

3. = 8. 4. =                                                                9.   

5. =                                                            10.    

5  2.0  0.5  1.1180 

6  2.5  0.5  0.8291 

      Área total   7.6395 U² 

41  

 B. expresa las siguientes sumas en notación de sumatorias. 11.      

       12.      

       13.         

       14.    

      15.     

      16.    

      17.    

      18.    

      19.    

      20.    

 

2.2 Suma de Riemann. Suma de Riemann como te darás cuenta las aproximaciones son mejor que las anteriores (entre mas rectángulos se tengan). Imagínense que ahora podemos dividir el intervalo en una infinidad de sub-intervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes e inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la curva seria ahora la función evaluada en cada sub-intervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto del límite tal como se hizo con la derivada, es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva como por encima de esta. En la definición de área, las particiones tenían sub-intervalos de igual ancho. Esto se hizo por conveniencia del cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es necesario tener sub-intervalos de igual ancho.                                                                                 

Ejemplo Una partición con anchos desiguales.

Considere la región acotada por la grafica de , como se muestra en la figura, encontrar el límite.

                             

42  

Donde ci es el punto terminal derecho de la partición dada por     y 

. 

Solución: el ancho del i-esimo intervalo esta dado por:

De tal modo el límite es:

       

  

C.   en n sub-intervalos iguales y finalmente calcule el área del poligonal circunscrito correspondiente.

21. f(x) = 2x +3; a=1, b=2 y n=3 22. f(x) = 3x-2; a=1, b=3 y n= 4 23. f(x)= x² + 2; a=0, b=2 y n= 6 24. f(x)= 2x² +1; a=-1, b=1 y n=8

Definición de la suma de Riemann. Sea f definida en el intervalo cerrado , y sea  una partición de dada por

 

Donde es el ancho del i-esimo sub-intervalo. Si ci es cualquier punto en el i-esimo sub-intervalo entonces la suma.

                                    

Se denomino suma de Riemann de f para la partición .

43  

2.3 Integral definida. Sea f una función continua definida para a ≤ x ≤ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos de igual ancho . Sean x0 = a y xn = b y además x0, x1,...., xn los puntos extremos de cada

sub-intervalo. Elegimos un punto ti en estos sub-intervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo sub-intervalo [xi−1, xi] con i = 1, .., n. Entonces la integral definida de f de a b es el número

.La integral definida es un número que no depende de

x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral. Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x. Observación: La suma     que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además sub-intervalos de distinta longitud.  

                                                                  Propiedades de la integral definida:

1. El valor de la integral def in ida cambia de signo si se permutan los l ímites de integración.

2. Si los l ímites que integración coinciden, la integral def in ida vale cero.

Signo de integración

Límite superior de integración

Límite inferior de integración

x, la variable a integrar

44  

3. Si c es un punto inter ior del intervalo [a, b] , la integral def in ida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b] .

4. La integral def in ida de una suma de funciones es igual a la suma de

integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Integral

Sea f( t ) una función cont inua en el intervalo [a, b] . A part i r de esta función se def ine la función integral :

Depende del l ímite superior de integración .

Para evi tar confusiones cuando se hace referencia a la var iable de f , se la l lama t , pero s i la referencia es a la var iable de F, se la l lama x.

Geométr icamente la función integral , F(x) , representa el área l imi tada por la curva y = f ( t ) , e l e je de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral , F(x), también se le l lama función de áreas de f en el intervalo [a, b] .

45  

La regla de Barrow dice que la integral def in ida de una función cont inua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la di ferencia entre los valores que toma una función pr imit iva G(x) de f(x) , en los extremos de dicho intervalo.

Ejemplos: Calcular las s iguientes integrales def in idas apl icando la regla de Barrow.

1.

                     

2. =  

 3 .  

                  

E l teorema fundamenta l de l cá lcu lo d ice que la der ivada de la func ión in tegra l de la func ión cont inua f (x) es la propia f (x) .

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la der ivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función cont inua y luego der ivar la se recupera la función or ig inal .

46  

Problemas propuestos:

1  

2  =   

3  

  . Evalúa las siguientes integrales. 

25.                                                             37).    

26.                                                                 38).    

27.                                                              39 .    

28.                                                             40).  = 

29.                                                41). 

30. 42)  

31. 43

32. 44)

33. 45)

34. 46)

35. 47)

36. 48)

 

47  

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es cont inua en un intervalo cerrado [a, b] , existe un punto c en el inter ior del intervalo ta l que:

Ejemplo: Hal lar e l valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1]. Como la función es cont inua en el intervalo [−4, −1], se puede apl icar el teorema de la media .

63= f (c)=21 3 =21 c=

La soluc ión posi t iva no es vál ida porque no pertenece al intervalo Área entre una función y el e je de abscisa.

48  

La función es posit iva Si la función es posi t iva en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica de la función está por encima del e je de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hal lar e l área seguiremos los s iguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el e je X, haciendo f(x)=0 y resolv iendo la ecuación. 2º El área es igual a la integral def in ida de la función que t iene como l ímites de integración los puntos de corte. Ejemplo:  

1. Calcular el área del rec into l imi tado por la curva y = 9 − x2 y el e je X . En pr imer lugar hal lamos los puntos de corte con el e je OX para representar la curva y conocer los l ímites de integración.

Como la parábola es s imétr ica respecto al e je Y, el área será igual a l doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

49  

2. Calcular el área l imi tada por la curva , y el e je X las rectas= 6, x=12

3. Calcular el área del t r iángulo de vért ices A(3, 0) , B(6, 3) ,C(8, 0) . Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

= =

=

50  

2. Cuando la función es negativa Si la función es negat iva en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica de la función está por debajo del e je de abscisas. El área de la función viene dada por:

Ejemplo

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje X.

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje x entre π/2 y 3π/2.

51  

4. Cuando la función toma valores positivos y negativos

En ese caso de que la grafica tiene zonas por abajo y por arriba del eje x. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites a integrar 3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo. 

Ejemplos:

1) Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas

correspondientes a x = 0 y x = 4.

52  

2.4 Teorema fundamental del cálculo.

Definimos la siguiente función: S(x) = ∫x

a

dx)x(f y por lo tanto S(x+Δx) = ∫Δ+ xx

a

dx)x(f

ΔS = S(x+Δx)-S(x)= ∫Δ+ xx

a

dx)x(f - ∫x

a

dx)x(f = x)c(fdx)x(fxx

x

Δ=∫Δ+

)c(fxS=

ΔΔ ⇒ )c(flim

xslim

0x0x →Δ→Δ=

ΔΔ ⇒ S'(x)=f(x) pues c tiende a x cuando incremento de x

tiende a cero. Por lo tanto S(x) es una primitiva de f(x). 2.5 Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas. El calcular el área comprendida entre dos unciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos

1). Calcular el área limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

53  

2) Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 en los puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

 

                                                      De x=0 x = 1, la recta queda por encima de la parábola

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola

Y=2x+2 y=x²+2 

54  

 

Evalúa las siguientes áreas bajo la curva.

1) Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, en el eje x y las ordenadas x = 2 y x = 8. 2) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 - x² en el eje  0X. 3) Calcular el área del triangulo de vértices A ( 3 , 0 ), B ( 6 ,3 ), C ( 8 ,0 ). 4) Calcular el área limitada por la grafica de las funciones y² = 4x e y = x². 5) Calcular el área limitada por la curva xy=36 en el eje X y las rectas x=6, x=12. 6) Calcular el área limitada por la curva y = 2(1- x²) y la recta y = -1. 7) Calcular el área del resinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los

puntos (-1, 0) y (1, 4).

8) Hal lar e l área l imi tada por la recta , e l e je de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

9) Calcular el área l imi tada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el e je de abscisas. 10) Hal lar el área de la región del p lano l imitada por las curvas y = ln x, y = 2 y

los ejes coordenados. 11) Calcular el área de la región del p lano l imi tada por el círculo x2 + y2 = 9. 12) Hal lar el área de una el ipse de semiejes a y b. 13) Calcular el área de la región del p lano l imitada por la curva: f (x) = |x2 − 4x

+ 3| y el e je OX. 14) Hal lar e l área de la f igura l imi tada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 15) Hal lar el área del recinto plano y l imi tado por la parábola y = 4x − x2 y las

tangentes a la curva en los puntos de intersección con el e je OX                   

55  

UNIDAD III. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

3.1 Cálculo de volúmenes.

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al g i rar la curva f(x) a lrededor del e je OX y l imi tado por x = a y x = b, v iene dado por :

Ejemplos

1. Hal lar el volumen engendrado por las superf ic ies l imi tadas por las curvas y las rectas dadas al g i rar en torno al e je OX:

y = sen x = 0x = π

2. Calcular el volumen del c i l indro engendrado por el rectángulo l imi tado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el e je OX al g i rar alrededor de este eje.

3. Calcular el volumen de la esfera de radio r .

Part imos de la ecuación de la c i rcunferencia x² + y² = r² .

Girando un semicírculo en torno al e je de abscisas se obt iene una

esfera.

56  

4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área l imi tada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, a lrededor del e je OY.

Como gira alrededor del e je OY, apl icamos:

El volumen será la di ferencia del engendrado por la recta y el

engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

Como la parábola es simétr ica con respecto al e je OX, el volumen es igual

a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

5. Hal lar el volumen del el ipsoide engendrado por la el ipse 16x2 + 25y2 = 400, al g i rar :

57  

1 Alrededor de su eje mayor.

2 Alrededor de su eje menor.

Como la el ipse es s imétr ica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de el ipse del pr imer cuadrante en ambos casos.

6. Calcular el volumen engendrado al g i rar a l rededor del e je OX el recinto l imi tado por las gráf icas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

58  

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

Evalúa los siguientes volúmenes.

1) Hal lar e l volumen del t ronco de cono engendrado por la rotación alrededor

OX del área l imi tada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4. 2) Calcular el volumen que engendra un tr iángulo de vért ices A(3, 0) , B(6, 3) ,

C(8, 0) a l g i rar 360° alrededor del e je OX.

3) Hal lar el volumen del t ronco de cono engendrado por el t rapecio que l imi ta el e je de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al g i rar alrededor de OX.

4) Calcular el volumen engendrado por una semionda de la s inusoide y = sen x, a l g i rar alrededor del e je OX.

5) Calcular el volumen engendrado al g i rar alrededor del e je OX el recinto l imi tado por las gráf icas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

6) Hal lar e l volumen del cuerpo revolución engendrado al g i rar alrededor del e je OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, e l e je de abscisas y las rectas x = 0 y x = π .

7) Calcular el volumen del cuerpo engendrado al g i rar alrededor del e je OX el recinto l imi tado por las gráf icas de y = 6x − x2 , y = x.

59  

8) Hal lar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al g i rar a l rededor del e je OX.

9) Hal lar el volumen de la f igura engendrada al g i rar la e l ipse alrededor del e je OX.

3.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría.

1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x² +2 que sea paralela a la recta 8x – y +3 = 0

Solución: y = 2x² +2 sea : m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = 4x (1) 8x – y +3 =0 ,  y = 8X +3      (2) Si m1 = 8 (3) Ahora como las dos rectas de interés son paralelas entre sí, tienen pendientes iguales, por lo que se iguala la ecuación (1) y (3) se obtiene: 4x =8 , x = 2 (4)

2) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva , que sea perpendicular a la recta  x - y =0

Solución:

Sea

60  

m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = -2/3 x (1) x – y = 0, y = x (2) Si m1 es la pendiente de la recta definida por (2) entonces m1 = 1 (3)

Ahora como las rectas referidas son perpendiculares entre si, el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es

(m)(m1) = -1 m = -1/m1 (4)

sustituyendo (3) en (4), se obtiene m = -1/1, m = -1 (5) Igualando (5) en (1), se obtiene

Para obtener la ordenada del punto de tangencia , sustituimos (6) en ecuación original, se tiene:   (7)

61  

De (5), (6) y (7) y la forma del punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:             

                  

                 

            Por lo tanto , es la ecuación buscada.

3) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva , en el punto (2,4) Solución:

Y = x³ -4 (0) Sea m= pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = 3x² (1) m(2) = 3(2)² = 3x4 =12 (2) el punto de tangencia P, coordenadas es P(2,4) (3) de (2) y (3) y la forma punto pendiente para la ecuación de una recta se tiene; y= 12 ( x – 2 ) - 4 , y = 12x – 28 por lo tanto 12x –y -28 =0 es la ecuación buscada.

grafica de ecuación

62  

4) Determine una ecuación de la recta normal de la curva y = 10(14 - x²) en el punto (4,5).

Solución: Y = 10 / (14 - x²) = (0)

Sea

m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces:

m = y' =  =           (1)

 = 20        (2) 

Hemos hallado que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (4. -5) tiene un valor numérico de 20.

Como la recta normal a la curva en un punto determinado es aquella recta perpendicular a la tangente en dicho punto, el valor de la pendiente m1 de la normal que buscamos es:

           (3) El punto tangente P, coordenadas, es P (4,-5) (4) De (3) y (4) y de la forma punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:

 

Por lo tanto x + 20y + 96 =0 ecuación buscada

63  

5) Determine una ecuación para cada una de las rectas normales de la curva y = x³ -4x, paralelas a la recta x +8y -8 =0

64  

3.3 Aplicación del cálculo integral en la física.

65  

 

66  

3.4 Aplicaciones a la economía. 

67  

68  

69  

BIBLIOGRAFÍA  

Calculo diferencial e integral Pearson (Pretice Hall) Purcell, Varberg, Rigdon Novena edición Calculo diferencial e integral Mc Graw Hill Larson-Hostetler- Eduards Séptima edición Cálculo trascendente temprano Internacional Thomson Editores Steward, James Quinta edición http://www.vitutor.com/index.html http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integracion-definida/html/integracion.pdf