TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA THANH BỊ NÉN

CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN

Hà Nội, 5/2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA THANH BỊ NÉN

CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Trọng Dũng Nam Đồng Văn Huynh Nam Mai Xuân Quý NamDân tộc: KinhLớp: Cầu đường bộ B-K53 Khoa: Công trình Năm thứ: 3/4,5 nămNgành học: Kỹ thuật xây dựng công trình giao thôngSinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài: Nguyễn Trọng Dũng

Người hướng dẫn: PGS-TS Lương Xuân Bính

Hà Nội, 5/2015

MỤC LỤC

Thông tin kết quả nghiên cứu của đề tài

Thông tin về sinh viên chịu trách nhiệm chính thực hiện đề tài

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH THANH BỊ NÉN CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN.................1

I. Đặt vấn đề...............................................................................................................1

II. Xây dựng lí thuyết tính ổn định có liên kết phi tuyến.......................................2

1. Mô hình tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến.....................................2

2. Phương pháp năng lượng về tính ổn định thanh bị nén.......................................4

3. Ứng dụng phương pháp năng lượng để tính ổn định thanh bị nén có liên

kết phi tuyến............................................................................................................5

III. Ứng dụng hàm solver để tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến... .6

1. Giới thiệu hàm solver..........................................................................................6

2. Xây dựng thuật toán tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến bằng

solver trong excel....................................................................................................8

IV. Thí dụ tính toán và đánh giá kết quả................................................................9

1. Thí dụ 01: Tính toán ổn định của thanh thép tròn có liên kết hai đầu khớp........9

2. Tính toán ổn định của thanh tròn có liên kết dị hướng.....................................11

Thí dụ 02: Tính lực tới hạn của thanh tròn có 1 đầu liên kết khớp, 1 đầu

liên kết lò xo đàn hồi dị hướng.........................................................................11

Thí dụ 03: Tính toán ổn định thanh tròn chịu nén có liên kết phi tuyến..........14

V. Kết luận...............................................................................................................15

Tài liệu tham khảo...................................................................................................15

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GTVT

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

1. Thông tin chung:- Tên đề tài: Nghiên cứu ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến.- Sinh viên thực hiện: Nguyễn Trọng Dũng, Đồng Văn Huynh, Mai Xuân Quý.- Lớp: Cầu đường Bộ B- K53 Khoa: Công Trình Năm thứ: 3 Số năm đào tạo: 4.5- Người hướng dẫn: PGS-TS Lương Xuân Bính2. Mục tiêu đề tài:- Xây dựng lý thuyết tính ổn định thanh chịu nén có liên kết phi tuyến.- Ứng dụng hàm solver để giải bài toán.3. Tính mới và sáng tạo:- Lần đầu tiên xây dựng lý thuyết tính ổn định thanh chịu nén có liên kết phi tuyến.- Lần đầu tiên ứng dụng hàm solver để giải bài toán ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến.4. Kết quả nghiên cứu:- Xây dựng thành công phương pháp gần đúng tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến.- Xây dựng thuật toán và chương trình tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến.5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng và khả năng áp dụng của đề tài: Có thể áp dụng để tính toán một số kết cấu chịu nén trong thực tế như trụ cầu dây văng.... 6. Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài Kết quả nghiên cứu có thể được đăng trên các bài báo, tạp chí chuyên ngành. Ngày 14 tháng 4 năm 2015

Sinh viên chịu trách nhiệm chínhthực hiện đề tài(ký, họ và tên)

Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên thực hiện đề tài (phần này do người hướng dẫn ghi):

Ngày 14 tháng 4 năm 2015

Người hướng dẫn

(ký, họ và tên)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GTVT

THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN

CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN:

Họ và tên: Nguyễn Trọng Dũng

Sinh ngày: 18 tháng 10 năm 1994

Nơi sinh: Trực Ninh – Nam Định

Lớp: Cầu Đường Bộ B Khóa: 53

Khoa: Công Trình

Địa chỉ liên hệ: Phường Quan Hoa – Cầu Giấy – Hà Nội

Điện thoại: 0974149050 Email: Nguyendungntnd@yahoo.com

II. QUÁ TRÌNH HỌC TẬP (kê khai thành tích của sinh viên từ năm thứ 1 đến năm

đang học):

* Năm thứ 1:

Ngành học: Cầu đường bộ Khoa: Công Trình

Kết quả xếp loại học tập: Trung Bình

Sơ lược thành tích:

* Năm thứ 2:

Ngành học: Cầu đường bộ Khoa: Công trình

Kết quả xếp loại học tập: Khá

Sơ lược thành tích: Học bổng giỏi kì I và học bổng khá kì II

...

Ngày 14 tháng 4 năm 2015

Sinh viên chịu trách nhiệm chính

thực hiện đề tài

(ký, họ và tên)

NGHIÊN CỨU

ỔN ĐỊNH THANH BỊ NÉN CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN

I. Đặt vấn đề

Trạng thái mất ổn định của kết cấu chịu nén là hiện tượng rủi ro có thể gây

biến dạng lớn hoặc phá hủy công trình nhanh chóng vì vậy nghiên cứu ổn định của

thanh chịu nén có vai trò rất quan trọng trong kỹ thuật nói chung và xây dựng công

trình nói riêng.

Ta đã biết thanh chịu nén có thể ở một trong hai trạng thái ổn định và mất ổn

định. Vậy nghiên cứu ổn định thanh chịu nén chính là xác định ranh giới giữa trạng

thái ổn định và trạng thái mất ổn định hay chính là trạng thái tới hạn, mà đại lượng đặc

trưng thể hiện cho trạng thái này là lực nén tới hạn tác dụng vào thanh chịu nén hay

chính là lực nén lớn nhất Pth cho phép tác dụng vào thanh mà thanh vẫn ổn định. Việc

nghiên cứu ổn định của thanh chịu nén có thể theo các tiêu chí khác nhau để giải quyết

và chúng ta đã biết với các thanh chịu nén có các liên kết cơ bản (liên kết ngàm, liên

kết khớp thuần túy) đã được Ơ le giải quyết triệt để qua việc lập phương trình vi phân

của biến dạng để tìm lực tới hạn hay nói cách khác chính là xác định trị riêng của

phương trình vi phân.

Trong thực tế, ngoài các liên kết cơ bản ta cũng gặp rất nhiều trường hợp thanh

bị nén có liên kết phi tuyến ví dụ như trụ cầu dây văng, trụ cầu treo, tháp truyền

hình…..Việc lập phương trình vi phân biến dạng của các thanh có liên kết này và giải

quyết chúng bằng phương pháp giải tích truyền thống với các điều kiện biên về tĩnh

học và động học không phải là việc dễ dàng trong khi đó việc tính toán ổn định thanh

chịu nén ngoài thực tế hiện trường lại đòi hỏi rất nhiều việc tính toán một cách nhanh

chóng và hiệu quả để đáp ứng thời gian thi công và hiệu quả làm việc.

Vì vậy, nghiên cứu này sẽ đi vào xây dựng một phương pháp tính gần đúng để

giải quyết hiệu quả bài toán ổn định của thanh chịu nén có liên kết phi tuyến với việc

giả định đường đàn hồi của thanh chịu nén tại trạng thái tới hạn là một đa thức xấp xỉ

bậc cao với các hệ số của đa thức là các tham số chưa biết. Việc xác định đường đàn

hồi của thanh thực chất là đi xác định các hệ số của đa thức xấp xỉ. Điều kiện để xác

định các tham số này là: đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản của

bài toán ổn định, đồng thời nó cũng phải thỏa mãn các điều kiện biên về tĩnh học và

động học của thanh. Ở đây tính toán tối ưu hóa được sử dụng để xác định các tham số

chưa biết này thông qua hàm solver trong excel.

1

Hình 1. Tháp cầu dây văng có một đầu ngàm một đầu liên kết dây văng Hình 2. Tháp truyền hình

II. Xây dựng lí thuyết tính ổn định có liên kết phi tuyến

1. Mô hình tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến

Khái niệm liên kết phi tuyến là liên kết trong đó quan hệ giữa ứng suất biến dạng

thay đổi phi tuyến tính theo độ lớn cũng như chiều chuyển vị của điểm tựa liên kết.

Sơ đồ tính bài toán ổn định của thanh bị nén có liên kết phi tuyến được sử dụng

ở đây là thanh bị nén 1 đầu khớp 1 đầu liên kết lò xo phi tuyến. Trong đó lò xo phi

tuyến có thể xảy ra với những mô hình sau: lò xo làm việc một chiều ( chỉ chịu kéo

hoặc chỉ chịu nén ) ( hình 3, hình 4), lò xo đàn hồi dị hướng làm việc theo hai chiều

kéo- nén là khác nhau, mô hình nhiều lần tuyến tính hoặc mô hình phi tuyến với quan

hệ giữa phản lực và chuyển vị của điểm tựa liên kết là 1 đường cong bất kì (hình 6).

Cụ thể trong nghiên cứu này sẽ đi tính toán ổn định cho thanh có liên kết lò xo đàn hồi

dị hướng và thanh có liên kết phi tuyến (đường cong quan hệ bất kì ). Với thanh có

liên kết phi tuyến ta có mối quan hệ giữa phản lực liên kết và chuyển vị của điểm tựa

liên kết như sau:

(1)

Trong đó:

N là phản lực liên kết

Δ là độ dịch chuyển của điểm tựa liên kết so với gốc tọa độ (so với vị trí cân

bằng ban đầu)

2

Hình 3. Lò xo chỉ chịu kéo Hình 4. Lò xo chỉ chịu nén

Hình 5. Lò xo chịu kéo và nén khác nhau Hình 6. Lò xo phi tuyến gồm nhiều lần tuyến tính

N N

N N

O O

O O

N

3

Hình 7. Lò xo phi tuyến có đồ thị là đường cong bất kì2. Phương pháp năng lượng về tính ổn định thanh bị nén

Nếu như sử dụng tiêu chí Ơ le ta đi lập phương trình vi phân của biến dạng tại

trạng thái tới hạn thì việc lập cũng như giải những phương trình vi phân này để tìm lực

tới hạn nhiều khi rất khó khăn. Vì vậy, người ta đi tìm cách giải quyết bài toán bằng

phương pháp năng lượng, bằng cách viết biểu thức biến thiên năng lượng của hệ khi hệ

lệch khỏi dạng cần bằng ban đầu. Cụ thể là công A của ngoại lực do lực tới hạn sinh ra

phải bằng với biến thiên thế năng nội lực đàn hồi U của hệ khi hệ có một độ lệch khả

dĩ trong dạng cân bằng mới lân cận với dạng cân bằng ban đầu:

hay (2)

Do ảnh hưởng của lực cắt là nhỏ hơn rất nhiều so với momen uốn nên khi tính

thế năng biến dạng đàn hồi của thanh ta chỉ xét đến ảnh hưởng do momen uốn sinh ra

và bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.

(3)

Công của ngoại lực: (4)

Trong đó: (5)

Từ đó ta có: (6)

Hình 8.

Tuy nhiên, bài toán lại gặp khó khăn khi tại trạng thái tới hạn ta lại chưa biết

hàm độ võng hay đường đàn hồi của thanh mà muốn có hàm này ta phải giải một hoặc

một hệ phương trình vi phân và đó là điều mà phương pháp năng lượng muốn tránh

bởi đây chính là khó khăn của tiêu chí Ơ le khi giải quyết bằng phương pháp giải tích

4

truyền thống. Cách giải quyết tốt nhất là dựa vào quan sát thí nghiệm ta chọn một hàm

v(z) gần đúng với đường đàn hồi và thỏa mãn các điều kiện liên kết. Đây cũng chính là

hướng đi để giải quyết bài toán ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến mà nghiên

cứu này sẽ dùng.

3. Ứng dụng phương pháp năng lượng để tính ổn định thanh bị nén có liên kết

phi tuyến

Từ hướng đi chung để giải quyết các vấn đề của bài toán ổn định là sử dụng tiếu

chí năng lượng nêu trên. Ở đây, ta cũng sẽ tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi

tuyến theo tiêu chí năng lượng. Đầu tiên ta phải xác định hàm độ võng gần đúng với

độ võng của thanh tại trạng thái tới hạn để từ đó tính được lực tới hạn của thanh bị nén

bằng công thức (6).

Hàm xấp xỉ được sử dụng để mô tả gần đúng đường đàn hồi của thanh tại trạng

thái tới hạn khi thanh đã bị cong đi. Hàm xấp xỉ có thể sử dụng một trong hai dạng cơ

bản là đa thức và chuỗi lượng giác. Ở đây hàm độ võng sẽ được giả định là một đa

thức bậc cao vì đa thức là một hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm, việc

tính giá trị cũng đơn giản. Bậc và số lượng các số hạng các đa thức không bị hạn chế.

Đa thức xấp xỉ của hàm độ võng có thể tổng quát như sau:

(7)

Trong đó các hệ số a0, a1, a2,…an là các tham số chưa biết cần được xác định

qua bài toán tối ưu hóa.

Đa thức xấp xỉ của hàm độ võng đầu tiên phải thỏa mãn phương trình vi phân

cơ bản của thanh bị nén tại trạng thái tới hạn với mọi giá trị của z trong miền xác định

của hàm số (hình 8). Phương trình vi phân cơ bản có dạng như sau:

(8)

Trong đó:

Pth là lực tới hạn của thanh được xác định bằng công thức (6).

EJx là độ cứng chống uốn của thanh theo phương biến dạng.

Để hàm xấp xỉ độ võng v(z) thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản (8), ta sử

dụng phương pháp bình phương tối thiểu. Với mọi giá trị của z trong miền xác định

của hàm xấp xỉ các tham số ai của hàm đảm bảo sao cho tổng bình phương vế trái của

5

(8) ứng với các giá trị khác nhau của z trong miền xác định của hàm xấp xỉ

phải đạt cực tiểu với điều kiện ràng buộc của thanh.

Có thể phát biểu bài toán tối ưu hóa xác định các tham số của đa thức xấp xỉ

hàm độ võng như sau:

Hàm mục tiêu: f(ai)= => min.

Biến số: ai={a0, a1, a2,…an}T.

Điều kiện ràng buộc: điều kiện biên động học và điều kiện biên tĩnh học.

Hình 9. Thanh bị nén 1 đầu liên kết khớp 1 đầu liên kết lò xo phi tuyến

III. Ứng dụng hàm solver để tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến

1. Giới thiệu hàm solver

Solver là một trong những nội hàm của Microft Excel, được xây dựng và đưa

vào sử dụng từ phiên bản Microft Excel 97. Với Solver, người dùng có thể giải các bài

toán sau đây thông qua bảng tính Excel: giải các hệ phương trình tuyến tính, phi tuyến,

các phương trình đại số bậc cao, siêu việt, hàm mũ...; tìm các tham số của hàm giải

tích xấp xỉ của tập dữ liệu thống kê, quan sát nhằm phục vụ cho việc tính toán dự báo;

giải các bài toán quy hoạch tối ưu (Vào Menu Tools chọn Solver, nếu trong Menu

Tools chưa có công cụ Solver thì vào Menu Tools chọn Add-ins chọn Solver add- in

để cài thêm công cụ solver).

Sau khi khởi động, hộp thoại "Các tham số của Solver (Solver Parameters)"

xuất hiện như trên hình 9.

Hàm mục tiêu (Set Target Cell). Giá trị trong ô của bảng tính Excel có địa chỉ

6

ghi trong khung Set Target Cell được gọi là hàm mục tiêu.

To: Hàm mục tiêu muốn đạt tới Max, Min hay Value of (bằng một giá trị mong

muốn nào đó thì nhập giá trị vào hộp bên cạnh).

Biến và tham số (Changing Cells). Địa chỉ của các ô trong bảng tính Excel ghi

trong khung Changing Cells xác định các biến của hàm mục tiêu. Giá trị các biến này

sẽ bị thay đổi để đạt được giá trị hàm mục tiêu mong muốn.

Ràng buộc (Constraints). Trong quá trình biến đổi các biến số để đạt được giá

trị hàm mục tiêu mong muốn, các biến hoặc các tham số của bài toán phải thoả mãn

những quan hệ ràng buộc nhất định nào đó. Các ràng buộc này được mô tả trong

khung Subject to the Constraints. Việc thêm vào, thay đổi hay loại bỏ bớt đi một ràng

buộc được thực hiện nhờ các chức năng Add, Change hay Delete.

Hình 10. Solver Parameters Hình 11. Solver Options

Các lựa chọn trong hộp thoại "Solver Options" được thể hiện trong hình10.

Độ chính xác (Constrain Precision). Con số nhập vào ô này xác định giá trị

tính toán của vế trái ràng buộc phải xấp xỉ phù hợp với vế phải như thế nào để các ràng

buộc được thoả mãn. Độ chính xác không nên nhỏ quá và không nên lớn quá. Thông

thường nằm trong phạm vi 1.0E-6 đến 1.0E-4.

Sử dụng tỷ lệ tự động (Use Automatic Scaling). Khi khung này được đánh

dấu, Solver sẽ cố gắng định tỷ lệ giá trị hàm mục tiêu và ràng buộc để giảm thiểu ảnh

hưởng của mô hình có các đại lượng với giá trị độ lớn khác biệt.

7

Hiển thị kết quả bước tính lặp (Show Iteration Results). Khi chức năng này được

lựa chọn, kết quả từng bước lặp sẽ được hiển thị trong bản tính của Solver.

Thời gian tính lớn nhất (Max time).Giá trị trong khung Max Time xác định

thời gian lớn nhất tính theo giây để Solver sẽ chạy trước khi dừng. Thời gian này bao

gồm thời gian sắp xếp (setup time) và thời gian tìm nghiệm tối ưu. Đây là một trong

những điều kiện dừng của Solver.

Số bước tính lặp (Interations). Giá trị trong khung Interactions xác định số

bước tính lặp lớn nhất Solver có thể thực hiện trên một bài toán. Mỗi bước tính lặp

tính ra một nghiệm mới. Đây cũng là một trong những điều kiện dừng của Solver.

2. Xây dựng thuật toán tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến bằng

solver trong excel

Giả định các giá trị ban đầu của các tham số .Từ hàm số giả

định của đường đàn hồi, ta lập được bảng tính các đại lượng như trong bảng 1. Từ

bảng này, ta xác định được hàm mục tiêu f(ai). Bằng hàm solver trong excel giúp ta dễ

dàng giải bài toán tối ưu hóa với các giá trị sao cho

Bảng 1.

z d(z) Jx(z) E

Jx(z)

v(z) v’(z) v”(z) v”’(z) v””(z) VT(8)2

0 … …. ….. …. ….. …… …… ……. …….

.. … …. ….. …. ….. …… …… ……. …….

zi … …. ….. …. ….. …… …… ……. …….

.. … …. ….. …. ….. …… …… ……. …….

l … …. ….. …. ….. …… …… ……. …….

Hàm mục tiêu f(ai)

Điều kiện biên của thanh chịu nén có một đầu liên kết khớp một đầu liên kết lò

xo phi tuyến có.

8

Tại z = 0 ta có:

M(0) = - EJx v”(0). = 0

v(0) = 0

Tại z = l ta có:

M = -EJx.v”(l) = 0

|Qy| =| -EJx.v”’(l)| = | N|

|-EJx.v”’(l)| = | |

Hình 12.Thanh bị nén có liên kết lò xo phi tuyến

IV. Thí dụ tính toán và đánh giá kết quả

1. Thí dụ 01: Tính toán ổn định của thanh thép tròn có liên kết hai đầu khớp

Bảng 2. Các số liệu tính toán thí dụ 01

Sơ đồ thanh Hai đầu khớp

Chiều dài thanh l(cm) 200 cm

Đường kính d(cm) 4

Vật liệu thanh Thép

E (daN/cm2) 2000000

Quy ước đơn vị

Chiều dài: cm

Lực : daN

Đa thức xấp xỉ: V(z)= a0+ a1z+a2z2+a3z3+a4z4+a5z5

Hình 13. Thanh bị nén 2 đầu liên kết khớp

9

Bảng 3. Kết quả tính toán thí dụ 01

a0 a1 a2 a3 a4 a5 Pth P ơ le sai số

0 1 0 -4.89E-05 1.15E-07 2.2E-11 6210 6021 0.13%

z d(z) Jx v(z) v'(z) v''(z) v'''(z) v''''(z) VT(8)2

0 4 12.57 0.00 1 0.00 0.00 0.00 7.59E-12

20 4 12.57 19.63 0.9451 -0.0053 0.00 0.00 2.24E-12

40 4 12.57 37.17 0.7953 -0.0095 0.00 0.00 2.66E-13

60 4 12.57 50.96 0.5732 -0.0125 0.00 0.00 3.34E-14

80 4 12.57 59.78 0.302 -0.0144 0.00 0.00 3.52E-13

100 4 12.57 62.87 0.0051 -0.0151 0.00 0.00 5.05E-13

120 4 12.57 59.96 -0.293 -0.0146 0.00 0.00 2.80E-13

140 4 12.57 51.28 -0.569 -0.0128 0.00 0.00 2.03E-15

160 4 12.57 37.5 -0.798 -0.0098 0.00 0.00 5.59E-13

180 4 12.57 19.8 -0.954 -0.0056 0.00 0.00 3.44E-12

200 4 12.57 0.00 -1.012 0.00 0.00 0.00 1.08E-11

Hàm mục tiêu f(ai)= 1.63E-10

Nhận xét:

-So sánh kết quả lực tới hạn tìm được với lực tới hạn theo phương pháp Ơ le,

sai số là 0.13% chứng tỏ phương pháp tính cho kết quả khá chính xác với phương pháp

tính đúng.

-Mặc dù giả định đường đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết quả tính cho

thấy đường đàn hồi của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này gần như là

đường cong bậc 3. Do đó không cần phải giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá cao.

10

2. Tính toán ổn định của thanh tròn có liên kết dị hướng

Thí dụ 02: Tính lực tới hạn của thanh tròn có 1 đầu liên kết khớp, 1 đầu liên kết

lò xo đàn hồi dị hướng

Bảng 4. Số liệu tính toán thí dụ 02

Sơ đồ thanh 1 đầu khớp 1 đầu lò xo

Chiều dài thanh l 200 cm

Đường kính d 4cm

Vật liệu thanh Thép

E 2000000 daN/cm2

Độ cứng chống kéo k+ 1500 daN/cm

Độ cứng chống nén k- 500 daN/cm

Quy ước đơn vị

Chiều dài: cm

Lực : daN

Đa thức xấp xỉ: V(z)= a0+ a1z+a2z2+a3z3+a4z4+a5z5

Giả sử thanh bị phá hoại theo chiều lò xo chịu kéo. Ta tính lực tới hạn cho trường

hợp này. Kết quả tính toán được thể hiện trong bảng 5.

Hình 14. Thanh mất ổn định về phía lò xo chịu kéo

Bảng 5. Kết quả tính toán trường hợp thanh bị phá hoại về phía lò xo chịu kéo

a b c d e g Pth

0 1 0 -4.9E-05 1.26E-07 -8.9E-12 6201.496

11

z Jx v(z) v'(z) v''(z) v'''(z) v''''(z) VT(8)2

0 12.57 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 9.17E-12

20 12.57 19.63 0.94 -0.01 0.00 0.00 2.88E-12

40 12.57 37.17 0.80 -0.01 0.00 0.00 4.38E-13

60 12.57 50.99 0.58 -0.01 0.00 0.00 6.10E-15

80 12.57 59.91 0.31 -0.01 0.00 0.00 2.76E-13

100 12.57 63.26 0.02 -0.01 0.00 0.00 4.66E-13

120 12.57 60.80 -0.27 -0.01 0.00 0.00 3.04E-13

140 12.57 52.79 -0.53 -0.01 0.00 0.00 1.80E-14

160 12.57 39.93 -0.75 -0.01 0.00 0.00 3.22E-13

180 12.57 23.41 -0.89 -0.01 0.00 0.00 2.40E-12

200 12.57 4.83 -0.95 0.00 0.00 0.00 7.91E-12

Hàm mục tiêu f(ai)= 1.51E-10

Kết quả cho thấy với liên kết như trên lò xo chịu kéo thanh sẽ bị mất ổn định với lực

nén lớn hơn 6201.496 daN.

Giả sử thanh bị phá hoại theo chiều lò xo chịu nén.

Hình 15. Thanh mất ổn định về phía lò xo chịu nén

Bảng 6. Kết quả tính toán trường hợp lò xo chịu nén

a b c d e g Pth

0 0.998882 0 -3.9E-05 5.34E-08 1.3E-10 6131.312

12

z Jx v(z) v'(z) v''(z) v'''(z) v''''(z) VT(8)2

0 12.57 0.00 1.00 0.00 -0.0002 1.28E-06 1.64E-12

20 12.57 19.68 0.95 0.00 -0.0002 1.59E-06 2.79E-13

40 12.57 37.63 0.83 -0.01 -0.0002 1.91E-06 4.93E-15

60 12.57 52.36 0.63 -0.01 -0.0001 2.22E-06 2.33E-13

80 12.57 62.68 0.39 -0.01 -0.0001 2.53E-06 4.59E-13

100 12.57 67.78 0.12 -0.01 0.0000 2.85E-06 3.92E-13

120 12.57 67.22 -0.17 -0.01 0.0000 3.16E-06 8.76E-14

140 12.57 61.03 -0.44 -0.01 0.0001 3.47E-06 1.17E-13

160 12.57 49.76 -0.68 -0.01 0.0002 3.79E-06 1.74E-12

180 12.57 34.49 -0.84 -0.01 0.0003 4.10E-06 7.12E-12

200 12.57 16.93 -0.90 0.00 0.0003 4.41E-06 1.95E-11

Hàm mục tiêu f(ai)= 1.93E-11

Với trường hợp thanh bị mất ổn định về phía lò xo chịu nén lực nén tới hạn của thanh

là 6131.312 daN.

Từ 2 kết quả Pth tính được ở trên ta thấy thanh sẽ bị mất ổn định theo chiều lò xo

chịu nén với lực tới hạn của thanh là Pth= 6131.312 daN.

Nhận xét:

- Trong trường hợp thanh chịu nén liên kết lò xo phi tuyến có độ cứng hai chiều

kéo và nén khác nhau thì thanh mất ổn định theo chiều lò xo có độ cứng nhỏ

hơn.

- Mặc dù giả định đường đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết quả tính cho

thấy đường đàn hồi của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này gần như

là đường cong bậc 3. Do đó không cần phải giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá

cao.

Thí dụ 03: Tính toán ổn định thanh tròn chịu nén có liên kết lò xo phi tuyến

Bảng 7. Số liệu tính toán thí dụ 03

Sơ đồ thanh 1 đầu khớp, 1 đầu lò xo phi tuyếnChiều dài thanh l 200 cmĐường kính d 4cmVật liệu thanh ThépE 2000000 daN/cm2

13

Quan hệ giữa phản lực và độ dãn dài lò xoQuy ước đơn vị Chiều dài: cm Lực : daNĐa thức xấp xỉ: v(z)= a0+ a1z+a2z2+a3z3+a4z4+a5z5

Hình 15. Thanh chịu nén có liên kết lò xo phi tuyến với

Bảng 8. Kết quả tính toán thí dụ 03

a b c d e g Pth

0 0.999758 0 -8.3E-05 4.13E-07 -6.2E-10 6826.365

z Jx v(z) v'(z) v''(z) v'''(z) v''''(z) VT(8)2

0 12.57 0 1 0 -0.0005 9.91E-06 9.83E-11

20 12.57 19.395 0.913 -0.0081 -0.0003 8.44E-06 3.89E-11

40 12.57 35.667 0.699 -0.0128 -0.0002 6.96E-06 1.21E-11

60 12.57 46.912 0.419 -0.0147 -3.68E-05 5.48E-06 2.18E-12

80 12.57 52.339 0.124 -0.0145 5.80E-05 4E-06 4.96E-15

100 12.57 52.033 -0.149 -0.0126 0.0001 2.52E-06 8.15E-13

120 12.57 46.718 -0.373 -0.0097 0.00015 1.04E-06 2.57E-12

140 12.57 37.523 -0.535 -0.0065 0.00016 -4.4E-07 4.79E-12

160 12.57 25.743 -0.632 -0.0033 0.00014 -1.9E-06 7.96E-12

180 12.57 12.604 -0.674 -0.001 8.83E-05 -3.4E-06 1.34E-11

200 12.57 -0.975 -0.681 0 5.63E-06 -4.9E-06 2.37E-11

Hàm mục tiêu f(ai)= 1.42E-09

14

Nhận xét: Mặc dù giả định đường đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết

quả tính cho thấy đường đàn hồi của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này

gần như là đường cong bậc 3. Do đó không cần giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá

cao.

V. Kết luận

Như vậy nghiên cứu đã xây dựng được một phương pháp tính ổn định thanh

chịu nén có liên kết phi tuyến dựa trên phương pháp năng lượng với sự hỗ trợ của hàm

solver để tìm lời giải cho bài toán.

Thuật toán và chương trình tính đã được kiểm chứng qua thí dụ tính toán đơn

giản và so sánh với phương pháp Ơ le với sai số nhỏ.

Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong công tác tính toán thiết kế ổn

định các cấu kiện công trình chịu nén, đồng thời đây cũng là tài liệu tham khảo thú vị

cho các nghiên cứu về bài toán ổn định của thanh và hệ thanh chịu nén.

Tài liệu tham khảo

1.Vũ Đình Lai: Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản Giao Thông Vận Tải, 2007.

2.Lương Xuân Bính, Nguyễn Xuân Lựu, Đỗ Xuân Quý: Tính toán kết cấu có

liên kết dị hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Tuyển tập công trình Hội nghị

cơ học toàn quốc lần thứ VIII.

3.Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý: Nghiên cứu ứng dụng hàm solver giải các

bài toán kỹ thuật, Tạp chí khoa học Giao Thông Vận Tải số 24- tháng 11/2008.

4.Lương Xuân Bính: Tính ổn định thanh có mặt cắt thay đổi.

15