GroupNama Anggota Kelompok

1. Eni Tri Fatimah2. Ismi Nadiya3. Khoirun Nisa

4. Nadya Aulida Drajat

Misalkan G suatu himpunan sembarang dan didefinisikan operasi biner * pada G. Apakah syarat agar (G,*) merupakan group, apakah G bisa berupa himpunan kosong?- Carilah definisi group- Tuliskan syarat-syarat grup- Periksa apakah (ø,*) bisa membentuk group

Masalah 1

Suatu group (G,*) adalah suatu himpunan G dengan satu operasi biner (*) yang memenuhi sifat-sifat berikut:1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ G2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c ϵ G3. Adanya elemen satuan (identitas) Ǝe ϵ G sehingga a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G4. Adanya elemen invers: Ѵa ϵ G, Ǝϵ G sehingga a*=*a=e

(ø,*) tidak bisa membentuk group karena tidak ada objek penderita (elemen-elemennya)

Misalkan ={0,1,2,3,4} dan didefinisikan * adalah operasi perkalian mod 5. Apakah (,*) membentuk group?

Masalah 2

Untuk operasi penjumlahan

+  0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ GDapat kita lihat dalam tabel bahwa semua hasil dari operasi (a+b) merupakan elemen 2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c ϵ GPada operasi penjumlahan a+(b+c)=(a+b)+c pasti benar

Untuk operasi penjumlahan

+  0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

3. identitas: Ǝe ϵ G sehingga a*e=e*a=a, Ѵa ϵ GPada operasi penjumlahan e=0 Ǝ0 ϵ G sehingga a+0=0+a=a, Ѵa ϵ G

4. Invers: Ѵa ϵ G, Ǝϵ G sehingga a*=*a=ee=0

= 4 = 3 = 2 = 1

Untuk operasi penjumlahan

Karena memenuhi semua syarat pada group maka pada operasi penjumlahan, (,*) membentuk group

Untuk Operasi Perkalian

x 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ GDapat kita lihat dalam tabel bahwa semua hasil dari operasi (axb) merupakan elemen 2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c ϵ GPada operasi penjumlahan ax(bxc)=(axb)xc pasti benar

Untuk Operasi Perkalian

x 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

3. identitas: Ǝe ϵ G sehingga a*e=e*a=a, Ѵa ϵ GPada operasi penjumlahan e=1 Ǝ1 ϵ G sehingga ax1=1xa=a, Ѵa ϵ G

4. Invers: Ѵa ϵ G, Ǝϵ G sehingga a*=*a=ee=0tidak ada, maka pada operasi perkalian tidak terdapat invers

Untuk operasi perkalian

Karena tidak memenuhi semua syarat pada group maka pada operasi perkalian , (,*) tidak membentuk group

Apakah suatu group (G,*) mungkin mempunyai elemen lebih dari satu?

Iya, contoh dari soal 2, ={0,1,2,3,4} merupakan group dari operasi penjumlahan yang memiliki elemen lebih dari satu.

Masalah 3

Misalkan G sembarang himpunan semua bilangan real tak nol. Definisikan operasi * dengan a*b=Syarat group mana yang dipenuhi oleh (G,*)? Apakah (G,*) membentuk group?

Masalah 4

1. Tertutup: a*b ϵ G, Ѵa,b ϵ GBilangan real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasioanal. Jadi hasil operasi a*b= pasti terdapat dalam bilangan real.

2. Assosiatif: a*(b*c)= (a*b)*c, Ѵa,b,c ϵ Ga*(b*c)= (a*b)*c(b*c)= c(c)= cHanya terpenuhi jika =1 atau a=±1, sedangkan a sembarang dari elemen bilangan real tak nol. Syarat assosiatif tidak terpenuhi.

3. Identitas: Ǝe ϵ G sehingga a*e=e*a=a, Ѵa ϵ G Ǝe ϵ G sehingga =a=a, Ѵa ϵ GƎe=b ϵ G sehingga =a=a, Ѵa ϵ GTerpenuhi jika a=1, sedangkan a sembarang dari elemen bilangan real tak nol. Syarat identitas tidak terpenuhi.

4. Invers: Ѵa ϵ G, Ǝϵ G sehingga a*=*a=eKarena tidak memiliki elemen identitas makan elemen invers juga tidak terpenuhi.