TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TPHCM. BỘ MÔN CƠ · PDF fileKHOA CƠ KHÍ CÔNG NGH ... 2.1 Phương trình vi phân. ... Ảnh của đạo hàm Giải phương trình vi phân

GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1

•1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TPHCM.KHOA CƠ KHÍ CÔNG NGHỆ

BỘ MÔN CƠ ĐiỆN TỬ.

BÀI GiẢNG :LÝ THUYẾT ðiỀU KHIỂN TỰ ðỘNG

GV: Th.S Nguyễn Tấn Phú[email protected].

Chương 2: Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục

2.1 Phương trình vi phân.

2.2 Phép biến đổi Laplace.

2.3 Hàm truyền.

2.4 Sơ đồ khối.

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình.

2.6 Graph tín hiệu.

2.7 Phương trình trạng thái.

•2


•3




2.3 Hàm truyền.





2.1 Phương trình vi phân

•4

ai , bi : thông số của hệ thống (khối lượng, ma sát, R,L,C,…)

r(t) : tín hiệu vào

y(t) : tín hiệu ra

n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân

Với hệ thống thực tế : m ≤ n (nguyên lý nhân quả)

1 1

1 0 1 01 1

n n m m

n n m mn n m m

d y d y d r d ra a ... a y(t) b b ... b r(t)

dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của mộthệ thống liên tục tuyến tính bất biến SISO có thể mô tả bằngphương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:


Ví dụ 2.1: Hệ lò xo – khối lượng – giảm chấn

Áp dụng Định luật II Newton :

•5

m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : ñộ cứng lo xo, [N/m] � Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]� Tín hiệu ra: lượng di ñộng y(t), [m]

2

2= = − −∑ i ms lx

d ym F F(t) F F

dt

2

2

d y dym b ky(t) F(t)

dtdt+ + =⇒

=msdy

F bdt

=lxF ky(t)

Lực giảm chấn :

Lực lò xo :

F(t)

FmsFlx

m

(+)

Ví dụ 2.2: Mạch điện RLC nối tiếp

Theo định luật Kirchhoff :

•6

⇒

Tín hiệu vào: ñiện áp uTín hiệu ra: ñiện áp uc

+ + =R L Cu u u u

=L

diu L

dt

1= ∫Cu idt

C

=Ru Ri

2

2

C CC

d u duLC RC u u

dt dt+ + =

Trong ñó:

⇒ = Cdui C

dt

= CduRC

dt2

2= Cd u

LCdt


Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô

•7

+ =dv

m bv(t) f(t)dt

m : khối lượng xeb : hệ số cản của không khí (ma sát nhớt)� Tín hiệu vào: Lực ñẩy của ñộng cơ, f(t)� Tín hiệu ra: vận tốc của xe , v(t)

f(t) b

v(t)

Ví dụ 2.4: Bộ giảm xóc của xe ôtô, xe máy

•8

m : khối lượng, [kg] b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m] k : ñộ cứng lo xo, [N/m] � Tín hiệu vào: lượng di ñộng r(t), [m]� Tín hiệu ra: lượng di ñộng y(t), [m]

2

2

d y dy drm b ky(t) b kr(t)

dt dtdt+ + = +


•9

Ví dụ 2.5: Mạch điện RLC

2

C CC

d u duRLC L Ru Ru

dt dt+ + =

2

C CC

d u du duRLC L Ru L

dt dt dt+ + =

i

i




2.3 Hàm truyền.





•10


2.2 Phép biến đổi Laplace

•11

Nghieäm y(t)

Nghieäm Y(s)

2.2 Phép biến đổi Laplace2.2.1 Định nghĩa

• Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t ≥0, biến đổi Laplace

của f(t) là:

•12

s : biến Laplace (biến số phức)

L : toán tử biến ñổi Laplace

F(s): biến ñổi Laplce hay ảnh Laplace của f(t)

Biến ñổi Laplace tồn tại khi tích phân trong biểu thức ñịnh nghĩa trên là hội tụ (hữu hạn).

st

0

F(s) L[f (t)] f (t)e dt

∞−= = ∫



• Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là một

hàm thời gian f(t) xác định bởi:

•13

Trong ñó :

� C là ñường cong kín ñược lựa chọn trong miền s � j là số ảo ñơn vị (j2 =-1)

1 ts

c

1f (t) L [F(s)] F(s)e ds

2 j

−= =π ∫�

t ≥ 0

2.2 Phép biến đổi Laplace2.2.2 Tính chất

1) Tuyến tính

2) Ảnh của đạo hàmGiải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu:

•Bộ môn : Cơ ðiện Tử •14

( n 1)f (0 ), f (0 ), f (0 ), ..., f (0 )−& &&

L [f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s)

L[kf(t)] = kF(s)

0y( )& là vận tốc ban ñầu (tại t=0).

2 ñiều kiện ñầu: y(0) là vị trí ban ñầu (tại t=0)

300 5 20 100+ + =&& &y(t) y(t) y(t)

Ví dụ : Giải ph.trình vi phân mô tả chuyển ñộng bậc hai:



2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0

•15

( ) ( 1)

1

[ ( )] ( ) (0)− −

=

−= ∑n

n n n i i

i

L f t s F s s f

2300 5 20 100s Y(s) sY(s) Y(s) R(s)+ + =

2300 5 20 100( s s )Y(s) R(s)+ + =

2L[f (t)] s F(s) sf (0) f (0)= − −&& &

(3) 3 2L[f (t)] s F(s) s f (0) sf (0) f (0)= − − −& &&

300 5 20 100y(t) y(t) y(t) r(t)+ + =&& &

Biến ñổi Laplace 2 vế với ðKð =0 ta ñược:

Ví dụ, xét ptvp:

( )[ ( )] ( )=n nL f t s F s2b) Nếu các ñiều kiện ñầu = 0


3) Ảnh của tích phân

•16

0

( )( )

=

∫t F s

L f t dts

4) �nh c�a hàm tr�

f(t-T) = f(t) khi t≥ T

= 0 khi t<T

TsL[f (t T)] e F(s)−− =

5) �nh c�a tích ch�pt t

1 2 1 2 1 20 0f (t)*f (t) f ( ). f (t )d f (t ). f ( )d

ÑN

= τ − τ τ = − τ τ τ∫ ∫1 2 1 2L[f (t)*f (t)] F (s).F (s)=



6) Nhân hàm f(t) với e- α α α αt

•17

0

[ ( )] ( ) [ ( )] ( )∞

−α −α −= = + α = + α∫t t stL e f t e f t e dt L f t F s

8) ð�nh lý giá tr� ñ�u

t 0 sf (0) limf (t) lim [s.F(s)]

→ →∞= =

Nhân f(t) với e-αt ⇔ thay s bằng (s+α) trong ảnh Laplace.

7) ð�nh lý giá tr� cui

t s 0f ( ) lim f (t) lim [s.F(s)]

→∞ →∞ = =


2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị

•18

Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t):

st st

00

1 1 1L[1(t)] e dt .e (0 1)

s s s

∞∞− −= = − = − − =∫

KL[K.1(t)] K.L[1(t)]

s= =


2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản

2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac)

•19

0 0st 0

0 0 0

(t)e dt (t)e dt (t)dt 1

∞ + +− −δ = δ = δ =∫ ∫ ∫

3) Hàm mũ e -ααααt (αααα <0)

t st (s )t

0 0

e e dt e dt

∞ ∞−α − − +α=∫ ∫

(s )t

0

e 1

s s

− +α ∞

= − =+ α + α

tL[e ]−α =

L[ (t)]δ =

t

δ(t)

0

t

0

1

∞

a→0

a

h


4) Hàm dốc đơn vị

•20

tr(t) t.1(t)

0

= =

khi t ≥ 0

khi t < 0

steu t ; v

s

−

= =−

2 2

st stst

00 0

te e 1 1L[t.1(t)] te dt dt 0

s s s s

∞ ∞− −∞−= = + = + =

−∫ ∫

t

2

0

L[1(t)] 1L[t.1(t)] L 1(t)dt

s s

= = =

∫

Lấy tích phân từng phần

Cũng có thể dùng tính chất ảnh của tích phân:

udv uv vdu= −∫ ∫

Theo cách tương tự, ta tính ñược ảnh của t2, t3, tn …

t.1(t)

t0



5) Hàm lượng giác sinωωωωt, cosωωωωt, …

•21

j t

j tcos t jsin t e

cos t jsin t e

ω

− ω

ω + ω =

ω − ω =

( ) ( ) ( )( )s j t s j tj t j t st

0 0

1 1e e e dtL[cos t] e e dt

2 2

∞ ∞− − ω − + ωω − ω −+ = +ω = ∫ ∫

Công thức Euler:

( ) ( )j t j t j t j t1 1cos t e e ; sin t e e

2 2j

ω − ω ω − ω⇒ ω = + ω = −

1 1 1...

2 j sL[sin

s jt]

j

= − − ω + ω

ω

=

1 1 1

2 s j s j

= + − ω + ω

2 2

s

s=

+ ω

2 2s=

ω

+ ω

Một số biến đổi Laplace thường dùng (trang 20)

TT f(t) F(s)

1 1(t)

3

8

9

17

18


2 2

s(s )

+ α

+ α + ω

2 2(s )ω

+ α + ω

te cos t−α ω

te sin t−α ω

1n(s )+ α

1

s + α

2

1

(s )+ α

1 / s

te

−α

tte−α

n 1tt

e(n 1)!

−−α

−


2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược

Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=?Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức theo s:


m m 1m m 1 0

n n 1

n n 1 0

b s b s ... bP(s)Y(s)

Q(s) a s a s ... a

−−

−−

+ + += =

+ + +

� PP gi�i: Phân tích Y(s) thành tổng các phân thức

ñơn giản, sau ñó áp dụng các công thức cơ bản.

� Cách phân tích Y(s) hoàn toàn phụ thuộc vào loại

nghiệm của mẫu số Q(s) (nghiệm ñơn/ bội/ phức).

n n1 1

i i

i 1 i 1

y(t) L [Y(s)] L [Y (s)] y (t)− −

= =

= = =∑ ∑

(m<n)


1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn


Các hệ số Ai (i=1,2,…,n) xác ñịnh bởi:

n 1 2 nQ(s) a (s s )(s s )...(s s )= − − −

1 2 i n

1 2 i n

A A A AP(s)Y(s) ... ...

Q(s) s s s s s s s s= = + + + + +

− − − −

ii

s si i is s

A lim [(s s ).Y(s)] [(s s ).Y(s)] =→

= − = −

i 1 2 n

ns t s t s t s t

i 1 2 n

i 1

y(t) A e A e A e ... A e=

= = + + +∑

Tra bảng ta có: i1 ii

i

s tAL A e

s s

− =

−

⇒

Giả sử Q(s) có n nghiệm ñơn s1 , s2 ,…, sn

Khi ñó có thể phân tích :



Ví dụ : Tìm y(t) biết


2s 2 s 2

5s 3 7A lim [(s 2)Y(s)] lim

2s(s 5) 12→− →−

+= + = =

+

31 2 AA A5s 3Y(s)

2s(s 2)(s 5) s s 2 s 5

+= = + +

+ + + +

1s 0 s 0

5s 3 3A lim [s.Y(s)] lim

2(s 2)(s 5) 20→ →

+= = =

+ +

Gi�i. Mẫu số của Y(s) có 3 nghiệm ñơn s1 =0, s2 =-2 , s3 =-5

và hệ số an=2. Do ñó có thể phân tích :

2

5s 3Y(s)

s(2s 14s 20)

+=

+ +

3s 5

A lim [(s 5)Y(s)]→−

= +s 5

5s 3 22 11lim

2s(s 2) 30 15→−

+= = − = −

+



3 7 11Y(s)

20s 12(s 2) 15(s 5)= + −

+ +

2t 5t3 7 11y(t) e e

20 12 15

− −= + −⇒

⇒

t 0y(0) lim[y(t)] 0

→= =

ty( ) lim[y(t)] 3 / 20

→∞∞ = =

s 0y( ) lim[s.Y(s)] 3 / 20

→∞ = =

sy(0) lim[s.Y(s)] 0

→∞= =

Nh�n xét:



2

1 8 s 1 2 6Y ( s )

s ( s 2 3 s 1 2 6 )

+=

+ +

9 t 14 t4 9y ( t ) 1 e e

5 5

− −= + −


2) Mẫu số của Y(s) có nghiệm bội


r

n 1 n r kQ(s) a (s s )...(s s )(s s )−= − − −

( ) ( )1 n r r 2 1

r 21 n r kk k

A A B B BY(s) ... ...

s s s s s ss s s s

−

−

= + + + + + +− − −− −

ii i

s sA lim [(s s ).Y(s)]

→= −

Giả sử Q(s) có (n-r) nghiệm ñơn s1 , s2 ,…, sn-r và một nghiệm bội sk lặp r lần


s sk

r ir

i kr i

1 dB lim (s s ) .Y(s)

(r i)! ds→

−

−

= − −

( i=r,r-1,…,1)

( i=1,2,…,n-r)



s sk

r ir

i kr i

1 dB lim (s s ) .Y(s)

(r i)! ds→

−

−

= − −

( ) ( )1 n r r 2 1

r 21 n r kk k

A A B B BY(s) ... ...

s s s s s ss s s s

−

−

= + + + + + +− − −− −


2 2

2 k 1 ks s s sk k

dB lim (s s ) .Y(s) ; B lim (s s ) .Y(s)

ds→ →

= − = −

⇒ i k k k

r 1n rs t s t s t s t

i r 2 1

i 1

ty(t) A e B e ... B te B e

(r 1)!

−−

=

= + + + +−

∑

� Nếu r =2 (nghiệm kép), cần tìm 2 hệ số B2 , B1 :

( i=r,r-1,…,1)


Ví dụ : Tìm y(t) biết


( )1 2 2 1

22

A A B B5s 24Y(s)

s(s 4)(s 3) s s 4 s 3s 3

+= = + + +

+ + + ++

1 2s 0 s 0

5s 24A lim [s.Y(s)] lim

(s 4)(s 3)→ →

+= = =

+ +

Gi�i. Mẫu số của Y(s) có 2 nghiệm ñơn s1=0 ; s2=-4

và một nghiệm kép sk =-3 nên có thể phân tích :

2

5s 24Y(s)

s(s 4)(s 3)

+=

+ +

2 2s 4 s 4

5s 24A lim [(s 4)Y(s)] lim

s(s 3)→− →−

+= + = =

+

22

s 3 s 3

5s 24B lim [(s 3) Y(s)] lim

s(s 4)→− →−

+= + = =

+

24 2

36 3=

41

4= −

−

93

3= −

−



( ) ( )2

2 1 3 1Y(s)

3s s 4 3(s 3)s 3= − − +

+ ++


21

s 3 s 3

d d 5s 24B lim [(s 3) Y(s)] lim

ds ds s(s 4)→− →−

+ = + = +

1 2 2s 3

5s(s 4) (2s 4)(5s 24) 3 1B lim

9 3s (s 4)→−

+ − + += = =

+

⇒

4t 3t 3t2 1y(t) e 3te e

3 3

− − −= − − +⇒

2

'u u v v u

v v

′ ′− =

L�u ý:

•Bài giảng : Lý Thuyết ðiều Khiển Tự ðộng

•32

2

3 s 4 0Y ( s )

s ( s 5 ) ( s 3 )

+=

+ +

5 t 3t 3t8 5 31 13y(t) e te e

9 4 6 36- -− − −= +



3) Mẫu số của Y(s) có nghiệm phức


n 1 n 2 1 2Q(s) a (s s )...(s s )(s p )(s p )−= − − − −

( )1 n 2 1 2

2 21 n 2

A A C (s a) CY(s) ...

s s s s s a

−

−

− + ω= + + +

− − − + ω

Giả sử Q(s) có (n-2) nghiệm ñơn s1 , s2 ,…, sn-2

và 2 nghiệm phức p1,2 = a ± jω


2 2

n 1 n 2Q(s) a (s s )...(s s )[(s a) ]−= − − − + ω

Các hệ số Ai , C1 ,C2 xác ñịnh bằng :

- Phương pháp ñồng nhất hệ số ña thức,

- hoặc Tính theo công thức:


( )1 n 2 1 2

2 21 n 2

A A C (s a) CY(s) ...

s s s s s a

−

−

− + ω= + + +

− − − + ω


i is si

A lim [(s s )Y(s)]→

= −

[ ]{ }1 1 2 1s p

1C Im (s p )(s p )Y(s) == − −

ω

[ ]{ }2 1 2 1s p

1C Re (s p )(s p )Y(s) == − −

ω

(i=1,…,n-2)

i

n 2s t at at

i 1 2

i 1

y(t) A e C e cos t C e sin t−

=

= + ω + ω∑

Biến ñổi ngược Laplace hàm ảnh Y(s) ta ñược :



Nhận xét : Có thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay coscủa tổng/hiệu.


2 2

2 2 2 2sin t cos t sin t cos t

α βα ω ± β ω = α + β ω ± ω

α + β α + β

( )2 2 sin t cos cos t sin= α + β ω ϕ ± ω ϕ

2 2 sin( t )= α + β ω ± ϕ

Trong ñó :

2 2 2 2arccos arcsin

α βϕ = =

α + β α + β


Ví dụ: Tìm y(t) biết


1 2

2 2

C (s 3) 4C2s 5 AY(s)

s(s 6s 25) s s 6s 25

+ ++= = +

+ + + +

Gi�i. Mẫu số của Y(s) có một nghiệm ñơn s=0 và hai

nghiệm phức p1,2 =-3± 4j nên có thể phân tích :

2

2s 5Y(s)

s(s 6s 25)

+=

+ +

2

1 1 2

2

(A C )s (6A 3C 4C )s 25AY(s)

s(s 6s 25)

+ + + + +=

+ +

25A 5=

1A C 0+ =

1 26A 3C 4C 2+ + =

A 1/ 5=

1C 1/ 5= −

2C 7 / 20=

So sánh với Y(s) ñã cho, ta ñược:

⇒



2 2 2 2 2

1 7 1 7(s 3) (4) (s 3) ( )

1 15 20 5 20Y(s)5s s 6s 25 5s (s 3) 4 (s 3)

4

4

− + + − += + = + +

+ + + + + +


1 3t 3t1 1 7y(t) L [Y(s)] e cos 4t e sin 4t

5 5 20

− − −= = − +

3t1 1e (7sin 4t 4cos 4t)

5 20

−= + −

3t1 65 7 4e sin 4t cos4t

5 20 65 65

− = + −

3t1 65e sin(4t )

5 20

−= + − ϕ

7 4arccos arcsin

65 65ϕ = =Vôùi



20 0s s

2s 5 1A lim [sY(s)] lim

5s 6s 25→ →

+= = =

+ +

[ ]1 2 3 4 j1s p s

2s 5D (s p )(s p )Y(s)

s− += =

+ = − − =

{ }1

1 1 4 1C Im D

4 5 5

= = − = −

ω

� Cũng có thể tính A, C1 , C2 bằng công thức :

( )( )2

1 8j 3 4j1 8j 35 20 j 7 4D j

3 4j 25 5 59 16j

− + − −− + −= = = = −

− + −

{ }2

1 1 7 7C Re D

4 5 20

= = =

ω



2

1 5s 2 2 5Y (s )

s (s 1 8s 2 2 5)

+=

+ +

9t 9t1y(t) 1 e cos12t e sin12t

2- − −= +

•Tìm Hàm y(t) biết :

Bài tập: Cho Y(s), tìm y(t)=?


2

s 20Y(s)

s(2s 16s 30)

+=

+ +

2

6s 15Y(s)

s(s 1)(s 8s 16)

+=

+ + +

2

s 5Y(s)

s(s 4s 5)

+=

+ +2t

y(t) 1 2e sin t4

− π = − +

3t 5t2 17 3y(t) e e

3 12 4

− −= − +

t 4t 4t15 3 1y(t) e te e

16 4 16- - +− − −=






2.3 Hàm truyền.





•41

2.3 Hàm truyền

n n 1 m m 1

n n 1 0 m m 1 0n n 1 m m 1

d y d y d r d ra a ... a y(t) b b ... b r(t)

dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +


1) ðịnh nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa

ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào

khi các ñiều kiện ñầu bằng 0.

Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục :

Biến ñổi Laplace hai vế với ðKð =0 ta ñược :

n n 1 m m 1

n n 1 0 m m 1 0(a s a s ... a )Y(s) (b s b s ... b )R(s)− −

− −+ + + = + + +

m m 1

m m 1 0

n n 1

n n 1 0

b s b s ... bY(s)G(s)

R(s) a s a s ... a

−−

−−

+ + += =

+ + +

Lập tỉ số Y(s)/ R(s) ta ñược hàm truyền G(s):


2.3 Hàm truyền


2) Nhận xét

� Khái niệm hàm truyền chỉ dùng cho hệ thống

(hay phần tử) tuyến tính bất biến.� Hàm truyền chỉ phụ thuộc vào các thông số và bậc của

hệ thống mà không phụ thuộc vào loại và giá trị của tín

hiệu vào, tín hiệu ra.� Giả thiết các ðKð =0 nhằm mục ñích dùng hàm truyền

ñể nghiên cứu bản chất ñộng học của hệ thống.

� Dùng hàm truyền ñể mô tả và phân tích hệ thống thuận lợi hơn PTVP vì hàm truyền là phân thức ñại số.

Quan hệ vào-ra sẽ ñơn giản là phương trình ñại số:

G(s) Y(s) / R(s) Y(s) R(s).G(s)= → =

Tín hiệu ra = tín hiệu vào * hàm truyền

2.3 Hàm truyền


3) ða thức ñặc tính, Phương trình ñặc tính

- ða thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là ña thức ñặc tính:

Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình ñặc tính có thể xét tính ổn ñịnh của hệ thống (chương 4).

n n 1n n 1 0A(s) a s a s ... a−

−= + + +

n n 1n n 1 0a s a s ... a 0−

−+ + + =

- Cho mẫu số hàm truyền =0 ta có phương trình ñặc tính:

4) Mô tả hệ MIMO

ðể mô tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền. Mỗi hàm truyền chỉ ứng với một cặp tín hiệu vào, ra.

ij i jG Y / R=Hệ MIMO1YM

1RM

3R 4Y


2.3 Hàm truyền


5) Biểu diễn hàm truyền theo dạng zero-cực-ñộ lợi

Trong ñó:zi (i=1,2,…,m) _ là nghiệm ña thức tử số, gọi là các zero.pi (i=1,2,…,n)_ là nghiệm ña thức mẫu số, gọi là các cực(pole); pi cũng chính là nghiệm của phương trình ñặc tính.

1 2 m

1 2 n

Y(s) (s z )(s z )...(s z )G(s) K

R(s) (s p )(s p )...(s p )

− − −= =

− − −

m

n

bK

a= _ là ñộ lợi (gain).

2

2

4s 28s 40 (s 2)(s 5)G(s) 4

(s 3)(s 10)s 13s 30

+ + + += =

+ ++ +Ví d :


•46



2.3 Hàm truyền.








•47




2.3 Hàm truyền.





•47

2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình

2

2

d y dym b ky(t) F(t)

dtdt+ + =


2.5.1 Phần tử cơ khí

� H� lò xo-khi l��ng-gi�m ch�n

Phương trình vi phân:

Biến ñổi Laplace 2 vế với ðKð =0 :2(ms bs k)Y(s) F(s)+ + =

Hàm truyền bậc hai:

2

Y(s) 1G(s)

F(s) ms bs k= =

+ +

- Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t)- Tín hiệu ra: lượng di ñộng y(t)




2.5.1 Phần tử cơ khí

� Tr c vít –ñai c (bàn máy)

Phương trình chuyển ñộng:

Biến ñổi Laplace 2 vế :

Hàm truyền tích phân:

-Tín hiệu vào: vận tốc góc ω(t)-Tín hiệu ra:lượng di ñộng y(t)

n_số vòng quay; P_bước ren vít

t t

0 0

Py(t) P n(t)dt . (t)dt

2= = ω

π∫ ∫

P (s) KY(s) . (s)

2 s s

ω= = ω

π

Y(s) K

(s) s=

ω(K=P/2π : hệ số tích phân)




Biến ñổi Laplace 2 vế với ðKð =0 :

U(s) (Ls R)I(s)= +

Hàm truyền bậc nhất:

I(s) 1G(s)

U(s) Ls R= =

+

2.5.2 Phần tử ñiện

� M�ch RL ni ti�p -Tín hiệu vào: ñiện áp u(t)-Tín hiệu ra: dòng ñiện i(t)

L R

diu u u L Ri

dt= + = +





Biến ñổi Laplace 2 vế với ðKð =0 :

2

C(LCs RCs 1)U (s) U(s)+ + =

Hàm truyền bậc hai:

C

2

U (s) 1G(s)

U(s) LCs RCs 1= =

+ +

2.5.2 Phần tử ñiện

� M�ch RLC ni ti�p

Tín hiệu vào: ñiện áp u(t)Tín hiệu ra: ñiện áp uc(t)

2

2

C CC

d u duLC RC u u

dt dt+ + =



� M�ch RLC ni ti�p & //

i

- Theo Kirchoff :

CC C C

du1u i dt i C

C dt= ⇒ =∫

LC L L C

di 1u u L i u dt

dt L= = ⇒ = ∫

R L Cu Ri R i i( )= = +

2

CRLCs Ls R U s LsU s( ) ( ) ( )+ + =

- Hàm truyền: C

2

U s LsG s

U s RLCs Ls R

( )( )

( )= =

+ +

R Cu u u+ = (*)

- Lấy Laplace 2 vế, ñược:

CC C

du RRC u u dt u

dt L+ + =∫-Thế vào (*) , ta ñược:

2

C CC

d u du duRLC L Ru L

dt dt dt+ + =- Lấy ñạo hàm 2 vế, ñược:




� Khuếch ñại thuật toán (op-amp)

0 2 1 1 2u K(u u ) K(u u )= − = − −

- Op-amp thường ñược ghép nối thành các mạch khuếch ñại, mạch cảm biến, bộ lọc tín hiệu, bộ ñiều khiển.

- Tín hiệu ngõ ra u0 tỉ lệ với hiệu của hai tín hiệu vào. - Hệ số khuếch ñại K≈105÷106.



� C�m bi�n

Các cảm biến thường có tín hiệu ra yht(t) tỉ lệ với tín hiệu vào y(t). Ví dụ: - Một cảm biến ño áp suất trong tầm 0 ÷10 bar và chuyển thành ñiện áp trong tầm 0÷10V sẽ có hàm truyền là H(s)=K =10/10 = 1 [V/bar] - Một cảm biến nhiệt ño nhiệt ñộ trong tầm 0÷500°C và chuyển thành ñiện áp trong tầm 0÷10V sẽ có hàm truyền là H(s)=K =10/500 = 0,02 [V/ °C]

Nếu cảm biến có ñộ trễ ñáng kể thì ñược mô tả bằng hàm truyền bậc nhất.


2.5.3 Động cơ điện DC


U(s) I(s)

ω(s)

Tín hiệu vào: ñiện áp u

Tín hiệu ra: vận tốc góc ω

R: ñiện trở phần ứng

L: ñiện cảm phần ứng

Ke: hằng số sức ñiện ñộng

e=Keω: sức phản ñiện ñộng

Sử dụng 3 phương trình cơ bản:1) Phương trình mạch ñiện phần ứng : e

diu L Ri K

dt= + + ω

eU(s) LsI(s) RI(s) K (s)= + + ω

( )eU(s) K (s) Ls R I(s)− ω = +

Biến ñổi Laplace 2 vế:

⇒ Sơ ñồ khối (1):

1

Ls R+

Ke



2) Phương trình mômen ñiện từ:

mM(t) K i(t)= mM(s) K I(s)⇒ =

Km : hằng số mômen của ñộng cơI(s) M(s)

Km


t

dM(t) J B (t) M (t)

dt

ω= + ω +

tM(s) Js (s) B (s) M (s)⇒ = ω + ω +

3) Phương trình cân bằng mômen cơ:

tM(s) M (s) (Js B). (s)− = + ω

J: mômen quán tính của ñcơ và tải quy về trục ñộng cơ

B: hệ số ma sát của ñcơ và tải quy về trục ñộng cơ

Mt : mômen phụ tải (nhiễu)


M(s) ω(s)

Mt(s)

1

Js B+




Kết nối các SðK (1),(2),(3) ta ñược SðK chung của ñộng cơ DC:

Dùng ñại số SðK tìm hàm truyền ñộng cơ (coi nhiễu Mt=0):

Km

M(s) ω(s)

Mt(s)

1

Js B+

U(s) I(s)

ω(s)Ke

1

Ls R+

m

m

m e m e

K

K(s) (Ls R)(Js B)G(s)

K KU(s) (Ls R)(Js B) K K1

(Ls R)(Js B)

ω + += = =

+ + ++

+ +

( )m

2m e

K(s)G(s)

U(s) LJs (LB RJ)s K K RB

ω= =

+ + + +(2-47 tr.45)



Nếu ñặt :

Thì hàm truyền có dạng:

t L / Rτ = _là hằng số thời gian ñiện

c J / Bτ = _là hằng số thời gian cơ

m m

2 m et c m et c t c

K K / RBG(s)

K KRB( s 1)( s 1) K Ks ( )s 1

RB

= =τ + τ + +

τ τ + τ + τ + + Nếu bỏ qua ñiện cảm:

m

m em

m e

m e

K

RB K K(s) K KG(s)

RJU(s) RJs RB K K Ts 1s 1

RB K K

+ω= = = =

+ + +++

� Nhận xét : Tổng quát, ñộng cơ DC ñiều khiển vận tốc ñược mô tả bằng hàm truyền bậc hai, nếu bỏ qua ñiện cảm thì có thể mô tả bằng hàm truyền bậc nhất.

(2-49)

(2-48 tr.46)




� Nếu ñộng cơ ñược ñiều khiển góc quay ϕ (ñịnh vị); Do ω=dϕ/dt⇒ ω(s)=s.Φ(s) nên sơ ñồ khối có thêm khâu tích phân 1/s.

Hàm truyền:

Nếu bỏ qua ñiện cảm: m

m em

m e

m e

K

RB K K(s) K KG(s)

U(s) s(RJs RB K K ) s(Ts 1)RJs s 1

RB K K

+Φ= = = =

+ + + + +

(2-50 tr.46)

Km

M(s) ω(s)

Mt(s)

1

Js B+

U(s) I(s)

ω(s)Ke

1

Ls R+

1

s

Φ(s)

m

m e

(s) KG(s)

U(s) s[(Ls R)(Js B) K K )

Φ= =

+ + +

Documents

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM TPHCM. BỘ MÔN CƠ · PDF fileKHOA CƠ KHÍ CÔNG NGH ... 2.1 Phương trình vi phân. ... Ảnh của đạo hàm Giải phương trình vi phân