Matematica Aplicada (Cuaderno)

MARCELA ORELLANA MATEMÁTICA 2 ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

1

UNIVERSIDAD DE CUENCA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS

CARRERA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

NOMBRE:

MARCELA ORELLANA

CURSO:

AE 02-01

MATERIA:

MATEMÁTICA

DOCENTE:

ING. PATRICIO DÍAZ

TRABAJO:

CUADERNO DIDÁCTICO (Límites, Derivadas, Trazos Y Funciones De Varias

Variables)

CUENCA-ECUADOR

2015


2

Índice del contenido Introducción………………………………………………………………………………………………………………….………….4 LIMITES

1. Limites………………………………………………………………………………………………………….………………5 1.1 teorema de límites……………………………………………………………………………………….………………5 1.2 ejercicios…………………………………………………………………………………………………….………………..6 1.3 límites de una función en un punto………………………………………………………….…………………..7 1.4 límites al infinito, infinitos y la ecuación de la asíntota………………………………..….7, 8, 9, 10 1.5 continuidad………………………………………………………………………………………………….………10, 11 1.6 condiciones y propiedades……………………………………………………………………………….….11, 12

DERIVADAS 2. concepto de derivadas………………………………………………………………………………….…………….12 2.1 definición matemática………………………………………………………………………………….……....12, 13 2.1.1 ejercicios de las derivadas………………………………………………………………………….…………….14 2.2 reglas para derivar………………………………………………………………………………………….…..…14, 15 2.2.1 teoremas para el cálculo de derivadas……………………………………………………….……….15, 16 2.2.2 otras notaciones para la derivada……………………………………………………………….……………16 2.2.3 derivadas elementales……………………………………………………………………………….…………….16 2.2.4 ejercicios de potencia y radicación…………………………………………………………….……….16, 17 2.3 derivadas de las funciones trigonométricas…………………………………………………….…………..18 2.4 derivadas de las funciones trigonométricas inversas…………………………………….…………….18 2.5 derivadas de las funciones logarítmicas……………………………………………………….………..19, 20 2.6 derivada de las funciones exponenciales…………………………………………………….……………….20 2.7 ejercicios de derivadas exponenciales y logarítmicas………………………………….…..…….20, 21 2.8 regla de la cadena ……………………………………………………………………………………….………..21, 22 2.8.1 aplicación de la regla de la cadena………………………………….……………………….……22, 23, 24 2.9 derivación de funciones implícitas……………………………………………………………….….………….24 2.9.1 aplicación derivada implícita…………………………………………………………………….….…….24, 25 2.10 derivadas sucesivas de una función………………………………………………………….….……..25, 26 2.11 ecuación de las rectas tangentes y normal a una curva…………………………….….……..26, 27

TRAZO DE CURVAS UTILIZANDO PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA 3. trazo de curvas utilizando la primera y segunda derivada…………………………….…..…..27, 28 3.1 extremos absolutos y relativos de funciones algebraicas y trascendentales…...28, 29, 30 3.2 criterios de la primera derivada y extremos relativos……………………………………….………..30 3.3 concavidad de funciones aplicando la segunda derivada……………………………………...30, 31 3.3.1 Asíntotas de una curva……………………………….………………………………………………….…….31 3.4 criterios de la segunda derivada para obtener máximos relativos y absolutos……….……32 3.5 extremos absolutos en un intervalo cerrado y abierto………………………………….…………….32 3.5.1 ejemplificación………………………………………………………………………………………..……………33 3.6 teorema del valor medio y teorema de Rolle……………………………………………………..…33, 34 3.7 regla de L’Hopital…………………………………………………………………………………………….……34, 35 3.8 criterio de la 2da derivada para extremos relativos de una función ……………….…….35, 36 3.9 optimización de funciones aplicados a la economía……………………………………….…………..36 3.10 ejercicios de optimización…………………………………………………………………….…..36-41

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4. funciones de varias variables……………………………………………………………………………………...41 4.1 funciones de dos o más variables…………………………………………………………………………….….42


3

4.1.2 aplicación de funciones de dos o más variables…………………………………………………..42, 43 Índice de cuadros, tablas e imágenes. CUADROS

Grafica 1: límites de una función………………………………………………….…………………….………..5 Grafica 2: límites al infinito…………………………………………………………………………….…………….9 Grafica 3: limites f(x)=3/7………………………………………………………………………………….………..10 Grafica 4: límites de continuidad infinita……………………………………………………….……………10 Grafica 5: límites de continuidad salto………………………………………………………….…………….10 Grafica 6: límites de continuidad evitable…………………………………………………….……………..11 Grafica 7: derivada……………………………………………………………………………………….……………..13 Grafica 8: ecuación de las rectas tangente y normal……………………………………………………26 Grafica 9: máximo relativo………………………………………………………………………….………………28 Grafica 10: máximo absoluto……………………………………………………………………….……………..28 Grafica 11: mínimo relativo………………………………………………………………………….……………..28 Grafica 12: mínimo absoluto………………………………………………………………………….……………29 Grafica 13: criterios de la primera derivada……………………………………………………….……….30 Grafica 14: punto de inflexión………………………………………………………………………….….………31 Grafica 15: concavidad…………………………………………………………………………………….…….……31

TABLAS Tabla 1: tablas de derivadas………………………………………………………………………….……...14, 15 Tabla 2: explicación regla de la cadena……………………………………………………………….………22

IMÁGENES Imagen 1: la derivada…………………………………………………………………………………………….……12 Imagen 2: trazo de curvas utilizando la primera y segunda derivada…………………….…….27 Imagen 3: criterio de la segunda derivada…………………………………………………………….…….35


4

INTRODUCCION: Para el cálculo con límites, teoremas de límites y derivadas, teoremas de las derivadas, la concavidad, optimización, etc., se explicará desde los conceptos aprendidos en clases reforzados con las definiciones que el libro “Matemática para Administración y Economía” nos trae, así mismo se realizara una breve explicación mediante los apuntes tomados y ejemplificándolos a través de ejercicios de gran variedad obtenidos del mismo libro así como de los que se ha visto en clases, con el objetivo de formar una guía teórica y practica con el cual se pueda seguir con el estudio de las derivadas, y nos permita avanzar con nuestros conocimientos, capacitándonos mediante la ejercitación de cada tema y subtema. Además cabe recalcar que el estudio de las derivadas así como de los trazos de las curvas es muy útil al momento de optimizar, pues en ejercicios de economía nos permite simplificar el proceso, siendo indispensable el conocimiento de resolución de los mismos puesto que se relacionan con nuestra carrera, y las actividades que como futuros administradores tendremos que desarrollar.


5

1. LÌMITES

Concepto: Diremos que el límite de una función f es A ( A puede ser cualquier número

real o ) cuando x se aproxima a a (a puede ser cualquier número real o ) si sucede

que cuanto más se concentran los valores de x en las proximidades de a , los valores

funcionales correspondientes se concentran en las proximidades de A . El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a. Y= 1/x

1.1 TEOREMAS

1) lim𝑘

𝑥→𝑎 = k

2)lim𝑥

𝑥→𝑎 = a

3) lim𝑥2

𝑥→𝑎 = 𝑎2

4) lim𝑥𝑛

𝑥→𝑎 = 𝑎𝑛

5) lim𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎 =

lim𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎 +/-

lim𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎

6) lim𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎 =

lim𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎 *

lim𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎

7) lim

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝑥→𝑎 =

lim𝑓(𝑥)

lim𝑔(𝑥)

8) lim √𝑓(𝑥)

𝑛

𝑥→𝑎 = √

lim√𝑥

𝑥→𝑎

Gráfica 1: límites de una función

X Y

0,5 2

0,25 1

0,1 10

0,01 100

0,001 1000

x y

-0,5 -2

-0,25 -1

-0,1 -10

-0,01 -100

-0,001 -1000


6

1.2 EJERCICIOS

Ejercicios

lim𝑥→2

7 = 7

lim𝑥→6

𝑥2 = 62 = 36

lim𝑥→2

𝑥4 = 24 = 16

lim𝑥→2

(𝑥2 + 𝑥) = lim𝑥→2

𝑓(𝑥)𝑥2 ± lim𝑥→2

𝑔(𝑥)𝑥

= 22 + 2

= 4 + 2 = 6

lim𝑥→−3

(𝑥3 + 4𝑥2 − 7) = lim𝑥→−3

𝑓(𝑥)𝑥3 +

lim𝑥→−3

𝑔(𝑥)4𝑥2 − lim𝑥→−3

ℎ(𝑥)7

= (−3)3 +

4(−3)2 − 7

= −27 + 36 − 7 =

2

lim𝑥→1

2𝑥2+𝑥−3

𝑥3+4=

lim𝑥→1

2𝑥2+lim𝑥→1

𝑥−lim𝑥→1

3

lim𝑥→1

𝑥3+lim𝑥→1

4=

2+1−3

1+4=

0

5= 0

lim𝑡→4

√𝑡2 + 1 =√lim𝑡→4

𝑡2 + lim𝑡→4

1 =

√16 + 1 = √17 = 4.12

lim𝑥→3

√𝑥2 + 73

= √lim𝑥→3

𝑥2 + lim𝑥→3

73 =

√9 + 73

= √163

= 2.52

lim𝑥→1

𝑥3−1

𝑥−1=

lim𝑥→1

𝑓(𝑥)𝑥3−lim𝑥→1

𝑔(𝑥)1

lim𝑥→1

𝑓(𝑥)𝑥−lim𝑥→1

𝑔(𝑥)1=

13−1

1−1=

0

0

lim𝑥→−1

𝑥2−1

𝑥+1= lim

𝑥→−1

(𝑥+1)(𝑥−1)

(𝑥+1)= lim

𝑥→−1𝑥 −

1 = −1 − 1 = −2

lim𝑥→1

𝑥2 + 𝑥 + 1 = 12 + 1 + 1 = 3


7

1.3 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

LÍMITES LATERALES FINITOS. Límite por la izquierda:

Se dice que Axflímax

)( si cuando x toma valores próximos a a , por su izquierda,

)(xf toma valores cada vez más próximos al número A .

Límite por la derecha:

Se dice que Axflímax

)( si cuando x toma valores próximos a a , por su derecha,

)(xf toma valores cada vez más próximos al número A .

LÍMITES LATERALES NO FINITOS. Límite por la izquierda:

Se dice que

)(xflímax

si cuando x toma valores próximos a a , por su izquierda,

)(xf toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy

grande que éste sea. Límite por la derecha:

Se dice que

)(xflímax

si cuando x toma valores próximos a a , por su derecha,

)(xf toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy

grande que éste sea.

1.4 LIMITES AL INFINITO, INFINITOS Y LA ECUACIÒN DE LA

ASINTOTA.

Límites al infinito

Asíntotas horizontales

lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Ramas infinitas cuando x .

Hay varios tipos de ramas infinitas cuando x :

Asíntota Horizontal.- Si se verifica que Axflímx

))(( decimos entonces que la recta

de ecuación Ay es Asíntota Horizontal de la función.

La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de Axf )( .

Ejemplo:

La función 3

2

x

xy tiene una Asíntota Horizontal 2y , se cumple que:

2))((

xflímx

y 2))((

xflímx

, la posición de la curva respecto a la Asíntota la

determina el signo de la diferencia entre los valores:


8

asíntotadebajofnegativox

asíntotaencimafpositivox

xx

xAxf

3

62

3

2)(

(Tiene además una Asíntota vertical en 3x )

Límites infinitos

Asíntotas verticales

.lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ±∞

. 𝑦 =1

𝑥

Rama infinita en x=a. Asíntota Vertical. Las únicas ramas infinitas que se pueden encontrar en valores concretos de la abscisa

)( ax son las ramas asintóticas verticales.

Así, si una función )(xf verifica que

)(xflímax

decimos que )( ax es una

Asíntota Vertical de dicha función. La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de los límites laterales. Ejemplo:

Las Asíntotas verticales de la función xx

xxf

2

2)(

2

2

son: 20 xyx

Ecuación de la asíntota

𝒙 = 𝒂

Ejemplos:

𝒇(𝒙) =𝟓𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟏

𝟕𝒙𝟑−𝟓𝒙+𝟏

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝒇(𝒙)

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟓𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟏/𝒙𝟐

𝟕𝒙𝟑−𝟓𝒙+𝟏/𝒙𝟐

lim−𝑥→−3

𝑓(𝑥) = lim𝑥→∞

5𝑥2+3𝑥−1

𝑥3

7𝑥3−5𝑥+1

𝑥3

lim𝑥→∞

5𝑥2

𝑥3+3𝑥

𝑥3−

1

𝑥3

7𝑥3

𝑥3−5𝑥

𝑥3+

1

𝑥3

𝑔(𝑥) =3𝑥4−1

7𝑥−2

lim𝑥→∞

𝑔(𝑥)


9

lim𝑥→∞

3𝑥4−1/𝑥4

7𝑥−2/𝑥4

lim𝑥→∞

3𝑥4−1

𝑥4

7𝑥−2

𝑥4

lim𝑥→∞

3𝑥4

𝑥4−

1

𝑥4

7𝑥

𝑥4−

2

𝑥4

ln(𝑥) =3𝑥2−2𝑥+1

7𝑥2+4

lim𝑥→∞

ln(𝑥)

lim𝑥→∞

3𝑥2−2𝑥+1/𝑥2

7𝑥2+4/𝑥2

lim𝑥→∞

3𝑥2−2𝑥+1

𝑥2

7𝑥2+4

𝑥2

lim𝑥→∞

3𝑥2

𝑥2−2𝑥

𝑥2+

1

𝑥2

7𝑥2

𝑥2+

4

𝑥2

Este procedimiento solo sirve para las funciones que tienen numerador y

denominador polinomiales al analizar límites al infinito.

lim𝑥→∞

5

𝑥+

3

𝑥2−

1

𝑥3

7−5

𝑥2+

1

𝑥3

=0

7= 0

Si el grado de polinomio del numerador es

menor al del denominador es 0.

lim𝑥→∞

3−1

𝑥4

7

𝑥3−

2

𝑥4

=3

0= ∞

Si el grado del polinomio del numerador es mayor al del denominador se hace infinito.

lim𝑥→∞

3−2

𝑥+

1

𝑥2

7+4

𝑥2

=3

7

Gráfica 2: límites al infinito f(x)=0


10

Si el grado del polinomio del numerador es el mismo que el del denominador es igual

al coeficiente del numerador sobre el coeficiente del denominador.

1.5 CONTINUIDAD

Infinito

Salto

Gráfica 3: límites f(x)= 3/7

Gráfica 4: límites continuidad Infinita

Gráfica 5: límites Continuidad salto


11

Evitable

Diremos que una función )(xfy es continua por la derecha en un punto de su

dominio ax si se cumple )()( afxflímax

Diremos que una función )(xfy es continua por la izquierda en un punto de su

dominio ax si se cumple )()( afxflímax

Diremos que una función )(xfy es continua en un intervalo cerrado ba, si:

1. )(xfy es continua en el intervalo abierto ba,

2. )(xfy es continua por la derecha en ax

3. )(xfy es continua por la izquierda en bx

1.6 CONDICIONES Y PROPIEDADES

Continuidad en un punto

Deben cumplirse todas estas condiciones:

1. 𝑓(𝑎)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎

2. lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

lim−𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim+

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

3. 𝑓(𝑎) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

Propiedades De Las Funciones Continuas

Sean )(xf y )(xg dos funciones continuas en ax se tiene entonces que:

Gráfica 6: límites Continuidad evitable


12

1. )()( xgxf es continua en ax

2. )().( xgxf es continua en ax

3. )(

)(

xg

xf es continua en ax

4. )()( xgxf es continua en ax ( suponiendo 0)( af )

2. DERIVADA

CONCEPTO: (TASA DE CAMBIO PROMEDIO) En una relación lineal entre dos

variables: y = mx + b , sabemos que la pendiente m es la razón de cambio entre las

variables y y x . La razón de cambio es constante si la relación entre las variables es

lineal. El problema empieza a complicarse cuando pensamos en relaciones entre las

variables que no son lineales.

Normalmente se piensa que una de las

variables es función de la otra. Esto es y =

f (x).

Normalmente habrá puntos de la gráfica de

la función donde suben más que en otros

puntos y otros incluso bajan.

Una manera de medir la relación entre los cambios de dos variables relacionadas es a

través dela tasa o razón de cambio promedio.

2.1 DEFINICION MATEMÁTICA DE DERIVADA

DEFINICION: La tasa de variación media de una función y = f(x) en el intervalo [x1, x1

+ h],con h ≠0, viene dada por:

𝑡𝑚[𝑥1, 𝑥1 + ℎ] =∆𝑓

∆𝑥=𝑓(𝑥1 + ℎ) − 𝑓(𝑥1)

ℎ

Así pues, si el incremento medio de una función en un intervalo se mide por la derivada de dicha función en ese intervalo, el incremento instantáneo de una función en un punto se mide por la pendiente de la recta tangente a esa función en dicho punto.

Esa pendiente de la recta tangente a )(xf en el punto ))(,( afaA , que se

designa por )(af , se obtiene mediante el siguiente límite:

Imagen 1: La derivada


13

h

afhafaf lím

h

)()()(

0

Para que este límite exista, sabemos que han de existir los límites laterales

correspondientes, que en este caso se les denomina derivadas laterales y se obtienen:

h

afhafaf lím

h

)()()(

0

es la derivada por la izquierda de )(xf en A

h

afhafaf lím

h

)()()(

0

es la derivada por la derecha de )(xf en A .

Si las derivadas laterales existen y valen lo mismo, es decir, )()( afaf

diremos que la función )(xf es derivable en A y su valor es:

)()()( afafaf

Ejemplo.-

Sea la función 2)( xxg . Calcula la derivada, si existe, en el punto 1a

22

211)1()1()1(

0

2

0

2

00

hh

hh

h

h

h

ghgg límlímlímlím

hhhh

22

211)1()1()1(

0

2

0

2

00

hh

hh

h

h

h

ghgg límlímlímlím

hhhh

2)1()1()1( ggg

La función 2)( xxg es derivable en 1a y su derivada vale: 2, que como ya

sabemos es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto de abscisa

1a .


14

2.1.1 EJERCICIOS DE LAS DERIVADAS.

1. 53)( 2 xxxf -> = 16 x

2. 656)( 2 xxxf = 512 x

3. 133)( 23 xxxxf = 363 2 xx

4. xxxf 34)( = 112 2 x

2.2 REGLAS PARA LAS DERIVADAS

Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones.

Tabla de derivadas

Suma gfgf

Constante fkkf

Producto gfgfgf

.

Cociente

2g

gfgf

g

f

Composición xgxgfxgf

-1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

A

pendiente=2

g(x)

tangente a g(x)

en x=a

Grafica 7: derivada


15

Inversa

xffxf

1

1 1

Potencias

22

1

21

11

1)

11)

2)

2

1)

))

xf

xf

xfB

xx

xA

xf

xfxfB

xxxA

xfxfnxfBxnxAnnnn

Trigonométricas

Funciones arco

xf

xfxarctgfB

xarctgxA

xf

xfxfB

xxA

xf

xfxarcsenfB

xarcsenxA

xfxftgxtgfBxtgtgxA

xfxsenfxfBsenxxA

xfxfxsenfBxsenxA

22

22

22

22

1)

1

1)

1arccos)

1

1arccos)

1)

1

1)

1)1)

cos)cos)

cos)cos)

Exponenciales

Logarítmicas

axf

xfxfB

axxA

xf

xfxfB

xxA

axfaaBaaaA

xfeeBeeA

aa

xfxfxx

xfxfxx

ln

1lg)

ln

11lg)

ln)1

ln)

ln)ln)

))

2.2.1 TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS.

Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una

función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se obtienen a

partir de la definición.

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) =2

3𝑥2

Transformando la función a la forma de potencia

𝑓(𝑥) =2

3 𝑥−2

Tabla 1: tabla de derivadas


16

Aplicando el teorema y simplificando, se tiene la derivada de la función.

𝐷𝑥𝑓(𝑥) =2

3(−2𝑥−3)

= −4

3𝑥−3

= −4

3𝑥3

2.2.2 OTRAS NOTACIONES PARA LA DERIVADA

Si )(xfy , la deriva de )(xf se puede anotar de las siguientes formas:

)()(' )1( xfdx

dyxf , Dx.

2.2.3 DERIVADAS ELEMENTALES

1. Si nxxf )( ;

1)(' nxnxf

2. Si Cxf )( , con C una constante ; 0)(' xf

3. Si xbxf )( ; )ln()(' bbxf x

4. Si xexf )( ;

xexf )('

5. Si )(log)( xxf b ; )ln(

1)('

bxxf

6. Si )ln()( xxf ; x

xf1

)('

2.2.4 EJERCICIOS DEL TEOREMA (POTENCIACION Y

RADICACION)

Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = −3𝑥−3 = 9𝑥−4

2. 𝑓(𝑥) = −8

𝑥10= -80𝑥−11

3. 𝑓(𝑥) =3

5𝑥5 = −6𝑥−6

4.𝑓(𝑥) = √𝑥6

= 1

6 √𝑥56


17

5. 𝑓(𝑥) = 3𝑥−5 + 2𝑥−3 =−15𝑥−6 − 6𝑥−4

Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) f (t) = t 2 +1( ) × t 3 + t 2 +1( ) = tttttt 21231 2322

b) f (z) =1

2z-

1

3z2 =

42 9

6

2

1

z

z

z

=

32 3

2

2

1

zz

c) f (t) =t -1

t 2 + 2t +1 =

22

2

)12(

)22)(1(12

tt

tttt = 31

3

t

t

d) f (x) =3x

x3 + 7x - 5 =

23

23

57

)73(3)57(3

xx

xxxx =

23

3

57

156

xx

x

e) f (x) =5 - 4x2 + x5

x3 =

6

25234 3)45()58(

x

xxxxxx =

4

25 1542

x

xx

f) f (x) = 4 x5 +2

x =

12

112

5

2

12

2

54

xx = 2

32

3

10

xx

Otros ejemplos: Ejemplo: Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) =3𝑥2−2𝑥

3𝑥

Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma:

𝐷𝑥 [𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

Aplicando el teorema:

=3𝑥(6𝑥 − 2) − (3𝑥2 − 2𝑥)(3)

(3𝑥)2=18𝑥2 − 6𝑥 − 9𝑥2 + 6𝑥

9𝑥2

=9𝑥2

9𝑥2= 1

1. 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2)(𝑥3 + 1) = 5𝑥4 + 6𝑥2 + 2𝑥

2.𝑓(𝑥) =1

3𝑥2+1 =

−6𝑥

(3𝑥2+1)2

3. 𝑓(𝑥) =𝑥−1

𝑥+1=

2

(𝑥+1)2

4. 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)2= 2x-2

5.𝑓(𝑥) = √(2𝑥2 − 3𝑥 + 1)35

= 12𝑥−9

5 √(2𝑥2−3𝑥+1)25


18

2.3 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

DIRECTAS.

La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtiene aplicando los

teoremas correspondientes.

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) = tan 4x3 − 2cotx2 + sec(2x − 1)

Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los teoremas

correspondientes para obtener la derivada de cada término y simplificando, se tiene:

Dxf(x) = sec24x3Dx(4x3) + 2csc2x2Dx(x

2)

+sec(2x − 1) tan(2x − 1)Dx(2x − 1)

= 12x2sec24x3 + 4xcsc2x2 + 2 sec(2x − 1) tan(2x − 1)

Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientes funciones

1. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 − 1) = 3 cos (3x-1)

2. 𝑓(𝑥) = tan √𝑥3

= 𝑠𝑒𝑐2 √𝑥

3

3 √𝑥23

3. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛5𝑥 + cos 5𝑥=5 cos 5x- 5 sen 5x

4. 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛5𝑥5 =25𝑥4𝑡𝑎𝑛4𝑥5𝑠𝑒𝑐2𝑥5

5. 𝑓(𝑥) = cos(tan 3𝑥)= −3𝑠𝑒𝑐23𝑥𝑠𝑒𝑛(tan 3𝑥)

2.4 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS.

A continuación se mostrara como calcular derivadas de las funciones

trigonométricas pero inversas mediante el siguiente ejercicio:

Consideremos que representaremos lo que se encuentra dentro del paréntesis con

una letra, en este caso u, para la mayor comprensión.

Ejemplo: Calcule la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(4 − 5𝑥3)

Sí u= 4-5𝑥3, utilizando el teorema 𝐷𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑢 =1

√1−𝑢2𝐷𝑥𝑢 se tiene:


√1 − (4 − 5𝑥3)2𝐷𝑥(4 − 5𝑥3)

=−15𝑥2

√1 − (4 − 5𝑥3)2


19

2.5 DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS.

Para calcular la derivada de una función logarítmica, se procederá de la siguiente

manera:

Ejemplo: Calcule la derivada de la función log3(𝑥3 − 𝑥2 + 1)

Considerando u= 𝑥3 − 𝑥2 + 1 , aplicando el teorema

𝐷𝑥 log𝑎 𝑢 =1

𝑢log𝑎 𝑒𝐷𝑥 𝑢 Se tiene:


𝑥3 − 𝑥2 + 1log3 𝑒 (3𝑥

2 − 2𝑥)

=3𝑥2 − 2𝑥

𝑥3 − 𝑥2 + 1log3 𝑒

Ejemplo: Determine la derivada de la función 𝑦 = ln(6𝑥2 + 3𝑥)

Considerando 𝑢 = 6𝑥2 + 3𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 ln 𝑢 =1

𝑢𝐷𝑥𝑢, se tiene

𝐷𝑥𝑦 =1

6𝑥2 + 3𝑥(12𝑥 + 3)

=12𝑥 + 3

6𝑥2 + 3𝑥

La derivada logarítmica es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la

derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de

teoremas para el cálculo de derivadas.

Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los logaritmos:

a) ln 𝐴𝐵 = ln𝐴 + ln𝐵

b) ln𝐴

𝐵= ln𝐴 − ln𝐵

c) ln 𝐴𝑛 = 𝑛 ln𝐴

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥5𝑥

Igualando la función con y

𝑦 = 𝑥5𝑥

Aplicando el logaritmo natural

ln 𝑦 = ln 𝑥5𝑥

Aplicando la propiedad de los logaritmos

ln 𝑦 = 5𝑥 ln 𝑥


20

Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad

1

𝑦𝐷𝑥𝑦 = 5𝑥𝐷𝑥 ln 𝑥 + ln 𝑥 𝐷𝑥(5𝑥)

= (5𝑥)1

𝑥+ 5 ln 𝑥 = 5 + 5 ln 𝑥

Despejando 𝐷𝑥𝑦 𝐷𝑥𝑦 = 𝑦(5 + 5 ln 𝑥)

Sustituyendo 𝑦 = 𝑥5𝑥

𝐷𝑥𝑥5𝑥 = 5𝑥5𝑥 + 5𝑥5𝑥 ln 𝑥

2.6 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.

Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los teoremas

correspondientes, los cuales pueden ser consultados en el libro de texto, en formulario

o prontuario.

Ejemplo: Obtener la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥2+𝑥

Considerando 𝑢 = 𝑥2 + 𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎𝐷𝑥 𝑢, se tiene:

𝐷𝑥𝑓(𝑥) = 7𝑥2+𝑥 ln 7𝐷𝑥 (𝑥

2 + 𝑥)

Calculando la derivada indicada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la

función

= (2𝑥 + 1)7𝑥2+𝑥 ln 7

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑔(𝑥) = 𝑒cos2𝑥

Considerando 𝑢 = cos2𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥𝑒𝑢 = 𝑒𝑢𝐷𝑥𝑢, se tiene:

𝐷𝑥𝑔(𝑥) = 𝑒cos2𝑥𝐷𝑥 cos 2𝑥

Calculando la derivada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función

= −2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑒cos2𝑥

2.7 EJERCICIOS EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

Determine la derivada de las siguientes funciones:

a)xexxf )( =

xx exe

b) )ln()( 2 xxxf = x

xxx1

)ln(2 2 = xxx )ln(2

c) xe

xxf

4

)( = x

xx

e

exex2

434 =

xe

xx 434


21

d) )ln(

)(x

exf

x

= )(ln

)ln(

2 x

x

exe

xx

e)x

xxf

)ln()( =

2

)ln(1

x

xxx

= 2

)ln(1

x

x

f) xxxf 2)( 2 = )2ln(222 2 xx xx

En cada caso, determine dx

dy:

a) 632 23 xxy = xx 66 2

b) cbxaxy 2- = bax 2

c) xxy ln = 1ln x

d) xe

xy

2

=

222

x

xx

e

exex

e) x

yx

log

6 =

2log

10ln

6log6ln6

x

xx

xx

2.8 REGLA DE LA CADENA

Derivada de funciones compuestas.

Al estudiar funciones, se definió a la composición como una operación que permite

obtener una nueva función a partir de una o más conocidas y consiste en evaluar una

función en otra, es decir xgffog .

En consecuencia para derivar este tipo de funciones se debe derivar las dos funciones,

la función interna g y la función externa f, por medio de la regla de la cadena la cual se

enuncia a continuación:


22

Regla de la cadena

Si y=f(x) , y=g(x) son ambas derivables, entonces su composición fog=f(g(x))

es una función derivable y su derivada viene dada por:

(fog)’ = f’ (g(x)) . g’(x)

Regla de la cadena en notación de Leibniz

Si y=f(t) , y además t=g(x) son dos funciones diferenciables, entonces:

dx

dt

dt

dy

dx

dy

2.8.1 APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA

Hallar la derivada de 32 )1( xy

2222

2223

3223

)1(6)2()1(3)(')](['',Finalmente

2)('además

)1(3)](['y3)('entonces,)(Pero

)(')]([''tantoPor

)1()]([entonces1)()(Sea:Solución

xxxxxgxgfy

xxg

xxgfxxfxxf

xgxgfy

xxgfyxxgyxxf

Otra Forma De Calcular:

Si y es derivable en u y u es derivable en x , entonces y es una función compuesta

de x y:

dx

du

du

dy

dx

dy

Ejemplo1. Hallar ,dx

dysi 2y13 223 xuuuy :

Solución:

dx

du

du

dy

dx

dy ; Pero )63( 2 uu

du

dy y además

dx

du x2 , entonces:

Derivada de la función externa,

evaluada en la interna Derivada de la función

interna

Multiplicada por

Tabla 2: Explicación Regla de la Cadena


23

dx

dy)63( 2 uu . xxxx 2)].2(6)2(3[2 222 Sacamos factor común y queda

dx

du= )2(6)2)()(2(32)].2)2)((2(3[ 232222 xxxxxxxx

O sea, dx

du)2(6 23 xx

Ejemplo 2: Hallardx

dy cuando 13y

1si1 2

xu

u

uyx

Solución:

222 )1(

6entonces6y;

)1(

1

)1(

)1()1(pero;

u

x

dx

dyx

dx

du

uu

uu

du

dy

dx

du

du

dy

dx

dy

Ahora, 3

2

9

6entonces

)3(

)1(6entonces1si

2

dx

dyx

Si y = 𝟐𝒖+𝟑

𝒖𝟑−𝟐 y = u =

𝒙+𝟒

(𝟐𝒙+𝟑)𝟐 Encuentre

𝒅𝒚

𝒅𝒙 cuando x= -1, redondee su respuesta a

dos decimales

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢.𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

(24+3)(3𝑢2)−(2)(𝑢3−2)

(𝑢3−2)2 .

(1)(2𝑥+3)3(𝑥+4).3(2𝑥+3)2(2)

(2𝑥+3)3)2

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

[2(3)+3][3(3)2]−(2)[(3)3−2]

[(3)3−2]2 .

(1)[2(−1)+3]−(−144)−3[2(−1)+3]2(2)

((2(−1)+3)3)2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

243−50

625 .3.3(1).2−1

1 =

193

625. 17 =

3281

625 = 5.25

F(1) = ln (1+l+𝒍𝟐+𝒍𝟑)

F (l) = 1

𝟏+𝐥+𝒍𝟐+𝒍𝟑 [1 + 2𝑙 + 3𝑙2]

F’ (l) = 1+2𝑙+3𝑙2

𝟏+𝐥+𝒍𝟐+𝒍𝟑

Y = 𝟏+𝒆𝒙

𝟏−𝒆𝒙

Y’= (1−𝑒𝑥)𝑒𝑥−(1+𝑒𝑥)(−𝑒𝑥)

(1−𝑒𝑥)2

Y’ = 2𝑒𝑥

(1−𝑒𝑥)2

Y= (𝒙𝟐+𝟏)𝟏/𝟐(𝒙𝟐+𝟐)𝟏/𝟑

(𝟐𝒙𝟑+𝟓𝒙)𝟐/𝟓


24

In y = 1

2 In (𝑥2 + 1) +

1

3 In (𝑥2 + 2) -

2

5 In (2𝑥3 + 6𝑥)

𝑦′

𝑦=

1

2(

1

𝑥2+1) (2𝑥) +

1

3 (

1

𝑥2+2) (2x) -

2

5 (

1

2𝑥3+6𝑥) (6𝑥2 + 6)

Y’ = y [𝑥

𝑥2+1+

2𝑥

3(𝑥2+2)−

6(𝑥2+1)

5(𝑥3+3𝑥)]

Y’ = (𝑥2+1)1/2(𝑥2+2)1/3

(2𝑥3+6𝑥)2/5 [

𝑥

𝑥2+1+

2𝑥

3(𝑥2+2)−

6(𝑥2+1)

5(𝑥3+3𝑥)]

2.9 DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.

Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia

ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función

implícita se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto

a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al

derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena.

Sea una función 2x4x3y 3 donde y es función de x. Esta ecuación se puede

escribir como yx4x32 3 e incluso como 4y2x8x6 3 . En este caso se

puede decir que y es una función implícita de x ya que está definida mediante una

ecuación en donde y, la variable dependiente, no es dada de manera directa.

La función 0x4xf3 2 está escrita de manera implícita para x, variable

independiente, y f(x), variable dependiente. Escribir la ecuación de manera no implícita

3

x4xf

2

2.9.1 APLICACIÓN DE DERIVADA IMPLICITA.

Ejemplo 1: Sea 6y

x

3

y , escribir la ecuación de manera no implícita y determinar

la o las funciones que describe.

0318

183

63

3

2

2

2

xyy

yxy

y

xy

Para poder despejar y como función de x, habría que resolver la fórmula general.

2

x12324182

x1232418

2

x1232418y

12

x3141818y

2


25

Este resultado implica que tenemos dos funciones de x descritas por la misma ecuación.

Ejemplo 2. Sea la función 1x37xy2y 3 , hallar la derivada dx

dy.

En éste ejemplo, se utilizará la notación dx

dyy

Se busca la derivada de la expresión 1x37xy2y 3 .

De la regla de la cadena, se sabe que dx

du

dx

dfxuf

dx

d , lo cual puede expresarse

para potencias como dx

duuxu

dx

d 1nn .

Por lo tanto , yy3ýydx

d 233 .

En cuanto al segundo término, éste cuenta con un producto de dos funciones, por tal ,

´xy2y2´xy2´x2y´xy2 .

x2y3

y23y

y23x2y3y

y23´xy2yy3

3´xy2y2yy3

2

2

2

2

Ejemplo 3. Encontrar la derivada de y suponiendo que la ecuación

x3x53y2 332 describe una función derivable y que y=f(x).

22

2

222

222

332

3y2y12

3x15y

3x153y2ýy12

3x15ýy43y23

x3x53y2

2.10 DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN

Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una

nueva función, la cual se puede dividir nuevamente. A la derivada de la derivada de una

función se le llama segunda derivada y a las derivadas obtenidas a partir de la segunda,

se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada

la ordinaria.

Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función

𝑓(𝑥) = 𝑥7 + 2𝑥6 − 5𝑥4 + 8𝑥3 − 2𝑥 + 2

La primera derivada de la función es:


26

𝐷𝑥𝑓(𝑥) = 7𝑥6 + 12𝑥5 − 20𝑥3 + 24𝑥2 − 2

La segunda derivada

𝐷𝑥2 𝑓(𝑥) = 42𝑥5 + 60𝑥4 − 60𝑥2 + 48𝑥

La tercera derivada

𝐷𝑥3𝑓(𝑥) = 210𝑥4 + 240𝑥3 − 120𝑥 + 48

La cuarta derivada

𝐷𝑥4𝑓(𝑥) = 840𝑥3 + 720𝑥2 − 120

La quinta derivada

𝐷𝑥5𝑓(𝑥) = 2520𝑥2 + 1440𝑥

2.11 ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A

UNA CURVA.

Ejemplo: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 +

3𝑥2 − 5𝑥 + 3 en el punto de abscisa x=0.

La ordenada del punto de tangencia, se

calcula sustituyendo x=0 en la

ecuación de la curva.

𝑓(0) = 3

Entonces el punto de tangencia es P

(0,3).

La pendiente de la recta tangente, se

obtiene derivando y valuando la función

en la abscisa del punto de tangencia. La

derivada de la función es:

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 6𝑥 − 5

El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:

𝑚 = 𝑓′(0) = −5

Aplicando los valores anteriores en la ecuación de recta conociendo un punto y la

pendiente, para obtener la ecuación de la tangente:

𝑦 − 3 = −5(𝑥 − 0)

5𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

La ecuación de la normal es:

Grafica 8: Ecuación de las rectas tangente y normal.


27

𝑦 − 3 =1

5(𝑥 − 0)

𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0

Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta tangente, esto es:

∝= 𝑎𝑛𝑔 tan𝑚 = 𝑎𝑛𝑔 tan(−5)

∝=101º

Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta normal sumando 90° al ángulo de la

recta tangente, esto es:

𝛽 = 101º + 90º = 191º

Ejemplo.

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de

y =(𝒙 + 𝟑)𝟑; (−𝟏, 𝟖)

Y’= 3(𝑥 + 3)2. (1)

Y’= 3 (𝑥 + 3)2 → x= -1 → y’ = 3(−1 + 3)2 y’=3 (4)

La tangente es y -8 = 12(x+1) y – Yo = m (x – Xo)

Y -8 = 12x + 12 y – (8) = 12 ( x- (-12))

Y= 12x + 20

3. TRAZO DE CURVAS UTILIZANDO PRIMERA Y SEGUNDA

DERIVADA

Imagen 2: trazo de curvas.


28

Hasta ahora se ha utilizado la derivada para resolver problemas, en donde la misma es

interpretada como la razón de cambio de una variable con respecto a otra; en particular,

en las ciencias económicas la derivada se ha utilizado para resolver

problemas de marginalidad.

Ahora se utilizará la primera derivada para encontrar los valores máximo y mínimo de

una función, así como para determinar los intervalos en donde la función es creciente o

decreciente, también se utiliza la segunda derivada para encontrar los puntos de

inflexión de la gráfica de una función así como los intervalos donde es cóncava hacia

arriba o cóncava hacia abajo.

3.1 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS DE FUNCIONES

ALGEBRAICAS Y FUNCIONES TRASCENDENTES

Definiciones:

Sea f una función de variable real y sea c Î Df (Dominio de f). Entonces:

f(c) es un VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que:𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)para todo x Î I

f(c) es un VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f,

en un intervalo I, si:𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)para todo x Î I

f(c) es un VALOR MÍNIMO RELATIVO DE f, si existe

un intervalo abierto I que contiene a c tal que:𝑓(𝑐) ≤

𝑓(𝑥)para todo x Î I

Gráfico 9: máximo relativo.

Gráfico 10: máximo absoluto

Gráfico 11: mínimo relativo


29

f(c) es un VALOR MÍNIMO ABSOLUTO DE f, en un

intervalo I, si:𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥)para todo x Î I

A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama: EXTREMOS

RELATIVOS.

A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama: EXTREMOS ABSOLUTOS. Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo como Extremos relativos El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un punto en el cual f es derivable. TEOREMA 1. (CONDICIÓN NECESARIA PARA EXTREMOS RELATIVOS)

(f tiene extremo relativo en 𝑓′(𝑐) = 0 ) Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual f’(c) existe. Entonces, 𝑓′(𝑐) = 0 El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una función se puede

cumplir que para algún punto c de su dominio, y sin embargo, f no presentar extremos

relativos en c.

Definición: Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Un punto 𝑐 ∈ 𝐼 I se llama

punto crítico de f si 𝑓′(𝑐) = 0 ó 𝑓′(𝑐) no existe.

Extremos Absolutos

El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la

teoría de extremos de una función.

TEOREMA 2 (TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS) Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto). El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado, pero, no dice como determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo, se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo. Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:

Para encontrar un extremo absoluto de una función f(x) continua en [a,b]:

1. Evaluar f en a y en b.

Gráfico 12: mínimo absoluto.


30

2. Determinar todos los valores críticos c1, c2, c3,..., cn en (a,b). 3. Evaluar f en todos los valores críticos. 4. El más grande y el más pequeño de los valores de la lista, f(a), f(b), f(c1), f(c2),...,

f(cn) son el máximo absoluto y el mínimo absoluto, respectivamente, de f en el intervalo [a,b].

3.2 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA Y EXTREMOS

RELATIVOS

Si f es una función continua en un intervalo abierto que contiene al número crítico x=cyf

es diferenciable en el intervalo, excepto posiblemente c. entonces f(c) puede clasificarse

como:

Criterio para Máximo relativo: f (c) es un máximo relativo si f ′(x) cambia de positiva a

negativa al pasar por x= c.

Criterio para Mínimo relativo: f (c) es un mínimo relativo si f ′(x) cambia de negativa a

positiva al pasar por x= c. Si f ′(c) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos

lados de c, entonces f (c) no es ni máximo relativo ni mínimo relativo.

3.3 CONCAVIDAD DE FUNCIONES APLICANDO LA

SEGUNDA DERIVADA

Concavidad Y Puntos De Inflexión De Una Curva: Así como los puntos máximos y

mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de

creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva

Gráfico 13: criterios de la primera derivada


31

(cuando existen), se caracterizan por

determinar un cambio en la concavidad

de la curva.

Si f es una función continua en un

intervalo abierto que contiene a c. El

punto (c, f (c)) se llama punto de

inflexión de la gráfica de f, si la gráfica

cambia de cóncava hacia arriba a

cóncava hacia abajo (o bien cambia de

cóncava hacia abajo a cóncava hacia

arriba) en ese punto y además la gráfica de la función tiene una recta tangente en el

punto. En un punto de inflexión f ′′(c) =0 o bien f ′′(c) no existe.

Función cóncava hacia arriba:

Una función f es cóncava hacia

arriba en un intervalo si f ′′(x) está

definida para todos los números en

el intervalo y f ′′(x) > 0 en todo el

intervalo.

Función cóncava hacia abajo: Una

función f es cóncava hacia abajo en

un intervalo, si f ′′(x) está definida

para todos los números en el

intervalo y f ′′(x) < 0 en todo el

intervalo.

3.3.1 ASÍNTOTAS DE UNA CURVA

Al analizar la forma de una curva , muchas veces se precisa conocer el

comportamiento de la función, cuando la abscisa y la ordenada de un punto variable

de la curva, juntas, o por separado tienden en valor absoluto a infinito. Es decir,

para un punto (x, y) ó (x, f (x)) variable de la curva, interesa estudiar los siguientes

casos:

1. Cuando , entonces Límites al infinito

2. Cuando , entonces Límites al infinito

3. Cuando , entonces } Límites infinitos Aquí tiene especial importancia el caso para el cual la curva analizada se aproxima indefinidamente a una recta llamada ASÍNTOTA de la curva.

Gráfico 14: punto de inflexión

Gráfico 15: concavidad


32

3.4 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA OBTENER

MÁXIMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS

Criterio de la segunda derivada para máximo relativo: Si f es una función tal que f′(c)

= 0 y la segunda derivada está definida en un intervalo abierto que contiene a c. Si f

′′(c) < 0 (es decir que la función es cóncava hacia abajo), entonces la función tiene un

máximo relativo en x= c.

Criterio de la segunda derivada para mínimo relativo: Si f es una función tal que f′(c)

=0 y la segunda derivada está definida en un intervalo abierto que contiene a c. Si f

′′(c) > 0 (es decir que la función es cóncava hacia arriba), entonces la función tiene un

mínimo relativo en x= c.

El criterio de la segunda derivada no se puede aplicar cuando f ′′(c) = 0 o cuando f ′′(c)

no existe, en cuyo caso debe usarse el criterio de primera derivada.

3.5 EXTREMOS ABSOLUTOS EN UN INTERVALO CERRADO

Y EN UN INTERVALO ABIERTO

Teorema de los valores extremos: Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b]

siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo. El teorema anterior

nos asegura que en un intervalo cerrado, una función continua siempre tendrá un valor

máximo y un valor mínimo. El teorema no dice nada si el intervalo es abierto.

El máximo absoluto de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] es el mayor valor que toma la función en todo el intervalo. El mínimo absoluto de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] es el menor valor que toma la función en todo el intervalo. Si nos planteamos el problema de hallar el máximo y el mínimo absolutos de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], habremos de considerar tres clases de puntos:

a) los puntos críticos o singulares de f en [𝑎, 𝑏]. b) Los extremos a y b. c) Los puntos de [𝑎, 𝑏] en los que f no es derivable.

Si x es un punto máximo o mínimo absoluto de f sobre [𝑎, 𝑏] , entonces x será un punto de una de las tres clases arriba citadas. El procedimiento para calcular el máximo y el mínimo de una función f en un intervalo

cerrado [𝑎, 𝑏] es bastante sencillo: a) Primero se calcula 𝑓(𝑥) para todos aquellos puntos x para los cuales 𝑓′(𝑥) = 0,

es decir el valor de la función en los puntos críticos. b) Después se calcula 𝑓(𝑥) en los puntos x en los que f no es derivable. c) Finalmente se calculan 𝑓(𝑎) y f(b)

El mayor de todos estos valores será el máximo absoluto, y el menor de todos ellos será el mínimo absoluto.


33

3.5.1 EJEMPLIFICACIÓN

a) Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 en el

intervalo[−3,3]. En primer lugar derivaremos la función: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 3 Luego igualamos esa primera derivada a cero: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 3 = 0 y resolvemos la

ecuación así obtenida. En este caso 𝑥 =3

2

El valor 𝑥 =3

2 está en el intervalo [−3,3], luego el primer conjunto de “candidatos” a

máximos o mínimos es {3

2}

El segundo conjunto contiene a los extremos [−3,3] del intervalo: El tercer conjunto (el conjunto de los puntos donde la función no es derivable) no tiene ningún valor en este caso, pues la función es derivable en todos los puntos del intervalo (es un polinomio y sabemos que todos los polinomios son derivables en cualquier punto de su dominio hasta el orden que deseemos). Por último, sólo tenemos que calcular los valores que toma la función en esos puntos:

𝑓 (3

2) = (

3

2)2

− 3.3

2+ 2 =

9

4−9

2+ 2 =−

9

4+ 2 = −

1

4

𝑓(3) = 32 − 3. (3) + 2 = 2

𝑓(−3) = (−3)2 − 3. (−3) + 2 = 20

Por lo tanto el mínimo absoluto es 1

4, en el punto𝑥 =

3

2, y el máximo absoluto es 20, en

el punto x=-3.

3.6 TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Y TEOREMA DE

ROLLE

Teorema de Rolle: Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b) y si f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un número c en (a,b).

Ejemplos:

Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0.

Solución: Como f es una función polinòmica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2). Además,

f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8 y, f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8. Por lo tanto, f (-2) = f (2) = 8.

Luego, f’(x) = 4x3 - 4x


34

= 4x(x2 - 1)

= 4x(x + 1)(x - 1)

Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’ (0) = 0, f’ (-1) = 0 y f’ (1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.

Teorema del valor medio: Si f es una función continua en [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que

𝑓′(𝑐) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎

Ejemplo: Si f(x) = x3 - 8x - 5, demuestra que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [1,4] y halla un número c en el intervalo abierto (1,4) que satisfaga la conclusión del teorema.

Solución: Como f es polinòmica, es continua y derivable en todos los números reales.

Entonces, es continua en [1,4] y derivable en el intervalo abierto (1,4). De acuerdo con el teorema existe un número c en el intervalo abierto (1,4), tal que:

𝑓′(𝑐) = 𝑓(4) − 𝑓(1)

4 − 1

Entonces: 3𝑥2 − 8 =𝑓(4)−𝑓(1)

4−1 3𝑥2 − 8 =

27−(−12)

3 3𝑥2 − 8 =

27+12

33𝑥2 − 8 =

39

3

3𝑥2 − 8 = 13 3𝑥2 = 21𝑥2 = 7−→ 𝑥 = ±√7 → 𝑎𝑠𝑖, 𝑐 = √7

3.7 REGLA DE L¨HOPITAL

La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:

Un límite indeterminado de la forma lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

0

0 en caso de que también sea L el límite

en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎(𝑓(𝑥))

𝑡

(𝑔(𝑥))𝑡 = 𝐿

De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Veamos un ejemplo.

EJEMPLO 1: Hallar el límite: lim𝑥→0

1−𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥2

Este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de

L'Hôpital: lim𝑥→0

1−𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥2= lim

𝑥→0(1−𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑡

(𝑥2)𝑡= lim

𝑥→0+𝑠𝑒𝑛𝑥

2𝑥 límite que sigue teniendo la forma

indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:

lim𝑥→0

𝑐𝑜𝑠𝑥

2=

1

2 que es en definitiva el valor del límite.


35

Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones: / , 0× , - .

Por ejemplo, una indeterminación del tipo / , provendrá de un límite de la forma:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

∞

∞

En donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente

no varía si lo expresamos en la forma: lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑎

1/𝑔(𝑥)

1/𝑓(𝑥)

Y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación / no es diferente de la 0/0.

3.8 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS

RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto I, sea c un punto de I, tal que f '(c)=0. Entonces: i. Si f ''(c) < 0, entonces, f presenta un máximo relativo en c.

ii. Si f ''(c) >0, entonces, f presenta un mínimo relativo en c. Observación: Si f ''(c)=0, entonces, la naturaleza del punto crítico c no queda determinada, como lo ilustran los siguientes casos: La función, f (x) = x4, satisface: f’ (0) = 0 y f ’’ (0) = 0. Sin embargo, f (x) presenta un mínimo relativo en x = 0

Igualmente, la función: g (x) = - x4, satisface: g’ (0) = 0 y g ’’ (0) = 0. Sin embargo, g (x) presenta un máximo relativo en x = 0. También, la función, h (x) = x3, satisface: h’ (0) = 0 y h ’’ (0) = 0, pero h (x) es creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0

Se enumeran a continuación algunos pasos que son útiles al abordar un problema de esta naturaleza. 1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo indicando las variables que intervienen en el problema. 2. Determinar la función a maximizar o minimizar así como el intervalo en el cual está definida. 3. Utilizar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso 2., en términos de una sola variable.

Imagen 3: criterio de la segunda derivada


36

4. Utilizar la regla práctica dada en la observación al teorema de los valores extremos. Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.

3.9 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y

TRASCENDENTES APLICADOs A LA ECONOMÍA

Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en

el caso de que haya más de una variable.

3. Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que

nos quede una sola variable.

4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

3.10 EJERCICIOS DE OPTIMIZACIÓN

1. Determine la razón de cambio relativo de y con respecto a x ,para el valor

dado de x 𝒚 =𝒙

𝟐𝒙−𝟔; 𝒙 = 𝟏

Y’= (1)(2𝑥−6)−(𝑥)(2)

(2𝑥−6)2 y=

2𝑥−6−2𝑥

(2𝑥−6)2 y=

−6

(2𝑥−6)2

Si x=1, entonces y =1

2(1)−6 = −

1

4

Y’= −6

(2(1)−6)2 =

−6

(−4)2 =

−6

16 =-

3

8

𝑦′

𝑦 =

−3

8

−1

4

= 3

2 = 1.5= razón de cambio relativo

2. Cada ecuación representa una función de consumo. Encuentre la

propensión marginal al consumo y al ahorro para el valor dado de: C=

3+√𝑰 + 2 √𝑰𝟑

; I=1

C=3+ 𝐼1/2+ 2+𝐼1/3

𝑑𝑐

𝑑𝐼 = 0 +

1

2 𝐼−1/2 +

2

3 𝐼−2/3

𝑑𝑐

𝑑𝐼=

1

2√𝐼+

2

3 √𝐼3

I= 1, 𝑑𝑐

𝑑𝐼=

1

2√1+

2

3 √13 =

1

2+

2

3=

7

6

𝑑𝑐

𝑑𝐼

𝑑𝑠

𝑑𝐼= 1 −

𝑑𝑐

𝑑𝐼= 1 −

7

6= −

1

6


37

3. Propensiones marginales a consumir o ahorrar. Suponga que la fase de

ahorro de un país es: S= 𝑰−𝟐√𝑰−𝟖

√𝑰+𝟐 donde el ingreso nacional (I) y el ahorro

nacional (S) si miden en millones de dólares. Encuentre la propensión del

país a consumir y su propensión marginal al ahorro cuando el ingreso

nacional es de 150.000 millones (Una pista: Puede ser útil primero

factorizar el numerador )

S= 𝑰−𝟐√𝑰−𝟖

√𝑰+𝟐 =

(√𝑰+𝟐)(√𝑰−𝟒)

√𝑰+𝟐 = √𝑰 − 𝟒

𝑑𝑆

𝑑𝐼=

1

2𝐼−

1

2= 1

2√𝐼

𝑑𝑆

𝑑𝐼 I=150 =

1

2√150= 0.04082

𝑑𝐶

𝑑𝐼 I=150 = 1 -

𝑑𝐶

𝑑𝐼 = 1- 0.04082 = 0.9592

4. Depredador presa: En un experimento que estudiaba la relación

depredador-peso, se determinó de manera estadístico que el número de

presos que en depredador individual, y consume es una función de la

densidad x de presos el número de presos por unidad de área Y= 𝟎.𝟕𝟑𝟓𝟓𝒙

𝟏+𝟎.𝟎𝟐+𝟒𝟒𝒙Determine la razón de cambio de las presas consumidas con

respecto a su densidad

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

(0.7355)(1+0.02744𝑥)−(0.7355𝑥)(0.02744)

(1+(0.02744𝑥)2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

0.7355+0.02018212𝑥−0.02018212𝑥

1.00549553

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

0.7355

1.00549553

5. Utilice las reglas del cociente y de la potencia, para encontrar y no

simplifique su respuesta

Si z = 𝟐𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟓 , y= 6x – 5, y x = 2t encuentre 𝒅𝒛

𝒅𝒕𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐𝒕 = 𝟏

𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝑑𝑧

𝑑𝑦 .𝑑𝑦

𝑑𝑥 .𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑧

𝑑𝑡= (4𝑦 − 4) (6) (2) t =1

𝑑𝑧

𝑑𝑡𝑡 = 1 =(4(7)-4) (6) (2) x = 2(1) x =2

=(24) (6) (2) = 288 y = 6(2) -5 y = 7

6. Determine la razón de cambio porcentivo de y con respecto ax para el

valor dado de x

Y= 𝟏

(𝒙𝟐−𝟏)𝟑 ; 𝒙 = 𝟐


38

Y’ = 6𝑥

(𝑥2−1)4 x = 2, y =-

12

81 y =-

4

27

(𝑦′

𝑦) (100) = -

4

27 . 27(100) = −400%

7. Que es el número total de unidades producidas por día por m empleados

de un fabricante, y p es el precio de venta por unidad. En cada caso

encuentre el producto del ingreso marginal para el valor dado de m

Q = 100m/√𝒎𝟐 + 𝟏𝟗, p= 4500 / (q+10), m=9

Q=100𝑚

√𝑚2+19 p=

4500

𝑞+10 ; m=9

𝑑𝑟

𝑑𝑚=

𝑑𝑟

𝑑𝑞 .𝑑𝑞

𝑑𝑚 r= pq =

4500𝑞

𝑞+10𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,

𝑑𝑟

𝑑𝑞=

4500

(𝑞+10)2

Si m = 9, entonces q = 90

𝑑𝑟

𝑑𝑞𝑚 = 9 =

9

2

𝑑𝑞

𝑑𝑚=

1900

(𝑚2+19)3/2

Cuando m =9, 𝑑𝑞

𝑑𝑚=

19

10

𝑑𝑟

𝑑𝑚 m =9 =

9

2.19

10= 8.55

8. Altas de hospital. Cierto organismo gubernamental de salud examino los

expedientes de un grupo de individuos que estuvieron hospitalizados por

una enfermedad específica. Se encontró que la cantidad total de personas

que fueron dadas de alta al final de t días de hospitalización estaba dada

por

F (t) = 1 – (𝟐𝟓𝟎

𝟐𝟓𝟎𝒕𝒕)𝟑 encuentre f ‘(100) e interprete su respuesta

F (t) = 1 - (250

250𝑡𝑡)3

F’ (t) = -3 (250

250𝑡𝑡)2 [−

250

(250𝑡𝑡)2]

F’ (t) (100) = -3 (250

350)2 [−

250

(350)2]

F’ (t) = -3 (25

49) (−

1

490)

F’ (t) = 15

4802 Cuando t incrementa de 100 a 101 la proporción diferencial incrementa por

15

4802

9. Producto del ingreso marginal. Un empresario que emplea m trabajadores

encuentre que producen q= 2m(𝟐𝒎+ 𝟏)𝟑/𝟐 unidades de producto

diariamente el ingreso total r en dólares está dado por r= 𝟓𝟎𝒒

√𝟏𝟎𝟎𝟎+𝟑𝒒

a) Cuál es el precio por unidad cuando hay 12 trabajadores?

b) Determine el ingreso marginal cuando hay 12 trabajadores

c) Determine el producto del ingreso marginal cuando m =12


39

A) Cuando m =12, q= 300, entonces r = 1500

P=𝑟

𝑞 =

1500

3000 =

1

2 = 0.50

𝑏)𝑑𝑟

𝑑𝑞=

√1000+3𝑞−(50)−50𝑞(1

2)(1000+3𝑞)

−12(3)

1000+3𝑞

𝑑𝑟

𝑑𝑞 q = 3000

2750

10000=

11

40

c) 𝑑𝑟

𝑑𝑚=

𝑑𝑟

𝑑𝑞.𝑑𝑞

𝑑𝑚 = 1 del punto (b) conozco

𝑑𝑟

𝑑𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑚 = (2m) (

3

2) (2𝑚 + 1)1/2 (2) + (2𝑚 + 1)3/2 (2)

𝑑𝑞

𝑑𝑚𝑚 = 12 = 610

𝑑𝑟

𝑑𝑚𝑚 = 12 =

11

40 . 610 =

671

4

10. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 20 y cuyo producto

de 2 veces, uno de los números por el cuadrado del otro sea máximo

0≤ 𝑥 ≤ 20

1) X f(x) = (2x) (20 − 𝑥)2

2) 20-x f(x) = 2𝑥3 −8𝑥2 + 800𝑥

F’(x) = 6𝑥2 − 16𝑥 + 800

F’(x) = 2 (3x-20) (x-20) =0

X= 20

3

(0, 20

3) (

20

3, 20)

X1 = 160+80

12= 20 x=

20

3

X2=160−80

12=

20

3 y= 20-

20

3=

40

3

11. Costo promedio. Un fabricante determina que el costo total c, de probar

un artículo está dado por la función costo c= 0.05𝒒𝟐 +5q +500 ¿Para que

nivel de producción será minimo el costo promedio por unidad?

0.05𝑞2 + 5𝑞 + 500

C’= 𝑐

𝑞= 0.5𝑞 + 5 +

500

𝑞

C’ = 0.05 - 500

𝑞2𝑐′ = 0

0.05 = 500

𝑞2 . 𝑞2 = 10000 q= ±100

Q = -100 porque q representa el número de unidad

C’’ = 1000

𝑞3> 0𝑝𝑎𝑟𝑎𝑞 > 0


40

C es mínimo cuando q = 100 unidades

12. Utilidad p= 85-0.05q y la función de costo es c= 600+35q ¿A qué nivel de

producción se maximiza la utilidad? ¿A qué precio ocurre esto y cuál es

la utilidad?

P= 85-0.05q

C= 600+35q

Beneficio = ingreso total – costo total

P= pq –c = (85 – 0.05q) q – (600+35q) = -(0.05𝑞2 − 50𝑞600)

Ajuste P ‘ = -(0.1q – 50 ) = 0 q=500

Desde P’’ (500) = -0.1 < 0, 𝑃𝑒𝑠𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑞 =

500𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠. 𝐸𝑠𝑡𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑎𝑙𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑑𝑒𝑃 = 85 ∗ 0.05(500) =

$60𝑦𝑢𝑛𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑𝑒𝑃 = $11,900

13. Ingreso una empresa de bienes raíces posee 100 departamentos se renta

a $400 por mes, por cada $10 mensuales de incremento habrá dos

departamentos vacíos ¿Qué renta por departamento máximo o el ingreso

mensual?

Dejar x = numero de $10 por mes incrementa por lo que la tasa mensual es de

400t+10x y el número de pisos de alquileres de 100-2x ingresos mensuales.

R está dada por r = (alquiles apto) (no apto alquiler)

R = (400t+10x) (100-2x)

R’= (400t +10x) (-2) + (100 -2x) (10)

R = 200-40x = 40 (5-x)

R’ = 0 x=5 r’’ = -40< 0

R es máximo cuando x =5 esto es una tasa mensual de un apto de 400+10(5)= $450

14. Utilidad p = 600-2q y su función de costo total es C = 0.2𝒒𝟐 + 𝟐𝟎𝒒 + 𝟐𝟎𝟎

Encuentre la producción y el precio que maximizan la utilidad con un impuesto

de $22 ¿Cuál sería la utilidad ahora?

P= 600-2q

C= 0.02𝑞2+ 28q +200

P = pq – 0

P = (600-2q) q – (0.2𝑞2 + 28𝑞 + 200)

= -(2.2𝑞2– 527q +200)


41

P’= -(4.4q -572) = 0 q = 130

P= 600 -2 (130) = 340

15. Tasa de rendimiento Edificio, costos fijos son $144millones. Si se

construyen x pisos, el costo es C = 10x [𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝟎𝟎(𝒙 − 𝟏)] el

ingreso por mes es de $60000 por piso ¿Cuántos pisos darán una tasa

máxima sobre la inversión?

I =60000𝑥

(10𝑥)[𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟑𝟎𝟎𝟎(𝒙−𝟏)]𝟏𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎

=2𝑥

𝑥2+39𝑥+48

I’ = 2.48−𝑥2

(𝑥2+39𝑥+48)2 = 0 x= √48 = 4√3

Incrementa (0, 4√3) y decrece en (4√3, 0)

I es maximo cuando x= 4√3 = 6.93

16. ¿Qué tan rápido baja el nivel del líquido en un tanque cilíndrico vertical, si

drenamos aquel a una razón de 3000 L/min?

𝑑𝑉

𝑑𝑇= −3000

𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝑒𝑠𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠

V= 1000𝑟2𝜋 ya que un metro cubico contiene 1000L

𝑑𝑉

𝑑𝑇= 1000𝑟2

𝑑ℎ

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡=

−3000

1000𝜋𝑟2=

−3

𝜋𝑟2

El nivel del líquido bajara a razón de 3

𝜋𝑟2 m/min

Si r= 1m; 𝑑ℎ

𝑑𝑡=

−3

𝜋≈ 0.95

𝑚

𝑚𝑖𝑛= −95𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛

Si r= 10m; 𝑑ℎ

𝑑𝑡 =

−3

100𝜋 ≈-0.0095m/min = -0.95cm/min

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo número, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...). La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente. Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).


42

4.1 FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o rango. Una función de dos variables se denota usualmente con la notación z = f (x, y) Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y). Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional. Ejemplo:

𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟐

4.1.2 APLICACIÓN DE FUNCIONES DE DOS O MAS

VARIABLES

En los problemas bosqueje las superficies dadas.

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏


43

𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐 𝒛 = 𝟒 − 𝒙𝟐

Determine los valores funcionales indicados.

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =2𝑥

(𝑦+1)𝑧𝑓(1,0,3)

Entonces𝑥 = 1𝑦 = 0𝑧 = 32(1)

(0+1)3→

2

3

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 − 3𝑦3𝑓(1,0,3)

Entonces 𝑥 = 𝑟 + 𝑡𝑦 = 𝑟(𝑟 + 𝑡)2(𝑟) − 3(𝑟)3 → 𝑟2 + 2𝑟𝑡 + 𝑡2(𝑟) − 3𝑟3 →

−2𝑟3 + 2𝑟𝑡 + 𝑡2 →= 𝑟(−2𝑟2 + 2𝑟𝑡 + 𝑡2)

Genética. Bajo ciertas condiciones, si los padres con ojos cafés tienen

exactamente k descendientes, la probabilidad de que haya exactamente

entre ellos r de ojos azules está dado por: 𝑃(𝑟, 𝑘) =𝑘!(

1

4)𝑟(3

4)𝑘−𝑟

𝑟!(𝑘−𝑟)!

Encuentre la probabilidad de que de un total de 4 hijos exactamente tres

tengan ojos azules.

K=4 r=3

𝑃(3,4) =4!(

1

4)3(3

4)4−3

3!(4−3)!

4!(1

64)(

3

4)1

3!(1)! =

4!(3

256)

6 =

9

32

6 =

3

64 la probabilidad de que de un total de 4 hijos, tres

tengan ojos azules es de 3

64

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