Embed Size (px)
Citation preview
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
Đoàn Hồng Ngọc
SỰ ỔN ĐỊNH CỦAPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄUTRONG KHÔNG GIAN HILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đặng Đình Châu
Hà Nội-2011
Mục lục
Lời mở đầu 4
1 Không gian Hilbert và sự ổn định của phương trình vi phân trongkhông gian Hilbert theo hai phương pháp của Lyapunov 61.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Toán tử tuyến tính và phổ của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Toán tử tuyến tính, toán tử đóng và bao đóng của toán tử . . . 8
1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tử Volterra 9
1.3 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 15
1.3.2 Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp hàm
Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính
có nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ
nhất Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu và ứng dụng trong phương trìnhtruyền sóng 272.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Ví dụ về nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Định nghĩa về toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Tính chất của toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Ví dụ về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
2.2.4 Các định lý cơ bản về toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục mạnh 35
2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Khái niệm nhiễu của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 42
2.3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu bị chặn . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Ứng dụng với phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.1 Không gian hàm và toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.2 Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Kết luận 57
Tài liệu tham khảo 58
3
Lời mở đầu
Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân là một trong
những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính các phương trình vi phân. Ngoài các
phương pháp của Lyapunov (1857-1918), gần đây phương pháp nửa nhóm đóng một
vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của các hệ động lực tuyến tính và
dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert.
Mặc dù đã trải qua một thời gian dài của sự hình thành và phát triển, các phương
pháp nghiên cứu trên vẫn được nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu vì ngoài
các ý nghĩa sâu sắc trong lý thuyết toán học, nó còn góp phần quan trọng trong việc
nghiên cứu các mô hình ứng dụng trong vật lý học, hoá học và môi trường sinh thái.
Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:
Trong chương một, chúng tôi dành cho việc trình bày một số khái niệm chuẩn bị và
các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong không gian
Hilbert nhờ phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất. Chúng tôi
xin lưu ý rằng các toán tử tuyến tính được xét ở vế phải của các phương trình vi phân
trong chương này đều thuộc lớp các toán tử tuyến tính giới nội ( A ∈ L(X) ) và do đó
các nghiệm của phương trình vi phân tương ứng đều được hiểu theo nghĩa nghiệm cổ
điển.
Với mục đích tiếp tục mở rộng phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các bài toán tổng
quát hơn, trong chương hai chúng tôi đã tiệm cận với phương pháp nửa nhóm và chỉ
ra khả năng ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của
các phương trình vi phân trong không gian Hilbert. Nội dung chính của chương này
bao gồm lý thuyết về nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh của nửa nhóm, nửa nhóm
có nhiễu, đặc biệt là ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào việc xét tính đặt chỉnh của
phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu với toán tử ở vế phải là toán
tử tuyến tính không giới nội. Phần cuối của luận văn này, chúng tôi trình bày tóm tắt
về bài toán truyền sóng để chỉ ra khả năng ứng dụng thực tế của lý thuyết nửa nhóm
các toán tử tuyến tính.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, tác
4
giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn này
được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Đặng Đình Châu, người
đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian qua. Mặc dù bận rất nhiều công việc
nhưng Thầy vẫn luôn bảo ban, chỉ dẫn và đưa ra những ý kiến sâu sắc để giúp tôi hoàn
thành luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc
gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt chương trình cao học
và hoàn thành xong luận văn này. Và tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
5
Chương 1
Không gian Hilbert và sự ổn địnhcủa phương trình vi phân trongkhông gian Hilbert theo hai phươngpháp của Lyapunov
Trong chương này, đầu tiên chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không
gian Banach, không gian Hilbert, về toán tử tuyến tính và phổ của nó cùng ví dụ về
phổ của toán tử Volterra. Phần chính của chương là phần trình bày những kết quả cơ
bản về sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo
phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Chú ý rằng
toán tử tuyến tính ở vế phải của các phương trình vi phân được xét trong phần này
chỉ là các toán tử giới nội.
1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian tuyến tính định chuẩn)
Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực R hay các số phức
C, X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn nếu với mỗi x ∈ X có xác định một
số không âm ||x|| (gọi là chuẩn của x ) thoả mãn các điều kiện sau:
• ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X, ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
• ||λx|| = |λ|||x||, với mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X ;
• ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||, với mọi x, y ∈ X.
6
Định nghĩa 1.1.2. (Không gian đầy đủ)
Không gian X đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là dãy hội tụ, tức là xn∞n=1
là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x0 ∈ X mà xn → x0(n→ ∞).
Định nghĩa 1.1.3. (Không gian Banach)
Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, ||.||) là không gian đầy đủ thì (X, ||.||) gọi
là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.1. (Không gian Euclide n-chiều)
Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu Kn (K là R hoặc C) là tích n lần trường vô hướng
K.
Kn := x = (x1, x2, ..., xn) : x1, x2, ..., xn ∈ KTa xác định chuẩn ‖·‖2 trên K bởi
||x||2 =
√√√√n∑
i=1
|x2i |, x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Kn.
Khi đó Kn là một không gian định chuẩn với chuẩn ‖·‖2. Không gian này gọi là không
gian Euclide n-chiều. Ta có thể chứng minh được Kn là không gian Banach, xem [1]
trang 7.
Ví dụ 1.1.2. (Không gian các hàm liên tục)
Ký hiệu C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với phép cộng các hàm và
nhân một hàm với một số được hiểu theo nghĩa thông thường. Bởi vì mọi hàm liên tục
trên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định
||x|| = maxa≤t≤b
|x(t)|, x ∈ C[a, b].
Dễ thấy hàm x 7→ ||x|| xác định như trên là một chuẩn trên C[a, b]. Như vậy C[a, b]
là một không gian tuyến tính định chuẩn. Ta có thể chứng minh C[a, b] là một không
gian Banach, xem [1] trang 7.
Định nghĩa 1.1.4. (Không gian tiền Hilbert)
Không gian tuyến tính X xác định trên trường số K (K là R hoặc C) được gọi là không
gian tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x
và y thỏa mãn các tiên đề
• (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
7
• (x, y) = (y, x) với mọi x, y ∈ X.
• (αx+ βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với mọi α, β ∈ K và với mọi x, y, z ∈ X.
Định nghĩa 1.1.5. (Không gian Hilbert)
Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn sinh bởi tích vô hướng
‖x‖ =√
(x, x), x ∈ X.
1.2 Toán tử tuyến tính và phổ của nó
1.2.1 Toán tử tuyến tính, toán tử đóng và bao đóng của toántử
Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính)
Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K, toán tử A : X → Y
được gọi là tuyến tính nếu:
A(αx+ βy) = αAx+ βAy với mọi x, y ∈ X và với mọi α, β ∈ K.
Định nghĩa 1.2.2. Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi
dãy xn hội tụ đến x0, ta đều có Axn → Ax0 (n→ ∞).
Định lý 1.2.1. (Xem [1], trang 22)
Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X thì A liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Như vậy để kiểm tra tính liên tục của toán tử tuyến tính A (trong toàn không gian)
ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục tại x = 0.
Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử tuyến tính giới nội)
Giả sử X, Y là các không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là toán tử tuyến
tính giới nội (bị chặn) nếu A là toán tử tuyến tính và đưa mọi tập giới nội vào tập giới
nội.
Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến tính
giới nội trên X.
Định lý 1.2.2. (Xem [1], trang 22)
Toán tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội.
8
Định lý 1.2.3. (Xem [1], trang 22)
Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tử tuyến tính. Điều kiện
cần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 sao cho:
‖Ax‖ 6 c ‖x‖ với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X, Y là các không gian Banach. Chuẩn ‖A‖ của toán tử
tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng:
‖A‖ = sup‖x‖61
‖Ax‖ = supx 6=0
‖Ax‖‖x‖ .
Định nghĩa 1.2.5. (Toán tử đóng)
Giả sử X, Y là các không gian Banach, D(A) là không gian vectơ con của X. Toán tử
tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y gọi là toán tử đóng nếu với mọi dãy xn∞n=1 ⊂ D(A)
mà xn → x, Axn → y thì x ∈ D(A) và Ax = y hay nói cách khác đồ thị G(A) =
(x,Ax) : x ∈ D(A) ⊂ X × Y là tập đóng trong X × Y.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử X, Y là các không gian Banach, D(A) là không gian vectơ
con của X. Nếu A : D(A) → Y là toán tử bị chặn thì A là toán tử đóng khi và chỉ khi
D(A) là không gian vectơ con đóng.
Chứng minh. Thật vậy, vì A bị chặn nên A liên tục. Giả sử xn∞n=1 ⊂ D(A) : xn → x,
Axn → y. Khi đó x ∈ D(A) khi và chỉ khi D(A) đóng. Ax = y do A liên tục và giới
hạn là duy nhất.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử X, Y là các không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y . Khi
đó B : D(B) ⊂ X → Y gọi là mở rộng của A nếu D(A) ⊂ D(B) và Ax = Bx với mọi
x ∈ D(A).
Toán tử A gọi là có bao đóng nếu B là mở rộng của A và B là toán tử đóng.
1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tửVolterra
Giả sử X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.7. Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A),
trong đó D(A) là không gian vectơ con của X.
(i) Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữa
D(A) và X đồng thời (λI − A)−1 ∈ L(X).
9
(ii) Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A.
(iii) Tập hợp các điểm không phải là giá trị chính quy của A gọi là phổ của toán tử A
(kí hiệu là σ(A)). Ta có σ(A) = C \ ρ(A).(iv) Toán tử R(λ,A) = (λI − A)−1được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán
tử A.
Nếu A là toán tử đóng thì (λI − A) cũng là toán tử đóng (do λI liên tục). Do đó
nếu (λI −A)−1 tồn tại thì cũng là toán tử đóng. Suy ra nếu (λI −A) là song ánh giữa
D(A), A là toán tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)−1 là liên tục. Vậy đối
với toán tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là:
ρ(A) =λ ∈ C : λI −A là song ánh giữa D(A) và X
.
σ(A) = C\ρ(A) = λ ∈ C : (λI − A) : D(A) → X không là song ánh.
A. Một số tính chất của phổ
Định lý 1.2.4. Nếu toán tử A không có phổ là toàn mặt phẳng phức C thì A là toán
tử đóng. (Nếu A không đóng thì phổ là C.)
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại λ /∈ σ(A). Khi đó B = (λI − A)−1 ∈ L(X);
B : X → D(A). Giả sử xnn ⊂ D(A): xn → x, Axn → y.
Đặt hn = (λI−A)xn. Suy ra limn↓∞
hn = λx−y. Vì B liên tục nên B(λx−y) = limn↓∞
Bhn =
limn↓∞
xn = x. Suy ra x ∈ D(A). Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y. Suy
ra Ax = y.
Vậy A là toán tử đóng.
Định lý 1.2.5. (Phương trình giải thức Hilbert)
Đối với λ, µ ∈ ρ(A), ta có phương trình giải thức sau:
R(λ,A)− R(µ,A) = (µ− λ)R(λ,A)R(µ,A).
Chứng minh. Ta có: λR(λ,A)− AR(λ,A) = I = µR(µ,A)− AR(µ,A).
Suy ra
[λR(λ,A)− AR(λ,A)]R(µ,A) = R(µ,A).
R(λ,A)[µR(µ,A)− AR(µ,A)] = R(λ,A).
Do A, R(λ,A) giao hoán nên
R(λ,A)− R(µ,A) = (µ− λ)R(λ,A)R(µ,A).
10
Hệ quả 1.2.1. Với mọi λ, µ ∈ ρ(A), R(λ,A), R(µ,A) giao hoán và:
R(λ,A)− R(µ,A)
µ− λ= R(λ,A)R(µ,A).
Định lý 1.2.6. Đối với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X, các tính chất sau xảy ra:
(i) Tập giải thức ρ(A) là mở trong C và với µ ∈ ρ(A) ta có:
R(λ,A) =∞∑
n=0
(µ− λ)nRn+1(µ,A)
với mọi λ ∈ C thoả mãn: |µ− λ| < ‖R(µ,A)‖−1.
(ii) Ánh xạ giải thức λ→ R(λ,A) là giải tích địa phương với
dn
dλnR(λ,A) = (−1)nn!R(λ,A)n+1 ∀n ∈ N. (1.1)
(iii) Giả sử dãy số λnn ⊂ ρ(A) và limn→∞
λn = λ0.
Khi đó λ0 ∈ σ(A) ⇔ limn→∞
‖R(λn, A)‖ = +∞.
Chứng minh xem [6], chương V, mệnh đề 1.3.
B. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian BanachPhổ của toán tử sẽ phụ thuộc vào loại không gian mà toán tử xác định trên đó và loại
toán tử mà ta xét đến. Sau đây ta xét toán tử tuyến tính bị chặn T trên không gian
Banach phức X.
Định lý 1.2.7. Cho T ∈ L(X) trong đó X là không gian Banach. Nếu ‖T‖ < 1 thì
(I − T )−1 tồn tại như một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian X và
(I − T )−1 =
∞∑
j=0
T j = I + T + T 2 + ... + T n + ... (1.2)
trong đó chuỗi bên vế phải hội tụ theo chuẩn trên L(X).
Chứng minh. Ta có ‖T j‖ 6 ‖T‖j. Chuỗi∑ ‖T‖j hội tụ khi ‖T‖ < 1. Do đó chuỗi
trong 1.2 hội tụ tuyệt đối khi ‖T‖ < 1. Ta biết chuỗi hội tụ tuyệt đối suy ra hội tụ. Vì
vậy chuỗi trong 1.2 hội tụ. Kí hiệu vế phải của 1.2 là S, ta chứng minh S = (I − T )−1.
Đặt Sn = I + T + ...+ T n, ta có Sn → S. Xét
(I − T )(I + T + ... + T n) = (I + T + ...+ T n)(I − T ) = I − T n+1.
Cho n → ∞. Khi đó T n+1 → 0 vì ‖T‖ < 1. Ta suy ra (I − T )Sn = Sn(I − T ) → I.
Chứng tỏ S = (I − T )−1.
11
Định lý 1.2.8. (Định lý phổ)
Phổ σ(T ) = C\ρ(T ) của một toán tử tuyến tính bị chặn T : X → X trên một không
gian Banach phức X là compact và nằm trong hình tròn
λ 6 ‖T‖ . (1.3)
Do đó giải thức ρ(T ) của T khác rỗng.
Chứng minh. Với λ ∈ C, xét
(λI − T )−1 = [λ(I − 1
λT )]−1
=1
λ(I − 1
λT )−1 (1.4)
Theo định lý 1.2.7 nếu1
λ‖T‖ =
1
λ‖T‖ =
‖T‖λ
< 1 tức là |λ| > ‖T‖ thì (λI−T )−1 tồn
tại như một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian X. Như vậy nếu |λ| > ‖T‖ thì
λ ∈ ρ(T ). Khi đó phổ σ(T ) = C\ρ(T ) phải nằm trong hình tròn 1.3. Vậy σ(T ) bị chặn
mà σ(T ) đóng nên σ(T ) là compact.
Định lý 1.2.9. (Xem [6], trang 157) Nếu X 6= 0 là một không gian Banach phức
và T ∈ L(X) thì σ(T ) 6= ∅.
Định lý 1.2.10. (Định lý ánh xạ phổ)
Nếu A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H và f(z) là hàm giải
tích trên miền mở D ⊃ σ(A) thì
σ(f(A)) = f(σ(A)).
C. Bán kính phổ
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử X là không gian Banach phức và σ(T ) là phổ của toán tử
T ∈ L(X). Khi đó số
r(T ) = sup|λ| : λ ∈ σ(T )
được gọi là bán kính phổ của toán tử T .
Định lý 1.2.11. (Công thức tính bán kính phổ, xem [6] trang 158)
Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach X. Khi đó bán kính phổ
r(T ) của toán tử T được tính bởi công thức sau
r(T ) = limn↓∞
n
√‖T n‖.
12
D. Ví dụ về phổ của toán tử VolterraCho k(t, s) là một hàm liên tục hai biến trên tập
D := (t, s) : a 6 t 6 b, a 6 s 6 t .
Với một hàm f cho trước trên đoạn [a, b], phương trình sau đây được gọi là phương
trình tích phân Volterra loại 2
x(t) = f(t) +
t∫
a
k(t, s)x(s)ds, (1.5)
trong đó x(t), t ∈ [a, b] là hàm cần xác định. Trong mục này ta sẽ ứng dụng lý thuyết
phổ được trình bày ở trên để tìm phổ của toán tử Volterra
(Ax)(t) =
t∫
a
k(t, s)x(s)ds. (1.6)
Với toán tử A xác định trong 1.6, phương trình 1.5 có thể được viết thành:
(I − A)x = f. (1.7)
Vì vậy việc tìm phổ của toán tử A có ý nghĩa đối với việc giải được và giải nghiệm cụ
thể của phương trình 1.5.
Đặt K = max(t,s)∈D
|k(t, s)|. Xét dãy xn(t) n xác định bởi:
x1(t) =
t∫
a
k(t, s)x(s)ds,
x2(t) =
t∫
a
k(t, s)x1(s)ds,
.................................
xn(t) =
t∫
a
k(t, s)xn−1(s)ds.
13
Với mọi t ∈ [a, b], ta có:
|x1(t)| 6t∫
a
|k(t, s)| |x(s)| ds 6 K(t− a) ‖x‖ ,
|x2(t)| 6 K
t∫
a
K(s− a) ‖x‖ ds =K2 (t− a)2
2‖x‖ ,
.................................
|xn(t)| 6 K
t∫
a
Kn−1 (s− a)n−1
(n− 1)!‖x‖ ds =Kn (t− a)n
n!‖x‖ .
Hiển nhiên theo định nghĩa của toán tử A ta có: xn(t) = Anx(t). Vì t ∈ [a, b] nên
‖Anx‖ 6Kn(b− a)n
n!‖x‖ .
Suy ra
‖An‖ 6Kn(b− a)n
n!. (1.8)
Áp dụng công thức tính bán kính phổ ở định lý 1.2.11 cho 1.8 ta có:
r(A) 6 limn↓∞
K(b− a)n√n!
= 0.
Vậy r(A) = 0. Theo định lý 1.2.9, σ(A) 6= ∅ nên λ = 0 ∈ σ(A). Vậy σ(A) = 0.Một trong những ý nghĩa của việc xác định được phổ của toán tử Volterra ở trên
là toán tử I − A khả nghịch và do đó phương trình tích phân Volterra 1.7 có nghiệm
duy nhất x = (I − A)−1f.
1.3 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi
phân trong không gian Hilbert
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày những kết quả cơ bản về tính ổn định
của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo hai phương pháp
của Lyapunov, đó là phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất
Lyapunov. Trước hết, ta cần nhắc lại khái niệm phương trình vi phân trong không gian
Hilbert cũng như nghiệm của nó và một số định lý cơ bản về sự có nghiệm của phương
trình này.
14
1.3.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert
Cho H là không gian Hilbert. Trong H ta xét phương trình vi phân
dx(t)
dt= f(t, x(t)), (1.9)
trong đó f : R+ ×H → H, t ≥ 0; x(.) ∈ H.
Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của phương trình (1.9) là
nghiệm theo nghĩa cổ điển sau:
Định nghĩa 1.3.1. Hàm trừu tượng x = x(t)(x : I −→ H; I ⊂ R+) xác định trên I,
khả vi liên tục theo t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.9) nếu khi ta thay nó vào (1.9) sẽ
thu được một đồng nhất thức trên I, tức là
dx(t)
dt= f(t, x(t)) với mọi t ∈ I,
trong đódx(t)
dtlà đạo hàm được hiểu theo nghĩa Fretche.
Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.9) thỏa mãn điều
kiện ban đầu x(t0) = x0 với (t0, x0) ∈ I ×H cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.9), người ta thường xét phương trình dạng tích
phân:
x(t) = x0 +
t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ. (1.10)
Nhận xét: Nếu f liên tục theo chuẩn trong H thì ta có thể chỉ ra rằng nghiệm của
(1.10) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.
Sau đây tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản về sự có nghiệm của bài toán Cauchy.
Định lý 1.3.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại lân cận đóng (t0, x0) sao cho trong lân cận đó hàm f(t, x) liên tục
theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz
||f(t, x2)− f(t, x1)|| ≤M ||x2 − x1|| (1.11)
(M là hằng số hữu hạn).
Khi đó tồn tại lân cận của x0 mà trong lân cận đó (1.9) có duy nhất nghiệm x = x(t)
thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0.
Chứng minh xem [2], định lý 2.1 trang 187.
Chú ý: Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất trên ||t− t0|| ≤ ǫ , ||x− x0|| ≤ η với ǫ, η
đủ nhỏ. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn bộ [a, b].
15
Định lý 1.3.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)
Giả sử tồn tại miền [a, b]× H mà trên miền đó hàm f(t,x) liên tục theo t vào thỏa
mãn điều kiện Lipschitz (1.11). Khi đó với mọi (t0, x0) ∈ [a, b] × H, bài toán Cauchy
có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b] .
Chứng minh xem [2], định lý 2.2 trang 188.
Định lý 1.3.3. (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)
Giả sử ||x|| <∞, t ≥ t0, hàm f(t, x) thỏa mãn điều kiện
||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất∫ r
r0
dr
L(r)→ ∞ khi r → ∞.
Khi ấy mọi nghiệm của phương trình (1.9) có thể kéo dài trên khoảng thời gian vô
hạn t0 ≤ t <∞.
Chứng minh xem [2], định lý 2.3 trang 189.
1.3.2 Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phântrong không gian Hilbert
Giả sử H là không gian Hilbert tách được;
D = (t, x) ∈ (a, b)×H : |t− t0| ≤ T ; ||x− x0|| ≤ r.
Xét phương trình vi phândx(t)
dt= f(t, x(t)), (1.12)
trong đó t ∈ R+; x ∈ H; f : D −→ H là một hàm liên tục thỏa mãn f(t, 0) = 0 và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 sao cho:
Với mọi (t, x1), (t, x2) ∈ D thì ||f(t, x1)− f(t, x2)|| ≤ L||x1 − x2||.Trước hết chúng ta nêu một số định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường.
Ký hiệu:
G = x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r < +∞;x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của phương trình ( 1.12) thỏa mãn điều kiện
ban đầu x(t0) = x0 (x0 ∈ G).
16
Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)
được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t→ +∞ nếu :
∀ǫ > 0, t0 ∈ R+; ∃δ = δ(t0, ǫ) > 0 : ∀x0 ∈ G; ||x0|| < δ → ||x(t, t0, x0)|| < ǫ; ∀t ≥ t0.
Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)
được gọi là ổn định đều theo Lyapunov khi nếu số δ trong định nghĩa (1.3.2) không phụ
thuộc vào t0.
Định nghĩa 1.3.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.12) được
gọi là ổn định tiệm cận khi t→ ∞ nếu :
(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định;
(ii) Tồn tại = (t0) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0|| < thì
limt→+∞
||x(t, t0, x0)|| = 0.
Định nghĩa 1.3.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.12) được
gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:
(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều;
(ii) Tồn tại > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn
||x0|| < thì
limt→+∞
||x(t, t0, x0)|| = 0.
Định nghĩa 1.3.6. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)
được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu mọi nghiệm x = x(t, t0, x0) của (1.12) thỏa
mãn
||x(t, t0, x0)|| ≤ B||x0||e−α(t−t0)
trong đó B, α là hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào (t0, x0).
Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ta thường dùng hai phương
pháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov và phương pháp thứ hai
Lyapunov hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov.
Trước hết tôi sẽ trình bày lại một số kết quả cơ bản về tính ổn định của nghiệm
tầm thường của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo phương pháp hàm
Lyapunov.
17
1.3.3 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháphàm Lyapunov
Định nghĩa 1.3.7. (Phiếm hàm Lyapunov)
Ta nói phiếm hàm V : R+ ×H → R
+ là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai.
Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (1.12), kí hiệu là.
V (t, x) được xác định
bởi.
V (t, x) = limh→+∞
1
hV [t + h, x+ hf(t, x)]− V (t, x).
Kí hiệu CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương.
Định lý 1.3.4. (Định lý ổn định, xem [9].)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+×H → R+ và hàm a(.) ∈ CIP
thỏa mãn các điều kiện:
(i) V (t, 0) = 0;
(ii) a(||x||) ≤ V (t, x);
(iii).
V (t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) là ổn định.
Định lý 1.3.5. (Định lý ổn định đều, xem [9].)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và các hàm
a(.), b(.) ∈ CIP thỏa mãn các điều kiện:
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||);(ii)
.
V (t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) ổn định đều.
Định lý 1.3.6. (Định lý ổn định tiệm cận đều, xem [9].)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và các hàm
a(.), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn các điều kiện:
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||);(ii)
.
V (t, x) ≤ −c(||x||).Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.12) ổn định tiệm cận đều.
Phương pháp hàm Lyapunov được áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu định tính
các hệ vi phân, nhất là các hệ phi tuyến. Tuy nhiên việc xác định hàm Lyapunov nói
chung là khó. Vì vậy để nghiên cứu sự ổn định của một số phương trình vi phân người
ta còn sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra
một số định lý về sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có
nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov.
18
1.3.4 Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyếntính có nhiễu trong không gian Hilbert theo phươngpháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov
A. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân tuyến tính thuầnnhất trong không gian Hilbert
Giả sử H là không gian Hilbert. Trong H , xét phương trình
dx
dt= A(t)x. (1.13)
Giả sử toán tử A(t) với mỗi giá trị cố định của t là một toán tử tuyến tính giới nội và
hàm toán tử A(t) liên tục theo t khi t ≥ 0.
Do đó, theo định lý 1.3.1 phương trình 1.13 thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất
nghiệm với bài toán giá trị ban đầu; còn theo định lý 1.3.3 tất cả các nghiệm của
phương trình này đều thác triển không giới nội được trên nửa khoảng thời gian vô hạn.
Trong không gian L(H) ta xét phương trình
.
U = A(t)U, (1.14)
trong đó U(t) là hàm toán tử lấy giá trị trong L(H). Giả sử U(t) là nghiệm của phương
trình 1.14 thoả mãn điều kiện U(0) = I, ta chứng tỏ tồn tại toán tử ngược U−1(t).
Thật vậy, ký hiệu V (t) là nghiệm của phương trình.
V = −V A(t) thoả mãn điều kiện
V (0) = I. Đặt W1(t) = V (t)U(t). Suy ra
.
W1(t) = V (t).
U(t) +.
V (t)U(t) = V AU − V AU = 0.
Do đó.
W1(t) là toán tử hằng số và bằng I. Đặt W2(t) = U(t)V (t), ta có
.
W2(t) =.
U V (t) + U.
V (t) = AUV (t) + U(−V A)(t) = AUV (t)− UV A(t).
Vậy.
W2 = AW2 −W2A. Phương trình cuối cùng này nhận.
W2(t) = I là nghiệm. Theo
tính chất duy nhất nghiệm, mọi nghiệm bất kỳ khác xác định bởi điều kiện W2(0) = I
cũng phải trùng với nghiệm này. Vậy W2(t) = I. Suy ra UV = V U .
Đặt W (t, t0) = U(t)U−1(t0) thì W (t, t0) được gọi là toán tử Cauchy của phương
trình 1.13. W (t, t0) có tính chất W (t, t1)W (t1, t0) = W (t, t0). Dễ thấy, nghiệm của
phương trình 1.13 thoả mãn điều kiện x(t0) = x0 có thể viết dưới dạng x(t) =
W (t, t0)x0.
Trong trường hợp đặc biệt, khi A(t) = A, A ∈ L(H), ta sẽ chỉ ra U(t) = eAt. Toán
tử mũ eAt được xác định như sau
19
Định nghĩa 1.3.8. Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, ta
định nghĩa
etA =
∞∑
n=0
(tA)n
n!(1.15)
với mỗi t ≥ 0. (Qui ước 00 = I.)
Chú ý: Chuỗi∞∑n=0
‖(tA)n‖n!
hội tụ vì
‖(tA)n‖n!
6tn‖A‖nn!
với mọi t > 0
và chuỗi số∞∑n=0
tn‖A‖nn!
hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert. Do đó chuỗi∞∑n=0
(tA)n
n!hội tụ
trong L(X). Vì vậy etA hoàn toàn được xác định.
Bây giờ, xét phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert H
.x(t) = Ax(t), x(t) ∈ X, t > 0; (1.16)
với A : H → H là toán tử tuyến tính giới nội. Ta sẽ chứng minh etAx0 là nghiệm của
phương trình 1.16 thoả mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0. Trước hết ta cần có mệnh
đề sau.
Mệnh đề 1.3.1. Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, xác
định etA bởi 1.15. Khi đó, ánh xạ
R+ t 7→ T (t) := etA ∈ (L(X), || · ||)
liên tục và thoả mãn
T (t+ s) = T (t)T (s) với t, s ≥ 0,
e0A = I.
(Ký hiệu R+ là tập các số thực không âm.)
Chứng minh. Áp dụng quy tắc Cauchy về nhân chuỗi luỹ thừa:(
∞∑
n=0
anxn
)(∞∑
n=0
bnxn
)=
∞∑
n=0
cnxn
với cn = a0bn + a1bn−1 + ...+ anb0, ta có:
T (t)T (s) =
(∞∑
n=0
(tA)n
n!
)(∞∑
n=0
(sA)n
n!
)
=
(∞∑
n=0
cnAn
)
20
với
cn =1
n!
n∑
k=0
n!
k!(n− k)!tksn−k
=1
n!(t+ s)n.
Vậy
T (t)T (s) =
∞∑
n=0
[(t+ s)A]n
n!= T (t+ s).
Khi đó, ta có
e(t+h)A − etA = etA(ehA − I)
với mọi t, h ∈ R. Do đó, để chứng minh T (T ) liên tục, ta chỉ cần chỉ ra
limh↓0
ehA = I. (1.17)
Đẳng thức 1.17 được suy từ đánh giá sau
∥∥ehA − I∥∥ =
∥∥∥∥∥
∞∑
k=1
hkAk
k!
∥∥∥∥∥
6
∞∑
k=1
|h|k‖A‖kk!
= e|h|·‖A‖ − 1.
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Định lý sau đây sẽ chỉ ra rằng etAx0 là nghiệm của phương trình 1.16 thoả mãn
điều kiện ban đầu x(0) = x0.
Định lý 1.3.7. Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, xác
định etA bởi 1.15. Khi đó, ánh xạ
R+ t 7→ T (t) := etA ∈ (L(X), || · ||)
khả vi và thoả mãn
d
dtT (t) = AT (t) với t ≥ 0,
T (0) = I.
Chứng minh. Theo mệnh đề trên ta có
T (t + h)− T (t)
h=T (h)− I
h· T (t)
21
với mọi t, h ∈ R. Do đó, để chứng minh định lý, ta chỉ cần chỉ ra
limh↓0
T (h)− I
h= A.
Đẳng thức trên được suy ra từ đánh giá sau∥∥∥∥T (h)− I
h− A
∥∥∥∥ 6 ‖A‖∞∑
k=2
|h|k−1‖A‖k−1
k!
6 ‖A‖ (e|h|·‖A‖ − 1) → 0 khi h→ 0.
Vậy định lý được chứng minh.
Kết quả sau đây được trích dẫn từ tài liệu [4].
Định lý 1.3.8. (Định lý Lyapunov về ổn định mũ của phương trình vi phân)
Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình 1.16 ổn định mũ nếu một trong các mệnh
đề sau được thoả mãn.
(i) r(eA) < 1, ở đây r(eA) là bán kính phổ của toán tử eA.
(ii) σ(A) ⊂ z ∈ C : Rez < 0.
B. Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong khônggian Hilbert
Trong phần này ta xét mối liên hệ về sự ổn định của nghiệm tầm thường của
phương trình thuần nhất và không thuần nhất. Giả sử W (t, t0) = U(t)U−1(t0) là toán
tử Cauchy của phương trình 1.13. Dễ thấy, nếu có bất đẳng thức
||W (t, t0)|| ≤ Be−α(t−t0) (1.18)
trong đó B, α là hằng số dương nào đó, không phụ thuộc vào t0 thì đây là điều kiện
để nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.13) ổn định theo số mũ.
Tương ứng với phương trình thuần nhất 1.13, ta xét phương trình không thuần
nhấtdx
dt= A(t)x+ u(t),
trong đó u(t) là hàm lấy giá trị trong H. Nghiệm của phương trình này có thể nhận
được theo công thức Cauchy:
x(t) = W (t, t0)x0 +
t∫
t0
W(t, s)u(s)ds
mà ta có thể dễ dàng nghiệm lại bằng cách thử trực tiếp.
22
Xét phương trìnhdx
dt= A(t)x(t) +R(t, x(t)), (1.19)
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính giới nội, liên tục theo t; R(t, x(t)) là hàm thỏa mãn
điều kiện R(t, 0) = 0 và
||R(t, x)|| ≤ L||x|| trong miền G. (1.20)
Để xét sự ổn định của phương trình 1.19 ta cần tới các bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề Gronwall, xem [3]) Giả sử u,m : R+ → R+ \ 0 là các hàm
liên tục. Khi đó nếu
u(t) 6 c +
t∫
t0
m(τ)u(τ)dτ (t ≥ t0, c > 0)
thì ta có
u(t) 6 c. exp
t∫
t0
m(τ)dτ .
Bổ đề 1.3.2. Giả sử u(t) là một hàm liên tục thoả mãn khi t > t0 bất đẳng thức
0 < u(t) < δ +
t∫
t0
(η + Lu(t))dt
trong đó δ, η, L là những hằng số và δ ≥ 0, η ≥ 0, L > 0. Khi đó ta có bất đẳng thức:
u(t) <η
L(eL(t−t0) − 1) + δeL(t−t0).
Chứng minh, xem [2], bổ đề 1.1, trang 11.
Định lý 1.3.9. (Về sự ổn định theo xấp xỉ thứ nhất)
Nếu điều kiện (1.20) và (1.18) được thỏa mãn và ngoài ra nếu các hằng số α, B, L
thỏa mãn bất đẳng thức
λ = α− BL > 0 (1.21)
thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.19) sẽ ổn định mũ.
Chứng minh: Thậy vậy, xét phương trình tích phân tương đương với phương trình
(1.13)
x(t) = W (t, t0)x0 +
∫ t
t0
W (t, τ)R(τ, x(τ))dτ. (1.22)
23
Từ các điều kiện(1.20) và (1.18) ta có đánh giá
||x(t)|| ≤ B.e−α(t−t0)||x0||+∫ t
t0
BL.e−α(t−s)||x(s)||ds. (1.23)
Nếu đưa vào ký hiệu ϕ(t) = eαt||x(t)|| thì từ ( 1.23) ta suy ra
ϕ(t) ≤ Beαt0 ||x0||+BL
∫ t
t0
ϕ(s)d(s).
Từ đó theo bổ đề 1.3.2 ta nhận được
ϕ(t) ≤ eBL(t−t0)Beαt0 ||x0||.
Vậy ta có:
||x(t)|| ≤ Be(BL−α)(t−t0)||x0||. (1.24)
Vì BL− α < 0 nên ta có sự ổn định theo số mũ cần chứng minh.
Cùng với toán tử tuyến tính A(t) bây giờ ta xét toán tử tuyến tính F (t) khác.
Hệ quả 1.3.1. Giả sử bất đẳng thức (1.18) được thỏa mãn và có bất đẳng thức
||F (t)|| ≤ L (0 ≤ t <∞).
Ngoài ra, nếu các đại lượng α,B, L thỏa mãn điều kiện (1.21) thì nghiệm tầm
thường x ≡ 0 của phương trình
dx
dt= (A(t) + F (t))x (1.25)
ổn định theo số mũ.
Định lý 1.3.10. Giả sử H là không gian Hilbert. Xét phương trình
dx
dt= A(t)x+ ψ(t, x) + g(t, x), (1.26)
trong đó ψ, g : R+ ×H → H thoả mãn các điều kiện sau:
(i) ‖ψ(t, x)‖ 6 L ‖x‖ , ψ(t, 0) = 0;
(ii) ‖g(t, x)‖ 6 ϕ(t) ‖x‖ , g(t, 0) = 0,+∞∫0
ϕ(t)dt < +∞.
Ký hiệu W (t, s) là toán tử Cauchy của phương trình
dx
dt= A(t)x.
Khi đó nếu tồn tại các số dương c và λ sao cho
‖W(t, s)‖ 6 ce−λ(t−s), ∀t ≥ s ≥ 0
thì nghiệm x(t) = 0 của phương trình 1.26 ổn định tiệm cận nếu cL < λ.
24
Chứng minh. Giả sử x(t) là một nghiệm của phương trình 1.26 thoả mãn điều kiện
ban đầu x(t0) = x0. ta có
x(t) = W(t, t0)x(t0) +
t∫
t0
W(t, τ)[ψ(τ ,x(τ)) + g(τ ,x(τ))]dτ với t ≥ t0 ≥ 0.
Vậy
‖x(t)‖ 6 ‖W(t, t0)‖ ‖x(t0)‖+t∫
t0
‖W(t, τ)‖ ‖ψ(τ ,x(τ)‖ dτ
+
t∫
t0
‖W(t, τ)‖ ‖g(τ ,x(τ)‖ dτ
6 ce−λ(t−t0) ‖x(t0)‖+t∫
t0
ce−λ(t−τ)L ‖x(τ)‖ dτ
+
t∫
t0
ce−λ(t−τ)ϕ(τ) ‖x(τ)‖ dτ.
Suy ra ‖x(t)‖ eλt 6 ceλt0 ‖x(t0)‖+ c
t∫
t0
eλτL ‖x(τ)‖ dτ + c
t∫
t0
eλτϕ(τ) ‖x(τ)‖ dτ
6 ceλt0 ‖x(t0)‖+ c
t∫
t0
(L+ ϕ(τ)) ‖x(τ)‖ eλτdτ.
Áp dụng bổ đề Gronwall ta có
‖x(t)‖ eλt 6 ceλt0 ‖x(t0)‖ expct∫
t0
(L+ ϕ(τ))dτ.
Suy ra
‖x(t)‖ 6 c ‖x(t0)‖ e−λ(t−t0)ecL(t−t0) expct∫
t0
ϕ(τ)dτ
6 ce−(λ−cL)(t−t0) expc+∞∫
0
ϕ(τ)dτ ‖x(t0)‖
6 cMe−(λ−cL)(t−t0) ‖x(t0)‖
với M = expc+∞∫0
ϕ(τ)dτ < +∞ (do+∞∫0
ϕ(t)dt < +∞). Với cL < λ, ta có
‖x(t)‖ 6 cM ‖x(t0)‖
25
và
‖x(t)‖ → 0 (t→ +∞).
Vậy x(t) = 0 ổn định tiệm cận.
26
Chương 2
Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễuvà ứng dụng trong phương trìnhtruyền sóng
Với mục đích mở rộng phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov cho các phương
trình vi phân mà toán tử ở vế phải là toán tử tuyến tính không giới nội, trong chương
này, chúng ta sẽ tiệm cận phương pháp nửa nhóm và chỉ ra khả năng ứng dụng của
nó trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert. Cuối chương là phần trình bày tóm tắt một ứng dụng thực tế của
lý thuyết nửa nhóm vào phương trình truyền sóng.
2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Ba-
nach
Để tổng quát, chúng ta đi tìm hiểu tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh trong
không gian Banach, các tính chất này sẽ vẫn còn đúng trong không gian Hilbert.
2.1.1 Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh
Định nghĩa 2.1.1. Một họ (T (t))t≥0 của toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian
Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0− nửa nhóm ) nếu nó thoả
mãn phương trình hàm
(FE)
T (t+ s) = T (t)T (s) ∀t, s ≥ 0,
T (0) = I
27
và liên tục mạnh theo nghĩa như sau. Với mọi x ∈ X, ánh xạ quỹ đạo
(SC) ξx : t 7→ ξx(t) = T (t)x
liên tục từ R+ 7→ X.
Mệnh đề 2.1.1. Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm từ một tập
compact K ∈ R vào L(X). Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(i) F là toán tử tôpô liên tục mạnh, tức là ánh xạ K t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục với
mọi x ∈ X.
(ii) F là bị chặn đều trên K và ánh xạ K t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục với mọi
x ∈ D ⊂ X, D trù mật trong X.
(iii) F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập compact của X, tức là ánh xạ
K × C (t, x) 7→ F (t)x ∈ X là liên tục đều đối với tập compact C trong X.
Chứng minh xem [6], I.1.2.
Mệnh đề 2.1.2. Cho một nửa nhóm T (t)t≥0 trên một không gian Banach X. Khi đó
các tính chất sau là tương đương.
(i) T (t)t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
(ii) limt↓0
T (t)x = x với mọi x ∈ X.
(iii) Có một số δ > 0, M > 1 và một tập con trù mật D ⊂ X thoả mãn
• ‖T (t)‖ 6M ∀t ∈ [0, δ] ;
• limt↓0
T (t)x = x ∀x ∈ D.
Mệnh đề 2.1.3. (Xem [6] trang 4.)
Với mỗi nửa nhóm liên tục mạnh (T (T ))t≥0, tồn tại các hằng số ω ∈ R và M ≥ 1 sao
cho
||T (t)|| ≤Meωt (2.1)
với mọi t ≥ 0.
Định nghĩa 2.1.2. Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (T ))t≥0. Khi đó, ta có các khái
niệm sau.
(i) Nửa nhóm (T (T ))t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn nếu trong 2.1 ta có thể chọn
ω = 0.
(ii) Nửa nhóm (T (T ))t≥0 được gọi là nửa nhóm co nếu trong 2.1 ta có thể chọn ω = 0
và M = 1.
28
2.1.2 Ví dụ về nửa nhóm liên tục mạnh
Định nghĩa 2.1.3. Cho f : R → C và t ≥ 0. Ta gọi (Tl(t)f)(s) = f(s+ t), với s ∈ R
là phép tịnh tiến trái của f bởi t và (Tr(t)f)(s) = f(s− t), với s ∈ R là phép tịnh tiến
phải của f bởi t.
Ví dụ 2.1.1. (Nửa nhóm tịnh tiến)
Xét trong không gian Lp(R) (không gian các hàm khả tích bậc p trên R, 1 ≤ p < +∞)
các phép tịnh tiến trái
T (t)f(s) = f(t+ s) ∀s ∈ R, ∀t ≥ 0.
Khi đó (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
Chứng minh. • Ta chứng minh T(t) là toán tử tuyến tính. Thật vậy, với mọi t, h ≥ 0
và với mọi f1, f2 ∈ Lp(R) ta có:
T (t)(f1+ f2)(s) = (f1+ f2)(t+ s) = f1(t+ s) + f2(t+ s) = T (t)f1(s) + T (t)f2(s).
Suy ra T (t)(f1 + f2) = T (t)f1 + T (t)f2. Ngoài ra, với mọi f ∈ Lp(R) và k ∈ C ta
có
T (t)(kf)(s) = (kf)(t+ s) = k.f(t+ s) = k.T (t)f(s).
Suy ra T (t)(kf) = k.T (t)f.
• Ta chứng minh T(t) liên tục với mọi t ≥ 0. Thật vậy:
||T (t)f ||Lp = (∫R
|f(t+ s)|pds) 1
p
= (∫R
|f(u)|pdu) 1
p = ||f ||Lp ∀f ∈ Lp(R).
Suy ra ||T (t)|| = 1 với mọi t ≥ 0.
• Ta chứng minh (T (t))t≥0 là nửa nhóm. Thật vậy, với mọi t1, t2, s ≥ 0 và với mọi
f ∈ Lp(R), ta có:
T (t1 + t2)f(s) = f(t1 + t2 + s);
[T (t1)T (t2)f ](s) = [T (t1)(T (t2)f)](s) = T (t2)f(t1 + s) = f(t2 + t1 + s).
Suy ra T (t1 + t2) = T (t1)T (t2). Ngoài ra, với mọi f ∈ Lp(R) ta có
T (0)f(s) = f(0 + s) = f(s)
nên T (0)f = f. Suy ra T (0) = I.
29
• Ta chứng minh T (t)t≥0 liên tục mạnh, tức là
limt↓0+
‖T (t)f − f‖Lp = 0
với mọi f ∈ Lp(R). Thật vậy, giả sử f là hàm liên tục có giá compact, tức là
suppf = t ∈ R : f(t) 6= 0
compact. Suy ra f liên tục đều. Ta có
limt↓0+
‖T (t)f − f‖∞ = limt↓0+
sups∈R
|f(t + s)− f(s)| = 0.
Mặt khác,
‖T (t)f − f‖Lp 6 c‖T (t)f − f‖∞ → 0 khi t→ 0+.
Suy ra
limt↓0+
‖T (t)f − f‖Lp = 0 ∀f ∈ Lp(R).
Vậy T (t)t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
Định nghĩa 2.1.4. T (t)t≥0 gọi là nửa nhóm liên tục đều trong L(X) nếu ánh xạ:
t ∈ R+ 7→ T (t) ∈ L(X) liên tục đối với tôpô chuẩn trong L(X), tức là
limt→0+
‖T (t+ h)− T (t)‖ = 0 ∀t > 0. (2.2)
Nhận xét: Từ định nghĩa dễ thấy liên tục đều thì kéo theo liên tục mạnh.
Ta chứng minh 2.2 tương đương với
limh→0+
‖T (h)− I‖ = 0. (2.3)
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh 2.3 ⇒ 2.2.
Với t0 > 0, h > 0, ta có:
‖T (t0 + h)− T (t0)‖ 6 ‖T (t0)‖ ‖T (h)− I‖ → 0 khi h→ 0+.
Suy ra t 7→ T (t) liên tục bên phải tại t0. Với h < 0, ta có:
‖T (t0 + h)− T (t0)‖ 6 ‖T (t0 + h)‖ ‖I − T (−h)‖ → 0 khi h→ 0−.
Do ‖T (t0 + h)‖ bị chặn trên [0, t0] nên t 7→ T (t) liên tục bên trái tại t0. Vậy t 7→ T (t)
liên tục tại t0.
30
Ví dụ 2.1.2. (Nửa nhóm liên tục đều)
Cho X là không gian Banach và A ∈ L(X). Đặt
T (t) = etA =∞∑
n=0
(tA)n
n!.
Khi đó T (t)t ≥ 0 là nửa nhóm liên tục đều.
Chứng minh. Dễ thấy T (t)t ≥ 0 là nửa nhóm (theo mệnh đề 1.3.1ở chương 1). T (t)t≥0
liên tục đều vì:
‖T (t)− I‖ =
∥∥∥∥∥
∞∑
n=1
(tA)n
n!
∥∥∥∥∥ 6
∞∑
n=1
tn ‖An‖n!
= et‖A‖ − 1 → 0 khi t→ 0+.
2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
2.2.1 Định nghĩa về toán tử sinh
Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết ta
chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.1. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh và một phần tử x ∈ X. Đối
với quỹ đạo ánh xạ ξx : t 7→ T (t)x, các tính chất sau là tương đương.
(a) ξx(.) là khả vi trên R+.
(b) ξx(.) khả vi bên phải tại t = 0.
Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chỉ ra (b) ⇒ (a).
Với h > 0, ta có
limh↓0
1
h(T (t+ h)x− T (t)x) = T (t) lim
h↓0
1
h(T (h)x− x)
= T (t)ξx(0).
Suy ra ξx(.) khả vi bên phải trên R+.
Mặt khác, với −t ≤ h < 0 ta có
1
h(T (t+ h)x− T (t)x)− T (t).ξx(0) = T (t+ h)
(1
h(x− T (−h)x)− ξx(0)
)
+ T (t+ h)ξx(0)− T (t)ξx(0). (2.4)
31
Khi h ↑ 0 hạng tử đầu tiên của vế phải hội tụ đến 0, vì ||T (t+ h)|| bị chặn. Phần còn
lại cũng hội tụ đến 0, do tính liên tục mạnh của (T (t))t≥0. Do đó, ξx khả vi bên trái
trên R+. Vậy ξx(.) liên tục trên R+ và đạo hàm của nó là
ξx(t) = T (t)ξx(0) với mọi t ≥ 0. (2.5)
Định nghĩa 2.2.1. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của một nửa nhóm liên tục
mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử
Ax = ξx(0) = limh↓0
1
h(T (h)x− x) (2.6)
xác định với mọi x trong miền xác định của nó
D(A) = x ∈ X : ξx là khả vi trên R+. (2.7)
Theo bổ đề 2.2.1, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X mà
ξx(.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó
D(A) = x ∈ X : limh↓0
1
h(T (h)x− x) tồn tại. (2.8)
Miền D(A) là một không gian vectơ, chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nửa nhóm liên
tục mạnh (T (t))t≥0 là (A,D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A và coi miền xác định của
nó là cho bởi (2.8).
2.2.2 Tính chất của toán tử sinh
Mệnh đề 2.2.1. Đặt
yt =1
t
t∫
0
ξx(s)ds =1
t
t∫
0
T (s)xds,
với x ∈ X và t ≥ 0. Khi đó
limt↓0+
yt = x.
Chứng minh. Vì limt↓0+
T (t)x = x nên với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với 0 < t < δ
ta có:
||T (t)x− x|| < ε
2.
Theo định nghĩa của tích phân, với mọi ε > 0 tồn tại phân hoạch của [0, t] :
s0 = 0 < s1 < s2 < ... < sn = t
32
sao cho ∣∣∣∣∣∣
t∫
0
T (s)xds−n∑
i=1
T (αi)x∆si
∣∣∣∣∣∣<ε
2t; αi ∈ [si−1, si] , i = 1, n.
Với 0 < t < δ, ta có:∥∥∥∥∥∥1
t
t∫
0
T (s)xds− x
∥∥∥∥∥∥6
∥∥∥∥∥∥1
t
t∫
0
T (s)xds− 1
t
n∑
i=1
T (αi)x∆si
∥∥∥∥∥∥+
∥∥∥∥∥1
t
n∑
i=1
T (αi)x∆si − x
∥∥∥∥∥
6ε
2+
∥∥∥∥∥1
t(
n∑
i=1
T (αi)x∆si − tx)
∥∥∥∥∥
6ε
2+
1
t
n∑
i=1
ε
2∆si =
ε
2+ε
2= ε.
Vậy limt↓o+
yt = x với mọi x ∈ X.
Mệnh đề 2.2.2. (Tính chất của toán tử sinh)
Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh T (t)t≥0, ta có các tính chất sau:
1) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính.
2) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và
d
dtT (t)x = T (t)Ax = AT (t)x với mọi t > 0.
3) Với mọi t ≥ 0 và với mọi x ∈ X, ta cót∫0
T (s)xds ∈ D(A)
4) Với mọi t ≥ 0, ta có
T (t)x− x =
At∫0
T (s)xds nếu x ∈ X
t∫0
T (s)Axds nếu x ∈ D(A).
Chứng minh, xem [6], II.1.3.
2.2.3 Ví dụ về toán tử sinh của nửa nhóm
Ví dụ 2.2.1. (Các nửa nhóm điều chỉnh)
Cho µ ∈ C, α là số thực dương. (T (t))t>0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X có toán tử sinh A. Ta xác định nửa nhóm điểu chỉnh (S(t))t≥0 bởi:
S(t) := eµtT (αt), t ≥ 0.
Khi đó (S(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh có toán tử sinh là Bx = αAx + µx với
mọi x ∈ D(A).
33
Chứng minh.
(i) Chứng minh (S(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
Ta có S(0) = T (0) = I và
S(t+ s) = eµ(t+s)T (αt+ αs) = eµtT (αt).eµsT (αs) = S(t)S(s).
Ngoài ra,
‖S(t)x− x‖ =∥∥eµtT (αt)x− x
∥∥
6∥∥(eµt − 1)T (αt)x
∥∥+ ‖T (αt)x− x‖6∥∥(eµt − 1)
∥∥ ‖T (αt)‖ ‖x‖+ ‖T (αt)x− x‖ → 0 khi t→ 0+.
(ii) Chứng minh (S(t))t≥0 có toán tử sinh là Bx = αAx+ µx với mọi x ∈ D(A).
Với mọi x ∈ D(A) ta có:
limt↓0+
S(t)x− x
t= lim
t↓0+
eµtT (αt)x− x
t
= limt↓0+
(αeµtT (αt)x− x
αt+ µ
eµtx− x
µt)
= αAx+ µx.
Vậy B = αA+ µI, D(B) = D(A).
Ví dụ 2.2.2. (Nửa nhóm đồng dạng)
Cho V đẳng cấu từ Y lên X. (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian
Banach X có toán tử sinh là A. Đặt
S(t) := V −1T (t)V, t > 0.
Khi đó, (S(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y có toán tử sinh là B = V −1AV
với D(B) = y ∈ Y : V y ∈ D(A) .
Chứng minh.
(i) Chứng minh (S(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y .
Dễ thấy S(0) = V −1T (0)V = I.
Với mọi t1, t2 > 0, ta có:
S(t1 + t2) = V −1T (t1 + t2)V = V −1T (t1)T (t2)V
= V −1T (t1)V V−1T (t2)V = S(t1)S(t2).
34
Với mọi y ∈ Y ta có:
limt↓0+
‖S(t)y − y‖ = limt↓0+
∥∥V −1T (t)V y − y∥∥
6 limt↓0+
∥∥V −1∥∥ ‖T (t)V y − V y‖ = 0.
Suy ra limt↓0+
S(t)y = y với mọi y ∈ Y.
(ii) Chứng minh với mọi y ∈ Y : V y ∈ D(A), ta có: By = V −1AV y.
Thật vậy, với mọi y ∈ Y : V y ∈ D(A) ta có:
limt↓0+
S(t)y − y
t= lim
t↓0+
V −1T (t)V y − y
t
= limt↓0+
V −1T (t)V y − V y
t= V −1AV y.
Suy ra y ∈ D(B) và By = V −1AV y.
2.2.4 Các định lý cơ bản về toán tử sinh của nửa nhóm co liêntục mạnh
Định lý 2.2.1. (A,D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục mạnh. Khi đó
(A, (D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và nếu Reλ > 0 thì λ ∈ ρ(A) và
‖R(λ,A)‖ 61
Reλ.
Chứng minh.
(i) Chứng minh (A,D(A)) là toán tử đóng.
Giả sử xn∞n=1 ⊂ D(A) : xn → x và Axn → y. Áp dụng bổ đề 2.2.2 với xn ∈ D(A),
ta có:
T (t)xn − xn =
t∫
0
T (s)Axnds ∀t > 0. (2.9)
Xét fn : s 7→ T (s)Axn hội tụ đều đến f : s 7→ T (s)y trên [0, t] vì
‖T (s)Axn − T (s)y‖ 6 ‖T (s)‖ ‖Axn − y‖6 ‖Axn − y‖ → 0 khi n → ∞ với mọi s ∈ [0, t] .
Trong 2.9 cho n→ ∞ ta có:
T (t)x− x =
t∫
0
T (s)yds ∀t > 0.
35
Suy ra
1
t(T (t)x− x) =
1
t
t∫
0
T (s)yds ∀t > 0. (2.10)
Áp dụng mệnh đề 2.2.1, vế phải của 2.10 có giới hạn khi t→ 0+; suy ra tồn tại
limt↓0+
1
t(T (t)x− x) = y.
Chứng tỏ x ∈ D(A) và Ax = y. Vậy theo định nghĩa, A là toán tử đóng.
(ii) Chứng minh (A,D(A)) xác định trù mật trong X.
Áp dụng mệnh đề 2.2.2, ta có với mọi x ∈ X:
1
t
t∫
0
T (s)xds ∈ D(A).
Mà
limt↓0+
1
t
t∫
0
T (s)xds = x,
suy ra D(A) = X.
(iii) Chứng minh với mọi λ ∈ C : Reλ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) và ‖R(λ,A)‖ 61
Reλ.
Trước hết ta chứng minh với Reλ > 0 thì+∞∫0
e−λsT (s)xds tồn tại với mọi x ∈ X.
Thật vậy,∥∥∥∥∥∥
t∫
0
e−λsT (s)xds
∥∥∥∥∥∥6
t∫
0
e−λs ‖T (s)‖ ‖x‖ ds (2.11)
6
t∫
0
e−Reλ.s ‖x‖ ds = e−Reλ.t − 1
−Reλ‖x‖ .
Cho t→ +∞, vế phải dần tới1
Reλ‖x‖ < +∞,
do Reλ > 0. Suy ra điều phải chứng minh.
Chứng minh nếu+∞∫0
e−λsT (s)xds tồn tại với mọi x ∈ X thì λ ∈ ρ(A) và
R(λ,A) =
+∞∫
0
e−λsT (s)dx.
36
Thật vậy, đặt
R(λ)x =
+∞∫
0
e−λsT (s)xdx,
ta phải chứng minh R(λ) = R(λ,A). Đầu tiên ta chứng minh cho trường hợp λ = 0
tức là R(0) = (−A)−1.
Trước hết ta chứng minh AR(0) = −I. Với mọi x ∈ X, h > 0 ta có
T (h)− I
hR(0)x =
T (h)− I
h
+∞∫
0
T (s)xdx
=1
h
+∞∫
h
T (s)xdx− 1
h
+∞∫
0
T (s)xdx
= −1
h
h∫
0
T (s)xdx.
Cho h→ 0+, suy ra tồn tại
limh↓0+
T (h)− I
hR(0)x = −x.
Vậy
R(0)x ∈ D(A) và AR(0) = −I.
Tiếp theo, ta chứng minh AR(0) = R(0)A. Với mọi x ∈ D(A), ta có
limt↓+∞
t∫
0
T (s)xds = R(0)x
và
limt↓+∞
A
t∫
0
T (s)xds
= lim
t↓+∞
t∫
0
T (s)Axds = R(0)Ax.
Mà A đóng, suy ra AR(0)x = R(0)Ax. Vậy
AR(0)x = R(0)Ax = −x
nên
R(0) = (−A)−1.
37
Như vậy ta đã chứng minh được với λ = 0 mà
R(0)x :=
+∞∫
0
T (s)xdx
tồn tại với mọi x ∈ X thì R(0) = R(0, A). Áp dụng kết quả trên cho nửa nhóm điều
chỉnh S(t) := e−λtT (t), t ≥ 0, (S(t))t≥0 có toán tử sinh là B = A− λI; ta có
R(0)x :=
+∞∫
0
S(s)xds =
+∞∫
0
e−λsT (s)xds
tồn tại với mọi x ∈ X. Suy ra
R(0) = R(0, B) = (−B)−1 = (λI −A)−1 = R(λ,A).
Vậy R(λ) = R(0) = R(λ,A).
Chứng minh ‖R(λ,A)‖ 61
Reλ.
Ta có
R(λ,A)x =
+∞∫
0
e−λsT (s)xds.
Suy ra
‖R(λ,A)‖ 6
+∞∫
0
∣∣e−λs∣∣ ds =
+∞∫
0
e−Reλ.sds =1
Reλ.
Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 2.2.2. (A,D(A)) là toán tử đóng xác định trù mật và thoả mãn: nếu λ > 0
thì λ ∈ ρ(A) và
‖λR(λ,A)‖ 6 1.
Khi đó (A,D(A)) sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh.
Chứng minh. Xét các xấp xỉ Yosida
An := nAR(n,A) = n2R(n,A)− nI.
Ta có An là các toán tử bị chặn, giao hoán với nhau do phương trình giải thức Hilbert
R(n,A)− R(m,A) = (m− n)R(n,A)R(m,A).
38
Để chứng minh Anx → Ax khi n → +∞ với mọi x ∈ D(A), trước hết ta chứng
minh nR(n,A)x→ x với mọi x ∈ X. Ta có
R(n,A)(nI − A) = I.
Suy ra
R(n,A)A = nR(n,A)− I
với mọi n ∈ ρ(A). Nếu y ∈ D(A) ta có
nR(n,A)y = R(n,A)Ay + y.
Cho n→ +∞ thì R(n,A)Ay + y → y vì:
‖R(n,A)Ay‖ 6 ‖R(n,A)‖ ‖Ay‖ 61
n‖Ay‖ → 0 khi n→ +∞.
Vậy
nR(n,A)y → y khi n→ +∞
với mọi y ∈ D(A). Theo giả thiết
‖nR(n,A)‖ 6 1 với mọi n ∈ N∗
và D(A) = X, suy ra
nR(n,A)x → x khi n→ +∞
với mọi x ∈ X. Từ đó ta có
Anx = nAR(n,A)x = nR(n,A)Ax→ Ax
với mọi x ∈ D(A).
Xét dãy các nửa nhóm liên tục đều xác định bởi Tn(t) = etAn , t ≥ 0, n ∈ N∗. Khi
đó ta có:
(i) limn↓∞
Tn(t)x = T (t)x tồn tại với mọi x ∈ X.
(ii) (T (t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh.
(iii) (T (t))t≥0 có toán tử sinh là (A,D(A)).
Thật vậy:
(i) Chứng minh limn↓∞
Tn(t)x = T (t)x tồn tại với mọi x ∈ X.
Tn(t) = e(n2R(n,A)−nI)t trong đó
∥∥e−nIt∥∥ =
∥∥∥∥∥
∞∑
k=0
(−nIt)kk!
∥∥∥∥∥ =
∞∑
k=0
(−nt)kk!
‖I‖ = e−nt ∀t > 0, n ∈ N∗.
39
Ta có
∥∥∥en2R(n,A)t∥∥∥ =
∥∥∥∥∥
∞∑
k=0
(n2R(n,A)t)k
k!
∥∥∥∥∥ 6
∞∑
k=0
‖n2R(n,A)t‖kk!
= e‖n2R(n,A)t‖ 6 ent.
do ‖nR(n,A)‖ 6 1. Vì vậy
‖Tn(t)‖ 6 ente−nt = 1
với mọi t > 0, n ∈ N∗. Vì ‖Tn(t)‖ (n = 1, 2, ...) bị chặn đều và D(A) = X nên ta chỉ
cần chứng minh sự hội tụ của Tn(t) trên D(A), tức là
limn→∞
Tn(t)x = T (t)x ∀x ∈ D(A).
Xét hàm có giá trị vectơ
s 7→ Tm(t− s)Tn(s)x
với 0 6 s 6 t, x ∈ D(A), m, n ∈ N∗. Sử dụng tính giao hoán của Tn(t) với mọi n ta
có:
Tn(t)x− Tm(t)x =
t∫
0
d
dsTm(t− s)Tn(s)xds
=
t∫
0
Tm(t− s)Tn(s)(Anx− Amx)ds.
Suy ra
‖Tn(t)x− Tm(t)x‖ 6 t ‖Anx− Amx‖
với mọi x ∈ D(A). Mà Anx là dãy Cauchy trong X với mọi x ∈ D(A) nên Tn(t)x là
dãy Cauchy trong X, với mọi x ∈ D(A). Suy ra tồn tại
limn↓∞
Tn(t)x = T (t)x
với mọi x ∈ D(A). Vậy tồn tại limn↓∞
Tn(t)x = T (t)x với mọi x ∈ X.
(ii) Chứng minh (T (t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh.
Sự hội tụ điểm của Tn(t)x+∞n=1 dẫn đến T (t)t≥0 thoả mãn các tính chất của nửa nhóm.
T (0)x = limn↓+∞
(Tn(0)x) = x, suy ra T (0) = I.
T (t+ r)x = T (t)T (r)x với mọi x ∈ X, với mọi t, r ≥ 0 vì:
T (t+ r)x = limn↓+∞
Tn(t+ r)x = limn↓+∞
Tn(t)Tn(r)x = T (t)T (r)x.
Ta có
‖T (t)x‖ = limn↓+∞
‖Tn(t)x‖ 6 ‖x‖ ∀x ∈ X
40
vì
‖Tn(t)‖ 6 1 ∀n ∈ N.
Suy ra ‖T (t)‖ 6 1. Với mọi x ∈ D(A), ánh xạ quỹ đạo
ξx : t 7→ T (t)x, 0 6 t 6 t0
là giới hạn của dãy hội tụ đều các ánh xạ liên tục
ξ(n)x : t 7→ Tn(t)x, 0 6 t 6 t0
nên ξx liên tục trên [0, t0]. Suy ra T (t)x liên tục trên [0, t0] với mọi x ∈ D(A). Áp dụng
mệnh đề 2.1.2 với D(A) = X, suy ra (T (t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh.
(iii) Chứng minh (T (t))t≥0 có toán tử sinh là (A,D(A)).
Ký hiệu (B,D(B)) là toán tử sinh của (T (t))t≥0. Cố định x ∈ D(A). Trên [0, t0] các
hàm
ξn : t 7→ Tn(t)x
hội tụ đều đến
ξx : t 7→ T (t)x
và các đạo hàm.
ξn : t 7→ Tn(t)Ax
hội tụ đều đến
η : t 7→ T (t)Ax.
Suy ra
ξx : t 7→ T (t)x
khả vi và.
ξx(0) = η(0).
Vậy
limt↓0
T (t)x− x
t= T (0)Ax
với mọi x ∈ D(A), hay x ∈ D(B) và Bx = Ax với mọi x ∈ D(A).
Chọn λ > 0 thì λ ∈ ρ(A) nên λI−A là song ánh từD(A) lênX. Mặt khác (B,D(B))
là toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục mạnh (T (t))t≥0 nên với λ > 0 thì λ ∈ ρ(B)
(theo định lý 2.2.1). Vậy λI − B là song ánh từ D(B) lên X. Mà λI − A = λI − B
trên D(A) và D(A) ⊂ D(B) nên D(A) = D(B) và Ax = Bx với mọi x ∈ D(A). Suy
ra A = B. Vậy (T (t))t≥0 có toán tử sinh là (A,D(A)).
41
Xét nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh A thoả mãn với ω ∈ R bất
đẳng thức
‖T (t)‖ 6 eωt ∀t ≥ 0.
Áp dụng định lý trên cho nửa nhóm điều chỉnh cho bởi
S(t) := e−ωtT (t), t ≥ 0.
(S(t))t≥0 là nửa nhóm co có toán tử sinh là B = A− ωI); ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.1. (A,D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và thoả mãn với mọi
λ ∈ C, nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và
‖R(λ,A)‖ 61
Reλ− ω.
Khi đó (A,D(A)) sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thoả mãn
‖T (t)‖ 6 eωt
với mọi t ≥ 0.
2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu
2.3.1 Khái niệm nhiễu của toán tử sinh của nửa nhóm liêntục mạnh
Bài toán. Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0. Xét toán tử tuyến tính B : D(B) ⊂ X → X. Chúng ta sẽ tìm điều kiện để
tổng A+B sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 nào đó.
Ta nói toán tử sinh A bị làm nhiễu bởi B hay B là một nhiễu của toán tử A.
Tổng A+B được xác định như sau:
(A+B)x := Ax+Bx ∀x ∈ D(A+B) := D(A) ∩D(B).
2.3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu bị chặn
Định lý 2.3.1. (Định lý về nhiễu bị chặn)
Cho (A,D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian
Banach X thoả mãn
‖T (t)‖ 6Meωt với mọi t > 0,
42
ở đây ω ∈ R,M ≥ 1. Nếu B ∈ L(X) thì
C := A +B với D(C) := D(A)
sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 thoả mãn
‖S(t)‖ 6 Me(ω+M‖B‖)t với mọi t > 0.
Chứng minh.
(i) Trước hết giả thiết ω = 0,M = 1 tức là xét trường hợp nửa nhóm co ‖T (t)‖ 6 1.
Khi đó λ ∈ ρ(A) với mọi λ > 0. Ta có
λI − C = λI − A−B = (I −BR(λ,A))(λI − A).
λI−A là song ánh từ D(A) lên X với mọi λ > 0 nên λI −C là song ánh khi và chỉ khi
I − BR(λ,A)
khả nghịch trong L(X). Chọn λ sao cho Reλ > ‖B‖. Khi đó
‖BR(λ,A)‖ 6 ‖B‖ ‖R(λ,A)‖ 6 ‖B‖ 1
Reλ< 1
(theo định lý 2.2.1). Suy ra λ ∈ ρ(C) và
R(λ, C) = R(λ,A)(I − BR(λ,A))−1 = R(λ,A)∞∑
n=0
(BR(λ,A))n.
Ta có
‖R(λ, C)‖ 61
Reλ
∞∑
n=0
‖B‖n‖R(λ,A)‖n
=1
Reλ.
1
1− ‖B‖ ‖R(λ,A)‖6
1
Reλ.
1
1− ‖B‖Reλ
=1
Reλ− ‖B‖ với mọi λ : Reλ > ‖B‖ .
Áp dụng hệ quả 2.2.1 suy ra C sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (S(t))t≥0 thoả mãn
‖S(t)‖ 6 e‖B‖t với mọi t > 0.
(ii) Đối với trường hợp tổng quát ω ∈ R,M ≥ 1, bằng cách sử dụng nửa nhóm điều
chỉnh, ta có thể giả sử ‖T (t)‖ 6M với mọi t > 0.
43
Xét chuẩn mới
‖|x|‖ := supt>0
‖T (t)x‖ với mọi t > 0
trên X. Ta có
‖|x|‖ := supt>0
‖T (t)x‖ > ‖T (0)x‖ = ‖x‖ .
‖|x|‖ := supt>0
‖T (t)x‖ 6M ‖x‖ .
(Vì ‖T (t)x‖ 6 M ‖x‖ với mọi x ∈ X và với mọi t ≥ 0.) Từ đây ta có ‖x‖ 6 ‖|x|‖ 6
M ‖x‖ với mọi x ∈ X. Vậy ‖.‖ và ‖|.|‖ là hai chuẩn tương đương trên X.
Với chuẩn mới, (T (t))t≥0 là nửa nhóm co vì:
‖|T (t)x|‖ = sups>0
‖T (s)T (t)x‖ = sups>0
‖T (s+ t)x‖ 6 supt>0
‖T (t)x‖ = ‖|x|‖ .
Theo chứng minh trên (C,D(C)), C = A + B sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh
(S(t))t≥0 thoả mãn:
‖|S(t)|‖ 6 e‖|B|‖t với mọi t > 0.
Ta có
‖|Bx|‖ 6M ‖Bx‖ 6M ‖B‖ ‖x‖ 6M ‖B‖ ‖|x|‖ với mọi x ∈ X.
Vì vậy
‖S(t)x‖ 6 ‖|S(t)x|‖ 6 e‖|B|‖t ‖|x|‖ 6 eM‖B‖tM ‖x‖
với mọi x ∈ X và với mọi t > 0. Suy ra ‖S(t)‖ 6MeM‖B‖t với mọi t > 0.
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.3.1. Xét hai nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh A và
(S(t))t≥0 với toán tử sinh C trên không gian Banach X. Giả sử C = A+B, B ∈ L(X).
Khi đó
S(t)x = T (t)x+
t∫
0
T (t− s)BS(s)xds
với mọi t > 0 và với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Lấy x ∈ D(A), xét hàm ξx trên [0, t] xác định bởi ξx(s) := T (t−s)S(s)x.Ta có D(A) = D(C) và
d
dsξx(s) = T (t− s)CS(s)x− T (t− s)AS(s)x = T (t− s)BS(s)x.
44
Lấy tích phân trên [0, t] ta có:t∫
0
d
dsξx(s)ds =
t∫
0
T (t− s)BS(s)xds.
Suy ra S(s)x−T (t)x =t∫0
T (t− s)BS(s)xds. ∀x ∈ D(A). Do D(A) = X, T,B, S là các
toán tử bị chặn nên đẳng thức trên đúng với mọi x ∈ X.
Chú ý: Nếu thay ξx bởi ηx(s) := S(s)T (t− s)x thì bằng lập luận tương tự ta có:
S(t)x = T (t)x+
t∫
0
S(s)BT (t− s)xds với mọi t > 0 và với mọi x ∈ X.
Để mô tả cấu trúc của nửa nhóm nhiễu và thuận tiện hơn trong quá trình sử dụng
kỹ thuật nửa nhóm, sau đây chúng tôi sẽ trình bày khái niệm toán tử Volterra trừu
tượng và phương pháp tính gần đúng nửa nhóm có nhiễu. Trước hết ta cần nhắc tới
không gian các hàm có giá trị toán tử
χt0 := C([0, t0],Ls(X))
gồm các hàm liên tục từ [0, t0] vào Ls(X), tức là F ∈ χt0 khi và chỉ khi F (t) ∈ Ls(X)
và t 7→ F (t)x liên tục với mỗi x ∈ X. Không gian này là không gian Banach với chuẩn
‖F‖∞ := sups∈[0,t0]
‖F (s)‖ , F ∈ χt0 .
(xem [6] trang 225). Bây giờ chúng ta sẽ định nghĩa toán tử "kiểu-Volterra" (Volterra-
type) trên không gian C([0, t0],Ls(X)).
Định nghĩa 2.3.1. (Toán tử Volterra)
Cho T (t)t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X và B ∈ L(X). Với
t0 > 0, ta xác định:
V F (t)x :=
t∫
0
T (t− s)BF (s)xds
với x ∈ X,F ∈ C([0, 1],Ls(X)) và 0 6 t 6 t0. Toán tử V được gọi là toán tử Volterra
trừu tượng.
Bổ đề 2.3.1. Toán tử Volterra ứng với nửa nhóm liên tục mạnh T (t)t≥0 và toán tử bị
chặn B ∈ L(X) là toán tử bị chặn trong C([0, 1],Ls(X)) và thoả mãn
‖V n‖ 6(M ‖B‖ t0)n
n!∀n ∈ N (2.12)
trong đó M := sups∈[0,t0]
‖T (s)‖. Đặc biệt r(V ) = 0, ở đây r(V ) là bán kính phổ của V .
45
Đây là hệ quả trực tiếp của ví dụ về phổ của toán tử Volterra trong chương 1.
Chú ý: Từ 2.12 suy ra chuỗi∞∑n=0
V n hội tụ. Suy ra 1 ∈ ρ(V ) và
R(1, V ) = (I − V )−1 =
∞∑
n=0
V n.
Khi đó phương trình tích phân S(t)x = T (t)x+
∫ t
0
T (t− s)BS(s)xds trở thành
T (.) = (I − V )S(.)
với T (.), S(.) ∈ C([0, 1],Ls(X)).
Do đó S(.) = R(1, V )T (.) =
∞∑
n=0
V nT (.).
Chuỗi hội tụ trong không gian Banach C([0, 1],Ls(X)).
Định lý 2.3.2. Nửa nhóm liên tục mạnh S(t)t≥0 sinh bởi C := A+B ở đó A là toán
tử sinh của T (t)t≥0 và B ∈ L(X) được biểu diễn như sau:
S(t) =∞∑
n=0
Sn(t) (2.13)
trong đó S0(t) := T (t) và Sn+1(t) := V Sn(t) =∫ t
0T (t− s)BSn(s)ds
ở đây chuỗi 2.13 hội tụ theo chuẩn toán tử trên L(X).
Chứng minh xem [6] 199-221.
Hệ quả 2.3.2. (T (t))t≥0 và (S(t))t≥0 là hai nửa nhóm liên tục mạnh trong đó toán tử
sinh của (S(t))t≥0 nhận được từ toán tử sinh của (T (t))t≥0 bởi một nhiễu bị chặn. Khi
đó
‖T (t)− S(t)‖ 6Mt
với mọi t ∈ [0, 1] và M là một hằng số dương nào đó.
Chứng minh. Áp dụng hệ quả 2.3.1, ta có:
‖T (t)x− S(t)x‖ 6
t∫
0
‖T (t− s)BS(s)‖ds
6 t supr∈[0,1]
‖T (r)‖ sups∈[0,1]
‖S(s)‖ ‖B‖ ‖x‖
với mọi x ∈ X và với mọi t ∈ [0, 1] . Suy ra ‖T (t)− S(t)‖ 6Mt với mọi t ∈ [0, 1] .
46
2.4 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh
Trong phần 1.3.4, chúng ta đã sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov
trong việc nghiên cứu phương trình vi phân có nhiễu. Chúng ta biết rằng toán tử tuyến
tính ở vế phải của các phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu đóng một vai trò hết
sức quan trọng đối với nghiệm của phương trình. Để mở rộng các kết quả ở mục 1.3.4
cho phương trình vi phân trừu tượng trong không gian Banach (phương trình tiến hoá),
chúng ta cần xét phương trình tiến hoá đặt chỉnh..
Xét bài toán Cauchy trừu tượng
(ACP )
.u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0,
u(0) = x
trong đó t là biến độc lập, biểu diễn cho thời gian, u(.) là hàm nhận giá trị trong không
gian Banach X, A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính, x ∈ X là giá trị ban đầu.
Định nghĩa 2.4.1. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm cổ điển (classical solution)
của bài toán (ACP ) nếu u khả vi liên tục, u(t) ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và thoả mãn
(ACP ) .
Mệnh đề 2.4.1. (Xem [6], trang 110.) Cho A,D(A) là toán tử sinh của nửa nhóm
liên tục mạnh T (t)t≥0. Khi đó với mọi x ∈ D(A), hàm u : t 7→ T (t)x là nghiệm duy
nhất của bài toán (ACP ).
Định nghĩa 2.4.2. Hàm u : R+ → X được gọi là nghiệm suy rộng (mild solution) của
bài toán (ACP ) nếut∫0
u(s)ds ∈ D(A) với mọi t ≥ 0 và
u(t) = A
t∫
0
u(s)ds+ x.
Định lý 2.4.1. Cho (A,D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0.
Khi đó, với mọi x ∈ X, ánh xạ quỹ đạo
u : t 7→ T (t)x
là nghiệm suy rộng duy nhất của bài toán (ACP ) ứng với A.
Chứng minh. Áp dụng mệnh đề 2.2.2, ta cót∫0
T (s)xds ∈ D(A) với mọi x ∈ X và
T (t)x− x = At∫0
T (s)xds với mọi x ∈ X. Suy ra u(t) = T (t)x là nghiệm suy rộng của
47
bài toán (ACP ). Ta chỉ cần chứng minh tính duy nhất của nghiệm không với điều kiện
ban đầu x = 0. Thật vậy, giả sử u là nghiệm suy rộng của (ACP ) với điều kiện ban
đầu x = 0. Lấy t > 0, với mọi s ∈ (0, t), ta có:
d
ds(T (t− s)
s∫
0
u(r)dr) = T (t− s)u(s) +dT (t− s)
ds
s∫
0
u(r)dr
= T (t− s)(u(s)− A
s∫
0
u(r)dr) = 0.
Lấy tích phân từ 0 đến t ta có
T (t− s)
s∫
0
u(r)dr∣∣s=ts=0 = 0.
Suy rat∫0
u(r)dr = 0. Lấy đạo hàm theo t ta có u(t) = 0 với mọi t > 0. Mà u(0) = 0
nên u = 0 với mọi t ≥ 0.
Trước khi trình bày định lý về mối liên hệ giữa tính chất nghiệm u(., x) và toán tử
A,D(A), ta cần có định nghĩa và mệnh đề sau.
Định nghĩa 2.4.3. (Lõi của toán tử)
Không gian con D của miền xác định D(A) của toán tử A : D(A) ⊂ X → X được gọi
là lõi của A nếu D trù mật trong D(A) với chuẩn đồ thị sau: ||x||A := ||x||+ ||Ax|| với
mọi x ∈ D(A).
Mệnh đề 2.4.2. (Xem [6], trang 39.) Giả sử (B,D(B)) là toán tử sinh của nửa nhóm
liên tục mạnh (T (t))t≥0 trong không gian Banach X. Không gian con D ⊂ D(B) trù
mật trong X đối với chuẩn đã cho trên X và bất biến dưới tác động của (T (t))t≥0 là
lõi của B.
Định lý 2.4.2. (Định lý về mối liên hệ giữa tính chất nghiệm của bài toán (ACP) và
toán tử (A,D(A)))
Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng.
Xét bài toán (ACP )
.u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0,
u(0) = x.
Khi đó các tính chất sau tương đương
(i) A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh.
(ii) Với mọi x ∈ D(A), tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của bài toán (ACP ) và ρ(A) 6= ∅.
48
(iii) Với mọi x ∈ D(A), tồn tại duy nhất nghiệm u(., x) của bài toán (ACP ), A có
miền xác định trù mật và với mọi dãy xn+∞n=1 ⊂ D(A) : lim
n↓+∞xn = 0 tồn tại nghiệm
u(t, xn) sao cho: limn↓+∞
u(t, xn) = 0 đều trên [0, t0].
Chứng minh. (i) ⇒ (ii): hiển nhiên.
(ii) ⇒ (iii) Đầu tiên ta chỉ ra với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng
của bài toán (ACP ). Vì ρ(A) 6= ∅ nên tồn tại λ ∈ ρ(A). Đặt y := R(λ,A)x suy ra
y ∈ D(A). Theo giả thiết, tồn tại nghiệm u(., y) với giá trị ban đầu u(0) = y. Đặt
v(t) := (λ−A)u(t, y) ∈ D(A). Suy ra v(t) là nghiệm suy rộng của bài toán (ACP ) với
giá trị ban đầu x = (λ− A)y
Chứng minh tính duy nhất.
Giả sử u(.) là nghiệm suy rộng của bài toán (ACP ) với giá trị ban đầu x = 0. Đặt
v(t) =t∫0
u(s)ds. Suy ra.v(t) = u(t) = A
t∫0
u(s)ds = Av(t) và v(0) = 0. Vậy v(t) là
nghiệm của bài toán (ACP ) với giá trị ban đầu x = 0. Nên v(t) = 0 với mọi t ≥ 0.
Suy ra u(t) = 0 với mọi t ≥ 0.
Chứng minh A xác định trù mật.
Với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng u(t, x) của bài toán (ACP ). Suy ra
t∫
0
u(s, x)ds ∈ D(A).
Ta có limt↓0
1t
t∫0
u(s, x)ds = u(0, x) = x. Vậy D(A) = X.
Để chứng minh sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu ta xét:
Φ : X → C([0, t0], X), t0 cố định, t0 ≥ 0
x 7→ u(., x) là nghiệm suy rộng của bài toán (ACP)
Chứng minh Φ đóng.
Giả sử xn → x, Φ(xn) → y ∈ C([0, t0], X). Với mọi t ∈ [0, t0] ta có:
D(A)
t∫
0
u(s, xn)dsn→+∞→
t∫
0
y(s)ds
và
A
t∫
0
u(s, xn)ds = u(t, xn)− xnn→+∞→ y(t)− x.
49
Mà A đóng nênt∫0
y(s)ds ∈ D(A) và y(t)− x = At∫0
y(s)ds. Vậy y(t) = At∫0
y(s)ds+ x
với mọi t ∈ [0, t0]. Suy ra y(.) là nghiệm suy rộng của bài toán (ACP ) với điều kiện
ban đầu x nếu với t > t0 ta đặt y(t) := u(t − t0, y(t0)). Suy ra y(t) = u(t, x) với mọi
t ∈ [0, t0]. Vậy Φ(x) = y hay Φ đóng. Theo định lý đồ thị đóng Φ liên tục. Vậy nếu
xn → 0 thì Φ(xn) → 0 hay u(t, xn) → 0 trong C([0, t0], X). Suy ra u(t, xn) → 0 đều
theo t trên [0, t0].
Chứng minh (iii) ⇒ (i)
Giả sử có (iii), tồn tại toán tử T (t) ∈ L(X) xác định bởi: T (t)x := u(t, x) với mọi
x ∈ D(A), với mọi t ≥ 0. Ta có thể giả sử sup06t61
‖T (t)‖ <∞. Vì nếu không, giả sử tồn
tại tnn∈N ⊂ [0, t0] sao cho limn↓+∞
‖T (tn)‖ = ∞. Ta có thể chọn xn ∈ D(A) sao cho
limn↓+∞
xn = 0 và ‖T (tn)xn‖ > 1. Điều này mâu thuẫn với (iii) vì u(tn, xn) = T (tn)xn.
Vậy ||T (t)|| bị chặn đều với mọi t ∈ [0, 1].
Ta có t 7→ T (t)x liên tục với mọi x ∈ D(A), D(A) = X nên t 7→ T (t)x liên tục với
mọi x ∈ X, theo bổ đề 2.1.1. Với mọi x ∈ D(A) ta có
T (t+ s)x = u(t+ s, x)
T (t)T (s)x = u(t, T (s)x) = u(t, u(s, x)).
Suy ra T (t+ s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0. Vậy (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh
trên X.
Chứng minh A là toán tử sinh của (T (t))t≥0.
Gọi (B,D(B)) là toán tử sinh của (T (t))t≥0. Hiển nhiên A ⊂ B. D(A) là T (t)−bất
biến, D(A) = X. Suy ra D(A) là lõi của B, theo mệnh đề 2.4.2. Suy ra D(A) = D(B)
theo chuẩn đồ thị ||.||B. Mà A đóng nên A = B.
Để thuận tiện cho việc sử dụng trong mô hình ứng dụng, tiếp theo chúng tôi xin
trình bày tóm tắt một số khái niệm và kết quả liên quan đến bài toán Cauchy đặt
chỉnh. Các kết quả này đã được trình bày cụ thể ở [6], trang 113.
Định nghĩa 2.4.4. (Bài toán Cauchy đặt chỉnh)
Bài toán Cosi trừu tượng
(ACP )
.u(t) = Au(t) ∀t ≥ 0,
u(0) = x.
với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X được gọi là đặt chỉnh nếu với mọi x ∈ D(A),
tồn tại nghiệm duy nhất u(., x) của (ACP ), A có miền xác định trù mật, đồng thời với
mọi dãy xn∞n=0 ⊂ D(A) : limn↓+∞
xn = 0, ta có: limn↓+∞
u(t, xn) = 0 đều trên [0, t0]
50
Mệnh đề 2.4.3. Bài toán (ACP ) giải được khi và chỉ khi A là toán tử sinh của nửa
nhóm liên tục mạnh trên X. Trong trường hợp này nghiệm của bài toán (ACP ) cho
bởi u(t) = T (t)x, t ≥ 0.
Nhận xét 1: Mệnh đề này là hệ quả trực tiếp của định lý 2.4.2
Nhận xét 2: Xét bài toán
.u(t) = Au(t) +Bu(t) ∀t ≥ 0,
u(0) = x,(2.14)
ở đó A là toán tử tuyến tính không giới nội, B là toán tử tuyến tính giới nội. Nếu A
là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh thì theo định lý 2.3.1 (định lý về nhiễu
bị chặn), toán tử A +B cũng sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh và do đó bài toán
2.14 là đặt chỉnh.
Để chỉ ra khả năng ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào việc nghiên cứu dáng
điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.4.4. Xét phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach X
.x(t) = Ax(t), x(t) ∈ X, t > 0; (2.15)
với A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0. Khi đó ta có các tính chất
sau
(i) Nếu ||T (t)|| 6M với mọi t ≥ 0 thì nghiệm tầm thường của 2.15 là ổn định đều.
(ii) Nếu limt↓+∞
‖T (t)‖ = 0 thì nghiệm tầm thường của 2.15 là ổn định mũ đều.
Như vậy để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân tuyến tính với toán
tử vi phân là toán tử hằng không giới nội, ta đưa về nghiên cứu tính ổn định của nửa
nhóm liên tục mạnh sinh bởi toán tử đó. Điều này được nghiên cứu rất cụ thể trong [7],
V.3. Sau đây, chúng tôi đưa ra một ứng dụng của phương pháp nửa nhóm vào phương
trình truyền sóng.Toàn bộ phần này được trích dẫn từ tài liệu [8], chương 7.
2.5 Ứng dụng với phương trình truyền sóng
2.5.1 Không gian hàm và toán tử vi phân
Nhiều mô hình ứng dụng được nảy sinh từ các hệ thống tự nhiên (như là hệ khuếch
tán, hệ xử lý tín hiệu...) thường dẫn đến việc xét bài toán giá trị ban đầu
51
∂u(t, x)
∂t= Au(t, x) ∀t ≥ 0,
u(0, x) = u0(x).(2.16)
Bài toán này thường được xét trong miền trù mật của không gian Banach X. Liên
quan đến bài toán này, chúng ta cần một số khái niệm sau.
A. Không gian hàmTrong phần này, ta sẽ mô tả các không gian Banach cụ thể mà được dùng trong
ứng dụng vào phương trình sóng ở phần sau. Giả sử x = (x1, x2, ..., xn) là một phần tử
trong không gian Euclide Rn. Với hai phần tử x = (x1, x2, ..., xn) và y = (y1, y2, ..., yn),
ta xác định tích vô hướng
x · y =
n∑
i=1
xiyi và |x|2 = x · x.
Giả sử α = (α1, α2, ..., αn) là một vectơ n chiều, trong đó α1, α2, ..., αn là những số
nguyên không âm. Khi đó, α được gọi là một đa chỉ số. Số
|α| =n∑
i=1
αi
được gọi là cấp của đa chỉ số α. Ký hiệu
xα = xα1
1 xα2
2 ...xαn
n
với x = (x1, x2, ..., xn). Ký hiệu Dk =∂
∂xkvà D = (D1, D2, ..., Dn) ta có
Dα = Dα1
1 Dα2
2 ...Dαn
n =∂α1
∂xα1
1
.∂α2
∂xα2
2
...∂αn
∂xαn
n
.
Lấy Ω là một miền cố định trong Rn với biên ∂Ω và bao đóng Ω. Ta sẽ thường
xuyên sử dụng giả thiết ∂Ω là trơn, tức là ∂Ω là một lớp Ck với k ≥ 1 nào đó. Nhắc
lại rằng ∂Ω là một lớp Ck nếu mỗi điểm x ∈ ∂Ω đều có một hình cầu B tâm x sao cho
∂Ω ∩B có thể được biểu diễn dưới dạng xi = ϕ(x1, ..., xi−1, xi+1, ..., xn) với i bất kì và
ϕ khả vi liên tục cấp k.
Ký hiệu Cm(Ω) (Cm(Ω)) là tập các hàm khả vi liên tục cấp m, nhận giá trị thực
(hoặc có khi là phức) trong Ω (Ω). Ký hiệu Cm0 (Ω) là không gian con của Cm(Ω) gồm
các hàm thuộc Cm(Ω) và có giá compact trong Ω.
Với u ∈ Cm(Ω) và 1 6 p <∞, ta đặt
‖u‖m,p =
∫
Ω
∑
|α|6m
|Dαu|pdx
1/p
. (2.17)
52
Nếu p = 2 và u, v ∈ Cm(Ω) ta đặt
(u, v)m =
∫
Ω
∑
|α|6m
DαuDαvdx. (2.18)
Ký hiệu Cpm(Ω) là tập con của Cm(Ω) bao gồm các hàm u thuộc Cm(Ω) sao cho
‖u‖m,p <∞.
Xét các không gian đầy đủ Wm,p(Ω) và Wm,p0 (Ω) tương ứng với Cp
m(Ω) và Cm0 (Ω) mà
chuẩn trong các không gian này được xác định bởi 2.17. Có thể chỉ ra rằng Wm,p(Ω)
và Wm,p0 (Ω) là các không gian Banach và Wm,p
0 (Ω) ⊂ Wm,p(Ω). Với p = 2, ta ký hiệu
Wm,2(Ω) = Hm(Ω) và Wm,p0 (Ω) = Hm
0 (Ω). Không gian Hm(Ω) và Hm0 (Ω) là các không
gian Hilbert với tích vô hướng ( , )m cho bởi 2.18.
Không gian Wm,p(Ω) xác định ở trên bao gồm các hàm u ∈ Lp(Ω) mà mọi đạo hàm
Dαu cấp k ≤ m của chúng đều thuộc Lp(Ω).
B. Toán tử vi phânCho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn. Xét toán tử vi phân vấp
2m,
A(x,D) =∑
|α|62m
aα(x)Dα,
ở đây các hằng số aα(x) là các hàm giá trị phức đủ trơn của x trong Ω. Phần chính
A′(x,D) của A(x,D) là toán tử
A′(x,D) =∑
|α|=2m
aα(x)Dα.
Định nghĩa 2.5.1. Toán tử A(x,D) là elliptic mạnh nếu tồn tại hằng số c > 0 sao
cho
Re (−1)mA′(x, ξ) > c|ξ|2m
với mọi x ∈ Ω và ξ ∈ Rn.
Toán tử elliptic mạnh có tính chất quan trọng sau
Định lý 2.5.1. (Bất đẳng thức Garding)
Nếu A(x,D) là toán tử elliptic mạnh cấp 2m thì tồn tại hằng số c0 > 0 và λ0 ≥ 0 sao
cho với mọi u ∈ H2m(Ω) ∩Hm0 (Ω) ta có
Re (Au, u)0 > c0 ‖u‖2m,2 − λ0 ‖u‖20,2 . (2.19)
53
Chứng minh xem [8], trang 209.
Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét toán tử vi phân A(x,D) ở dạng đơn giản là
∆ cho bởi
∆u =n∑
i=1
∂2u
∂x2i.
Theo định nghĩa thì ∆ là elliptic mạnh và với mọi u ∈ C∞0 (Ω) ta có đẳng thức sau
(−∆u, u)0 = −∫
Ω
u∆udx =
∫
Ω
∇u · ∇udx = ‖u‖21,2 − ‖u‖20,2 . (2.20)
2.5.2 Phương trình truyền sóng
Trong phần này chúng ta xét bài toán giá trị ban đầu cho phương trình truyền sóng
trong Rn, tức là bài toán
∂2u(t, x)
∂t2= ∆u, với x ∈ R
n, t > 0
u(0, x) = u1(x),∂u
∂t(0, x) = u2(x), với x ∈ R
n.(2.21)
Bài toán này tương đương với hệ cấp một:
∂
∂t
(u1
u2
)=
(0 I
∆ 0
)(u1
u2
)với x ∈ R
n, t > 0 (2.22)
và (u1(0, x)
u2(0, x)
)=
(u1(x)
u2(x)
)với x ∈ R
n.
Trong không gian Hilbert H = H1(Rn)× L2(Rn), ta xác định toán tử A liên quan
với toán tử vi phân
(0 I
∆ 0
)như sau:
Định nghĩa 2.5.2. Cho
D(A) = H2(Rn)×H1(Rn) (2.23)
và với U = [u1, u2] ∈ D(A), đặt
AU = A[u1, u2] = [u2,∆u1]. (2.24)
Để chỉ ra toán tử A xác định bởi 2.23 và 2.24 là toán tử sinh của nửa nhóm liên
tục mạnh trên H ta cần một số bổ đề sau.
54
Bổ đề 2.5.1. (Xem [8], trang 220)
Nếu v > 0 và f ∈ Hk(Rn), k ≥ 0 thì có một hàm duy nhất u ∈ Hk+2(Rn) thoả mãn
u− v∆u = f. (2.25)
Cho trước một vectơ U = [u1, u2] ∈ C∞0 (Rn) × C∞
0 (Rn), ta xác định được chuẩn
sau:
‖|U |‖ = ‖|[u1, u2]|‖ =
∫
Rn
(|u1|2 + |∇u1|2 + |u2|2
)dx
1/2
.
Bổ đề 2.5.2. (Xem [8], trang 221)
Với mỗi F = [f1,f2] ∈ C∞0 (Rn)× C∞
0 (Rn) và số thực λ 6= 0, phương trình
U − λAU = F (2.26)
có nghiệm duy nhất U = [u1,u2] ∈ Hk(Rn)×Hk−2(Rn) với mọi k ≥ 2.
Hơn nữa,
‖|U |‖ 6 (1− 2 |λ|)−1 ‖|F |‖ với 0 < |λ| < 1
2. (2.27)
Từ bổ đề 2.5.1 ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.5.1. (Xem [8] trang 221)
Với mỗi F ∈ H1(Rn)× L2(Rn) và số thực λ thoả mãn 0 < |λ| < 1
2phương trình
U − λAU = F (2.28)
có nghiệm duy nhất U ∈ H2(Rn)×H1(Rn) và
‖|U |‖ 6 (1− 2 |λ|)−1 ‖|F |‖ .
Từ hệ quả này ta nhận được kết quả sau.
Định lý 2.5.2. (Xem [8], trang 222)
Toán tử A xác định trong định nghĩa 2.5.2 là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục
mạnh trên H = H1(Rn)× L2(Rn), thoả mãn
‖T (t)‖ 6 e2t với mọi t ≥ 0.
Cuối cùng, sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình truyền sóng được suy ra
từ hệ quả sau đây.
55
Hệ quả 2.5.2. (Xem [8], trang 222)
Với f1 ∈ H2(Rn), f2 ∈ H1(Rn) tồn tại duy nhất u(t, x) ∈ C1([0,∞);H2(Rn)) thoả mãn
bài toán ban đầu
∂2u
∂t2= ∆u
u(0, x) = f1x
u′t(0, x) = f2(x)
(2.29)
Nhận xét 1: Trong trường hợp ∆ là toán tử giới nội, người ta có thể xây dựng
được công thức biểu diễn cụ thể của nửa nhóm T (t), xem ... trang 76.
Nhận xét 2: Trong thực tế, thay co bài toán 2.21, ta có thể xét bài toán truyền
sóng có nhiễu tương ứng. Bằng cách sử dụng nửa nhóm bị nhiễu, ta có thể đưa việc
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu
về việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất tương ứng. Lược đồ nghiên cứu hoàn toàn tương tự như phương pháp xấp
xỉ thứ nhất theo Lyapunov đã được xét trong chương một. Do điều kiện thời gian bị
hạn chế, chúng tôi xin được tiếp tục nghiên cứu vấn đề này trong thời gian tiếp theo.
56
Kết luận
Trong bản luận văn này, chúng tôi đã trình bày các kiến thức cơ bản về nửa
nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm có nhiễu và
ứng dụng của nó vào việc xét tính đặt chỉnh của các phương trình vi phân tuyến tính
và tuyến tính có nhiễu trong không gian Hilbert.
Ngoài ra, trong chương một, chúng tôi cũng đã trình bày việc nghiên cứu sự ổn
định của các phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo phương pháp
hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunov.
57
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Khuê, Giáo trình giải tích hàm, NXB Đại học Sư phạm Hà
Nội (2006).
[2] E. A. Barbasin, Mở đầu về lý thuyết ổn định (dịch từ nguyên bản tiếng Nga),
NXB Khoa Học và Kỹ Thuật.
[3] W. A. Coppel, Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations,
D. C. Health and Company Boston (1965).
[4] Ju. L. Daleckii and M. G. Krein, Stability of solution of Differential Equa-
tions in Banach space, D. C. Health and Company Boston (1974).
[5] Klaus - Jochen Engel, Rainer Nagel, One - Parameter Semigroups for Linear
Evolution Equations, Springer - Verlag New York, Inc (2000).
[6] Klaus - Jochen Engel, Rainer Nagel, A Short Course on Operator Semi-
groups, Springer Science + Business Media, LLC (2006).
[7] S. G. Krein, Linear differential equations in Banach space), American Math-
ematical Society (1971).
[8] A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differ-
ential equations, Springer Verlag, New York Inc (1983).
[9] R. S. Philips, Perturbation theory forsemi-groups of linear operators, Trans.
Amer. Math. Soc. 74 (1953).
[10] Taro Yosizawa, Stability theory by Lyapunov’s second method, Mathemat-
ical Society of Japan (1966).
58
