Upload
ahmad-ardi
View
127
Download
16
Embed Size (px)
Citation preview
METODE NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
AHMAD PUJI ARDI
12313079
PROGRAM STUDI TEKNIK GEOFISIKA
FAKULTAS TEKNIK PERTAMBANGAN DAN PERMINYAKAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2015
A.Eliminasi GaussSetiap sistem persamaan linier aljabar dapat diekspresikan secara umum sebagai
a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b 1
a21 x1+a22 x2+. ..+a2n xn=b 2. .. . ... .. . ... .. . ..
an1 x1+an 2x2+ .. .+ann xn=b nPenyelesaian Eliminasi Gauss dilakukan melalui dua langkah utama penyelesaian
secara berurutan, yakni :
Forward Elimination of unknowns
Langkah pertama ini digunakan untuk mengurangi set persamaan sehingga nantinya terbentuk sistem triangular atas. Langkah awalnya berupa :
1. Mengeliminasi variabel pertama (x1 ) pada baris kedua sampai baris terakhir dengan cara mengurangi koefisien semua variabel pada semua
baris dengan ( an1
a11
a1 n)sehingga nantinya menghasilkan nol pada
koefisien x1 untuk baris kedua hingga terakhir . Didapatkan persamaan baris semua baris :
a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1
0 x1+(a22−a21
a11
a12) x2+. ..+(a2n−a21
a11
a1 n) xn=b2−a21
a11
b1
. .. . .. . .. . .. . ..
0 x1+(an 2−an 1
a11
a12)x2+ .. .+(ann−an1
a11
a1 n)xn=bn−an1
a11
b1
Atau dinyatakan dengan
a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1
0 x1+a '22 x2+. ..+a '2 n xn=b'2. .. . .. . ..
0 x1+a 'n2 x2+ .. .+a 'nn xn=b 'n
2. Dari hasil langkah (1), eliminasi variabel kedua (x2 ) pada baris ketiga sampai baris terakhir dengan cara mengurangi koefisien semua variabel
pada semua baris dengan ( a ' n2
a '22
a '2 n)sehingga nantinya menghasilkan nol
pada koefisien x2 untuk baris ketiga hingga terakhir. Didapatkan hasil pada semua baris :
a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1
0 x1+(a22−a21
a11
a12) x2+. ..+(a2n−a21
a11
a1 n) xn=b2−a21
a11
b1
0 x1+0 x2+(a ' 33−a'32
a'22
a '23) x3+.. .+(a '3 n−a '32
a'22
a ' 2n) xn=b '3−a '32
a '22
b '2
. .. . .. . .. . .. . ..
0 x1+0 x2+(a ' n3−a 'n 2
a'22
a '2 n)x3+ .. .+(a 'nn−a ' n2
a '22
a '2 n) xn=b 'n−a 'n 2
a '22
b'2
Atau dinyatakan dengan
a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1
0 x1+a '22 x2+. ..+a '2 n xn=b'20 x1+0 x2+. ..+a ''2n xn=b ''2. .. . .. . ..
0 x1+0 x2+. ..+a ''nn xn=b ''n
3. Lakukan langkah dengan prinsip yang sama diatas sampai menyisakan satu buah variabel dan satu buah konstanta
a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=b1
a '22 x2+. ..+a' 2 n xn=b '2a '''33 x3+.. .+a '''3 n xn=b '''3. .. . ..
ann(n−1 )xn=bn
(n−1)
Backward subtitutionSetelah mendapatkan persamaan yang terakhir cari nilai variabel terakhir tersebut dengan membagi konstanta dengan koefisien variabel tersebut
xn=bn(n−1)
ann(n−1)
Kemudian substitusikan nilai xnke persamaan diatasnya sehingga memperoleh nilai untuk variabel lainnya.
R 2−a21
a11
R1
R 3−a21
a11
R1
ROUND MAP ELIMINASI GAUSS (UNTUK MATRIKS 3X3)
[a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⋮⋮⋮
b1
b2
b3] [a11 a12 a13
0 a '22 a '23
0 a '32 a '33
⋮⋮⋮
b1
b ' 2b '3
][a11 a12 a13
0 a '22 a'23
0 0 a rSub { size 8{33 } } {}} matrix { dotsvert {} ## dotsvert {} ## dotsvert } matrix {b rSub { size 8{1} } {} ##b' rSub { size 8{2} } {} ##b3]
x3=b rSub { size 8{3} } } over {a33a '22 x2+a ' 23 x3=b '2
x2=b '2−a '23 x3
a ' 22
a11x1+a12 x2+a13 x3=b1
x1=b1−a13 x3−a12 x2
a11
pivotpivot
R 3−a'32
a'22
R1
FORWARD ELIMINATION
BACKWARD SUBSTITUTION
R 1−a '12
1R 2
R 3−
a'32
1R 2
R 1
a11R 2−
a21
1R1
R 3−a21
1R1
R 2
a '22
R 3
a rSub {33 } } } } {¿¿¿
B.Eliminasi Gauss-JordanMetode eliminasi Gauss-Jordan merupakan modifikasi dari metode eliminasi Gauss dimana pada metode ini dilakukan normalisasi oleh koefisien pivotnya sehingga menghasilkan matrik identitas bukan lagi matriks triangular lagi seperti eliminasi Untuk lebih jelasnya dapat lihat langkah penyelesaian dengan metode Gauss-Jordan :
[a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⋮⋮⋮
b1
b2
b3] [ 1 a ' 12 a' 13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⋮⋮⋮
b '1b2
b3]
¿¿ [1 a ' 12 a '13
0 a ' 22 a '23
0 a ' 32 a '33
⋮⋮⋮
b '1b '2b '3
]
¿¿ ¿¿¿¿
x1=b ' rSub { size 8{1} } } {¿ x2=b ' rSub { size 8{2} } } {¿ x3=b ' rSub { size 8{3} } } {¿
R 2−a rSub {23 } } over {1} } R3}} {¿¿¿¿
R 1−a rSub {13 } } over {1} } R3}} {¿¿¿¿
C. Gauss-SiedelMetode Gauss-Siedel merupakan metode iterasi atau aproksimasi yang
mengasumsikan bahwa persoalan dianalogikan seperti matrik [A ] {X }= [B ] dengan batasan bahwa matriknya merupakan matriks 3X3, elemen diagonalnya tidak sama dengan nol, dan persamaannya bersifat konvergen.Untuk lebih jelasnya lihat langkah penyelesaian persamaan linier dengan metode Gauss-Siedel :
Sistem Persamaan Linier :a11x1+a12 x2+a13 x3=b1
a21 x1+a22 x2+a23 x3=b2
a31 x1+a32 x2+a33 x3=b3
x3=b3−a31 x1−a32 x2
a33 x2=
b2−a21 x1−a23 x3
a22 x1=
b1−a13 x3−a12 x2
a11
Iterasi pertama :
Mencari nilai x1 dengan mengasumsikan x2=0dan x3=0
x1=b1−a13 x3−a12 x2
a11 x1=
b1
a11
Mencari nilai x2 dengan mengasumsikan x3=0 dan x1 (baru)
x2=b2−a21 x1−a23 x3
a22
x2=b2−a21 x1
a22
Mencari nilai x3 dengan menggunakan nilaix2 (baru) dan x1 (baru)
x3=b3−a31 x1−a32 x2
a33
Iterasi kedua :
Mencari nilai x1 dengan menggunakan x3 (baru) dan x2 (baru)
x1=b1−a13 x3−a12 x2
a11
Mencari nilai x2 dengan menggunakan dan x1 (baru) dan x3 (baru)
x2=b2−a21 x1−a23 x3
a22
Mencari nilai x3 dengan menggunakan dan x2 (baru) dan x1 (baru)
x3=b3−a31 x1−a32 x2
a33
Iterasi selanjutnya .....Selanjutnya kita harus mengecek konvergensi dari nilai yang didapat dengan nilai sebenarnya yakni dengan rumus :
|εa , i|=|x ij−x i
j−1
x ij
|×100 %<ε s
D. LU Decomposition LU Decomposition merupakan metode dimana matriks yang berada disebelah kiri [A ]
dimanipulasi menjadi matriks lower ([ L ] ) dan matriks upper ([U ] ). Metode ini merupakan pengembangan dari eliminasi Gauss dengan eliminasi Gauss-Jordan dengan beberapa modifikasi.
[A ] {X }= [B ]
[U ] [ L ]
[ L ] {D }= [B ]
{D }
[U ] {X }= {D }
{X }
[U ]=¿¿ [ L ]= [ 1 0 0f 21 1 0f 31 f 32 1 ]
Metode Eliminasi Gaussf 21=
a21
a11 , f 31=
a31
a11 , f 32=
a '32
a '22
Aplikasi metode-metode untuk menyelesaikan persamaan linearSoal no. 9.9 halaman 272 :4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6
A. Menggunakan Eliminasi Gauss
Sistem persamaan : Matriks sistem persamaan
4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6
[4 1 −15 1 26 1 1
⋮⋮⋮
−246 ]
[4 ,00 1 ,00 −1 ,000 ,00 −0 ,25 3 ,250 ,00 −0 ,50 2 ,50
⋮⋮⋮
−2 ,006 ,509 ,00 ]
[4 ,00 1 ,00 −1 ,000 ,00 −0 ,25 3 ,250 ,00 0 ,00 −4 ,00
⋮⋮⋮
−2 ,006 ,50
−4 ,00]x3=
−4 ,00−4 ,00
=1
−0 ,25 x2+3 ,25x3=6 ,50
−0 ,25 x2+3 ,25(1)=6 ,50−0 ,25 x2=3 ,25
x2=3 ,25−0 ,25
=−13
4 x1+x2−x3=−2 ,00
4 x1+(−13 )−(1 )=−2 ,004 x1−14=−2 ,00
x1=124
=3
[4 1 −15 1 26 1 1
⋮⋮⋮
−246 ]
pivot
R 2−54R1
R 3−64R1
pivot
R 3−−0,50−0,25
R2
B. Menggunakan Gauss-Jordan
Sistem persamaan : Matriks sistem persamaan
4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6
[4 1 −15 1 26 1 1
⋮⋮⋮
−246 ] [1 ,00 0 ,25 −0 ,25
5 ,00 1 ,00 2 ,006 ,00 1 ,00 1 ,00
⋮⋮⋮
−0 ,504 ,006 ,00 ]
[1 ,00 0 ,25 −0 ,250 ,00 1 ,00 −13 ,000 ,00 −0 ,50 2 ,50
⋮⋮⋮
−0 ,50−26 ,00
9 ,00 ]
[1 ,00 0 ,25 −0 ,250 ,00 −0 ,25 3 ,250 ,00 −0 ,50 2 ,50
⋮⋮⋮
−0 ,506 ,509 ,00 ]
[1 ,00 0 ,00 3 ,000 ,00 1 ,00 −13 ,000 ,00 0 ,00 −4 ,00
⋮⋮⋮
6 ,00−26 ,00−4 ,00 ] [1 ,00 0 ,00 3 ,00
0 ,00 1 ,00 −13 ,000 ,00 0 ,00 1 ,00
⋮⋮⋮
6 ,00−26 ,00
1 ,00 ]
[1 ,00 0 ,00 0 ,000 ,00 1 ,00 0 ,000 ,00 0 ,00 1 ,00
⋮⋮⋮
3 ,00−13 ,00
1 ,00 ]
[4 1 −15 1 26 1 1
⋮⋮⋮
−246 ]
pivot
R 1
4 R 2−51R1
R 3−61R1
R 2
−0 ,25
pivot
R 1−0 ,251R2 R 3−−0,5
1R2
R 3
−4 ,00R 1−3
1R3
R 2−−131R3
pivot
x3=1
x2=−13
x1=3
C. Menggunakan Gauss-Siedel
Sistem persamaan :
4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6
x1=−2+x3−x2
4 x2=
4−5x1−2x3
1 x3=
6−6 x1−x2
1
Iterasi Pertama :
Mencari nilai x1 dengan mengasumsikan x2=0dan x3=0
x1=−2+(0)−(0 )
4 x1=
−24
=−0 ,50
Mencari nilai x2 dengan mengasumsikan x3=0 dan x1=−0,5
x2=4−5(−0,5)−2(0)
1 x2=
4+7,51
=11 ,50
Mencari nilai x3 dengan menggunakan nilaix2=11 ,50 dan x1=−0,5
x3=6−6 (−0,5 )−(11 ,5 )
1 x3=
6+3−11 ,51
=−2,5
Iterasi Kedua :
Mencari nilai x1 dengan menggunakan nilaix2=11 ,50 dan x3=−2 ,50
x1=−2+(−2,5 )−(11 ,5 )
4 x1=
−164
=−4 |εx 1,2|=87 ,5 %
Mencari nilai x2 dengan menggunakan nilaix1=−4 dan x3=−2 ,50
x2=4−5(−4 )−2(−2,5 )
1x2=
291
=29 |εx 2,2|=60 ,34 %
Mencari nilai x3 dengan menggunakan nilaix2=29 dan x1=−4
x3=6−6 (−4 )−(29 )
1x3=
11=1 |εx 3,2|=350%
Iterasi Ketiga :
Mencari nilai x1 dengan menggunakan nilaix2=29 dan x3=1
x1=−2+(1)−(29)
4x1=
−304
=−7,5 |εx 1,3|=46 ,67 %
Mencari nilai x2 dengan menggunakan nilaix1=−7,5 dan x3=1
x2=4−5(−7,5 )−2 (1 )
1x2=
39 ,51
=39 ,5 |εx 2,3|=26 ,58 %
Mencari nilai x3 dengan menggunakan nilaix2=39 ,5 dan x1=−7,5
x3=6−6 (−7,5 )−(39 ,5 )
1x3=
11 ,51
=11 ,5 |εx 3,3|=91 ,30 %D. Menggunakan LU Decomposition
Sistem persamaan : Matriks sistem persamaan
4 x1+x2−x3=−25 x1+x2+2 x3=46 x1+x2+x3=6
[A ] {X }= [B ]
[U ]= [4 1 −15 1 26 1 1 ]
[4 1 −10 −0 ,25 3 ,250 −0,5 2,5 ] [4 1 −1
0 −0 ,25 3 ,250 0 −4 ]
[U ]= [4 1 −10 −0 ,25 3 ,250 0 −4 ]
[ L ]=[ 1 0 05
41 0
64
−0,5−0 ,25
1 ] [ L ] {D }=[B ]
[U ] {X }= {D } [ 1 0 01,25 1 01,5 2 1 ]{D 1
D 2D 3 }=[−2
46 ]
[[4 1 −10 −0 ,25 3 ,250 0 −4 ]]{x 1
x 2x 3}=[−2
6,5−4 ]
D 1=−21 ,25D 1+D 2=4−2,5+D 2=4D 2=6,51,5D1+2D 2+D 3=6−3+13+D 3=6D 3=−4
{D1D2D 3 }={−2
6,5−4 }
[4 1 −15 1 26 1 1 ]{x1
x2x3 }=[−2
46 ]
R 2−54R1
R 3−64R1
R 3−−0,50−0,25
R2
−4 x3=−4x3=1−0 ,25 x2+3 ,25x3=6,5
−0 ,25 x2=3 ,25x2=−134 x1+x2−x3=−24 x1−13−1=−2x1=3
Kesimpulan dari aplikasi metode –metode tersebut pada satu soal yang sama
a. Eliminasi GaussKelebihan :
Dapat menentukan kekonsistenan sistem persamaan Mengilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap angka Lebih mudah dipecahkan
Kekurangan : Masalah akurasi nilai jika terjadi pembulatan pecahan Sulit untuk penggunaan sistem persamaan dengan variabel yang banyak
b. Gauss-JordanKelebihan :
Mengubah sistem persamaan linier menjadi matriks identitas yang sederhana
Dapat menyelesaikan persamaan dengan matriks invers Mudah dalam menyelesaikan persamaan dengan banyak variabel Dapat mengurangi kesalahan dalam perhitungan
Kekurangan : Nilai konstanta yang dimasukkan terbatas Pada keadaan tertentu, tidak dapat menunjukkan nilai x secara langsung
c. Gauss-SiedelKelebihan :
Pembulatan dapat diperkecil Ketelitiannya maksimal
Kekurangan : Hanya terbatas pada matriks 3x3 Tidak dapat menunjukkan nilai dengan baik jika sistem persamaan bersifat
divergen (hanya untuk sistem yang konvergen) Rawan terjadi kesalahan pivot
d. LU DecompositionKelebihan :
Lebih mudah dipecahkan Dapat mengurangi kesalahan dalam perhitungan Dapat menentukan kekonsistenan sistem persamaan Mudah dalam menyelesaikan persamaan dengan banyak variabel
Kekurangan : Banyak dalam penulisan variabel Butuh ketelitian lebih untuk setiap langkah penyelesaian
−4 x3=−4x3=1−0 ,25 x2+3 ,25x3=6,5
−0 ,25 x2=3 ,25x2=−134 x1+x2−x3=−24 x1−13−1=−2x1=3